时间：2022-03-31 19:23:39
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇五年级上册数学，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、进一法、去尾法的实际运用
1.用塑料袋包装肉、用油桶装油或用车载物，求需要准备多少个口袋、油桶或车辆？
物品总量÷每份数=数量(需要的口袋、油桶或车辆)(通常用进一法)
例：李叔叔把80千克油分装到油桶里，每个油桶最多能装油4.5千克，李叔叔至少要准备（）个这样的油桶。
2.用布匹做衣服、用纸订本子，求可以做多少件衣服、多少个本子？
物品总量÷每份数=数量(可以做的衣服件数或本子本数)(通常用去尾法)
例：有600张纸，48张纸装订一本练习本，可以装订（）本练习本。
二、平均数问题：
总数量÷总份数=平均数。如果总数量和总份数没有直接告诉，就要先算出总数量和总份数，最后才能算出平均数。
例1：工人铺设天然气管道，前4天铺设了49.6米，后3天铺设了45.6米，平均每天铺设多少米天然气管道？
例2：工人铺设天然气管道，前4天铺设了49.6米，后3天每天铺设了15.2米，平均每天铺设多少米天然气管道？
变式数量关系：1.平均数×总份数=总数量 2.总数量÷平均数=总份数
三、择优比较的运用
1.买东西时的择优问题，通常是比较单价，所以要先算出单价；也可以比较相同数量下的总价多少。
2.比较跑步的快慢，通常是比较速度，所以要先算出速度；也可以比较相同时间里跑的路程多少。
3.比较庄稼的收成好坏，通常是比较单产量，所以要先算单产量。
比较题有一个关键，就是在相同的条件下比较才公平。
四、货币的兑换
把人民币兑换成外币，人民币÷兑换率=外币外币×兑换率=人民币
例：1美元可以兑换人民币6.34元，6340元人民币可以兑换（）美元，5美元可以兑换（）人民币。
五、读天然气表，电表或水表，算本月的费用通常是：
本月读数-上月读数=实际用量单价×实际用量=本月应缴费用
例：小红家上月天然气读数为478立方米，本月读数是506立方米，天然气的单价是每立方米1.7元，小红家本月应缴天然气费多少元？
六、出租车计费：
通常有：起步价+规定路程外按一定单价计价的出租车费（超出起步价规定路程×每千米的单价）=一共要付的费用
例1：泸州市出租车的起步价是6元，2千米以后按每千米1.6元计费，王老师从家到学校的距离
是8千米，王老师乘出租车从家到学校需要多少元？
演变一：(一共要付的费用-起步价) ÷起步价规定路程外的单价+起步价包括的路程=总路程
例2：泸州市出租车的起步价是6元，2千米以后按每千米1.6元计费，小明乘出租车从家到学校付了14元，小明家到学校有多少千米？
变式应用：上网费、停车费与出租车费道理相通。
七、电话缴费问题：（1）无月租计算方法是：每分钟通话费用×通话时间=应缴费用；（2）有月租费的计算方法：每分钟通话费用×通话时间+月租费=应缴费用。如还有其它费用，再加上这些费用。
例1：李奶奶每月通话时间约140分钟，请帮助李奶奶选择一种合算的缴费方式。
方式一：月租费15元，每通话1分钟0.18元；
方式二：无月租，每月来电显示6元、彩铃2元，每通话1分钟0.25元。
印刷厂印刷试卷等资料的道理同电话缴费问题相同。
八、轴对称图形：
在轴对称图形中，有的只有1条对称轴，有的不止1条对称轴。长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；等腰三角形有1条对称轴；等边三角形有3条对称轴；等腰梯形有1条对称轴；圆有无数条对称轴，扇形有1条对称轴。平行四边形不是轴对称图形。
九、多边形面积的计算
1、平行四边形的面积=底×高
变式：平行四边形面积÷高=底平行四边形面积÷底=高
2、三角形的面积=底×高÷2
变式：三角形的面积×2÷底=高 三角形的面积×2÷高=底
3、梯形的面积=(上底+下底)×高-2
变式：（1）梯形的面积×2÷高-下底=上底
（2）梯形的面积×2÷高-上底=下底
（3）梯形的面积×2÷(上底+下底)=高
4.生活中有许多用到梯形法则的地方。
如：①把木棒堆成横切面是梯形的形状，可用：(顶层根数+底层根数)×层数÷-2=总根数，这个公式来算总根数。
②把合唱团的学生排成梯形形伏的，可用：(第一排人数+第后排人数)×排数÷2=总人数，这个公式来算总人数。
5.计算组合图形的面积，可以把组合图形转换成几个规则图形来计算。
十、厘清数量间的关系：
1.王叔叔25小时加工100个零件，他平均每时加工（）零件，加工一个零件需要（）时。
问题一：零件个数÷加工时间问题二：加工时间 ÷零件个数
2.一辆汽车行驶50千米耗油5升，这辆汽车平均每升油可以行驶（ ）千米，行驶每千米耗油（）升。
1、小数的乘法和除法。这部分内容是在前面学习整数四则运算和小数加、减法的基础上进行教学，继续培养学生小数的四则运算能力。
2、简易方程。在这一单元里安排了用字母表示数、等式的性质、解简单的方程、用方程表示等量关系进而解决简单的实际问题等内容，进一步发展学生的抽象思维能力，提高解决问题的能力。
3、多边形。在空间与图形方面，这一册教材安排了观察物体和多边形的面积两个单元。在已有知识和经验的基础上，通过丰富的现实的数学活动，让学生获得探究学习的经历，能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置;探索并体会各种图形的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式及公式之间的关系，渗透平移、旋转、转化的数学思想方法，促进学生空间观念的进一步发展。
4、统计与概率。本册教材让学生学习有关可能性和中位数的知识。通过操作与实验，让学生体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，学会求一些事件发生的可能性;在平均数的基础上教学中位数，使学生理解平均数和中位数各自的统计意义、各自的特征和适用范围;进一步体会统计和概率在现实生活中的作用。
（来源：文章屋网 ）
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、填空题
(共7题；共16分)
1.
（1分）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。
4.09×0.9_______4.09
2÷4.5_______2÷5.4
40.9÷0.25_______40.9×0.25
0.58÷0.99_______0.58
6.3÷0.1_______6.3×10
9.6×0.98_______0.96×98
2.
（4分）根据31.2÷13=2.4写出下面各题的商。
3.12÷13=_______ 3.12÷1.3=_______ 312÷13=_______
0.312÷13=_______ 312÷130=_______ 3.12÷0.13=_______
3.
（1分）观察下面图形的排列，你发现了什么规律？
……那么第47个图形是_______．
4.
（2分）估算(用计算器验算)
52×9≈_______
600×47≈_______
5.
（2分）把4张扑克牌洗一下反扣在桌上，任意摸一张，摸到红桃的可能性是_______，摸到黑桃的可能性是_______，摸到扑克牌上的数是奇数的可能性是_______．
6.
（4分）在横线上填上“＞”“＝”或“＜”．
7.2×0.9_______7.2
4.3×1.2_______4.3
5.24_______5.24÷0.7
9.65÷1.1_______9.65
7.
（2分）两个数相除，商是3.2，余数是0.6，被除数和除数同时扩大7倍，商是_______，余数是_______．
二、判断题
(共4题；共8分)
8.
（2分）循环小数5.03636…可写作5.036.
9.
（2分）明明的座位在第3列第4行，记为(3，4)，如果将他往后调4行，他的位置就可以记为(7，4)。
10.
（2分）盒子中有10个白球、1个黄球，从中随意摸出一个球，如果是黄球，龙一鸣赢；如果是白球，依依赢。那么依依一定赢。
11.
（2分）如果两个数都大于1，这两个数相乘，积一定比这两个数大。（
）
三、选择题
(共6题；共12分)
12.
（2分）下列算式中，结果最大的是（
）。
A
.
3.8÷0.1
B
.
3.8÷1
C
.
0.38÷0.1
D
.
3.8×0.1
13.
（2分）6.33636…用循环小数的简便记法表示是（
）
A
.
B
.
C
.
14.
（2分）一个三角形的底扩大到原来的5倍，高不变，面积会（
）。
A
.
扩大到原来的5倍
B
.
扩大到原来的25倍
C
.
不变
D
.
缩小到原来的
15.
（2分）盒子里有大小相同的3个红球和3个绿球，从中任意摸出两个球，以下说法错误的是（
）。
A
.
可能摸到两个红球
B
.
可能摸到一个红球和一个绿球
C
.
可能摸到两个绿球
D
.
一定摸到一个红球和一个绿球
16.
（2分）体育课上小明的位置用数对表示为（3，3），那么下面谁离小明最远（
）。
A
.
小红（2，3）
B
.
小丽（4，3）
C
.
小强（5，3
）
D
.
小玲（3，4）
17.
（2分）如右图，如果x点的位置表示为（2，3），则点y的位置表示为（
）
A
.
（4，4）
B
.
（4，5）
C
.
（5，4）
四、计算题
(共3题；共30分)
18.
（6分）直接写出得数。
÷
=
÷
=
÷
=
0÷0.9=
19.
（16分）用竖式计算。
（1）5.46÷9.1=
（2）22.5÷18=
（3）52.8÷0.12=
（4）5.46÷9.1=
（5）22.5÷18=
（6）52.8÷0.12=
20.
（8分）递等式计算
（1）3.6÷0.4-1.2×6
（2）(5.6-1.4)÷0.7
（3）2.25÷2.5×0.4
（4）3.6÷0.4-1.2×6
（5）(5.6-1.4)÷0.7
（6）2.25÷2.5×0.4
五、解答题
(共6题；共34分)
21.
（5分）猎豹每秒能跑31米，那么它1分钟能跑多少米?
22.
（5分）爸爸要给客厅铺地砖，若选用边长是40cm的正方形地砖，需要125块。
（1）若用边长是50cm的正方形地砖，需要多少块？
（2）边长是40cm的地砖每块16.8元，铺每平方米地面的手工费是13.5元。边长是50cm的地砖每块28元，铺每平方米地面的手工费是12.5元。铺哪一种地砖的花费少？
23.
（5分）高山滑雪的总路程是4.8
km。
聪聪离终点还有多少千米?
24.
（6分）一堆球有红、白、黄三种颜色，选5个球放入口袋。
（1）任意摸一个，不可能是红球，应该怎么放？
（2）任意摸一个，红球的可能性比较大，可以怎样放？
25.
（6分）操作题．
①如果图中点B表示为（3，2），那么点C表示为（
）．
②以直线L为对称轴，画出三角形ABC的轴对称图形．
26.
（7分）某市自来水公司为鼓励节约用水，采取按月分段计费的方法收取水费。12吨以内的每吨2.5元；超过12吨的部分，每吨4.5元。贝贝家上个月的用水量为18吨，应缴水费多少元?
参考答案
一、填空题
(共7题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
二、判断题
(共4题；共8分)
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
三、选择题
(共6题；共12分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
四、计算题
(共3题；共30分)
18-1、
19-1、
19-2、
19-3、
19-4、
19-5、
19-6、
20-1、
20-2、
20-3、
20-4、
20-5、
20-6、
五、解答题
(共6题；共34分)
21-1、
22-1、
22-2、
23-1、
24-1、
24-2、
教学目标：1、经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形的面积计算公式，并能应用公式解决简单的数学问题。
2、培养学生应用已有知识解决新问题的能力，渗透转化的数学思想。
3、使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
4、使学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习的兴趣、创新意识和合作精神。
教学重点：探索并掌握三角形面积计算公式，能正确计算三角形的面积。
教学难点：三角形面积公式的探索过程。
教具准备：课件、两个完全相同的三角形等。
学具准备:
导学案、每个小组准备完全一样的三角形两个，剪刀。
教学过程：
一、猜想公式，导入新课。
1、复习旧课：怎样计算下面图形的面积？
2、谈话引入：同学们，老师变个魔术，想看吗？请看屏幕，认真观察，你发现了什么？
蓝色
红色
之后，让学生猜想，红色三角形的面积，可以怎么计算？然后揭示课题。
二、探究新知，汇报交流。
（1）创设情境，设疑引思
创设情境：老师让大家看一样东西，这是什么？（红领巾）你们知道它的面积是多少吗？（不知道）怎样计算红领巾的面积呢？你想到什么办法？
引导学生想出用转化的方法进行思考。
（2）应用学具，自主操作。
活动一：用两个完全一样的三角形可以拼成一个我们学过的什么图形？（屏幕出示）
让学生拿出三角形学具，根据导学案的提示操作。
（3）反馈交流，感受转化。
请学生拿着三角形学生上台展示，并介绍自己的操作方法。注意着重理解什么是“完全一样”的两个三角形。
（4）发现联系，推导公式。
1、拼接法。
观察用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形，思考：
活动二：拼成的平行四边形的面积和一个三角形的面积有什么关系？它们的底与底、高与高又有什么关系呢？
通过操作和讨论，引导学生发现：用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于三角形的底，高也等于三角形的高。因为每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，平行四边形的面积底×高，所以三角形的面积
=底×高÷2。
让学生自己用字母来表示这条面积公式吗?（S＝ah÷2）。
齐读公式。
2、剪拼法。（略讲）
让学生边看课件演示边理解，用剪拼的方法把两个完全一样的三角形转化成长方形，同样可以推导出三角形的面积公式。
因为长方形的长等于三角形的底，宽等于三角形的高，三角形的面积等于拼成的长方形面积的一半，长方形的面积＝长×宽，所以
三角形的面积＝长×宽÷2
＝底×高÷2
三、回顾小结，验证猜想。
小结：不管是拼接，还是剪拼，都可以把三角形转化成我们学过的平行四边形或是长方形，从而推导出三角形的面积公式。渗透转化思想。让学生请阅读课本56页的内容，把公式写在横线上。
让学生自己试着计算出红领巾的面积了在导学案上解答。
然后，验证了学生前面的猜想是否正确。
四、训练检测，巩固提高。
1、计算下面图形的面积。（单位：cm）
计算三角形的面积，强调要找到对应的底和高。
2、填空。
（1）用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。已知每个三角形的面积是14平方分米，拼成的平行四边形的面积是（
）平方分米。
（2）已知平行四边的面积是50平方厘米，和它底等高的三角形的面积是（
）平方厘米。。
3、判断。
（1）三角形面积是平行四边形面积的一半。
（
）
（2）两个面积相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。
（
）
（3）一个三角形高是6米、底是4米，面积是24平方米。（
）
（4）平行四边形的面积大于三角形的面积。
（
）
4、计算下面三角形的面积（小方格的边长是1厘米），你发现了什么?
人教版五年级下册数学平均数的再认识教案
【教学目标】
1.经历平均数的产生过程，体会学习平均数的必要性，了解平均数的统计意义，掌握求简单数据的平均数的方法，能根据统计图去解决简单的实际问题。
2.在解决问题的过程中，培养学生自主探究与合作交流的意识，培养学生分析，推理能力。
3.感受统计与生活的密切联系及其应用价值，体验数学的学习乐趣。
【教学重点】理解平均数的意义，掌握求平均数的方法。
【教学难点】运用平均数的只是灵活地解决实际问题。
【教学过程】
(一)创设情境，引入新知
活动一：人数相等的投篮比赛(课件出示三(2)班学生投篮成绩)
同学们，你们喜欢打篮球吗?上周，我们班男生队和女生队进行了一场投篮比赛，每队选出4名选手作为代表，看，这是男生队和女生队每个人在相同时间内投中篮球个数的统计图，从图中你知道了什么?(板书：比一比)
1)引导学生观察统计图
2)让学生读出统计图的数据：女生队几个队员,各投中几个,男生队几个队员,各投中几个,你觉得这两个队哪个队实力强,说说你的理由
女生队：4+5+4+5=18(个) 男生队：7+3+5+9=24(个)
设计意图：在真实的情境中，最大限度的激发学生的学习的内驱力，让学生全身心投入到数学学习中去。
活动二：人数不相等的投篮比赛(课件出示)
师：刚才我们通过比总数知道了男生队获胜了，现在老师加入了女生队里(出示第二次投篮比赛的统计图),这一次你知道哪队获胜吗? 学生会有争论，有的认为奖牌应奖给女生队组，因为女生队投中的总数多，有的认为女生队的人数比男生队多不公平，最后总结出了用每组投中的平均数来比较。 (二)自主探究，合作交流 1.师：刚才同学们都认为应该用每组中平均每人投中的个数来比较，哪个同学来解释一下“平均”是什么意思?你们能有几种方法求出平均每人投中的个数
方法1：移多补少(动态演示)
方法2：合并均分 总数 ÷ 份数 = 平均数
女生队平均每人投中：(4+5+4+5+7) ÷ 5 = 5(个) 男生队平均每人投中：(7+3+5+9) ÷ 4 = 6(个) (让学生说一说算式各部分表示的意思)
2.平均数的产生 像这样，原来各不相同的一组数，在总数不变的情况下，通过移多补少最后变得一样多，这个一样多的结果就是原来那组数的平均数(板书课题：平均数) 问：女生队的平均数是几?它是哪几个数的平均数?男生队呢?同学们现在知道奖牌应该是哪个队了吗?
3.理解平均数的意义 引导学生讨论：男生队的平均数是6个，他们组没有一个人投中6个，那么这个“6”是从哪里来的?是不是我们算错了?(平均数6是把那个组中投中多的补给了投中个数少的，是移多补少得到的，是整体的平均水平,并不是每个人实实在在都投中的个数)，那么女生队的平均数5呢?
4.平均数的性质(在具体情景中) 平均数在最大值和最小值之间(有利于学生计算平均数是检查是不是对的) 每个数据的变化都会影响这组数据的平均数(两种情况观察引出) 这组数据中超出平均数之和与低于平均数之和相等
(三)应用知识，解决问题 1.基本练习 生活中有很多关于平均数的信息，你们能说一说吗?(让学生体会到平均数在日常生活中的实际意义，同时也为学生创造了自由表达、广泛交流的机会，提升了他们“数学交流”的能力。 2.提高练习 试一试(出示主题图) 男生队 女生队
小熊冷饮店又该进冰糕了，小熊翻开商店本月前三周卖出的冰糕情况记录。
(1) 引导学生观察统计图
(2) 让学生读出统计图的数据：第一周卖出8箱，第二周卖出7箱，第三周卖出9箱。
师：估计一下，前三天卖出冰糕的平均箱数应该在哪个范围内?(引出平均数在最大值和最小值之间)
计算出前三天平均每天卖出多少箱?
(8+7+9)÷ 4 = 8(箱)
(3) 让学生想出办法帮助小熊解决问题
师：到了星期四，水果店的老板又该进货了。你们说老板应该进几箱合适? (为了让学生进一步体验求平均数和统计的作用)4.综合练习
数学故事：“有危险吗?”
我们的朋友美羊羊遇到平均数了，不会游泳的他心想：我的身高是140厘米，河底的平均水深是110厘米，下河底去应该不会有危险的。请问你是怎么想的?
(出示河底剖面图)：平均水深110厘米，并不是说这个河底每个地方都是110厘米。有的地方可能深一些，有的地方可能浅一些。美羊羊到水深浅于110厘米的地方游泳就安全，如果到水深深于110厘米的地方游泳就不安全。
(有趣的故事情节让学生觉得要帮助自己的朋友解除危机，增强了学生的责任感;同时也为学生提供一个挑战自我的机会，提升学生的思维能力和运用已学的知识解题能力)
(四)全课小结，感悟延伸
通过这节课的学习，你有什么收获吗?
(五)板书设计比一比(平均数)
1.移多补少
2.合并均分：
总数 ÷ 份数= 平均数
女生队：(4+5+4+5+7)÷ 5 = 25(个)
男生队：(7+3+5+9) ÷ 4 = 24(个)
看了五年级下册数学平均数的再认识教案的人还看：
1.四年级上册数学小数乘法教学教案
2.小数乘整数教学设计
3.循环小数教学设计 循环小数优秀教案
4.苏教版五年级上小数乘法和除法教案
愉快的暑假到了，为了使自己的假期生活过的健康充实，欢乐而有意义，我特别为自己的暑假生活制定了具体的计划。我的计划大概分为两个方面：学习计划、生活计划。
第一，学习计划，具体如下：
1.争取7月1日至7月20日完成语、数、外三门暑假作业。计划大概每天完成6面暑假作业。
2.预习语文六年级上册的古诗词，文言文，日积月累等等。并有重点的选择背诵。
3.预习六年级上册数学相关内容。
4.预习六年级上册英语的课程，默写有关单词，听磁带。
5.每天看课外书，报纸，还可以看看动画片，但时间不能太长。
6.写暑假日记一本，作文10篇，练好钢笔字。
第二，生活计划具体如下：
1.培养个人的生活能力，比如：做饭、洗衣服。帮父母干一些力所能及的家务活，扫扫地，给父母捶捶背，帮父母买点东西等等。
2.要注意个人安全等方面问题，不私自下河游泳，不能私自外出，不做危险违法的事。
3.要每天锻炼身体，坚持跑步，每个星期天去爬一次山。每个星期六去游泳馆游泳一次。每天还要早起，不睡懒觉。如果父母不在家，不能给陌生人开门，不跟陌生人讲话.。见人要有礼貌。
这就是我的暑假计划，我相信只要认真执行这些计划我就一定能过一个美好，愉快的暑假!
小学生暑假计划【2】
一、时间安排
1、每天的四个“1小时保障”
每天保障做一小时的语文或数学寒假作业;
每天保障一小时的无负担课外阅读;
每天保障一小时的英语自学;
每天保障一小时的户外活动或运动。
2、计划与非计划
如无特殊情况，每天必须完成以上计划;
每天的计划在得到“保障”的前提下，可灵活自由安排;
如果因外出旅游、回乡下度假等意外安排，可临时不予执行;
可以偶尔睡懒觉，但不要影响当日计划的实施。
二、学习计划
1、不参加语文、数学的培优，不请家教，相关课程自己独立完成。
2、语文课程计划
7月份完成暑假作业，8月中旬前检查、改正，查漏补缺;
把自己的藏书系统再读一遍，重点读历史、百科知识大全、漫画、中外名著导读等丛书;
假期可以自己买三本自己喜欢的任何书籍;
把以前稍显薄弱的阅读题的规范回答、错别字系统复习。
3、数学课程计划
7月份完成暑假作业，8月中旬前检查、改正，查漏补缺;
假期完成五年级《奥数提高班》的自学，基本掌握其要领，有选择性挑选典型题目做。
自己注意计算细心化的纠正。
4、英语课程计划
英语学习能力和成绩一般，要重点加强学习兴趣和能力的培养;
把三年级和四年级的学校课本系统复习一遍，每天坚持听剑桥英语的磁带，时间不限;
假期把以前记得的英语单词都记在小本子上，分类汇总;
若有兴趣、有机会，可以把语音和音标接触、巩固一下，尽量保证发音标准。
三、活动安排
1、随父母至少省内出去旅游一次，争取省外旅游去一次;
2、至少去乡下亲戚家2次，体验生活，其中爷爷家族亲戚去一次，外公家族亲戚去一次;
3、每天保障一小时的户外活动或运动，散步、溜冰、找小朋友玩等，要注意安全;
4、每两天至少帮家里做一件家务事(10分钟以上)，洗衣服、择菜、简单做饭等;
5、一个人尝试独立在家呆1-2天;邀请同学或者小朋友在家玩若干次，并独立招待;
6、每周玩电脑2小时左右，重点加强打字能力的提高;
关键词 小学数学;问题解决;能力培养;方法策略
数学的奥妙，绝非在于计算，计算结果更不是数学学习的目的，数学本质就是一种应用工具，是一门为问题解决提供基本方法的基础性学科。然而，数学能力与数学成绩并不成正比，许多教师更注重学生数学成绩的提高，而忽略了数学能力的培养，尤其是数学问题解决的基本素养方面的培养。这不符合数学课程改革的精神和理念，也与提升学生数学修养和培养数学能力的长远目标不一致。
一、加强示范操作，增加学生动手操作机会，增添学生动手解决问题的感性经验
学生只有积累了足够丰富的问题解决的感性经验，才能实现数学问题解决由感性认识向理性认识的质的飞跃，学生才能真正掌握问题解决的基本思路和方法。
（一）加强教师解题示范操作，为学生获取数学问题解决的感性经验创造机会
教师不管在数学知识、数学基本方法、生活实践方面，都有丰富的感性认识和直接经验。没有教师的指导，学生从动手操作中获取的感性经验可能就会存在偏差，导致数学问题解决陷入误区。因此，加强教师示范操作，有利于将学生解决数学问题的认识和经验合理化，促使感性认识分化、汇总、升华。
例如，在进行《认识东、西、南、北》（人教版三年级上册数学）的教学时，方位数学问题的教学目的在于：认识东南西北，并能够准确辨别这四个方向，能根据实物图理解平面图，训练和培养学生的方向感。教师通常都会传授同学“上北下南，左西右东”的口令法则，并借助多媒体手段帮助学生理解东南西北方位。这种教学方法帮助学生从平面的角度理解了判断方位的基本方法，而实际生活中方位的辨识是三维的。“上北下南，左西右东”口令法则也适用于三维空间范围，对此，数学教师就可以利用教室空间进行示范性教学，并进行方向的口令练习，比如说“向左转”“向右转”“向后转”该如何进行，如何在这个过程中活用空间方位口诀，然后组织学生进行方向辨别训练，规范引导学生的方向意识，降低学生因平面方向的认知对空间方位判别的干扰，从而培养学生正确的立体空间方向概念。这样通过教师的示范性操作，帮助学生积累了正确的感性素材，让学生的经验认识脱离了模糊的阶段。
（二）增加学生动手操作机会，积累解决问题的感性经验
常言道：孩子的智慧总是透过指尖表现出来。学生亲自动手操作，不管结果的好与坏，都能积累数学解决问题的感性经验。自己动手进行操作，形成自己的数学问题解决思路，正确的操作结果指导学生解决实际问题，而错误或是有偏差的操作结果，也能帮助学生积累经验，帮助学生举一反三。
例如，在进行“烙饼问题”（人教版四年级上册数学广角）教学时，明确数学的优化均衡原理，帮助学生掌握解决这类问题的基本思路和方法。以一道具体的“烙饼问题”的应用题为例，“现在有一口锅，这口锅1次可以同时烙2张饼，而1张饼需要烙正反两面才能熟，每烙1面饼花费3分钟，试问：一共需要多长时间才能烙好3张饼？”根据直觉判断，烙好1张饼需要花费6分钟，那么，烙好3张饼就需要花费18分钟，不可否认，这个答案是正确的，但却不是最优的解题方案。这时教师可以让学生借助硬币等物品来摆一摆、试一试，看看有没有更快的方法，记录下结果，通过操作来发现更快的组合方法，并动手操作进行验证。比如，烙好3张饼花费12分钟的方案（见表烙饼方案一）;经过反复的实践操作发现烙好3张饼最少需要花费9分钟（见表烙饼方案二），是最优的解决方案。解决烙三个饼的问题后，可以让学生进一步扩展到烙饼4张、5张……10张，让学生探索奇数个饼和偶数个饼的烙饼方案有什么规律，这实际上是一种重要的解决数学问题的方法，即数学推理归纳 思想。
二、加强数学活动指导，创造学生参与数学问题探究活动的机会，增强学生对数学问题解决方法的理性认识
数学问题解决方法的教学，不能依赖于对数学知识和解题方法的死记硬背，还需要增加学生参与数学问题探究活动的机会，让学生自主进行数学问题解决方法的摸索，以帮助积累数学活动经验，这也是新的数学课程标准提出的要求。数学教材知识，大多是在前人实践基础上分析总结得出的，这只能给予学生间接的学习经验，学生要在真正意义上吸收消化这些间接知识经验，还需投身于数学实践活动中，不断去探究数学问题，寻找和总结出适合自己的数学问题的解决思路和方法。学生参与数学问题探究活动，是学生获得感性认识，并实现由感性认识向理性认识飞跃，增强数学问题解决能力的最主要途径。
例如，在进行《找次品数学问题》（人教版五年级下册数学广角）的教学时，就可以给学生安排小组探究活动，利用学生身边常见的物品，比如粉笔、饼干、糖果等，结合生活情境，帮助学生认识“找次品”这类数学问题，让学生在活动中进行数学问题的观察、猜测、试验、推理， 鼓励学生提出的不同解决方法，掌握解决这类问题的数学方法和规律。以五年级“找次品问题”的应用题为例：有4堆糖，每堆都有4块，其中有一堆中4块都是次品，正品每块重5g，次品每块重4g，能否用天平只称一次就找出来？写出过程。
针对这道题所代表的“找次品问题”，教师可以组织一次“找次品”数学问题的自主探究活动。具体活动过程：第一步，采取学生动手实践、小组讨论和交流的方法，先给学生留有足够的时间和空间进行问题解决方法的探索，在组织学生以小组为单位进行讨论和交流后，可以组织学生进行小组成果展示，比一比谁的解决方案最优越，让学生体会到同一问题的多种解题思路和方法;第二步，对数学问题的剖析、猜测、归纳、推理的活动过程才是探究活动的重点，通过对比提出的多种解题思路和方法，开展总结、推理等数学思维活动;最后，教师再适时引导学生逐步脱离具体实物操作，转而运用列表、画图等较为抽象的方式进行分析，实现数学思维从具体到抽象的过渡。
通过教师的活动指导，让学生探究得出解决过程：从4堆糖中第一堆取1块，第二堆取2块，第三堆取3块，如果称出的重量为30克，则第四堆是次品;如果称出的重量为29克，则第一堆是次品;如果称出的重量为28克，则第二堆为次品;如果称出的重量为27克，则第三堆为次品。
三、及时进行活动反馈，为学生进行数学问题的思考留足空间
数学解决问题能力的培养，不在于得到一个正确的解题结果，而在于数学问题的解题思维的训练。有些思维误区，可能影响到整体问题解决过程，对此，教师应及时予以纠正，避免学生在思维误区中泥足深陷;有些思维错误，不至于影响大局，教师可以暂缓问题反馈，给学生留足思维发散和问题发现的时间和空间，引导学生进行问题和思维的反思和总结，这对学生提升数学问题分析能力是一个重要的补充。
一、情景图提供的交通信息符合我国交通法规和客运出租车的相关规定吗？
教科书第18页例2：
除情景图提供的数学信息外，还包括“出租车停在行驶方向的左方”“只要出租车司机、乘客方便，可以随意上下车，出租车无规定的停车位置”和“出租车无空车标志时，可以上车”等交通信息。数学信息无可厚非，但交通信息值得商榷。按照我国交通法规和客运出租车的相关规定：出租车必须在道路的右边行进，停在右边标有“TAXI”的地方；如客运出租车内无乘客，必须打空车标志；乘客在右边标有“TAXI”的地方上下车和候车。由此可见，该例题情景图向师生提供的交通信息有违我国交通规则和客运出租车的相关规定，是错误信息。
数学教材不仅是数学知识的载体，还是对学生进行思想教育、行为习惯养成教育以及法律、法规知识的载体；它不仅要求学科知识科学，同时要求非本学科知识同样科学，符合国家、人民的要求。因此，建议教材再版时，将此情景图作一修正，使之提供的交通信息符合我国的交通规则和客运出租车的相关规定，使教科书更加科学、严谨，不致误导学生。
二、此题编排在这里，符合学生的认知水平吗？
教科书第97页第9题：① 在一个长18cm、宽12cm的长方形中，剪一个最大的三角形，这个三角形的面积是多少cm2？② 在一个边长是8.5cm的正方形中，剪一个最大的三角形，这个三角形的面积是多少cm2？③ 在一个底边是10cm、高8cm的平行四边形中，剪一个最大的三角形，这个三角形的面积是多少cm2？从中你发现了什么？
与教材配套的《数学教学参考书》指出“本题属于探索规律的问题”。学生要通过分析了解这样一个规律，就是在长方形、正方形和平行四方形中，要剪出一个最大的三角形，这个三角形的面积就是原图形面积的一半。学生能发现这个规律吗？具有发现这个规律的原认知基础吗？下面，从教学情况、数学推理、讨论与建议进行阐述。
（一）教学情况
在作业批改完后，我将学生完成该题质量情况进行了统计，其结果说明学生完成该题的正确率极低，没有做或做不出来的学生太多，没有达成教材编写者的意图。再对学生进行抽样访谈发现：学生在解题过程中，虽经过深入思考、反复推理，因受所学知识的限制，无法找到最大的三角形；即使个别学生找到了最大的三角形，也无法给出合理的解释。
根据上述情况，我决定将此题在课堂上进行讲解（以第③小题为例，其余两小题雷同），其教学情况表明学生能理解在平行四边形中剪出的最大三角形三个顶点有两个顶点在平行四边形的同一边上移动，当这两个顶点移动到这条边的两端时，三角形的底最长；另一个顶点移动到这条边的对边时，高最长的情形，且面积为10×8÷2=40cm2。
但是根据题意，如果所剪出的三角形三个顶点分别在平行四边形的三条不同边，这样的三角形有无最大三角形？如果有，面积是多少cm2？这个三角形的面积比40cm2大还是小呢？学生无法回答。
（二）数学论证
现在，从数学的角度和一般的情形（在平行四边形ABCD中，剪一个最大的三角形，最大三角形的面积是多少）来探讨这个的问题。包括以下四种类型：
第一种：如下图所示，设BC=a，BG=b，AE=c，BC边上的高为h1；过F作AD的垂线交AD于M，延长MF与CB的延长线交于N，设MF=h2，则FN= h1-h2，连接EC。
要SEFG的值最大，
SEFG =S平行四边形ABCD -（SAEF +SBFG +SCEG +SCDE），
SAEF +SBFG +SCEG +SCDE的和最小，
即［（c-a）（h2-h1）-h2（b-a）+ah1］的值最小。
-h2（b-a）≥0，当积等于0时，值最小，即b=a，因此G与C重合。所以，最大三角形EFG面积，即为三角形ADC，SAEF +SBFG +SCEG +SCDE的最小值为ah1，因此最大三角形的面积为S = ah1- ah1 = ah1。（第二、第三、第四种与第一种证法相同，不再赘述）
综上所述，在平行四边形中剪一个最大的三角形，最大三角形的面积是原图形面积的一半。
（三）讨论与建议
如果把数学比喻成一条常流常新的河，那么数学史便是这条河的源头，涓涓细流助推着河水奔腾向前，最终汇入自然科学的大海。接下来，我将以小学数学人教版教材为例，从渗透数学史的意义、如何在课堂教学中渗透数学史两个方面谈一点自己不成熟的看法：
1.在小学数学中渗透数学史的意义
1.1培养学生的爱国情怀；六年级上册数学课本中“圆”这一单元已经开始接触圆周率，这时候可以自然的介绍刘徽与祖冲之的功绩。当我在课堂上说到外国科学家得到与祖冲之同样的结果已经是一千多年以后时，孩子们啧啧地赞叹起来，民族自豪感也从心底里萌发出来。同样是六年级教材中的鸡兔同笼问题，在授课之余顺势引出《孙子算经》这本书，除了可以介绍“鸡兔同笼问题”曾远播海外，还可以介绍“中国剩余定理”，这项杰出的发现再一次领先了西方人整整一千三百年。小学阶段的这种引导弥足珍贵，它会在孩子的心里深深的扎根，为中国数学曾经的辉煌灿烂而骄傲。
1.2培养学生的学习兴趣；在五年级下册“因数与倍数”这一单元中，需要孩子们记忆五十以内的素数，孩子们背的晕头涨脑，但是效果并不理想，反而产生了厌烦情绪。万般无奈之下，我带着他们玩起了游戏，游戏很简单，工整的写出1―50的数字，然后从2开始挨个划掉它们的倍数……老师们一定已经猜到了，这是在引导孩子们自己做一遍筛法。当划掉7的倍数之后，我笑的看着孩子们，有几个机灵的小家伙立刻反应过来了，其他孩子也都很快明白了。“自己做出来的表，还好意思说背不下来吗？”小家伙们又一次自信满满的背了起来。
在讲授转化策略的时候，我曾给孩子们讲过这样一个故事：一个数学家应聘去当消防员，主考官问：“如果房屋着火了该怎么办？”数学家按照自己恶补的消防知识进行了作答。主考官又问：“如果房屋没有着火该怎么办？”数学家皱了皱眉，很快说道：“那我就先把房屋点着，这样这个问题就与前一个问题完全一样了。”孩子们把它当做一个笑话来听，在笑声中理解了转化的策略：将未知的问题转化为已知的问题。当然，出于教师的敏感，免不得要提醒几句类似“危险动作、请勿模仿”之类的话。
1.3提高学生的数学素养；数学素养这个词很时尚，大家都喜欢拿来用，同时也很抽象，很难界定何谓“数学素养”。以我的理解，数学素养应该是对数学的了解、理解和应用能力。
在三年级下册讲授“重叠问题”时，我简单介绍了德国数学家康托。康托发现了“集合论”，但是他的理论最初却并没有得到数学界的认可，在郁郁不得志中，康托患上了严重的精神病。孩子们在震惊之余也感受到了，探求真理是需要付出代价的，与康托的坚持相比，我们平时学习中遇到的小困难又算得了什么呢？
在四年级上册讲授“垂直与平行”一课时，我简单介绍了罗巴切夫斯基发现的非欧几何，这里不需要给孩子们讲解冗长的概念，只需要让他们知道原来除了我们正在学习的数学世界，数学还有其他的奇妙世界。也许若干年后，当这些孩子长大了，当他们开始接触非欧几何、近世代数、罗素悖论……童年埋在心里的另一个数学世界就会悄悄展现出来，而不至于因为那些与原有的数学理念格格不入的东西而感到恐慌。
2.如何在课堂教学中合理渗透数学史
2.1根据学段不同选择合理的方法；低段教学中不建议渗透数学史，即使是最简单的如古希腊龟兔赛跑的故事，也往往蕴含着深刻的数学思想在里面，一、二年级的孩子很难理解这些，更谈不上产生共鸣。与其在低段不切实际的渗透数学史，倒不如自编一些孩子能够接受的数字宝宝故事来得恰当。
在中段教学中，可以适当的引入一些与课程内容相关的数学史知识，但内容不宜过深，最好以故事的形式出现，点到为止。在这一阶段，数学史仅是课堂的调味剂，学生能大致了解历史上有这么个人有这么个事即可，不必探究一些过于艰深的知识。如果能在三、四年级坚持渗透数学故事，孩子们可以记住不少著名的数学家。
在高段教学中，如果选择恰当，则完全可以利用数学史来辅助教学，使孩子们对所学内容理解的更深。比如在讲授“比例”时，可以向孩子们提到《几何原本》，在讲授“因数和倍数”时，可以向程度好的孩子介绍欧拉关于素数无穷多的证明。通过数学史的渗透，不仅可以使孩子们对小学所学的知识掌握更扎实，也可以使孩子们对一般证明和反证法等知识有一个浅显的了解，为以后中学的学习做好铺垫。
2.2根据与课程联系紧密程度合理分配；教师应当对数学史内容进行甄别，并在课堂教学中合理的使用。有些内容只是与教学相关的史料故事，仅仅为了增加孩子们的知识面而出现，可以放在这节课的最后作为了解内容，或者由孩子自己查阅资料准备，作为课前三分钟的展示呈现；有些内容与课程联系紧密，适合作为一节课的导入，教师就应当在备课的过程中精心准备，力求用它来突破重难点；有些内容能够辅助教学，则应当在教学过程中潜移默化的渗透，达到润物细无声的效果；有些内容相对艰深，但对程度好的孩子来说属于“跳一跳够得着”的范围，则可以课后单独辅导，并鼓励孩子自己多做了解，避免学优生在课堂上总是“吃不饱”。当然，对于数学史内容的选择，每一位老师都会有自己不同的见解，可谓见仁见智，不能苛求统一。
那么，教师如何在课堂教学中创造性地使用课后材料，并进行有效的拓展，使课堂因拓展而流光溢彩呢？笔者结合自己平时的教学实践，谈一些具体做法。
一、溯根追源，丰富学生的情感与视野
数学是一门有着悠久历史的学科，它的好多知识往往有着其特有的背景知识。课后的“你知道吗”就是试图通过让学生接触有关数学家的故事、数学趣题与数学史料，帮助学生了解数学知识的产生与发展。但由于教材的篇幅有限，教师不可能长篇介绍。那么，这些课后材料该以怎样的形式走进课堂与学生对话，让学生在学习的过程中感受数学呢？
（一）融于新知教学
“你知道吗”通常安排在教材的“做一做”或练习的最后部分，因为一般不作为考查的内容，所以在实际教学中往往被一带而过，这样，它所肩负的数学史教育价值功能就无法落到实处。其实，有相当一部分的“你知道吗”可以结合新知教学，作为新知的引入，也可以穿插在新知教学过程中，帮助学生对新知的理解。如在“年、月、日”一课的教学中，学生在认识时间单位年、月、日时，可利用手头的年历探究平年、闰年，得出一般规律。
例如，教师可用课件出示相关资料：
我们现在用的日历叫阳历，也叫太阳历，把地球绕太阳一周的时间定为一年，而地球绕太阳一周的时间是365天5小时48分46秒，这样按365天来计算的话，每年将近多出6小时，积4年就加1天在2月份。这样平年一年365天，4年一闰年，这年是366天。但是每年如果均按多6小时计算，这样就多算了11分14秒，为了避免积累的误差，就规定碰到整百年时，只有除以400没余数的才是闰年。概括起来说，就是：“四年一闰，百年不闰，四百年又一闰。”
在巩固练习小结后再出示资料：
我们现在用的阳历，是从西方传来的。最早采用阳历的是罗马。每年12个月，大月31天，小月30天，是人定的，2月有时28天、有时29天也是人定的，这人就是罗马皇帝。他们不喜欢2月，2月要杀犯人，所以天数少一些。7月、8月都是大月，那是因为它们是两个皇帝出生的月份。只有一年365天5小时48分46秒是大自然定的。
全课总结时出示：
聪明的人总是善于利用时间，愚昧的人则善于消磨时间。
勤奋的人抓紧时间，懒惰的人浪费时间。
严律的人珍惜时间，散漫的人虚度时间。
在上述的教学中，笔者就是把课后材料“你知道吗”有机整合到教学中，并补充罗马历与惜时教育，整个教学过程有效地促进了学生对数学知识的深刻理解，也使课堂更具有启迪智慧与传承文化的意蕴。
（二）另辟阅读时空
看书阅读，似乎与数学课八竿子打不着，但数学作为科学的皇后，她有着深厚的历史背景、文化底蕴。课堂中进行拓展材料的阅读只是微微打开一扇通往数学世界的窗口，而倡导课外阅读，能让学生真正在数学世界中遨游。
要开展数学阅读，首先需要解决阅读材料的问题。但教材中出现的阅读材料次数可以说是屈指可数，因此可根据学生所处的年级段，订阅相匹配的数学杂志或报纸，如《数学大王》《数学小灵通》《小学生数学报》等；也可向学生推荐数学的专著与书籍，如《小学生学好数学教材的新数学课资料大王》、张景中院士的《数学家的眼光》《帮你学数学》《新概念几何》和李毓佩教授的《爱克斯探长》《荒岛历险》《奇妙的数王国》等等。有了阅读材料，学生会自觉地、饶有趣味地利用课余时间进行阅读。同时，结合阅读开展一些展示活动，如展示自编的“数学小报”“数学剪贴本”，在每期黑板报中开辟数学专栏“我+数学=聪明”等，也可每一学期安排几节数学阅读课，组织学生进行专题阅读和主题交流，使数学阅读的资源更加丰富。
二、题组推进，拓展思维的广度与深度
数学知识不是孤立存在的，这些课后材料往往是所学知识与能力的拓展与提升。倘若让学生就题解题，那估计有多数学生找不到北，一部分学生虽能解答，但对“为什么这么做”还模模糊糊。如果教师能把握教材，善于利用观察和联想，引领学生从一个点生发出去，连点成线，那在整合的过程中，学生的思维将变得更加缜密与深刻。
（一）沟通联系，拓展广度
挖掘习题中隐含的思维价值，做到以一题带出一片，尽可能让练习价值得到最大化的发挥，使学生储存在大脑中休眠的知识被激活，得到有效的融合。如五年级上册“多边形的面积”课后设计了这么一道题：
你能在一组平行线间画出与ABC面积相等的三角形吗？
拿到这类题，学生首先想到的就是同底等高、等底等高的两个三角形面积相等。这时，教师只要顺势引导，学生就不难想到的是图1、图2两种。
这个时候，教师还可将习题中隐含的思维价值加以挖掘：“要是让你画一个形状、大小相同的三角形，你有哪些方法可以做到？”这样就打开了学生的思路。在教师的进一步引导下，学生还会想到利用学过的平移、对称等知识来解决出现的新问题，这样就打通了各知识点之间的通路。
（二）开放改编，拓展深度
拓展题往往带有一定开放性，如果把其中的条件或问题稍加改编，便可改造出一组由易到难、由浅入深的习题，达到以点带面、循序渐进地训练学生思维的目的。如五年级下册第37页带“”的题。
“如何把这个长方体木块分成两个棱长为4厘米的正方体？两个棱长为4cm的正方体总表面积与这个长方体的表面积相等吗？”
改编1：计算长方体的表面积与体积。
改编2：将“如何把这个长方体木块分成两个棱长为4厘米的正方体”改为“切一刀，把这个长方体分成两个完全相同的小长方体，有几种切法？哪种切法表面积增加得最多，是多少”。
改编3：将教材中把长方体木块分成两个完全相同的正方体，求表面积增加了多少，改编成“两个完全相同的正方体拼成一个长方体，表面积有什么变化”，这样一正一反、一增一减，学生的发散性思维得到了很好的锻炼。
改编4：如果在这个长方体木块上挖去一个小正方体，表面积会有什么变化？
改编5：至少要拿几块这样的长方体才能拼成一个较大的正方体？
像这样，将一道题经过改造带出了一组题。并且这组题，不同思维层次的学生均能找到属于他的那片天空，通过层层演练，思维被诱向纵深地带。
三、深度挖掘，渗透数学的思想与方法
思考题往往蕴含丰富的数学思想、方法和解题技巧，其核心价值在于引发学生的数学思考，提升学生的数学思维水平。实际教学中，往往需要教师“借题发挥”，巧妙改编，适度引申，开启学生的思考之门，提升学生的数学素养。
如人教版新教材一年级上册有这样一道思考题：在里分别填上3、4、5、6、7，使每条线上的三个数相加都得12。
师：对呀！因为三角形每个顶点上的数都要用到两次，因此，填数时先确定三个角上的数就比较方便。
师：刚才，同学们都很棒，闯过了第一关，现在到了第二关：如果每条线上的三个数相加和是13，你会填吗？
因为有了刚刚的经验，学生也知道先确定顶点上的三个数，边上的数再进行微调，不久就得出了答案。
师：要是不固定2的位置，只要每条线上的三个数相加和都相等，你还能想出几种办法？你又有什么发现？
学生经过尝试、讨论、交流、观察、概括等过程，发现三个顶点上的数无非有这么几种情况：一是放开头或结尾的三个数，即2、3、4或5、6、7；二是三个连续的双数或单数，即2、4、6或3、5、7。每条线中间的那个数需要根据顶点上那两个数来放，如果顶点上的数是两个比较小的，那中间就放剩下数中最大的那一个；顶点上两个数比较大的就放剩下数中最小的那一个。
一开始，因为数据较小，加上又是教材中的题，学生可能事先就已经进行过多次尝试，所以基本上都能得出正确答案。可是好多学生基本上处于凑数的阶段，他们在不断的失败中方才获得成功。除了训练了学生的计算能力外，思维层面还没有得到很好的锻炼。随着问题的一个个推进，学生靠凑数已经很难解决问题，必须寻找题目中隐含的规律。最终，在学生建立了模型后，教师再提出“把3～8分别填入……”这样的练习，从而进一步巩固刚刚建立的模型思想。像这样，将函数、模型、推理等思想融入习题中，学生从简单的数学问题中探索出一般数学规律和方法，习题的价值将更加彰显，学生的思维水平将得以更大的提升，并自然真切地享受到成功的喜悦。
“知识要像一串葡萄，学完能拎起来”
陈立华是以“教学”出名的。
《数学》三年级上册，第一单元标题叫作“一位数的乘法”。根据教科书的安排，应先教一位数乘二、三位数，每位乘积不满10，以解决乘的顺序问题；接着教一位数乘四位数，引导学生类推；然后教某位乘积满10的和每位乘积都满10的，着重使学生理解积满10进位的道理，并掌握进位的方法。算下来，33页内容，传统教学通常需要21课时。
陈立华没有按部就班，而是对这部分知识动起了脑筋。在她看来，数学知识是一个结构严密的整体，“任何一课、一单元乃至一册书，都不是知识孤岛，而是联系紧密、协调发展的。不仅如此，小学阶段还可以跟中学阶段相呼应、衔接。因此，必须从知识的整体结构和知识、技能协调发展的高度，来研究每一个局部知识、技能的地位和作用。”基于这样的思考，她在备课本上写下了整个单元的关键所在：
知识的连接点：加法与乘法的联系。（24+24+24——24×3）
知识的生长点：“加数相同的（不分步）连加竖式算理”与“乘数是一位数乘法”有共同的算法。
在具体的教学设计中，她首先安排了口算练习（24+24+24），并要求学生说出算理。在她看来，这一环节可以深化学生对于“数位”、“计数单位”、“进率”等核心概念的理解，为引入新知识、突出重点、难点铺设一条道路。
当学生理解了加法和乘法的基本算理之后，陈立华才开始新授课的讲解。
第一个例题是：24×3。此举意在解决乘法竖式的写法、运算顺序以及解决“满十进1”这一知识点，达到对乘法技能的初步理解。
第二个例题马上升到三位数：128×5，且在进位上也增加了难度。从学生对算理的叙述过程来看，显然存在着挑战。因为它失去了加法算式的支撑，学生必须确立新的思维支撑点。
尽管如此，学生在第一个例题中初步形成的技能起到了关键的迁移作用：学生明确了先用3去乘个位上的“4”，再用3去乘十位上的“2”。现在则变成用5去乘“1”、“2”、“8”三个数，只要及时告诉他们进位的规则，学生就可以较好地完成这一步。
第三个例题是：2304×8。这一步，陈立华大胆地将被乘数由三位变为四位，同时让学生试着处理中间有“0”的情况，在此基础上，引导学生总结算法。
紧接着，陈立华又抛出了2700×3，通过变换“0”的位置，强化了学生对于“计数单位”这一概念的理解，从而使新形成的技能更加深刻和准确。
一节课下来，陈立华顺利完成教材中21节课的关键内容。究其“秘诀”，无非是整体把握教材的知识结构，运用迁移原理，找到知识的“连接点”和“生长点”。对此，陈立华形象地概括说：“我始终坚信，没有孤立的教学。知识要像一串葡萄，学完能拎起来。”
正是凭借这个“拎葡萄”理论，小学阶段的12册数学书竟然被陈立华浓缩到58节课：原本需要39课时的“百以内数的计算”，被陈立华这么一“拎”，只需讲“竖式计算”、“进位加法”、“退位减法”三节课就够了；原本需要20课时的“除数是一位数除法”，仅需一节课；不仅如此，在后期的实验中，陈立华还将整数四则运算（加、减、乘、除）的内容，广泛迁移到分数运算、小数运算以至以后的代数运算中去，并归纳出它们的核心和本质——相同计数单位相加减，实现了知识教学与技能训练的融会贯通。“如果学生掌握了这个核心概念（指“相同计数单位相加减”——作者注），计算中涉及的大量问题就会迎刃而解。我自己做过尝试，整个小学阶段，包括整数、分数、小数的加减问题，共有109课时，如果归结到相同单位相加减的问题，3课时就可以解决。在这个过程中，不但可以帮助学生建立知识和知识之间的联系，更重要的是培养了他们的迁移能力和数学思维能力。”
窥一斑，见全豹。不难看出，陈立华对于恩师马芯兰以“开发学生智力、减轻学生负担、提高教学质量”为主旨的教学改革与实验可谓谙熟于心。“在我看来，马老师的探索非常有意义。比如，很多数学老师都认为小学、初中的知识没有什么太多的关系，但马老师教过的五年级学生甚至可以达到中学的知识要求。她在教学时不单单站在小学的角度，而是将知识看作是一个整体，以它为载体，实现对学生能力全方面的培养。从这个意义上说，没有孤立的教学，永远不要低估小学教育所能达到的高度。”
值得一提的是，在第一个例子中，除了课堂讲授环节的准确精炼，陈立华对于课后的巩固练习亦别有心裁：第一周每天早自习做6道计算题，上课时，前30分钟进行新课，剩下的5至10分钟做2道计算题。接下来的每周做2～3次计算练习，每次1～2道。
根据陈立华的统计，这种把讲新课同技能训练相结合的整体设计（“讲”与“练”交错进行）所取得的效果与以前的“一例一练”相比，表现出明显的优势，分散练习所用时间要比传统的集中练习所用时间缩短至少一半。我们都知道，在传统的计算教学中，巩固环节是师生最头疼的问题之一：练，学生乏味；不练，错题率明显回升。以致每每到了期末复习，计算部分的漏洞总是最难弥补。但在陈立华的课堂上，最开始一周结合新课、相对集中的练习，学生既不会感到单调，又能使初学的计算技能做到了“天天练，不断线”，提高了计算的正确率。一周后，错题率由5.9％降到2.1％。一学期后，基本上无错题。
陈立华说，自己的愿望并不复杂，“走进朝阳实验小学，通过这6年，要让孩子越学越聪明。所以，我紧紧抓住思维的迁移，让孩子学一道题，实际上掌握一类问题。”我们看到，正是这个并不特别复杂的愿望，让朝阳实验小学的孩子们能够轻松愉悦地学习，与此同时，学校的教育教学质量始终名列前茅。
“让原来凭经验、凭感觉的东西精细化”
在人们通常的印象中，小学日常工作中的“技术含量”似乎并不很高，只要按部就班，有足够的耐心，大抵都能应对。但是，在陈立华带领下的朝阳实验小学，我们看到的却是另一番情景：
这一天上午，五年级的王新宇老师要开始准备新课了。她首先进入数字化校园系统的“电子教材维护”、“教学资源维护”、“教学资源查询与统计”、“公共资源维护”四个板块，根据学科以及课程的关键词，查询相关资料，选取教学策略。随后，她对照系统中的“作业诊断”和“考试分析”板块，分析以往的相关数据，找出学生容易出错的地方，确定重点、难点和检测点，并在论坛上与同事们广泛交流，听取意见，最终形成教学计划。
很快，一周的课程结束了，四年级的吉心语同学进入自己的数字系统界面，看到了老师奖励的电子小五星，理由是他周四的口算练习不仅正确率高，而且书写认真、规范。与此同时，吉心语的妈妈通过学校发放的用户名和密码登录系统，也看到了这条消息，回想起孩子以往常犯的粗心大意的毛病，她高兴地在吉心语的“成长日志”中记下了孩子的进步。
学期临近尾声，要考试了，三年级的潘靖夫同学打开电脑，发现数字化校园系统已经把他在这一学期作业中出现过的错题全部积累起来，组成了特点鲜明、针对性强的“错题本”，并根据错题所对应的知识点自动生成个性化的练习题。对照着老师们编辑整理的《日积月累课堂效果检测与反馈训练》，潘靖夫进行了有针对性的复习与练习，集中强化自己的薄弱环节。
考试结束，作为学校管理者的张琪副校长打开数字化校园系统的“考试分析”板块，对教师组卷、质量分析、成绩趋势、历次成绩分析、在线考试结果分析、质量分析参数及试卷难易程序参数等多项内容进行详细的查看，了解每位教师的教学情况以及每个年级的整体情况，并在心里筹划着如何进行有针对性的指导以及开展专题性的教研活动。
不知不觉，一年过去了，即将跟随孩子们一起升入二年级的李响老师收到了这样的提示：这一阶段，要开始特别关注学习有困难的学生。将要升入四年级的聂航老师则被提示：教学之余，要特别关注学习优秀的孩子。心怀疑惑的李老师和聂老师从数字化校园系统中探寻到了提示背后的科学依据，并积极向相关老师寻求帮助，思考和制定未来的教育教学策略。
上面反复提到的“数字化校园系统”，是陈立华和全校教师共同智慧的结晶。自2003年建设笔记本电脑班开始，到2008年建设校园网络，朝阳实验小学全方位规划了这个别具特色的数字化校园系统。2009年2月，以“一校之力”组织开发的涵盖教育科研、学业诊断、数据交换、安全、德育、自动系统和门户7大平台的“数字化校园系统”取得成功，并获国家版权局专利。
数学教师出身的陈立华，极为重视科学依据，坚持清晰而科学的思维品格。在她看来，要真正提升教育、教学、管理的品质，必须确保各项活动的科学性。“让数据自己说话，让原来凭经验、凭感觉的东西精细化、具体化，针对性也更强。”这话说到了师生以及家长们的心坎上。比如，仅就教学而言，及时根据学生的情况对教学内容和进度进行有效调控，这个道理显而易见。但是，真正做到却非常困难，会受到诸多因素的制约。它需要长期的教学经验积累，需要对所教知识的深入把握，需要对学生情况的精准把握，等等。而数字化校园系统恰好能够很好地满足这些需求。上面提到的“二年级起关注学困生”的例子，便是从一个毫不起眼的数据——学生利用课堂投票器反应作答的时间一一中得出的。“作答时间的长短，很大程度上是以学生对相应知识的理解为支撑的，理解得越好，反应得越快，作答时间自然越短。”基于这个假设，从2009年开始，系统积累有效数据约15000人，次，在此基础上，陈立华带领老师们进行了细致的研究。一至六年级学生平均反应时间如何？一至六年级优秀生／学困生平均反应时间如何？不同年级的学生对易、中、难不同难度题目的反应速度又如何……研究发现，学习困难的学生在二年级之前反应时间没有明显的规律，从三年级开始到五年级，他们对不同难度的题目的反应时间变化明显，尤其是对难题的反应时间持续增加。而学习优秀的学生从四年级开始才会有明显的区分。从这个意义上，二年级开始特别关注学习有困难的学生，是最为明智的选择。否则，随着年级的增加，他们在学习上遇到的困难会越来越大。同样的道理，对于学习优秀的学生，则应从四年级开始进行特别关注——李老师和聂老师收到的提示由此而来。
看到这里，不由得让人感叹：小学教育也可以很不简单！通过数字化校园平台，所有数据实现联动，大家各司其职，与自身工作完美整合，每个人既是系统的使用者，也是系统数据的提供者。教育、教学、管理的每个环节都高效地整合起来，成为有据可循、高度理性的统一活动。这才是陈立华心目中理想的“数字化校园”：直指学校教育教学和管理的核心，成为减轻学生负担、提升教育质量的有力工具。
“学校要给学生感受幸福、追求幸福、创造幸福的能力”
在采访过程中，我们发现了一个颇为有趣的现象：陈立华的数学思维和科学精神，似乎总是以极具感性的面孔出现：
她感叹毕业考试全班无错题的现象：“与其说是六年教学成果的体现，其实更是一种情感的体现，是孩子们与我六年积累的默契，是可意会而不可言传的感觉。我知道他们是为了我，为了给我一个奇迹。”
她欣慰数字化校园系统的长久效应：“试想想，20年、30年以后，这些已步入中年的曾经的学生们，能通过一个账号、一个密码看到自己小学6年完整的成长记录，去重新翻开尘封已久的童年色彩、缤纷的往事，得到的该是怎样的惊喜和甜蜜。这是一份多么特别的礼物啊！”
……
这让人想到一句老话：没有爱便没有教育。与世界上的许多职业和行业不同，除了需要具备高度的科学性和理性，教育还需要付出大量的爱心和情感。正如陈立华评价数字化校园系统时所说的：“没有哪一种教学技巧与手段，可以成为情感的替代。”在近20年的从教生涯中，陈立华不仅坚持着严谨的数学思维和科学精神，更倾注了自己对于教育事业的热爱与责任，二者水融，共同构筑了她对于小学教育整体功能与地位的深刻认识——为幸福人生奠基。
现如今，这句话已成为整个朝阳实验小学的教育宗旨。我们看到，学校积极探索更加高效的教与学的方式，设计开发专门用于减负的课桌椅，发放特制的A4纸大小的轻薄书包，每天用一节课的时间专门加强体育锻炼，专门开设各种兴趣课程如影评、表达、舞蹈、西班牙语等，并请来在相关领域卓有成就的人士为孩子指导，组织“日出朝阳——学生综合素质展演活动”，把孩子送上人民大会堂的舞台，参加建党90周年“我们的旗帜”大型文艺汇演等。朝阳实验小学正努力为孩子创造一个可充分发挥潜质、释放能量的空间，让孩子们置身于足够大、足够优越的发展平台。经风雨、见世面，让他们成就尽可能多彩的童年，搭建尽可能广阔的未来。
“学校能给孩子幸福吗？”我们总结式地发问。
陈立华想了一下，“幸福没法儿简单证明，也不是教育完全能决定的。”
“那么，提出幸福教育的意义何在”？我们追问。
一、挖掘教材中的合情推理素材
学生合情推理能力的培养显然离不开合情推理素材，那么合情推理素材究竟缘何而来？小学数学教材中就大量存在，这就需要教师炼就一双慧眼去充分挖掘。对于教材中有着或多或少明示的显性合情推理素材，教师可将新知识与旧知识密切联系，思考解决问题的入手点。如在教学“一个数除以小数的竖式计算”时可将其与“整数除法竖式”相联系，依据商不变的规律弄清算理。而隐性合情推理素材的挖掘则显得稍为困难些，需要老师仔细分析和挖掘教材，从而找到解决问题的方法。如在“三角形的面积”教学时，教材中只提示了将其拼成平行四边形这一种方法，其它剪拼方法则需教师去引导。
二、重视引导学生进行合情推理
1.巧妙地设置问题情境
设置一个巧妙的问题情境相当于设下一个具有强烈诱因的悬念，可以诱发学生探索问题解决途径的强烈兴趣。在新课教学环节，老师创设合理情境，巧妙设计问题，激起学生学习新知的欲望，主动思考，迸出思维的火花，为合情推理能力的培养营造一个良好的氛围。如在人教版二年级下册“余数与除数的关系”教学中，老师让学生比较每个除数是4的有余数的除法算式，然后设置问题情境：余数与除数有什么关系？从而引发学生大胆猜想“余数比除数小”，接着通过除数是4、5、6的除法算式验证结论的正确性。
2.培养学生良好的观察习惯
著名的万有引力定律等很多科学定律的发现都源于人们对事物的仔细观察。同样，数学中的很多定理也离不开数学家的细心观察，并且在发现之后才得到严格论证，证实其真实性。养成良好的观察习惯，有助于学生发现解题的关键，对培养学生的合情推理能力也有着重要意义。因此，老师应在日常教学中有意识地培养学生的观察习惯。如在教学有关数的性质、规律时，老师要有意识地引导学生去观察数，养成良好的观察习惯。
3.设置适当的操作活动
小学生年龄尚幼，抽象思维并没有得到完善发展，他们对直观的、可操作的活动怀有很大兴趣。设置适当的操作活动不仅可让学生投入到快乐地思考和学习活动中，还可使学生实实在在的经历观察、猜测、推理的思维过程。学生对实物的直接操作实验更是加深了知识在脑海中的映像。如在学习人教版五年级上册数学“平行四边形面积”这一课时，让学生自己动手裁剪四边形，并拼成已学过了的长方形，再类比长方形面积公式从而推出平行四边形的面积公式。
4.鼓励学生大胆进行猜想
猜想不仅是合情推理的思维方式，也是合情推理的重要环节。对于一些问题的探究，“猜想――验证”是一种典型的解决问题的路径。哥德巴赫在观察3+7=10，3+17=20，13+17=30等算式的基础上进行了大胆猜想，提出了著名的哥德巴赫猜想。可见，培养学生的大胆猜想能力也是教师的一个目标。当然，在教学中，学生的一些猜想未必都是对的，比如在“数的整除特征”学习时，学生对“被3整除数的特征”的猜想会受到“被2、4整除数的特征”影响，会从末几位数入手，提出错误的猜想。这时教师一定要及时给予学生鼓励，让学生即使在有错误风险的情况下仍敢于猜想。
5.引导学生学会类比与联想
在小学数学中，很多的知识都是类似的，比如“小数的加减乘除法则”与“整数的加减乘除法则”，“分数的运算定律”与“整数的运算定律”等。如果学生在学习新知识时能联想到类似的旧知识，然后进行类比，找出新旧知识之间的本质联系，举一反三、触类旁通，实现正迁移。不仅可以快速消化新知识，还可以加深对旧知识的理解，将新旧知识进行完美的融合，实现知识在不同领域的过渡，从而构建一套完整的知识体系。因此，在教学过程中，老师要引导学生主动进行类比与联想，培养学生的合情推理能力，从而提高数学学习的能力。
比如在教学“圆柱的体积公式”时，老师可通过引导学生复习“长方体的体积公式”，让学生进行类比与联想，培养学生的类比推理能力。又如在教学六年级“比的性质”时，根据除法、分数和比三者之g的关系，引导学生通过与“商不变的性质”、“分数的基本性质”进行类比，从而推导出“比的性质”。
6.及时反思与评价
对合情推理能力的培养不能只止步于问题的解决与结论的发现，反思与评价同样是培养合情推理能力中不可遗漏的重要环节。在得出结论后，对解决问题的全程回顾与反思，可以帮助学生修正之前不正确的猜想，同时强化学生的逻辑推理，将有用的经验和思想纳入自己的认知结构中。在平时，教师可多提类似“刚才我们是怎样解决问题的？先干什么，后干什么？”等问题帮助学生及时反思。另外，教师也要对学生的合情推理过程进行及时反馈与评价，帮助学生查漏补缺。
三、要阶段性、差异性地培养学生合情推理能力
1.根据学生的身心发展
小学阶段是学生身心迅速发展的关键时期，他们在不同的成长时期对知识的接受程度是不同的，所具有的合情推理能力也是不同的。老师在数学教学时应根据学生的身心发展规律和已有的知识经验，分层次、有阶段地开展合情推理教学活动。如学生认识平行四边形是用归纳推理，难度较低，适合低年级学生学习，而平行四边形的面积公式的推导是用类比推理，低年级学生学习难度较大，而高年级学生学习难度就不大。
2.关注学生的个体差异
一个群体中，每个学生个体的学习水平和认知经验都是有差异的，老师在教学时要充分考虑学生的个体差异，可为不同发展水平的学生制定适合的教学目标，因材施教，让不同层次的学生在合情推理能力上得到不同的发展。
四、处理好合情推理与演绎推理的关系