时间：2022-10-24 06:54:46
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学思想，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
数学课堂教学是教师“主体表演”的过程，是语言、动作、板书演示、语言交流、情感交流等融于一体的过程。在这种过程中，往往既能反映出教师专业基础知识的情况，又能反映出教师对教学理论的掌握情况，同时还可反映出教师的数学思想的有关情况。实践证明，在数学教学中，数学思想、方法已经越来越多地得到人们的重视，特别是在数学教学中，如何使学生较快地理解和掌握数学思想、方法，更是我们广大中学数学教师所关心的问题。
一、对中学数学思想的基本认识
“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。
通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。
关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。
二、数学思想的特性和作用
1、数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法
我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
2、数学思想深刻而概括，富有哲理性
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。
3、数学思想富有创造性
借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。
三、数学思想的教学功能
1、数学思想是教材体系的灵魂
从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。
2、数学思想是我们进行教学设计的指导思想
关键词 中学数学 函数 函数思想
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052
An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School
ZHAO Sheng
（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）
Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.
Key words middle school mathematics； function； function thought
函邓枷胧窃谑学的发展史中形成的，它是人们对函数知识的本质性认识，来源于函数的基础知识，它在中学数学教学中起着重要的作用，是教材体系的灵魂。在中学数学函数教学中，加强函数思想教学可以帮助学生更好地理解函数知识、形成正确的教学观念和优秀的数学精神；它是落实素质教育的有效途径和重要手段；还可以提高教学质量与教学水平；有利于培养学生的辩证唯物主义能力与函数应用能力。随着数学教育的改革与发展，中学数学函数思想日趋凸显，从事数学教育以及一些数学学习者越来越认识到函数思想的重要性。函数是支撑中学数学的骨架，是中学数学最重要的内容之一，贯穿整个中学阶段。从历年中考、高考的情况来看，以函数为核心编制的题目立意新颖，知识覆盖面广，灵活性较强，有比较理想的选拔功能。所以函数思想有极高的研究价值。作为数学教育工作者了解函数思想的产生、发展和特点，掌握函数运动的发展规律，形成正确的教学观，从而提高对数学知识的驾驭能力。本文通过对中学数学函数思想的研究来指导教育工作者更加有效地进行教学，同时也为新课改提供有力依据，给学生的学习指引正确的方向。
1 函数思想在中学数学中的应用
函数是数集之间的特殊映射，反映事物的内部联系，纵观整个中学阶段，函数将大部分数学知识紧扣在一起，形成一个以函数为中心向四周扩散的知识网络，而函数思想则是形成这个知识网络的灵魂。函数思想的应用就是对于一些实际问题、数学问题构建一个函数模型，应用函数的基本性质更快更好地解决问题，而构造函数模型是函数思想的重要体现。接下来笔者将从以下几个方面阐述函数思想在中学数学中的应用。
1.1 函数思想在中学数学中的宏观应用
函数思想的宏观应用也就是函数性质的直接应用，即应用初等函数的基本性质（定义域、值领、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、对称性、图像等）求解有关的值、讨论参数的取值等问题，只要掌握函数的基本概念与性质，直接对其加以简单应用就行，直观明了，同样也是函数思想的简单体现。
例1 函数 （） = + 3 + 有极值，又在其曲线上极大和极小的点分别为、，若线段（不含端点）与曲线交于点（1，0），求的值。
分析：首先弄清已知条件，已知①一个含参数的三次函数；②函数有极值；③有极大和极小点，；④线段（不含端点）与曲线交于点（1，0）。解题目标是求的值。
由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。
（0，），（， + ）
再由点（1，0）在曲线上以及三点共线，解得
这个结果是否正确？还是要注意题目的条件，即条件④中有一点容易被忽略，这就是点应在线段的内部，因此应满足0
1.2 函数思想在中学数学中的微观应用
函数与方程、不等式、角、数列等均有不同程度的内在联系，将一些非函数问题转化成函数问题、构建函数模型就是函数思想的微观应用，也就是函数的间接应用，此类题型可以锻炼学习者的发散思维和逻辑推理能力。接下来将以几个实例加以说明。
1.2.1 活跃在方程、不等式中的函数思想
函数与方程、不等式有着千丝万缕的关系，绝大多数方程与不等式的研究需要依靠函数来实现，而函数性质的研究则又需要依赖方程与不等式来完成，所以他们是相辅相成的。比若说求定义域、函数单调性证明都需要借助不等式来完成；而解方程又是求函数的零点。所以在解关于方程与不等式这类题的过程中应该考虑以函数为工具，加强函数、方程、不等式的综合应用能力，系统掌握数学各个模块的知识。
例2 证明不等式0）。
分析：证明不等式有很多种方法，可以通过作差、作商、反证、放缩、构造等不同方法来实现，根据不同题目选择合理方法可以达到事半功倍的效果。通过观察，本题通过构造函数的方法来证明，再根据函数单调性来实现不等式大小，既方便又快捷。
证明：要证0），即证
令 = ，（>0）
当>0时， = 1 / （1 + ）即
= 在（0，）上为单调递减函数
那么就有0）
即 =
小结：本题通过构造函数证明该不等式，是应用函数单调性求解问题的典型例题，通过导函数来确定函数的单调性，进而证明不等式，思路清楚，方法简单易懂。
1.2.2 三角函数思想的呈现
例3 已知为锐角，且，求的值。
分析：由的构成特点，本题的化简变形，不宜按常规对的三角函数都采用降次的作法，而需把已知表达式中的含的三角函数升次，含的三角函数降次，即凑出和的表达式出来。
解：由（1），得3 = 2 （3）
由（2），得3 = 2 （4）
（3）鳎？），得 = （） = 0，
因为为锐角，所以0
1.2.3 实际问题中的函数模型
在数学学习中，我们会遇到很多抽象的数学问题，如果直接求解会非常困难或者是直接解不出来，这是我们应该充分应用所学知识，试着应用函数的思想去考虑，试着建立函数关系式，让抽象、复杂的实际问题转化为简单的函数问题，再应用函数的基本性质将它求解出来，这就是应用函数思想求解数学实际问题的基本套路。
例4 （2012浙江省嘉兴市）某汽车租赁公司拥有20辆汽车。据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元。设公司每日租出辆车时，日收益为元。（日收益=日租金收入平均每日各项支出）
（1）公司每日租出辆车时，每辆车的日租金为_______元（用含的代数式表示）；
分析：本题为综合性题目，主要考查二次函数实际问题，怎样建立函数关系式与找等量关系，函数关系建立好之后结合实际函数图像做出解答。
解析：单辆车日租金为：50（20）+400 = 140050
2 中学数学教学中渗透函数思想的途径
中W数学函数教学最重要的目的就是打开学生的函数思维，提升学生们的函数素养，新一轮课程改革中，将函数思想作为必须掌握的教学要求，所以函数教学过程中不再一味地让学生吸收理论知识与概念性内容，而是让学生独立思考，老师引导，建立一定的函数思想基础，从根本上提升自己的函数应用能力。教学过程中渗透函数思想的途径很多，接下来介绍三种渗透方式。
2.1 应用函数思想探究数学知识
新的教育背景下，数学教学过程中应该注重对学生培养知识形成的过程，在数学知识的探索过程中（比如说一些公式、定理、性质的推导过程）就是数学思想方法的最佳体现时刻，因此教师在教学中，要重视公式、定理、性质的推导过程，尽量凸显其相关的数学思想，让学生掌握基本知识的同时，领悟数学真谛。下面我们以函数思想为实例，演示探究数学知识的过程中渗透函数思想。
2.2 在数学解题中渗透函数思想
在数学教学过程中，经常出现课堂上学生听懂了，但是课后做同类型的题目是就无从下手，其原因就是在教学过程中，教师就题论题，拿到题目就草率地解答出来，遇到此类题时照葫芦画瓢，机械操作，学生感到厌烦，学生没有真正认识到题目的出处，没有领略到数学思想方法。在数学解题过程中渗透函数思想也就是在数学解题过程中应用函数的思想方法去求解繁琐的数学问题，比如说用函数的单调性、奇偶性、最值等等基本性质将其复杂问题简单化。
例5 设不等式 + 2 + >0的解集为全体实数，求的取值范围。
分析：题设不等式的系数比较复杂，可通过另设变元的方法，使此题解题过程简化。
解：设 = ，则 = ， = ，
而原不等式化成（） + 2>0
由题意知，
解得
“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。
通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。
关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。
属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。
从质的方面说，还可分成表层认识与深层认识、片面认识与完全认识、局部认识与全面认识、孤立认识与整体认识、静态认识与动态认识、唯心认识与唯物认识、谬误认识和正确认识等。
二、数学思想的特性和作用
数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法
我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。
(三)数学思想富有创造性
借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。当时，数学家们在作这些探讨时是很难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。
三、数学思想的教学功能
我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。
(一)数学思想是教材体系的灵魂
从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。
(二)数学思想是我们进行教学设计的指导思想
笔者认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。
(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证
数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。
有人把数学课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，就是学生知识结构，思维方法形成的清晰程度和他们参与思维活动的深度和广度。我们可以从“新、高、深”三个方面来衡量一堂数学课的教学效果。“新”指学生的思维活动要有新意，“高”指学生通过学习能形成一定高度的数学思想，“深”则指学生参与到教学活动的程度。
关键词：小学数学;思想
一、方程和函数思想
在已知数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题，再把数学问题转化成方程问题，即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系，运用数学的符号语言转化为方程（组），这就是方程思想的由来。
在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，因为在算求解题时，只允许具体的已知数参加运算，算术的结果就是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象，这也是算术的致命伤。而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已知数一样，接受和执行各种运算，可以从等式的一边移到另一边，使已知与未知之间的数学关系十分清晰，在小学中高年级数学教学中，若不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。例如稍复杂的分数、百分数应用题、行程问题、还原问题等，用代数方法即假设未知数来解答比较简便，因为用字母x表示数后，要求的未知数和已知数处于平等的地位，数量关系就更加明显，因而更容易思考，更容易找到解题思路。在近代数学中，与方程思想密切相关的是函数思想，它利用了运动和变化观点，在集合的基础上，把变量与变量之间的关系，归纳为两集合中元素间的对应。数学思想是现实世界数量关系深入研究的必然产物，对于变量的重要性，恩格斯在自然辩证法一书有关“数学”的论述中已阐述得非常明确：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学;有了变数，辨证法进入了数学;有了变数，微分与积分也立刻成为必要的了。”数学思想本质地辨证地反映了数量关系的变化规律，是近代数学发生和发展的重要基础。在小学数学教材的练习中有如下形式：
6×3= 20×5= 700×800=
60×3= 20×50= 70×800=
600×3= 20×500= 7×800=
有些老师，让学生计算完毕，答案正确就满足了。有经验的老师却这样来设计教学：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点（找规律），答案的变化是怎样引起的？然后再出现下面两组题：
45×9= 1800÷200=
15×9= 1800÷20=
5×9= 1800÷2=
通过对比，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”，结论可由学生用自己的话讲出来，只求体会，不求死记硬背。研究和分析具体问题中变量之间关系一般用解析式的形式来表示，这时可以把解析式理解成方程，通过对方程的研究去分析函数问题。中学阶段这方面的内容较多，有正反比例函数，一次函数，二次函数，幂指对函数，三角函数等等，小学虽不多，但也有，如在分数应用题中十分常见，一个具体的数量对应于一个抽象的分率，找出数量和分率的对应恰是解题之关键;在应用题中也常见，如行程问题，客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程，而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程;再如一元方程x+a=b等等。 学好这些函数是继续深造所必需的;构造函数，需要思维的飞跃;利用函数思想，不但能达到解题的要求，而且思路也较清晰，解法巧妙，引人入胜。
二、化归思想
化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。
例： 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳4 1/2 米，黄鼠狼每次可向前跳2 3/4米。它们每秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12 3/8米设有一个陷阱， 当它们之中有一个掉进陷阱时，另 一个跳了多少米？
这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每 次所跳距离4 1/2（或2 3/4）米的整倍数，又是陷阱间隔12 3/8米的整倍数，也就是4 1/2和12 3/8的“ 最小公倍数”（或2 3/4和12 3/8的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉 入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。
三、极限的思想方法
极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。
【关键字】数学思想；数学思维；渗透；培养
数学学习的过程也是培养数学思维的过程，数学思维能力的高低关系到数学水平的高低，因此，在数学教学中应该注重培养学生的数学思维，在传授知识的同时揭示数学思维过程，把数学知识的积累和数学思维的培养统一结合起来。
一、在概念教学中渗透数学思想
数学概念是构成数学学科知识理论体系的基础，是反映数量关系和空间形式本质属性的思维形式，对数学知识的学习起到基础性作用，也是数学课堂教学中首先学习的内容。有些数学教师受传统教学方式的影响，只注重学生对概念的理解和应用，对概念产生的原因、背景、条件和形成过程不关心，这样使数学概念成为了静止孤立的定义，学生无法了解概念背后的精神和丰富的内容，不利于数学知识体系的形成。“函数”是数学教学的重点和难点，在学习“函数”的概念时，我们往往只学习函数的古典定义，即“变量说”定义，而对“函数”概念产生和发展的背景和过程不够了解。自从笛卡尔创立《解析几何学》开始，数学家们对“函数”的研究就一直在进行，代表人物欧拉，就给“函数”下过三次定义，直到迪里赫勒提出了我们现在使用的函数定义，实际上，函数的定义还有“关系说”和“对应说”，在课堂上，教师在介绍数学概念时可以只做一点引申，在课程讲解完或者课余时间，教师再对概念的背景进行讲授，在对数学概念形成背景的讲授中，可以让学生明白一个道理，那就是任何数学概念的形成都是有科学根据的，并且是数学家反复推理、实践得出的结论，在实践中不断完善和发展。
二、采用问题教学法培养学生的数学思维
学习和思考是相互促进、相互依存的关系，要想让学生积极主动的去思考，教师可以根据教学内容，合理设置问题，采用问题教学法来激发学生的思维，促使学生思考。教师设置的问题要贴近教学内容和学生的日常生活，并且要合理协调问题的难易程度，教师提出了问题，就会使学生产生解决问题的愿望，从而促进了学生的思维活动。教师设置了问题，使学生处在问题情境之中，从而集中了学生的注意力，提高了学生课堂学习的效率。根据创设问题的内容，可以把问题教学方法分为故事法、实验法、生活实例法、联系旧知识法等，研究表明，学生是否愿意主动的进行思维活动，不仅在于他们对这门学科的兴趣性和目的性，更在于这门学科能否帮助学生解决实际问题，也就是说学生是否感觉这门学科有实用性。在教师创设的问题情景下，带着问题思考，学生对教师传授的知识和理论更容易接受，并且经过思考后转化成自己的知识，培养了学生的数学思维能力。
三、激发学生学习数学的兴趣
兴趣是学生最好的教师，由于数学学科的理论性强、难度大、推理复杂，很多学生对数学望而生畏，觉得数学是一门及其枯燥的学科，在这种的心态下，学生不可能积极主动的去学习，也感受不了学习带来的乐趣。教师在课堂教学中，可以利用教具进行演示和操作，对于无法动手演示的推理，还可以借助多媒体教学，吸引学生的注意力，尽量把知识简单化，让学生树立学好数学的信心，同时，还要鼓励学生自己提出问题，提出问题比解决问题更能锻炼学生的思维能力，因为解决问题只是进行机械定式的思考，而提出问题可以培养学生的观察能力和创新思维能力。教师要创造一个轻松、愉快、活跃的课堂环境，在这样的环境下，学生能够大胆发言，敢于提出自己的问题，不至于使问题越积越多，也缓解了紧张的教学气氛。教师可以尝试新的教学方法，在数学教学中渗透数学思想，提高学生学习的主动性。例如在学习数列时，教师可以从生活中常玩的游戏――象棋入手，很多学生都会象棋都兴趣，教师在指出象棋和数学学习有联系后，学生会产生极大的好奇心，想去探求联系，在探求中学习了知识。
四、利用数学思想指导解题与复习
在对已学知识进行复习时，教师要结合知识形成发展的过程，揭示知识中蕴含的数学思想，比如在学习直线和圆锥曲线的位置关系时，可以采用数形结合的数学方法，使知识变的简单明了，同时要注重知识的内在联系，比如函数、方程、不等式的关系，运用数形结合和等价转换的数学思想把数学知识联系起来。利用数学思想解题，在解题的过程中培养学生独立运用数学思想解题的意识，解题的过程就是数学思想运用的过程，比如求二面角的大小，就是运用把立体问题转化为平面问题的数学思想，三垂线定理的运用也体现了数学思想。运用数学思想培养学生一题多解的能力，可以培养学生的发散性思维，使思维变得更加灵活、敏捷，学生采用多种数学方法，是对数学知识灵活运用的一种表现，提高了学生的数学能力。
五、利用数学思维的特征培养学生能力
数学思维的最基本特征就是概括性，对数学知识的学习和运用实际上就是概括的过程。数学概念的形成需要概括，有了概括，学生才能真正理解数学概念，并学会运用数学知识解决问题；学生对数学认知结构的形成需要概括，有了概括，学生才能形成数学能力，因为，概括的能力是数学能力的基础，数学能力提高的表现就是把生活中的问题概括成数学问题，继而概括出数量关系，再到数学模式、数学公式上去，从而使问题得到解决。要培养学生的概括能力，教师应该设置教学情境，明确概括的方法，引导学生通过自己的思考进行概括，教师在分析新旧知识联系的基础上，围绕知识的联系对学生加以引导，让学生自己发现内在规律，可以采用多种启发方法，让学生锻炼概括思维的能力，提高解决问题的效率。
数学思想是数学学科的灵魂，是对数学知识本质的认识，是形成学生正确的认识结构的纽带，是把数学知识转化为数学能力的桥梁，是培养学生数学思维的根基，因此，在数学教学中，教师应该注重在知识的传授中渗透数学思想，培养学生的思维能力，提高学生的数学素养。
参考文献：
[1]朱孟伟，马士杰．数学教学中培养学生思维能力训练尝试．数理化解题研究，2005，8
[2]吴新建，《高中数学问题情境教学中的几个误区》[J]，《数学教学通讯》，2008(1)
在教学实践中，我深深地体会到:只有用数学思想武装起来的学生解决问题才有远见和洞察力；只有把人类知识积累的思想财富运用于课堂教学的始终，才能使人们的教学朝气蓬勃，充满生机，才能叩开学生思维大门，培养他们的创造意识，才能把课堂变为同学们吐露才华的幸福乐园。下面就是我在教学中的初步作法。
1. 把分类讨论的思想贯穿于教学之中。
中学生有个弱点，那就是害怕讨论问题。虽然他们有时也把一个问题分成几种情况加以解决，但在大多数情形下，这都是一种机械的、被动的模仿。比如我们在分析形如一元二次函数的表达式时二次项的系数为参数，要求对二次项的系数要分类讨论（是否为零），当问及为什么要那样分类时，他们往往答不上来，或解答不全的情况时有发生。以至于遇到一个要分几种情况讨论的新问题，大多会没有思路，束手无策。或者纯机械的模仿，一看到题中有时就讨论它是否为零。通过观察，我发现学生不能自己独立地讨论问题，是因为同学们不了解讨论背后的思想——分类，于是无法对症下药。
首先讲清楚人类解决任何问题，都是在一定的范围内进行的，这个范围就是问题的论域。当人们在整个论域里解决问题遇到困难时，往往先把论域划分为若干种情况，然后对各种情况一一作答。由于划分后的每个解决问题的范围小了，且各自情况都有自身的特征，因此解决起来往往容易些。当这种办法重复使用于各类问题中后就形成了一种思想——分类思想。显然，分类的作用就是化整为零，分而治之，各个击破。
数学问题的论域往往表现为一个大集合——全集，分类就是将大集合分为一些小集合，每个小集合叫一个类，这里还必须讲清楚科学分类不准重复，不准遗漏（即常说的不重不漏）的要求及分类要选取一定的标准(依据) ，不同的标准就产生了不同的分类。在教学中我们要有意识地灌输分类的思想。如讲函数的奇偶性的标准是把函数全体分为(l)奇函数，(2)偶函数，(3)非奇非偶函数，(4)既奇又偶函数四大类。又以周期性为标准把它们可分为周期函数与非周期函数两大类。又如在研究直线与平面的位置关系时，我们选取公共点的个数作为标准将其分为平行、相交和直线在平面内三大类，然后再逐步研究就顺利达到了目的。
把数学问题的论域进行分类，然后逐一求解的过程叫讨论。显然分类是讨论的先导和源泉。教学中需要讨论的问题是很多的，我们在教学中，每次都站在分类思想的高度对学生解题的过程进行思维的指导，经过长期的培养，学生的思维能力有了很大的提高，他们害怕讨论问题的程度就大大降低了。
事实上，给每个事物进行一种分类而数集通常用于分类，这样就能使学生获得统一的思想认识，在以后的解题中就能化为一个自觉的指导。
2. 用化归思想驾驭教材。
所谓化归就是把面临的问题化解开来，归结为一个或几个已解决了的问题或简单易解决的问题。人们解决问题时都自觉不自觉地用到了化归的思想，当我们遇到一个陌生的问题时，我们总是把它与我们熟悉的模式、方式方法挂钩。一般地说，人类知识向前演进的过程中，无不是化新知识为旧知识，化未知为已知的。从这个意义上讲，化归是一种具有广泛的普遍性的深刻的数学思想，也是我们解决数学问题的总策略。它不但在科学家的发明创新中显示了巨大的作用，就是在学生日常的解题过程中也有普遍的指导意义。
在教学中，我十分注意化归思想的教学。在宏观上，我们指出了解决立体几何问题总是把空间问题转化为平面问题，再去用平面几何已有的结论去解决(这个"平面"一般是几何体的某一个面所在平面或是我们作的辅助平面) ；解决解析几何问题， 又总是通过建立坐标系把几何问题化归为代数问题去解决；解复数问题，总是用代数形式或三角形式把其化归成实数问题或三角问题加以解决的。在上面的例子中作辅助平面建立坐标系及用代数(三角)式都是在创造化归的条件，由此可见，创造"一定条件"是实现化归的技术和关键。
在微观层次上，我们已十分注意对学生化归意识的培养。比如我们在讲"加法定理"一节时，指导学生用化归思想去进行推导，并指出:加法定理公式系统中几十个公式全是用"母"公式通过化归的方法推导出来的，从而使学生体验数学思想的和谐的美。通过多次这样的训练，同学思维的灵活性、变通性都有了较大的提高，且对后面的知识学习造成了深远的影响。我们还在证明"射影的面积公式"、"过一点有且只有一条直线垂直于已知平面"等命题及求解"半圆内最大矩形"等题目中成功地运用化归的思想，使同学们感到化归确实是一个应用十分广泛的数学思想，并能自觉地把它作为一种思考新问题的思想原则。
3. 教会学生使用数学的逻辑原则。
人类在数学领域的长期社会实践中，总结出了许多的知识及逻辑原则，这些原则在推动数学的运行和发展方面显示了强有力的作用。我们在教学中运用这些原则也取得了较好的效果。例如在讲立体几何时，我跟同学们讲，数学中任何一个概念必须经过严格的定义后才能运用，一组命题宣布为公理系统，必须具有完备性、独立性与和谐性。但是有时为了教育的需要把某些直观的结论、证明困难的命题也当作公理，这就破坏了独立性。这样的公理系统叫"扩大的公理系统"。有了这些知识后，同学们自学地调整知识的结构，并发现现行《立体几何》教材中"平行线"概念的应用发生在定义之前的倒置情况，并认清了教材使用的公理系统是扩大了的公理系统。
一、端正渗透思想更新教育观念
纵观数学教学的现状，应该看到，应试教育向素质教育转轨的过程中，确实有很多弄潮儿站到了波峰浪尖，但也仍有一些数学课基本上还是在应试教育的惯性下运行，对素质教育只是形式上的“摇旗呐喊”，而行动上却留恋应试教育“按兵不动”，缺乏战略眼光，因而至今仍被困惑在无边的题海之中。
究竟如何走出题海，摆脱那种劳民伤财的大运动量的机械训练呢？我们认为：坚持渗透数学思想和方法，更新教育观念是根本。要充分发掘教材中的知识点和典型例题中所蕴含的数学思想和方法，依靠数学思想指导数学思维，尽量暴露思维的全过程，展示数学方法的运用，大胆探索，会一题明一路，以少胜多，这才是走出题海误区，真正实现教育转轨的新途径。
二、明确数学思想和方法的丰富内涵
所谓数学思想就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是数学思维的结晶和概括，是解决数学问题的灵魂和根本策略。而数学方法则是数学思想的具体表现形式，是实现数学思想的手段和重要工具。数学思想和数学方法之间历来就没有严格的界限，只是在操作和运用过程中根据其特征和倾向性，分为数学思想和数学方法。一般说来，数学思想带有理论特征，如符号化思想，集合对应思想，转化思想等。而数学方法则具有实践倾向，如消元法、换元法、配方法、待定系数法等。因此数学思想具有抽象性，数学方法具有操作性。数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。
不同的数学思想和方法并不是彼此孤立，互不联系的，较低层次的数学思想和方法经过抽象、概括便可以上升为较高层次的数学思想和方法，而较高层次的数学思想和方法则对较低层次的数学思想和方法有着指导意义，其往往是通过较低层次的思想方法来实现自身的运用价值。低层次是高层次的基础，高层次是低层次的升级。
三、强化渗透意识
在教学过程中，数学的思想和方法应该占有中心的地位，“占有把数学大纲中所有的、为数很多的概念，所有的题目和章节联结成一个统一的学科的核心地位。”这就是要突出数学思想和方法的渗透，强化渗透意识。这既是数学教学改革的需要，也是新时期素质教育对每一位数学教师提出的新要求。素质教育要求：“不仅要使学生掌握一定的知识技能，而且还要达到领悟数学思想，掌握数学方法，提高数学素养的目的。”而数学思想和方法又常常蕴含于教材之中，这就要求教师在吃透教材的基础上去领悟隐含于教材的字里行间的数学思想和方法。一方面要明确数学思想和方法是数学素养的重要组成部分，另一方面又需要有一个全新而强烈地渗透数学思想方法的意识。
四、制定渗透目标
依据现行教材内容和教学大纲的要求，制订不同层次的渗透目标，是保证数学思想和方法渗透的前提。现行教材中数学思想和方法，寓于知识的发生，发展和运用过程之中，而且不是每一种数学思想和方法都能象消元法、换元法、配方法那样，达到在某一阶段就能掌握运用的程度。有的数学思想方法贯穿初等数学的始终，必须分级分层制定目标。以在方程（组）的教学中渗透化归思想和方法为例，在初一年级时，可让学生知道在一定条件下把未知转化为已知，把新知识转化为已掌握的旧知识来解决的思想和方法；到了初二年级，可根据化归思想的导向功能，鼓励学生按一定的模式去探索运用；初三年级，已基本掌握了化归的思想和方法，并有了一定的运用基础和经验，可鼓励学生大胆开拓，创造运用。实际教学中也确实有一些学生能够把多种数学思想和方法综合运用于解决数学问题之中，这种水平正是我们走出题海所迫切需要的，它既是素质教育的要求，也本文的最终目的。
五、遵循渗透原则
我们所讲的渗透是把教材中的本身数学思想和方法与数学对象有机地联系起来，在新旧知识的学习运用中渗透，而不是有意去添加思想方法的内容，更不是片面强调数学思想和方法的概念，其目的是让学生在潜移默化中去领悟。运用并逐步内化为思维品质。因而渗透中勿必遵循由感性到理性、由抽象到具体、由特殊到一般的渗透原则，使认识过程返朴归真。让学生以探索者的姿态出现，在自觉的状态下，参与知识的形成和规律的揭示过程。那么学生所获取的就不仅仅是知识，更重要的是在思维探索的过程中领悟、运用、内化了数学的思想和方法。
六、探索并掌握渗透的途径
数学的思想和方法是数学中最本质、最惊彩、最具有数学价值的东西，在教材中除一些基本的思想和方法外，其它的数学思想和方法都呈隐蔽式，需要教师在数学教学中，乃至数学课外活动中探索选择适当的途径进行渗透。
1．在知识的形成过程中渗透
对数学而言，知识的形成过程实际上也是数学思想和方法的发生过程。大纲明确提出：“数学教学，不仅需要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程。”这一思维过程就是思想方法。传授学生以数学思想，教给学生以数学方法，既是大纲的要求，也是走出题海的需要。因此必须把握教学过程中进行数学思想和方法渗透的契机。如概念的形成过程，结论的推导过程等，都是向学生渗透数学思想和方法，训练思维，培养能力的极好机会。
2．在问题的解决过程中渗透
数学的思想和方法存在于问题的解决过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导。数学的思想和方法在解决数学问题的过程中占有举足轻重的地位。教学大纲明确指出：“要加强对解题的正确指导，要引导学生从解题的思想和方法上作必要的概括”，这就是新教材的新思想。其实数学问题的解决过程就是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，这既是渗透的目的，也是实现走出题海的重要环节。渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到，会一题而明一路，通一类的效果，打破那种一把钥匙开一把锁的呆板模式，摆脱了应试教育下题海战的束缚。通过渗透，尽量让学生达到对数学思想和方法内化的境界，提高独立获取知识的能力和独立解决问题的能力，此时的思维无疑具有创造性的品质。如化归的数学思想是解决问题的一种基本思路，在整个初等方程及其它知识点的教学中，可以反复渗透和运用。
3．在复习小结中渗透
小结和复习是数学教学的重要环节，而应试教育下的数学小结和复习课常常是陷入无边的题海，使得师生在枯燥的题海中进行着过量而机械的习题训练，其结果是精疲力尽，茫然四顾，收获甚少。如何提高小结、复习课的效果呢？我们的做法是：遵循数学大纲的要求。紧扣教材的知识结构，及时渗透相关的数学思想和数学方法。在数学思想的科学指导下，灵活运用数学方法，突破题海战的模式，优化小结、复习课的教学。在章节小结、复习的数学教学中，我们注意从纵横两个方面，总结复习数学思想与方法，使师生都能体验到领悟数学思想，运用数学方法，提高训练效果，减轻师生负担，走出题海误区的轻松愉悦之感。
4．在数学讲座等教学活动中渗透
关键词：数学思想；数学素质；模型
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）23-069-01
在数学思想方法是人们对数学知识本质的认识，是人们在长期的学习和应用数学过程中，形成对数学的高度概括的理论观点。
《九年制义务教育全日制中学大纲》指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。由此可见，数学思想方法对于数学学习及教学，全面提高初中学生的数学素质，有着重要的意义。在初中数学中渗透数学思想方法的作用主要表现在以下几个方面：是素质教育的迫切需要。著名数学家玻利亚曾统计过：学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，使用数学的人占29%，基本不用数学或很少用数学的人70%。爱因斯坦也曾说过：“当学生毕业离开学校时，如果把老师教他的知识都忘光了，这是他所剩下的才是学校、教师在他身上教学的真正成果。”这就是说，真正的成果是知识之外的东西，是能力，更是能力之上的智力因素。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好数学素质的关键。
义务教育的核心在于着重发展学生的思维能力，全面提高学生的素质。而这一任务的具体实现，在很大程度上依赖于数学思想方法的教学。在数学概念的确立，数学事实的发现，数学理论的推导以及数学知识的应用中，所凝聚的思想和方法乃是数学的精髓，他会对学生的思维及整体文化素质，产生深刻而持久的影响，是学生受益终身。如果在数学教学中仍在苦口婆心地灌输大量公式和呆板的例题，或魔术般的演练刁钻难题而忽视知识与技能，淡化数学思想的数学，不尽快克服这些弊端，后果实在堪忧。
一、有助于学生深刻理解、牢固掌握数学知识
仅仅传授知识，而缺乏数学思想方法的教学，学生只能是被动的背诵概念、公式、法则，机械的模仿例题的解题步骤，因此出现学生普遍存在的课堂上听懂了，课下又不会做的现象，这在很大程度上就是知识教学与思想方法教学脱节的结果。
在数学教学中，不失时机地向学生渗透数学思想方法，有助于学生深刻理解知识，还可以使学生牢固掌握这部分知识，原因是数学教学理论和长期的实践表明，要让学生牢固掌握知识，唯一的方法就是让学生了解其本质特征，类推其内部的规律，了解其内涵。表面的数学概念、定义、法则等，只能是学生记忆一时，无法让学生记忆一世。
例如在分式的教学中，通过分式与分数在结构、运算法则的类比，可以使学生尽快理解分式的概念，掌握分式的运算法则，熟练地进行分式的运算。因此，数学教学中，传授知识与渗透数学思想方法应交错进行，互相促进，并行驾驱，才能使学生更深刻的理解数学知识，并能灵活应用，以至于进行数学创造。
二、有助于培养学生的知识迁移能力
数学中的知识点都是相互关联的，也只有在数学知识的迁移过程中，知识才能被理解、应用。现代认知理论认为，能力是知识迁移的体现，能力的实质是迁移。一个人在解决问题的过程所学的知识迁移的越广，越快，迁移的越恰当，他的能力就越强。而提高学生的学习能力是教学大纲的明确要求，因此，教师在教学过程中应善于研究、挖掘，用数学思想方法去沟通知识间的内在联系，让学生明确问题的不同形式中所含有的共同特征，认识问题的实质，并且能使他们在运用知识的过程中，产生联想，获得知识迁移的途径，呈现思维的广阔性。
三、有助于数学应用意识的增强
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式，人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法。
（来源：文章屋网 ）
关键词： 数学分析 数学思想 分析
一、函数思想
函数概念和函数思想的提出和运用，使得变量数学诞生了，常量数学发展到变量数学，函数思想起了决定性作用。函数是数学分析的研究对象，函数思想就是运用函数的观点，把常量视作变量、化静为动、化离散为连续，将待解决的问题转化为函数问题，运用函数的性质加以解决的一种思想方法。
在数学分析中，我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等。
例1，证明：当x>0时，x-
分析：这是一个不等式证明问题，直接证明有一定难度，但是将此问题转化为函数问题的单调性，即可解决问题。
证明：构造辅助函数f（x）=1n（1+x）-x+ ，则f`（x）= -1+x，可证当x>0时，f`（x）>0，因此单调递增。又因为f（0）=0，所以当x>0时，f（x）>f（0）=0，即原不等式成立。
例2，判断∑（-1）n 的敛散性。
分析：这是一个级数问题，该级数为交错级数，从函数的观点出发，化离散为连续，转化为函数问题，运用函数的性质，从而解决问题。
解：该级数为交错级数，由莱布尼兹判别法知，要判断其敛散性，只需判断通项的绝对值un= =是否单调减少且趋于为0。为此，将un连续化，设f（x）= ，由于f`（x）= ，当x>9时，f`（x）
二、极限的思想
极限的思想方法是近代数学的一种重要思想方法，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究初等函数的一门学科。极限是研究无限的有力工具，“极限”揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动对立统一的关系。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，一方面利用极限的思想给出了连续函数、导数、定积分、无穷小（大）量、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分、曲线积分、曲线弧长、曲面积分等的概念，数学分析中几乎所有的概念都离不开极限的思想。另一方面在闭区间列上的区间套定理体现了极限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多项式函数去逼近已知函数等。学习者以”极限理论”为工具，以现实具体的问题为背景，从具体到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本质，可以增强分析和解决问题的能力。
对所求量，先构造与其相关的变量，前提是该变量无限变化的结果就是所求量，此时采用极限运算得到所求量。例如邱瞬时速度、曲面弧长、曲变形面积等问题，就是采用了极限的思想。
例3，如果物体做非匀速直线运动，其运动规律的函数是s=f（t），其中t为时间，s是距离，求它在时刻t0的瞬时速度。
解：物体从时刻到时刻这段时间内的平均速度是：
v= = ，当|t|很小时，时刻t0的瞬时速度v0≈v，因此当无限趋近于0（t≠0） 时，就无限趋近于v0，即v0=1im =1im 。
三、连续的思想
在数学分析中，把函数的连续性局部化到当函数的自变量在某点邻域内作微小变动时，相应函数值也在对应点的函数值邻域内作微小变动。
这种思想应用到连续函数求极限的情形，就可以把极限的复杂问题转化为求函数值的问题，从而大大简化了运算。如果给定的函数不连续，可以通过整理、化简、变换等途径将其转化为连续函数，再利用上面的方法求其极限。
例4，求1im ，（a>0，a≠1）。
解：将给定的函数变形为1oga（1+x） ，再根据对数函数的连续性，有1im =1im1og（1+x） =1oga[1im（1+x） ]=1ogae。
四、数形结合的思想
数学是研究空间形式和数量关系的科学，而空间形式和数量关系之间往往存在密切的联系，又有各自特点。数形结合思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。具体包括：数转化为形的思想；形转化为数的思想。这种方法使得复杂问题简单化、抽象问题具体化、形象化、直观化，化难为易，最终找到最优解决方案。
数形结合的思想在数学分析课程中的应用广泛，很多抽象问题中都蕴含着某种几何意义，借助几何图形，对抽象问题进行几何解释，使抽象问题结合图形更容易深入理解，更容易掌握其最本质的知识。
比如：极限、曲线的渐近线、导数与微分、二元函数偏导数与全微分、定积分与重积分、反常积分（无穷积分与瑕积分）、函数的单调性、函数的凹凸性等概念的几何意义，对于确切理解并正确掌握这些基本概念是非常重要的，同时为解决各种实际问题提供了多样化的方法。
又比如：闭区间上连续函数基本性质（介值性定理、根的存在定理）、微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）、积分中值定理、费马定理、隐函数存在唯一性定理等几何意义，不论对定理的深入理解，还是对启发证明定理结论方面有很大帮助。
例5，下面仅谈谈几何图形对拉格朗日定理的内容的理解及证明所起的作用。
为了叙述的方便，首先将拉格朗日定理陈述如下：若函数f满足如下：（1）f在闭区间[a，b]上连续；（2）f在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点，使得f`（）= 。
它的几何意义是若一条曲线在[a，b]上连续，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点θ（，f（）），过点θ的切线平行于割线AB（图1）。此定理的证明关键在于运用其几何意义，考虑到这个定理比罗尔定理少了一个条件，构造辅助函数使其满足罗尔定理的要求，即满足函数在端点的取值相同，最后用罗尔定理得出最后的结论。因此，想办法构造一个辅助函数F（x），使得在[a，b]上连续，在（a，b）内可导并且F（a）=F（b）。观察图1可知，割线与曲线有两个交点A与B，要使F（a）=F（b），只需使F（x）的图像经过A，B两点，F（x）可取为曲线纵坐标与割线纵坐标之差。其中，曲线的方程为y=f（x），割线AB的方程为y=f（a）+ （x-a），可见，几何图形在此定理的证明起到关键的作用。
参考文献
数学思想方法包含的范畴有许多，在解决数学问题的过程中，若能根据习题需要，把数学思想方法渗透其中，可以起到化难为易，化抽象为具体，化繁为简的作用，促进学生对习题的理解，提升数学能力。下面，就如何在解决问题教学中渗透数学思想方法进行研究。
一、注重转化思想方法的渗透
所谓转化思想，是指学生在解决数学问题时，将一些陌生的、难以理解的数学问题换个角度，换个方式，转化为学生熟知的、相对简单的数学问题。运用转化思想，可以把复杂问题简单化，抽象问题具体化，一般问题特殊化等等，从而使学生解决问题的过程显得更加轻松。例如，“小明一分钟跳绳150下，比小刚一分钟少跳了28下，问小刚一分钟跳绳多少下？”解决这个数学问题时，为了避免学生“见多加，见少减”的错误解题现象发生，教师就可以换个角度把小学生读起来比较拗口的语言转化为比较好理解的语言。这样一来，学生解决问题显得更加轻松。比如“比小刚一分钟少跳了28下”这句话表述不太完整，可以鼓励小学生把它换个说法。在教师的鼓励下，有些学生转化成“小明比小刚一分钟少跳了28下”和“小刚一分钟比小明多跳了28下”。这样，小学生可以清楚地感觉到小刚跳得多，小明跳得少。求多的，用加法，求少的，用减法，这样学生解决问题显得相对简单。像这样的习题还有许多，教师要鼓励学生善于把转化思想运用到解题过程中，这样不仅使复杂问题简单化，抽象问题具体化，而且在转化过程中有效降低学生的理解难度，提高了学习效果。
二、注重对应思想方法的渗透
对应是指两个集合元素之间存在的一种对应关系，简而言之，是指未知问题中所描述的对象，在已有知识中有着与之一一对应的内容。在数学教学中，有许渗透数学思想提升数学能力的研究
邹彩虹
（江苏省常州市武进区芙蓉小学，江苏 常州 213118）
中图分类号：G421；G623.5 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）19-0047-01多数与算式、量与量等等之间都存在着一定的对应关系。为了帮助学生轻松解决问题，教师可以从对应思想入手，从已知到未知，帮助学生探寻解题路径，优化解题方法。例如，“小华家养了12只黑兔，7只白兔，小华家一共养了多少只兔子？”在这道习题的教学中，针对低年级学生形象思维占主导的特点，教师就可以借助形象直观的图形，帮助学生建立对应关系，从而帮助学生轻松地解决问题。比如，让学生用黑色的圆片表示黑兔的只数，用白色的圆片表示白兔的数量，最后求出小华家一共养了多少只兔子？在直观的图示中，学生可以清楚地看到求黑兔白兔一共有多少只，也就是求黑色圆片加上白色圆片一共有多少。学生可以用数一数的方法来解决，还可以通过图示中与之对应的12+7来解决。这样，在对应思想的渗透下，学生解决问题显得更加轻松。从上述教学课例可以看出，虽然是简单的加法应用题，在解决问题的策略上，教师并没有简单地一笔带过，而是注重数学思想的渗透。在这里，直观图片与数量关系一一对应，学生可以在潜移默化中找出数量关系，发现对应规律，使学生从小就对数学思想有初步的认识，进而提高学习效果。
三、注重方程思想方法的渗透
所谓方程思想，是指从问题中已知量与未知量的关系出发，通过数学符号语言，帮助学生构建出已知量与未知量之间等式的过程。在数学教学过程中，当学生正向思考问题比较困难、理不清解题思路时，教师就可以引导学生通过构建方程等式的途径来解决。这样的教学，很容易帮助学生理清数量之间的关系，提高解题效果。例如，“今年爸爸和儿子的年龄刚好45岁，5年后爸爸的年龄刚好是儿子的4倍，今年爸爸和儿子各几岁？”对于这个数学问题，教师一般采取的方法是（45+5×2）÷（4+1），先求出儿子的年龄，然后再求出爸爸的年龄。这样的方法，虽然计算起来比较方便，但学生理解起来还是具有一定难度的。为了降低学生的理解难度，根据学习需要渗透方程思想，学生理解起来就显得简单容易多了。在教学时，可以这样引导学生进行学习：当我们不知道一个具体的量是多少，可不可以用一个特殊的数学符号来表示呢？然后，再通过符号与已知量之间的关系建立等式方程。在教师的指导下，结合题目要求，学生分别用x、y来代替爸爸与儿子的年龄，然后通过具体关系得出x+y=45、x+5=4（y+5）.有了这样的等量关系，通过等量代换的方法来解决问题既简便轻松，而且便于学生理解。由此可见，在数学解题过程中，当学生对用算术法解决问题感到理解困难的时候，教师可以根据教学需要，把方程思想引入其中，以使学生能够尽快找出习题中的数量关系，很容易达到解决数学问题的目的。
一 实践操作，数字思想“具体化”
教育家夸美纽斯说过：“一切知识都是从感官的感觉开始的。在感觉中的东西，在理智上也不会有。”我们应该充分利用学生的感官，让学生能够利用学具来充分进行操作，大量感知，形成表象。现在的电教化手段比较好，所以有的教师就用计算机演示代替了学生的动手操作，但用计算机上的模拟代替学生的实践活动，这样就弱化了学生的探索活动。我们要引导学生有步骤、有条理地去操作，这样才能让我们的数学具体化，明确化。
比如六年级下册的“抽屉原理”的教学时，我们让学生借助把笔放入笔筒的具体操作来感知：把3枝笔放入2个笔筒，会有几种情况；把4枝笔放入3个笔筒，会有几种情况；……学生在操作实物的过程中就可以发现一个现象：不管怎么放，总有一个笔筒里至少要放进2枝笔。这时教师一定要引导学生去观察：发现把4枝铅笔分配到3个文具盒中一共只有四种情况，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一种结果中，至少有一个数是不小于2的。在这4种情况中，我们只考虑存在性问题，所以在每一种情况中，都一定有一个文具盒中至少有2枝铅笔。通过罗列实验的所有结果，就可以让学生感知什么是“总有一个笔筒里至少在放进2枝笔”的含义，从而把“抽屉原理”这个数学思想具体化。
通过操作，用“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。
二 去表求质，数学模型“数学化”
操作可以为学生积累很多感知，但教学的最终目的是要帮助学生把感性认识上升为理性认识，要让学生找出最本质的数学模型，有助于提高学生的逻辑思维能力，因此我们应该引导学生要及时对事物进行抽象概括，这样就能够抓住事物的本质特征。才能把数学模型“数学化”。
三年级上册的“搭配”问题教学时，先让学生自己动手去搭配衣服，再引导学生有顺序、有条理地观察这些情况，还可以让学生选用文字和线段来表示。学生说出了上衣搭配出了3种情况，牛仔搭配出了3种情况时，引导学生：你观察一下上身几件衣服？下身几件衣服？你又发现什么？学生又很快说出从上身看可以用2×3=6种表示，从下身衣服看也可以用2×3=6种来表示，所以学生又总结出了规律：用上身的衣服数×下身的衣服数=搭配的衣服数。如果只是让学生进行了操作，不去引导学生对这些具体的表象进行抽象概括的话，学生在思想上的认识就还是一片混乱；没有感受到什么“数学思想”的教育，但如果引导学生去表求质的话，通过表象去思考问题的实质，找出规律。这样重在向学生渗透了排列、组合的数学思想，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，这也是《标准》中提出的要求：“在解决问题的过程中，使学生能进行简单的、有条理的思考。”
所以我们要让学生能够把眼前的具体操作“数学化”，在头脑中构建出“数学模型”的基本模式。
三 灵活运用，数学思想“模型化”
相对于一种数学思想来说，它表现出来的外在形式是多种多样的，所以我们应该让学生灵活运用，把我们的数学思想“模型化”，能够从多种多样的问题中找出最基本的“数学模型”，用这样的“模型”把问题简单化，明了化。所以我们应该有意识地培养学生的“模型化”思想。
