时间：2022-03-14 09:06:58
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇线性规划，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：线性规划 模型 决策 应用
线性规划是运筹学中一种最常用的方法，线性规划在现代管理中起到了重要的作用，线性规划所处理的问题是怎样以最佳的方式在各项经济活动中分配有限的资源，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。线性规划在财务贸易、金融、工业制造、农业生产、交通运输、人事管理、设备维修等领域的管理决策分析中均可帮助人们解决实际问题。例如在原料分配问题上，研究如何确定各原料比例，才能降低生产成本，增加利润；在农作物规划中，如何安排各种农作物的布局，使生产率迅速提高；在生产计划安排中，选择什么样的生产方案才能提高生产产值。线性规划为求解这类问题提供了实用性强的理论基础和具体求解方法。
一、线性规划数学模型
经营管理中研究如何有效地利用现有的人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现，这个统筹规划的问题用可用数学语言表达。
线性规划模型从数学角度来归纳为三点：
（1）每个问题都有一组变量，称为决策变量，一般记为，一般要求。它是决策者对决策问题需要加以考虑和控制的因素。
（2）每个问题都有决策变量需要满足一定的条件，问题的限制条件用不等式或等式来表达，它是实现企业决策目标，限制性因素对实现目标起约束作用，称为约束条件。
（3）问题的目标通过变量的函数形式来表达，称为目标函数，且目标值与决策变量之间的关系是线性关系，要求在约束条件下，求目标函数的最大值或最小值。
（4）一般的线性规划数学模型为：
线性规划标准形式特点：
（1）目标函数求最大值（有时求最小值）
（2）约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零
（3）决策变量xj为非负。
线性规划问题的方法是单纯形法。理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间中的多面凸集，最优值如果存在必在凸集的某顶点处达到，顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯型法的求解思路是：一般线性规划问题具有线性方程组的变量个数大于方程数目，此时存在多解，但可从线性方程组中找出一个个的单纯型，每个单纯型都对应一组基本可行解，根据此解判断目标值是增大还是减小，决定下一步选择的单纯型，这就是迭代，直到实现了目标最大化或最小化为止。
但是，通过比较基可行解（顶点）来求解一般线性规划问题是不可行的，单纯形法的基本思路是有选择地取基可行解，即从可行域的一个顶点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的顶点，要求新顶点的目标函数值不比原目标函数值差。如此继续，直到无法改进，即可得到最优解，或判定无最优解。
二、线性规划的具体应用
线性最优化模型已被广泛应用于各类部门，应用的范围涉及各种资源分配、生产规划调度、企业财政规划、库存和分配、商品推销和广告等领域。
1.线性规划的在投资组合中的应用
如何选择一个满意的投资组合，在既定条件下实现一个最有效的风险与收益搭配，是投资组合的关键问题，投资者可以利用各投资项目收益率结合现实的情况对未来一年内各种投资产品的收益率做个简单的预测，利用单纯形法或借助lindo软件进行求解，从而获得投资于各项目的最佳投资额。
例如：某先生在5年内考虑下列投资，已知：
A.可从第1年年初开始投资，并于次年年末收回投资额的115%；
B.在第3年的年初投资，到第5年年末收回投资额的135%，但投资额不能大于4万元；
C.在第2年年初投资，到第5年年末收回投资额的145%，但投资额不能超过3万元；
D.每年年初购买债券，年底归还，利息为0.06.
2.线性规划在运输问题中的应用
运输问题涉及空运、水运、公路运输、铁路运输、管道运输、场内运输等，公路运输除了汽车调度计划外，还有行使路线选择和时刻表的安排等等问题，这些问题都可以运用线性规划模型来解决。“运输问题”就是将数量和单位运价都是给定的某种物资从供应站运送到消费站或库存站，在满足供销平衡的同时，定出流量与流向，达到总运输成本最小。
例：某汽车零件制造商，在不同的地方开设了3个工厂，从这些工厂将汽车零件运至设在全国各地的4个仓库，并希望运费最小，下表列出了运价以及3个工厂供应量和4个仓库的需求量，请求出运费最小的运输方案。
（2）根据位势法或闭回路法来判断该方案是否是最优，如果不是，就对该方案用闭回路方法进行调整和改进直至求出最优方案。经过计算，最后当所有的检验数均为非负时可得最优方案，当前的最优方案为其余全为零，可得最小运输值为。
3.线性规划在分配任务上的应用
例：（指派问题）有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作：E、J、G、R，现在有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成不同的语种的说明书所需时间如表所示，问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少？
4.线性规划模型在生产计划问题上的应用
线性规划可以运用在生产计划的问题上，对于生产性企业而言，生产计划是企业经济效益的关键因素，科学合理的生产计划能够使整体的经济效益发挥到最佳水平，使用线性规划方法要充分利用现有资源，考虑到企业的生产能力，资源的拥有量以及生产产品的单件利润等因素来进行计划安排生产，以谋求最大的利润或最小的成本。
例如（饲料配比问题）某配合饲料厂生产以鸡饲料为主的配合饲料，现准备研制一种新的肉用仔鸡专用饲料，所用原料的营养成分和饲养标准见表，希望这种新饲料既能满足肉用仔鸡的喂养需要又使总成本尽可能低，应如何设计配比方案？建立线性规划模型。
三、总结
线性规划是企业生产过程中决策制定的理论依据，决策的合理与否直接影响到企业的经济效益，本文通过实际例子阐述了线性规划模型在生产计划，运输问题，任务分配问题，投资问题等问题的实际应用，体现了线性规划模型在实际生产和生活中的重要性，总之，线性规划法是一种比较先进和科学的进行经济管理的方法，利用线性规划解决实际问题具有较大的实用价值。
参考文献：
[1]运筹学教材编写组.运筹学（第三版）.清华大学出版社.
[2]巴玉强.数学线性规划在企业管理中的应用分析.经管空间.2012年3月.
[3]王波.线性规划在寿险精算中的应用.数学的实践与认识.2006年11月第36卷第11期.
[4]曹亚群.线性规划在物流工程中的应用.宿州学院学报.2010年11月第25卷第11期.
[5]唐加冕，周京徽.线性规划问题在经济生活中的应用.商业时代.2011年9月.
[关键词] 数学模型 初等变换 检验数 最优解
运筹学发展历史不长，但内容丰富，涉及面广，应用范围大，形成了相当庞大的学科。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效益是人们不可缺少的要求，建立数学模型运用矩阵求规划问题的最优解尤为重要。
一、线性规划问题
1.线性规划问题的数学模型的一般形式：
设有n个变量，满足
s称为目标函数,式(1)称为约束条件.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，使S取最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
2.线性规划问题的标准形式
只要引入新的非负变量（称为松弛变量），不妨设不等式组中每一个不等式加一个松弛变量后变为等式，这样就可以使不等式组(1)变为线性方程组，作为线性规划问题的标准形式。即
满足（2）的解成为线性规划的最优解，相应的s值称为该问题的最优值。
二、运用矩阵解线性规划最优解
矩阵在经济分析中有着广泛的应用，可以利用矩阵的理论和方法，对标准形式中线性方程组的增广矩阵作一系列的行初等变换，根据检验数的值可判定基变量为多少时，规划问题有最优解及最优值，最优解及最优值是多少，从而解决线性规划最优解问题。
在方程（2）中若S把视为一个变量，写为
方程（3）是一个n+m+1个未知量，m+1个方程的线性方程组，解法如下
[第一步]
记方程（3）的增广矩阵为
矩阵L中的最后一行的数称为检验数，从S=0做起。
[第二步]
当所有检验数为非负数时，转入第三步。当检验数有负数时，转入第五步。
[第三步]
最小比值原则：用矩阵L中的第一列前m行大于0的元素除同行对应的最后一列的元素，即。取比值最小者，记为。此时称为主元，所在的行称为主元行，所在的列称为主元列。(若第一列的前m个元素没有正数，就试第二列，依次类推)
对矩阵作初等行变换，将主元变为1，所在列的其他元素变为0；重复类似的变换运算，依次继续作若干次得到矩阵,在中必有m行m列的元素构成一个m阶单位矩阵，不妨设的前m行m列是m阶单位矩阵，于是，矩阵为
[第四步]
①的单位矩阵所在的列的检验数都为0，而其余检验数非负时，则所求的最优值为
(中最后一行最后一列的元素数值)
矩阵中单位矩阵所在各行的最后一列元素，为所求相应变量（称为基变量）的值，其他变量取值均为0（称为非基变量）这样得到的解为所求的最优解。
②的检验数有负数时，转入第五步。
[第五步]
所有检验数为负数时，取其绝对值最大者所在的列为主元列，返回第三步作行初等变换，从而求出最优解及最优值。
三、解决经济中的实际问题
例如 为制造两种类型的产品，仓库最多提供80的钢材，已知每制造一件Ⅰ型产品需要耗钢2kg，最少需生产10件，而每件售价50元；每制造一件Ⅱ型产品需要耗钢1kg，最少需生产40件，而每件售价30元。试选择最优生产方案，以获最大收入?
设生产Ⅰ型产品件，生产型产品件，获得的收入为R
则此规划问题的一般形式为
引入非负的松弛变量，标准形式为
对应的方程组
方程组的增广矩阵为
末行检验数中有两个负数，绝对值最大者为-50，取-50所在的列为主元列，用最小比值原则，第二行为主元行，为主元。进行行初等变换得：
检验数中仍有负数，同样，-50所在第四列为主元列，按最小比值原则，取为主元。进行行初等变换得：
仍有负检验数-5，同样的方法取为主元。进行行初等变换得：
以上矩阵前三行的第1，2，4列构成一个3阶单位矩阵，其所在的列的检验数为0，其余检验数均非负，所以，为基变量，为非基变量，得到
最优解为:件，件，件，件，件
最优值为：（元）
故当件，件时，获得最大收入为件，件。
利用可行域的公共部分求参数
例1 若直线[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]与不等式组[x+y-7<0，x-3y+1<0，3x-y-5>0]表示的平面区域有公共点，则实数[λ]的取值范围是（ ）
A. [（-∞，-137）?（9，+∞）] B. [（-137，1）?（9，+∞）]
C. [（1，9）] D. [（-∞，-137）]
解析 画出可行域，求得可行域的三个顶点[A（2，1），][B（5，2），C（3，4）].
而直线[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]恒过定点[P（0，-6），]且斜率为[3λ+1λ-1]，
因为[kPA=72，kPB=85，kPC=103]，
所以由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ∈][（-∞，-137）?（9，+∞）].
答案 A
点拨 画出可行域，求得可行域的三个顶点，确定直线过定点[P]（0，-6），求得直线[PA，PB，PC]的斜率，其中最小值[85]，最大值[72]，则由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ]的取值范围.
利用最值的倍数关系求参数
例2 已知[x]，[y]满足[y≥x，x+y≤2，x≥a，]且[z=2x+y]的最大值是最小值的[4]倍，则[a]的值是（ ）
A. [34] B. [14] C. [211] D. [4]
解析 画出[x，y]满足[y≥x，x+y≤2，x≥a]的可行域如下图.
由 [y=x，x+y=2]得，[A1，1]，由[x=a，y=x]得，[Ba，a].
当直线[z=2x+y]过点[A1，1]时，目标函数[z=2x+y]取得最大值，最大值为3.
当直线[z=2x+y]过点[Ba，a]时，目标函数[z=2x+y]取得最小值，最小值为[3a].
由条件得，[3=4×3a，]所以[a=14].
答案 B
点拨 由题意可先作出不等式表示的平面区域，再由[z=2x+y]可得[y=-2x+z]，则[z]表示直线[y=-2x+z]在[y]轴上的截距，截距越大，[z]越大，可求[z]的最大值与最小值.
利用充分条件关系求可行域的面积最小值
例3 已知[Ω]为[xOy]平面内的一个区域.[p]：点[（a，b）∈{（x，y）|x-y+2≤0，x≥0，3x+y-6≤0}];[q]：点[（a，b）∈Ω].如果[p]是[q]的充分条件，那么区域[Ω]的面积的最小值是 .
解析 命题[p]对应的平面区域为如图阴影部分.
则由题意可知，[C（0，2），B（0，6）].
由[x-y+2=0，3x+y-6=0，?x=1，y=3.]
即[D（1，3）]，所以三角形[BCD]的面积为[12×6-2×1=2]，[p]是[q]的充分条件，那么区域[Ω]的面积的最小值是2.
答案 2
点拨 先利用线性规划作出不等式组对应的平面区域[BCD]，然后利用[p]是[q]的充分条件，确定平面区域[BCD]与[Ω]之间的面积关系.
利用可行域求向量射影的取值范围
例4 已知实数[x，y]满足约束条件[x+2y≥2，2x+y≤4，4x-y≥-1.]若[a=x，y，b=3，-1]，设[z]表示向量[a]在向量[b]方向上射影的数量，则[z]的取值范围是（ ）
A.[-32，6] B.[-1，6]
C.[-3210，610] D.[-110，610]
解析 画出约束条件的可行域，由可行域知：[a=（x，y）=2，0]时，[a]在[b]方向上的射影的数量最大，此时[a?b=6]，所以[a]在[b]方向上的射影的数量为[610];当[a=12，3]时，[a]在[b]方向上的射影的数量最小，此时[a?b=-32]，所以[a]在[b]方向上的射影的数量为[-3210].所以[z]的取值范围是[[-3210，610]].
答案 C
点拨 作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算[z]的表达式，利用数形结合即可得到结论.
可行域中的最值问题与基本不等式结合
例5 若目标函数[z=ax+by（a>0，b>0）]满足约束条件[2x-y-6≤0，x-y+2≥0，]且最大值为40，则[5a+1b]的最小值为（ ）
A. [256] B. 4 C. [94] D. 1
解析 不等式表示的平面区域阴影部分，
当直线[z=ax+by（a>0，b>0）]过直线[x-y+2=0]与直线[2x-y-6=0]的交点（8，10）时，目标函数[z=ax+by（a>0，b>0）]取得最大40，即[4a+5b=20]，
而[5a+1b=5a+1b×4a+5b20=54+5b4a+a5b≥94].
一、工商管理的概念
工商管理的产生是国家出于对市场经济秩序的构建与其健康发展的目的,主要是通过对市场经济经营行为的监督管理以及相关执法。通过将强制惩戒与行政教育相结合的方法,达到规范市场经济的目的,为市场经济的发展营造良好的环境。
二、工商管理的职能
(1)对市场经济的监管力度。工商管理部门是由政府依法组织,针对市场经济的自由性,对企业和盈利机构进行监督管理的工作执法部门。工商管理在政府工作中的首要职能就是市场监管,即对社会中的工商企业、外资企业等盈利性机构进行依法监督管理,维护市场的经营秩序,对于企业的违规违纪行为进行依法惩处,调节市场经济各部分的和谐共处。(2)对市场经济发展的服务。工商管理的对象是经济环境中的经济活动,服务于社会主义的市场经济建设,通过提高服务性维护和促进商品经济的良性发展。工商管理可以通过对市场经济的调节,维护市场经济的有序运行,服务广大消费者。
三、线性规划在工商管理中的应用
首先,线性规划可以用于生产计划确定后的优化,主要内容包括:(1)合理利用材料问题:在保证生产正常进行的条件下,以最少的材料达到最大的使用效果。(2)配料问题:在原料供应的数量限制下,如何搭配才能获得最大收益。(3)投资问题:从投资项目中选取最佳组合,使有限的投资得到最大的回报。(4)产品生产计划:合理利用人力、物力、财力等,使获利最大。(5)劳动力安排:用最少的劳动力满足工作的需要。(6)运输问题:对产品的调运方案进行细致制定,减少运费。其次,线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济发展趋势,分析未来的消费趋势,并预测同行的产销动向,根据分析结果,确定自身企业的产品价格和促销策略,然后将这些数据进行线性规划,得出企业发展的最佳路线。工商企业的生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件,因此可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。但是,应用线性规划的方法对企业的生产计划问题进行分析,首先必须满足几点要求:(1)明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法,以企业利润作为评价目标值,其最终目的是制定可以使企业利润最大化的生产计划决策,因此,企业利润最大化是生产决策分析的目标函数。(2)明确约束条件。企业的生产能力,原材料,设备使用,市场需求状况等诸多限制因素与生产计划分析是密切相关的,这些限制因素就被称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对于企业生产计划分析的影响很大,不同约束条件下,决策分析的结论也会有很大区别。比如,就企业在市场活动中所处的状态可以分为三种:第一,能力不足状态,企业的生产能力无法满足市场需求;第二,能力过剩状态,即企业生产能力超过市场需求,产品出现剩余;第三,中间状态,即所谓的收支平衡。企业自身的状态是不确定的,在三种状态之间不断变换。(3)明确产品的单间利润。单间利润不仅要考虑到产品的单间收入,还要考虑生产所消耗的各项成本和费用。综上所述,生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化为目标,明确未知变量,确定约束条件,然后建立线性规划模型,最终实现效益最大化的生产计划。
四、应注意的问题
(1)设定约束条件和变量的个数。约束条件在线性规划中是必不可少的,需要特别注意的是最优解中非零变量的数目不能超过模型约束条件的数目,如果忽视这一点而将由模型得出的最优解付诸实施,就会带来不良的后果。(2)线性规划模型的静态性。运用线性规划的理论和方法进行工商管理时,其模型具有静态性,但也只是近似,严格来说,模型中涉及到的价格并不是常数。这说明线性规划模型的静态性是近似的,因此,在实际应用中,考虑到问题误差的大小,对问题的界限进行划分是十分必要的。
类型1 求线性目标函数的最值
例1【2015高考北京，理2】若x，y，满足x-y≤0x+y≤1x≥0则z=x+2y的最大值为（ ）
点评：对线性规划问题，先作出可行域，再作出目标函数，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出最优解，代入目标函数，求出最值。此题主要考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力。
类型2 简单线性规划的实际应用
例2【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A.12万元 B.16万元
C.17万元 D.18万元
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z=3x+4y
由题意可列3x+2y≤12x+2y≤8x≥0y≥0，其表示如图阴影部分区域：
当直线3x+4y-z=0过点A（2，3）时，z取得最大值，所以zmax=3×2+4×3=18，故选D。
点评：利用图解法解决线性规划问题，要注意合理利用表格，帮助理清繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求。如果要求整点，则要用平移法验证。
规律总结：与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题。其一般步骤是：一设未知数，确定线性约束条件及目标函数；二是转化为线性规划模型；三解该线性规划问题，求出最优解；四调整最优解。
类型3 线性规划的综合问题及求非线性目标函数的最值
类型4 含有参数的线性规划问题
例 【2015高考山东，理6】已知x，y满足约束条件x-y≥0x+y≤2y≥0，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
【解析】不等式组x-y≥0x+y≤2y≥0在直角坐标系中所表示的平面区域如上图中的阴影部分所示，若z=ax+y的最大值为4，则最优解可能为x=1，y=1或x=2，y=0，经检验，x=2，y=0是最优解，此时a=2；x=1，y=1不是最优解，故选B。
《全日制普通高中数学课程标准（实验）》中关于线性规划内容提到：线性规划是最优化的具体模型之一.在高中数学中，线性规划问题都是最简单的线性规划 （Linear Programming，简称LP） 问题，即线性约束条件下线性（目标）函数最优化问题.其数学思想在高考解题中具有很强的现实意义，核心是运用数形结合的思想方法，借助平面图形，求目标函数的最值问题[1].
综观最近几年高考约束条件下目标函数最值考题，其内容都是对简单的线性规划问题的引申与深化.这涉及应用数学中最优化（Optimization）问题，其模型一般包括变量、约束条件和目标函数三要素.根据目标函数和约束条件性质，对最优化问题作进一步分类：当目标函数和约束条件都是线性的，则称线性规划；当目标函数或约束中有一非线性函数时，则称非线性规划；当目标函数是二次的，而约束是线性时，则称为二次规划.
笔者基于当前高考有关考题与命题趋势，从最优化视角对高考有关最值考题的约束条件与目标函数作表1所示分类，尝试对高中数学教材有关线性规划内容拓展.其中线性约束条件一般是指二元一次不等式组；非线性约束条件一般是指一个二元非一次不等式（组）（有时也可能是表示曲线或圆的函数）；线性函数关系是指直线，而非线性函数关系是指非直线，包括各种曲线、折线、不连续的线等.适当对线性（非线性）约束条件下线性（非线性）目标函数问题“模型构建”，利用其函数的几何意义，借助作图解决高考最值问题，这是从一个新的角度对求最值问题的理解.
一、“LC - LF”最值类
“LC - LF”最值类问题，即指线性约束条件下线性函数的最值问题.一般这类考题线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程组所表示的直线所围成的区域，在可行域解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即简单线性规划的最优解.
【解题本质】这类考题的解决，重要在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义，并画出其图形， 通过目标函数[z=ax+by（a≠0）]中直线[l：ax+by=0]的平移法，利用直线[y=-abx+zb]的纵截距[zb]解决最值问题（当[b]为正值时将直线[l：ax+by=0]向上平移使目标函数取得最大值，反之[b]为负值时向下移动使目标函数取得最小值）；当线性目标直线的斜率与约束条件的边界相等时，最优解有无数多个.解题过程中关键是突破“画”（画出线性约束条件所表示的可行域）、 “移”（作平行直线）、“求”（解方程组求出最优解）.这种求最值的方法也称“角点法”[2].
二、“LC-NLF” 最值类
2.了解线性规划问题的图象法，并能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
教学重点
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域;
2.应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
教学难点
线性规划在实际问题的应用
高考展望
1.线性规划是教材的新增内容，高考中对这方面的知识涉及的还比较少，但今后将会成为新高考的热点之一;
2.在高考中一般不会单独出现，往往都是隐含在其他数学内容的问题之中，就是说常结合其他数学内容考查，往往都是容易题
知识整合
1.二元一次不等式(组)表示平面区域：一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的__________。我们把直线画成虚线以表示区域_________边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时,此区域应___________边界直线，则把边界直线画成____________.
2.由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都__________，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，从的_________即可判断>0表示直线哪一侧的平面区域
3.二元一次不等式组是一组对变量x,y的__________，这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为_____________;
4.(a,b是实常数)是欲达到最大值或_________所涉及的变量x,y的解析式，叫做______________。由于又是x,y的一次解析式，所以又叫做_________;
5.求线性目标函数在_______下的最大值或____________的问题，统称为_________问题。满足线性约束条件的解叫做_________，由所有可行解组成的集合叫做_________。分别使目标函数取得____________和最小值的可行解叫做这个问题的___________.
典型例题
例1.(课本题)画出下列不等式(组)表示的平面区域，
1)2)3)
4)5)6)
例2.
1)画出表示的区域，并求所有的正整数解
2)画出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)为顶点的的区域(包括各边)，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数的最大值和最小值。
例3.1)已知，求的取值范围
2)已知函数，满足求的取值范围
例4(04苏19)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资打算多少万元，才能使可能的盈利最大?
例5.某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌6个，现有两种规格原料，甲种规格每张3m，可做文字标牌1个，绘画标牌2个;乙种规格每张2m，可做文字标牌2个，绘画标牌1个,求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小?
例6.某人上午时乘摩托艇以匀速V海里/小时从A港出发到相距50海里的B港驶去，然后乘汽车以匀速W千米/小时自B港向相距300km的C市驶去，应该在同一天下午4点到9点到达C市。设汽车、摩托艇所需时间分别为小时，如果已知所要经费P=(元)，那么V、W分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
巩固练习
1.将目标函数看作直线方程,z为参数时，z的意义是()
A.该直线的纵截距B。该直线纵截距的3倍
C.该直线的横截距的相反数D。该直线纵截距的
2。变量满足条件则使的值最小的是()
A.(B。(3，6)C。(9，2)D。(6，4)
3。设式中变量和满足条件则的最小值为()
A.1B。-1C。3D。-3
4。(05浙7)设集合A={是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()
5。在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为()
A。B。C。D。2
6.(06全国ⅰ14)设，式中变量和满足下列条件则的最大值为__________________;
关键词：单纯形法；循序渐进；教学模式
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）45-0036-04
运筹学是二战期间发展起来的一门应用学科，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的一些问题，为决策者选择最优策略提供定量依据，其内容包括：规划论（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划等）、图论与网络分析、对策论、排队论、存储论、决策论、排序与统筹方法等[1]。运筹学的实际应用涉及生产计划、运输问题、人事管理、库存管理、市场营销、财务和会计等方面。另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价、工程优化设计、环境保护等问题中。据统计，50%数学建模问题与运筹学内容相关，可以用运筹学的方法解决。另外，为各大高校数次争得荣誉的建模队伍，长期以来一直接受运筹学相关知识的培训。
运筹学中最主要的分支是线性规划。线性规划模型是前苏联著名经济学家康托罗维奇于1939年提出的，这一重大发现使他获得了诺贝尔经济学奖。1947年G.B.Dantzig提出求解线性规划的单纯形法。针对退化问题，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]给出了摄动法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法则，这些方法都能避免循环发生。线性规划理论上已趋于成熟，应用也越来越广泛。事实上，运筹学中许多问题都可以或需要用线性规划模型来描述或近似地描述，如运输问题――求解运输问题的表上作业法本质上就是单纯形法，并且这种方法充分展示了单纯形法的魅力。求最短路、最小费用最大流的问题都可以用线性规划模型来解决。求解指派问题的匈牙利法本质上也是单纯形法[5]。矩阵对策问题最后转化成求解线性规划。学习运筹学的先修课程主要有线性代数、微积分、概率论与数理统计。事实上，运筹学不仅应用了这些学科，也从理论上进一步发展了这些学科。
单纯形法是建立在一系列理论基础之上的。首先，如果线性规划的可行域非空，则它是一个凸集，这个结论很容易证明。线性规划的可行域的顶点与基可行解之间是一一对应的，所以其顶点个数有限，这个结论与单纯形法的关系不大，其证明可以省略。其次，线性规划若有可行解，则一定有基可行解，这个结论是很重要的，为了更好地理解它的证明，我们先看下面的例子。
进一步讲，若线性规划有最优解，其最优解一定可以在其可行域的顶点上找到，也就是在其基可行解中找到，这样就把一个从无限个可行解中找最优转化成在有限个可行解中找最优。这是单纯形法的理论基础。为了更好地理解这一重要结论的证明，我们看下一个例子。
X2的正分量的个数是2。由于P2，P4线性无关，所以X2是基可行解。这样我们就找到了一个最优解也是基可行解。一般地，若X2的正分量对应的系数列与线性相关，继续上述过程，直到找到基可行解为止。
从基可行解中找最优解所用的方法是单纯形迭代法。那么，如何判断一个线性规划是否有最优解？如何判断一个基可行解是否是最优解？在一个基可行解不是最优的情况下如何迭代到下一个与其相邻的更好的基可行解？为回答这些问题，我们举例说明。
先讲特例再引入最优性判别定理、基可行解的改进定理以及单纯形法的迭代步骤，学生就容易理解。即使针对有些专业的学生讲解这些定理的证明，也容易接受。
总之，现代社会信息量大，大学生需要学习的课程很多，用于预习或复习的时间就很少，这样上课时间就尤为珍贵，教师应该如何讲，才能使学生当堂听明白所授内容，这是一个必须思考的问题。其实，运筹学这门学科更侧重的是应用，数学理论并不难，之所以有人觉得难学，是因为没有把握一种好的学习方法。本文针对单纯形法给出了一种循序渐进的教学模式，实践证明这种模式能使学生更容易的理解课堂内容，有利于激发学生的自信心和学习兴趣，使学生在轻松掌握数学理论的基础上，能更好地探讨运筹学的经典案例的建模和求解，加强学生运用所学知识解决实际问题的能力和创新能力。
参考文献：
[1]《运筹学》教材编写组.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2004.
[2]Charnes，A.And Cooper W.W.，The stepping stone method of explaining linear programming calculations in thansportation problems，Management Science，1954，（1）：49-69.
[3]Dantzig，G.B.，Orden.A.and Wolfe.P.，Note on linear programming，Pacific J.Math.1955，（5）：183-195.
[4]Bland，G.G.，New finite pivoting rules of Simplex method，Math.Of Operations Research，1977，（2）：103-107.
[5]Hamdy，A.Taha，Operations Research-An Introduction[M].北京：人民邮电出版社，2007.
关键词：非线性规划；企业营销；Lingo
中图分类号：F274 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2016）04-0059-02
一、非线性规划数学模型
对实际非线性规划问题做定量分析，首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数，并建立约束条件。非线性规划问题的一般数学模型可表述为求未知量x1，x2...，xn，使满足约束条件：
gi（x1，...，xn）≥0，i=1，...，m
hj（x1，...，xn）=0，j=1，...，p
并使目标函数f（x1，...，xn）达到最小值（或最大值）。其中gi（x1，...，xn）和hj（x1，...，xn）均是定义在n维向量空间Rn上的某子集D（定义域）上的实值函数，且f（x1，...，xn）、gi（x1，...，xn）、hj（x1，...，xn）中至少有一个是非线性函数。记x=（x1，...，xn），则上述模型可以简记为：
minf（x）或maxf（x）
s.t.gi（x）≥0，i=1，...，mhj（x）=0，j=1，...，p
定义域D中满足约束条件的点称为问题的可行解，全体可行解所组成的集合称为问题的可行集。对于一个可行解x*，如果存在x*的一个领域，使目标函数在x*处的函数值f（x*）不大于（或不小于）该领域中任何其他可行解处的函数值，则称x*为问题的局部最优解，如果f（x*）不大于（或不小于）一切可行解处的目标函数值，则称x*为该模型的整体最优解。
二、应用举例
（一）案例介绍
宏宇电器公司计划生产三类10种小家电，其中包括：热水壶（1.5升、1.8升、2升）、豆浆机（0.9升、1.1升、1.3升）、电饭煲（2升、2.5升、3升、3.5升）。三类小家电的年最大生产能力分别为：热水壶5万个、豆浆机6.5万个、电饭煲6.2万个。制定使公司利润最大的的生产、销售方案（数据来源：2010年东北三省数学建模联赛A题）。
（二）案例求解
公司的收入和支出来自计划内销售和计划外销售两部分，公司所承担的计划内成本应该根据计划内的产品数量占总产品数量的比值确定，即：
公司承担的生产成本=总成本×
公司利润的表达式：
公司总利润=已签约合同的销售额+意向签约合同的销售额+计划外营销部上缴利润-计划内成本-经费
第1种小家电的销售额与订购量的函数关系为：
f1（x）=-0.26713x2+11.418x+1.3873
同理可以得到，第2至10种家电销售额与其订购量的函数关系。记fi（x）为第i种小家电的销售额，i=1，2，...，10，x代表订购量。
同理，记gi（y）为计划外销售第i种小家电营销部向企业缴纳的利润，i=1，2，...，10，y代表销售量；记mi（z）为第种小家电的经费，i=1，2，...，10，z代表产量；记ni（y）为第种小家电的经费，i=1，2，...，10，y代表销售量；记ni（y）为第i种小家电的经费，i=1，2，...，10，y代表产量。
1.每个产品的订购量不能超过客户的最大意向签约量。xij≤Mij，其中xij代表第j个顾客对第i种小家电的订购量，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，Mij代表第j个客户对第i种产品的最大签约量。
2.计划外产品的订购量不能超过其最大可能订购量。xi6≤Ni6，其中xi6代表计划外的第i种小家电的订购量，i=1，2，...，10，Ni6代表计划外第i种产品的最大可能订购量。
3.所有产品的订购量均不能为负数。xij≥0，i=1，2，...，10，j=1，2，3，4，5，6。
4.各类产品的订购量不能与超过其最大生产能力。∑3 i=1∑6 j=1xij≤12，∑6 i=4∑6 j=1xij≤20，∑3 i=7∑6 j=1xij≤19。
运用Lingo软件得到最大值t=697.33万元，目标函数取得最大值时的各变量取值。为使公司利润达到最大时的生产方案为：1至10种小家电分别对应的生产数量（千件）为：11.59、24.54、13.87、14、29、20、12、24.3、14.3、8.4。
一、线性规划求解
在线性约束的条件下，对于线性目标函数进行最值问题的求解的过程，称为线性规划.最优解指的是，在目标函数z=f（x，y）取得最大值或者最小值的时候，x与y的值的大小（x，y）就成为最优解.其中若得到的最优解皆为整数，则对应的点（x，y）对应的横纵坐标都是整数，可以将这个解称为整点.最优解的求解方式是高中教材中的重要内容.经常见到的题型有：（1）题目中给出了一定量的人力、物力资源，以及一些已知条件，让学生求解：如何安排，才能在一定的时间内完成最多的任务或者取得最大的收益.（2）给出一项任务，以及一些已知的条件，让学生求解：怎样安排，才能在完成任务的情况下投入尽可能少的人员、物力资源.这部分内容在教材中属于新增加的内容，介绍的比较笼统，使学生难以理解与掌握.调整优值法是经常采用的一种求解方式，通过这种方式，能得到最优值，从而求得答案.
二、优值调整方式
1.带数值比较法.对于线性规划的最优解的调整，首先要找到一个范围.在最优解存在于可行域中时，对最优值进行调整是比较简单的一种情况，此时只需要在可行域的范围内寻找出所有的可行解，然后将每一个解都带入到目标函数中进行验证即可.通过比较代入解值得出来的结果值，便可得到调整后的最优值.这种调整方式，需要将每一个值都依次代入，适用于可行域中最优解较少的情况.
2.调整理论值.这种对最优值进行调整的方式，就是首先根据理论上的分析得出最优值存在的一个范围区间，然后在计算出理论上的最优解对应的目标函数值的前提下对于目标函数值进行逐步调整，同时需要作出对应的直线，在坐标系中画出函数图象，并且在可行域内的直线上寻找可能存在的最优解.如果存在则最优解就此找到，否则就需要对理论上的这个值进行继续调整，直到能够出现最优解为止.
3.根据范围求解.这种对最优解进行调整的方式，就是在理论最优解的基础上计算出目标函数值，并且对目标函数值进行逐步调整.在这样的前提下，将最优解带入到线性约束条件中进行消元处理，能够求出未知量x和y的范围，然后在这个范围内寻找最优解，并且进行调整.
4.逐步调整法.这种方式是在得出理论上最优值的基础上求出对应的目标函数值，并且对目标函数值进行逐步调整.在调整时，将其看作是一个二元的不定方程，从而确定出这个方程的解值，然后对其进行判断是否为可行解.
三、典型例题分析
例假如你需要开一家小店，小店里主要经营衣服和裤子.由于你的存款有限，所以在经营过程中受到很多限制.（1）由于金额不足，你每次只能最多进50件衣服；（2）最多只能进30件裤子；（3）为了保证你的小店能正常营业，你必须要有衣服和裤子一共40件；（4）你的小店在进货时，每件衣服的进价为36元，每条裤子的进价为48元.现在你只有2400元钱，假如说小店中每卖一件衣服就会增加利润18元，而一条裤子的利润是在20元.那么，你需要怎样进货，才能使小店获得最大的收益？
解：设小店进货时，进了x件衣服和y件裤子，取得的利润为z元.根据题中的条件，能得出如下方程式：0≤x≤50，0≤y≤30，
x+y≥40，
36x+48y≤2400.
【关键词】线性规划；模型；最优化；应用
由于炼化企业具有生产规模庞大、工艺结构复杂、产品品种繁多、市场变化快等特点，所以制定生产计划时要考虑的因素很多，人脑很难考虑周全。如果采用传统的经验和方法，就难以对企业拥有的各种资源的作用、产品价格的突然变化以及市场对企业的需求等进行综合分析的处理，当企业生产和经营过程突然遇到问题时，很难及时而准确地提出解决方案，从而严重影响企业经济效益的提高。而在新炼化企业建立过程当中，规划环节起着非常重要的作用。而传统的规划方法不仅需要长时间的现场数据调研，耗费大量的人力资源，面对生产条件临时改变的应对也显得十分不灵活，计划加工原油品种的改变，加工量的变化以及产品结构的调整，都会使得之前进行的规划变成无用功。炼化线性规划通用模型（以下简称通用模型）是以炼厂计划优化软件为基础，利用线性优化原理对炼厂生产流程进行模拟，同时可以根据不同约束条件自动选择最优生产方案的一种线性规划模型。
1.通用模型的建设
原油数据采用2012年11月份最新的原油评价数据，切割温度按照通常的原油切割温度，原油切割方案中包含原油各馏分的收率信息及各侧线的主要物性信息，如石脑油馏分的芳潜，渣油的残炭、金属含量等。
模型为炼化一体化模型，炼油部分涵盖目前所用主流加工装置及采用的技术手段，C1-C2组分加工装置有制氢及PSA装置，C3组分主要加工装置有聚丙烯，C4组分主要加工装置有MTBE及烷基化，石脑油组分、汽油组分加工装置主要为重整装置、汽油加氢、醚化装置，航煤组分加工装置为航煤加氢，柴油组分加工装置主要有柴油加氢及柴油改质；蜡油加工装置有蜡油加氢、加氢裂化及催化裂化装置，减渣加工装置有延迟焦化、渣油加氢、溶剂脱沥青、沥青氧化及催化裂化（部分掺炼）；废气、废水回收装置主要为硫磺回收装置；另外炼油部分还有汽油调和池，柴油调和池及其他相关组分的调和汇流装置。
油部分涵盖酮苯脱蜡、糠醛精制、白土精制、石蜡白土、石蜡加氢及油加氢整套油及石蜡生产路线。
化工部分涵盖乙烯裂解及芳烃联合，其中乙烯加工路线中C2线主要加工装置为聚乙烯及乙二醇，C3加工路线主要为聚丙烯及丙烯腈，C4加工路线主要有丁二烯抽提，化工MTBE及顺丁橡胶，C5-C10加工路线主要为裂解汽油加氢，芳烃抽提。芳烃联合装置主要有重整、芳烃抽提、PX、PTA以及后续的顺丁橡胶及ABS装置。
综合考虑装置对进料物性的要求、同一装置不同进料性质对应的产品收率的差异，以及同一装置不同进料同一产品物性的不同，建立各加工装置的装置模型，以催化重整、催化裂化、加氢裂化及乙烯裂解为例进行相关模型结构的介绍。
模型中重整料主要包括直馏石脑油、加裂石脑油及各类加氢装置产生的加氢石脑油。产品分布是与进料的芳潜含量相关的，芳潜越高，三苯收率越高，进料的芳潜含量依据进料的物性及所占的比例计算而来。该模型会通过进料的芳潜含量自动计算出相应的产品分布。
在催化裂化不同加工工艺中，一为普通的催化裂化工艺技术，一为采用MIP的催化裂化工艺技术，一为采用ARGG的催化裂化工艺技术。不同工艺技术反映在模型中的区别主要是产品分布及产品性质不同，以普通的催化裂化技术与ARGG技术为例列举各工艺的收率相关数据。表1所示为两种催化裂化汽油性质对比。
采用不同的催化裂化技术生产的汽油性质不同，主要体现在辛烷值、硫含量、烯烃含量及芳烃含量方面。
加氢裂化装置建立了三套生产方案，分别为航煤方案、柴油方案及石脑油方案，不同方案下石脑油、航煤及柴油的收率不同，模型可以优化计算出不同条件下，何种方案最优。
此外，为了方便前台展示，通用模型还开发了报表展示系统，通过后台的数据选取自动生成所需报表。
2.通用模型的应用
模型建立之后，对各装置进行约束条件控制，包括生产能力，加工天数等，并在原料购入表及产品销售表中进行定量定价，选择不同的原油及装置路线，就可以计算出加工不同原油的不同的最优加工方案及加工某一种原油的最优加工路线及装置开停方案。
下面首先以A炼厂加工某两种原油1、2为例。
A炼厂加工某种原油1的流程如下：
将通用模型中装置与该炼厂匹配后，进行优化运算得出该原油最优加工路线：常减压+渣油加氢+催化裂化+加氢裂化+大重整+小乙烯，走多产芳烃加工路线。
最优路线配套流程为：常压蒸馏加工量1000万吨，减压蒸馏457万吨，渣油加氢192万吨，催化裂化165万吨，加氢裂化303万吨，乙二醇乙烯处理量15万吨，连续重整151万吨，柴油加氢精制加工量147万吨，航煤加氢加工量52万吨，汽油加氢加工量34万吨，气体分离加工量30万吨，MTBE3万吨，烷基化加工量15万吨，制氢加工量10万吨，硫磺回收4万吨，PSA加工量5万吨，乙烯裂解加工量56万吨，聚乙烯加工量39万吨，苯乙烯加工量8万吨，丙烯腈加工量24万吨，丁二烯抽提加工量12万吨，丁苯橡胶加工量29万吨，丁苯3000线加工量29万吨，裂解汽油加氢加工量37万吨，化工MTBE6万吨，聚丙烯能力8万吨。
A炼厂加工某种原油2的流程如下：
原油2最优加工路线：常减压+油+催化裂化+加氢裂化+重整+乙烯。
最优路线配套流程为：常压蒸馏加工量1000万吨，减压蒸馏688万吨，催化裂化471万吨，加氢裂化161万吨，乙二醇乙烯处理量15万吨，连续重整加工量84万吨，柴油加氢精制127万吨，汽油加氢加工量96万吨，气体分离加工量86万吨，MTBE加工量10万吨，烷基化加工量43万吨，制氢加工量6万吨，硫磺回收1万吨，PSA加工量3万吨，油高压加氢加工量100万吨，乙烯裂解加工量21万吨，聚乙烯加工量5万吨，苯乙烯装置加工量3万吨，丙烯腈加工量9万吨，丁二烯抽提加工量5万吨，丁苯橡胶加工量11万吨，丁苯3000线加工量11万吨，PX装置能力12万吨，裂解汽油加氢加工量14万吨，化工MTBE加工量2万吨，聚丙烯能力24万吨。
表2 最优加工路线边际贡献对比情况： 单位：元/吨
项目 原油1 原油2 差异
吨油边际贡献 205 538 -333
原油成本 5293 5021 272
原油运费 105 0 105
综商 93.6% 92.3% 1.3%
成品油收率 62.0% 67.3% -5.3%
芳烃收率 7.9% 1.2% 6.7%
由此看出，该企业加工原油2的效益要远远大于加工原油1，从而可以为其生产计划提供参考。
其次，以A、B、C三家炼厂同时加工原油1为例：
A炼厂原油1最优路线：
常压蒸馏加工量1000万吨，减压蒸馏457万吨，渣油加氢192万吨，催化裂化182万吨，加氢裂化231万吨，连续重整248万吨，柴油加氢精制加工量224万吨，汽油加氢加工量37万吨，气分加工量33万吨，MTBE4万吨，烷基化加工量17万吨，制氢加工量5万吨，硫磺回收加工量4万吨，PSA加工量8万吨，聚丙烯能力9万吨。
B炼厂原油1最优路线：
常压蒸馏加工量850万吨，减压蒸馏加工量388万吨，渣油加氢加工量163万吨，催化裂化加工量140万吨，加氢裂化加工量196万吨，连续重整加工量164万吨，柴油加氢精制加工量186万吨，汽油加氢加工量29万吨，醚化装置加工量9万吨，气分加工量25万吨，MTBE3万吨，烷基化加工量13万吨，制氢加工量6万吨，硫磺回收加工量4万吨，PSA加工量6万吨，乙烯裂解加工量20万吨，聚乙烯加工量6万吨，乙二醇乙烯处理量13万吨，化工聚丙烯加工量10万吨，PX能力35万吨，裂解汽油加氢加工量13万吨，炼油聚丙烯能力7万吨。
C炼厂原油1最优路线：
常压蒸馏加工量850万吨，减压蒸馏加工量388万吨，渣油加氢加工量163万吨，催化裂化加工量140万吨，加氢裂化加工量203万吨，连续重整加工量60万吨，柴油加氢精制加工量38万吨，汽油加氢加工量29万吨，醚化装置加工量12万吨，气分加工量25万吨，烷基化加工量15万吨，制氢加工量7万吨，硫磺回收加工量4万吨，PSA装置加工量2万吨，乙烯裂解加工量85万吨，聚乙烯加工量70万吨，乙二醇乙烯处理量10万吨，苯乙烯处理量16万吨，化工聚丙烯加工量35万吨，丙烯腈能力4万吨，丁二烯抽提加工量16万吨，丁苯橡胶加工量15万吨，ABS加工量18万吨，裂解汽油加氢加工量53万吨，芳烃抽提加工量25万吨，化工MTBE加工量8万吨，炼油聚丙烯能力7万吨。
表3 现有加工路线优化后边际贡献对比情况：
单位：元/吨
项目 A炼厂 B炼厂 C炼厂
现状 -64 -123 -153
优化后 4 89 15
差异 68 212 168
可以看出，优化之后的生产路线与原生产路线相比，效益都有了大幅提升，而A炼厂加工此种原油效益最高，因此可以考虑减少B、C两炼厂此种原油加工量，增加A炼厂加工量。
3.通用模型的意义
研究通用模型主要有以下意义：
（1）新炼厂的建立流程在其规划环节缺少模型支持，规划时间长，不利于快速决策，而通用模型可以在输入原油配比之后快速给出最优产品结构及装置配比；在老炼厂的改扩建过程中，通用模型可以在原有装置基础上快速计算出新装置的最优加工能力及进出料情况，从而能大大节省时间与人力。
（2）近些年来，原油资源日益紧缺，原油种类更加复杂，现存的适用于单个油种的炼化模型很难适应更多种类油品的优化方案，通用模型可以分析单油种在不同企业的最优加工情况，来确定哪家企业更适合加工；同时可以分析不同原油在同一企业的加工情况，为企业加工何种原油提供优化指导。
参考文献
[1]王一冠，蒋决根.RPMS在炼化企业中的应用[M].石油化工技术经济，2007，1.
关键词： 线性规划； 目标函数； 最优解
中图分类号： G622 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2012）07-0159-01
一、最优解的确定方法
线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解将ax+by=0在可行域内向上方平移到端点（一般是两直线的交点）的位置得到的.当b0时的情况相反.笔者把这样的结论写成了这样一句话：“z=ax+by，b>0上移时z的值增大，下移z的值减小；b
二、线性规划问题应用的多样性
（一）求目标函数的最值
例1、若变量x、y满足约束条件x-y+2≥25x-y-10≤0x≥0，y≥0，则z=2x+y的最大值是________.
解析： 步骤如下：
作出可行域（如图1）
----作直线2x+y=0
----找最优解
----求最值；
目标函数y前的系数b>0则上移
时z的值增大，由x-y+2=05x-y-10=0
得A（3，5），所以， zmax=2×3+5=11.
例2、已知x、y满足x+y-4≤0x-2y-3≤04x+y-4≥0，y≥0，则使目标函数z=4x+y-10取得最小值的最优解有（ ）.
A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个
解析：可行域（如图2），由于4x+y-10=0与4x+y-4=0平行且z=4x+y-10中b>0，于是下移是 z的值减小，所以最优解有无数个，选D.
（二）含参数的线性规划问题
例3、设不等式组x-y+5≥0y≥a0≤x≤2，所表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围为________.
解析：可行域（如图4），由x-y+5=0x=2的A（2，7）阴影部分为x-y+5≥0与0≤x≤2共同表示的平面区域，要使平面区域为一个三角形区域，则y=a应在l1与l2之间，由于B（0，5），所以5≤a
例4、在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0ax-y+1≥ax-1≤0，（a为常数）所表示的平面区域的面积为2，则a的值为（ ）.
A、-5 B、1 C、2 D、3
解析：可行域（如图5），根据约束条件先作出x+y-1≥0与x-1≤0所表示的平面区域，然后再去处理含参数的二元一次不等式ax-y+1=0即y=ax+1，则直线恒过A（0，1），假设y=ax+1所表示的直线为l，与x=1交于C，过A作BC垂线交BC于D，由ABC的面积为2，则BC=4，所以C（1，4），因为C在l上，于是由4=a+1，得a=3，则选D.
（三）与向量有关的线性规划问题
例5、已知P（x，y）在由不等式组x+y-3≤0x-y-1≤0x-1≥0确定的平面区域内，O为坐标原点，点A（-1，2），则■cos∠AOP的最大值为______.
解析：可行域（如图7），要求■cos∠AOP的最大值，则自然考虑数量积及几何意义，■·■=■■cos∠AOP因为■=（-1，2），■=（x，y），■=■，所以■cos∠AOP=■=■，要求■cos∠AOP最大，需要（-x+2y）的值最大，令z=-x+2y，于是转化为求目标函数最值问题，由x+y-3=0x-1=0得B（1，2），所以zmax=-1×1+2×2=3.（■cos∠AOP）max=■=■■.
