时间：2022-08-07 13:54:36
【关键词】初中数学 学习兴趣 案例分析 教学方法
七年级学生大多数是13岁左右的少年，正处于长身体、长知识的起始阶段，他们好奇、热情、活泼、各方面都生气勃勃，但是他们的自制力却很差，注意力也不集中。下面是这一学期来我教七年级数学的几个案例分析：
一、精心设疑，激发学习兴趣，点燃学生对数学“爱”的火花。
爱因斯坦有句名言，“兴趣是最好的老师”。一个人有了“兴趣”这位良师，在学习上会变被动为主动。在教学中，特别注意以知识本身吸引学生，巧妙引入，精心设疑，造成学生渴求新知识的心理状态，激发学生学习的积极性和主动性。利用课本每一章开始的插图，提炼出生活中遇到的数学问题，引导学生共同分析问题解决问题。
比如 ，思考题：小梅去文具店买铅笔和橡皮，铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元，小梅拿了2元钱， 问能买几支铅笔几块橡皮？
对于初一学生，这个问题是常识，但这个问题是开放性的，这是一个求不等式正整数解的问题，教师要引导学生，帮助小梅选择合理的购买方案。
二、精心设计教学过程，改变课堂教学方法。
备课时要根据学生的智力发展水平和学生的心理特点来确定教学的起点、深度和广度，让个层次的学生都有收获。如在教学“等腰三角形性质”时，出了下面一道题：
已知一个等腰三角形的一边长为5厘米，另一边长为6厘米，则这个等腰三角形的周长是多少？许多学生考虑不全面，只得出周长是16厘米。于是，老师试着反问：“难道6厘米不能作为腰吗？”学生立刻说出第二种情况周长是17厘米。
老师并没有到此结束，又接着问：“5厘米的那条边改成2厘米呢？”很多学生异口同声地说：“10厘米和14厘米”。然后要求学生在纸上画出草图，并标上长度。
很快，有学生回答：“10厘米不对！只能是14厘米”。
老师抓住时机追问原因，学生齐声回答：“三角形的任意两边之和大于第三边！”
三、寓数学思想、数学方法于课堂教学之中。
数学概念、思想和方法是数学教育的灵魂，教师在传授知识的同时要注重数学思想方法的讲解，把常用的推理论证及处理问题的思想方法，适时适度的教给学生，这有益于提高学生的主动性和分析问题、解决问题的能力。比如，有理数这一章特别突出了数型结合的思想，紧扣数轴逐步介绍数的对应关系，启发学生从数与形两方面去发现问题，去类比，去归纳，去探究解决问题的新思路。
例如：在教学“圆的认识”一课中，我曾向学生提出一个生活问题：“你能说出为什么下水道的盖子是圆形的，而不是方形的？”有的学生很快说出：因为圆形的盖子美观。我适时引导他们：“能否用我们学过的知识去解释这个问题呢？”学生及时地联系所学过的知识去思考、交流。最后得出：因为圆的直径相等，圆形的盖子翻起时，不怕盖子掉进井里去这一结论。
四、把学生看成是教学的真正主体。
在教学中，教师可以采用个别辅导、同桌交流、小组合作、全班交流等多种课堂教学组织形式，这些形式就为学生提供了合作交流的空间，同时教师还必须给学生的自主学习提供充足的时间，让他们有一个宽松、和谐的学习环境。教师应该主动由“站在讲台上”变为“走到学生中去”，使自己成为学生中的一员，与学生共同探讨学习中的问题，以沟通、商讨的口气与学生交流心得体会，为学生解疑释惑。这样学生会亲其师信其道，遇到什么问题都愿意与老师互相交谈。
五、教学中要“活用”教材。
新课程倡导教师“用教材”，而不是简单的“教教材”。教师要创造性的使用教材，要在使用教材的过程中融入自己的科学精神和智慧，要对教材知识进行重组和整合，通过选择和深加工设计出丰富多彩的课来。充分有效地将教材的知识讲活讲透，形成具有鲜明个性和风格的教学方法。
在上周星期五，我上了一节“一元一次不等式组的应用”。
出示例题：小宝和爸爸、妈妈三个人在广场上玩跷跷板，爸爸体重72千克，坐在跷跷板的一端。体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一块坐在爸爸的对面，这时，爸爸压的一端仍然挨着地面。小宝眼睛一眨，借来了一副重量为6千克的哑铃，加在了他和妈妈坐的这一端，结果爸爸被高高翘起。猜猜看，小宝的体重约多少千克？
所有的学生不知所措，课堂上窃窃私语，但就是没有人举手发言，我紧接着写出了下面两个不等式：
爸爸体重>小宝体重+妈妈体重
爸爸体重
学生恍然大悟，很快列出了不等式组算出了答案。
六、引导学生用数学眼光观察生活问题。
生活是数学的宝库，生活中随处可以找到数学的原型。数学教学要尽可能贴近学生熟悉的实际生活，让学生体验数学，用好数学，学会用数学的思想和方法去观察研究解决实际问题。
如，学了圆柱的侧面积公式之后，让学生回家测量烟筒的长度及半径，第二天问部分学生，一截烟筒用了多少平米的铁皮。
学习了利息计算后，让学生计算：把500元钱存入银行，怎样存款更合算？学生先要到银行调查利率，再选择存款时间，存款方法，计算利息，找到最合算的存款方法。
【参考文献】
[1]王坦；论合作学习的教育论贡献[J]；课程.教材.教法；2003年08期
所谓“学案导学”是指以学案为载体，以导学为方法，教师的指导为主导，学生的自主学习为主体，师生共同合作完成教学任务的一种教学模式。这种教学模式一改过去老师单纯的讲，学生被动的听的“满堂灌”的教学模式，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，使主导作用和主体作用和谐统一，发挥最大效益。在这种模式中，学生根据教师设计的学案，认真阅读教材，了解教材内容，然后，根据学案要求完成相关内容，学生可提出自己的观点或见解，师生共同研究学习。这种教学模式一方面满足了中学生思维发展的需要，另一方面又能满足中学生自我意识发展需要，对学生的自我发展和自我价值的体现有十分积极的作用。而教师则不仅仅是知识的传授者，更重要的任务是培养学生的自学能力、自学习惯，教会他们怎样学习、怎样思考，提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、学案的特点
问题探究是学案的关键，它能起到“以问拓思，因问造势”的功效，并能帮助学生如何从理论阐述中掌握问题的关键。
知识整理是学案的重点，学案的初步目标就是让学生学会独立地将课本上的知识进行分析综合、整理归纳，形成一个完整的科学体系。
阅读思考是学案的特色，可根据课文内容进行新闻记者思考，也可为开阔学生视野，激发兴趣，设计一系列可读性强、有教育意义的文章，包括与所教内容密切相关的发展史、著名专家的科研业绩、现代科学的热门话题等。
巩固练习是学案的着力点，在探索整理的基础上，让学生独立进行一些针对性强的巩固练习，对探索性的题目进行分析解剖、讨论探索，不仅能通过解题巩固知识，掌握方法和培养技能，而且能优化学生的认知结构，培养创新能力。
三、学案的编写原则
（1）主体性原则。对学案设计者言，必须要尊重学生，注重充分发挥学生的主观能动性 ，以激发其主体精神；必须依靠学生，注重引导学生直接参与并完成一系列学习活动，以发挥其主体作用；必须信任学生，注重用足够的时间和空间，让学生自主学习和发展，以确立其主体地位，做学习的主人。
（2）探索性原则。编写学案的主要目的就是培养学生自主探究学习的能力。因此，学案的编写要有利于学生进行探索学习，从而激活学生的思维，让学生在问题的显现和解决过程中体验到成功的喜悦。
（3）启发性原则。学案中设置的问题应富有启发性，能充分调动学生的思维，让学生通过自主学习，领悟知识的奥妙，培养思维的敏捷性和顿悟性。
（4）灵活性原则。由于学生的基础不同，在编写时，形式上应丰富多彩，灵活多样，内容上也应尽量调动学生思维的积极性。
（5）梯度化原则。问题的设置尽可能考虑到学生的认识水平和理解能力，由浅入深，小台阶、低梯度，让大多数学生“跳一跳”能够摘到“桃子”，体验到成功的喜悦，从而调动学生进一步探索的积极性。
（6）创新性原则，编写学案时，要强调内容创新，以培养学生的创新思维能力。
四、实行学案教学的意义
（1）实行学案教学，能够提高学生上课的效率，提高课堂利用率，减少学生分神的机会。学生在课堂上要时而听，时而读，时而写，时而记，时而思，时而答，可谓多种感官齐参与。学案教学可以使学生在课堂上全身心地投入学习活动。
（2）实行学案教学，便于学生记笔记，便于学生查阅和复习，这等于给学生了一份学习活动提纲。学生通过学案，就可以清晰地回忆上课时的情景。
一、素质教育目标
（一）知识教学点：1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．
（二）能力训练点：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．
（三）德育渗透点：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：用因式分解法解一元二次方程．
式）
3．教学疑点：理解“充要条件”、“或”、“且”的含义．
三、教学步骤
（一）明确目标
学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程．对于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x－2＝0或x＋3＝0，解起来就变得简单多了．即可得x1＝2，x2＝-3．这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．
（二）整体感知
所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．
“或”有下列三层含义
①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0
2．例1解方程x2＋2x＝0．
解：原方程可变形x（x＋2）＝0……第一步
x＝0或x＋2＝0……第二步
x1=0，x2=-2．
教师提问、板书，学生回答．
分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．
例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．
解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．
得，x＋5＝0或x-3＝0．
x1＝-5，x2＝3．
教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：（一）方程化为一般形式；（二）方程左边因式分解；（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
练习：P．22中1、2．
第一题学生口答，第二题学生笔答，板演．
体会步骤及每一步的依据．
例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．
解：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0．
x-2＝0或3-x＝0．
x1＝2，x2＝3．
教师板演，学生回答．
此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．
练习P．22中3．
（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.
解：原式可变形为（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．
[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0
即：（5x-4）（x＋8）=0．
5x-4＝0或x＋8＝0．
学生练习、板演、评价．教师引导，强化．
练习：解下列关于x的方程
6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．
学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度．
练习P．22中4．
（四）总结、扩展
1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
四、布置作业
教材P．21中A1、2．
教材P．23中B1、2（学有余力的学生做）．
2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）化方程为一般形式；
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
但要具体情况具体分析．
3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．
五、板书设计
12．2用因式分解法解一元二次方程（一）
例1．……例2……
二、因式分解法的步骤
（1）……练习：……
（2）…………
（3）……
（4）……
但要具体情况具体分析
六、作业参考答案
教材P．21中A1
（1）x1=-6，x2=-1
（2）x1=6，x2=-1
（3）y1=15，y2=2
（4）y1=12，y2=-5
（5）x1=1，x2=-11，
（6）x1=-2，x2=14
教材P．21中A2略
（1）解：原式可变为：（5mx-7）（mx-2）＝0
5mx-7=0或mx-b＝0
又m≠0
（2）解：原式可变形为
（2ax＋3b）（5ax-b）＝0
2ax＋3b＝0
或5ax-b＝0
a≠0
教材P．23中B
1．解：（1）由y的值等于0
得x2-2x-3=0
变形为（x-3）（x＋1）＝0
x-3＝0或x+1=0
x1＝3，x2=-1
（2）由y的值等于-4
得x2-2x-3=-4
方程变形为x2-2x＋1=0
（x-1）2=0
解得x1=x2=1
当x=3或x＝-1时，y的值为0
当x=1时，y的值等于-4
教材P．23中B2
证明：x2-7xy＋12y2＝0
（x-3y）（x-4y）=0
一、素质教育目标
（一）知识教学点：掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
（二）能力训练点：1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．2．培养学生快速而准确的计算能力．
（三）德育渗透点：1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．2．通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
二、教学重点、难点
1．教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
3．关键：1．推导方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的异同．2．在求根
的简单延续．
三、教学步骤
（一）明确目标
通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难．能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的产生极好地解决了这个问题．
（二）整体感知
由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，使学生能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化．
求根公式的推导过程，蕴含着基本理论的应用，例如：等式的基本性质，配方的含义．完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质，同时也蕴含着一种分类的思想．
通过公式的推导，深刻理解基本理论和方法，培养学生进行数学推理的严密性和严谨性．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1．复习提问：用配方法解下列方程．
（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．
通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．
2．用配方法解关于x的方程，x2＋2px＋q＝0．
解：移项，得x2＋2px＝-q
配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2
即（x+p）2＝p2-q．
教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫．
3．用配方法推导出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．
解：因为a≠0，所以方程的两边同除以a，
a≠0，4a2＞0当b2－4ac≥0时．
①②两步是学生易忽略的步骤，这两步实质上是为运用等式的基本性质和开方运算准备前提条件．①②步可培养学生有理有据的严谨的数学推理习惯，使学生逐步养成有条件，有根据才能有结论的推理习惯．
从上面的结论可以发现：
（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根．
的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
4．例1解方程x2－3x＋2＝0
解：a＝1，b＝-3，c＝2．
又b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，
x1=2，x2=1．
在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤1．确定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．
练习：P．16中2（1）—（7），通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．
例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x1＝
由此例可以总结出一般一元二次方程求解利用公式法的步骤：1．化方程为一般形式．2．确定a、b、c的值．3．算出b2－4ac的值．4．代入求根公式求解．
练习：P．16中2（8）．
（四）总结、扩展
引导学生从以下几个方面总结：
≥0）．
（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：①化方程为一般式．②确定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单．
2．（1）在推导求根公式时，注意推导过程的严密性．诸如
a≠0，4a2＞0．当b2－4ac≥0时，……
（2）在推导求根公式时，注意弄清楚推导过程所运用的基本理论，如：等式的基本性质，配方的意义，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质．
（3）求根公式是指在b2－4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解．渗透一种分类的思想．
（4）推导ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（用配方法）的异同．前者只求在b2－4ac≠0的情况下的解即可．后者还要研究在b2-4ac＜0的情况．
四、布置作业
教材P．14练习1
教材P．15习题12、1：4．
参考题：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（学有余力的学生做）．
五、板书设计
12．1一元二次方程的解法（四）
1．求根公式：例：用配方法推导出一元例1……
二次方程ax2+bx+c=0……
(a≠0)的根．练习……
2．公式法及其步骤解：解：…………
（1）……
（2）……
（3）
（4）
六、作业参考答案
1．使学生会解含有字母系数的一元一次方程。
教学分析
重点：含字母系数的一元一次方程的解法。
难点：含字母系数的一元一次方程的解法。
教学过程
一、复习
1．什么叫方程？什么叫方程的解？什么叫解方程？
2．试述一元一次方程的意义及解一元一次方程的步骤。
3．什么叫分式？分式有意义的条件是什么？
二、新授
1．含有字母系数的一元一次方程
引例：一数的a倍（a≠0）等于b，求这个数。
用x表示这个数，根据题意，可得方程
ax=b（a≠0）
在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。
含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。
例如：解方程5x+6=3x+10与解方程ax+b=cx+d。
解：移项，5x-3x=10-6，ax-cx=d-b，
合并同类项，2x=4，（a-c）x=d-b，
x=2。当a-c≠0时，
x=.
可以看出，上述两个方程的解法及其步骤基本相同。只是最后一步，从2x=4与（a-c）x=d-b中求出x不同，其中2≠0是很明显的，所以得x=2。而a-c必须指明a-c≠0时x=.
例1解方程ax+b2=bx+a2（a≠0）.
解：移项，得ax-bx=a2-b2，
合并同类项，得（a-b）x=a2-b2。
因为a≠b，所以a-b≠0，方程两边同除以a-b，得
x=，x=a+b.
注意：方程的解是分式时，一般要化成最简分式或整式。
例2解方程。
解：去分母，得b（x-b）=2ab-a（x-a），
去括号，得bx-b2=2ab-ax+a2，
移项，得ax+bx=a2+2ab+b2，
分解因式，得（a+b）x=（a+b）2。
a+b≠0，x=a+b。
三、练习
练习：P90中练习1，2，3，4。
四、小结
本课内容：含有字母系数的一元一次方程的解法。
五、作业
作业：P93中习题9.5A组7，8，9。
需要注意的几个问题
一、选择题（本大题共10题 共30分）1. 的值等于（ ）A . 3 B . -3 C . ±3 D . 2. 若点A（-2，n）在 轴上，则点B（n-1，n+1）在（ ） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D .第四象限3. 下列说法正确的是（ ） A . 相等的两个角是对顶角 B . 和等于180度的两个角互为邻补角 C . 若两直线相交，则它们互相垂直 D . 两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直4. 下列实数中是无理数的是（ ） A . B . C . D . 3.145. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A . 为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查 B . 为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查 C . 为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 D . 为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查6. 如图，直线EOCD，垂足为点O，AB平分∠EOD， 则∠BOD的度数为（ ） A . 120° B . 130° C . 135° D . 140°7. 如图所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ） A . ① B . ② C . ③ D . ④8. 如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断 AB∥CD的是（ ） A . ∠3=∠4 B . ∠1=∠2 C . ∠D=∠DCE D . ∠D+∠ACD=180°9. 若 的值为：（ ） A . 2 B . -3 C . -1 D . 310. 如果不等式组 的解集是 ，那么m的取值范围是（ ） A . B . C . D . 二、填空题（本大题共10题 共30分）11. 的平方根是 ， 的相反数是 ；12. 一次考试考生有2万人，从中抽取500名考生的成绩进行分析，这个问题的样本 是 。13. 当x 时，式子 的值是非正数。14. 由 ，用x表示y，y= 。15. 某正数的平方根为 和 ，则这个数为 。16. 把“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为 。17. 线段CD是由线段AB平移得到的，点A（-1，4）的对应点为C（4，7），则点 B（-4，-1）的对应点D的坐标为 。18. 如果两个角的两边两两互相平行，且一个角的 等于另一个角的 ，则这两个角的度数 分别是 。19. 已知 是方程 的解，则m的值为 20. 如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C-D-A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 。三、解答题（本大题共4题 共40分）21、计算：（每小题5分，共10分） （1）解方程组 （2）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来。 22. （10分）如图已知∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数。23. （10分）小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元，小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元，求每支中性笔和每盒笔芯的价格。24. （10分）商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有27元钱，最多可以购买该商品多少件？ 参考答案一、选择题1. A 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. C 8. B 9. B 10. D 二、填空题11. 12. 抽取500名学生的成绩13. 14. 15. 116. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等17. （1，2）18. 108°，72°19. -320. （-1，-1）三、解答题21. （1） （2） ，数轴略 22. ∠B=130°
23. 解：设每支中性笔为x元，每盒笔芯为y元……（1分） 依题意得 ……（4分） ……（4分） 答：每支中性笔2元，每盒笔芯为8元 ……（1分）24. 解：设可购买该商品x件。 ……（1分） 5×3＜27 购买的商品超过5件 ……（1分） 依题意，可列不等式 ……（4分） ……（3分） 答：最多可购买10件 ……（1分）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1、下列四组线段中，能组成三角形的是……………（ ） A、2cm，3 cm，4 cm B、3 cm，4 cm，7 cmC、4 cm，6 cm，2 cm D、7 cm，10 cm，2 cm2、下列生活中的现象，属于平移的是…………………………………………（ ） A、抽屉的拉开 B、汽车刮雨器的运动C、坐在秋千上人的运动 D、投影片的文字经投影变换到屏幕3、下列各方程中，是二元一次方程的是………………………………………（ ）A、 B、 C、 D、 4、一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是………（ ） A、 B、 C、 D、 （第7题图） （第4题图）5、任何一个三角形的三个内角中至少有…………………………………………( ) A、一个角大于60° B、两个锐角 C、一个钝角 D、一个直角6、已知下列条件，不能作出三角形的是…………………………………………( ) A.两边及其夹角 B、两角及其夹边 C、三边 D、两边及除夹角外的另一个角7、如图，∠AOP=∠BOP，PDOB，PCOA，则下列结论正确的是……………( ) A、PD=PC B、PD≠PC C、有时相等，有时不等 D、PD＞PC 8、已知x +4y－3z = 0，且4x－5y + 2z = 0，x：y：z 为…………………………（ ） A、1：2：3；B、 1：3：2；C 、2：1：3；D、 3：1：2二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9、工人师傅在做完门框后．为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图4中的AB，CD两根木条），这样根据的数学道理是_____________________________.10、在 中，如果 ＝1.5，那么 ＝_______；如果 ＝0，那么 =__________.11、由3x－2y＝5，得到用x表示y有式子为 ＝______________.12、10名学生计划“五一”这天去郊游，任选其中的一人带20根香肠，则10人中的小亮被选中的概率是_________.13、角和线段都是轴对称图形，其中线段有___________条对称轴.14、已知 是方程5 x－( k－1)y－7 = 0的一个解，则k =______.15、已知方程组 的解也是方程 的解，则 =. 16、如图，AD是ABC的中线，如果ABC的面积是18cm2,则ADC的面积是＿＿＿＿cm2.
三、解答题（共52分）17、（每小题5分，共10分）解下列方程组：（1） （2）
18、（5分）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知： 、 ，求作：∠ABC，使∠ABC= + 。
19、（6分）如图，经过平移，小船上的点A移到了点B，作出平移后的小船。 A
20、（6分）如图ABC中，∠B=42o，∠C=72 o，AD是ABC的角平分线， ①∠BAC等于多少度？简要说明理由。 ②∠ADC等于多少度？简要说明理由。 21、（6分）方程组 和 同解，求 的值 22、（6分）在等式 中，当 ＝1时， ＝－2；当 ＝－1时， ＝－4.求k、b的值. 23、（6分）已知如图，∠1=∠2，∠3 =∠4. 请说明AC=AD的理由.
24、（7分）A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地.两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍.求两人的速度. 答案一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1、A 2、A 3、D 4、B 5、B 6、D 7、A 8、A二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9、三角形的稳定性 10、－3 ；6 11、 12、 13、1条 14、 15、 16、9三、解答题（共52分）17、（1） （2） 18、略 19、略 20、（1）∠BAC=66°（2）∠ADC=75° 21、（略解） ， 22、 23、易证ABC≌ABCD ，AC=AD 24、设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，由题意得： 解得， 经检验，……答：……四．附加题（本题10分）25、答案不
一、选择题：每题5分，共25分 1. 下列各组量中，互为相反意义的量是（ ）A、收入200元与赢利200元 B、上升10米与下降7米C、“黑色”与“白色” D、“你比我高3cm”与“我比你重3kg”2.为迎接即将开幕的广州亚运会，亚组委共投入了2 198 000 000元人民币建造各项体育设施，用科学记数法表示该数据是（ ） A 元 B 元 C 元 D 元3. 下列计算中，错误的是（ ）。A、 B、 C、 D、 4. 对于近似数0.1830，下列说法正确的是（ ） A、有两个有效数字，精确到千位 B、有三个有效数字，精确到千分位 C、有四个有效数字，精确到万分位 D、有五个有效数字，精确到万分5.下列说法中正确的是 （ ）A． 一定是负数 B 一定是负数 C 一定不是负数 D 一定是负数二、填空题：（每题5分，共25分）6. 若0＜a＜1,则 , , 的大小关系是 7.若 那么2a 8. 如图，点 在数轴上对应的实数分别为 ， 则 间的距离是 ．（用含 的式子表示）9. 如果 且x2＝4，y2 ＝9，那么x＋y＝ 10、正整数按下图的规律排列．请写出第6行，第5列的数字 ． 三、解答题：每题6分，共24分11.① (－5)×6＋(－125) ÷(－5) ② 312 ＋(－12 )－(－13 )＋223 ③（23 －14 －38 ＋524 )×48 ④－18÷ (－3)2＋5×(－12 )3－(－15) ÷5
四、解答题：12. (本小题6分) 把下列各数分别填入相应的集合里.
（1）正数集合：｛ …｝；（2）负数集合：｛ …｝；（3）整数集合：｛ …｝；（4）分数集合：｛ …｝ 13. (本小题6分)某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？
14. (本小题6分) 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面.（1）若1表示的点与－1表示的点重合，则－ 2表示的点与数 表示的点重合；（2）若－1表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合； 15.(本小题8分) 某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：＋8，－3，＋12，－7，－10，－3，－8，＋1，0，＋10．(1)这10名同学中分是多少?最低分是多少? (2)10名同学中，低于80分的所占的百分比是多少?(3)10名同学的平均成绩是多少? 参考答案1．B 2.C 3.D 4.C 5.C6. 7.≤ 8.n-m 9.±1 10.3211①－5 ②6 ③12 ④ 12① ② ③ ④ 13.10千米14. ①2 ②-315.①分：92分；最低分70分.②低于80分的学生有5人。所占百分比50%.③10名同学的平均成绩是80分.
1.计算2x3•3x2的结果是()
A.5x5 B.6x6 C.5x6 D.6x5
2.下列运算正确的是()
A.(2a3﹣2a2)÷(2a2)=a B.a2+a2 = a4
C.(a+b)2 = a2+b2+2ab D.(2a+1)(2a﹣1) = 2a2﹣1
3.如图，已知AB∥CD，∠B=120°，∠D=150°，则∠O等于()
A.50° B.60° C.80° D.90°
4.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )
A.1，2，3 B.2，2，4 C.1，2，4 D.3，4，5
5.如图，ABBC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°、y°，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是()
A. B.
C. D.
6.如图所示，直线a∥b，∠B=16°，∠C=50°，则∠A的度数为()
A.24° B.26° C.34° D.36°
7.已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为()
A.10 B.±10 C.﹣20 D.±20
8.下列不是二元一次方程的是( )
①3m﹣2n=5 ② ③ ④2x+z=3 ⑤3m+2n ⑥p+7=2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.甲、乙二人按3：2的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成.若第一年甲分得的利润比乙分得的利润的2倍少3千元，求甲、乙二人各分得利润多少千元.若设甲分得x千元，乙分得y千元，由题意得()
A. B. C. D.
10.如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于()
A.40° B.35° C.30° D.20°
二、耐心填一填：(每空3分，共33分)
11.把方程2x﹣y﹣3=0化成含y的式子表示x的形式：x=______________ .
12.一种细菌的半径是0.000039m，用科学记数法表示这个数是________ m.
13.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2= ________ 度.
14.已知x2+y2=10，xy=2，则(x﹣y)2= ________ .
15.已知xm=4，x2n=6，则xm+2n= ________
16.如图，ABC中，∠ACB>90°，ADBC，BEAC，CFAB，垂足分别为D、E、F，则线段________是ABC中AC边上的高.
17.一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是 ________
18.方程2xn﹣3﹣y3m+n﹣2+3=0是二元一次方程，则m= ________ n=________
19.已知 是方程组 的解，则a﹣b=________
20.若(4x2+2x)(x+a)的运算结果中不含x2的项，则a的值为 ________
三、细心算一算：(本题共8题，共57分)
21.计算题：(本题8分)
(1)(﹣2015)0 + 22 × |﹣1| ×(﹣ )﹣2 (2)(x+y﹣2z)(x﹣y+2z)
22.先化简，后求值：(本题5分)
[(x﹣y)2+2y(y﹣x)﹣(x+y)(x﹣y)]÷(2y)，其中x﹣y=2.
23.分解因式：(本题8分)
(1)2x2﹣8y2; (2)2x3y﹣4x2y2+2xy3;
(本题5分)在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC的三个顶点的位置如图所示，现将ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的A′B′C′;
(2)若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是.
一、选择题（每小题3分，共30分）： 1．下列变形正确的是（ ） A．若x2=y2，则x=y B．若 ，则x=yC．若x（x-2）=5（2-x），则x= -5 D．若（m+n）x=(m+n)y，则x=y 2．截止到2010年5月19日，已有21600名中外记者成为上海世博会的注册记者，将21600用科学计数法表示为（ ） A．0.216×105 B．21.6×103 C．2.16×103 D．2.16×104 3．下列计算正确的是（ ）A．3a-2a=1 B．x2y-2xy2= -xy2 C．3a2+5a2=8a4 D．3ax-2xa=ax 4．有理数a、b在数轴上表示如图3所示，下列结论错误的是（ ）A．b
一、挖掘案例生动特性，培养初中生能动学习意识
教育学指出，案例是教师课堂教学活动的有效“抓手”，学生学习技能素养锤炼的有效“平台”。笔者以为，数学案例，不仅要成为教与学活动效果提升的有效“平台”，更要成为激发学习对象能动学习意识的重要“载体”。初中生在解析数学问题案例的过程中，其能动意识都是在建立良好积极的学习状态基础之上。通过对苏科版初中数学教材的整体研析，可以发现，现行的教材内容以及案例，生动性更为显著，现实感更为丰满，趣味性更为浓厚，探究性更为明显。这些特性，为初中生主动学习意识的有效树立，提供了有效条件。因此，数学案例应成为教师激发和培养初中生数学能动学习意识的有效“抓手”，充分挖掘数学案例所具有的生动情感因素，做好数学案例的设置工作，结合教材内容、主体实际和认知特点，设置生动、趣味、真实、贴切的数学案例，让初中生改变对数学案例的“畏惧”思想，产生能动积极的学习意识，推进解析案例进程。如在“一元二次方程”案例教学中，教师利用该知识点内容在现实生活中的应用意义，通过设置“象棋比赛中，每局赢得2分，平各记1分，输记0分，现在知道四个算熟分数分别为180，169，178，187，计算参加比赛的选手人数”事例，将抽象数学知识转变为直观贴近的现实案例，为初中生展示了生动真实的教学氛围，从而让初中生保持积极情感探析实践。值得注意的是，利用案例的生动特性，培养初中生数学能动探析情感，只是其中的一种方法。初中数学教师在案例教学中，应根据实际情况，具体问题，具体对待，以此促进和提升初中生的数学问题探析情感。
二、利用案例探究特性，培养初中生探究实践能力
教育实践学指出，案例教学就是教师引导和指导学生围绕解题要求，组织学生进行探知、解析和归纳数学案例的实践过程。学生在分析案例、解答问题和思考案例的过程中，需要结合已有的数学知识和数学解题经验，进行问题的探究分析实践活动。探究特性，是数学学科数学案例的根本特性之一。因此，初中数学教师要充分延伸数学案例教学的发展过程，放大数学案例的探究特性，组织和指导初中生根据问题的解答要求，开展问题条件内在关系、解决问题思路以及解答数学问题方法等方面的实践探析活动，通过组织初中生探究、分析、解答、归纳等实践活动，培养和提升初中生的数学探究实践能力。
三、放大案例多变特性，培养初中生思维创新能力
数学是思维的“艺术”。思维是学习探知数学学科知识的主要活动。案例具有学科知识概括性和集中性特点，不同数学知识点之间总是存在密切的关联。在解析案例的过程中，学生通过转换解题的思维角度，利用数学知识点之间的深刻联系，就可以找寻出解决数学问题的不同方法和途径。这就为培养初中生的数学思维能力，特别是思维创新能力，提供了载体和条件。初中数学教师在教学活动中，要切实运用数学案例所具有的发散特性，善于创新和加工数学案例，设置和呈现不同形式或内容的数学案例，让初中生在开放性的数学案例解析中，创新思维能力得到提升。如在“二次函数的图像”案例解答中，学生在教师引导下，开展解析问题活动，得到其解决二次函数问题的方法。此时，教师利用该案例数学知识点的深刻特性，进行案例创新，设计了变式问题，组织初中生进一步解析问题案例活动，学生在解析案例、探寻思路、归纳方法的过程中，深刻认识到数学知识之间的深刻关联，其创新思维能力得以有效提升。
四、结语
总之，数学学习能力培养，是初中数学案例教学的核心任务之一。初中数学教师案例教学应将数学学习能力素养培养融入其中，开展有效教学方式，实现教学效能和学习技能的“双赢”。
作者：郑海艳 单位：江苏省阜宁县张庄初级中学
【关键词】导学案 初高中数学教学 衔接
一、要点紧密联系，在初中的基础上渗透高中教学
导学案的构造板块清楚明了，其中包含了自学目标、知识要点、归纳反思、预习自测、知识巩固等等。每一个板块对于学生的数学学习，都起到了关键性的影响，每一个板块各司其职，共同帮助学生解决数学疑难杂症。在促进初高中数学教学衔接的问题上，导学案也发挥了自身的强大作用。伴随着信息技术的发展，大批学习资料应运而生，顺应知识时代的潮流，学习资料的涌现成为必然。但太多的学习资料让学生摸不着头脑，完全找不到重y点，不知从何下手，特别是学生刚进入高一，看到繁多的数学资料，令学生头疼，里面的要点要么过于简单，纯属初中知识；要么太难，学生看不懂，完全脱离了初中数学。这些都是初高中数学教学衔接中普遍出现的问题，而导学案的出现，恰到好处地解决了初高中数学教学衔接不均衡的问题。
比如说，翻开高中数学必修一的导学案资料，仔细看一下编写的要点，不难发现，这些要点基本都是在初中的基础上加入高中的新知识，联系紧密，具有高度连贯性。对于函数学习的那一章，导学案上的要点也是如此。其中有一个要点为：根据函数的解析式求出函数的定义域。从语文的角度来看导学案上的这个要点，前半句话的表达重点是“解析式”三个字，而后半句的重点在“定义域”上，解析式是初中时代学生经常接触的问题，初中时候的数学考试动不动就是让学生求解析式，而定义域则是高一学生需要新学习的知识。通过解析式求出定义域，加强了初高中数学教学的衔接。导学案的要点指出正符合了初高中知识衔接的要求，推动了学生对数学学习的进展。
要点紧密联系，在初中的基础上渗透高中知识。这是导学案促进初高中数学衔接的一大特征，导学案开门见山地指出要点，又不缺乏对初中知识的巩固和再现，完美地诠释了数学是一门具有高连贯性的学科特征。
二、归纳反思清晰，初高中知识并举
学习就是一个不断归纳和反思的过程，导学案中涉及到的归纳反思，具有独特性。每一个归纳反思点，都加入了很多的知识，其中有初中阶段的知识，也有高中的新内容。归纳令学生的思维清楚，不会紊乱。反思让学生懂得回顾，理解数学学习的真正思想和内涵。导学案中加入归纳反思这一板块，并不多余，它有规律可循。最重要的是，导学案归纳反思中将初高中数学教学巧妙地衔接在了一起。
举个例子，还是关于函数学习的。函数学习中，归纳反思里提出：学生要通过函数解析式正确做出函数的图像，利用描点法做出准确的函数图。提示学生注意定义域和解析式特征。所有读过初中的学生都知道，函数的解析式和图像是初中数学中常常涉及的问题，这在数学学习中已然司空见惯。导学案的归纳反思里着重强调了函数图像的画法，其实，简单的函数图像初中生都能画，但是导学案把初中学习中通过解析式画出函数图像的方法进行了归纳反思，中间加入高中的描点法，而这个描点法就是解析式对函数图像的形成途径。导学案这一归纳反思板块，将初高中数学教学衔接在一起，便于学生学习。
归纳反思清晰，初高中知识并举。导学案的归纳反思板块，结合了高中数学教科书大纲，并在初中简单的知识中赋予了新的高中数学课程学习，这是广大编写数学资料者可以学习的地方，它的意义在于初高中数学教学的连贯性。
三、自学目标明确，强化初中知识，导入高中新理念
无论是语文、英语，还是数学的学习，任何一门学科的学习都需要一个明确的学习方向。没有一个明确的目标，即使学生有意预习也无从下手。但不是所有的自学目标都能让学生接受，如果翻开一本数学资料，学生看到的自学目标里都是一些难懂的文字或是占了三分之二的新内容，那么，可能学生连预习的心情都没了。可见，关于自学目标的设置，在数学学习中显得很重要，它直接决定了一个学生学习数学的进展情况。从初高中数学教学衔接这个问题上来看，由于初中生刚刚进入高中，学习思维和思想还不能真正适应高中的数学学习，再说，初高中数学教学的学习本来就大相径庭。高中对于学生学习能力和思维的要求，比初中超出太多。由此可见，初高中数学教学衔接的问题，理应渗透到数学资料的每一个板块。当然，自学目标也在其中。导学案自学目标板块中，将初高中数学教学知识进行有机结合，符合学生的发展规律和教育教学的客观要求。
例如，在高一学习集合的那一章自学目标中，就明确地展示了初高中数学教学衔接这一鲜明的特性。其中的一个自学目标为：数轴在集合中的应用。高中数学教学大纲里没有直接点明数轴在学习集合中的重要性，但是导学案对学生的自学目标提示中，就清楚地提出了这一点。
自学目标明确，强化初中知识，导入高中新理念。导学案的这一优势，就在于它了解广大学子的心声，以儒家温故而知新为原则，在初中的知识框架体系里，加上高中新理念，二者统一战线，相互促成，锦上添花。
