时间：2022-04-03 01:20:36
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇函数教案，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复
合函数的定义域、值域及单调性。
③注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高
解题能力。
教学重点与难点：对数函数的性质的应用。
教学过程设计：
⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课
1比较数的大小
例1比较下列各组数的大小。
⑴loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1)
⑵log0.50.6,logЛ0.5,lnЛ
师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？
生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？
生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。
师：对，请叙述一下这道题的解题过程。
生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0<a<1时，函数y=logax单
调递减，所以loga5.1>loga5.9；当a>1时，函数y=logax单调递
增，所以loga5.1<loga5.9。
板书：
解：Ⅰ）当0<a<1时，函数y=logax在（0，+∞）上是减函数，
5.1<5.9loga5.1>loga5.9
Ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数，
5.1<5.9loga5.1<loga5.9
师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？
生：这三个对数底、真数都不相等。
师：那么对于这三个对数如何比大小？
生：找“中间量”，log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0；lnЛ>1，
log0.50.6<1，所以logЛ0.5<log0.50.6<lnЛ。
板书：略。
师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函
数的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数
函数图象的位置关系来比大小。
2函数的定义域,值域及单调性。
例2⑴求函数y=的定义域。
⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)
师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要
使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式，
被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于
零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求
它们共同作用的结果。）
生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。
板书：
解：2x-1≠0x≠0.5
log0.8x-1≥0，x≤0.8
x>0x>0
x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕
师：接下来我们一起来解这个不等式。
分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，
再根据对数函数的单调性求解。
师：请你写一下这道题的解题过程。
生：<板书>
解：x2+2x-3>0x<-3或x>1
(3x+3)>0,x>-1
x2+2x-3<(3x+3)-2<x<3
不等式的解为：1<x<3
例3求下列函数的值域和单调区间。
⑴y=log0.5(x-x2)
⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)
师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。
下面请同学们来解⑴。
生：此函数可看作是由y=log0.5u,u=x-x2复合而成。
板书：
解：⑴u=x-x2>0,0<x<1
u=x-x2=-(x-0.5)2+0.25,0<u≤0.25
y=log0.5u≥log0.50.25=2
y≥2
xx(0,0.5]x[0.5,1)
u=x-x2
y=log0.5u
y=log0.5(x-x2)
函数y=log0.5(x-x2)的单调递减区间(0,0.5]，单调递增区间[0.5,1)
注：研究任何函数的性质时，都应该首先保证这个函数有意义，否则
函数都不存在，性质就无从谈起。
师：在⑴的基础上，我们一起来解⑵。请同学们观察一下⑴与⑵有什
么区别？
生：⑴的底数是常值，⑵的底数是字母。
师：那么⑵如何来解？
生：只要对a进行分类讨论，做法与⑴类似。
板书：略。
⒊小结
这堂课主要讲解如何应用对数函数的性质解决一些问题，希望能
通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用，提高解题能力。
⒋作业
⑴解不等式
①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a为常数)
⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)
①求它的单调区间；②当0<a<1时，分别在各单调区间上求它的反函数。
⑶已知函数y=loga(a>0,b>0,且a≠1)
①求它的定义域；②讨论它的奇偶性;③讨论它的单调性。
⑷已知函数y=loga(ax-1)(a>0,a≠1),
①求它的定义域；②当x为何值时，函数值大于1；③讨论它的
单调性。
5.课堂教学设计说明
本节课是高中新教材《数学》第一册(下)§4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法.为今后学习正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础.因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用.
二、学情分析：
在初中学生已经学习过三步作图法(列表，描点、连线)——“描点作图”法，对于函数y=sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y=sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y=sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。
三、教学目标：
依据教学大纲的要求，制订如下三维教学目标：
知识目标是：1.理解几何法作图原理(难点);
2.掌握五点法作图(重点);
3.了解三角函数图象的变换作图.
能力目标是：通过识记正、余弦曲线的形状特征，培养学生分析问题、
解决问题的能力;强化学生"数形结合"的数学思想.
发展目标是：教给学生灵活的思维方法，培养学生的学习兴趣和勇于
探索、勇于创新的精神，提高综合素质.
四、设计理念：
教无定法，贵在得法.诱思探究学科教学论认为：在教学思想上是启发式，在教学过程上是探究式，在教学价值上是发展式。德国教育学家第斯多惠也曾说过：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞.为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，充分让学生参与教学活动。同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣.采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法;教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法.体现“教师是主导，学生是主体”的教学原则.使学生不但“学会”而且“会学”，并逐步感受到数学的美，产生成就感，从而极大地提高对数学的学习兴趣.也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要.
五、教学程序：
本节课的教学过程设计，主要是从“三性”即“课堂流程的可操作性，知识目标的可接受性，学生主动学习的积极性”考虑的，对整个教学过程作如下安排：
教学程序图如下：
第一部分：导入.先复习以前学过的函数图象的作法——描点法，再让学生观察波动图象演示仪，激起学生的兴趣.指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象.如何作出该曲线呢?
以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动.
第二部分：几何法作图.引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线，并进行平移，描点作图.先作出y=sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，再依据诱导公式一平移图象得出y=sinx，x∈R的图象.同法得出y=cosx，x∈R的图象.
第三部分：多媒体展示.教师利用多媒体展示用Flas制作的课件，规范作图过程和步骤,统一认识y=sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，在此提醒学生在直角坐标系中，横、纵坐标轴的长度单位必须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。
第四部分：“五点法”作图.曲线形成后，让学生观察图象的形状特征，分析讨论，提炼出五个关键点，归纳出“五点法”作图步骤.
第五部分：总结.让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标，教师再补充.这样做，会检测出学生听课、分析、思考和掌握知识的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用.
如此设计，联系了新旧知识，体现了从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律.在这种螺旋式上升的过程中，学生将通过自己的亲自动手实践,不仅学到本节课的知识，而且还将提高思维水平和认知能力.同时也体现了"教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展"的教学思想.同时在教学过程中配以多媒体课件的展示，图文并茂，简洁明快，充分调动学生的各个感官，使学生学的生动，学的有趣，增大课堂容量，提高课堂效率.
为了突破几何法作图这个难点，制作了多媒体课件，将y=sinx，x∈R
和y=cosx，x∈R图象的作法分解为三个问题来解决，降低了难度.通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程.使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣，调动学生的积极性(通过教学也的确是这样的).及时让学生跟着演示作图，提高学生的动手能力、模仿能力、创造能力.直观的动画，不仅使学生愉快地接受新知识，而且将激发学生的创造性思维和想象力，使学生充分发挥其思维潜能，拓展思维空间.
用“三步曲”来突出“五点法”作图这个重点.第一步设疑：“几何法作图.由于取点个越多，画出的图象也就比较精确，但也较为麻烦.在精确度要求不高的前提下，能否少定一些点，作出其简图呢?”问题的提出可以立刻抓住学生的好奇心，激起学生强烈的求知欲.第二步引导：让学生观察正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]和余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象，启发哪些点对决定图象的形状起着关键的作用呢?引导学生寻找出五个关键点.体现教师的主导作用;第三步小结：让学生分组讨论，互相补充，归纳出五点法作图步骤.教师对学生讨论的情况作出评价并指出作图应注意的问题，然后小结：“五点法”可以比较简捷地作出正弦、余弦函数的草图，对于以后研究正弦、余弦函数的性质将起到重要的作用.这样设计体现了“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现”的学习方法，使学生真正成为教学的主体.
应用：画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinxx∈[0,2π];
(2)y=-cosxx∈[0,2π].
解:(1)按五个关键点列表:
利用正弦函数的性质描点画图(如下图).
(2)按五个关键点列表:利用余弦函数的性质描点作图(如下图).
反馈练习:
1.在同一坐标系中用五点法分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x[-,]的简图.通过观察两条曲线,后者经过怎样平行移动就可以得到前者?
2.观察正弦函数和余弦函数,写出满足下列条件的x的区间:
(1)sinx>0(2)sinx<0(3)cosx>0(4)cosx<0
(例题、练习都用课件展示)
本节例题仍选用教材上的例题，但解答除“五点法”之外，又引导学生利用函数图象的平移对称变换来作图.通过一题多解，可帮助学生加深对知识的认知程度，培养灵活的思维方式.学会遇到新问题时，善于调动所学过的旧知识，运用新旧知识间的联系，增强分析问题和解决问题的能力.
反馈练习设计层次分明：练习1为巩固基础知识型，对课堂内容知识的再认识(五点作图及图象变换);练习2为提高能力型,是对正(余)弦函数图象的灵活运用，由易到难，体现因材施教重效果,循序渐进促发展的教学理念.
最后师生共同总结，强化数形结合的数学思想，使学生的理论达到发展和升华，能力达到提高,并为相关学科的学习做好铺垫，提高综合素质.
幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。
二．学情分析
学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。
三．教学目标
1．知识目标
（1）通过实例，了解幂函数的概念；
（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；
（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
2．能力目标
在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。
3．情感目标
通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。
四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。
五．教学难点画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。
六．教学用具多媒体
七．教学过程
（一）创设情境（多媒体投影）
问题一：下列问题中的函数各有什么特征？
（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．
问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？
这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数
（二）、建立模型
定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。（投影幂函问题二：数的定义。）
深化认知（1）下列函数是幂函数的是：
A．y=2x+1B．y=3x2C．y=x-3D．y=1
（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？
学生回答，老师点评。
引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。
通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。
为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。
（三）问题探究1.对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．填表
以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质．2.在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质．
学生回答，老师点评：幂函数的性质．
（1）函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像都过点（1，1）；（2）函数y＝x，，y＝x3，y＝x-1是奇函数，函数y＝x2是偶函数;（3在（0，＋∞）上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝是增函数，函数y＝x-1是减函数；（4）在第一象限内，函数y＝x-1图像向上与y轴无限接近；向右与x轴无限接近。
（四）解释应用
例1．写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：（投影）
①y=x②y=x③y=x④y=x
学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。（演示）
例2．比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：
①0.75，0.76；②(-0.95)，(-0.96)；
③0.23，0.24；④0.31，0.31
学生思考、作答，教师引导学生叙述语言的逻辑性。注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像例题这一基本思路．
（五）拓展延伸
探究：①已知(a+1)<(3-2a),试求a的取值范围。
②观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？
（六）归纳小结
今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？
（七）布置作业：
课本第87页2、3题
思考：幂函数y=(m-3m-3)x在区间上是减函数，求m的值。
附：板书设计
课题…………
问题一
（1）……………….
（2）………………
（3）……………….
（4）………………
（5）……………….
问题二：
………………………
……………………….
定义：…………
…………………
填表
幂函数的性质．
（1）………………
（2）………………
（3）………………
（4）………………
例1……………
①y=x②y=x③y=x④y=x
例2．
（1）………………
（2）………………
（3）………………
（4）………………
拓展延伸……………
布置作业…………….
教学后记
（1）本节课开始时要注意用相关熟悉例子引入新课。
（2）画函数图象时，如果学生已能够运用计算器或相关计算机软件作图，可以让学生自己操作，以提高学生探索问题的兴趣和能力，并提高教学效率。
(一)知道函数图象的意义；
(二)能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；
(三)能从图像上由自变量的值求出对应的函数的近似值.
教学重点和难点
重点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象.
难点：对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系.
教学过程设计
(一)复习
1.什么叫函数?
2.什么叫平面直角坐标系?
3.在坐标平面内，什么叫点的横坐标?什么叫点的纵坐标?
4.如果点A的横坐标为3，纵坐标为5，请用记号表示点A(答：A(3，5)).
5.请在坐标平面内画出A点.
6.如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点?反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个?这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应?(答：叫做坐标平面内的点与有序数对一一对应)
(二)新课
我们在前几节课已经知道，函数关系可以用解析式表示.像y=2x+1就表示以x为自变量时，y是x的函数.
这个函数关系中，y与x的对应关系，我们还可以用在坐标平面内画出图象的方法表示.
具体做法是
第一步：列表.(写出自变量x与函数值的对应表)先确定x的若干个值，然后填入相应的y值.
(这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法)
第二步：描点，对于表中的每一组对应值，以x值作为点的横坐标，以对应的y值作为点的纵坐标，便可画出一个点.也就是由表中给出的有序实数时，在直角坐标中描出相应的点.
第三步：连线，按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1图象.
例1在同一直角坐标系中画出下列函数式的图像：
(1)y=-3x;(2)y=-3x+2;(3)y=-3x-3.
分析：按照列表、描点、连线三步操作.
解：
它们的图象分别是图13-25中的(1)，(2)，(3).
例2某化我厂1月到12日生产某种产品的统计资料如下：
(1)在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标，以该月的产值作为点的纵坐标画出对应的点.把12个点画在同一直角坐标系中.
(2)按照月份由小到大的顺序，把每两个点用线段连接起来.
(3)解读图像：从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的.
(4)如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的，请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨?
解：(1)，(2)见图13-26.
(3)产量上升：1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升.产量下降：8月到9月，9月到10月.产量不升不降：2月到3月；6月到7月，7月到8月.
(4)过x轴上的4.5处作y轴的平行线，与图象交于点A，则点A的纵坐标约4.5，所以4月15日的产量约为4.5吨.
(三)课堂练习
已知函数式y=-2x.用列表(x取-2，-1，0，1，2)，描点，连线的程序，画出它的图象.
(四)小结
到现在，我们已经学过了表示函数关系的方法有三种：
1.解析式法——用数学式子表示函数关系.
2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系.
3.图象法——把自变量x作为点的横坐标，对应的函数值y作为点的纵坐标，在直角坐标系描出对应的点.所有这些点的集合，叫做这个函数的图像.用图象来表示函数y与自变量x对应关系.
这三种表示函数的方法各有优缺点.
1.用解析法表示函数关系
优点：简间明了.能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算.
缺点：在求对应值时，有进要做较复杂的计算.
2.用列表法表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便.
缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律.
3.用图象法表示函数关系
优点：形象直观.可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化.
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值.
函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点.因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法.在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图像.
(五)作业
1.在图13-27中，不能表示函数关系的图形有().
(A)(a),(b),(c)(B)(b),(c),(d)(C)(b),(c)(e)(D)(b),(d),(e)
2.函数的图象是图13-28中的().
3.矩形的周长是12cm，设矩形的宽为x(cm),面积为y(cm2).
(1)以x为自变量，y为x的函数，写出函数关系式，并在关系式后面注明x的取值范围；
(2)列表、描点、连线画出此函数的图象.
4.(1)画出函数y=-x+2的图象(在-4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图)；
(2)判断下列各有序实数地是不是函数.y=-x+2的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相庆坐标的点是否在你所画的函数图像上：
5.画出下列函数的图象：
(1)y=4x-1;(2)y=4x+1.
6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象.根据图象回答，在这一天：
(1)8时，12时，20时的气温各是多少；
(2)最高气温与最低气温各是多少；
(3)什么时间气温高，什么时间气温最低.
7.画出函数y=x2的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点)；
8.画出函数的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺序连结各点)：
作业的答案或提示
1.选(C).因为对应于x的一个值的y值不是唯一的.
2.选(D).当x＜0时，｜x｜=-x,所以,当x＞0时，｜x｜=x,所以
3.
(1)y=x(6-x)其中0＜x＜6，(图13-30).
(2)
4.
5.
见图13-32.
6.(1)8时约5℃，12时约11℃，20时约10℃.
(2)最高气温为12℃，最低气温为2℃.
(2)(2)14时气温最高，4时气温最低.
7.
课堂教学设计说明
1.在建立平面直角坐标系后，点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应.把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法.
2.本课的目标是使学生会画函图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系.为此，先在复习旧课时，着重提问会标平面上的点与有序实数对一一对应.接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤.
3.教学设计中的例3，即训练学生从已有数据画图象，又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力.对函数图象功能有一个完整的认识.
4.在小结中，介绍了函数关系的三种不示方法，并说明它们各自的优缺点.有利于对函数概念的透彻理解.
5.作业中的第1～3题，对训练函数概念及函数图象很有帮助.
第1题，目的要说明，对于x的一个值，必须是唯一的值与之对应.而(b),(c),(e)都是对于x一个值，y有不止一个值与之对应，所以y不是x的函数.本题还训练解读形的能力.
第2题，训练学生分类讨论的数学思想，在去掉绝对值符号对，必须分x≥0与x＜0讨论.
1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；
2、根据具体函数的图象，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
教学重点：函数的零点的概念及求法；能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。
教学难点：利用函数的零点作简图；对二分法的理解。
课时安排：3课时
教学过程：
一、引入课题
1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
2、指出：
（1）方程x2-2x-3=0的根与函数y=x2-2x-3的图象之间的关系；
（2）方程x2-2x+1=0的根与函数y=x2-2x+1的图象之间的关系；
（3）方程x2-2x+3=0的根与函数y=x2-2x+3的图象之间的关系.
二、新课教解
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有如下关系：
判别式
=b2-4ac
>0
=0
<0
二次函y=ax2+bx+c
的图象
x
y
x1
x2
x
y
x1=x2
y
x
与x轴有两个交点（x1,0）,(x2,0)
与x轴有唯一的交点（x1,0）
与x轴没有交点
一元一次方程
ax2+bx+c=0
的根
有两个不等的
实数根x1，x2
x1<x2
有两个相等实数
根x1=x2
没有实数根
2、函数零点的概念
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint).
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
练习：P103第1、2题．
思考：怎样求解方程lnx+2x-6=0？
4、二分法
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点x1
3、计算f(x1);
(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
(2)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1))
(3)若f(b)·f(x1)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b))
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|<ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4。
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确到0.1）。
练习：P106第1、2题．
三、归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的零点的概念及求法；借助计算器或
计算机用二分法求相应方程的近似解。
四、作业布置
《赢在45分钟》教辅书给出，判断一个函数为对数函数的条件是：（1）对数符号前的系数为1 （2）底数为大于0且不等于1的常数 （3）真数为单个自变量。并且举例说函数 不是对函数。因为 的前面的系数是2，而不是1。
志鸿系列从书《高中优秀教案》（必修1）中举例：
像 等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。即该书也不认为 是对数函数。
那么， 真不是对数函数吗？
我认为 是对数函数。理由如下：
一、对数函数是指数函数的反函数
《赢在45分钟》和《高中优秀教案》均承认 这样的函数为指数函数。由 。所以 的反函数为 。人教A版必修1《数学》教材中已明确指出对数函数 和指数函数 互为反函数。既然承认 为指数函数，为什么又不承认 是对数函数呢？
况且 和 （a>0且a≠1）分别可化为 和 完全符合条件：（1）系数为1，（2）底数为大于0且不等于1的常数，（3）真数为单个自变量。没有理由不承认它们是对数函数。《赢在45分钟》和《高中优秀教案》不承认 是对数函数，就不应该承认 是指数函数。他们这不是自己搬石头砸自己的脚吗？
二、"满足 的函数是对数函数
笔者在文《对指数函数中两处流行错误的辨析》中，补充了指数函数的另一个定义：指数函数是指定义于 ，满足条件 的连续函数（高希尧编《数学术语详解词典》）。文认为 满足上述条件但不是指数函数。将定义更改为：指数函数就是定义于 ，满足条件 的单调函数。
仿文笔者试给出对数函数的第二定义：对数函数就是定义于 ，满足条件 的单调函数。以 为例说明
不是对数函数。
而 2
是对数函数。
三、不光看"形似"，更要看"神似"
形如 （a>0且a≠1）的函数叫对数函数。这里的条件：（1）系数为1，（2）底数为大于0且不等于1的常数，（3）真数为单个自变量x。这只是对数函数的"貌"而非对数函数的"神"。即只要转化后具备（1）、（2）、（3）三个条件就是对数函数。
（a>0且a≠1）
= （已形似）
是对数函数。
罗增儒教授认为根据指数函数的定义，只要定义域为全体实数，对应关系能表达为指数形式 的函数就是指数函数。显然罗教授采用的也是转化后形似的方法，也就是不只看"形似"更要看"神似"。
仿罗教授的这段话，我们可得到：只要定义域为 ，对应关系能表达为对数形式 的函数就是对数函数。所以，我们在判断一个函数是否为对数函数时千万别再以"貌"取"人"！
以上三点均可说明 是对数函数。
参考文献：
1.朱勇.一个定义的瑕疵.中学数学教学，2009，5(28)
一、学案与教案相结合
教师教学要在一定的学案、教案指导下才能够把握好教学的方向，也才能够针对学生的实际情况进行备课、布置作业，同时对自己的教学也才能及时做出更新和完善。针对学案设计来说，顾名思义要关注到学生的自主研究、自主发展、合作探究等问题上，制定一个具有实际意义的学习方案。例如苏教版高中数学必修一“集合的含义及其表示”这个内容，教师便可以要求学生先自主去预习这一节的内容，在预习好的情况下尝试做教材中的例题，从例题中学习课题内容。在课堂上，教师讲解“集合的含义”时则要求学生说出自己在预习中所了解到的“集合的含义”是什么，学生在表述过程中就是一种对自己学习的回顾，也会一种对自我学习的检验过程。教师根据学生的表述也要及时纠正错误或者进行知识强化，还可以针对某些学生陈述的内容来要求小组学生进行讨论，完善学生自主学习的内容，促进学生在课堂上继续强化自己的学习，课后继续进行相关课题的反思和深化探究。这一套过程就是对学生进行学习所制定的学习方案的实施应用，并且在应用过程中不断改进学案。而针对教案而言，教师如何进行教学、如何在教学中提高效率、如何改善学生的学习方法和习惯……这些都是教师进行教学方案设计所应该涉及的内容。例如在学习“指数函数、对数函数和幂函数”时，教师就可以考虑如何让学生在课堂上集中注意力进行函数的学习；或者根据学生的接受能力情况，教师还可以考虑是否应该再次回顾初中阶段的函数学习，为指数函数、对数函数和幂函数的学习做好铺垫；又或者在课堂上，是否可以进行小组交流的方式来强化学生对知识的理解和探究……这些问题就是教师教学方案中所该呈现的内容，所以学案与教案相结合才能促进整个教学活动的顺利进行，学生才能树立良好的学习态度，教师才能掌握好有效的教学技能。
二、合理安排学习过程和教学过程
学生的学习和教师的教学是相互影响和相互联系的，因此学生的学习过程和教师的教学过程中也应该是相互契合的。对于学生的学习过程来说，除了有教师的引导性作用影响外，还应该有自身的自觉性控制和自主性探讨来进行安排计划。例如苏教版高中数学必修二，关于“统计”的学习，首先教师进行学生学习的安排就应该涉及到课前预习、课堂练习、课后探究三个部分，这是教师引导性作用在学生学习安排中的体现。而学生自觉性和自主性的发挥也要从这三个部分去体现，比如“统计”这节包含的抽样方法、总体分布的估计、总体特征的估计、线性回归方程这些内容都应该在学生刚开始接触“统计”这个章节时就必须了解的内容，并且建立这些内容之间的联系。在课堂上针对自己存在的疑问进行提问，课后再次加深自己对问题的思考和探索。这是学生学习过程的具体内容。对于教师教学而言，教师也要通过课前任务布置、课堂教学手段设置、课后活动计划安排等环节的考虑来完善教学。例如在学习“概率”这一章时，教师也要结合概率章节中关于随机事件及其概率、古典概型、几何概型、互斥事件等内容来让学生在课前进行全面了解，概括其中的规律和不同，并且在课堂上以提问的形式来考察学生是否对知识点进行掌握，同时在课后教师还可以组织学生进行相关的实际事件的概率探究，加强学生的实践性操作。这些内容就就教师教学过程的具体内容。
三、能动性的提升
能动性是“双动两案”教学模式顺利实施最根本的因素，不管是教师还是学生，能动性都直接影响着教学的发展，教师在能动性的驱使下才能进一步地完善教学质量，学生在能动性的驱使下才能提高自己的学习水平。例如苏教版高中数学必修四教材中的“解三角形”这一章节，教师的能动性发挥可以体现在如何向学生解释正弦、余弦的定理使得他们更加容易理解，如何把正切定理和正弦、余弦定理进行比较使得学生能够体会到解三角形过程中避免定理公式的记忆错误，或者怎样启发学生去思考关于余切这个教材未涉及到的概念从而开发学生的思维……同样学生在能动性的发挥中，也要在学习中、生活中体现出来，比如针对某个数学问题加强自己在生活中的观察，对课堂上的疑问做好标记找同学和老师询问，对于一类数学问题寻找其他各种解决方法从而拓展自己的数学思维……这便是学生在能动性发挥方面的体现。所以教师和学生是教学过程的主要两种角色，能动性的提升必须在教师和学生两者身上同时体现出来才有可能实现“双动两案”教学模式下的教学质量的提升。
总体而言，“双动两案”教学模式是一种教师与学生共同促进、共同提升的过程。学生学习和教师教学必须相互结合和相互关联，使得配套的学案与教案能够适应教师和学生的实际发展。只有在这样的情况下，教师才有可能对自己的教学不断进行改善和创新，学生也才会积极主动去反思和端正自己的学习态度，整个教学系统才会进行良性循环。
作者:宋扣生 单位:江苏省盐城市第一中学
摘要：随着教学案的普遍推广，课本的使用越来越少，本文就其中存在的诸多问题给出深刻剖析，并就如何有效地将教学案及课本有机地结合起来，给出了合理的建议及范例。
关键词：教科书;教学案;教材体系;教师专业成长
中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）24-083-1
教学案是一种融教师的教案、学生的学案、分层次的评价练习为一体的师生共用的探究活动的载体，其核心就是从学生的基础出发，在教师占有大量资料的前提下，把学生所要掌握的知识精心设计成问题的形式来进行导学、导练、导结。教师可以利用教学案引导学生独立看书、自学、思考和探究，使学生通过课前自学对教材首先有一个初步的了解，发现自己对教材的理解存在的问题，完成第一次教学;然后在课堂上讨论交流、合作探究、分析问题，完成第二次教学;最后是当堂进行达标测试，及时得到反馈，解决问题，完成第三次教学。这种设计，为学生自主学习、合作学习、探究学习提供了条件和明确的学习目标。通过教学案的使用，既能转变教师的教学理念，提高教师的整体素质和业务水平，又能转变学生的学习方式，让学生学会并自觉地在已有的经验基础上建构自己的知识框架和理论体系，使每个学生的思考深度得到拓展。
但随着教学案的普遍推广，课本的使用越来越少了，很多学生哪怕用课本也只是把课本上的概念往教学案上誊写一下就结束了，绝大部分学生的课本到高三毕业时都是崭新的，笔者在与教师、学生的交流以及教学实践中渐渐产生了担忧：在广泛使用以课本为蓝本编制的教学案的课堂中，是不是就可以不要课本了呢？如何正确使用教学案呢？
一、必须熟悉教材体系
只用教学案最严重的后果是学生对课本不熟悉，对课本的体系不了解。很多学生没有系统地看过课本，对教材的内容没有一个整体上的把握。而高中数学的很多内容是密切联系的，如：“函数”是个重要的核心概念，学生学习函数的知识经历四个阶段，第一个阶段是在初中，学生接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示、性质、图象。必修1第二章和第三章的学习是第二个阶段，这是系统学习函数知识的阶段，也是培养学生应用函数知识解决问题意识的开始。必修1在学习函数概念后学习函数的性质（单调性和奇偶性），进而学习具体的函数：指数函数、对数函数和幂函数，而研究这几个具体函数的性质主要是通过它们的图象来研究的，其中性质主要是指函数的定义域、值域、单调性和奇偶性。通过对这三个具体函数的研究，学生对抽象的函数概念的理解会进一步加深。第三个阶段是必修4、必修5的学习。必修4三角函数将角的概念推广到任意角后，我们就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数，这样就可以把三角函数纳入到一般函数的范畴，这部分内容的学习主要还是研究三角函数的图象与性质，这可以看成是必修1函数知识的一个应用。必修5中的数列虽自成体系，但它也可以看成是定义在正整数集上的函数。这样函数的概念的外延在不断地拓展，学生对函数概念的理解也更有深度。第四个阶段是选修课程中的导数及其应用、概率、参数方程等。导数可以看成是为了研究更为复杂的函数的性质而采用的更为先进的研究工具，其本质依然是函数，参数方程则给出了函数的另一种表示方式。可见，整套高中教材以函数作为主线贯穿其中。如果学生没有系统地看书，没有悟出这些概念之间的联系，他掌握的知识可能是支离破碎的，这样也就很难编织清晰的知识网络，很难形成高效的正确的认知结构，对这些知识的理解就会缺乏深度。
二、深入挖掘课本概念
很多教学案的预习部分都把课本的重要概念设计为填空题的形式，让学生在预习课本后填写，大部分教师在课堂上做的工作就是把学生填写的内容对一下答案，让学生对基本的概念有个大概的了解，然后讲解例题，再让学生进行当堂巩固练习，从反馈结果看，学生教学内容好像基本掌握了，但他们对这部分知识只是停留在识记的层面，没有正在参与到如何得到新知识的过程中去。从更高的要求看，这样的教学不能培养学生触类旁通的能力，遇到一个与之相关的问题可能就会束手无策。所以我们的课堂要让每个学生体验通过自己的探究得到知识的过程。例如，在学习指数函数时，应引导学生了解为何底数的范围是大于零且不等于1？更应该指导学生通过描点作图，了解指数函数的性质，为后面学习对数函数、幂函数以及研究更一般的函数性质提供了范例。
三、变式题教学，促进教师成长
教学案一般由这样几部分构成：导读――根据问题阅读教材;导思――在阅读教材的过程中思考问题，探索知识;导练――对知识的巩固;导结――对知识的小结。为保证质量，很多学校的教学案通常是由备课组集体研究，由骨干教师操刀完成的，所以教学案推行的“任务化”式的教学成为规范教师的教学行为、提高课堂效率的有效手段。这对于起步阶段的新教师尽快熟悉业务是有好处的，但长期使用现成的教学案，教师自主研究教材、独立编写教案的能力会受制约。如果把教学案教学的课堂组织形式看成是外力，那么教师对教材的解读、取舍、挖掘及灵活的教学机智则是教师的内力。虽然我们现在有成本的现成的教学案，但教师对同一个教学案的理解是不同的，对教材解读的能力是良莠不齐的，而且学生的差异也是客观存在的，不同层次的班级使用同一份教学案是不现实的，这就需要教师根据学生的情况作合理的取舍，或作适当的铺垫，或作必要的拓展延伸，所以使用一份不经过自己动脑思考、动手修改的现成的教学案恐怕教学效果也不会好，估计教师在课堂上操作起来也往往是捉襟见肘。
关键词：中职数学 教学方法 学案引导法
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0111-01
由于中职学生数学基础差，大部分学生对数学兴趣不浓，主动性不强。面对这种情况，职业高中的数学教师就要因生而变、因材施教，采取灵活多样的教学方法，在注重知识讲授深度和广度的基础上，更要注重教学方法的艺术性、教学内容的灵活性、教学氛围的活跃性，寓教于乐，寓学于导。新一轮高中数学新课改明确提出：让学生成为学习的主人，倡导学生自主探索，主动学习。为此，我在教学中极力借鉴同行们的先进经验，大胆尝试“学案引导式”教学法，取得了良好的教学效果。
1 “学案引导式”教学法的意义和结构
“学案引导式”教学法是一种促进学生自主学习的课堂教学方法，其目标是以教材为载体，以学案为手段，引导学生自主学习，养成良好的学习习惯，逐渐地学会学习。这种教学法改变了教师的教学观和学生的学习观，相信并充分挖掘学生的潜能，让学生真正体会到学习的成功与快乐。
“学案引导法”的基本结构包括教师课前的指导，课中的引导和课后的反复释疑。具体包含四部分：学习引导+问题引导+总结引导+拓展引导。
下面是我在“一元二次不等式的图解法”一节教学中的学案设计，提出来与大家共同商讨改进。
学习内容：中等职业教育国家规划教材数学基础模块上册“第二章不等式”。
§2.3.2一元二次不等式的图解法。
学时：一学时。
学习模式：
【学习引导】
（1）自主学习。
1）读教材P42～P44到练习止。
2）回答问题：
①本节内容所讲的一元二次不等式的解集与哪些因素有关系？
②当a>0时，二次函数y=ax2+bx+c的图像在坐标系中的位置有哪几种情况？
③这些不同的位置由什么决定？如何计算？
3）完成练习。
4）小结。
（2）方法指导。
1）阅读本节内容时，必须对照初中学习的二次函数图像―― 抛物线在坐标系中的三种位置情况：即与X轴有两个交点，有一个交点和无交点（先考虑开口朝上的情况）。观察图像上纵坐标大于零的点和小于零的点在哪里？
2）本节内容属“数形结合”的问题，应将位于x轴上方的图像和位于x轴下方的图像上点的坐标的范围与一元二次不等式ac2+bx+c>0（或者0）的解联系起来，即就是图像上纵坐标y>0，y=0，y
3）阅读本节内容时能否想到什么内容，并与之作比较。
【思考引导】
（1）提问题。
1）二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者有何联系？
2）当a>0时，解一元二次不等式ac2+bx+c>0（或者
3）一元二次不等式ac2+bx+c>0（或者0）的求解有哪几种情况？
4）当a
（2）变题目。
若一元二次不等式的解集为R或者？时，与该不等式对应的二次函数的图像是什么情况？
【总结引导】
本节内容：一元二次不等式y=ax2+ bx+c（a>0）的图解法。
第一步：达标（满足哪两个条件？）。
第二步：计算（哪个量？有什么用途？）。
第三步：分类（可分成哪几种情况？）。
第四步：写解集（依据是什么？）。
记忆方法：达标―― 看=b2-4ac正负―― 分类―― 写解集。
【拓展引导】
（1）课外作业：P45习题2～4。
（2）m为何值时，方程x2+2（m-1）x+3m2-11=0有两个不相等的实数根？
（3）m为何值时，二次函数y=mx2-（1-m）x+m与x轴无交点？
2 “学案引导法”的有关说明
（1）学案与教材，教案的关系。
教材是专家依据课标的理念设计编写的，其中的语言表达标准、规范、精简、书面化.教案是教师为上好一节课，根据教师本人的特点，依据教材内容，学生的情况设计的教学过程材料，仅供教师使用；学案是教师依据教材为了让学生阅读教材而编写的，并通过课前的学习，课中的讨论，课后的研究，使学生对概念理解后，用自己的语言对概念重新描述，并书写在学案上，较口语化，适合学生本人的复习和阅读.供学生使用。
（2）学案特点。
①设计上应站在学生角度考虑问题。
②方法上要引导学生读懂教材。
③内容上包含所有的知识，技能和方法。
④使用上它是阶段性学习资料。
⑤手段上通过分层设计，满足各个层次学生的需要。
参考文献
可以这样说，教育实习是检验大学成绩的开卷考试。如何在这次开卷考试中取得优异成绩，给自己交上一份满意的答卷呢？“机会只会眷顾有准备的人”，为了在这次的开卷考试中取得一个让自己满意的成绩，我在实习前做了大量的充分准备。
一、暑期实践
1、下乡支教
七月中旬，我跟随班里的队伍到雷州三下乡支教，以副班主任的身份收获了另一番的体验。在下乡过程中，我体会到作为一个班主任，不仅要亲自进行科目的教学工作，协助各科班主任做好班级教学工作，更要时刻关注班里学生的思想动态，及时做好开导、建议工作，同时我也有更多的时间和机会亲近学生，了解学生内心的需求和渴望，为实习期间迅速打开学生心门积累了一些经验，同时也为我的实习工作奠定了一些基础。
2、中学见习
大三第二学期，我到广州市113中学听了初一老师所上的数学课并协助老师进行课后作业修改工作。我明白了课堂教学需要课前充分准备。从理解教材到设计教学、从课堂教学到课外的作业查漏补缺等每一个环节都需要一丝不苟的努力。而且，针对不同学情，如何讲授教材中的内容也需把握恰当。重点要突出，难点要突破：有些知识只需口头带过，不必详究。
二、实习前的准备
1、购买必要的教学资源，全面备课
暑假期间，我前往广州购书中心购买了初中《5年中考3年模拟》，高中《教材完全解读》等数学资料，以及下载了数学必修1的电子教材以及相关的教师教案、学生学案在全面熟悉教材、准备教案的同时，我也通过一些高考题的联系不断强化自己的解题思路，提高自己的解题速度。
2、搜集备课资源，开始进行教学设计
在新课程标准的指导下，从网上搜索优秀的教案和课件，结合自己阅读教材的体会，初步形成自己的教案，并制作了相应的课件。
3、努力备好“五个一”资料
目前，我已经写好了《指数函数及其性质》一节的教案并做好了相关的PPT课件，也准备了主题为“吃一堑，长一智”以及“价值大拍卖”班会主题课方案和“趣味数学”的第二课堂活动方案。同时，也开始总结自己在实习前所作的准备工作。
关键字：多元函数，极值，二次型，正定，负定
1.引言
由于自变量的个数大于3时,多元函数极值存在性的判定比较繁复,现行工科高等数学中关于多元函数极值存在性判定问题,局限于讨论二元函数,这是远远不够的。因此,寻求能被学生接受的自变量个数大于3时多元函数极值的存在性的判别方法是十分有必要的。本文介绍了运用线性代数的相关知识判定多元函数极值的存在性的方法。这些知识都是成熟的结果,并非作者的创造发明,但将这些知识经过整理移植到工科数学教学中去却是一个十分有意义的工作。这种方法能为大学生们十分自然地接受,而且能扩大工科学生的知识容量,提高学生运用学得的知识解决实际问题的能力,激发学生学习数学的兴趣。
2预备知识
定义1含有个变量的二次齐次函数
(2-1)称为二次型，取，则（2.1）可写成
当为复数时,称为复二次型；当为实数时,称为实二次型。记
，
则二次型可表示成
,
其中A为对称阵。二次型与对称阵A之间存在着一一对应关系,A称为二次型的矩阵,而称为对称阵A的二次型,对称阵A的秩称为二次型的秩。
定义2设有实二次型,如果对任何,都有,则称为正定二次型,并称对称阵A是正定的,记作A>0;如果都有,则称的负定二次型,并称对称阵A是负定的,记作A<0;如果都有,则称为半正定的,称对称阵A是半正定的,记作;如果都有,则称了为半负定的,称对称阵A是半负定的,记作；如果既不是半正定也不是半负定的,则称为不定的,相应地,对称阵A称为不定的。
由定义,实二次型的正定性与它的矩阵的正定性是等价的。
关于对称阵的正定性有如下判别法:
定理2.1对称阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都为正;即
或A的各阶主子式都为正。
对称阵为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即
定理2.2对称阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正,对称阵A为负定的充分必要条件是A的特征值全为负。
定义3设有n元函数，在区域内具有一阶和二阶连续偏导数，对，记
分别称和
为在的梯度（grad）和在的海森矩阵（Hessianmatrix）
3多元函数极值的判别法
定理3.1（必要条件）：设多元函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的梯度必然为零,即
证：反证法。不妨设为极大值，而，则有某一i，使。不妨设，则存在的某一邻域，使得在这一邻域内当时，有，矛盾。
定理3.2（充分条件）：设多元函数在点的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且，则
（1）正定时，取得极小值；
（2）负定时，取得极大值；
（3）不定时，在处不取极值；
（4）半正定或者半负定时，在点处可能取极值也可能不取极值。
证：由连续性，存在点的某一邻域，使当时，与同号，于是当时，记
注意到，由一阶泰勒公式，
可知，（1）当正定时，，取得极小值；
（2）当负定时，，取得极大值；
（3）当不定时，不恒大于或不恒小于，因而不是极值；
（4）研究函数，显然，为半正定阵，而却不是的极值
由定理3.2可得如下推论
推论1设二元函数在某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又，记，则
（1）当在点处取得极小值；
（2）当，在点处取得极大值；
（3）当时，在点不取极值；
（4）时，在点可能取极值也可能不取极值。
证由定理3.2及定理2.1既得。
推论2设多元函数在点的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且，则
（1）的特征值全为正值时，取得极小值；
（2）的特征值全为负值时，取得极大值；
证由定理3.2及定理2.2既得。
例1求函数的极值
解：，
由，解得或。
当时，
因，，
正定，取得极小值；
当时，
，，
不定，在(0,1,1)点不取极值。
4结束语
上述提出的关于多元函数极值的判定方法的教学方案需同时开设高等数学和线性代数,在多元函数极值的教学中采用上述教案则是水到渠成,得心应手的事。如果按照传统的课程设置组织教学,采用上述教案也是可行的,没有多大困难,只需引进n维向量、矩阵及相应概念。这些概念在多元函数极值后面的教学中也很有用,并能激发学生的学习兴趣和积极性,激励学生去自学一些诸如线性代数,经济数学等课程,提高人才素质,并使后续的线性代数教学更得心应手。
参考文献
[1]赵贤淑.多元函数极值的求法及其应用[J].高等数学研究,1996,(01).
[2]叶克芳.多元函数的极值、条件极值和最值的关系[J].工科数学,1995,(02).
[3]邱炜源.多元函数极值的又一种判别法[J].湖州师范学院学报,1994,(06).
[4]叶淼林.关于多元函数的极值[J].安庆师范学院学报(自然科学版),1995,(04).
在初中教育中,教学难度最大的一门学科就是数学了。并且,在实际的教学中,许多学生上课认真听讲,下课努力复习,但其学习成绩却一直难以提高,造成这一情况的主要原因就是在课堂中教师的讲解和点拨不够。因此,加强初中数学课堂的“精讲点拨”对于提升学生学习质量和效率作用十分巨大,对于“精讲点拨”方法的研究也显得尤为重要。那么,在课堂教学中如何做到“精讲点拨”呢?
一、加强教材钻研,实现全面“精讲”
在初中数学的教学中,教材是教学的主要依据和重要资源。以前许多老师所陷入的误区就是认为知识点只要反复讲学生就能有很好的理解和吸收,其实这样的话不仅浪费了课堂时间,学生们也容易产生疲劳和厌倦的状态,因此,对于教材我们要提倡“精讲”。教师在上课之前,要重点加强对教材的钻研。对教材的钻研主要包括:哪些内容作用大、哪些内容难度大、哪些内容容易错等。在这些问题都明确了后再有针对性的做好教案和教学规划。这样一来,一些对于以后学习作用不大的内容就可以适当省略,对于难度大和易错点就可以加强讲解的力度,真正实现全面精讲。这样一来,不仅节省了宝贵的课堂时间,同样也能使学生们对内容的主次性有一定认识,对重难点的理解和掌握也就更加深刻,对于易错点的重视程度也会更高。
以苏教版初中数学“二元一次方程”为例,本章最大的难点就是二元一次方程的几种消元方法,而在这几种方法中也有主次之分。加减消元法和代入消元法平常使用的多,难度小,因此教师们在教学中可以少讲多练,而换元法的难度大,在这一点上就要进行精讲。精讲的内容主要包括什么时候需要用到换元法、换元法怎么进行运用、运用中需要注意哪些易错点等。而本章的另一重点就是二元一次方程所对应的函数图像,函数图像贯穿整个代数教学的始终,对于以后的各种函数和方程都有十分重大的意义。因此,这一点上要精讲细讲,保证每个学生都能熟练掌握函数图像的绘制,函数草图的描点,以及韦达定理的运用等。总之,教师首先要充分的研究教材,然后根据多年教学经验去制定教案,在教学中要节约每一分钟的教学时间,争取在精讲的提前下实现多练多讲,提升学生的接收水平。
二、加强课堂练习,明确“点拨”目标
课堂练习作为课堂中检验学生学习情况的主要方法,在课堂中的作用十分重大。因此,教师在课堂中要多拨出时间来,对所讲内容进行充分的练习。目前新课改下越来越重视知识的实际运用,而课堂练习正好符合了这一要求。当然,课堂练习的前提是老师对知识点的有效讲解之后,再进行有针对性的设置题目。还有非常重要的一点就是,目前许多老师片面的注重运用概念和公式进行解题,而忽视了数学思想的灌输。初中时段的数学思想主要包括:数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想以及化归转化这四种思想。素质教育的要求就是不仅在课堂中要教授学生知识,还要重视学生学习能力的培养和智力的开发。而数学思想就很好的结合了解题和智力开发这两个方面的问题。因此,通过数学思想的教学能实现学生自主的解决问题和总结方法。在习题设计后再根据学生们的解题情况找出其在什么地方遇到困难,在什么地方不小心错了,明确“点拨”的目标。
三、注重学生差异性,因人而异的“点拨”
在数学教学中,由于每一个学生的智力水平、接收水平和用心程度都不同,所以对于知识的掌握情况也不尽相同。此时如果教师片面重视整体的“点拨”,对于许多学习后进生而言就没有太大的作用。这样一来,不尽打击了后进生的学习积极性,还很容易造成其成绩越来越差,班级数学的整体差异性也越来越大,最终难以弥补。所以,教师们在教学中要综合运用各种方法了解每一个学生的学习情况,然后耐心的进行一一辅导,也可以通过学习互助小组的形式进行“点拨”。
在实际的教学当中,本人就遇到了这一类情况。在“因式分解”章节的学习中,通过课堂测评解决了大部分同学们的疑惑,于是就以为这一章节的学习质量很不错了。但在考试后,却发现学生们的错误点五花八门,有的是约分错误,有的是公式记忆错误,有的甚至连换元的方法都不会。这一问题上充分的表明了每一个学生学习情况都是不同的,对于知识掌握的差异化程度也是不同的,因此简单的全面“点拨”对于少数同学的作用不大。因此本人立刻组建数学互助小组,通过一个成绩优异的学生帮扶两个后进生的方式让他们敢于提问,最终因人而异的找出不足并弥补。
总之,实现课堂教学的高效是我们每一个教师所追求的目标,而课堂中的“精讲点拨”就是实现的方法。并且,精讲点拨注重了学生的差异性,真正的做到了教学的“以人为本”。
