时间：2022-07-13 19:27:15
【关键词】抓住；重点；提高；能力
《课程标准》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验…”问题解决在小学数学的教材中占有相当重要的地位，它是培养学生能力和发展智力的重要内容。如何帮助学生学好这方面知识，我认为抓住重点句教学是问题解决的关键，是提高学生解决问题能力的有效途径。这种方法，同样适用课标教材。
所谓重点句，就是指含有分率的句子。有表示整体和部分的从属关系；也有表示两种量的比较关系等。
如：光明玻璃厂十月份生产玻璃20000箱，比九月份多生产了 ，九月份生产玻璃多少箱？
题中的 十月份比九月份多生产了 是重点句。 它表示十月份生产玻璃箱数与九月份的比较关系。
1．重点句是分析数量关系，理解题意的桥梁。
1．1 分析重点句，判断单位“1”。教学时，可引导学生分析理解重点句，十月份与九月份相比，除了和九月份同样多的3份外，还多1份。这一份就是九月份的 ，九月份是被比的量，也是标准量，十月份生产的箱数是九月份的基础上比较出来的。因此，可先确定九月份生产的箱数为单位“1”。
1．2 根据重点句画出线段图，转化关系量。在初步分析重点句的基础上，要引导学生正确地画线段图，那就是先画标准量，再画比较量。只有先画标准量，才有可能体现比较量。
九月份
十月份
通过作线段图的培养，并经常进行引导训练，使学生从直观线段图理清两种量的内在关系，将一种量比另一种多或少几分之几，转化为一种量相当于另一种量的几分之几（或几倍）即“十月份比九月份多生产了 ”转化为“十月份相当九月份的（1+ ）”，这样就将复杂问题解决转化为简单的问题解决。
2．变换重点句，发展学生求异思维能力
复习课时，在学生理解掌握一般解法的基础上，改变教学常规，通过变换重点句，把学生的思维引向新方向，让学生探索和发现。在教师的启发引导下，学生有以下两种解答方法。
2．1 把比较量化为单位“1”。
观察线段图设疑启发诱导。
我们前面采取“十月份的箱数相当于九月份的（1+ ） ”来解答问题。如果反过来讲呢？从图中可以看出，“九月份相当于十月份的 ”。这时应进一步让学生从算理意义上分析 是怎么得出的？即1÷（1+ ）= （九月份的分率占十月份分率的几分之几）
可见，求九月份生产多少箱，就是求十月份的 是多少？即
20000× =15000（箱）。这样，就把复合的问题解决转化为简单的求一个数的几分之几是多少的问题解决。
2．2 把两种量的总和当作单位“1”。
九月份
十月份
从图上可以看出：由于九月份有3个等份，十月份有4个等份，可引导学生理解为：把九月份看作总数的 = ，十月份就是总数的 = ，
根据九月份占两月总数的 ，十月份占两月总数的 可先求两月总数，再求九月份：20000÷ × 。
事实说明，教学中抓住了重点句，帮助学生建立灵活的思维、变化的观点。对学生进行多种解法训练，有利于提高学生的发散性思维能力，跳出解决问题的一般模式，如让学生进一步明确单位“1”是能够转化的，并不是一成不变的。变换重点句的数量关系，能另辟蹊径，开拓思路。
三、 围绕重点句，进行变式练习。
围绕重点句，以它为中心，通过变化已知条件，变化问题的练习，可打破教材一例一类的编排程序，把求“比一个已知数多（少）几分之几是多少？”和“已知一个数比另一个数多（少）几分之几是多少，求这个数”的题目作为一个整体结构，采取集中对比的方法进行巩固练习。
例如：
如上练习，要指导学生对不同的题目加以分析比较，找出它们之间的异同处，明确解决问题思路（即什么变了，什么没变）。使学生对数量关系融会贯通，形成较完整的认识结构。这样练习，能克服解题的盲目性，养成认真审题，分析数量关系，正确解决问题的良好习惯
关键词：生本理念；知识体系；重难点
教师在对九年级学生进行数学教学时，一定要将生本理念贯穿于整个教学过程，坚持以生为本，针对学生数学水平的高低采用选择性较强的教学策略，让学生在数学学习中能够基于自身实际的数学能力，强化自身数学知识结构。
一、合作成长，共同完成九年级数学知识体系的建构
由于九年级的数学教材内容涉及很多难度系数较高的数学知识，所以数学教师一定要秉持团队精神，组织学生进行小组讨论，引导学生体会团队合作力量的伟大。学生在共同探讨和研究中，能够对数学知识充分进行交流，让小组内的所有学生都能得到同组人的帮忙，进而完成数学知识体系的构建。
二、多媒体课件辅助教学，有利于学生对重点、难点的掌握
对于一部分初中生来讲，九年级数学知识的学习和掌握难度越来越大，他们对于一些新知识点的运用已经觉得力不从心。因此，教师在教学过程中要特别注意课堂效果，让学生对数学难点和重点有一个很好的把握。多媒体课件对教学难点和重点的突出有很好的显现作用，能够让学生对数学知识有一个最主观的认识和了解，比如“一元二次方程的应用”这一课，教师应当用多媒体课件显示例题，让学生直接接触教学内容，并结合声文并茂的叙述方式，完成教学内容的讲解，最后教师在组织学生进行小组讨论时指导学生完成数学知识的交流和沟通。在实际的数学教学过程中，教师运用多媒体技术使学生对教学难点和重点一目了然，最大限度地提高了数学教学的时效性，其教学优势要远远高于传统教学方法。
三、以学定教，选择适合学生的教学策略
教师在九年级数学教学中除了要起到引导作用之外，还要以学定教，针对学生的实际水平选择适用性较强的教学策略，重视学生数学能力的提高和发展。
总而言之，教师要秉着“以生为本”的生本教学理念，完成九年级数学教学任务，帮助学生学会在课堂上自主思考和主动探究，除此之外，教师还要将生本教学理念融入数学教学内容的规划中，提高数学教学时效性，在结合多媒体软件应用的辅助教学功能，进一步提高学生的数学应用能力。
一、渗透数学思想，提高教学效率
有效的数学学习方法在于学生不能只凭上课听，一味地模仿教师的方法去解题，应该通过实践练习，自主探究与相互配合这一系列手段去完成学习任务。在数学学习中渗透数学思想是提高复习的重要途径之一。
1、培养学生合理归纳数学知识的能力。
到九年级第二学期，书本上的知识已基本学完，教师应启发学生去寻找前后知识的内在联系，加以总结归纳，理成一条线以便学生理清楚，加深记忆。例如，九年级代数“二次函数”这一章的内容，分布面广，分散点多，题型复杂，解法活，我把它分成以下几点内容：(1)三种形式、(2)三个要素：点、轴、配方、(3)三交点：与X轴交点、与Y轴交点、(4)由图象定a、b、c 符号、(5)图象与差别式的关系。
2、运用一题多解，举一反三，培养解题能力，提高复习课的效率。
为了提高复习效率，要使每个学生都动手动脑，来积极参与，提高兴趣，题目多变，举一反三，使学生觉得数学并不枯燥乏味，而被深深吸引住，变被动为主动。教师把他们联系下来的情况进行抽查分析，加以评价，正确加以肯定表扬，鼓励其他学生一起来发表自己独特的见解，方法越多越好，提示他们用另外的方法来解能否找到其他的捷径。总结一题有几种证法。几何教学中，几何命题从不同角度进行推理，能培养他们严密灵活的逻辑能力，对命题举一反三，触类旁通，更能对深化知识，扩大视野带来好处，提高复习效率。例如进行不同钥匙方法的思考，作一题多解的练习。
解数学题目，往往又陷入难题的“旋涡”或做了大量的习题，收效甚微，只能“望题”兴叹，如何去培养九年级学生解题能力，责任重大，教会了学生技巧，深入挖掘这座迷宫，面队变幻莫测的题目，不会感到惊慌，使他们会从不同角度，不同思路，不同手段，不同技巧去攻克它，对数学这门课产生兴趣和好感，既节省了时间，又不会陷入无休止的“题海”中，复习的效率会提高，自然成绩会上升，从而达到提高教学质量。
3、渗透数形结合思想，教会学生构建数学模式
数形结合思想，是把几何图形与代数解法有机结合起来，去解决复杂的数学问题的方法。例如：在解二次函数与X轴交点时，求Y﹥0，Y﹤0，等问题。利用求出X轴相交点A(X1，0)，B(X2，0)，利用图形可以知道当X﹥X1 或X﹤X2时，Y﹥0；X1﹤X﹤X2时，Y﹤0，借用图形可以直观的看出了问题的结果了。函数与图形的教学中把这种思想贯穿始终；在解直角三角形时的实际题和图中运用垂直定理求半径，弦长，以及正多边形与圆的相关计算都用到了构建直角三角形的模式；教材中的赵州桥的问题就是典型的例子。
4、精选例题，培养逆向思维，发展思维能力
学生的习题训练要求达到准确、规范，练出速度和技巧。教师首先要精选例题，引导练习，重点分析解题的思维以及方法，鼓励用代数几何综合来解题，同一类型变换条件和结论，让他们分清其中的异同，善于从不同的侧面起思考，充分运用类比联想思维，加以比较和鉴别，以培养学生的发散思维能力会发散出去，使思路灵活。
二、控制课堂教学量，提高教学效率
九年级复习过程中，只求课堂的全面复习全面到位的做法是片面的，一节课的时间有限，想把什么都说清楚却什么都没说清楚，想说的问题多，每题的分布时间就少，造成难以入深渗透，我在把每个知识中的难点、重点，易错的知识揭示出来，让学生自己整理，相互讨论，展开联想，发扬各自的探究精神，自己也学会了整节的知识内容。
三、几点体会和感受
提起历史教学无论是家长还是一些教师、学生都有一种错误的认识，即“历史就是死记硬背,没有什么方法”。其实，这里面大有文章。在多年的教学实践中，我逐步总结出了一些方法。
一、激发学生学习兴趣
孔子曾说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这句话的意思是：懂得它的人，不如爱好它的人；爱好它的人，又不如以它为乐的人。这就告诉我们，兴趣是学生学习的动力。因此，在教学中我会想尽一切办法来调动学生学习历史的积极性。如每次上历史课时，我会先给学生讲“历史上的今天”，然后会把这些事件与课本上的一些知识进行有效连接，这样就使学生有了一种亲近感，好像“历史”就在身边。例如，九月九日这天我讲到了“与九月九”：一九二七年九月九日是革命军事生涯的开始，是提出“枪杆子里面出政权”“星星之火，可以燎原”“农村包围城市，最后夺取全国政权”等观点运用到中国革命实践中的新起点，从此开辟了中国革命武装夺取政权的崭新道路。一九七六年九月九日，去逝，中国人民永远不会忘记伟大领袖为中国革命事业奋斗一生的光辉业绩。一个伟人真正的开始，一个伟人永远的离去都定格在了同一个日子――九月九日，真是生于斯终于斯。这样就增加了学生对伟人的神秘感，也激起了学生对伟人历史的浓厚兴趣。我还把每时每刻发生的国内外新闻讲给学生听，例如，当讲到抗美援朝时，我会给学生讲朝核问题六方会谈；当讲到和平与发展是当今世界的主题时，我还让学生认识到局部战争还未停止，如利比亚战争等。虽然这些并不一定是考试内容，但开拓了学生的视野，提高了学生的学习兴趣，对他们学习历史有着不可小视的推动作用。总之，兴趣是最好的老师。一定要让学生对历史产生兴趣，这样才能使历史教学取得事半功倍的效果，反之就会事倍功半。
二、巧妙记忆知识
我们所学的历史是讲述人类社会发生、发展的过程的，时间长，内容繁杂，知识点多。为了让学生更容易记忆这些知识，我在教学时注意总结规律，找寻巧妙记忆的方法，取得了很好的效果。例如，我把抗日战争总结成了“1，2，3，4”这几个数字，即一种社会主要矛盾（中日民族矛盾），一条抗日民族统一战线；两个政党（、共产党），两条抗战路线（共产党的全面抗战路线，的片面抗战路线），两个战场（共产党的敌后战场，的正面战场）；三个阶段（防御、相持、反攻），三次典型战役（平型关、台儿庄、百团大战），共产党的三三制原则等；四次会战（淞沪、太原、徐州、武汉），四大事变（九一八、七七、八一三、皖南）等。这样就使学生对抗日战争有了一个整体的认识，不再会觉得要记忆的知识点太多。又如，在让学生记忆《南京条约》的内容时，我运用了歌诀记忆法。我告诉学生一个歌诀：“南约有四项，割赔和开商；口岸有五处，广厦福宁上。”这首歌诀不仅全面地把条约的内容勾勒了出来，而且生动轻松、合辙押韵、朗朗上口，使学生更容易记忆知识，并且久久难忘。此外，还有图示记忆法。图示记忆法就是让学生利用各种图表、图形对历史知识进行记忆。这种记忆法最形象、直观，学生的记忆效果也很好。这些科学、有效的记忆方法，我们在教学中要使学生学会运用，这样学生不仅学到了知识，还提升了能力，为其终身学习打下了良好的基础。
三、不断更新知识
历史在不断地创造中，我们学习历史就是为了更好地为现实服务。因此，我们的学习不能仅仅局限于课本传授的知识，而应与时俱进，不断更新知识，并以开明宽阔的胸襟，广泛地吸取各学科的知识，接受种种不同的思想以及鲜活的知识为我所用，为历史教学所用，从而使我们的认知更全面、更深刻。
由于篇幅、能力有限，所以关于历史教学的探讨我就简述这些，如有不妥之处敬请广大同仁批评指正。
（责编 张翼翔）
一、紧扣大纲，精心编制复习计划
初中数学内容多而杂，其基础知识和基本技能又分散覆盖在三年的教科书中．教师对大纲理解要深透、研究要深入、把握要到位，要明确方向、突出重点，对中考“考什么”、“怎样考”应了若指掌，并依据大纲规定的内容和系统化的知识要点，精心编制复习计划．
计划的编写必须切合学生实际．可采用基础知识习题化的方法，根据平时教学中掌握的学生应用知识的实际，编制一份渗透主要知识点的测试题，让学生在规定时间内独立完成．然后按测试中出现的学生难以理解、遗忘率较高且易混易错的内容，确定计划的重点．切实可行的复习计划能让复习有条不紊地进行下去，起到事半功倍的效果．
二、重视课本，掌握基础知识
数学复习要立足于课本，纵观这几年的中考数学试题，压轴题的设计都是由课本习题改编，或在原有的基础上进行发展．要想打好基础，应真正回到课本中去，回到基础中去．
复习开始的第一阶段，首先必须强调学生系统掌握课本上的基础知识和基本技能，过好课本关．
对于基础知识，要向学生提出明确的要求，要让学生做到：对课本上的每一个基本概念、公式、法则、性质、公理、定理不仅要正确叙述，而且要灵活应用；搞清弄懂课本上的每一个例题，对课本后的每一个练习题必须都要会做，学会对课本上题目进行演变．如：适当改变题目的条件，改变题目的问法，看看会得出什么结果；每章后的复习题带有综合性，要求多数学生必须独立完成，少数困难学生可在老师的指导下完成．
三、系统整理，提高复习效率
数学习题千变万化，数量繁多．在总复习的第二阶段，教师要选择以系统知识为主的习题，做到既要有目的性、典型性和规律性，又要有启发性、灵活性和综合性．
在这一阶段，要体现教师的主导作用．这种归纳总结对程度差别不大、素质较好的班级可在教师的指导下师生共同去作，即由学生“画龙”，教师“点睛”．中等及其以下班级由教师归类，对比讲解，分块练习与综合练习交叉进行，使学生真正掌握初中数学教材内容．
四、搞好专题复习，加强综合训练，培养解决实际问题的能力
把握教材内容之后，第三阶段的综合复习除了重视课本中的重点章节之外，主要以搞好专题复习、加强综合训练、培养学生解决实际问题的能力为主，充分发挥学生的主体作用．
针对热点，抓住弱点，开展难点知识专题复习．就中考的特点可以从以下几个方面收集一些资料，进行专项训练：实际应用型问题；突出科技发展、信息资源的转化的图表信息题；体现自学能力考查的阅读理解题；考查学生应变能力的图形变化题、开放性试题；考查学生思维能力、创新意识的归纳猜想、操作探究性试题；几何代数综合型试题等．
加强综合训练，通过练、评、反思，查遗补缺，让学生掌握解题技能．对教师来说，这时主要任务是精选习题，精心批改学生完成的练习题，及时讲评，从中查漏补缺，巩固复习成效，达到自我完善的目的．
比如：针对中考试卷的各类题型和试题结构，进行全真模拟训练，让学生稳定心态，增加信心；重视解题过程教学，强调规范、简洁、严谨解题；善于放弃和攻坚，保证会做之题不失分；过难之题确实不会做，学会放弃．
教师要重点提高学生的综合解题能力，训练学生的解题策略，加强解题指导，提高其应试能力．
五、调整好心态，培养学生兴趣
首先是心理上要调整好心态，不光是学生，老师也是一样．在中考复习时，学校领导或专家要对教师进行心理健康辅导，避免因老师过度的紧张而造成学生过多的压力．学校还可以通过各种途径在不同的阶段，对学生进行个别心理辅导、群体心理辅导（班会课、专家讲座等），使学生正确对待压力与挫折，正确看待成绩，增强自信，发挥学习的最佳效能．
其次，要避免学生对考试产生畏惧心理，随着复习的深入，数学复习题的深度和广度也会增大，考生一次考试没考好或遇到不懂不会的问题是很正常的，如果一味地着急、焦虑，往往会一无所获，考生应把这些做错的题目和不懂不会的题目当成再次锻炼自己的机会，正确分析问题原因，考前发现问题越多纠正越及时，提高越快．
最后，教师要适时给予学生学法指导，培养学生兴趣．教师要从讲课复习、做练习（试题）、改正试卷、小结等等方面，对学生进行学法指导，使学生在学习的每个环节上量力而行，合理利用时间，发挥学习效能．使学生学习得法，增强自信，培养兴趣，做到事半功倍．
六、几点应该注意的问题
1．把握教学的难度
尤其是几何的教学，不要片面追求过于新、奇、特、繁、难的练习题．试卷不会靠一道试题把关，而是“长城设卡”，多题把关，将每道综合题分几个台阶，难在最后一问，让每个学生努力尝试，都有机会成功．
2．加强客观题解题速度和正确率的强化训练
中考采取了客观题起点低，减少运算量，让学生有更多的时间完成解答题，充分发挥选拔功能的作用，这就需要在速度、准确率上下功夫，定时定量强化训练．
3．重视九数学的教学，抓好“三基”的训练
关键词：九年级数学；基础回顾；能力提升
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）23-214-01
在数学的学习中进行基础回顾的目的在于使学生能够全面掌握学习内容中的基本知识，使学生更好的获得分析问题和解决问题的能力，加强学生对于知识的灵活运用。在九年级的学习中，由于其面临着中考这一重要环节，因此就需要在短时间内进行有序的复习，教师针对学生的学习规律制定出相对应的复习方案，使学生能够在复习的过程中发挥自身的能力进行探索，之后按照一定的流程进行复习，提高知识的运用能力。
一、做好基础训练
在初中九年级数学中，学习的重点在于学生通过对基础知识和基本的解题技能的掌握，进行数学运算和解题，在学习的过程中逐渐提高数学的学习水平。在进行基础知识的复习过程中，首先要能够围绕教材，在满足教材的教学和学习要求的前提下提高知识的掌握程度，同时注重学生的学习基础。其次，要能够在复习的过程中突出特点，吸引学生的注意力，提高复习的效果。在进行复习安排的过程中，教师要将知识结构的整体进行分析，使学生能够在整体结构中对知识的性质进行分析，并找到相应的学习方法，在对知识进行熟练掌握的前提下形成学习知识的能力。
在对各个章节进行复习的过程中，教师可先让学生对自身学习的知识进行查漏补缺，找出自身学习过程中的弱点所在，从而进行有目的的分析。在复习的过程中，教师要对学生的复习情况进行准确了解，之后引导学生对知识进行分类，对知识内部的结构进行有效把握，同时加以训练，加深学生的理解，对结论和方法进行灵活掌握，逐步提高数学解题能力。在这一阶段中要对进度进行有效掌握，使全体学生都能够对知识进行掌握。在基础回顾的过程中教师要注重将知识之间进行有效联系，为之后的知识学习做好铺垫。例如，在对数学知识进行梳理的过程中，可以将内容分为数与式、方程和不等式、函数和图像以及统计与概率等章节进行复习，结合指导资料进行复习。针对学习内容可将其分为图表信息问题、图形与变换、数学思想方法和课题学习等内容。
二、制定具体的复习计划
在进行数学基础回顾时，制定出详细的计划对于指导学生进行系统的复习有着十分重要的作用。制定的计划是否具有合理性在一定程度上影响着复习效果。因此在复习的过程中就要充分考虑知识的重点、学生整体的学习状况和复习的时间限制等问题，保证复习计划具有可行性。在复习计划中通常将复习分为系统复习和综合复习，对复习时间进行合理分配，同时使学生能够明确复习中的重点内容以及正确的复习方法，教师要利用教材使知识更加系统化同时也要准确把握住要重点培养学生的何种能力和掌握何种教学思想。在进行综合复习时，应使学生能够进行知识的积累和解决问题能力的提高，使学生逐渐寻找到解题的技巧，提高数学学习能力。
三、做好例题和习题的归类
在对数学基础进行回顾时，对教材总的例题和习题进行充分的发掘和分析，能够显著提高复习效果。在数学的复习过程中，许多题目都是在原有的题目中进行变化而来的，解题的思维方式和使用的解题方法大致相同。如果不能够对题目中存在的联系进行有效的掌握，就难以寻找到正确的解题思路。教师在对题目进行讲解的过程中要充分利用教材中提供的例题和习题，引导学生能够在解题过程中对问题进行灵活变换形式，实现触类旁通。其主要方法有：
1、对简单的题目要进行细致分析
在教材中的例题通常是为了使学生能够对概念和定理进行理解，强化基础训练。在这些题目中，通常涉及的知识内容较少，也较容易，但却是之后要学习的综合型题目的基础所在。在大题中包含着基础题，综合类的题目其实就是包含了各个综合题，因此就要将基础题作为重点进行对待。
2、采用新方法对旧题目进行讲解
在复习的过程中，教师要注重对于以往的例题的讲解，采用新的解题方法，对其中的内容进行延伸，拓展学生的思维，在旧题中采用新的解题方式，进一步加深学生的印象。针对一些简单的例题教师要对其进行挖掘，举一反三，使学生能够对相似题目进行熟练解答。
3、对于不同的题目采用同一种解题方式
在数学的例题中，具有相似的图形结构、产生的背景和解决方法等，甚至一些题目只是形式不同，条件相同，因此教师在进行讲解的过程中就十分有必要采用多题一讲的方式，使学生对于其核心知识的理解进一步加深，只要能够对题目的内涵进行充分了解，就能够进行知识的灵活应用。采用这种方式能够提高学生的学习效率，增强学生学习的自信心。
四、结束语
在进行九年级数学基础回顾时要制定出合理的复习计划，遵循学生的认知规律，在考试目标的启发和引导下，结合教学内容制定出复习方案，在复习的过程中按照计划进行复习，采用合理的复习方法，脚踏实地，从而实现复习的目标，提高学生的学习能力，改善学习效果。
参考文献：
[1] 王云申.九年级数学总复习重在提高解题能力[J].湖南教育.数学教师.2009（4）.
[教学内容]
新人教版小学数学四年级上册20页例2
[教学目标]
1.使学生在已有知识基础上，掌握亿以上数的写法，能根据数级正确地写出亿以上数。
2.培养学生主动迁移知识的思维。
3.让学生在活动中体会数学与现实生活的联系，培养学生用数学的眼光观察生活和应用数学的意识，培养学生自主探索、自我评价和善于合作的能力。
[教学重点]
亿以上数的写法
[教学难点]
每级中间、末尾有0的数的写法
[教学过程]
一、探究准备
1.情景导入
师：（出示地球图片）孩子们，你们知道这幅图是什么吗？对，它就是美丽的地球，我们赖以生存的地方，地球是太阳系第三颗行星。其实，除了地球以外，在太阳系中围绕太阳的还有另外7颗行星，看！
你们想去了解它们吗？
今天只要你们完成了学习任务，老师就带你们去看看这些美丽的行星！有信心吗？心动不如行动，让我们开始吧！
2.回顾亿以内数的写法：写出下面横线上的数。（指名说一说是怎样写数的？）
（1）太阳中心的温度为一千万摄氏度。
（2）共有三百万二千一百六十六人。
（3）2010年全国第六次人口普查福建省男性有一千九百万一千零九人
（总结亿以内数的写法）
你们会写这些数字吗？在草稿本上写一写。
总结：P先写万级，最后写个级；
Q哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；
R关键找“亿”和“万”字。
看来同学们对亿以内数的写法掌握的不错，但在日常生活中仅仅会写这些数是远远不够的，我们还会遇到更大的数，这节课，我们就来学习――亿以上的数的写法。（板书课题）
二、尝试引导，探究结合
我会学：
同学们打开学习单，完成练习
（1）整亿数的写法
用最大的天文望远镜至少可以看到十亿颗星。
十亿 写作：10 0000 0000
（2）非整亿数的写法
地球海洋总面积是三亿六千二百万平方米
三亿六千二百万 写作：3 6200 0000
（3）我国平均每月生产和丢弃的一次性筷子大约是三亿七千零五万双。
三亿七千零五万 写作：3 7005 0000
（4）2000年，我国有小学生一亿三千五百四十七万九千六百人。
一亿三千五百四十七万九千六百 写作：1 3547 9600
三、梳理知识，引导小结
总结：1.先写亿级，再写万级，最后写个级；
2.哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；
3.关键找“亿”和“万”字。
同学们，机会的大门永远为那些作好准备的人敞开着，你们一定会是其中之一，老师从你们的眼神中看出了你们对知识的渴望，我们接着完成任务吧！
四、练习实践
1.我会写（书20页做一做，第1题。）
天下无难事，有志者事竟成，瞧！我们的任务又完成了！
任何事都阻挡不了你们求知的心，让我们继续吧！
2.我会填
（1）15407800是由（ ）个亿，（ ）个千万，（ ）个百万，（ ）个万，（ ）个千和（ ）个一组成。
（2）一个数由5个千亿、3个千万、2个十万和4个千组成的，这个数写作（ ），读作（ ）。
（3）一个数的亿位和十万位上都是4，千万位和百位上是3，其他数位都是0，这个数写作（ ）。
其实只要踏实的实践，肯定会取得丰硕的成果！看哪我们又成功了！
3.谁最快（书20页第2题）
老师为你们今天的表现点个赞！
4.我会听
三亿二千万 七百四十亿一千二百万
八千零六十亿零九万 七十八亿零二十万三千零四十
同学们我们离最后的成功只有一步了，坚持必将胜利！
5.动动脑
（1）写出一个最大的十位数。
（2）写出一个最小的十位数。
（3）写出一个零也不读的十位数。
（4）写出只读一个零的十位数。
（5）写出读两个零的十位数。
瞧！通过不懈努力你们成功了！
孩子们，知识来源于生活，勤于观察和思考往往比创造发明还重要。今天，你们通过自己的努力，发现并学会了这么多知识，老师真为你们骄傲！其实生活中有更多的知识等着你们去发现、探索，快做个有心人吧，你会成长得更快！（播放行星图片），结束本课。
五、板书设计
亿以上数的写法
（1）先写亿级，再写万级，最后写个级；
活动目的：
1纪念“一二、九”学生运动，弘扬民族精神，增强爱国情操，增进同学们对于历史知识的了解。
2引导同学们增强新时代中国大学生的历史责任感。
3促进班级之间及年级之间的交流，加强班级的凝聚力并培养良好的班风。
活动对象：湖南师范大学法学院2010级一班全体团员
活动时间
活动地点：待定
活动形式：播放爱国主义电影，培养团员爱国主义热情。
活动内容：播放《我的1919》，影片表现了1919年巴黎和会上，外交才子顾维钧作为中国政府全权代表与列强抗争的种种过程和爱国志士肖克俭为国请命最终在凡尔赛宫广场自焚的悲壮之举，讴歌了中华民族威武不屈的民族精神和蓬勃高涨的爱国激情，同时也揭示了“弱国无外交”这样一条真理。
活动具体流程：
1 全体起立，奏唱团歌：《光荣啊，中国共青团！》。
2 主持人至开幕词： 介绍“一二·九”运动背景及其意义
3 电影展示：通过历史片段回放，让同学们更直观的了解“一二·九”运动。
4 知识竞赛：以寝室为单位进行问题抢答，在娱乐中了解历史，更深入的了解“一二·九”运动的历史背景和发展。调动活动气氛。
5 主题演讲：同学激情演讲，抒发自己的爱国情怀，畅谈心声。
6 合唱《我的中国心》：全体同学共唱《我的中国心》，表达自己对祖国的敬爱。
7 主持人及学生干部做总结。
活动预期效果：引导同学们增强新时代大学生的历史责任感，使同学们增强爱国情操。
活动注意事项：注意场地的安静与严肃，各个工作人员要协调好自己的工作。
“纪念一二·九爱国运动”主题团日活动总结
活动背景：75年前，“满耳是大众的嗟伤，一年年国土的沦丧”，面对这样的现实，在中国共产党的领导下，北平学生率先展开抗日救亡斗争，数千人举行游行示威，高呼：“打倒日本国主义！”“停止内战，一致对外！”。回顾历史，为了那些为新中国建立而鞠躬尽瘁的革命家，为了那些孤独的向我们证明历史的纪念碑，现在的我们，更应该珍惜无数先辈用献血换来得胜利，用理性的方法护国爱国。把自己的爱国热情转化为建设祖国的动力，为中华民族的伟大复兴而共同奋斗。为缅怀“一二·九”，抒发共同的爱国情怀。特拟定本次团组织生活会。
活动要旨总结：不忘国耻，成就未来。
活动对象：湖南师范大学法学院2010级一班全体团员
活动地点：法学院102
活动形式：
1活动具体流程：全体起立，奏唱团歌：《光荣啊，中国共青团！》。
2主持人至开幕词： 介绍“一二·九”运动背景及其意义
3电影展示：通过历史片段回放，让同学们更直观的了解“一二·九”运动。
4知识竞赛：以寝室为单位进行问题抢答，在娱乐中了解历史，更深入的了解“一二·九”运动的历史背景和发展。调动活动气氛。
5主题演讲：同学激情演讲，抒发自己的爱国情怀，畅谈心声。
我国少数民族主要分布在西部地区，全国五个民族自治区均在西部，聚居有46个以上民族。众所周知，由于受人文、历史、自然地理因素的限制，西部民族地区经济不发达，文化教育相对落后，普及九年义务教育的进程十分缓慢，全国尚未普及初等教育的县绝大部分在西部少数民族地区，可见“普九”任务十分艰巨，已成为当前民族基础教育发展中一个十分突出的问题，也是全国实施义务教育的重点和难点。其中，义务教育的办学模式、课程模式等问题尤为突出，制约着义务教育的发展和办学质量的提高，并极大地限制了西部民族地区经济的发展。为此，改革现有办学模式，对加快少数民族地区义务教育发展步伐，提高民族地区人口素质，振兴西部经济，缩小东西部地区差距都具有十分重要的意义。
一、西部民族地区九年制义务教育的进程及办学模式的现状怎样？就此我们对四川省阿坝州的羌民族主要聚居地棗茂县进行了实地调查。
茂汉羌族自治县（简称茂县）隶属于四川省阿坝藏族自治州，位于四川西北部的岷江、涪江上游河谷地带。县辖5个区22个乡镇，居住有羌、藏、回、汉8万多人，其中羌族占人口总数的88.1%，成为全国惟一的羌族自治县，是全国羌族主要聚居地。
自《义务教育法》颁布以来，为了有计划、有步骤地实施本地区义务教育，保证实施质量，茂县县委、县府及文教部门依据《义务教育法》及《实施细则》，结合本县实际，制定了茂县普及九年义务教育实施规划，确立了“普九”目标：“九五”，期间，占全县总人口57.5%的地区普及初等义务教育，占全县总人口58%的地区基本普及中等义务教育。2001年以前全县基本完成普及初级中等义务教育。在此目标的指导下，分地区、分年度、先易后难、逐一推进；普及初等义务教育和初级中等义务教育双向出击，一步到位，同步实施，逐步完善。在县委、县府的高度重视，广大群众积极参与和联合国儿基会的帮助、支持下，该县义务教育的工作正在稳步推行。到1997年底，已有5乡2镇完成“普九”任务，“普九”乡镇人口占全县总人口的53.2%。但是，从目前情况看，该县普及九年制义务教育的任务还十分艰巨，全县尚有近一半的乡未实现“普六”，2/3的乡未实现“普九”，在短短的4年间(1997-2001年)要完成这些乡的“普九”任务，因难极大，即使在已实现“普六”或“普九”的乡镇学校，也只是办学条件基本达标，而办学质量还存在诸多问题。调查发现，茂县羌族地区义务教育力学质量不太高的原因固然与本地区办学条件差有关，更与其办学模式单一有密切关系。从该县中小学办学模式现状来看，主要有以下问题：
（一）办学模式单一，升学型为其主模式
受传统观念影响，人们普遍反映出一种渴望升学的心态，这种愿望在落后的民族地区尤甚，升学成为人们摆脱贫穷与落后的惟一途径。同时社会对学校教育质量的评价仍主要以升学率为标准，教育观、质量观、人才观都出现“偏离”。从所调查的茂县民族地区来看，受渴望升学心态的驱使，又迫于外界升学压力，中小学校追求的主要目标是为高一级学校输送合格新生，而忽视为本地社会发展培养合格的劳动后备军这一目标，学校办学的指导思想是以升学为主。在这种办学思想指导下，升学教育仍然是学校办学的主模式，无论是办学条件相对较好的县属重点学校，还是办学条件差、办学质量不高的乡村学校，办学目标一律以使学生升入高一级普通学校为主，从而游离了全面发展与个性发展的培养目标，也与提高每个公民素质的义务教育目标和功能相悖。与此相适应的课程模式单一，以学科课程为主，只设必修课，以发展学生各种素质和个性为目标的各种选修课、活动课的开设极为忽视。课程设置缺乏灵活性和适应性、针对性。重视文化知识技能的培养，忽视日常生活生产中必备劳动技术素质的培养。
（二）多样化办学模式的探索尚处于自发阶段
茂县羌族地区为改革本地教育的落后面貌，着手进行了各种教育改革。为推进义务教育的顺利进行，提高教育质量，该地积极开展义务教育办学模式的改革探索。调查发现，少数学校在以升学型为其办学主模式的同时，也进行了多样化办学模式的初步探索，力图使普通教育与职业教育有机结合，在义务教育阶段，既提高学生的文化素质，又发展其职业素质，以便尽快走入社会，发挥各自的聪明才智。
该县普通教育与职业教育结合的模式有：
加续型(3+x)。这种模式是在学生初中毕业后，对不能升学的毕业生进行一段时间的实用技术教育。该县从民族地区实际出发，并结合学校的具体条件，采取与其他地区的职业学校或中专联合办学的方式，对初中毕业生进行连续性职技培训。如茂县民族中学在1998年与四川绵阳电子学校联办，对学生进行电子技术培训；土门中学也是采取与外地职业学校联合对所有未升学的初中毕业生，在自愿的基础上进行一年的职技培训。
渗透型(3+0)。这种模式是在不改变原教学计划的前提下，在整个初中学习阶段适当增设农业技术课和在各科教学中渗透农业、职业技术知识。茂县一些中学在各科教育中渗透实用技术方面进行了初步探索。土门中学生物课教学结合本地生产实际，增加了食用菌栽培技术知识，在生物课和卫生课中增加常见病诊治、血压测定等知识，化学课中则结合教学内容讲授农药配置等生产知识；南新中学从阿坝州林业生产较发达的实际出发，在劳动技术课中讲授果树栽培等实用技术，在物理课中渗透电子技术知识和家电维修技术；茂县民族中学在植物课中也渗透了果树栽培及花椒种植技术等知识。
总之，该县在普通教育与职业教育的结合方面进行了大距探索。但是，各个学校发展极不平衡，结合缺乏系统性、计划性。一般是学校或学科教师自发行为，并且这种发展尚未形成制度，步伐极为缓慢。
（三）多样化办学模式的实行缺乏有效保障条件
多样化办学模式的探索不仅尚未形成规模，而且又受到民族地区财力和物力的限制，使其难成气候。据1989年统计数据反映，我国贫困人口有45.7%在西部。国家“八七”扶贫攻坚计划确定的592个国家重点贫困县中，有307个在西部，约占全国贫困县总数的51.9%。而这些贫困县又多在西部民族地区。这种经济贫困严重影响了民族地区的教育投入。茂县为省级贫困县，1997年全县农村人平纯收入为796元，有的乡不到350元，与全国相比偏低；1990年国民生产总值（当年价）18707万元，工业生产总值为1750万元。可见，该地区工业生产不发达，地区经济落后。由于民族地区经济不发达，地区财政收入少，赤字严重，教育投入比例偏小，致使基础教育的发展伴随地方经济的贫困而走入困境。据调查1997年茂县财政经费缺口较大，教育支出困难，仅能基本保证学校人头经费开支，而学校基建维修等费用，只能依靠学校自筹。不仅如此，教育经费拖欠和挪用现象仍然存在。四川省为发展民族地区教育的专项拨款，被阿坝州政府挪作他用，无法保证专款专用；为发展普教中的职技教育，阿坝州政府每年划拨的职教经费也迟迟不能到位。教育经费投入不足，严重限制了这些地区教育的发展。
除此之外，实验实习场地缺乏，教学仪器设备不足的问题普遍存在，阻碍了多样化办学模式发展的进程。据调查，全县尚无一所学校有校办工厂，仅有少数学校拥有少量实验实习场地。即使如此缺乏的实验实习场地也因为种种原因难以发挥其本身的作用。如茂县中学有果园一个，但从增加学校办学经费的现实出发，不得不忍痛割爱，将其租借给他人经营：另一中学为保证学校硬件设施在“普九”验收中达标，不得不将原来的苹果、蔬菜园地平整为标准运动场。早在1987年茂县民族中学就打算以3+1加续型办学实现普教与职教的结合，改革学校单一的办学模式。但由于受人力、物力、财力的限制，计划一直无法实施，直到1998年才采取与外地学校联合的方式实行加续型办学模式的探索，其间推迟了近10年的时间。中小学基本的教学仪器设备十分简陋。地处县府所在地的茂县中学是该县惟一一所高完中，其办学条件相对较好，但十分缺乏电教设备，家电维修职高班所需的基本零配件因经费不足难以保证，给职教班的教学和技能培训带来种种困难；为适应开设电脑选修课的需要，不得不以中华学习机代替微机。县镇重点学校尚且如此，其他乡衬学校的办学设施则更加简陋。所有这些极大地限制了普教中职技教育的发展，致使多样化办学模式的探索困难重重。
二、茂县羌族地区九年制义务教育办学模式单一，升学型成为其办学主模式，而多样化办学模式的探索举步维艰，从而导致了民族地区义务教育的诸多弊端，其中一个突出的问题是学校教育难以培养民族地区社会经济发展的适销对路的合格劳动者，学校缺乏地方适应性，难以充分发挥学校教育为社会服务的功能。转贴于
我国西部民族地区拥有丰富的自然资源，其资源的开发利用急需大批实用型技术人才。长期以来，落后、封闭的教育导致了民族地区各类人才匠乏。如茂县羌族地区地处通往具有“童话世界”美誉的九寨沟风景区的交通要道，并且本地也拥有丰富的旅游资源；该县的花椒、苹果闻名省内外；由于毗邻顺江，拥有丰富的水利资源：除此之外，还拥有大量的森林、药材资源。但这里自然资源的开发利用却十分有限，这与其地方特色产业不发达，旅游、服务、食品深加工等第三产业人才极端缺乏有密切关系。振兴民族经济急需大批有文化、懂技术的实用型技术人才。然而，从目前民族地区教育发展现状来看，仅仅依靠大力发展职业技术教育来满足民族地区对技术人才的需要是极不现实的，也不符合民族区的地情。
我国自30年代进行中等教育结构的调整至今，全国范围内中等教育结构已基本趋于合理，中等职业教育将基本维持现状。同时，中等职业教育受“普高热”的冲击和经费投入的限制，使职业教育的生存和发展又面临一次新的挑战。在这种情况下，要兴办较多的中等职业技术学校是极不现实的。在民族地区，受地方经济限制及传统观念影响，职业技术教育发展十分艰难。从所调查的羌民族地区来看，目前全县尚无一所职业高中，职业技术教育不发达，大批劳动后备军的职业技术素质的培养和提高，很大程度上都依赖于义务教育阶段而得以实现。
西部民族地区受各种因素的限制，民族教育相对落后，教育教学质量不高，初中阶段的教育作为普及九年制义务教育的终端，实际上也是大多数民族学生的终端教育，甚至于小学教育便成为一些民族学生的终端教育。据茂县统计局的统计资料，近三年来，该县小学升初中的学生为70%左右，初中升入高中的学生则仅占30%左右。以1997年为例，小学毕业生升初中的升学率为74.1%(1996年全国小学毕业生升学率为92.6%)，初中毕业生升学率为33.6%(1996年全国初中毕业生升学率为48.8%)。可见，该地区约30%的小学毕业生和70%左右的初中毕业生将结束他们的学业，走上工作岗位或回乡务农。然而，以升学为目的和以为高一级学校输送新生为目标的升学教育模式，使大多数的学生在校学习期间，尚未受到产业生产劳动技能的培训，脱离生活和生产实际的文化知识，使他们在生产岗位上难有用武之地，不得不向其父辈学习传统的生产知识和技术，或接受就业培训，这无论对个人还是对社会来说，在时间和金钱上都是一种极大的浪费。这种不从民族地区学校、学生实际出发，脱离民族地区经济发展需要的办学模式，培养出一批又一批不懂技术、不会劳动，热衷于跳“农门”的农牧民新一代，极不利于西部民族地区经济的发展和振兴。
三、西部民族地区九年制义务教育质量不太高，学校教育严重脱离民族地区社会经济发展实际，很大程度上归因于学校办学模式单一。西部民族地区在逐步推行普及九年义务教育的同时，必须提高九年制义务教育的办学质量，力争在2000年保质保量地完成“普九”任务。切不可盲目追求“普九”速度，而忽视了其办学质量。从民族地区九年制义务教育发展现状出发，提高其办学质量，增强学校教育的适应性，一条有效途径是改革目前单一的办学模式，力求民族地区九年制义务教育办学模式的多样化。
（一）坚持办学模式多样化的发展方向
西部民族地区九年制义务教育办学模式单一的问题，不仅影响了九年制义务教育的办学质量，也限制民族地区经济的迅速发展。为此，西部民族地区实施义务教育的当务之急，除继续依目标按计划，在所有乡镇逐步实现“普九”任务外，必须改革义务教育办学模式的单一性，结合民族地区特点，从学校具体实际出发，坚持走多样化发展的道路。
西部民族地区城镇中小学，无论其办学条件、师资水平、学生生源等都优于区乡级学校，其办学质量相对较高，尤其是重点学校更是如此。这类学校应继续发挥学校的办学优势，深化教育教学改革，搞好升学预备教育，为高一级学校输送合格新生，为民族地区培养高质量的人才。办学条件较差、办学质量不高的区乡级中小学，应迅速改变过去以升学为主的办学指导思想，扭转办学方向，办学模式从单一的升学型向普教与职教相结合的有效模式转轨。3+X的办学模式，其好处是让学生较快地掌握一些“短、平、快”实用技术，尽快适应地方经济的发展需要，促进当地经济发展。办学质量不太高的学校可继续进行这类办学模式的探索，并采取“借鸡下蛋”的方式，与外地或本地的职业技术学校联合，共同培养适合本地区经济发展的实用型技术人才。根据学习成绩把升学有望和升学无望的学生分别编为普通班和职教班，在初中二三年级实现分流的2+1、2.5+0.5的办学模式，也不失为普教与职教结合的较为有效模式，在一定程度上突破了传统模式的框架，有利于缓解升学与就业的突出矛盾，并能有效调动学生的学习积极性。各种层次的学校应在现有条件下，进行课程改革，增加适应学生个性和特长的选修课、活动课，增强课程的针对性和适应性，开足开好劳动技术课，对学生进行劳动技术、生产技术的培训；努力挖掘学科教学内容中的职技教育因素，实施渗透型的办学模式。总之，要因地制宜、因校制宜，实现西部民族地区九年制义务教育办学模式的多样化，培养民族地区所需的多种层次、多种规格人才。
（二）确立渗透型办学主模式的地位
从民族地区学校办学实际和学生认知水平实际出发，在发展多样化办学模式的同时，逐步确立能有效兼顾升学预备教育和职业预备教育的渗透型办学模式的地位。这种办学模式在保证升学的前提下尽可能加大或渗透职业技术教育的内容。渗透途径有多种：一是在文化基础课中发掘或补充职教内容，体现出融合性特点。如在政治课中渗透经济政策、生产责任制和生产管理、法律常识等内容；植物课中渗透农作物栽培、动物饲养等；在化学课中增加土壤成分简易测定、常用农药配制等；在地理课中增加乡土地理、乡土资源的内容；在历史课中补充家乡史、民族史，培养学生的爱乡之情；在数学课中增加简单的财会、生产统计等内容。二是加强劳技课的教学。首先是开足开好劳技课，保证教学计划规定的劳技课时间和内容；在此基础上在不影响最基本的文化科学基础知识学习的前提下，适当增加劳技课的时间和与地方经济相适应的实用技术方面的教学内容，强化劳技课的实践环节，让学生在义务教育阶段能够学到一至二门实用技术。三是利用九年制义务教育课程计划地方安排课程的条件，适当开设适合本民族地区经济发展需要的职业技术选修课，对学生进行初步的职业定向和职技培训，使学生在受完义务教育之后既具有一个公民所具备的文化科学素质，又能比较熟练地掌握一至两门科技致富本领。
在民族地区，九年制义务教育办学模式之所以以渗透型为其办学主模式，是因为它具有以下优势：第一，能有效兼顾升学与就业需要。普通学校历来肩负着为高一级学校输送合格新生和为社会培养合格的劳动后备军的双重任务。然而，以升学为主的办学模式却只能满足升学要求，不能满足大多数学生就业的需要。渗透型办学模式由于不改变现行课程计划，只是在现行课程计划和课程内容中实行职技因素的渗透，既保证了文化基础知识的学习，又使学生职业素质得到培养，能有效兼顾升学与就业需要，解决升学与就业矛盾，使学生既“升学有望”又“致富有门”。第二，能较好地满足学生和家长的升学愿望。历来“学而优则仕”的观念就在人们头脑中根深蒂固，读书成为人们通向美好未来，获取一种良好职业的有效途径，尤其在农村地区，人们通过升学读书跳出“农门”，走出贫穷与落后的愿望更为迫切。与加续型、分流型的办学模式相比，渗透型的办学模式更能满足人们的升学需求，同时又能有效实施职技培训，即使在升学无望的情况下也能致富有门。第三，能有效缓解民族地区教育经费投入不足的矛盾。1985年颁布的《中共中央关于教育体制改革的决定》提出“实行基础教育由地方负责、分级管理的原则”，至此基础教育建立起一种以分散管理为主的投资管理体制，以充分调动各级地方政府、学校和人民群众的办学积极性。这种投资管理体制的积极作用日益突出，尤其对发达地区的效果更为显著，但在不发达或欠发达的西部民族地区，其积极作用难以充分发挥。由于西部经济落后，地方财政投入的教育经费严重不足，地方负责的投资管理体制，极大程度上制约了地区教育的发展。从所调查的茂县羌族地区看，地方财政严重赤字，拖欠挪用教育经费的状况仍然存在，“普九”经费投入十分紧张，要依靠地方政府拿出更多的经费来兴办较多的职业学校和职教班，以加强职技教育，可谓十分艰难。因此，西部民族地区九年制义务教育阶段的基础教育必须承担职教任务，加强学生职技培养与提高，而这只能依靠学校现有资源和师资、场地，实行在普教中渗透职教因素的方式对学生实施职技教育，以缓解西部民族地区教育经费投入不足的矛盾，用最少的钱办最好的教育。
（一）第一阶段教学工作
2、教学重心：集中精力扎实完成九年级新课教学任务
3、教学策略：抓课堂、抓作业、抓检测，具体要求是：
①各科教师要进一步研究课程标准，结合近两三年中考的命题趋势，把握各册教材体系和重难点，细致挖掘中考考点，将考点渗透在平时的每一节课中。只有练好了这一内功，才能备得准、讲得准、练得准。②以课堂为主阵地，着力提高课堂效率，向40分钟要质量。教师备课时，要准确把握每一节课的知识点、能力点，精心设计教学环节、教学步骤、师生互动形式，既要扎实落实每一节课的教学任务，又要使学生学得轻松有趣。③始终坚持每节必练。每一节新课，都应有配套的巩固练习，练习题的设计必须精心挑选，重基础，面上全，分层次，有梯度。学生练习的时间根据当节新课内容的多少，灵活掌握。可以安排在当节新课结束后，也可利用当天的自习时间专练专评。总之，在保证进度的前提下，要步步为营，走一步，踩实一步，不吃夹生饭。
④抓实作业的上交和批改。作业要人人必做，人人必交，对于不交作业的学生，科任教师要做好督促和教育，绝不能放任自流。作业批改按照教务处制定的制度，在批改次数和质量上要严格要求。⑤抓阶段检测反馈。九年级坚持每两周周清一次，时间安排在周五下午。周清的科目为三科，数、英必考，另外一科根据各科的需要进行商定。未统一组织周清的科目，任课教师要根据进度自行组织单元测试，年级组要检查落实。周清的试卷要在周日晚自习及次周一早自习时间讲评补错（顺序另排）。补错完毕，教师要逐人检查签字。⑥每次周清、月考结束，科任教师要及时分析，及时诊断，及时反思，及时制定调控方案，及时进行查漏补缺。⑦狠抓尖子生的学科成绩平衡。年级组将制定尖子生弱科提高的具体措施，并出台相应的奖惩办法，采取有力措施，促使尖子生各科平衡发展。
（二）第二阶段教学工作
2、教学重心：系统复习，强化训练，冲刺中考。
3、教学策略：三轮复习，夯实基础，八次模考，查缺补漏。具体工作要求是：①2012年3 月10前各学科结束新课，并进行“一诊”测试（摸底考试）；各科任教师制定复习计划，所用的复习资料全部到位。
②扎实抓好三轮复习。第一轮：本着“全面、扎实、系统”的原则，依据课程标准的要求，第一轮复习中要面向全体学生，搞好全面复习。以课本为本，逐册逐页复习，认真巩固基础知识，强化基本技能，进行单元综合训练，实现知识的系统化、网络化、规律化。单元过关检测应以低档题为主，兼顾中档题。同时各学科要根据自身特点，创造性的指导学生进行复习。第二轮：在巩固第一轮复习的基础上本着“深化、综合、提高”的原则，加强与社会实际和学生实际生活的联系，特别要增加应用性、能力性题目的训练。在本轮复习中要认真实施分块推进战略，对知识进行归类，以专题形式进行，要以“训练”、“讲评”为中心，练规范、练综合、练技巧、练速度，要讲难点、讲疑点、讲热点、讲思路、讲方法，逐步提高学生举一反三、触类旁通的能力。第三轮:在前两轮复习的基础上，本着“回归、调节、升华”的原则，侧重回归课本，自我检索，查缺补漏。在这一轮复习时间安排在一周左右，以教师指导学生阅读课本、自我发现、再次总结为主。学生训练以课本上有代表性的原题为主，也可以历次模拟中的错题反思为主，不宜有大容量、高难度的训练，应努力使学生实现知识的自我回归、心态的自我调节、能力的自我升华。③安排复习方法指导会和阶段性教师联席会，每一轮复习前、后都要集中研究、部署、总结，明确方向，把握重点，以便有秩序地推进。④强化体育训练、理化生实验、特长生培养，并组织报名、考试。体育训练、理化生实验训练在去年我们已经有成功的经验，今年要在总结的基础上进一步完善，确保中招开局的胜利。⑤安排“迎战中考百日冲刺宣誓大会”和考前“送考会”，营造氛围。⑥组织安排好中招考试和继续完成职专招生任务。
反思从教学进度来看安排还是比较合理的，最主要还是落实不到位才导致2012年中招成绩没有达到预期目标
三、复习资料选取方面：
【关键词】幼教专业 文化课 “游戏―学习”教学模式
所谓模式，就是在一定教育思想和教育理论指导下，依据教学目标、教学内容和学生学习特点，形成典型的、稳定的教学程序和结构。比较典型的看法是，认为模式是方法范畴。对中职幼教专业教学模式研究，近年来很活跃，这是顺应时展的需要，是教学结合实际、结合学生学习习惯改变的必然选择。知识是永恒的，方法却会陈旧。我们不断追求新的教学模式，才能促进中职教育良性循环发展。
一、幼教专业文化课教学存在问题
1. 学生基础知识偏低。随着近10年的高等教育和高中教育招生规模的不断扩大，留给中等职业教育的生源空间越来越小。同时绝大部分家长和学生都认为上高中，读大学才是最好出路。因此学生一般读不上高中才会选择中等职业学校，造成中等职业学校学生存在普遍基础知识偏低现状。而选择幼教专业的学生更是清一色女生，她们有一个共同点，物理、数学和化学等工科类学科成绩较差，甚至有厌恶心理。对文化课学习没有热情，而对音乐、美术、舞蹈等却较喜欢。幼教自然科学基础知识课程，是物理、化学、生物三个学科知识相结合的课程，学生对该课程学习兴趣不浓，厌学。
2. 课时较紧张。由于就业标签效应需要，中职幼教专业中音乐、美术、舞蹈是学生就业标签。用人单位较注重这些科目考核。因此，学生平时较多时间花在这些科目练习上。自然科学基础知识等文化科教学，存在安排教学课时少，学生课后不愿花时间学等现象。
3. 教学方法陈旧，没有形成专业教学模式。幼教专业的文化课普遍采用高中模式教学，讲与练仍为文化课的主流教学方式。以自然科学基础知识为例，虽然教材增加了许多实验和玩具制作，但整个教学流程和结构仍然非常注重对概念理解和公式运用，没有结合孩子式、表演式专业特点来指导教学。对于物理、数学和化学基础差的学生来说，他们平时对文化课学习兴趣不浓，学生应付式，课堂教学效果差。
二、游戏的作用
关于游戏的概念，目前可以说还没有一个定论。《辞海》中对游戏解析是这样的：体育重要手段之一，文化娱乐的一种。德国的沃尔夫纲莱默认为：游戏是一种由道具和规则构建而成的，由人主动参与，有明确目标，在进行过程中包含竞争且富于变化的，以娱乐为目的活动。无论游戏的概念怎样表述，都有一个共同点，就是具有娱乐性和参与性，这种特性是幼儿教学成功的因素之一。
游戏教学在幼儿教学中作用显著。爱游戏是幼儿天性。高尔基曾说过：“儿童通过游戏，能非常简单，非常容易地认识周围世界”。在游戏时，幼儿的认识、思维、记忆等状态都比平常好，这是因为在松弛、欢快的游戏情境下，更容易激发幼儿的主动性、想象力和创造力。中职幼教的任务，就是培养幼儿园教师。在中职文化科实施游戏教学，既能解决学生学习实际困难，又能与日后工作一脉相承，是一种结合专业特点来开展的新型教学模式，教学作用非常明显。游戏种类包括：实物游戏、图片游戏、语言游戏、情境性游戏、多媒体互动游戏等。
三、“游戏――学习”教学模式的基本构成
1. “游戏―学习”教学模式的基本构成。就是以知识为中心，学生通过提问游戏、学习游戏、总结游戏三个过程来展开学习，最终实现掌握知识的要求。教学的中心环节是学生掌握知识，因此将知识定为“游戏―学习”教学模式中心，清晰、准确。将学习过程的提出问题、分析问题、总结问题三个阶段分解为提问游戏、学习游戏、总结游戏来开展教学，是“游戏―学习”教学模式的基本环节，亦是主要手段和方法。“游戏―学习”教学模式就是以游戏为重要方法开展教学，重点采纳游戏的娱乐性和活泼性来弥补学生因基础知识薄弱产生的厌学情绪，采纳游戏的参与性调动全体学生学习热情和气氛的教学论。
2. “游戏―学习”教学模式模型图：
3. 适用范围。适用于某一个知识点学习，在课堂教学中可单独使用，亦可交叉使用。
四、太阳系家族“游戏―学习”教学模式课例探究
第四单元天文知识初步
太阳家族―太阳系
（一）提出问题
1. 知识点：在太阳家族中，有众多兄弟姐，其中最引人注目的是包括我们的地球在内的九大行星。它们沐浴着太阳光辉，有序地围绕太阳运转，形成了漫漫宇宙一幅壮丽的画卷，它们间距离关系是怎样的呢？
2. 提问游戏：采用语言游戏方式来表演，由10名同学分别戴上头帽，标识为太阳和九大行星。步骤1：“太阳”进入指定位置；步骤2：“水星”提问：水星与太阳距离怎样？并进入指定位置；步骤3：“金星”提问2：金星与太阳距离怎样？并进入指定位置；步骤4：“地球”提问3：地球与太阳距离怎样？并进入指定位置；步骤5：“火星”提问4：火星与太阳距离怎样？并进入指定位置；步骤6：“木星”提问5：木星与太阳距离怎样？并进入指定位置；步骤7：“土星”提问：土星与太阳距离怎样？并进入指定位置；步骤8“天王星”提问：天王星与太阳距离怎样？并进入指定位置；步骤9“海王星”提问：海王星与太阳距离怎样？并进入指定位置；步骤10：“冥王星”提问：冥王星与太阳距离怎样？并进入指定位置。
（二）知识学习
1. 九大行星数据表
2. 学习游戏：采用语言游戏和图片游戏来表演。（1）参与人数19人。（2）游戏材料：图片（自制）27个，分别标识与太阳距离、公转周期和自转周期。（3）游戏步骤：第一步，承接提问游戏，代表太阳和九大行星的同学按太阳系示意图站位，让学生初步知道太阳系构成及各行星与太阳距离关系；第二步，让9名同学分别持各行星与太阳距离图片说明各行星与太阳距离（学习太阳距离）；第三步，标识为九大行星的同学演示绕太阳公转，由9名同学持公转数据图片说明各行星公转周期（学习公转周期）；第四步，标识为九大行星的同学演示九大行星自转，9名同学持自转数据图片说明各行星自转周期（学习自转周期）。
（三）学结
1. 本知识点要求学生掌握太阳系构成，各行星与太阳距离、公转和自转参数。2. 总结游戏：（1）参与人员：老师和全体同学。（2）步骤：第一步，由老师代表太阳，抽查同学掌握九大行星名称；第二步，抽查同学，表演各行星公转和自转形式，并给出公转和自转周期（允许查书）；第三步，由老师（太阳）总结发言。
（四）“游戏―学习”教学模式在本知识点学习的优缺点
1. 优点
（1）师生共同参与。由课例实践可知，游戏―学习教学模式参与人数多。有学生自己指挥，自己操作。有老师指挥，师生共同参与，具有参与人数多的特点。
（2）趣味性强。趣味性强是学生喜欢游戏教学的重要原因。游戏令人兴奋，学生想做，喜欢做，激发学习热情。
2. 缺点
（1）游戏时长不易控制。对游戏的组织要严密，精妙，否则往往花费时间较多。课前准备花时间多，要预先准备好游戏材料和组织游戏各环节。
（2）场面较难控制。游戏有偶发性，容易生枝节，有的学生不听指挥，造成场面不易受控制。
五、研究结果与探讨
笔者对三个中职幼教班进行教学实验，通过研究发现，游戏―学习教学模式对幼教自然科学基础知识课程主要有以下帮助：
1. 降低学习难度，激发学生学习热情。游戏―学习教学模式能有效解决幼教专业学生因基础知识偏低，造成对文化课学习兴趣不浓问题。
2. 提高学习效率，有效解决因课时偏少问题。游戏善于创造一种精神振奋、生机蓬勃的课堂气氛，从而引起学生积极的心理活动，激发学生的情感，启发学生的联想，以提高单位时间的内可接受的知识量和信息量，同时也提高学生分析问题，解决问题的能力。游戏―学习教学模式目标就是花最少时间，达到最大效能。
3. 结合专业特点来开展教学，受学生欢迎。孩子式、表演式教学，是幼儿教学重要特点，在课堂教学中，游戏综合孩子式和表演式特征，恰当地进行游戏教学，让学生扮演不同的角色，这样能够拉近学生与课本间的距离，使教材内容迅速成为表象，同时有利于学生深入理解教学内容，并获得真切的感受。
这种“表演式教学”可改变传统的“填鸭式”教学方式和学生被动接受式的学习方式，它强调学生对学习过程的主体参与和亲身体验，关注学生学习经验的形成，为学生营造表演的空间，使学生在合适的表演空间里通过自己的体验感知信息，突出了学生的主体地位和主动性，使学生获得知识，培养能力，发展素质。
游戏―学习教学模式，不仅适合幼教专业文化课学习，它还适合各种类型课堂教学。
【参考文献】
关键词：秦简
乘法
数理
周易
里耶秦简九九表是目前所能见到的中国乘法口诀的最早实物（见下表）。
考古发现及传世典籍中的九九表
名
称
时 代
材质
备
注
里耶秦简九九表（全）
秦
木牍
2002年出土。始于“九九八十一”。参《考古》2003年第1期。
张家界汉简九九表(残)
汉
木简
2002年出土。始于“九九八十一”。参《中国历史文物》2003年第3期。
敦煌汉简九九表(残)
汉
木简
20世纪初发现。始于“九九八十一”。参王国维《流沙坠简》。
居延汉简九九表1(残)
汉
木简
1930年出土。始于“九九八十一”。参劳干《居延汉简考释》。
居延汉简九九表2(残)
汉
木简
1930年出土。始于“九九八十一”。参《居延汉简甲编》。
《孙子算经》九九表
汉
（据戴震）
纸张
传世典籍。始于“九九八十一”。参李俨《中国古代数学史料》。
敦煌卷子九九表1（残）
唐
纸张
20世纪初发现。始于“九九八十一”。参李俨《中国古代数学史料》所录敦煌《算经》。
敦煌卷子九九表2（全）
唐
纸张
20世纪初发现。始于“九九八十一”。参李俨《中国古代数学史料》所录敦煌《立成算经》。
楼兰文书九九表（残）
唐
纸张
20世纪初发现。始于“九九八十一”。参孔好古《斯文赫定所获汉文手写文书及零星文物》。
通行乘法口诀表
宋元以后
纸张
始于“一一如一”。参钱宝琮《中国数学史》。
______________________________
* 本文属2005年国家社科基金资助项目《里耶秦简研究》（批号：05BYY024）成果之一。
按，九九口诀，《管子》《战国策》《荀子》等先秦文献多有称引。[1]《韩诗外传》卷三：“齐桓公设庭燎为便人欲造见者，期年而士不至。于是东野鄙人有以九九见者。桓公使戏之曰：‘九九足以见乎？’鄙人对曰：‘……夫九九薄能耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎？’……桓公曰：‘善！’乃因礼之。期月，四方之士相导而至矣。” [2]此事《说苑·尊贤》、《汉书·梅福传》亦有称引。看来，春秋战国时代，九九之术实已属雕虫小技。然而，在里耶秦简出土之前，我们看到的九九表实物，均出汉唐以下，以这类实物与上述典籍记载相互印证，总有时间悬隔之忧。对数学史研究而言，以这些残缺不等、内容不一的九九表，自然存在更大的局限性。——在这个意义上，年代最早且完整可读的里耶秦简九九表，就显得非常可贵了，它无疑将带来一片柳暗花明、豁然开朗的新景观。遗憾的是，文史工作者及数学史家似乎都还没有措意于此。笔者不揣浅陋，试从文字校诂、数理内涵、文化阐释三个方面略作探讨。
一、 文字校诂
编号为J1(16)1的里耶秦简九九表与考古发现及传世典籍中的某些九九表颇有不同，因此，作为研究展开的起点，校勘与训释，实不可少。为便于讨论，兹引录其全文如下：[3]
九九八十一 八九七十二 七九六十三 六九五十四 五九四十五
四九卅六
三九廿七
二九十八
八八六十四 七八五十六
六八四十八 五八四十
四八卅二
三八廿四
二八十六
七七四十九 六七四十二 五七卅五
四七廿八
三七廿一
二七十四
六六卅六
五六卅
四六廿四
三六十八
二六十二
五五廿五
四五廿
三五十五
二五而十
四四十六
三四十二
二四而八
三三而九
二三而六
二二而四
一一而二
二半而一
凡千一百一十三字
以此表与考古发现及传世典籍中的九九表相互比勘，我们得到了如下几点收获。
（1），正王国维《流沙坠简》考释之误
1914年，王国维以《孙子算经》九九表校敦煌汉九九表残简，颇有发明。今以里耶秦简九九表校敦煌汉简九九表，又可补王氏之不足。王国维《流沙坠简》“九九”残简跋：“此简末言‘大凡千一百一十’（‘十’下似有‘三’字，然已不可辨。依法推之，则不合有‘三’字）。若并‘一一如一’九句，合计总数当得一千一百五十五，除此九句，总数乃得千一百一十。”[4]按，王国维所据材料，出自（法）沙畹（Edouard Chavannes）《斯坦因所获汉文文献》一书，由于原简末句墨迹漫漶，不能卒读，故王氏以为“十”下“不合有‘三’字”，今观里耶秦简，可以肯定，敦煌汉简九九表末句正当作“大凡千一百一十三”！——因为这正是每句得数81+72+63+……+4+2+1的总和。按，敦煌汉简九九表分为六列书写：“二三而六，二二而四”以下诸句书于第五列，最后一句“大凡千一百一十？”独占一列。由于木简残损过半（仅存17句），且模糊不清，王氏已不知“二二而四”之后，尚有“一一而二、二半而一”两句。他只看出前一句的某些残痕，并且还有误解：“第五列末行，字不可识，末为‘一’字，上有两字漫灭，但存微迹，然非‘一一而一’则可知也。”[5]质诸里耶秦简，该句的本来面目，其实就是“一一而二”！王国维只看清“二”字的一横，致有“末为‘一’字”之误，所谓“上有两字漫灭”则恰是 “一一而”三字中第二个‘一’字书作重文符号后的结果。令人不解的是，王氏何以未能觉察自己推算中的矛盾。他说：“今乘法由‘一一如一’至‘九九八十一’凡四十五句，……考《孙子算经》乘法全载此四十五句，亦起九九而讫一一，末言‘从九九至一一，总成一千一百五十五’。” ——显然，要使总计为一千一百一十，只能是“九九八十一”讫于“二二而四”36句。实际上，简中“二二而四”后明明别有它句，其总计怎么可能还是一千一百一十呢？——以王氏之睿智，尚有此失，夫复何言？质言之，王国维“‘十’下似有‘三’字”之疑，实属多余！由此看来，敦煌汉简九九表与里耶秦简九九表并无不同。
（2）末句“字”字绝非衍文
里耶秦简九九表末句“凡千一百一十三字”云云，颇令读者迷茫。袁家荣先生就曾错认为这是对某一组简牍文字总量的统计，袁称：“简文最后说‘凡千一百一十三字’，从这枚木牍的数字来看，它应该是一组简牍中的一枚。”[6]胡平生先生知此为表中各句得数之和，但对“字”字存有误解，他说：“同出的木牍中还有类似的九九表，文末也写有‘凡千一百一十三’，可见这里的‘字’字是衍文。”[7]笔者认为，胡氏此说失之武断！按，考古发现及传世典籍所见九九表，总计各句得数时（亦有不总计者），绝大部分确实没有单位，故胡先生之失，不足为奇。但是，倘以里耶秦简九九表与敦煌《立成算经》九九表互相比照，我们就能发现问题。按，《立成算经》九九表起“九九八十一”，讫“一一如一”，共计45句，其表末云：“都计一千一百五十五文”，[8]——这个“文”字，绝非衍余！因为该表尚有另外七处使用了此字。为说明问题，兹略引相对集中的三处如下：[9]
六六三十六
直下三十六
五六三十
通前六十六
四六二十四
通前九十
三六一十八
通前百八文
二六一十二
通前一百廿文
一六如六
通前一百廿六文
按，《立成算经》每句口诀的乘积都用算筹记数法表示于后，“通前”是指乘积的递相叠加，其得数亦用算筹记数法表示。对我们来说，这些算筹记数以及屡次出现的“文” 字，实在是太重要了。可以肯定：在每一个得数之后，其实都可以加上‘文’字。换言之，虽然《立成算经》大部分得数之后没有“文”字，但这种现象只不过是省略之后的结果，否则便无以解释这八个“文”字的使用何以呈现出一种随机性。至此，我们不得不承认：“文”乃是一种筹算单位（后世钱币单位亦用“文”，正堪相互发明）！《说文解字》序：“依类象形，故谓之‘文’，其后形声相益，即谓之‘字’。‘文’者物象之本，‘字’者言孳乳而寝多也。”算筹记数，纵横有象，称之为“文”，适得其所！
复次，《立成算经》之所以多省“文”字，其实也不难解释。上引《韩诗外传》齐桓公设庭燎之事表明：早在春秋战国时代，九九之术实已相当普及。蒙童诵习、众口流传的歌诀，自以简略、精整为务，基于一脉相传的筹算方式，省略其单位，自然不足为奇。
古代典籍中，自来‘文’‘字’可以同义互换，所以，我们认为，里耶秦简九九表末句“凡千一百一十三字”中的“字”字绝非衍文，它其实也是筹算单位。质言之，里耶秦简九九表，其技术基础也是筹算！我们在每句得数之后加上一个“字”字，其实并无不可。按，中国筹算起源甚早，其最初年代虽不易确定，但春秋战国时代，筹算普遍应用的事实，却绝对不容置疑。此为数学史常识，无须赘言。
当然，里耶秦简九九表筹算单位用“字”，敦煌《立成算经》九九表筹算单位用“文”，孰为优长？鄙意以为“字”当胜“文”。考诸上古声韵，字，从母之韵；筹，定母幽韵。之幽旁转，典籍习见；定从邻纽，用例可稽（王力《同源字典》以“尽”“殄”同源，“殄”，定纽；“尽”，从纽）。[10]字、筹声近，殆无可疑，唯书证材料尚不见字、筹通假之实，故笔者亦不敢妄下结论。“字”果通“筹”否？待考。
（3），“而”“如”通用
王国维《流沙坠简》“九九”表跋：“此简‘二二而四’，今法作‘二二如四’。考《大戴礼》、《淮南子》并引‘三三而九’，《周礼》疏亦引‘二二而四’、‘三三而九’，正与此同，知唐人尚作‘而’。《容斋续笔》云：‘三三如九、三四十二皆俗语算术’，知改‘而’作‘如’，始于宋代也。《孙子算经》亦作‘二二如四’、‘三三如九’，殆唐以后刊本所追改，非原书之旧矣。”[11]按，王说不确。张家界古人堤汉代九九表残简，尚存“二五如十”句，[12]是知古九九表亦有作‘如’者。按，“而”“如”声同韵近（而，日母之韵，如，日母鱼韵），可以通转，先秦典籍中二字互换的情况，比比皆是。王引之《经传释词》卷七：“而犹如也”、“如犹而也”。[13]王氏复引典籍书证云：“《诗·都人士》：‘彼都人士，垂带而厉；彼君子女，卷发如虿’。《大戴记·卫将军文子》篇曰：‘满而不满，实如虚；过之如不及。’《孟子·离娄》篇曰：‘文王视民如伤，望道而未之见。’《荀子·强国》篇曰：‘黭然而雷击之，如墙压之。’《说苑·奉使》篇曰：‘意而安之，愿假冠以见；意如不安，愿无变国俗。’皆以‘如’‘而’互用。”[14]
由此看来，《孙子算经》九九表中的‘二二如四’、‘三三如九’，不一定必为唐宋刊本所改。汉去秦未远，里耶秦简九九表虽用“而”字，但不排除秦时九九表亦有用“如”字的可能。我们认为，在先秦古九九表中，“而”“如”通用，并无早晚之别，王国维“改‘而’作‘如’，始于宋代”之说不可尽信。
（4），“二半而一”非小数运算
胡平生《读里耶秦简札记》：“与过去发现的九九表不同，这个表多了‘二半而一’一项，这实际上已经是小数运算。”[15]按，此说有误。钱宝琮《中国数学史》说：“古人记数，碰到整数之下还有奇零部分，通常用分数表示。十进小数的普遍应用是相当迟的。（晋）刘辉在他的《九章算术》‘少广’章注中，曾主张用一位或多位十进小数表示无理数平方根或立方根的奇零部分，但这个超时代的宝贵意见没有被一般数学工作者采纳。唐朝统一中国以后，……数学知识和计算技能有了相应的发展。就在这个时期里，十进小数逐渐获得了广泛应用。”[16]一般认为，刘辉只是最先提出了关于十进小数的概念，小数的实际运用，主要还是受南北朝以后印度数学知识传入的激发。数学史家李俨以六至八世纪（南北朝至隋唐）汉译《大宝积经》《大般若波罗密多经》《大波罗密多经》《大方广佛华严经》中小数运用的实例助成此说，堪称精审（参李俨《中国古代数学史料》“天竺小数记法”一节）。[17]由此看来，先秦时期，中国尚未使用小数。
考诸中国数学史，先秦金文中即已出现了分数的记载，此见《商鞅量》：“十八年齐遣卿夫二众来聘，冬十二月乙酉大良造鞅爰，积十六尊五分尊（之）一为升。” [18]董作宾先生甚至在甲骨文中考出了殷商的四分历（其一年的长度为三百六十五又四分之一）。至于复杂的分数运算，在反映秦汉时期数学成就的《周髀算经》《九章算术》及《算数书》（1984年出土于湖北江陵）中都已得到了普遍的应用。所以，我们认为，里耶秦简九九表中的“二半而一”，理当视为分数运算。
二、秦简九九表的数理内涵
（一）、乘法交换律运用的最早物证
秦简九九当属所谓“小九九”，因为表中有“八九七十二”而无“九八七十二”；有“三七二十一”而无“七三二十一”（余句准此）。结合《管子》《战国策》《荀子》等传世古文献所引九九口诀亦全属“小九九”的事实（见下表）， [19]我们推断：最迟不晚于春秋战国时代，中国人就已经掌握了乘法交换律。不言而喻，里耶秦简九九表为这一推论提供了最早的实物证明。
传世古文献所引九九口诀一览表
所引口诀
书名
九九八十一
《荀子》《战国策》《周髀算经》
九九八十一 八九七十二 七九六十三 六九五十四 五九四十五 四九三十六 三九二十七 二九一十八
《淮南子》《孔子家语》
八八六十四
《汉书》
七八五十六
《管子》
六八四十八
《灵枢经》
五八四十
《淮南子》
四八三十二
《易·乾凿度》
三八二十四 二八一十六
《淮南子》《孝经》《大戴礼》
七七四十九 六七四十二 五七三十五
四七二十八 三七二十一 二七一十四
《管子》
三七二十一
《战国策》《吕氏春秋》
六六三十六
《荀子》《鶡冠子》《淮南子》
五六三十
《新书》《参同契》
四六二十四
《易·乾凿度》《穆天子传》
三六一十八
《灵枢经》《穆天子传》
二六一十二
《穆天子传》
五五二十五
《逸周书》《素问》《鶡冠子》
四五二十 三五十五
《礼记》《鶡冠子》
二五十
《灵枢经》
四四十六
《淮南子》
三四十二
《春秋繁露》《淮南子》
二四八
《灵枢经》
三三九
《淮南子》《孔子家语》《大戴礼》
（二）、筹算：九九的技术基础
在考证表末“凡千一百一十三字”一句时，我们已经指出，“字”是一种算筹单位。参照敦煌《立成算经》九九表详细的算筹记数及运算过程，换一个角度，我们相信：筹算构成了九九的技术基础。对此，上文已有所讨论，兹不赘。
（三）、加法：九九的数理基础
在阐述这一结论之前，学者们从不知晓的两点新情况，首先必须予以说明。
（1）、九九表的句数
钱宝琮《中国数学史》：“现在的乘法口诀是从‘一一如一’起到‘九九八十一’止，共四十五句。古代的乘法口诀是从‘九九八十一’起到‘二二如四’止（缺少‘一九如九’、‘一八如八’等九句），只有三十六句。” [20]长期以来，此说似已成数学史界共识，迄今未见异议。但是，里耶秦简九九表的出土，却动摇了这一结论：秦简九九表既不是45句，也不是36句，它是38句!——这种38句的九九表，学者们确实未尝梦见。王国维考释敦煌汉简，之所以与手中38句的九九表失之交臂，殆亦以此。他误将38句的九九表视为36句者大加阐发，留下了自相矛盾，顾此失彼的遗憾。
（2）、“一一而二”不当改释
湖南省文物考古研究所《湘西里耶秦代简牍选释》（张春龙先生执笔）将简中的“一一而二”改为“一二而二”，非是！其实，注释者也看出了该句“一”字下所加的重文符号，但是，囿于成见，仅仅以“简牍内容是乘法表”为由，就轻率地将其改释为“一二而二”了。 [21]我们认为，这种改释，理由不足。其一，简中该句清晰可读，目为误书，太过勉强。其二，简中口诀，古代文献只浑称为“九九”或“九九之术”，即使用于乘法运算，亦并未称之为“乘法表”。 其三，“一一而二”确是加法，但正是靠了这句，我们才得以了解先秦九九表的数理基础（详下文）。甚至可以说，此处一字之改，必成障目之叶，会使研究者枉然错失泰山。
基于以上说明，我们应当承认：先秦九九表中确乎没有“一九如九”、“一八如八”到“一二如二”、“一一如一”等九句。如何解释这一奇特现象？前人之述未备，兹略抒管见如下。
自然数乘法有两种定义法，一种以集合为基础概念，另一种以加法为基础概念。
定义（A）：设有b个没有公共元素的等价集合 … ，它们的基数都是a，它们的并集c的基数为c，那么c叫做a与b的积。求两个数积的运算叫做乘法。
定义（B）：b个相同加数a的和c叫做a与b的积，求两个数积的运算叫做乘法。
根据定义（B），乘数最小应是2。所以，遇到乘数是1或者0的情况，就不能说求1个或0个加数的和。因此，需要对（B）补充定义：
（1）当乘数是1时，a×1＝a
（2）当乘数是0时，a×0＝0
数学史研究表明：乘法产生于若干个相同数之和的运算（即同数连加）。换言之，乘法乃是加法的一种特殊形式。因此，早期的乘法与加法颇为类似，埃及4000年前使用的“倍乘叠加法”就是最好的例证。所以，我们有理由认为，先秦的九九口诀亦来源于加法。具体而言，如“八九七十二”，其原始含义当为“八个九相加等于七十二”（亦即“同数连加”的运算）。实际上，秦简九九表除“一一而二”需要表述为“1+1=2”之外，其余37句，均可以作上述理解。
总之，先秦时期，虽然九九口诀早已用于乘法计算，但加法作为其数理基础的实质仍班班可考。——确立了这一数理基础，我们便可以轻松地解释古九九表何以无“一九如九”等九句。这是因为：参照上述第二种乘法定义（同数连加），“一个九相加”之类的命题，本身既不必存在，也不合逻辑。这也就是“一一而二”（1+1=2）这句加法不同于九九表其他口诀（同数连加）的秘密所在。质言之，先秦时代，乘法虽然已经广为运用，但就数学的严谨性、逻辑性而言，古人对乘法的定义尚难称完善。这不是数典忘祖、妄自菲薄，而是秦简九九表所透露的客观事实。
数学史家杜石然《中国数学简史》称：“据现有的资料，‘九九歌’最初是由‘九九八十一’到‘二二而四’，至少到公元一、二世纪时仍是如此。……把‘九九歌’扩充至‘一一如一’，这大约是公元五至十世纪间的事。” [22]——看来，最早也要到魏晋时代，中国数学家才确定了乘法定义。
复次，藉九九口诀源出加法的数理基础，我们还可以获得如下几点认识：
其一，“九九歌”虽然早已用于乘法运算，但不称“乘法表”，只浑称“九九”或“九九之术”，正是乘法定义尚未完备的体现。
其二，如果将“九九八十一”完全等同于“9×9=81”（余句准此），那么，“一一而二”这句加法，置于37句乘法口诀中就显得极不协调。反之，将各句来源归结为加法运算，则有体例统一之效。
其三，表末总和“凡千一百一十三”云云也是其源出加法的体现。
其四，敦煌《立成算经》九九表不但记有总和，而且还记有将各句得数分为九类次第相加（所谓“通前”）的详细过程，这就更加明确地透露了九九之术与加法的渊源关系。
三、秦简九九表中的易学观念 在人类科技史的研究中，数学史是颇为成功的一门学科。近年来，数学文化史的研究成果，尤堪注目。通过对远去的古代文明抑或现存的原始部落的考察，学者们业已发现：原始的数学（或数字）都具有数量性与神秘性的双重复合特征。例如，印度的宗教文化就带有数学的神秘色彩。在古希腊，原始数学的神秘性通过毕达哥拉斯 “万物皆数” 的思想亦融入了柏拉图的唯心主义哲之中。罗素在论述西方哲学时曾经指出：“数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了古希腊、中世纪的以及直迄康德为止的近代宗教哲学的特征。”[23]
中国文化史研究表明，《周易》筮法及卦爻就是原始数学神秘性与数量性双重复合的典型。《左传·僖十五》：“筮，数也。”《汉书·律历志》：“伏羲画八卦，由数起。”——这是卦、筮源于数学的代表性文献。同时，作为六经之首的《周易》也深刻地影响着古代数学的发展。一方面，自刘辉《九章算术注》以后，古代数学家大都将《周易》视为数学发展的源头。另一方面，甄鸾、秦九韶、朱世杰、程大位等著名数学家无不采用《周易》观念来表达数学问题。
“九九”是古代数学的代名词，前人将它比附于《周易》，由来已久。《管子·轻重戊》：“宓戏（即伏羲）作造六峜以迎阴阳；作九九之数以合天道。”（魏）刘辉《九章算术注》：“昔包牺氏（即伏羲）始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之数，以合六爻之变。暨于黄帝，神而化之，引而申之，于是建历纪、协律吕，用稽道源，然后两仪四象精微之气可得而效焉。” [24]里耶秦简九九表，也渗透着某些易学观念。
（一）、太极、两仪：“二半而一、一一而二”
在里耶秦简九九表38句口诀中，“二半而一、一一而二”两句的特殊性最为引人注目：前者涉及分数，后者纯为加法。律之以数学的严谨性、逻辑性，它们与其余36句“整数乘法运算”的统一体例殊不相称。二者被人为地添进九九表，是古人将数学比附于易学的结果。
《易·系辞》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象。”在古代文献中，太极、太乙、太始、太一、大一、天一异名同实，其数量性的表达，都是“一”。显然，“太极”，“两仪”，“四象”的生成关系可以转换为一个等比数列：1，2，4。九九表“二半而一、一一而二、二二而四”三句的得数便与它构成了形式上的对应。
从数学意义上说，这种比附失之机械，甚至有画蛇添足之嫌；但从文化意义上说，它却表现了古人对数的神秘性的关注。
《老子》：“道生一，一生二，二生三，三生万物。” 《庄子》：“圣有所生，王有所成，皆原于一。”《吕氏春秋》：“万物所出，造于太一，化于阴阳。” 《淮南子》：“一也者，万物之本也。” 《说文解字》：“惟初太极，道立于一，造分天敌，化成万物。”——数始于一，它构成了古人对世界本原、万物由来的哲学思考的基础。
值得说明的是，八卦古有六法之称（六爻之义盖本如此）。[25]所以，从“比附”的角度来说，九九表“二三而六”与《易·系辞》“四象生八卦”亦能对应。
（二）、乾卦：“九九八十一”
《素问》中说：“天地之至数，始于一，终于九焉。”一为数之始，九为数之极。古九九表始于“九九八十一”似乎有悖常理。对此，有学者认为，九九表最初的顺序本来是由“二二如四”到“九九八十一”，后来人为地进行了改变。改变的根据是来自标准律管的长度和直径，即律管长九寸，径九分，“九九八十一”，此种律管既定为标准，乘法口诀也就随之倒了过来。[26]作为一种推测，此说知音甚少。基于文化史的考察，我们认为，古九九口诀的顺序其实是易学观念影响的结果。兹说明如下。
首先，我们要改变一个由来已久的认识：与其说古九九表始于“九九八十一”，不如说古九九表始于因数为九的运算。敦煌《立成算经》九九表，把“九九八十一”至“一九如九”共九句的乘积逐一合计（即所谓“通前”：81+72+63+54+45+36+27+18+9=405），作为第一单元而置诸表首就是最好的例证。
复次，上文述及，九九诀源出筹算，而《周易》筮法与筹算又极为相似（高亨、三上义夫等学者甚至认为《周易》的阴阳爻符号原本就是算筹的图像）。[27]所以，基于《周易》象数与数学的复杂关系，古人将二者互相比附，实在不足为奇。《管子》：“宓戏（即伏羲）作造六峜以迎阴阳；作九九之数以合天道。” 《九章算术注》：“昔包牺氏（即伏羲）始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之数，以合六爻之变。”这两种说法提示我们：古九九口诀的排列顺序，当由《周易》卦象（即“六爻之变”）求之。
按，《周易》以乾卦居首，其卦象为 ，即六条阳爻的重叠。众所周知，《周易》阳爻称“九”，重卦 （乾）由单卦 （乾）叠加而成（谭戒甫先生《周易卦爻新论》甚至认为乾卦 实为九九相乘）[28]，就此而言，乾卦谓之“九”的演算似亦无不可。乘法口诀既然比附于周易的“六爻之变”，以因数为“九”的运算开始也就意味着与乾卦的对应了。这正是古九九表始于“九九八十一”的原因。
或谓因数为九的运算中，“六九五十四”跟乾卦不是更加吻合吗？乘法口诀何以不以此句开头呢？我们说过，九九表与《周易》卦序只是一种比附关系，它当然不能违背数学自身的逻辑前提。换言之，古九九表始于“九九八十一”或“二九一十八”都可以理解，始于中间的“六九五十四”就未免太过牵强了。
注释：
1，李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．14.
2，李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．12.
3，湖南省文物考古研究所.湖南龙山里耶战国－秦代古城一号井发掘简报[J]，文物，2003(1)．11.
4，王国维．流沙坠简[M]．北京：中华书局，1963．92.
5，王国维．流沙坠简[M]．北京：中华书局，1963．92.
6，向顺荣．里耶古城[M]．西宁：青海人民出版社，2003．44.
7，胡平生．读里耶秦简札记．“简帛研究”网，2003/10/23（jianbo.org）.
8，李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．39.
9，李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．38.
10，王力．同源字典[M]．北京：商务印书馆，1997．513．
11，王国维．流沙坠简[M]．北京：中华书局，1963．93.
12，胡平生．读里耶秦简札记．“简帛研究”网，2003/10/23（jianbo.org）.
13，王引之．经传释词[M]．长沙：岳麓书社，1984．138.
14，王引之．经传释词[M]．长沙：岳麓书社，1984．144.
15，胡平生．读里耶秦简札记．“简帛研究”网，2003/10/23（jianbo.org）.
16，钱宝琮．中国数学史[M]．北京：科学出版社，1964．126.
17，李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．191.
18，李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．2.
19，李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．14.
20，钱宝琮．中国数学史[M]．北京：科学出版社，1964．10.
21，湖南省文物考古研究所. 湘西里耶秦代简牍选释[J]，中国历史文物，2003，1．
22，杜石然．数学·历史·社会[M]．沈阳：辽宁教育出版社，2003．14.
23，罗素．西方哲学史[M]．北京：商务印书馆，1989．65.
24，李俨．中国古代数学史料[M]．上海：上海科学技术出版社，1963．12.
25，郭沫若．郭沫若全集·管子集校[M]．北京：人民出版社，1985．400.
26，中外数学简史编写组．中国数学简史[M]．济南：山东教育出版社，1986．45.
27，张善文．象数与易理[M]．沈阳：辽宁教育出版社，19933．19.
28，谭戒甫. 周易卦爻新论[J]，文哲，1936，5.
Examination on 99 multiplication table of Liye Strips of Qin
Abstract: The words， the content， the sentence number which in 99 multiplication table of Liye Strips of Qin have its uniquely place. Based on this， this article corrected the examination mistake which made by Wang Guowei inside the " Strips fall in mobile sand ". In addition， this article has also explained the mathematics connotation (multiplication definition， multiplication commutative law， calculation foundation) and the philosophy thought of this table.
