时间：2022-10-15 14:06:11
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇勾股定理证明方法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略
1.勾股定理历史融入教学的意义
1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神
勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.
1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶
学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。
2.勾股定理历史融入教学的策略
在勾股定理教学的过程中，要求我们在教学活动中，注意结合教学实际和学生的经验，依据一定的目的，对勾股定理历史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性的加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到启发.在实践过程中，发现以下几种途径与方法是颇为适宜的.
2.1在情景创设中融入勾股定理历史
建构主义的学习理论强调情景创设要尽可能的真实，数学史总归是真实的.情景创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展历史，以数学史作为素材创设问题情景，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.
案例1：
师：同学们知道勾股定理吗？
生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）
师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道.大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等.我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的.（投影显示勾股图）
可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人.中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形].它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五.勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长……
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例.卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日.”
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天.勾股定理又叫做“商高定理”.毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.
2.2在定理证明中融入勾股定理历史
数学史不仅给出了确定的知识，还可以给出知识的创造过程，对这种过程的再现，不仅能使学生体会到数学家的思维过程，还可以形成探索与研究的课堂气氛，使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程.
案例2.：
刘徽（公元263年左右）的证明：
刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也.”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界比较常见的推测是如下图.
③剪拼法（学生动手验证）
证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，主要是用拼图的方法证明，使数学问题趣味化.
翻开古今的数学史，不仅勾股定理的历史深厚幽远，所有的数学知识都蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败的教训.将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力的措施.正象法国数学家包罗·朗之万所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊.”
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准 （实验稿） 》[S] 北京：北京师范大学出版社
勾股定理在几何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中也具有普遍的应用性. 在数学教科书中，勾股定理一般出现在八年级，而八年级被认为是学生学习数学的一个重要发展阶段，也即具体思维向形式化思维转变的时期. 所以可以说，勾股定理教学也处于学生数学思维转折阶段. 但另一方面，勾股定理的教学却始终是一个难点. 虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是让学生能够在思路上比较“自然地”想到证明方法是困难的；而且，从让学生体验知识发现过程的角度讲，要想让学生“再发现”勾股定理更是难上加难.[1]所以有人说，看一个国家的数学教育水平，只要看看勾股定理，他们的教材是怎样编的，他们的教师是怎样教的，就可略知一二.
对于勾股定理的教学，黄荣金博士从上海和香港所做的19个勾股定理教学的现场实录，以及由第三次国际数学和科学重复录象研究项目提供的12个勾股定理教学录象（包括实录文稿）中，选取澳大利亚、捷克、中国香港和上海四地勾股定理的课堂教学进行研究，其研究表明澳大利亚是把勾股定理作为一个事实（已知）告诉学生，只字未提证明，捷克和香港虽然介绍了多种证明方法，但事实上只是通过演示手段，让学生直观地确认所发现的关系. 文[2]表明沪港两地教师在教学中对勾股定理证明的处理有许多不同之处：香港课堂主要通过直观或具体的活动来确认定理的真实性，而上海教师至少介绍一种数学证明，而且四分之三多的教师介绍 2 种以上方法；上海教师比香港教师更加紧扣教科书，而香港教师使用的教科书可以是不同的；香港教师总是将探索问题的过程或证明的步骤程序化.
教师通常依据教科书来进行教学，教科书的不同很有可能影响到教师的教学. 由此，本文从微观层面来考察沪港两地数学教科书“勾股定理”部分的编写. 上海的教科书，我们选取华东师范大学出版社《数学》（事实上，此套教材在内地被广泛使用），而香港教科书我们选取Oxford University Press的《Exploring Mathematics》[3].
2 《数学》和《Exploring Mathematics》中的“勾股定理”
《数学》第十四章为《勾股定理》，包括14.1《勾股定理》和14.2《勾股定理的应用》，其中14.1由《直角三角形三边的关系》和《直角三角形的判定》两小节组成. 《Exploring Mathematics（2ndEdition）2B》第10章为《勾股定理（Pythagoras’ Theorem）》，该章有三节为勾股定理的内容：10.2《勾股定理(Pythagoras’ Theorem)》，由《直角三角形三边的关系（Relations between the Three Sides of a Right-angled Triangle）》、《介绍勾股定理（Introduction to Pythagoras’ Theorem）》和《数学的美妙：勾股定理的证明（The Beauty of Mathematics:Proofs of Pythagoras’ Theorem）》三小节组成；10.3《勾股定理的应用（Applications of Pythagoras’ Theorem）》，由《简面图形的应用（Applications to Simple Plane Figures）》和《现实生活应用（Real Life Applications）》两小节组成；10.4《勾股定理的逆定理及应用（Converse of Pythagoras’ Theorem and Its Applications）》. （10.1和10.5分别为平方根和无理数. ）
本文从勾股定理的发现、勾股定理的证明、勾股定理的逆定理和勾股定理的应用四个方面对两种教科书进行介绍，而这里的介绍涉及对两种教科书的简单比较.
2.1 勾股定理的发现
《数学》通过三个活动引导学生发现勾股定理. 第48页安排了“试一试”：
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.
笔者认为，这个活动设计得并不十分合理. 因为一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数. 让学生由三边长分别为3、4、5或者5、12、13的直角三角形猜想勾股定理，就已经不是十分容易的事（比如，学生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有学生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c），更何况来猜想三个非整数之间的平方关系. 第49页安排了“试一试”，通过数或计算三个正方形的面积来寻找直角三角形三边长度之间的关系. 这个活动比前面那个活动目标明确、步骤清晰、难度降低，学生容易找到要求的关系. 第50页又安排了“做一做”. 由这三个活动概括出勾股定理.
《Exploring Mathematics》的处理方式似乎与《数学》有些类似，事实上又有很大的区别. 教科书安排了两个“班级探险（Class Exploration）”，第一个活动是出示一个直角三角形，要学生测量三边的长度，然后计算三边的平方，再思考a2+b2与c2的关系. 第二个活动是让学生填表格，已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，8和6，15和8，画出图形，测量斜边，计算a2、b2和c2，再确定a2、b2和c2之间的关系. 很显然，这两个活动的目标很明确，而且台阶已经铺好，学生只要依次一步步做下去，就可以得到答案.
总之，两种教科书都通过若干个活动引导学生发现勾股定理. 从难度上讲，《Exploring Mathematics》比《数学》要小，因为已经把“探索问题的过程或证明的步骤程序化”.
2.2 勾股定理的证明
《数学》在勾股定理的证明这一环节安排了“试一试”：将四个完全相同的直角三角形拼成一个正方形，然后计算边长为c的正方形面积，通过运算得到勾股定理，这是一种代数方法. 拼法有两种，第一种拼法（图1）有运算c2=(a+b)2-4×1/2ab=a2+b2，第二种拼法（图2）有运算c2=(a-b) 2+4×1/2ab=a2+b2. 这里的图2是历史上赵爽“弦图”的简图，教科书随后在“读一读”中对其做了简单介绍.
此外，第54页习题14.1的第1题其实是勾股定理的总统证法，第58页的“读一读”其实是勾股定理的“风车证法”，而本章的最后安排“课题学习”：勾股定理的“无字证明”. 可以说，《数学》对勾股定理的证明非常重视，通过不同的活动形式展现给学生；而且更多地，不是直接告诉学生方法，而是引导学生自己去探索，去查找资料主动获取证明方法.
《Exploring Mathematics》在《数学的美妙：勾股定理的证明》这一小节中，给出两种“简单而优雅的证明（two simple and elegant proofs）”. 证明1通过四个直角三角形拼成正方形的两种不同摆放形式（图3），从直观上验证定理（没有代数运算），这是一种几何方法. 证明2与《数学》“试一试”中的第二种方法一致，通过代数运算来证明；而且教科书在证明2旁边也放了一则“历史注解（Historical Note）”简单介绍赵爽的弦图及其证明方法. 不过除了这两种证明方法，教科书中没有再出现其他的方法.
总之，两种教科书对勾股定理证明的处理有一致也有区别之处. 《数学》“试一试”中的两种方法都是代数方法，而《Exploring Mathematics》采用一种几何方法和一种代数方法. 而且，两书的第二种方法都与赵爽的弦图有关，都配有简要的数学史知识. 此外，与《Exploring Mathematics》不同，《数学》还涉及其他证明方法，其中第58页“做一做”中的“风车证法”也是一种几何方法.
2.3 勾股定理的逆定理
对勾股定理的逆定理，《数学》用古埃及人画直角的方法来引入；而《Exploring Mathematics》则开门见山，提出问题：交换勾股定理的条件与结论，“如果a2+b2=c2，那么∠C=90°”，这个结论成立吗？然后学生探索，验证，得到结论. 《Exploring Mathematics》也用“历史注解”的形式简单介绍了古埃及人画直角的方法.
2.4 勾股定理的应用
对于定理的应用，两种教科书都给出了一定数量的例题和习题. 我们来看两书中的典型题目. 《数学》14.2《勾股定理的应用》例1：
如图14.2.1（图略），一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径. 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.
比较有意思的是，这一题目我们可以在内地其他版本的教科书中看到. 比如，人民教育出版社《数学》第十八章《勾股定理》复习题的第8题就是类似一题；北京师范大学出版社《数学》八上第一章《勾股定理》第3节就以“蚂蚁怎样走最近”为标题，研究这个“蚂蚁问题”. 为什么这些教科书都采用这一题目，它有什么深刻背景吗？事实上，它是由一道历史名题改编而来的，原题为：
如图4，在一个长、宽、高分别为30、12、12英尺的长方体房间里，一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的A处，苍蝇则在对面墙的中间离地面1英尺的B处，苍蝇是如此地害怕，以至于无法动弹. 试问，蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬行的最短距离是多少？（提示：它少于42英尺）
这一“蜘蛛与苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是H.E.杜登尼（Henry Dudeney，1847-1930）最有名的谜题之一. 杜登尼是19世纪英国著名的谜题创作者，他创作的这一问题对全世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪.[4]这就不难明白，教科书为什么对这“蚂蚁问题”偏爱有加了.
除例1外，《数学》还安排3个例题. 在例2下面有一“做一做”，其实是证明勾股定理的“风车证法”，与上下文似乎没有太大的联系，放在这一节里并不合理.
《Exploring Mathematics》中例题和习题给人的第一感觉是，离学生的生活很近. 比如《现实生活应用》这一小节一开始安排了“班级探险”：
假设一艘小船离开大屿山的梅窝码头，航行2.8公里达到喜灵洲码头. 然后左转90度并航行3.1公里到达坪洲码头. 寻找一种可以获知梅窝码头到坪洲码头的直线距离的方法.
大屿山是香港的一个岛（迪斯尼乐园就建在这个岛上），喜灵洲和坪洲是大屿山附近的两个小岛，它们都是香港学生熟悉的. 所以这一题设计得非常好，它取材于学生的现实生活，给人一种“身边的数学”的感觉，富有生活气息. 把现实中的问题转化为数学问题，让学生通过数学化和数学地思维去解决问题. 解决了这一问题，又能让学生感觉到数学不仅是有趣的而且还是有用的.
再比如，同一小节的例7，大意是说Patrick从学校到公交车站要穿过一个长124米宽93米的足球场，那么他走最短路线要走多远. 其后练习10C的14题又把场景放到一个篮球场，David沿边跳，John沿对角线跳，然后问他们跳的路程差. 10.4《勾股定理的逆定理及应用》中的例9关注两位学生的家与学校的距离，这样的情境让学生感觉到很亲切. 相比而言，《数学》第58页的例2，卡车通过工厂的大门，这样的问题情境就不是十分贴近学生的生活.
总之，《数学》取材于历史数学名题，《Exploring Mathematics》在问题情境的设计上下足工夫，两书各具特色. 此外，从习题数量上看，《Exploring Mathematics》明显要比《数学》多，而且每一个例题都标明它属于水平1还是水平2，其后的习题也按水平1和水平2分开编排；《数学》除章末的复习题按难度和水平分成A、B、C三组，其他的例题、练习和习题没有标注其对应的水平.
3 两种教科书引发的思考
通过对《数学》和《Exploring Mathematics》在“勾股定理”内容的考察、比较和分析，也引起了我们对一些问题的思考.
3.1 弱化对定理的发现
对于定理的发现，笔者认为可以做弱化处理，没有必要让学生在此太花精力. 引导学生探究而发现勾股定理，处理不当，容易导致学生盲目的探究. 在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在师生行为的设计上存在着困惑：通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生. 如何处理这一困惑，一条途径就是教科书直接把勾股定理呈现在学生面前，而更多地把空间留给介绍与勾股定理相关的数学史料上，借此拓宽学生的视野. 第二条途径是参考顾泠沅、王洁等人的工作：运用“脚手架”理论，通过“工作单”进行铺垫，为学生的学习提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下对高认知学习任务的难度的跨越. 这样的处理也具有一定的可行性. 不过，笔者更倾向于第一条途径，弱化发现，而强化证明、重视应用，把重点放到其后定理的证明和应用上，这样处理也许对学生的思维更有利.
3.2 呈现多种证明方法
我们看到《Exploring Mathematics》只介绍了两种证明方法，而且第一种更多的是借助直观的几何验证；而《数学》则涉及到好几种证明方法. 这也可以从某种程度上解释前文所提及的两地课堂教学上的差别. 笔者认为，对于定理的发现，我们可以做弱化处理，而证明则应该强化. 一方面，勾股定理的证明可以训练学生精致的数学思维；另一方面，勾股定理的证明方法是体现多元文化数学的极好题材. 正如前文所述，勾股定理的证明方法据说超过400种，而且不同的方法与不同的文化、不同种族的思维方式紧紧联系在一起. 我们认为数学教科书中呈现多元文化数学的内容是数学教科书编写的发展方向. 通过对不同时期、不同地域数学成果及其思想方法的比较，可以使学生明白，数学并不只属于某个民族、某种文化. 数学教科书和数学教学引导学生尊重、分享、欣赏、理解其他文化下的数学，借此拓宽学生的视野，加深对数学知识的理解，培养开放的心灵. 那么，在《勾股定理》中，教科书应以适当的方式呈现若干种经典证法. 比如欧几里得《原本》的证明方法就很值得向学生介绍，与赵爽的方法做一对比，学生能体会到古希腊人对理性的追求；对相关背景做介绍，学生意识到不同的文明产生了不同的数学. 欧几里得方法可能对学生而言比较难，不是那么容易理解，教师可以做适当的处理，比如借助计算机做动态演示，一般学生还是可以接受的.
3.3 问题情境的设计应贴近学生的生活
两种教科书对定理的应用都非常重视. 学习了勾股定理，学生必须会用这个定理，否则学习它就没有多大意义了. 教科书都安排了不少例题和习题. 在笔者看来，《Exploring Mathematics》的最大特色就在于问题情境的创设上. 数学问题本身就来自于生活，数学方法应应用于现实生活. 数学并不远离学生的现实世界，相反，它就在我们身边. 《Exploring Mathematics》中的例题和习题，就取材于学生周围的世界，学校、自己家的房子、球场、公交车站、居住的岛屿，这些都是学生熟悉的场景. 这些熟悉的场景放进数学题里，学生就有一种亲切感. “学数学”不仅是“做数学”，而且还是“玩数学”，让学生在一种轻松愉快的情境中解决数学问题，而这个过程是充满乐趣的. 教科书中的数学问题不能单纯围绕数学而编写、杜撰. 比如说，我们在内地某教科书中看到这样一个问题：
强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处. 旗杆折断之前有多高？
这个问题设计并不科学、合理，因为横向的“12米”是容易测量的，那么纵向的“9米”又是如何得到的呢？如果可以通过直接测量的话，那么折断部分的15米应该也不难测量（唯一难测量的情况就是尺子的长度大于12米而小于15米）. 所以，它看似是来自于一个现实生活的问题，实则是很典型的“为数学而问题”. 从数学角度讲，它也许是严谨的、完美的，但它却远离了学生的现实生活. 香港教科书在问题情境创设上对我们很具启发和借鉴意义.
参考文献
［1］ 鲍建生,王洁,顾泠沅.聚焦课堂――课堂教学视频案例的研究与制作［M］.上海:上海教育出版社,2005. 180.
［2］ 黄荣金.香港与上海数学课堂中的论证比较――验证还是证明［J］.数学教育学报,2003,12(4):13-19.[ZK)]
关键词：教师；教材使用；创造性；勾股定理
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）50-0153-02
本次课程改革无论是在课程设置上还是在课程内容及教材编排方式的更新上都给教师提供了广阔的创造空间。它带来教学观念、方式的一大改变，就是要求打破原有的教学观、教材观，创造性地使用数学教材。这就要求教师在充分了解和把握课程标准、学科特点、教学目标、教材编写意图的基础上，以教材为载体，灵活有效地组织教学，拓展课堂教学空间。创造性地使用教材是教学内容与教学方式综合优化的过程；是课程标准、教材内容与学生生活实际相联系的结晶；是教师智慧与学生创造力的有效融合。
一、创造性的使用教材的内涵
创造性地使用教材主要表现在对教材的灵活运用和对课程资源的综合、合理、有效利用。它需要教师具有较强的课程意识，准确把握教材编写意图和教学目的，避免形式化、极端化倾向。在创造性地使用教材的过程中教师的专业化水平将得到飞速提高。
那究竟如何来创造性地使用教材呢？笔者拟通过人教版八年级下册《勾股定理》一课来具体阐述。在人教版的教学建议中，明确指出：《勾股定理》一课的教学目标是使学生了解勾股定理的历史背景，体会勾股定理的探索过程，掌握直角三角形的三边关系。为了达成教学目标，不同的教师创设任务的方式也有所不同。
二、课堂再现
课例1
1.提出问题。T：相传两千五百多年前，古希腊毕达哥拉斯去朋友家做客，在宴席上，其他的宾客都在尽情地欢乐。只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖发呆，原来朋友家的地面是用直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪就过去询问，谁知毕达哥拉斯突然站起来，大笑着跑回家了，他发现了直角三角形的某一些性质。同学们，你知道毕达哥拉斯发现了什么性质？你能发现什么？S1：我发现图中有直角三角形，而且是等腰直角三角形。S2：我发现以直角边为边做出的正方形的两个面积之和等于斜边为边做出的正方形面积。T：我们发现A+B=C，由于这个三角形为特殊的直角等腰三角形。我们再来看几个直角边为整数的三角形，它们的面积是否依然存在这样关系？
2.解决问题。T：接下来我们一起来做个实验，大家看下图。A、B、C面积之间有什么关系？边长a、b、c之间存在什么样的关系？
老师发现有的同学不会算C的面积，于是请会算的同学说说计算思路。
S：我用的方法是补的，就是把这样以c为边的斜的正方形补成一个正放的大正方形。
先算出大正方形的面积，减去4块直角三角形的面积就得出C的面积了。
T：非常好，有没有不同的方法？
S：我用的是分割的方法。我把这个大的正方形割成4个直角三角形和1个小的正方形。我们可用三角形的面积加上中间小正方形就是大的正方形的面积。
T：非常好。接下来，请大家仔细观察表格中的数据，请想一下，直角三角形三边可能存在哪些数量关系？
S：a2+b2=c2
3.揭示本质。T：我们刚才进一步验证我们的猜想a2+b2=c2是成立的。那对于一般的直角三角形，两直角边为a、b斜边为c，是否都有a2+b2=c2？不要忘记，刚才我们在求大正方形的面积是如何求的？它给我们什么启示？其实历史对证明勾股定理有许多种，而我们中国古代数学家的证明思想是“以盈补虚，出入相补”。
T：2002年国际数学家大会放在北京举行，大会的会徽正是三国时期的数学家赵爽关于勾股定理证明的草图。同学们，请拿出纸笔证明一下。
S：我用大的正方形的面积等于四个直角三角形加上小正方形的面积。
T：运用面积不变，用割补的方法我们可以得到a2+b2=c2。
4.描述定义。T：下面我们给出勾股定理的表述。
命题：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学语言：ABC为直角三角形，∠C=90°AC2+BC2=AB2
5.教学总结。T：同学们，今天这节课我们学了勾股定理，那你学到了什么？S：用割补法进行勾股定理的证明。T：对，我们讲了中国古代以盈补虚的数学思想，那这种以面积来证明勾股定理的方法同时也体现了我们的数学上的数形结合的思想。这节课你还学到了哪些数学方法？S：从特殊到一般。T：我们从特殊的等腰直角三角形入手再探究有整数边的直角三角形，最后到一般直角三角形的证明。
分析：张老师本节课的重点放在定理的证明上，让学生充分体验逻辑推理的魅力。让学生自主探索、小组合作交流，直观理解勾股定理规律的发现，重视学生独立思考和探索能力的培养，在与同学交流学习中，通过取长补短，吸收同学意见，修正、完善自己的想法，探讨出利用割补法求面积的方法，就本节课的教学内容而言，掌握方法（割补法）和渗透学科思想（转化的思想）与知道结果同样重要。
课例2
1.引入课题（第一次活动）。T：请在方格纸上画面积最小的格点RtABC，教师用实物投影展示一位学生作品即如图ABC，并随即提问：RtABC中，BC=1，AC=1，你能否用计算面积法求AB的长？
S：可以把四个三角形拼成一个大正方形，得到正方形的面积为2，那正方形的边长也就是AB的长为■。
T：对于一个特殊的Rt确实有a2+b2=c2，但对于一般直角三角形能成立吗？
2.深入探究（第二次活动）。T：请各组利用手中的四个全等Rt纸板，拼出一个边长为C的正方形。（设定两直角边、斜边分别是a，b，c）学生合作后摆出了如下的两种图案：
T：对于摆法1，大正方形面积可有几种表示法？S：两种，一种是c2，另一种为4个直角三角形和与一个小正方形的面积。
T：小正方形边长为多少？S：b-a，把两种表示法等同起来（b-a）2+2ab=c2，化简整理得a2+b2=c2。
S：对于摆法2，也可得出a2+b2=c2。
3.强调定义。如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
4.总结拓展。T：关于勾股定理的证明方法有五百余种，在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。下面我们来看几组勾股定理证明的简单介绍（介绍刘徽图、加菲尔德图），希望同学们课下也去思考一种证明勾股定理的方法。
分析：课例2中的两次活动都运用了动手操作的形式，非常符合中学生好奇性强的心理特点，几乎所有的学生都兴趣盎然地参与了整个学习活动，并在教师的提问下进行积极的思考与探索。新课程下的学生不希望老师经常给他们一些轻而易举就能解决的问题，有时他们渴望做一个探索者、研究者、论证家。而上面的两个活动正是为学生提供了这样的氛围与平台，使学生在合作学习中体会了从特殊到一般的论证思想，整个设计提倡多样化问题解决的思维方式，在活动中完成了思维的不断发展。最后老师展示了一些较为典型的证明方法激发学生思考，也为学生课下学习奠定基础。
三、创造性地使用教材
上述两位老师都在课堂中创造性地使用教材，那创造性地使用教材究竟有哪些可取之处呢？笔者认为有三点：首先，它要求教师要进一步树立课程意识，以新的课程观（学生观、教材观、课程资源观）来重新审视、规划教学目标、内容和方法——以更高、更宽的眼光来设计教学、看待孩子，而不仅仅局限在教材和一时的教学效果。其次，教师在创造性使用教材中应充分认识明确教学目的的重要性。每节课、每次活动都应有明确的教学目的，而不是为了创造性地使用教材而轻率、刻意地去更改教材内容等等。教学手段与教学目的和谐一致的原则是创造性教材使用的基本着眼点与归宿。最后，希望教师们在创造性地使用教材的过程中获得专业成长。一是广泛吸收各种教材的精华与长处，进行合理整合，逐步形成自己的东西；二是结合个人教学经验、研究成果和本地实际，尝试编制富有时代气息和地方特色的校本教材，从而进一步丰富和完善现行的教材体系。当教师在自己的教学活动中有了明显的课程意识和研究、探索意识，教师就不再是普通的“教书匠”，而是已经步入到学者型、专家型的实践研究者行列，其专业化教学水平必然得到全面发展与提高。
参考文献：
[1]金立淑.指向最佳教学教学路径[J].中学数学，2012，（10）.
【关键词】初中数学；数学概率；学科发展
长期以来，数学学科在教学过程中的“缺人”现象一直存在.所谓的“缺人”现象就是对人文素养的缺失与忽视.而实际上，教学过程中适当的融入数学史的做法便是很好的人文渗透.以人文渗透的方式丰富数学学习的内容与形式，可以让学生喜欢数学、会学数学、进而学好数学.从数学史的内容分布来看，在数学教育中渗透数学史的元素可以从以下几个方面入手.
一、数学史之数学概念的发生、发展过程
数学概念是数学中最基本的元素之一，对数学概念的历史挖掘可以更好的让学生对概念的本质产生直观印象，从源头帮助学生学好知识，学透知识.正数与负数的历史发展正数与负数的产生是人类思维进化的大飞跃.在原始时期，人们没有数的概念，在计数的时候往往使用手指计数，当手指数量不够用的时候，人们就会借助结绳、棍棒、石子的方式计数.随着社会的发展，尤其是经济的发展.对计数的要求就逐渐变高，于是就有了自然数的概念，分数的产生.而在生活中则有了比0度还低的温度……这些情景的出现就要求人类开始考虑数字的正反，多少两个层面的含义，于是就诞生了负数的概念.这种正负数产生的过程就可以让学生真切的感知负数诞生的历史背景和社会生态，有利于学生将正负数的知识迁移运用到生活当中.
二、数学史之定理的发现与证明过程
传统课堂中对定理的证明和介绍往往是将证明过程进行展示，学生对定理的来历和证明过程的原始记载并无掌握，不能很好的形成对所学知识的深刻印象.将定理证明的来源及其在不同国家的历史发展介绍给学生将有助于深化对定理的理解，学习伟大数学家对待证明的方法，并感悟数学思想的魅力.勾股定理的证明在中国，勾股定理的证明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算经》的开头就有关于勾股定理的相关内容；而在西方有文字记载的最早给出勾股定理证明的则是毕达哥拉斯.相传是毕达哥拉斯在朋友家做客时，无意中看到朋友家地板的形状，于是便在大脑中出现了一系列的假设和猜想，并随后给予了论证.当毕达哥拉斯证明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是杀牛百头以示祝贺.现在，数学家已经从不同的角度对勾股定理进行了证明，证明方法多达几十种.
三、数学史之数学历史中较为有名的难题解析
在数学的发展史中，有一些流传下来的被后人津津乐道的数学难题，这些题目的解答中往往蕴含着丰富的数学解题思想和独特的思维方式，同时也可以让学生感受到数学问题的奥秘并从中获得启示.哥尼斯堡七桥问题在18世纪的时候，有一个小城角哥尼斯堡，城中有一条河，河上坐落着七座桥，这七座桥将河中间的两个小岛与岸边相连.在那里生活的居民就提出了一个问题，如何在既不重复，也不落下的情况下走遍七座桥，并在最后回到出发点？这个问题困扰了大家很久，但始终都没有得到解决.直到一位名叫欧拉的数学家通过将问题简化和抽象最终得出了问题的解决办法.这就是后人常提到的“一笔画”问题.
四、数学史之数学家的故事
数学家的故事往往蕴含了丰富的人生哲理，不仅教会学生如何对待工作，对待生活，对待工作中的每个细节，还在侧面影响了学生从事数学工作的意愿.教师可以在教学之余穿插介绍一些中外数学家的故事，重点介绍其对待数学事业的态度以及在工作上优良的品质，以鼓励所有学生在数学学习过程中不断的学习数学家的品质与风貌.高斯的故事高斯十岁上学时老师给所有同学出了个题目：将1－100的数字全部写出来并把它们相加.老师原本想让孩子们多算一会儿好让自己休息，其他很多同学也开始用石板逐一计算.但是高斯却很快就将答案摆在了老师的面前.老师自然对高斯的表现异常吃惊，尤其是高斯的答案是正确的.而当高斯解释解题过程的时候，连老师都没有想到将数字串进行首尾相加的方法却从一个十岁儿童的笔下得出.这不得不让人对这个孩子的聪颖大加赞赏和敬佩.
五、数学史之中国古代的数学成就
关键词：探索能力；综合运用；好奇心与幻想；渗透美德
中图分类号：G623.5 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）05-0216-01
创新是一个民族的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭的动力。作为"人类灵魂的工程师"肩负着培养、造就具有创新意识、创新精神、创新能力，适应新世纪竞争合格人才的光荣使命和时代的重托，也是当代教师深思远虑的时代课题，下面是本人在教学实践中的培养学生创新意识的一些体会：
1.培养学生的探索能力，从而培养学生的思维创新能力
"探索是数学教学的生命线"。适时，经常地组织学生进行探索性学习，有利于将教学过程的重点从教师的教转移到学生的学，学生从被动接受变为主动探索、研究，确立学生在学习中的主体地位，促进学生独立思考，培养和发展其创新性思维能力。而这些创新思维的产生，都不同程度来源于教师设计的一些具有探究性的问题，如果设计的问题不具有挑战性，就不能使学生产生创新性的欲望。例如教学"通分"时，为了让学生比较3/4与5/6的大小，一般情况下，教师预先设计如下问题引导学生思考：3/4与5/6的分母一样吗？能否直接比较大小呢？能将3/4与5/6化成分母相同的分数吗？应以什么数作为公分母？这样提前引导、指令，使学生亦步亦趋，毫无自主探索的权利可言，不利于学生个性的发展。而教师事先不作暗示，放手先让学生自主思考、探索，那么学生的思考策略就趋于多样化而富有个性：化成小数比较。用折纸比较。化成同分母的分数比较。化成同分子的分数比较。为此，在教学工作中应做好以下几项工作：善于引导学生学习兴趣，保护好奇心，激发求知欲。创设问题情景，引导学生探索发现。鼓励学生发现问题，提出问题。引导学生自己研讨，培养独立思考能力。让学生动手实验，操作，手脑并用。实践证明，在教学过程中，如果我们多设计一些探究性的问题，就会使学生逐渐养成在以后的学习过程中注意观察分析，努力探索，从而培养学生的思维创新能力。
2.联系几何知识综合运用，提高空间观念的积累水平
在学生掌握了部分几何知识，且具有初步的空间观念以后，我们需要帮助学生进一步贯通几何知识内在的联系。我们可以把学过的几何知识和具有代表性的题目通过变式，强化综合运用知识解题的灵活性，引导学生的空间思考能力，以利于提高空间观念的积累水平。 1） 在学生具有初步几何空间知识后，我们可以设计综合几何题型来锻炼学生的空间分析能力。这是一道圆柱体和长方体组合的题目：在一只底面半径是 10厘米的圆柱形玻璃瓶中，水深8厘米。要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块： 如果把铁块横放在水中，水面上升几厘米？ 如果把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？ 对于此题的解答，我们可以对学生进行实验演示，或者先让学生大胆地想象出铁块浸没在水中的两种情况之下的不同的形状、方位、大小，培养学生的空间观念。 图3.1圆柱形玻璃瓶和长方体铁块 第（1）小题，学生可以很容易地理解，把铁块横放在水中，铁块将会全部浸没。上升的容积就是铁块的体积。 若用算术方法解：则水面上升部分的容积（也就是铁块体积）÷圆柱底面积=水面上升的高度，即15×8×8÷（102×3.14）≈3（厘米）； 第（2）小题，我们首先要让学生思考，把铁块竖放在水中，铁块能全部浸没吗？显然不能。因为横放在水中，水面只上升了约 3厘米，而竖放在水中，铁块的体积不变，底面积变小了，所以水面不可能上升到15厘米这一高度。进而再考虑，把铁块竖放在水中，水面是肯定要上升的，因为有部分铁块将浸没在水中。 若用方程解：我们假设把铁块竖放在水中，水面上升到 x 厘米，则当前水面的总容积-铁块浸没在水中的体积=原来水面的总容积，即：102×3.14×x- 82×x= 102×3.14×8。 解得：x≈10（厘米），得到水面上升为：10-8=2（厘米）。 对于很多几何应用题，解题所需的条件并不是完全已知的，需要学生通过分析提炼出隐蔽的数据，这部分需要学生具有一定的综合分析能力。
3.尊重学生的好奇心与幻想，激发学生的创新意识
每位学生都有很强的创新欲望，他们对什么都充满了好奇心与幻想。因此应为学生创设情境，激发他们的创新热情，使他们善于创新。如有这样一道题：某小学放两部科学教育影片，第一部长585米，放映19.5分钟，第二部长720米，要比第一部多放映多少分钟？对于这道题，教师要求是只列式不计算，比一比看谁用的方法多。激活了学生的思维，很快有多数同学先后列出3种不同的算式：①720÷（585÷19.5）-19.5；②19.5×（720÷585）-19.5；③（19.5÷585）×（720-585）。紧接着在教师的鼓励启发下，学生的思维更加活跃，相继又出现了2种不同的解法：④（720-585）÷（585÷19.5）；⑥19.5×[（720-585）÷585]。然后指出回答每一种方法的解题思路，学生纷纷踊跃发言说出各自的理由，形成民主、平等的教学氛围，这样既激活了课堂气氛，又有利于激发学生的创新意识。
4.渗透美德，培养思维的审美力
明是非、知美丑、懂得失，是一个人有所为、有所不为的思想基础，教育始终应为提高学生的思想认识铺路搭桥。利用正面榜样，提供楷模力量；借鉴反面教训，增强忧患意识；展示学科内容的作用，以需激趣；发掘学科内容的美育因素，陶冶情操；揭示学科内容中蕴涵的哲学素材，提高感知世界、认识自我的本领；等等。使学生逐渐形成思维的人格审美力、行为审美力、鉴赏审美力和辩证唯物主义的世界观。如在勾股定理的教学设计中，课前布置学生回家查找勾股定理相关资料：在网上可以搜索"勾股定理"有约322000条相关内容；"勾股定理证明方法"有约72500条相关内容；"有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。""这是任何定理无法比拟的；至今可查的有关勾股定理的最早记载，是大约公元前1世纪前后成书的我国古代的一部著名的数学著作《周髀算经》，比古希腊的数学家毕达哥拉斯（在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理）要早了五百多年等等。学生会深刻感悟数学图形的美感，同时也了解到到我国古代数学家对数学领域的突出贡献，更增强了民族自豪感。
总之，学生创新能力的培养，贯穿于整个教学活动之中，只需我们认真研究和探索，一代具有创新能力的学生就会脱颖而出。
参考文献：
[1]杨庆余，《小学数学课程与教学》，高等教育出版社，2004年。
[2]马云鹏，《小学数学教学论》，人民教育出版社，2003年。
自主学习法是指学生在教师的指导下进行自学，获得书本知识，发展能力的一种教学模式. 进入初中的学生已具备一定的自主学习能力，教师的任务是帮助学生提高自主学习的效率，让学生学会积累知识， 沉淀方法，分析并解决问题. 在这一模式中，学生通过自学，进行思考、实践探究，让学生在自学中学会学习，撑握学习方法，增强他们学习数学的兴趣，让每一名同学都有成功的体验. 下面我来谈谈自己的一些做法：
一、给出自主学习的目标，增强学生自主参与意识
给出目标意在突出学生于学习中的主体地位，通过呈现学习目标让学生明确本课要学习的内容和需要达到的程度，进而围绕目标，带着问题积极、主动地参与学习活动. 在教学过程中，还要扩大教学环节的具体要求，通过白板或投影等形式使学生明确每个教学环节的具体目标.
例如，我在教学八年级数学（上）《3.1 勾股定理》时，就给出以下的教学目标：1. 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的运用思想，发展数学思维；2. 经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识；3. 通过对勾股定理的历史的了解，感受数学文化，并体会勾股定理的应用价值. 目标导学的目的在于：把学生推到探究新知的“第一线”，让学生自己动手、动口、动脑，主动思考问题，并在探究新知的过程中，暴露他们研究过程中的问题，把他们弄不懂的地方、错误的地方都摆在桌面上，再引导他们通过独立思考，摒弃错误，发现真理，实现由感性认识到理性认识的转化. 这样，通过活动，让学生自己发现要学习的东西，能够积极地被同化，因而使知识掌握得更加牢固、深刻.
二、指导自主学习，提高学生自主学习能力
初中阶段的学生受心理和知识的限制，缺乏必要的学习方法，不能做到完全自主学习. 这就需要老师引导学生掌握必要的学习方法和学习技巧，提供必要的自学指导. 让学生知道干什么？利用什么工具？怎么干？……. 所以自学内容要考虑知识的完整性，问题的设计要具体，可操作性要强；由浅入深，由易到难，使学生逐步掌握本节课要掌握的知识.
例如，我在上八年级数学（下）《平行四边形的判定》这节课时，给出以下的自学指导：
请同学们自学P66-67内容，思考：
（1）如何在方格纸中画出平行四边形？
（2）你能利用三角形的全等，根据平行四边形的定义证明它们吗？请写出证明过程.
（3）例 3 运用了平行四边形的哪些性质和判定？你还有其他证明方法吗？
请写出来.
学生自学时要注意两个问题，（1）不要发现问题就开始讲，这样会干扰学生的自学，要让他们安静地、独立地完成自学过程. （2）教师利用这个时间巡视，解决学生自学过程中出现的问题，并通过观察、个别询问等形式发现学生在自学中暴露出的疑难问题，并把主要的倾向性问题进行梳理、归类，为下一步调整课堂进程和选定精讲的内容寻找依据.
三、营造自主学习的氛围 ，提高自主学习效率
创设民主和谐的课堂教学氛围，使学生勤于动脑，善于发言. 心理学家指出：
人在情绪低落的时候，想象力只有平时的二分之一甚至更少. 因此只有在宽松、民主的教学氛围中，学生的创造性思维才能得到最大限度地发挥，这就需要我们教师能在数学课堂上建立亲和的对话平台，沟通对话渠道，可以聆听学生的见解，并能适时地给以赞同表扬或指正他们的观点. 学生在我们的数学课堂上不应该仅仅是学习活动的接受者，而应该充分体现主体地位的作用，积极参与到一个新知识探究的思维过程中，让他们学会独立思考.
类型一：直线与平面平行的证明
【例1】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A点在底面A1B1C1上的射影是正A1B1C1的中心.E为侧面BB1C1C对角线BC1上一点,且BE=2EC1,
证明：OE∥平面AA1C1C．
分析 (1) 从“量”上分析:①从BE=2EC1知E是一个三等分点(离C1较近);②从正A1B1C1,O是A1B1C1的中心,知O是A1B1C1的重心,隐含O是B1C1边上中线的一个三等分点,与E点有遥相呼应之感；
(2) 从“形”上分析：由相似三角形的原理知延长CE与B1C1的交点必是B1C1的中点H,从而根据重心知识知A1、O、H共线,这样可形成A1HC；同时可联想B1C1的中点是建立联系的纽带；
(3) 从方法上分析：应用线面平行的判定定理证明,设法在平面内找到平面外的直线OE的平行线,俗称“找线法”。
证明 连接CE并延长,交B1C1于点H,因为BC∥B1C1,BE=2EC1,所以BCE∽C1HE,且BC=2C1H,所以H点为B1C1的中点.
又因为点A在底面正A1B1C1内的射影点O是A1B1C1的中心,所以O是A1B1C1的重心,显然A1、O、H共线.且A1O=2OH.
在HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以HEO∽HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以OE∥平面AA1C1C．
点拨
(1) 从图形上可联想有一个三角形,过OE且与平面AA1C1C有一条交线,故联想到B1C1的中点；
(2) 在添加辅助线时,易出现错误.如：连CE交B1C1于H点,连A1、O、H等形式的错误；
(3) 除用判定定理证明外,也可以构造平面与平面AA1C1C平行,利用面面平行的性质来证明。
总结:证明线面平行的方法有：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质定理等方法,常用的是线面平行的判定定理。
类型二：直线与平面垂直的证明
【例2】 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,侧面PAD是等边三角形,PB=PC=2,求证：PC平面PAB.
分析 (1) 从“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本关系,作AHBC垂足为H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在ABC中由余弦定理易知AC=3,在PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PCPA；在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PCPB；
(2) 从“形”上分析：应联想到PC应垂直平面PAB中两条相交的直线
PB,PA,AB中的其中两条即可,可联想连接AC,用勾股定理证明；
(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的判定定理,
设法在平面PAB内找到与PC垂直的两条相交直线。
证明 由条件易知在PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PCPB.在等腰梯形ABCD中,
由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,
作AHBC于点H,得BH=12,所以在RtABH中，∠ABH=60°；
又在ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，
所以在APC中,PA=1,AC=3,PC=2，满足勾股定理,即∠APC=90°,即PCPA，
由上可知PCPA,PCPB,PA∩PB=P,所以PC平面PAB．
点拨
(1) 本题从找线出发,联想到要证PCPA与PCPB,而PCPA是本题的一个难点；
(2) 本题最终在APC中利用勾股定理证得PCPA,亦可以通过AB平面PAC,证得PCAB得到。
总结:证明线面垂直的方法有：定义法、线面垂直的判定定理法、面面垂直的性质定理等方法,常用的是线面垂直的判定定理。
恃国家之大，矜民人之众，欲见威于敌者，谓之骄兵。――魏相
类型三：利用线面平行、垂直的性质的探索性问题
【例3】 已知三棱锥PABC中,ABC是边长为2的正三角形,PC平面ABC,PA=22,E为PB的中点,F为AC的中点,试在线段PC上找一点Q,使得AE∥平面BFQ．
分析
(1) 从“量”上分析：ABC为正三角形,PA=22,易得PC=2；从而知PB=22；
(2) 从“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；PBC
为等腰直角三角形；同时可以联想在平面BFQ内有一条与AE平行的线；
(3)从方法上分析：利用线面平行的性质,通过线面平行得出线线
平行,从而确定Q点的位置。
解 因为ABC是边长为2的正三角形,所以AC=2；
又因为PC平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PCAC,PCBC,所以PAC为直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以PBC是以C为直角顶点的等腰直角三角形.不妨在PC上取一点Q,假设满足AE∥平面BFQ,则由线面平行的性质定理,连接CE交BQ于点H,连接HF,作出平面AEC.因为AE∥平面BFQ,
AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；
显然在AEC中,F为AC的中点,所以H为EC的中点．
过E作EG∥BQ,交PC于点G；
在CEG中,HQ∥EG,H为EC的中点,所以Q为GC的中点,故GQ=QC；
在PBQ中,EG∥BQ,E为BP的中点,所以G为PQ的中点,故GQ=PG；
所以PG=GQ=QC,故Q为PC的一个三等分点且靠近C点；因为PC=2,所以QC=23．
点拨 (1) 取Q点形成平面BFQ,利用线面平行的性质定理得AE∥FH,从而知H为EC的中点；
(2) 在PBC中求Q的位置,除了用本题的方法外,还可以把PBC平面化,利用解析几何知识建立直角坐标系,求出Q点的坐标,从而确定Q的位置；
(3) 学理科的同学还可以通过建立空间直角坐标系,通过求Q的坐标,确定Q的位置。
总结:线面平行的探索性问题常用的解题步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 利用线面平行的性质得出线线平行；(3) 通过线线平行确定点的位置。
【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,
BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D为B1C1的中点,
AE平面BB1C1C,试在CC1上找一点Q,使得EQ平面A1DC．
分析
(1) 从“量”上分析：BC=2,AB=1,AC=1得∠BAC=90°；CC1=1,可知侧棱长均为1；
(2) 从“形”上分析：AE平面BB1C1C,则必有AEBC,即E为BC的中点；同时可以联想在平面BB1C1C内应该有一条易证的,且与平面A1DC垂直的直线；
(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的性质,先找出平面的一条垂线,
再过E作所找垂线的平行线。
解 连接BC1,交DC于O点.因为三棱柱ABCA1B1C1
为直三棱柱,所以BB1C1C为矩形,则由长度关系知：BB1B1C1=DC1C1C=22,所以BB1C1∽DC1C,易得BC1DC.根据D是BB1的中点,且A1B1=A1C1得A1DB1C1.又因为CC1平面A1B1C1,A1D平面A1B1C1,得CC1A1D.所以由A1DB1C1,CC1A1D,B1C1∩CC1=C1得A1D平面BB1C1C,因为BC1平面BB1C1C,所以A1DBC1；因为A1DBC1,BC1DC,A1D∩DC=D得BC1平面A1DC1．
又根据题意,AE平面BB1C1C知AEBC,因为ABC为等腰三角形,所以E为BC的中点；故要使得EQ平面A1DC,只需EQ∥BC1；在BCC1中,EQ∥BC1且E为BC的中点,故Q为CC1的中点；综上所述,Q的位置在CC1的中点．
点拨
(1) 根据线面垂直的性质,要找到EQ平面A1DC,只需先找到一条平面A1DC的垂线,即可通过平行线找到EQ；
(2) 本题理科学生也可以通过建立空间直角坐标系求出Q点的坐标,确定Q点的位置。
总结:线面垂直的探索性问题的一般步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 找到已知平面的一条垂线；(3) 通过作已知平面垂线的平行线,确定要找的点的位置。
牛刀小试
1. 三棱锥PABC中,E、F是PA、PB的中点,O是AC的中点,G是OC的中点,证明：FG∥平面BOE.
2. 三棱锥PABC中,D是AB的中点,E在PB上,且PE=2BE,在PB上确定一个点Q,使得DE∥平面ACQ．
3. 四棱锥SABCD中,AB∥CD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1,O为AC与BD的交点,试在SB上找一点E,使得OE平面SAB．
【参考答案】
1. 证明：连接AF交BE于点H,连接OH,因为O是AC的中点,
G是OC的中点,所以AOAG=23；在PAB中,BE,AF均为三角形的中线,故AF与BE的交点H是PAB的重心,
所以AHAF=23.所以在AFG中,AOAG=AHAF=23,
由相似三角形知识得OH∥FG；
又因为OH平面BOE,FG平面BOE,所以FG∥平面BOE．
2. 证明：因为ABCD是正方形,所以AD=DC=1,又因为PC=2,所以PD2+DC2=PC2,即PDDC.又因为PDDC,PDBC,DC∩BC=C,所以PD平面ABCD．
2. 在PB上取点Q,作平面ACQ,假设DE∥平面ACQ；因为DE∥平面ACQ,DE平面PAB,平面PAB∩平面ACQ=AQ,所以DE∥AQ.ABQ中,DE∥AQ,D是AB的中点,所以E为BQ的中点.所以BE=EQ=13PB=PQ,即Q为PE的中点,亦可答：Q是PB的一个三等分点且靠近P点．
3. 在四边形ABCD中,过D作DHAB于点H,在四边形ABCD中,
因为AB∥CD,AB=2,CB=2,CD=1,所以AH=1,DH=2,故AD=5．
在SAD中,SA=2,SD=1,AD=5,则SA2+SD2=AD2,
所以SDSA.BCD中,CD=1,BC=2,BCCD,则BD=5．
故在SDB中,SD=1,SB=2,BD=5,所以BD2=SD2+SB2,所以SDSB．
因为SDSA,SDSB,SA∩SB=S,所以SD平面SAB．
要在SB上找一点E,使得OE平面SAB,只需作出SD的平行线即可．
根据CD∥AB,
易得OCD∽OAB,得O为DB的三等分点(靠近D点),
故在SDB中,OE∥SD,显然E是SB的三等分点(靠近S点)；
一、“推广型”内容教学时需解决的问题
1.推广的必要性
解决推广的必要性问题，即要解决“为什么需要推广？”这一问题。教学中应从学生已有的认知水平出发，结合数学发展的现实基础和逻辑基础，让学生深刻领悟到进行推广的必要。例如，在引入大于360°的角和负角时，可以举些学生熟悉的生活中大于360°的角和负角，如体操中的转体、跳水中的翻腾、钟表中的指针、自行车的轮子、螺丝扳手与曲柄连杆等按不同方向旋转时所成的角，用以说明建立新概念的必要性和实际意义，这也有利于体验数学的人文价值，开阔学生的视野。
2.推广的方法性
解决推广的方法性问题，即要解决“如何进行推广？”这一问题。从数学学习、研究过程来看，经常使用如下的逻辑思考方法：
其中突出显示了联系的观点，通过类比、推广、特殊化、化归等思想方法，可以极大地促进学生的数学思考，使他们更有效地寻找出自己感兴趣的问题，从中获得研究方法的启示。例如，关于平面几何中的向量方法，我们可以有如下的“联系图”：
3.推广的应用性
解决推广的应用性问题，即要解决“推广后有什么用？”这一问题。在联系旧知推广得到新知的基础上，要重视新知的应用，让推广的价值得到充分的展示。这种价值，不仅体现在新知对旧知的覆盖，更要让学生感受到一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。例如，将勾股定理推广到余弦定理以后，可以讲解这样的问题：用余弦定理证明：在ABC中，当∠C为锐角时，a2+b2>c2;当∠C为钝角时，a2+b2
二、“推广型”内容的教学基本策略
1.创设具有认知冲突的问题情境，揭示推广的必要性
认知心理学家认为：当学习者发现不能用头脑中已有的知识来解释一个新问题，或发现新知识与头脑中已有的知识相悖时，就会产生“认知失衡”。这种认知冲突会让学生产生新奇和惊愕，从而引起学生的注意、关心和探究。认知冲突是教学和学习的最佳契机。在进行“推广型”教学内容的教学时，创设具有认知冲突的问题情境，将有利于推广必要性的揭示。
（1）情境生活化，使推广成为需要。解决现实生活和生产实际问题的需要，常常是进行数学推广最直接、最有力的推手。为此我们可以结合具体的实例创设情境，使新知自然生成。例如，我们将0°～360°角推广到任意角时，可创设如下问题情境。
案例1 角的概念的推广的问题情境
问题1 在初中我们是怎样定义角的？（从如下的静态和动态两个角度定义。）
问题2 平面内一条射线绕其端点旋转一周后回到原来的位置，所形成的角是什么角？如果继续旋转下去，所形成的图形还是不是角？为什么？
问题3 生活中存在刚才问题中所出现的角吗？你能试着举出一些实例吗？我们又如何去理解它们呢？
通过回顾旧知，联系生活实际，引发认知冲突，角的推广也就成了必然需求。
（2）关系普遍化，使推广成为必要。推广常用的方式是将变量之间、对象之间的特殊关系改为一般关系而获得具有普遍意义的命题及公式，或是将具体对象改为一般对象从而使命题得到推广[2]。教学时，一般先复习包容性小、抽象概括程度低的概念，并在此基础上创设具有认知冲突的问题情境。例如，将锐角三角函数推广到任意角的三角函数的学习，从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，“先行组织者”是锐角三角函数的概念[3]。教学时，可创设如下问题情境。
案例2 任意角的三角函数的问题情境
问题1 你能回忆一下锐角三角函数的定义吗？
问题2 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？如果按这种方式用坐标表示的三角函数值，在锐角取值范围内和之前的定义吻合吗？
问题3 改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？（在定义任意角的三角函数之前，必须让学生感知、确认、理解这三个比值都只与角的大小有关，而与点在终边上的位置无关，因此它们都是以角为自变量的函数，从而给出任意角的三角函数的定义。）
问题4 角的范围已经推广到了任意角，那么，仿照以上锐角三角函数的新的定义方式，你认为如何定义任意角三角函数比较合理？
通过以上问题串，由特殊到一般，思维流畅，层层深入，新概念的得出水到渠成。
2.迁移已有的思想方法，凸显推广的方法性
新课标强调“四基”，即学生通过学习，获得必需的基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。基本思想方法、活动经验的获得，不仅来源于自己平时对知识的感悟，更多的来源于平时教师对思想方法的提炼、渗透。学会推广实际上就是学会方法。教师在进行“推广型”教学内容的教学时，应注意迁移已有的思想方法，如类比探究、化归论证等，让学生在推广的过程中感悟方法、掌握方法。
（1）类比探究。类比法通过比较两个对象的部分相同或相似，推出其他方面也可能相同或相似。类比是进行数学再发现的有效方式。在进行角的概念推广的教学时，为了引出正角、负角和零角的概念，我们可设置如下类比式问题串。
案例3 类比正数、负数、零的概念，得出正角、负角、零角的概念
问题1 如何用数学的方法将按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角加以区分？你以前有过类似的经验吗？
问题2 我们知道，正负数和0可借助数轴有效地进行区分。那么，为了区分按顺指针、逆时针两种不同的方向旋转的角，你认为可以利用什么载体进行区分呢？如何给它们下一个合理的定义呢？
通过以上问题，利用类比的方法，由正数、负数、零的概念自然引出正角、负角、零角的概念，同时也让学生体验从低维问题向高维问题发展的一般方法。
（2）化归论证。一般化是数学推广的基本方式。数学家G・波利亚指出：”一般化是从对象的一个给定集合进而考虑到包含这个集合的更大集合。”由下位公式向上位公式推广时常伴随着猜想，而要对这种猜想进行论证，则常需将上位公式化归至下位公式。例如，我们在将勾股定理推广到余弦定理时，可按如下方式进行。
案例4 借助化归的思想论证余弦定理
问题1 前面学过的正弦定理的表达式是怎样的？它具有怎样的功能？
问题2 在我们所学知识中，有没有涉及已知三角形的两边及夹角，求第三边的情形呢？能否举一个具体的例子？
问题3在ABC中，已知边a，b，∠C≠90°，是否还能用勾股定理求边c？（很自然的想法是构造直角三角形，以便用勾股定理进行计算。辅助线如下图，过程略。）
3.运用推广的结论方法，强化推广的应用性
旧知推广为新知以后，内涵发生了改变，伴随产生了一些新的性质。为了让学生巩固新知，体验数学的实用价值，我们应在推广之后，在概念的辨析、性质的应用等方面及时加以应用。
（1）概念辨析，厘清疑点。数学概念在得到推广以后，其内涵发生了改变，容易与原有的概念产生混淆。为了帮助学生区分新旧概念的区别，加深理解，我们可以通过概念辨析题的方式进行新知的应用。如，将角推广到任意角以后，伴随着产生了象限角、轴线角等概念。这些概念与原有的锐角等概念容易混淆，为此我们可通过如下判断题进行辨析。
案例5 角的概念推广后设置的概念辨析题
判断下列说法是否正确：
①锐角是第一象限角。（对）
②第一象限的角都是锐角。（错）
③小于90°的角都是锐角。（错）
④第二象限的角一定比第一象限的角大。（错）
⑤终边相同的角一定相等。（错）
⑥终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。（对）
（2）前后呼应，变式应用。在问题情境的创设过程中，常借助认知冲突，设置悬念，引发推广。在推广以后，要及时解决原先的疑问，并适当深入，变式提升。例如，前面为了将勾股定理推广到余弦定理，设计了这样的问题：已知三角形的两边及夹角，如何求第三边呢？那么，我们可结合此问题的解决，设计例题及变式。
案例6 将勾股定理推广到余弦定理后设置的例题及变式
①在ABC中，已知边b=3，c=1，∠A=60°，求边a。
②在ABC中，已知边a=4，b=5，c=6，求∠A。
变式1在ABC中，已知边a=4，b=5，c=6，判定在ABC的形状。
变式2在ABC中，已知边a∶b∶c=3∶4∶5，判定在ABC的形状。
知识、能力与学习品质的提升是学生发展的基本目标。通过“推广型”教学内容的教学，让学生充分认识推广的必要性、方法行、应用性，在推广中进行再发现，学会探究，对学生良好数学素养的提升具有较大的帮助。
参考文献
[1] 徐彦辉.数学推广及其常见形式举例分析[J].数学通报，2010（4）.
一、数学概念学习方法。
数学中有许多概念，如何正确地掌握概念，应该知道学习概念需要怎样的一个过程，应达到什么程度。一个数学概念需要记住名称，叙述出本质属性，体会出所涉及的范围，并应用概念准确进行判断。这些问题老师没有要求，不给出学习方法，学生将很难有规律地进行学习。
数学概念的学习方法是：
1、阅读概念，记住名称或符号。
2、背诵定义，掌握特性。
3、举出正反实例，体会概念反映的范围。
4、进行练习，准确地判断。
二、学公式的学习方法
公式具有抽象性，公式中的字母代表一定范围内的无穷多个数。有的学生在学习公式时，可以在短时间内掌握，而有的学生却要反来复去地体会，才能跳出千变万化的数字关系的泥堆里。教师应明确告诉学生学习公式过程需要的步骤，使学生能够迅速顺利地掌握公式。
数学公式的学习方法是：
1、书写公式，记住公式中字母间的关系。
2、懂得公式的来龙去脉，掌握推导过程。
3、用数字验算公式，在公式具体化过程中体会公式中反映的规律。
4、将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式。
5、将公式中的字母想象成抽象的框架，达到自如地应用公式。
三、数学定理的学习方法。
一个定理包含条件和结论两部分，定理必须进行证明，证明过程是连接条件和结论的桥梁，而学习定理是为了更好地应用它解决各种问题。
数学定理的学习方法是：
1、背诵定理。
2、分清定理的条件和结论。
3、理解定理的证明过程。
4、应用定理证明有关问题。
5、体会定理与有关定理和概念的内在关系。
有的定理包含公式，如韦达定理、勾股定理、正弦定理，它们的学习还应该同数公式的学习方法结合起来进行。
四、初学几何证明的学习方法。
在七年级第二学期，八年级立体几何学习的开始，学生总感到难以入门，以下的方法是许多老教师十分认同的，无论是上课还是自学，均可以开展。
1、看题画图。（看，写）
2、审题找思路（听老师讲解）
3、阅读书中证明过程。
4、回忆并书写证明过程。
五、提高几何证明能力的化归法。
在 掌握了几何证明的基本知识和方法以后，在能够较顺利和准确地表述证明过程的基础上，如何提高几何证明能力？这就需要积累各种几何题型的证明思路，需要懂得 若干证明技巧。这样我们可以通过老师集中讲解，或者通过集中阅读若干几何证明题，而达到上述目的。化归法是将未知化归为已知的方法，当我们遇到一个新的几 何证明题时，我们需要注意其题型，找到关键步骤，将它化归为已知题型时就可结束。此时最重要的是记住化归步骤及证题思路即可，不再重视祥细的表述过程。
几何证明能力的化归法：
1、审题，弄清已知条件和求证结论。
2、画图，作辅助线，寻找证题途径。
3、记录证题途径的各个关键步骤。
一、利用多媒体课件进行情境创设
初中数学教学过程是信息传递和反馈的过程，多媒体课件教学使得数学在教学中能把图形、声音、文字集成一体，充分调动学生的各种感官，使学生产生兴趣，思维更加活跃，提高了学习质量。
在学习七年级《从三个方向看》时，课件上展现一些庐山的美丽风景，同时播放一首苏轼的诗：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。学生看着庐山画面，同时跟着一起诵读诗句。
师：大家去过庐山吗？如果没有的话，建议你去看看，因为庐山的风景真的很美丽。我国宋代诗人苏轼也去过庐山，并且在西林壁上写下了一首很有名的绝句《题西林壁》，你知道苏轼是从哪几个方向来观察庐山的吗？
生：横看，侧看，远看，近看……
师：其实，这首诗里，还有一些数学知识，它教会我们该怎样去观察物体，这是我们今天要一起探讨的内容《从三个方向看》。
利用课件一起欣赏照片，一起诵读古诗，这样就为学生营造了一个宽松的、生动活泼的、主动求知的学习环境。
二、利用多媒体课件展示高难度操作
借助一些工具软件，教师可以很方便地对一些多媒体对象进行剪辑和加工处理，使之符合我们数学教学的要求。例如：在学习圆的周长时，通过课件演示将圆分成十六等份，然后拼成一个长方形。学生惊讶地发现，原来圆的周长就是这个长方形两条长之和，而长方形的宽正是圆的半径。通过这样的直观的演示，不仅吸引了学生的注意力，而且加深学生的印象，提高他们学习数学的兴趣。
三、利用多媒体课件丰富学生的知识层面
多媒体课件储存的信息量大，我们可以从网络上收集需要的材料在多媒体课件上演示，充实课堂教学内容，开拓学生视野，增加了学生学习的广度和深度。
在学习黄金分割时，教师可以利用课件播放一些黄金分割在各方面的应用：
人体上的黄金分割：在人体中，黄金分割的例子很多。在人体结构上，0.618更是无处不在。大家都知道，从肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618，这是比较完美的人体。
最漂亮的脸庞：有意思的是，最漂亮的脸庞是眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618。像拉斐尔的圣母像、还有《蒙娜丽莎》像，都是这个比值。而鹅蛋形，脸宽与脸长的比值约为0.618，是人们公认的最完美的脸型之一。
植物上的黄金分割：天文学家开卜勒在研究植物叶序问题时，惊讶地发现：叶子在茎上的排列也遵循黄金比。科学家经计算表明：这个角度对植物叶子通风、采光来讲，都是最佳的。正因为如此，建筑学家仿照植物叶子在茎上的排列方式，设计、建造了新式仿生房屋，不仅外形新颖、别致，同时还有优良的通风、采光性能。
艺术上的黄金分割：同学们仔细观察就会发现，建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。
四、利用多媒体课件展示数学定理的多种验证方法
实际的数学课堂教学中经常出现一题多解的情况，利用多媒体课件展示为这种情况提供了方便，节约了时间。
在学习“勾股定理证明”一节课时，教师利用课件展示多种证明方法。例如：第一种证法，赵爽利用四个直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形来证勾股定理的正确性。第二种证法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法把勾股定理验证出来。第三种证法，是著名希腊数学家欧几里得的一个很好的证法。后面的“总统证法”等等，大大丰富了学生的证明思维。
五、利用多媒体课件演示动态现象
多媒体课件具有呈现客观事物的时间顺序、空间结构和运动特征的能力。在初中数学课堂教学中，常有部分学生遇到有关动态问题的数学感到难懂，老师也感到难教，这里的关键问题就是动态问题比较抽象，采用多媒体课件演示就能很好地克服这个困难，培养和提高了学生对图形的想象能力、动态思维能力，找到解决问题的突破口，解决了学习和教学中的难点。
关键词 说题 中考 数学
中图分类号：G633.63 文献标识码：A
Inspiration from a Problem in High School Entrance Examination
――Dynamic Point Issues in Trapezoidal
LIU Shijie
（High School Affiliated to Xinjiang Agricultural University， Urumqi， Xinjiang 830000）
Abstract Examination is imperative to review the return of textbooks， the exam questions are rooted in the textbook， but is extended to the original question， the conditions change， transplant conversion， increasing the level of problem-solving. Said the problem is the study of creativity exams and exam questions return textbooks are complementary， we make an important weapon in the test review.
Key words said the problem； examination； mathematics
本文以一道中考选择题为例进行说题。
说题题目：2012年乌鲁木齐数学中考试题第10题
如图1，AD∥BC，∠D = 90，AD=2，BC=5，CD=8，若在CD边上有点P，使 PAD与PBC相似，则这样的点有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1 说试题立意及背景
试题立意：动点问题是近年来中考的一个热点问题，要求学生能够对点在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置关系等进行观察研究，化“动”为“静”。从数学知识点来看，动点依附于不同的载体，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程等知识，综合性很强。考察的途径越来越复杂，对学生的读题、解题、知识迁移能力、数形结合的思维能力提出了很高的要求。
说背景：本题以直角梯形作为载体，动点P隐含其中，以相似三角形的判定为主要考点，运算上以一元方程求解为突破，得到点P的个数。本题运用分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解题的关键。主要考查学生对基本知识、基本方法、基本技能的理解、掌握和应用，属中考中等难度试题。
2 说学情、教法
说学情：学生较容易先找任一点，大致勾勒三角形，进而利用相似三角形判定列方程，但在分类讨论及列方程求解上容易疏漏，这里要注意，需平时加强训练。
说教法：从图形运动中找出规律，转化为一般的几何证明、代数计算问题，探究解决问题的策略，培养学生解决问题的完备性。
3 说解法
解法一： 解：在CD上找一点P，得到PAD和PBC，设DP=X，则CP = 8-X，若PAD～PBC，对应边成比例则有两种可能情况。
图2 图3
（1） = （一元一次方程） 有一个解――一个点
（2） = （一元二次方程） 有两个不相等解――两个点
经检验，均符合题意。答案：C
解法二：从形的角度来分析（图3），利用物理上的反射来构造相似，相对的两角相等，这只有一种情况；利用勾股定理证明的图形作为背景，相对的两个角互余，但不等，互余且相等的情况不可能，图3是反例，这时，以不垂直于底的腰为直径画圆，有两个交点，这时有两种情况，总计三种即有三个点存在。
4 拓展变化
如图4，AD∥BC，∠D=90，AD=a，BC=b，AB=c，若在CD边上有点P，使 PAD与PBC相似，则这样的点有（ ）个。
图4
本题解有四种情况：以AB为直径作圆，利用梯形中位线定理和圆与直线的位置关系可解得：（1） 如图4（a），c a+b CD≠a+b反射构造相似一个点，圆与直线相交构造两个点，这三点互不重合（一元二次方程有两个不相等的解）；（4） 如图4（d），c>a+b CD=a+b反射构造相似一个点，圆与直线相交构造两个点，这三点中有两点重合，总共有两点（一元二次方程有两个不相等的解，其中有一解于一元一次方程解相同）。
启示一：本题两种解法实际从数和形的角度出发，把一元方程解的个数与圆与直线的三种位置关系联系起来，这两个看似毫无关联的知识通过直角梯形这个载体有机统一在一起，我们在平时命题时可以有意识去尝试把代数和几何以某个特征图形为平系起来，去考察中考考点，让我们对题目有更加深刻的认识，而不是蜻蜓点水，浅尝辄止。
5 中考链接（2013 攀枝花）
如图5，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）。直线经过A，D两点，且sin∠DAB = 。动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿BCD的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线ADC相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设点P，Q运动的时间为t秒（t>0），MPQ的面积为S。
（1）点A的坐标为 ，直线的解析式为 ；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线相交于点N，试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值。
思路分析：（1）利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB = 特殊三角函数值，得到AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标为（-4，0）；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为 = + 4。
（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：①当0
（3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值；
（4）QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解。
解：以第二问为主（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0
过点C作CF轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC = 5。过点Q作QE轴于点E，则BE=BQ・cos∠CBF=5t ・=3t。PE=PBBE=（142t）3t=145t，S = PM・PE = ＃5t）=5t2+14t；
②当1
过点C、Q分别作轴的垂线，垂足分别为F，E，
则CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（5t5）=167t，
S= PM・PE= ＃7t）=7t2+16t；
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t4）+（5t5）=7，解得t = 。
当2
MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，
S=PM・MQ=祝？67t）=14t+32。
启示二：（1）复杂的双动点问题可以通过画图呈现运动全过程，随着点的移动，与之相关的图形肯定随着变化，而且移动到不同的位置，我们研究图形可能会改变。（2）特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，化动为静，由特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊图形等）过渡到一般情形。要抓住图形在动态变化中暂时静止一瞬间，将这些点锁定在某一个位置上，看满足什么样的关系，这样问题的实质就显示出来，从而得到解题方法。（3）认真研读文字抓住其中的等量关系和变量关系。一个问题是有关确定图形变量之间的关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊关系或者一些特殊值时，通常建立方程模型求解，一般涉及到全等、相似、勾股定理等知识点。
6 教学建议及对策
几何定理就是几何命题，还包括推论。由于几何命题是把定义、概念联系起来，形成完整的主体内容。因此，我们在教学过程中，要求学生掌握好几何定理，才能知几何的体系结构，弄清几何定理间的内在关系。把学过的定理系统化，形成结构紧密的知识体系。这样有助于学生牢固掌握几何知识的结构，有助于解题思维能力和逻辑思维能力的培养。所以我们在定理教学中应从以下几个方面进行施教。
一、定理的引入
定理的引入是定理教学过程的一重要环节，这就是我们常说的导入技能，导入的好坏对学生的创新意识和实践能力有直接性的影响。
1.通过实践、探索、猜想发现命题
在导入定理的教学过程中，老师要有目的地提出一些具体素材供学生研究和探讨，让学生观察、分析、比较、归纳、画图等得出一些命题。例如：“三角形的内角和定理”，先让学生任剪一个三角形。然后把每个三角形的内角和拼在一起，得到什么样的结果？或者通过量角器把三内角量出来，它们之和是多少度？学生通过动手、动脑以及老师必要的引导、启示。学生很快就对定理有个清楚的、明了的认识。
2.通过已经学过的定理引初新定理
例如：勾股定理是常见也是常用的定理，它能清清楚楚地把一个直角三角形的三边关系表达出来。如果不是直角三角形而是任意三角形也可以用公式表达出来吗？这就是我们这节课所讲的内容，从而就引出了余弦定理的课题。即余弦定理。再如：由两三角形相似引出两三角形全等的判断定理等。这种导入技能是学生认识定理之间的内在联系和结构层次，从而培养学生对旧知识的巩固和新知的认识。
二、认识定理的结构
定理是从一个或几个以知条件得出一个新的结论的思维过程，其包括前提和结论两部分。认清定理的结构是我们证明习题的基本出发点和最终目标。它是帮助我们分析问题的条件和结构，培养学生的逻辑思维能力。
1.分清定理的条件和结论
在中学几何教材中，有多定理仅从表面上看，条件和结论间没有严格的界线，使学生对条件和结论分不清楚，找不出条件和结论。例如：“对顶角相等，对角互补等定理含了一定前提条件，这给学生一种模糊现象。在教学过程中，老师要把定理隐含的条件挖掘出来。即：如果两个角是对顶角，则这两个角相等。“如果一多边形为四边形，则内对角互补。”
利用图形，把已知和求证板书给学生。①已知∠1和∠2是对顶角，求证：∠1=∠2。 ②已知ABCD是任意四边形，求证：∠1+∠2=180?等。
2.理解定理证明的思维过程以及定理的证明与推导
定理教学的目的就是让学生能理解证明的思维过程以及掌握证明的方法。通过例题教学，并加以总结，可培养学生分析问题和解决问题的能力。在这方面可以从以下入手。
（1）培养学生探索证明的途径。教师通过讲解一些事例的证明思维途径过程，结合学生自己做一些证明题，把自己所证明的思维过程讲给大家参考，这样大家的证明思路大有不同，从中可得到不同的证明方法这就达到培养学生证明的创造思维能力和实践能力。
（2）在探索证明途径中积累经验。在证明过程中，有些定理本身具有典型性，证明方法具有代表性，因此要经常跟学生归纳和概括，形成一些证明技能。通过分析、综合、归纳、演绎、类比等逻辑方式，这对学生积累证明经验和培养学生证明能力都有所帮助和提高。
3.培养学生掌握定理证明的依据
在中学几何证明教学中，用综合法将定理的证明表达出来，没证明一步都少不了证明 依据，这就是我们证明思路的具体化和逻辑化。使学生掌握每得出一步它的依据是什么，这样学生既对定理的掌握和理解，又培养发展学生的逻辑思维能力。
三、定理的巩固和运用
（1）在教学定理过程中，不仅单让学生理解定理，而是注重的是能够运用定理解决问题。因为我们掌握定理的目的在于运用定理，我们要巩固和运用定理，只有通过一些具体实例来体现。因此，在定理教学中，教师要特别注重安排好各类习题，除基本巩固题、综合题外，还应适当补充一些习题，如：“逆用、变用定理”。可以培养学生活用定理和逆用定理的能力，从而提高学生 运用定理的目的性和学习的主动性、积极性，同时有可以对学生灵活运用知识，发展学生的逻辑思维能力。
（2）由于中学几何中的许多定理彼此间联系紧密，但在几何课本中不一定一一相继出现，甚至相距甚远。所以老师在教学完成定理后，应该注重及时揭示这些定理之间的内在联系。使得学生知识系统化，形成几何命题体系。例如：学习了几何中的相交弦定理，切割线定理、切线长定理等。