时间：2022-06-06 04:04:45
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇鸡兔同笼教学反思，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
教育是路，引领人类走向黎明。因为有教育，一切才都那么美好，因为有教育，人类才有无穷的希望。下面是小编给大家准备的小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文，希望可以帮助到大家。
更多关于教学工作计划的内容请点下方链接
三年级数学培优补差工作计划
初中地理教学计划精选5篇汇总
高一政治下学期教学计划
班干部工作计划范文
六年级安全上册教学计划
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文一【教材分析】
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。解决这类问题的方法包括：列表法、假设法、方程法等。教材把这一问题安排在四年级，学生还没有学过方程，因此这里主要引导学生通过猜测、列表、假设等方法来解决问题，培养学生猜测、有序思考及逻辑推理的能力,体会假设法的一般性。在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。
【学情分析】
“鸡兔同笼”问题是我国古代著名数学趣题，容易激发学生的探究兴趣。“列表法”是学生比较容易接受的，也就是通过有序猜测和计算得出结论，“假设法”对学生来说比较陌生，教学中要抓住其特点，讲解算理，让学生逐步掌握，根据具体问题引导学生分析理解，拓宽学生思维。
【教学建议】
1、教学中要注意渗透化繁为简的思想。
2、引导学生探索解决问题的策略和方法。
3、介绍有关鸡兔同笼问题的“趣解”，既激发学习的兴趣，又可以拓宽学生的思路。
【教学目标】
1、了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。
2、经历自主探究解决问题的过程，了解列表法、假设法等解决问题的方法，在解决问题的过程中培养逻辑推理能力，增强应用意识和实践能力。
3、了解
“鸡兔同笼”问题解决的多种有趣方法，体验问题解决方法多样化。
【教学重点】经历自主探究解决问题的过程，掌握运用列表法、假设法解决“鸡兔同笼”问题。
【教学难点】理解掌握假设法，能运用假设法解决数学问题。
【教学过程】
一、情境导入。
今天老师想给同学们介绍一部1500年前的数学名著《孙子算经》，你们想了解吗?里面记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道题，请看屏幕：(课件出示以下情境图)
师：你能说说这道题是什么意思吗?(说明：雉指鸡)让学生说说题意，然后出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只?这就是我们今天要研究的历史趣题“鸡兔同笼”问题。(板书课题)
有的同学已经在计算了，说说看鸡有多少只?兔有多少只?
【设计意图】结合课件呈现的情境图谈话引入，给数学课堂带来了浓厚的文化气息，让我们的学生感受到我国数学文化的源远流长，同时在学生猜测得不到正确结果的情况下，激发学生的探究兴趣，为下一环节引导学生经历“化繁为简”的解题策略做好铺垫。
二、新知探究。
(一)感受化繁为简的必要性。
刚才大家猜了好几组数据，但是我们验证后发现都不对，为什么这么多人都没有猜对呢?(数太大了)你们觉得什么情况下能够猜对?(数小一些)
那咱们就换一道数小一些的。(课件出示例1)
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头;从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只?
(二)自主尝试解决问题。
我们共同阅读在同一个笼子里的鸡和兔给我们带来了哪些数学信息?
找到题中信息：①鸡和兔共8只。②鸡和兔共有26条腿。 ③鸡有2条腿。 ④兔有4条腿。
在猜测时要抓住哪个条件呢?(鸡和兔一共是8只)那是不是抓住了这个条件就一定能猜对呢?
怎样才能确定猜测的结果对不对?(把鸡的腿和兔的腿加起来看是不是等于(把鸡的腿和兔的腿加起来看等不等于26)
这回给你们一点时间，把你猜测的数据在练习本上列个表，算一算，想一想：你算的对吗?(出示表格)
鸡
兔
脚
这回给你们一点时间，把你猜测的数据在练习本上算一算，想一想：你算的对吗?
(三)交流体会，掌握问题解决策略。
1、经历列表法的形成过程。
(1)经过同学们的研究，现在知道鸡和兔各有几只?
都谁和他的结果一样?你们有把握这次猜对了吗?怎么验证一下?
(2)说说你是怎样得出正确答案的?(引导学生说说解决问题的思路)
预设学生思路：
从鸡8只，兔0只开始推算。
从鸡0只，兔8只开始推算。
前两种情况可能做了充分预习，按照一定的顺序，列举出了所有情况，或者到得到正确答案为止。对这种有序思考的方法要给予肯定。
直接猜出鸡有3只，兔有5只，验证后发现脚数正好是26只。
这种情况属于正好一下猜对了，教师提示不一定每次都能够猜得这么准。
从鸡有4只，兔有4只开始推算。
这种情况猜测的次数比较少，对于数据比较大的时候适用。
有的同学还可能发现了每增加一只兔，减少一只鸡，脚就增加2只，这样就可以一下子算出需要增加几只兔，直接找到正确答案。这正是假设法的思路。如果有同学有这一发现，教师要及时引导学生表述准确，为后面的假设法学习做好铺垫。
(3)小结收获。从刚才的列表情况看，你觉得怎样列表比较好?
(4)运用列表法解决情境图中的鸡兔同笼问题。
自主解决，交流方法并订正结果。
如果没有出现上面的第五种思路，教师小结可以提出。
小结：鸡兔的总只数不变，多一只兔子就会少一只鸡，增加两只脚;多一只鸡就会少一只兔子，减少两只脚。运用这一规律正好是我们解决这一问题的另一种方法。
2、探究假设法。
(1)问题预设：刚才大家找到了“鸡兔同笼”问题的解决办法，讨论中还发现了一种更简单的方法，如果运用这种推理方法，怎么解决呢?
(2)引导学生交流：发现假设成都是鸡或者都是兔，计算起来会更简便。
交流时重点让学生说说每一步的意思。
先假设成都是鸡，着重说说推理的过程。
同样，让学生说说，如果假设成都是兔，是什么情况?
小结收获。
(3)运用假设法解决情境图中的“鸡兔同笼”问题，再汇报交流。
【设计意图】让学生在自主尝试中找到用列表法解决“鸡兔同笼”问题的方法，引导学生有序思考，组织学生有层次地汇报和交流，让学生在这一过程中体会到：根据表中总脚数与题中数据的差，来调整数据，对假设法的探究起到了铺垫作用，同时对假设法的理解也更加深刻。
三、练习强化，深化认识。
针对性练习，完成做一做第一题。
独立完成，再集体交流订正。
四、阅读资料，丰富认识。
同学们，你们知道古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的吗?阅读105页的资料。
古人真是很聪明啊!今人更了不起，又发现了很多关于“鸡兔同笼”问题的趣解，你们想了解吗?介绍几种。
1、假设所有的鸡和兔子都训练有素，然后你拿着一个口哨，吹一下，所有动物收起一只脚，吹两下，收起两只脚，好了，现在鸡一屁股坐在地上了，小兔都“作揖”了，也就是还有两只脚站着，总脚数减去两倍的头的个数再除以二就是兔子的只数了。
2、假如鸡的翅膀也着地，也有四只脚，那么总脚数就是总只数乘4，减去实际的脚数，就是翅膀的数，翅膀都是鸡的，再除以2，就是鸡的只数。
五、谈话式小结。
同学们，今天你有什么收获?每种方法都明白了吗?你最喜欢哪种方法?
提示学生做题时要根据题目选择合适的方法来解决问题。
【设计意图】通过完成做一做的第一题，巩固解决“鸡兔同笼”问题的基本方法，了解古时候的解法，使学生对我国的古代文化产生浓厚的兴趣，最后的小结梳理一下几种方法，引导学生反思学过的方法，为以后的学习奠定基础。
【板书设计】
鸡兔同笼
列表法
鸡
8
7
6
5
4
3
2
1
兔
1
2
3
4
5
6
7
8
脚
16
18
20
22
24
26
28
30
32
假设法
都是鸡： 脚：8×2=16(只)
少了：26-16=10(只)
兔：10÷(4-2)=5(只)
鸡：8-5=3(只)
都是兔： 脚：8×4=32(只)
多了：32-26=6(只)
鸡：6÷(4-2)=3(只)
鸡：8-3=5(只)
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文二【教学目标】
1.理解掌握并会运用列表法、假设法解决“鸡兔同笼”问题。
2.经历自主探究解决问题的过程，培养逻辑推理能力。
3.了解我国古代数学文化，增强民族自豪感。
【教学重点】渗透化繁为简思想，体会用假设法的逻辑性和一般性。
【教学难点】 理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。
【教学具准备】课件
【教学过程】
一、课前活动
学生猜测老师的年龄。
学生根据老师的提示，调整自己的猜测，直到猜到正确的答案。
师：刚才大家在猜测老师年龄的过程中，经历了猜测、验证、调整的过程，不知不觉掌握了一种数学策略。
【设计意图】通过课前的游戏活动，激发学生的参与热情，并且渗透数学解题策略，为本节课的学习做好铺设。
二、课中活动：
(一)创设情境，导入新课
生齐读课题：鸡兔同笼
出示表格
头
3
5
鸡
2
兔
1
2
脚
12
8
第一栏、第二栏都能够解决。
师：如果告诉一共有5个头，你们能确定一共有几只脚?为什么?如果告诉一共有8只脚，能确定鸡兔各几只吗?为什么?
师：如果告诉头的数量和脚的数量，能确定鸡兔各几只吗?这就是我们今天要研究的数学问题。
【设计意图】经过前期学情了解，不少孩子对于鸡和兔不清楚有几只脚，所以在这个环节先了解学生基本常识。通过填写表格，从易到难，引起学生对问题的深刻思考。
(二)猜测验证，化繁为简
1.出示《孙子算经》中的鸡兔同笼问题。
师：能读懂是什么意思吗?
生：就是鸡兔同笼，从上面数有35个头，从下面数，有94只脚。鸡、兔各几只?
师：能猜猜鸡兔各几只吗?
师：如何验证自己猜的对不对?(既要考虑头，也要考虑脚)
师：怎么办呢?有没有办法解决这个问题?
师：为什么要改小?
生：改小一点好猜些。
【设计意图】引导学生理解题意，帮学生初步理解“鸡兔同笼”问题的结构特点，渗透化繁为简的数学思想。
(三)尝试猜想，发现规律
出示“鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数有26只脚。鸡兔各几只?”
师：请再猜一猜。
师：看来有很多种情况，能不能按照一定的顺序把所有情况列举出来呢?想不想自己来尝试一下?
学生自主填写表格，教师巡视。
师：请你把你尝试的过程与大家分享。
师：后面还要不要再尝试下去?
师：脚少了，说明什么?增加谁的数量?
师：你为什么跳着猜测呢?
生：一个一个地试比较慢，就我隔一个试一次了。
生：脚少了，就增加兔子，增加一只兔就增加2只脚!增加2只兔就增加4只脚!
师：我没明白，为什么增加1只兔不是增加4只脚呢?
学生陷入思考。
师：我们再来研究一下这个表格，把空格填完整，再看看数量间 有没有什么数学规律。
学生观察、讨论、分享。
师：为什么是2只2只地变化呢?而不是4只4只地变化?
师：为了让大家看得更加清楚，想得更加明白，我们借图形朋友帮忙吧。
送教下乡教学设计送教下乡教学设计送教下乡教学设计出示
理解：1只鸡换成1只兔，脚就减少2只。
师：反过来呢?
引导发现：1只兔换成1只鸡，脚减少2只。
【设计意图】列表法虽然烦琐，但这是一种重要的解决问题的策略和方法，是学习假设法的基础，因此也是本课的重要教学内容之一。让学生以填表的方式初步体验鸡兔同笼情况下随着鸡或兔只数的调整，脚的总数量的变化规律，为下面的学习做好铺垫。
(四)数形结合理解假设法
1.假设全是鸡。
出示表格：
鸡
8
兔
8
脚
16
26
32
师：请再看表格左边第一栏，8和0表示什么意思?
师：假设什么?这样假设的结果会是什么呢?
师：脚实际是26只，为什么少了10只?少了谁的脚?
出示：换什么?换几只?
学生独立思考。
师:你们说得真好!你们能用算式表达出你们的想法吗?
学生独立写算式，汇报。
师：10÷2=5，这里的“2”表示什么?是鸡的脚吗?
师：怎样更清楚地表示2是相差的脚呢?
假设全部是兔子。
学生独立解决。
3.比较两种方法
师：你觉得列表法与假设法怎么样?
【设计意图】此环节是本课的重点，也是本课的难点，假设法的算理对于大部分学生来说，都是比较难以理解和掌握的。采用画图法，数形结合地引导学生根据图较为完整、准确地说明算理，学会思考，学会解释，可以让学生更加直观地感受假设法的优越性。
(五)建立模型，拓展应用
1.应用新知，解决问题。
师：如果让你解决鸡兔同笼，有35个头，94只脚，鸡兔各几只?你会选择什么方法?
2.鸡兔同笼问题的发展
出示龟鹤问题。
师：与鸡兔同笼问题有什么相似的地方?谁可以看成鸡，谁看成兔?
3.出示歌谣
“一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。”
师：谁看成鸡，谁看成兔?
师：研究鸡兔同笼问题并不在于问题本身，而是用解决鸡兔同笼问题的方法去解决生活中类似的问题。
【设计意图】独立解决《孙子算经》中原题，阅读古人解决“鸡兔同笼”问题的方法，了解中国古代人民的智慧，增强民族自豪感。列举生活中的“鸡兔同笼”问题模型，帮助学生建立模型思想，举一反三，触类旁通、提高解决问题能力。
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文三一、教材分析：
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，它在培养学生逻辑推理能力的同时使学生体会代数方法的一般性。解决这类问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。
二、学情分析：
(1)“鸡兔同笼”问题是我国古代著名数学趣题，容易激发学生的探究兴趣。
(2)列方程解答此类问题数量关系直观易懂，要加以提倡。
(3)“假设法”对学生来说比较陌生，教学中要抓住其特点，讲解算理，让学生逐步掌握，根据具体问题引导学生分析理解，拓宽学生思维。
三、教学目标：
1.知识与技能
使学生了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，掌握用列表法和假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。
2.过程与方法
通过自主探索，合作交流，让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，使学生体会解题策略的多样性，渗透化繁为简的思想。
3.情感态度与价值观
使学生感受古代数学问题的趣味性，体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣。
四、教学重点：尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，体会用假设法解决问题的优越性。
五、教学难点：理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。
六、教学过程：
(一)创设情景，提出问题。
1.同学们今天老师将和大家一起来学习一道我国古代非常有名的数学趣题，“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?”(PPT投影展示原题)这四句话是什么意思呢?
指生回答(笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?
2.有谁知道这类题我们把它叫做什么问题吗?(鸡兔同笼)板书。
鸡兔同笼问题是我国古代三大趣题之一，记载于《孙子算经》一书中，距今已有1500多年。
(二)探究交流，尝试解决问题。
1.为了研究方便，我们把题目里的数字改小一点。
“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头;从下面数，有26条腿。鸡和兔各有几只?”(说明：为了便于分析时叙述，把“26只脚”改成了“26条腿”课件出示)
2.我们共同阅读被关在同一个笼子里的鸡和兔给我们带来了哪些数学信息?
让学生理解：①鸡和兔共8只。②鸡和兔共有26条腿。 ③鸡有2条腿。 ④兔有4条腿。(课件出示)
3.我们先来猜猜，笼子中可能会有几只鸡几只兔呢?学生猜测，在猜测时要抓住哪个条件呢?(鸡和兔一共是8只)那是不是抓住了这个条件就一定能猜对呢?
学生猜测，老师板书
4.怎样才能确定你们猜测的结果对不对?(把鸡的腿和兔的腿加起来看等不等于26。
)
①尝试列表法
为了研究老师把所有的可能按顺序列出来了，我们先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思?(就是有8只鸡和0只兔，也就是假设笼子里全是鸡，)那笼子里是不是全是鸡呢?(不是)那就是把里面的兔也看成鸡来计算了，那把一只4条腿的兔当成一只2条腿的鸡来算会有什么结果呢?(就会少算两条腿)(课件出示。)
②假设全是鸡
8×2=16(条)(如果把兔全当成鸡一共就有8×2=16条腿)
26-16=10(条)(把兔看成鸡来算，4条腿兔有当成两条腿的鸡算，每只兔就少了两条腿，10条腿是少算了兔的腿)
4-2=2(假设全是鸡，是把4条腿的兔有当成两条腿的鸡。所以4-2表示是一只兔当成一只鸡就要少算2条腿。)
10÷2=5(只)兔(那把多少只兔当成鸡算就会少10条腿呢?就看10里面有几个2就是把几只兔当成了鸡来算，所以10÷2=5就是兔的只数。)
8-5=3(只)鸡(用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数，8-5=3只鸡)
算出来后，我们还要检验算的对不对，谁愿意口头检验。
生：3×2+5×4=26(只)，5+3=8(只)。
师：看来做对了，最后写上答语。
③假设全是兔
我们再回到表格中，看看右起第一列中的0和8是什么意思?(笼子里全是兔)那是不是全都是兔呢?(不是)也就是假设笼子里全是兔。那把兔当了鸡在算。那就是把里面的鸡也当成兔来计算了，那把一只2条腿的鸡当成一只4条腿的兔来算会有什么结果呢?(就会多算两条腿)(课件出示：把一只鸡当成一只兔算，就多了两条腿)
先用假设全是鸡的办法解决了这个问题，现在假设全是兔又应该怎么分析和解决这个问题呢?同学们能自己解决吗?如果有困难可以同桌边或小组讨论。
小结：刚才我们假设都是鸡或都是兔，所以把这种方法叫做假设法。这种方法能化难为易，是解答鸡兔同笼问题的一种基本方法。(板书：假设法)
小结：请同学们回忆一下，在解决鸡兔同笼问题时，用到了哪些方法?(列表法、假设法)
好，让我们一起再次回到1500年前的这道题目：(出示课件)，看看古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的?
1.假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有26÷2=13只脚。
2.这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。
笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。
3.这时脚的总数与头的总数之差13-8=5，就是兔子的只数。
(三)练习巩固，反思提升。
1.课件出示“做一做”
生活中“鸡兔同笼”的问题。
(1)龟鹤问题
有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只?
集体反馈。
(2)新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生?a href='///yangsheng/kesou/' target='_blank'>咳嗽粤?棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男、女生各有几人?
(3)引导学生建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。
看来鸡兔问题这类问题我们不只局限算鸡和兔的只数问题上，只要能用“鸡兔同笼”问题来解答的问题都可以统一叫做“鸡兔同笼”问题。今后我们就用刚才学到的“鸡兔同笼”方法，来帮我们解决生活中遇到的一些实际问题。
(四)总结。
本节课你有什么收获?你们对自己这节课的表现满意吗?
(五)课外延伸与作业。
1.阅读并思考：课本105页的“阅读资料”
2.完成练十六的1-3题
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文四教学目标：
1、对日常生活中的现象进行观察和思考，引导学生从中发现特殊规律，使学生掌握用列表的方法来解决“鸡兔同笼”的问题。
2、从不同的角度分析问题，掌握解题的策略与方法，从而感受到数学思想的运用和解决实际问题的联系。
3、培养学生分析问题的能力，渗透假设的数学思想，在解题中数形结合，提高学生对数据的再认识，再分析，将列表的过程更优化。
教学重点：从不同的角度分析，掌握解题的策略与方法。
教学流程：
一、创设情境，明确目标
1、谈话：“同学们，自我介绍一下，我姓周，你们可以称呼我?今天需要我们共同配合，在这里上一节数学课，为了表达谢意，我为你们带来了一些礼物，快来猜一猜，有多少?(5…)太少了?(50…)多了，(40…)少了(45…)差不多了，(46…)恭喜你，答对了，下课就由你发给同学们。
2、喜欢数学吗?数学不但可以开阔我们的视野，增长我们的'知识，还可以锻炼我们的思维。
在我国古代就有许多有趣的数学名题，你们了解吗?今天，。老师就向你们推荐一种有趣的问题------鸡兔同笼。
二、自主探索，合作交流
1 出示问题：“鸡兔同笼，有5个头，14条腿，鸡兔各有几只?”
(1)你从中获取什么信息?……
(2)请你们猜一猜将鸡、兔可能是几只?(……)
(3)把你猜的过程给大家说一说
(4)板书学生的过程
鸡 1 2 3
兔 4 3 2
腿 18 16 14
(4)评价：从尝试简单的开始，一个一个的试，最终找到了正确的答案，方法多么简单啊?如果我们再横竖加上几条线，就成了美观的表格。看来，列表来解决这类问题还确实简单，如果现在将鸡兔的数量增加，还能解决吗?(重点引入列表)
2、出示：“鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡兔各几只?”
(1)自己先想一想如何利用列表来解决?
(2)小组内交流一下自己的想法。
(3)独立完成列表。
(4)汇报想法和过程
小组1：逐一列表------假设鸡有1只，兔子有19只，那么就有78条腿，(腿多了，说明什么?兔子多了，怎么办?)鸡有2只，兔子有18只，那么就有76条腿，一只一只地试，学生把试的结果列成表格。
通过表格引导学生观察：发现了什么?(每多一只鸡，少一只兔子，相应减少2条腿，)
小组2：跳跃式列表------假设鸡有1只，兔子有19只，那么就有78条腿，要比54条腿多的多，因此，兔子的只数也可能多了很多，但是鸡的只数可以不用一只一只依次递增，而是从猜一只到猜5只(或者其它几只)，当腿的条数在50到60之间，(提出问题：兔子可能是几只?到底是谁估计的更加接近呢?)
引导发现：这样就减少举例的次数。并通过数据的调整来优化解题策略。
小组3：取中列表------假设鸡兔各有10只
小组4：方程
小组5;奥书班中学习过算术方法(让孩子清楚表达出自己的想法)
三、适时反思，掌握策略(两题任选其一)
“同学们，鸡兔同笼”
1、观察三种列表的方法，比较异同?
2、谈一谈;你们有什么感受?
四、深化练习，拓展延伸
1、课后练习1、2、3(比较不同-----答案是否唯一)
2、通过今天的学习，有什么收获?
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文五教学目标：
1、了解鸡兔同笼问题，掌握用列表法、假设法的方法解决鸡兔同笼问题的解题思路。
并能用不同的方法解决与鸡兔同笼有关的问题。
2、让学生在自主探索、尝试、合作学习的过程中，经历用不同方法解决鸡兔同笼问题的过程，使学生体会用方程解鸡兔同笼问题的一般性。
3、了解我国古人解鸡兔同笼问题的方法，感受其趣味性。
教学重点：
尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题，在尝试中培养学生的思维能力。
教学难点：
在解决问题的过程中，培养学生的逻辑思维能力。
教法：分析、引导
学法：自主探究
课前准备：多媒体。
教学过程：
一、定向导学：2分钟
1、师：同学们，你们知道吗，大约在1500年前，我国古代的数学名著《孙子算经》中，记载着一道有趣的数学题：(课件出示，题略)你们知道这道题的意思吗?
生：……(课件演示)
师：这就是有趣的“鸡兔同笼”问题。(板书课题)今天我们就一起研究这一问题。
2、学习目标：
掌握用列表法、假设法或列方程的.方法解决鸡兔同笼问题的解题思路。并能用不同的方法解决与鸡兔同笼有关的问题。
二、自主探究：8分钟
内容：课本p104例1的(1)
时间：5分钟
方法：边看书边完成下面要求：
1、“鸡兔同笼”这四个字是什么意思?
2、书上用了()种方法来解决这个问题。
3、我们共同阅读被关在同一个笼子里的鸡和兔给我们带来了哪些信息?
生理解：
(1)鸡和兔共8只;
(2)鸡和兔共有26只脚;
(3)鸡有2只脚;
(4)兔有4只脚;
(5)兔比鸡多2只脚。(课件演示)
师：那问题是什么?
生：鸡和兔各有多少只?
3、猜一猜：
师：请同学们猜一猜鸡和兔可能各有多少只?(学生猜测)还有其它的猜测吗?
4、介绍列表法：
师：你们猜出的结果鸡和兔的总只数都是8只，但是你们猜想的结果都正确吗?到底哪个是正确的呢?下面请同学们把你们的猜想整理到这张表格中，并进行调整，看看哪个结果才是共有26只脚。(学生活动)
学生汇报整理后的表格，教师板书学生整理后的表格。(边板书，边理解填表过程)
鸡
兔
脚
5、观察发现，列式计算
三、合作交流：5分钟
假设全是兔，怎样解决?试一试。
四、质疑探究：5分钟
解决鸡兔同笼这类问题，有几种假设的方法?
五、小结检测：20分钟
1、小结方法：
同学们真了不起，刚才我们在解决鸡兔同笼的问题时，用到了多种方法：列表法，假设法。
2、检测：
a、问答：
(1)如果老师让你们解决《孙子算经》中的原题，你会选哪种方法解决呢?
为什么不选择列表法?难?为什么难?(要列举的情况很多)有没有好的办法?(有没有不用列举那么多就能找到答案呢)
(2)如果一定要你用列表法解答你有什么办法?学生讨论。(教师引导列表折半调整。)
(注：如果前面出现了折半列表，就把这个环节提前讲。)
(3)其实在我们生活当中类似于鸡兔同笼的问题有很多的，这些问题都可以用不同的方法去解决，下面请同学们用自己喜欢的方法做一些题目?
b、解决问题
(1)有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共112条，龟和鹤各有多少只?
(2)全班一共有38人，共租了8条船，每条大船乘6人，每条小船乘4人，每条船都坐满了。问大船和小船各多少条?
(3)新星小学”环保卫士”小分队12人参加植树活动。男同学每人栽了3棵树，女同学每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男女同学各几人?
作业：p106;1、2、3。
板书：
鸡兔同笼
假设全是鸡，就有脚8×2=16(只)
比实际少26—16=10(只)
一只鸡比一只兔少4—2=2(只)
兔子：10÷2=5(只)
关键词：数学语言；说数学；实践探究
1981年英国“学校数学调查委员会”向政府提交的《Cockcroft报告》提出了“数学交流”。报告指出，教数学的主要理由在于“数学提供了有力的、简洁的和准确无误的交流信息的手段”。前苏联数学教育家斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学也就是数学语言的教学。”数学语言是数学思维的载体，交流是思维活动的重要环节，数学交流的形式有很多种，其中“说数学”是数学交流的重要形式之一。“说数学”是指个体用口头表达自己对数学问题的具体认识、理解，解决数学问题的思路、思想和方法，以及数学学习的情感体会等数学学习活动。“说数学”有利于学生口头表达能力的提高，有利于培养学生的逻辑思维能力，有利于学生表达解决问题的思考过程，有利于优化课堂气氛，激发学生学习积极性，提高课堂教学效果。
一、“说数学”的案例探究
一般数学问题的解决“说数学”过程可概括为“说题意”“说思路”“说解法”“说体会”。“说题意”就是要求学生在审题时，用自己的话复述题意，加深对题意的理解。“说思路”就是要求学生在解答数学问题时，能够用一定的术语有理、有据、有层次地表达解题的思维过程。“说解法”就是让学生根据自己的思路列出解题过程，然后分步说出每道算式分别代表什么。“说体会”就是让学生回顾反思自己解决问题的过程，说说自己的情感体会。下面就人教版第十一册“鸡兔同笼”问题的教学过程进行“说数学”的实践探究。
1. 说题意——弄清题意
片段一：
课件出示主题图和原题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各有几只？
师：你能说说这道题是什么意思吗？
生：这道题的意思是——现在，鸡和兔在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问鸡和兔各有多少只？
师：是的，原题就是这个意思。这就是有趣的“鸡兔同笼”问题。（板书课题）今天我们就一起研究这个问题。
师：数学家在研究一类问题时，往往会从简单的开始。今天我们就从简单的鸡兔同笼开始。
（出示）笼子里有若干只鸡兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？
师：题目告诉了我们什么？要我们求什么？
生：题目告诉了我们鸡和兔的头数共有8个，它们共有26只脚，求鸡和兔各有多少只。
师：那么在计算这个题目之前，我们一起来猜一猜，你认为鸡和兔各有几只？
生1：我认为兔有5只，鸡3只。
生2：兔有4只，鸡有4只。
生3：兔有3只，鸡有5只。
师：不管怎么猜，我们都应该抓住题中什么样的条件来猜？
生：应该抓住头数8个来猜。
师：是不是抓住这个条件，就一定可以猜对呢？
生：不是，还得考虑它们脚共有26只。
让学生用简洁的语言叙述题意或数量关系，可以加深学生对数量关系的理解，能培养学生良好的审题习惯，也能培养学生的概括能力。
2. 说思路——拟订计划
片段二：
师：下面谁愿意来交流一下自己的想法。
生1：我是用列方程的方法解，先设兔为x只，因为鸡兔共有8只，所以鸡就为（8-x）只，每只兔有4只脚，x只兔就有4x只脚，每只鸡有2只脚，（8-x）只就有2（8-x）只脚了，然后根据它们共有26只脚，把兔的脚跟鸡的脚加起来列一个方程，就可以解出x，也就是兔有几只了，然后再根据兔的只数就可以算出鸡的只数。
生2：我也是用列方程的方法解的，我先设鸡为x只，然后兔就为（8-x）只，每只鸡有2只脚，x只鸡就有2x只脚，每只兔有4只脚，（8-x）只就有4（8-x）只脚了，然后也是根据它们共有26只脚，把鸡的脚跟兔的脚加起来列一个方程，就可以解出x，也就是有几只鸡，然后再根据鸡的只数再算出兔的只数。
师：真不错，你们都是用列方程的方法解的，那么这道题有几个未知数的量？
生：这道题有两个未知数的量，一个是兔的只数，另一个是鸡的只数。
师：我们在列方程的时候，抓的是什么跟什么相等？
生：兔的脚的只数加上鸡的脚的只数就等于它们一共的脚的只数。
师：谁还有不同的方法？
生3：老师，我是用假设法解的，我先假设笼子里8只全是鸡，
师：说的真好，下面请同学们根据刚才的思路，选择自己喜欢的方法，然后将你的解题过程写在练习本上。
有些学生虽然能把题目正确地解答出来，但不一定能把思考过程说得清清楚楚。让学生说思路，能让教师了解学生的分析、解决数学问题的能力水平，比较清楚地了解学生的语言障碍情况，有利于提高学生的元认知能力。
3. 说体会——回顾反思
片段四：
师：今天我们解决了一个什么问题？你有什么收获？
生1：我学会了用方程解题，用方程解题思路清晰，只要弄清题目，列出一个等式就可以了。
生2：我学会了用假设法解题，我觉得用假设法解决“鸡兔同笼”问题很简单。
生3：老师，我掌握了列方程解“鸡兔同笼”问题的一般步骤和方法。
生4：老师，起先我不懂，刚看了这几位同学的解题过程，我终于明白了，现在我也会做了。
数学本身是一种语言，一种简约的科学语言。许多学生难以学好数学的重要原因之一是数学语言障碍。“说数学”可以锻炼学生的数学语言运用能力，它体现了学生在数学学习中的主体地位，是教学信息反馈的重要渠道，更是践行过程性评价理念的良好体现。在数学教学过程中，教师应努力为学生创设“说数学”的机会，让学生在交流中感受数学，体验我们的生活离不开数学，萌发要学数学的心理需求。
参考文献：
[1]钟进均，朱维宗.从默会知识例析“说数学”[J].中学数学研究，2009（9）.
一、课前准备
为了让学生能通过本节课的学习，能轻松利用二元一次方程组来解决一系列的古代应用题问题，培养他们热爱我国古代文化，从而提高他们善于思考、勇于探索的精神，我在课前做了大量的准备工作。
1、收集了我国古代四大名著：《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》，并整理了我国古代有关数学的著作：《周髀算经》、《孙子算经》《五曹算经》、《张丘建算经》《九章算术》、《算法统宗》、《海岛算经》 、《夏侯阳算经》等。
2、从古代数学著作中选取了一些能用二元一次方程组来解题的一些古代应用题。
3、制作了丰富多彩且具有古代特色和现代气息的多媒体课件。
4、准备了一些教具和一些小品。
二、课堂操作
（一）课堂引入
教师导入：同学们知道我国文学史上的四大名著是哪些吗？《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》；我们数学方面也有许多著作，比如：《周髀算经》、《孙子算经》《五曹算经》、《张丘建算经》《九章算术》、《算法统宗》《海岛算经》 、《夏侯阳算经》等，在这些著作中也流传着许多有趣的数学故事，例如大约早在1500年前《孙子算经》中记载着这样一道有趣的数学题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？与此同时，教师用多媒体先展示我国四大名著的封面，再展示古代数学著作的封面，再从《孙子算经》这本书跳出鸡兔同笼这个应用题。
这样的设计，不光是让学生穿越时光回到古代来认识我国的古代文化，更多的是让学生体会我国古人不光是在古代文学中的造诣，更体现在数学文化领域，以此来培养学生热爱数学、学好数学的目的。
（二）进入新课
1、对“鸡兔同笼”应用题的处理
当《鸡兔同笼》这个古代应用题出来以后，我首先请了一个同学将这一个问题翻译成现在的数学应用题形式。然后抛出列方程解应用题的A、B、C分析法：
例1：我国《孙子算经》卷下著名的“雉兔同笼”：上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
分析：题目大意是：
请你完成本题的标准解答
通过以上操作，同学们很快就能解决这“鸡兔同笼”这个应用题。
2、对古代买东西问题应用题的处理
为了增加同学解古代应用题的兴趣，在例如后面我设置了一个有关古代买东西问题的变式应用题：“今有牛五、羊二、直金十两，牛二、羊五，直金八两，牛、羊各直金几何？”
为了更大限度地增加同学们的学习兴趣和参与度，我将课堂文化与古代文化相结合，编写了一个情况剧，请了班级一个小组的同学扮演了不同的角色来表演了古代交易市场，但要求表演中一定要体现出以上数量和等量的关系。通过表演，同学很直观地感受到了这个古代应用题间的等量关系，数学问题游刃而解。通过表演，不仅提高了学生课堂的参与度，更极大地激了学生本节课的学习兴趣，同时，也使课堂文化达到了第一个！
3、对“以绳测井”问题的处理
“以绳测井”问题又是古代一个比较著名和典型的一个应用题：
例2：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长，井深各几何？
在这个问题的处理中，首先我用多媒体展示了关于测井的图片：
然后再用事先准备好的教具：烧杯的绳子，让部分学生来演示“三折测之”和“四折测之”是如何进行测量的。
最后，我在黑板上画出了两种测量方法的，并让同学们利用示意图用多种方法来找等量关系，从而利用多种方法来解决这个问题。
通过以上操作，我们通过具体的情境和交流，让学生对从实际问题抽象出数学问题，再从数学问题从来体味数学的文化价值的课堂文化，这样的课堂，不仅让学生学到了数学知识，还帮助了学生学会分析问题、解决问题的办法。
3、敌狗应用问题的处理
最后，为了活跃一些课堂的气氛，我设置了一道有趣的古代应用题：“一队敌人一队狗，两队并成一队走，脑袋共有八十个，却有二百条腿走，请君仔细数一数，多少敌军多少狗？”
设计些题的目的三个：
（1）通过这个有趣的应用题活跃课堂的气氛；
（2）增加数学文化的价值规律
（3）提醒学生虽然我们古代创造了灿烂的文明，当代盛事经济高速发展，但我们的敌人却无处不在，培养学生热爱学习、热爱祖国的美好情操。
这个题的比较简单，在课堂中的处理，我主要是上每一组派一名成绩较差的同学上黑板进行板书解答，并让每组最好的同学上台就他们的板书情况进行纠正和评价。
三、课后反思
这是一堂集古代文化、课堂文化和现实相融合的一堂数学课，这堂数学的价值已然超过了数学知识产权本身，对我的整个教学的触动都很大，因此，在课后，就本堂课的教学我作了一点自己的感悟和反思。
1、大敢转换情境，提高情境“关联性”。
课堂教学中教师要创设学生喜闻乐见的教学情境，使学生始终处于一种良好的愉悦的氛围中，从而调动学生学习数学的兴趣，发展学生的思维能力。还要注重对学生进行引导，让学生通过观察、操作、讨论、思考发现并掌握知识，时刻把学生推到学习的主体地位，在一个恰当的主题中学习数学，发展能力。基于这一点，本节课的内容在开始的时候设置主要以古代应用题为情景，从而引入本课题。再课件出示《孙子算经》及鸡兔同笼问题，一石激起千层浪，鸡兔怎能同笼？学生的探究欲望马上调动起来，这时，又让学生了解“经典”，感受 “经典”。
2、鼓励参与，在合作中提高学习效率。
根据《新课程标准》在课程设置中强调学生是学习的主人，在学习过程中尽可能多的为学生提供探索和交流的空间，鼓励学生自主探索与合作交流。本节课中，我主要通过小组表演、展示和交流，学生讨论等，让学生体会到用二元一次方程组解决古代实际问题的优点。
2、鼓励学生参与反思与总结
课后，我看到学生余游未尽，我鼓励学生不断思考、善于总结，让学生在本节课的余温中回味学习的乐趣，感受数学文化和古代文化的无穷魅力。因些，我本节课给同学们布置了三个作业，以些让学生思考更的数学文化的价值。
（1）能过本节课的学习，写一个300字左右的课堂小结；
（2）收信更多的有关古代的数学试题；
关键词：建模；经历；过程；模型思想
如何引导学生经历建模过程，形成模型思想呢？笔者认为应努力做好以下几个方面：
一、把握知识本源，精选建模内容
在小学数学教学中，并不是所有内容都适合开展建模教学的。这就要求我们要不断学习，努力增加专业知识的“宽度”和“厚度”，充分把握数学知识的本源，精心选择适合建模教学的内容。用建模的思想解读教材，认真思考生活中的这一现象可以提出什么样的问题，这个问题可以抽象出一个什么模型，这个模型怎样求解，用这个模型还可以解释生活中的哪些现象？
例如：生活中存在“鸡兔同笼”的问题，它的数学模型就是二元一次整数方程。在教学中我们要引导学生观察这类问题的特征，即告知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系，求未知量。再引导学生探索这种模型的解决方法，即“假设法”，并引导学生从画图、列举、替换等不同的角度去理解“假设法”。我们还应明白，我们探索这一问题的解法，并不仅仅是为了解决鸡兔同笼这个问题，而是为了解决符合“鸡兔同笼”特征的这一类问题，例如：“龟鹤同游”问题、“强盗和狗”的问题、汽车和自行车的轮子问题、两种面值的钱混放时钱的张数问题等等。使学生在经历建模的学习过程中解决问题、发展思维、提升能力。
二、创设合理情境，诱发数学问题
教学素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和生活经验。这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的生活现实、数学现实。情境的创设要能引发学生的数学思考，诱发学生提出数学问题，把生活中的“事理”上升为“数理”，从而经历一个生活中的问题模型化的过程。
例如：在执教苏教版四年级上册“间隔排列找规律”时恰逢六十周年大庆，笔者先播放了人们欢度“国庆”的视频，然后定格在太子山公园鲜花和盆景、彩旗和灯笼间隔排列的画面上。由于太子山公园是孩子们最熟悉的本地公园，不少孩子刚过了“国庆节”。这一情境的创设，极大地激活了学生的生活经验，调动了学生学习的积极性。笔者引导学生观察思考：从图中你能得到哪些数学信息，发现什么规律？你能提出什么数学问题？学生在观察、讨论、交流中发现问题、提出问题。这一“模型准备”过程，为进一步抽象出“一一对应”的数学模型做好了充分的认知准备和心理准备。
三、导学探究结合，构建数学模型
在学习过程中，为了既准确又简便地解决所提出的问题，我们要从众多因素中抓住几个关键的因素，简化抽象出问题的数学本质，用直观的、形式化、符号化的图形、方程、函数、不等式等“模型”来代替要研究的问题。教师要引导和激励学生充分发挥学习的主观能动性，主动参与操作、观察、思考、讨论、交流、汇报等数学思维活动过程，在这一过程中提升能力，增强自信心，体验成功的快乐。
例如：在刚才的“间隔排列找规律”案例中，老师引导学生观察太子山公园鲜花和盆景、彩旗和灯笼的排列有什么共同的特点？你能用自己喜欢的图形、文字、符号把这种共同的特点表示出来吗？请你先独立试一试，再在小组内交流。老师引导学生展示汇报，说出自己的想法。老师统一用圆形代表一种物体，再用三角代替另一种物体，抽象出“”这样的模型，再引导学生用一一对应的思想进行模型求解。在这个过程中，教师引导学生进行了充分的动手操作、合作交流和自主探究，经历了构建数学模型的过程，并在此过程中提升了数学能力，发展了数W思维。
四、组织深入探究，引导模型求解
构建数学模型之后，教师要引导学生进一步深层探究，让学生经历模型求解的过程。模型求解是小学数学建模教学中的重要一环，将直接影响问题的解决和模型的推广应用。因此，在教学中我们要让学生充分经历模型求解的过程。
一、尝试运用策略，培养策略意识
学生已有的知识和生活经验是形成策略的前提条件，在此基础上，把这些解决问题的一般方法上升为数学思考，才能促进策略的形成。在教学“解决问题的策略”的时候，教师必须通过创设相应的问题情境，唤醒学生相关的生活经验，激活相关的知识储备，才能为形成解决问题的策略做好铺垫。笔者在执教“解决问题的策略―――假设”一课时，考虑到学生已学习了“画图”“列表”“列举”等基本策略，把教科书“练一练”第一题“鸡兔同笼”问题作为学生课前预学的内容，并根据学生预学的情况，调整自己的教学思路。通过学生预学情况反馈，我发现，大部分学生能用画图或列举的策略顺利解决这个问题，有一定的策略意识。于是，课上，我让学生充分交流解决“鸡兔同笼”问题的想法，学生交流的同时又发现了每次列举过程中鸡和兔脚的变化规律，初步感知两种方法中都蕴含着假设的策略和调整的方法。但同时又发现列举时情况太多，花了很多时间调整到正确结果。有没有更简捷的方法呢？于是，我让学生带着这个问题继续研究。
二、探究优化策略，体验策略价值
因为“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，心中悟出始知深”，所以教师应让学生亲自探究，形成自己的行为能力。在研究例2时，我让学生按照下面的流程去感悟“假设”这一策略。
尝试：在交流完学生预学作业后，我直接呈现了书本上的例2：全班42人去公园划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？
交流：放手让学生自主解决问题，让学生在自主解决问题以及交流过程中进一步感知假设的策略和运用假设策略解决问题的步骤（假设调整检验）。这个环节虽然学生对假设的策略有了更深的感悟，但在调整这个环节上还是存在着很大的难度，于是，我安排学生在同桌之间互相说一说调整的过程，进一步掌握调整的方法。
优化：在学生展示画图、列表列举的方法后，教师进行引导：大船和小船的数量应该怎么调整呢？能不能猜测一种情况根据变化规律很快地或一步调到正确结果？于是，有的学生假设全部是大船，总人数增加了，需要将大船调整成小船，要调整几只大船，也有的学生试着假设全是小船的情况进行调整。最后，我让学生思考比较哪种方法更适合自己，鼓励不同的学生用不同的方法来解决问题。
巩固：出示练一练2，你准备借助什么方法来帮助你调整解决这个问题呢？学生会提出画图和列表两种，这时可以让学生选择，并说说为什么你们都选择列表或计算的方法，让学生进一步体验“假设”策略的价值、熟悉“假设”策略的使用方法。
三、回顾反思策略，提升策略能力
回顾反思是培养学生元认知能力和促进学生形成内化解题策略的最关键环节。因此，指导学生解决问题后，教师要指导学生学会进行回顾反思，在反思的过程中抽取策略。
一、在课堂中渗透数学基本思想
数学的精髓是什么？学习数学的价值是什么？这些都指向数学思想，这是新课程标准对数学教师所提出的基本理念。对数学基本思想的体会和感悟必须融入到数学知识、技能的学习之中，必须持续不断、螺旋式地进行渗透。
1.经历抽象，感悟思维之美
冯·诺依曼说过，数学思想方法一旦被构思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命。抽象的开始就是数学的产生，如概念、法则、公式等都是抽象的结果。抽象思想派生出分类思想、集合思想、数形结合思想等。如特级教师徐斌在教学“鸡兔同笼”时，就采用了画图法，用“”表示头、用“|”表示脚数，用“ ”表示鸡；用“ ”表示兔。这些“符号画”既是形象的图画，又是抽象的符号，让学生在图画中了解“添脚法”和“去脚法”，这种数形结合的方法如同形象思维向抽象思维过渡的“脚手架”，把复杂的“鸡兔同笼”问题演绎得如此简单，学生不但掌握了基本的数学知识和技能，更深化了数学思想。数学学习必须让学生品味数学抽象的价值与魅力，经历数学抽象之旅，感受数学抽象思维的魅力。
2.重视推理，发展学生智慧
推理是指人们以反映客观规律的理论或事实为依据，推测事物求知部分的思维方法，这是根据一个或几个未知的命题推出一个新命题的思维形态。推理思想衍生出归纳思想、演绎思想、化归思想、转化思想等。如在推导“平行四边形的面积”公式时，笔者让学生自己研究如何转化成已知的图形来推导公式，学生很快就通过剪、拼、移，把平行四边形转化成长方形，推导出平行四边形的面积公式：面积=底×高。此外，三角形的面积、梯形的面积、圆的面积、圆柱的体积、圆锥的体积等的学习都可以利用转化思想来进行。转化在计算领域也功不可没，如小数的乘除法可以转化成整数的乘除法。总之，教师不仅要重视学生思维的形成，还要培养他们的推理能力，尤其要精心提供推理的材料，重视推理的方法，发展学生的智慧。
3.构建模型，积累活动经验
新课标指出，数学活动应体现“问题情境——建立模型——求解验证”的过程，这个过程要有利于学生理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累数学思维活动经验，促进学生的全面发展。如在教学《植树问题》一课时，笔者先引导学生从问题入手，数形结合，用画图或摆小棒的方法，寻找“点与间隔”的内在规律，然后再引导学生建立模型：总长÷间隔长=间隔数、间隔数+1=棵数（两端都种），然后再进一步引导学生解释与应用模型，让学生的模型思想得到进一步巩固，最后再进行模型的拓展，如探究“一端种一端不种”或“两端都不种”的植树问题。在这些训练中，学生构建起“植树问题”的数学模型，将复杂的问题简化，同时积累数学活动经验，学会数学思考。
二、在课堂中强化数学基本思想
关键词：小学数学 愉快教学 探索
由于升学的压力，数学成了学生的负担，有的学生逐渐讨厌数学、冷漠数学课。为此，教师不得不反思教学过程、研究教学策略，创造快乐数学课堂，使数学课不再枯燥下去。根据多年的教学实践，笔者谈谈在新课程标准的指引下，如何让小学数学课堂变成同学们快乐的学习圣地呢？
一、创设情境，创造活力
一堂课的开始，学生普遍存在着一种对未知的渴望，这种渴望情绪既强烈又短暂，教师应抓住这一良好契机，设法点燃学生心灵的火花，引起学生认知上的冲突，唤起求知欲望，变被动接受为主动索取。精心设计导语，在教学中能起到组织教学、激发兴趣、启迪思维的作用，同时它也能促使学生以旺盛的精力、积极的态度主动探索，实现由“要我学数学”到“我要学数学”、由“学会”到“会学”的转变，使学生能轻松愉快地学。例如在上“求一个数的几分之一是多少”一课时设计这样的创设这样的情境。
师：有4只小兔在树林里玩耍。兔妈妈带来了它们最喜欢吃的胡萝卜（课件凸显主题场景中的一盘胡萝卜，上面有遮盖，能看出是胡萝卜，但看不出几根）。
师：提出问题：要把这一盘胡萝卜平均分给4只小兔，每只小兔可以分得这盘胡萝卜的几分之几？（这样就可以充分的调动学生的学习欲望而且是一种非常高兴的心态来学习本节课的内容）
师：兔妈妈还带来了一盘青菜和一盘蘑菇（课件出示遮盖着的一盘青菜和一盘蘑菇）。
师：提出问题：把这盘青菜和这盘蘑菇也平均分给4只小兔，每只小兔可以分得这盘青菜的几分之几？分得这盘蘑菇的几分之几？
生：这盘青菜的1/4，这盘蘑菇的1/4。
师：为什么小兔分得的胡萝卜、青菜和蘑菇都是一盘的1/4呢？
（把一盘胡萝卜、一盘青菜、一盘蘑菇分别看作一个整体，各自平均分成4份，其中的1份都是这个整体的四分之一。）
二、动手操作，鼓舞学生
《新课标》指出：“有效的数学学习活动不是单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。教学要成功就必须激发学生的学习兴趣和求知欲望，让学生积极主动地参与学习过程，使学习成为他们迫切的需要。兴趣是一种力求认识、探索事物奥秘的心理倾向，这种心理和一定的情感体验相联系，人们一旦对某一事物发生兴趣，就会产生一种寻求知识、探索真理的精神力量，甚至可以达到乐此不疲，废寝忘食的地步。在教学中，可利用学生“好动、好奇”的心理，恰当地进行动手操作，在操作中有所发现，激起学习兴趣，是他们主动地投入到学习过程中去。如教学“长方体和正方体的认识”时，教师则要求学生两人为一小组，用学具制作一个长方体模型和一个正方体模型。学生在制作过程中一定会遇到不少问题，而这些问题正是由长方体和正方体具有的特征所造成的。因而在观察自制模型讨论长方体和正方体的特征时，学生借助形象思维很容易找出结论。而在学习了“长方形、正方形、三角形等图形”认识后，教师又安排学生利用这些图形的学具进行拼图游戏。学生的积极性特别高，非常认真地拼，最后拼成了各种不同的图案，如房子、机器人、小动物等。学生们争先恐后地交流，情绪高昂，兴趣盎然，他们体验到数学的魅力，更加热爱数学学科。
这样，通过搭一搭、拉一拉、做一做、拼一拼等动手操作活动，不仅激发了学生的学习兴趣，还使他们主动地从不同的角度去领会、感知、理解并逐步加深对所学知识的认识。
三、风趣语言，活跃气氛
数学教师要把抽象的理论、课本的死知识讲活，具有吸引力，使学生兴致浓厚，就必须广采百家语言之长，要向哲学学习语言的深刻；向逻辑学学习语言的严谨；向语言学学习语言的规范；还要学习语言的幽默，如果数学教师具备深厚的语言功底，既吃透教材精神，又掌握形象丰富的素材，那么，数学课一定会具有吸引力、感染力和说服力。例如有位教师在奥赛辅导中讲鸡兔同笼应用题“今有鸡兔同笼，共有45个头，116只脚，问鸡兔各几何？”此时，同学们议论纷纷，口算笔算并用而无法得出结果。这时老师下令：“全体兔子立正！提起两只前足！”顿时全班同学开怀大笑。之后，老师又说：“现在兔子和鸡落地的脚一样了吧！鸡兔共有多少只脚落地？”同学们顺利的答出了2×45=90（只）。“少了多少？”同学们又答：“26只。”此时很多学生很快就发现了这26只就是兔子提起来的前足，因此，兔子有26÷2=13（只），鸡有45-13=32（只）。
四、利用游戏，激发乐趣
游戏是儿童喜爱的娱乐活动，将游戏引课堂既可增加乐趣，使课堂生动活泼，又可以使学生在欢乐中学到知识。但在教学中要根据不同学科和不同教学内容，选用与教学内容有关的游戏活动。例如，有位老师编做了这样一个游戏：“由老师提出10个较简单的数学问题，请班上一个小组的同学集体回答，每个问题只准一个同学回答一次。答对一题得红花10朵，答错一题，不但不得花，还要从已得的花中扣回5朵。”当学生答对一题得到10朵红花时，该组学生兴高采烈，其余学生鼓掌祝贺。当学生答错一题被老师收回5朵花时，该组学生很不服气，其余学生开怀大笑。游戏做完后该组学生共得55朵花。最后，老师公布游戏结果，并要求学生将这个游戏编成一道应用题，计算该组学生共答对了几题。通过这个游戏，既使学生复习了旧知识，巩固了新知识，又使学生寓学习于游戏之中，真是一举多得。
五、创造成功、给予激励
【关键词】 渗透；数学；思想
《数学课程标准》（修订稿）明确把数学思想方法列入数学教学的培养目标. 若把数学知识比喻为金子，那么数学思想方法就是“点金术. ”数学思想方法已越来越被广大数学教育工作者所关注. 纵观现在数学课堂，课堂很活跃，但“活”偏离思维的本质，忽略了数学思想方法的渗透，也忽略学生思维的训练. 如何构建富有思想，充满智慧的数学课堂，需要教师深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，精心设计的教学过程，做到自然渗透、有机结合、潜移默化.
一、在导入中，渗透数学思想方法
教学中教师应抓住新旧知识之间的联结点，创设情境，让学生初步感悟数学的思想方法，为学生搭建有意建构的桥梁，让学生运用转化类比的数学思想方法进行合理的正迁移. 如：第十一册“鸡兔同笼”问题，对学生尤其是基础不好的学生来说有一定的难度. 教学时我借助古代课堂的情境对《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”原题“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”进行介绍，并通过学生冥思苦想该问题的画面激发学生解决该类问题的兴趣. 由于原题的数据比较在大，不便于学生探究，解决时会一定的困难. 导入时可引导学生从简单的问题着手，让学生初步体验化繁为简的数学思想方法的优越性，自然而然的渗透数学思想方法，又为新课的教学做了很好的铺垫.
又如教学四年级上册――对策论（田忌赛马），在上新课之前我跟学生玩扑克牌比大小游戏，引出课题：“对策问题”. 接着通过讲田忌赛马故事让学生感受田忌赛马中的对策问题，引出探究的内容，提高了学生的学习兴趣. 学生不由自主的进入了探索“最佳对策”的思索中，从学生已有的生活经验出发，让学生感到亲切易懂. 同时，也使学生在轻松的氛围中初步体验对策论的方法在实际中的应用.
二、在探究中，领悟数学思想方法
探究新知是课堂教学中的主要环节，这也是学生数学知识发生、形成、发展的过程，更是数学思想方法产生、应用的过程. 在此过程中，向学生提供丰富的、典型的、正确的直观背景材料，采取“问题情境――建立模型――解释、应用与拓展”的模式，通过实际问题的研究，了解数学知识产生的背景，再现数学形成的过程，揭示知识发展的前景，渗透数学思想，使学生在掌握数学知识技能的同时，真正领略数学的精髓――数学思想方法.
如在教学五年上册《平形四边形面积》，我通过两个层次的教学，引导学生主动探究，领悟数学思想方法.
第一层次：
1. 让学生猜测. 先让学生大胆地猜一猜，平行四边形面积的大小跟哪些条件有关. 再让学生猜一猜，平行四边形的面积跟底和高有什么关系.
2. 自主探究，经历知识的形成过程. 请学生拿出手中的平行四边形纸片，利用手中的工具，采用你喜欢的方式探究平行四边形面积的计算方法，验证自己的猜想，并填写实验报告单.
3. 交流提升，初步感受转化的数学思想方法. 学生可能用是用数方格的方法来验证的. 也可能用剪、拼的方法验证猜想的. 最后通过同学们的两次验证说明刚才多数同学的猜测是正确的. 剪、移、拼的方法实际上是一种转化的数学思想，这种思想在以后的学习中会经常用到.
此层次的教学，教师重视学生直觉思维的培养和转化思想的渗透，让学生经历猜想、操作、验证、发现，感受知识的形成，让的数学思想方法的渗透达到润物细无声的境界，
第二层次：
在动手探索出平行四边形面积公式之后，可以这样引导学生反思过程，感悟“转化”的作用.
师：这个公式是怎样得来的？
生：将平行四边形转化为长方形.
师：你觉得“转化”在其中起到了一个什么作用？
生1：它把一个不能解决的问题变成了我们能够解决的问题.
生2：通过转化，我们用旧知识解决了新问题.
师：（总结）虽然采用的具体方法不同，但体现了一致的数学思想：都是将“新”问题转化成“旧”问题.
此片断教学中，教师不满足于获得公式，在热闹的动手操作之后启动学生的理性思考，静悟“方法”的作用，将转化由“方法”的层面上升到“思想”的层面.
三、 在练习中，拓展数学思想方法
数学知识的巩固，技能的形成智力的开发能力的培养等需要适量的练习才能实现. 练习是形成技能向能力的转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力，因此教师在练习中不仅要有具体知识技能训练的要求，而且要有明确的数学思想方法教学要求.
如在教学平等四边形的面积后我设计了如下的练习：
师：平行四边形拉动可以变成长方形，那么长方形拉动就可变成平行四边形. 现在有一个长10厘米、宽6厘米的长方形，拉动它，它会变成怎样的平行四边形？
学生猜测高是5，4，3……
根据学生回答，教师用几何画板演示动态的变化过程，并在高是5.1厘米、3.9厘米、2.5厘米、1.1厘米时停顿.
师：你有什么想说的？
生：平行四边形越扁，面积就越小.
师：越扁就是说高？面积？（让学生体会，底不变，高在不断变小，面积也在不断变小，）
反过来将平行四边形再拉成长方形，再次感受变化过程. 师：拉的过程中，图形的面积变了，高也在变，什么没变？
生：底没有变. 周长也没有变. （让学生体会，底不变，高在不断变大，面积也在不断变大）
关键词：初中数学；学讲方式； 素质教育
随着人类社会突飞猛进的发展和教育事业大跨步的前进，怎样培养出全面发展的高素质的人才成为我们各个教育者的神圣重任。在这样的背景下，一大波教育者在长期的教学过程中不断探索，不断尝试新的教学模式和教学方式，“学讲方式”就是在这样的形式下产生的。作为“学讲教学”的践行者之一，我总结了一些“学讲方式”在初中数学教学中的一些作用。
一、促进教师的智慧转型
（一）教师要统一认识，回归到教学本真
“学讲方式”的推崇和实施，促进了教师教学方式和教学行为的变革，表面上看起来是针对教师而言，其实和罗杰斯的“学生中心”、陶行知的“教学合一”的宗旨是一样，都是以提高课堂教学效率、学生的主体地位为主，这是课堂改革的方向和必然趋势。只有充分认识到实施“学讲方式”的根本性，才能更有效的提高教师本身的教学素养和教学水平，在教学过程中遵循教育规律，回归到教育的本真。
（二）教师要解放思想，集思广益
我曾在讲解“二元一次方程组与解决实际问题”中“鸡兔同笼”时，思路解法较多。思路一假使鸡抬一只脚 兔抬两只脚；思路二假使鸡和兔都抬两只脚；思路三假使鸡抬一只脚……这样一来，学生再遇到类似于“鸡兔同笼”的题目时，就知道怎么解题了，提高了学生课堂学习的效率。在这样的基础下，我学习到了罗杰斯的“学生中心”理论、艾宾浩斯的“遗忘曲线”理论、马斯洛的“需要层次”理论、等等，将这些理论与实践教学相结合，教学效果更佳。
二、凸显了学生的主体地位
（一）让学生参与课堂设计，丰富多彩
新课改的基本理念是把课堂还给学生，让学生的主体地位回归，这就要求教学要情境化，教师在教学过程中要尽可能的创造机会，让学生主动参与到教学活动中，这样不仅能激发学生的积极性，而且还能提高课堂教学效率。在教学实践中让学生参与到课堂设计中，学生发挥自己的想象力和创造力，课堂气氛呈现出空前活跃，彻底实现了学生从被动学习到主动学习的转化。比如：做游戏。我们都知道，游戏是用来放松心情、缓解压力的，在教学过程中适当加入些游戏，可以让学生适当的缓解一些压力，还能活跃课堂气氛，对学生良好的学习心境的形成有很大作用。比如在讲解随机事件与概率时，我让学生设计了抽奖的游戏，一个小箱子里面分别放了7个白球、5个红球、3个蓝球、4个黄球、1个黑球，然后让学生随意抽取，大家想一想，抽到黑球的概率有多大？有的同学说是5%，有的同学说是20%，也有的同学说是50%，甚至有的同学说100%――其实啊，抽中黑球的概率可以是5%，也可以是20%，更可以是100%，主要是看你是第几抽轮到你抽的时候还有多少个球！营造这样的课堂气氛，不仅达到了预期的效果，还在一定程度上提高了教学效率。
做科学实验。数学教学要体现数学抽象化的特征。激发学生主动学习的有效手段之一就是让学生质疑和惊奇。例如，面对一些带有判断性问题的时候，用不同的语调问学生“你确定嘛？”、“是这样吗？”，有时候体验直观判断不一定正确，所以，在上课前我准备了一些小道具。摸象直观是最容易看清事物本质的，它是人们后来经过经验总结加工而成的。我用两个量杯分别装了水和油，使量杯里的水和油的高度保持在同一水平面，然后让学生去观察和比较，看看是油更多还是水更多，通过对比发现水和油是一样的，实物直观很容易模糊事物的本质特征，直观体验后做出的判断不一定正确，从而尝试从别的角度应用所学知识去论证。学生从的反应从一开始的质疑到后来的惊奇，然后他们为了验证答案，会积极的反思和探索。
（二）教师要做学生的榜样
榜样的力量是无穷的，教师在教学过程中的主要任务是“教”，教师的主要作用是引导。很多时候我们可以通过教师自己的特色和教学艺术去感染、带动学生。如我国著名特级教师魏书生，他是一个很优秀的老师，各方面都很有优秀，他的学生也很优秀。很多学生会有这样的意识，我们的老师这么优秀，能做他的学生真是三生有幸，要配得上做他的学生自己也要相应的变得更优秀。
（三）学生与学生之间的合作探究
如何培养学生的探究能力是数学教师在教学过程中很重要的教学目标和内容。在日常的教学活动中，教师应当创造尽量多的机会和条件，有意识有目标的去培养学生的探究能力。如在讲解“几何图形”时，让学生准备一下图形或者随意画一些几何图案，然后让学生分组观察，归纳和总结各个图形的特征，最后再由教师和全体同学一起探究归类，得出正方形、三角形、菱形、圆形等几何图形的概念。学生通过自己的观察，加深了对教材内容的理解，与其他同学讨论的时候，相互交流自己的想法，既满足了学生的求知欲，又增进了同学情。
【关键词】 感悟策略；体会策略；方法优化
苏教版数学教材从四年级开始每一学期都安排一个《解决问题的策略》单元教学内容。解决问题策略的学习，不可能脱离解决问题的过程，必须和解决问题紧密结合在一起。也就是说，解决问题策略的学习是基于解决问题、为了解决问题的。解决问题，首先是作为学生感受、体会、反思解决问题策略的手段，其次是让学生运用所学策略解决新的问题。《小学数学课程标准》中对“解决问题的策略”提出了明确要求：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。为了将这一教学目标落到实处，我们教师必须先落实：怎样帮助学生形成解决问题的一些基本策略，并体验解决问题策略的多样性？
在执教过程中有许多成功经验，也有许多迷茫，偏颇之处，不能不引起我们的反思和讨论。
一、教授具体的解题方法不等同于传授策略
苏教版第十一册“解决问题的策略――替换”例1一课，教材是以和倍问题呈现的，通过学习学生体会到用今天学到的策略可以解决有两个未知量的题目。在听课中有的教师把教学设计成和差、和倍问题的练习课，把新授课的重点解发生的偏移，使课堂失去生命力。实质上第十一册第一单元就已学习了用方程来解决此类问题，教师如果把教学定位在对解题技巧上的一种训练，那只是对教学内容的简单重复。学生的思维仍停留于机械式的去解题，没有提升到教材要让学生所达的应有的策略的高度。不能形成更抽象的数学思维。新授时，教师可让学生根据题中的条件和问题结合自己已有的知识经验尝试解决问题，获得一定的经验；然后教师引导学生总结回顾解决问题的思路，概括解决问题的策略，并通过小组讨论交流，将解决问题的策略“化隐为显”。在讨论交流的过程中，学生可能会根据自己的经验和理解，提出不同的解题策略，教师应联系解决的过程引导学生对方法进行提炼，选出最优化的策略。
二、解决问题的策略是连贯的而不是独立的
在解决问题策略的新授教学时，学生尝试中会应用已有的解题方法进行。学生在学习新策略的过程中，不是小猴子掰玉米，喜新弃旧，而是在不断整合、应用不同策略的过程中，丰富自己解决问题的经验，并在新的问题中主动、综合、灵活应用各种策略解决问题。以六年级替换的策略例题2为例，它是一个综合运用多种策略解决实际问题，所以学生思考的空间大了，难度高了。教学这一节内容，通过以下步骤展开教学，让学生逐步感悟“假设”的解题策略。①“画图”入手：在教学例题：“鸡兔同笼，8头20脚，鸡兔几何？”时，可以用8个圆圈表示鸡的“头数”，然后在圆下添脚。发现少了4只脚，要把其中两个圆圈分别再加了2只脚变成了兔，所以兔有2只。也可以用8个圆圈表示兔的“头数”，同样的方法求出鸡有6。在直观的画图中让学生体会方法，学会方法。②“一一”列举：用“列举”的方法解决问题，学生在五年级时就学过，所以本课就先有意识地让学生列举，这样学生的空间大，出现了好多种形式的列举方法，有随意列举的，有从两头列举的，也有从中间列举的。在此基础上，便让学生对比各自的列举方法，让大家找出认为最佳的列举方法，进行全班推广。③数量关系：五年级就学过用方程解决简单的问题，学生很容易懂，但解题过程学生还没有学很多不会，所以未作重点。④公式法：让学生记住：脚数÷2-头数=兔，头数-兔=鸡。此公式有其一定的局限性，只能解决2脚和4脚的“鸡兔”同笼类问题，有一些假设的题目不好运用。
当然，方法终归是死的，同是“假设”类型的问题，有时用“画图”法好，有时用“列举”法好，还有的时候用“算术”法解好，更有人喜欢用“方程”。教科书中介绍的画图假设，列表假设等等方法，在教学中我们不必强求学生面面俱到，各种方法都去掌握，可以选择学生自己认为最合适的方法。书中介绍的两种假设方法比较直观，学生比较容易掌握，但学生的思维不能一直停留在直观的画图列表等具体方法，我们让学生的思维不断从直观上升到抽象，要力求用计算的方法来体现假设的思维过程。
三、解决问题的策略应回归生活
解决问题的策略是学生初学的内容，有些学生不能很快接受，所以在学生的眼里它是难以理解的，是高深莫测的。实际并不可怕，在学生的实际生活中常用到这个或那个策略来解决问题，这就需要我们教师在平时的教学中适时灌输，如果教师教学时适当从学生的实际出发，以生动有趣的故事情境引入，更能激发学生学习的欲望。
你说我说
大呼小教
2010年小学数学教育热点问题探讨
小学数学中若干科学性问题的探讨（下）
繁难何时了 偏怪几时休——小学数学教学内容之反思
探析低年级口算教学中的缺憾及对策
这是一个艰苦的年代——美国教育部长给教师的公开信
从数学史料中体悟数学探究的历程——以“圆的认识”教学为例
“三角形的面积”习题设计部分的教材比较研究
细节让教学更真实
在探究中发现在经历中提升——特级教师杨晓荣的教学片段及赏析
英国基础教育概况
“观察的范围”教学设计
“观察的范围”教学赏析
让动手操作走向有效生成——“长方体体积计算”的教学设计与思考
你拨动了我的心弦
如何培养加减法的口算能力——以“百以内的加减法”的教学为例
关注学生的问题反思能力——有感于学生对一道习题的解读
要围绕目标组织有效的教学活动——“小熊购物”的教学案例
结合学生的基础展开教学——“辨认方向”教学日记
一道数学连线题测试结果的分析与启示
老师,请您听我把话说完
给学生多一点表现的机会
行走在数学课程改革的路上
“两位数乘两位数（不进位）”教学片段
让课堂与快乐同行
《邱学华怎样教小学数学》
让数学之美激荡儿童思维——“回文数”教学实录
彰显数学文化教学的质量品格——评姚新付老师“回文数”教学教育为了生命
教材比较研究：对教学传统的理解和超越
影响学生估算学习的原因浅析
教学，要从读懂学生开始
实践刘松老师《“打电话”教学预案》后的几点困惑与思考
重在归类方法的学习——“平面图形的特征总复习”教学思考
越嚼越香——“空间与图形”总复习教学建议
形散而神不散——“24时计时法”复习课的教学及评析
“纳税与折扣”错题分析与指导
高站位审视 低起点反观——对核心数学知识内容本质的认识
“用数对确定位置”教学实录
确定数学教学的“位置”
不妨请“外行”来听听数学课——“用2-6的乘法口诀求商”教学片段及反思
数形结合解决“鸡兔同笼”问题
前测提高了教学的实效性--“组织比赛”教学案例分析
对一道20以内进位加法练习题的再处理
让学生亲历统计的全过程——“统计”教学过程与评析
明晰算理 自主编题 彰显能力——多位数加减法练习课教学实录与评析
把思维起点，让学生领略不同的教学风景
让学生带着问题走出课堂
恰似好雨润心田
痛并快乐着、追求着
“长方形和正方形的面积计算”教学实录
彰显过程，水到渠成——“长方形和正方形的面积计算”评析
追求 发展——我所认识的席争光
细析“数学广角”中的数学思想方法及教学策略（八）
对“圆出于方”解释的探析
小学女生对数学的焦虑可能来自女教师
新课程呼唤怎样的数学课堂教学——从小学数学观摩课活动说起
TIMSS及其四年级数学测试题分析
如何教一年级的孩子计算钱款
让复习课充满“生长”的力量——三年级下册期末总复习手记
以信息为载体 用好教具学具——“大数的认识”复习课教学片段
函数概念的演变过程
反思应用过程，提升综合应用能力
“平面图形面积计算”综合复习课的实践
简约的情境 精彩的课堂——华应龙老师“圆的认识”教学片段赏析
“平行四边形的面积”的教学新视角
新课程下小学数学课堂教学的思考
在简单的公式后蕴藏着什么——探寻平面图形面积的教学价值
“百分数的意义”教学实录与反思
“歪打正着”与“奇思妙解”
“读统计图表”教学设计
从“剪圆柱”到“做圆柱”——“圆柱的认识”一课的再思考与再教学
老师，小棒有误差——“三角形边的关系”课堂教学写真与反思
让“生成”走向“有效”——“方程的意义”案例与反思
小数点还能继续搬家吗？——由“小数点搬家”一课引发的思考
巧用“方中圆、圆中方”的规律解题
《小学教学》，心灵的灯塔
有效的课堂 思维的课堂——“分数除法（一）”教学思考
把握“轴对称图形”的实质
《外国中小学教育杂志》2014年第七期
一、比较的结果与分析
（一）教学目标的比较日本“二元一次方程组的应用”这节课的教学目标是：（1）能够用二元一次方程组解决问题，理解二元一次方程组解决问题的优越性；（2）能够将问题中的数量关系表示成二元一次方程组，正确、有效地求解问题，并能依据题意，验证解的正确性（；3）能够考察孙子算经、龟兔算（我国的鸡兔同笼问题）、一元一次方程、二元一次方程组等解法的联系性和二元一次方程组解法的优越性；（4）能够积极运用表、图和式子等多种方法，依靠自己的力量把握问题中的数量关系，解决问题。我国这节课的教学目标是（：1）能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组（；2）经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的一个有效的数学模型，增强应用意识（；3）使学生经历从实际问题中建立二元一次方程组、求解、验证解的正确性与合理性的过程，提高运用方程组解决问题的能力；（4）体会二元一次方程组的应用价值，感受数学与现实生活的紧密联系。两国教学目标的相同点是：使学生能够根据问题中的数量关系，列出方程组；并能求解、验证解的正确性。不同点是：我国的目标强调方程组是刻画现实世界的一个有效的数学模型，通过二元一次方程组的学习，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用方程组解决问题的能力。而日本的目标则强调算数、一元一次方程以及二元一次方程组之间的联系性，通过二元一次方程组的学习，使学生能够积极主动地运用表、图和式子探索问题的不同解法，从中体会二元一次方程组解法的优越性。
（二）教学过程的比较为了清晰地展现中日两国“二元一次方程组的应用”这节课的教学过程和各教学环节，列表如下：由以上两表可以看出，两国的教学过程基本相同：即提出问题——解决问题——巩固练习——总结反思。但具体环节上存在差异，日本教学设计的重点是探究同一问题的不同解法；我国教学设计的重点是探究运用二元一次方程组解决实际问题的过程；日本学生有足够的讨论和提问时间，教师可进行单独指导（教师个别指导10人/次），我国学生讨论的时间少，独立练习的时间多，保证了课堂教学的高效率和知识技能目标的达成。
（三）教学方式方法的比较将两节数学课，按照课堂教学活动的分类进行编码和汇总，中日两国在各类活动中所花时间的百分比如图1所示。上图表明，两国教师都能充分地利用课堂教学时间进行数学教学，用于“总结”和“数学无关”的时间基本相同，而在“练习”、“指令性”和“探究性”上存在较大差异。日本用于探究的时间（59%）多于中国（31%），日本教师用较多的时间引导学生探究问题解决的不同方法，从中体会各种解法的区别和联系，感受二元一次方程组解法的优越性；中国教师用于讲解的时间（28%）多于日本（18%），主要强调运用二元一次方程组解决问题的步骤、方法以及检验等问题，关注学生掌握知识技能的扎实性；同时，中国用于练习的时间（30%）多于日本（10.8%），教师注重通过练习，让学生掌握运用二元一次方程组解决问题的步骤和方法，提高学生运用方程组解决实际问题的能力。
（四）数学问题的比较从问题的复杂程度看，日本的两个数学问题都属于“鸡兔同笼”问题，较容易，复杂性较低。我国有4个数学问题，其中“足球问题”较容易；而教材中的“养牛场”问题，涉及到“估算与精确计算的比较”，较复杂；两道练习题中的“高校餐厅”问题有两个分问题、“船顺水航行”问题包含物理知识，都很复杂。由此可见，中国课堂教学中的数学问题多，且复杂性高，具有挑战性。从数学问题之间的关系看，两国课堂中的数学问题都是主题相关的问题，但日本的两个数学问题是重复性问题，而我国的数学问题无重复性。(五)课堂交流的比较课堂交流是课堂教学活动的主要形式，主要有共同交流和个别交流两种形式。共同交流是指教师或学生（一个或多个）对所有学生表达自己的看法，而个别交流则包括教师课堂巡视，个别指导学生、和学生讨论问题以及小组内部学生之间进行的交流。从时间上看，我国课堂共同交流占80%，个别仅占20%，充分体现了教师的主导作用，缺乏必要的师生、生生之间的个别交流；日本共同交流占56%，个别交流占44%，教师可以给有困难的学生提供更多的帮助及个别指导，学生可以有充足时间理解问题、提出问题。
二、结论与启示
（一）结论从上面的比较，不难看出，中日两国的初中数学课堂教学既有共性，也有差异。其中主要的共性是（：1）课堂教学目标明确（；2）教学过程基本相同（；3）能有效利用课堂教学时间（；4）重视对学习内容的总结和反思；（5）强调问题之间的内在联系。两国数学课堂教学的差异表现在：（1）日本用于探究讨论的时间多，中国用于讲解和练习的时间多；（2）日本课堂练习的问题复杂性较低，中国课堂练习的问题多、且复杂性较高；（3）日本课堂教学中的个别交流多，中国课堂教学中的共同交流多。
（二）启示1、关注学生的个性差异目前，世界各国在反思评价传统的教育时，都认为过去的教育过于划一和僵化，忽视了学生的个人需要。日本为了照顾学生的个性差异，在数学课堂教学中，每个学生(不仅仅是成绩好的学生)都有机会表达自己的看法或观点；教师通过课堂巡视，以及和学生的个别交流，及时地把握学生的基本情况，给需要帮助的学生提供及时的指导，并把学生的兴趣点和疑问点进行归类，为学生营造了一个宽松、民主和充满个性化的教学环境。我国新课程改革也强调教育要面向有差异的每一个“个体”，根据不同学生的实际，使每个学生在自己原有的基础上获得尽可能大的发展。但在我国现实中的一些数学课堂教学中，师生之间和学生之间个别交流的时间和机会少，不能给有困难的学生提供有效的帮助和指导，可见课程改革的实现最终发生在课堂变革的命题是值得我们每一位教育工作者深思的。2、给学生更多感悟数学的时间上面的研究和一些课堂观察表明，在我国数学课堂教学中，教师教的活动多于学生学的活动。教师为了使学生深刻地理解数学知识，形成良好的认知结构，保证课堂教学的高效性，面向全体学生讲解的时间多，给学生自己思考数学、感悟数学、消化数学的时间少。而日本的数学课堂为学生提供了更多的思考时间，教师不急于让学生得出结论，也不急于否定学生的结论，而是给予学生较多的时间进行思考及讨论，使学生有更多时间理解数学，获取知识。数学课堂教学是教师教与学生学的统一，学生是数学学习的主体，数学课堂活动的实践者；教师则是数学活动的组织者、学生学习的引导者、探究活动的合作者。课堂教学的最终目标是通教师的驱动作用，使学生经过自己的独立思考，获得对知识的理解，进而发展能力，获得情感的体验。如果教师什么都想告诉学生，学生就将失去自主探索、深入思考和及时反省的机会。而这些机会对于激发学生的学习热情、养成独立思考的习惯非常重要。因此，我国的数学教师应建立新的数学教学观，从学生的实际情况出发，为学生提供更多的‘自由空间’和各种可能，使他们有足够的时间和机会，在教师的启发下，经过自己的努力和同伴的协助，理解知识，掌握技能，感悟数学思想方法，获得丰富的数学活动经验。3、提高探究学习的有效性我国新课程实施以来，广大一线教师在数学教学中，积极创设问题情景，让学生在合作探究中发现数学、学习数学，中小学数学课堂发生了重大变化。但也有部分教师简单、机械地理解探究学习，为探究而探究，不需要探究的问题也探究，探究活动流于形式，没有取得探究学习的效果。探究学习是在教学中创设一种问题情景，通过学生自主独立地发现问题、实验与操作、调查与信息处理、表达与交流等活动，获得知识、技能、进情感与态度的发展，特别是创新能力发展的学习方式和学习过程。因此，在课堂教学中实施探究学习，首先，探究的问题要有价值，即问题要具有一定的障碍性、探索性和开放性，学生只有通过独立思考、合作交流、积极探究才能得到结论；其次，探究的过程要有价值，在探究的过程中，学生不仅能获得知识和技能，积累数学活动经验，还能学会思考、学会发现，体会到了成功的愉悦。这样，才能使数学探究活动成为有利于促进学生主动获取新知、感悟数学思想、发展数学思维、激发创新意识的有效活动。
作者：李淑文李清单位：东北师范大学数学与统计学院教授