时间：2023-01-25 10:33:16
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇等腰三角形的性质，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
我说课的内容是人教版八年级下册第十二章第三节——等腰三角形的性质，对于这堂课的教材分析及教学设计，现从教材分析、教学目标、教法学法分析、教学过程、几点说明五个方面给大家介绍：
1教材分析
首先是教材地位和作用分析：本节课是在学生学习了一般三角形和轴对称的基础上学习的一种特殊的三角形，主要学习等腰三角形的性质。本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后学习等边三角形，等腰梯形等几何图形的预备知识，还是证明角相等，线段相等及两条直线互相垂直的重要依据。因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置，起着承前启后的作用。另外，研究和学习本课，对于培养学生的思维能力、分析能力，养成在等腰三角形中添加适当辅助线的意识，以及向学生渗透转化的思想等方面起了很大的作用。在此基础上，我确立本堂课的教学重点是等腰三角形的性质，难点是等腰三角形性质的证明。
2教学目标
这堂课的教学目标确定以下三个方面：
（1）使学生掌握等腰三角形的性质定理，并能进行初步应用
（2）培养学生在等腰三角形中添加适当辅助线的意识，并通过添加辅助线，向学生渗透转化的思想，从而深入领会分析几何证明题的方法。
（3）使学生进一步了解追寻规律，研究问题的方法，尤其是研究几何对象的基本思路。
3教法与学法分析
组织学生以小组活动为载体，交流探究为主线进行学习，鼓励学生积极感知，大胆猜想，并引导他们探究，论证，努力为学生搭建一个自由交流学习的空间和平台，促进学生新的知识，能力生成。
4教学过程
4.1首先是兴趣导入，复习旧知。师生共同欣赏一组轴对称图形的图片，并让学生按照轴对称图形的特点，利用两个三角板构造一组图形，要求：
（1）拼出的图形是轴对称图形；（2）拼得的轴对称图形是三角形。
学生以小组的形式按要求拼图，教师收集成果，并及时设问：
你拼出了一个什么样的三角形？并质疑：“等腰三角形除了具有一般三角形的性质及两腰相等的特点外，还有哪些特殊的性质？”从而引出课题。
学生通过自己动手，感知等腰三角形的对称性，有趣的活动不但激发学生的学习兴趣，还对接下来的性质探究和证明做铺垫。
4.2设置情景，引导探究。首先，让学生用直尺等工具在纸上画一个等腰三角形，思考这样一个问题“如果让你来研究等腰三角形的特殊性质，你觉得要从哪些要素加以分析？”让学生分成小组探讨，学生在探讨过程中，想到一般三角形的构成元素：边，角，以及三角形的重要的三种线段，得到的结论可能不唯一，有些学生会想到从等腰三角形的两个底角出发加以研究，还有思维灵活的同学可能会想到从等腰三角形的底边上的中线，底边上的高和顶角的角平分线加以研究；思维更加灵活，想象空间更宽广的学生会想到两腰上的中线，高加以研究，对于学生的探讨结果，老师进行归纳，归纳出以下四个元素是我们这堂课研究的主要内容：（1）两个底角；（2）底边上的中线；（3）底边上的高；（4）顶角的角平分线。引导学生的注意力集中到这四个方面来，面对这四个元素，再追问：“你可以用哪些方法分析这些要素？”大部分同学能想到用量角器测量，画图的方法。思维灵活的同学能想到利用轴对称性质对折等腰三角形。教师针对学生的探究方法给予肯定，并让学生亲自操作，同时设问：“你发现这四个元素可能存在什么样的关系？说说你猜想”学生通过实验进行猜想，会发现两个底角相等，三条线段为同一线段。老师再次归纳学生的结论，并对他们的探究成果给予肯定。通过这个环节，不仅使学生体会到知识的发生，发展过程，还能较好的培养学生发现问题，解决问题的能力。
4.3证明猜想，形成定理。老师先质疑：“哪个同学画出的等腰三角形没有这两个特点？”同时设问：“所有的等腰三角形都具备这两个特点吗？”对于学生的肯定回答，老师声明，要想加以确认，必须进行理论证明，让学生感受数学的严谨性。
这样用文字证明的几何问题，包括了证明的三个步骤，对于学生来说有一定的难度，因此，我决定通过三个问题的解答，帮助学生理顺思路，化解难题。问题一：找出命题“等腰三角形两个底角相等”的题设，结论，并根据画出的图形写出已知，求证。这个设计，使学生体会将文字语言翻译成数学语言，帮助学生写出已知，求证。问题二：证明两个角相等的方法有哪些？ 该问题供给学生解决新问题的思路，引导学生用旧知识，解决新问题，体会数学中的转化思想。问题三：怎样把等腰三角形分成两个全等三角形呢？本题中辅助线的添加是这堂课的一个难点，由此，我决定让学生把课堂开始拼得的等腰三角形拿出来，并让学生回忆拼图的过程，学生能够很快发现等腰三角形是用两个全等的三角形组成，重合的线段是对称轴。在此基础上继续设问：当这条对称轴隐藏起来了，怎样把等腰三角形分成两个全等的三角形？由于对知识的发生，发展有了充分的了解，学生通过探讨，可能会出现以下三种解决方法：（1）做底边的中线（2）做底边的高（3）做顶角的角平分线。以以做底边上的中线为例，让学生陈述证法，老师板书，规范书写。
这个过程不仅使学生了解了做证明题的三个步骤，而且使学生体会到数学中化未知为以知的转化思想，让学生体验数学中发现，再创造的过程，进一步培养了学生分析问题，解决问题的能力。
4.4讲练结合，加深认识。 第一题是口答练习，使学生能够利用性质一解决问题，第二题是将证明的理论翻译成数学语言，为以后解决角度相等，线段相等，线段垂直的问题提供了新的依据和方法。并再此基础上设问：“若等腰三角形中的三线出现一线，你会想到什么？若等腰三角形中的三线一线未出，你应该想到什么？”听过这个问题的解答，使学生对性质定理的认识实现了飞跃。第三题源于课本，师生共同完成，目的在于培养学生正确应用所学知识的应用能力，巩固所学性质。
4.5归纳小结，当堂测试。 首先小结部分引导学生自己总结知识点，思想方法上的收获，帮助学生构建比较完善的知识结构，归纳数学学习中常用的思想方法，从而提高他们自主学习，独立学习的能力。
关键词 取值范围 五线合一
中图分类号：G633.6 文献标识码：A
等腰三角形的边、角问题是初中数学教材中的重点内容，在运用其性质解决关于等腰三角形中的边角问题时由于题目繁多，学生总觉得困难，尤其是学生在遇到等腰三角形“边角计算问题”，“等腰三角形的各边的取值范围”和等腰三角形“三线合一”问题时经常会出现这样和那样的问题，作为教师觉得头痛，同时再加上等腰三角形的底边垂直平分线和对称轴之后，这样就出现了“五线合一”，学生更觉得糊涂分不清了。
1有关等腰三角形的边角计算的讨论问题
1.1等腰三角形的边的问题
（1）已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为9 cm，则它的周长为多少？
（2）已知等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4 cm，则它的周长为多少？
分析时要分类考虑，是否构成三角形，若构成在求周长，否则就没有。
第（1）题：5、5、9或5、9、9都能构成等腰三角形，所以周长为19 cm或23 cm；
第（2）题：4、4、9构不成三角形，而4、9、9能够成等腰三角形，此周长为22 cm。
（3）等腰三角形的一个角为400，它的另外两个角为多少？
（4）等腰三角形的一个角为1000，它的另外两个角为多少？
分析时也要分类考虑：
第3题：当400为顶角时，另外两个角分别为700，700；当400为底角时，另外两个角为400，1000。
第4题：当1000为顶角时，另外两个角分别为400，400；当1000为底角时，就构不成三角形。
1.2如何确定“等腰三角形的各边的取值范围”的问题
1.2.1已知等腰三角形的周长，如何确定腰长和底边长的取值范围
为了学生便于理解和掌握，笔者在教学中，做一个等腰三角形的教具：用两条相等的木条AB、AC做等腰三角形的两腰，用一条橡皮筋BC做等腰三角形的底边，做成一个等腰ABC。
操作方法：先从等腰ABC的顶点A上拉，要求两腰AC、AB重合，使底边BC为零。两腰之和与等腰三角形的周长相等，每一条腰等于周长的1/2，为了保证三角形的成立，必须每一条腰小于周长的1/2，必须大于零；然后将等腰ABC的底角的顶点B、C拉直，两腰之和等于底边，即底边等于周长的1/2，为了保证三角形的成立，必须底边小于周长的1/4，底边必须大于零，否则不能构成三角形。所以有以下的结论：
（1）腰的取值范围
等腰三角形的腰的取值范围这样确定比较简便：腰长小于等腰三角形周长的1/2，必须大于周长的1/4。
例如：等腰三角形的周长为20厘米，试确定等腰三角形的腰的取值范围？
分析：设等腰三角形的腰长为X厘米
20/4
（2）底边取值范围
等腰三角形的底边的取值范围这样确定比较简便：底边长小于等腰三角形周长的1/4，且大于零。
例如：等腰三角形的周长为20厘米，试确定等腰三角形的底边的取值范围？
分析：设等腰三角形的底边长为X厘米
1.2.2已知等腰三角形的腰长，如何确定底边长的取值范围
根据三角形的三边不等关系可知：底边长大于零而小于腰长的两倍。
例如：等腰三角形的腰长为15厘米，试确定等腰三角形的底边的取值范围？
分析：设等腰三角形的底边长为X厘米
1.2.3已知等腰三角形的底边长，如何确定腰长的取值范围
根据三角形的三边不等关系可知：腰长大于底边长的1/2即可。
例如：等腰三角形的底边长为18厘米，试确定等腰三角形的腰长的取值范围？
分析：设等腰三角形的腰长为X厘米
X>18/2，即X>9。所以：等腰三角形的底边长的取值范围是X>9。
2等腰三角形中“五线合一”
（1）等腰三角形中的“五线”指的是等腰三角形的顶角平分线AD、底边上的中线AD、底边上的高AD、底边上的垂直平分线MN和对称轴MN。
（2）等腰三角形中的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高指的是线段。
如图：线段AD是等腰三角形顶角∠BAC的平分线，底边BC上的高线，也是底边BC上的中线。
（3）等腰三角形的底边垂直平分线和对称轴指的是直线。
如图：直线MN是等腰三角形的对称轴，也是底边BD的垂直平分线。
我们在前面研究图形的过程中，一直有一根“线”——“对称”在引导着我们去认识图形. 由“轴对称”得到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、角平分线、中垂线性质，由“中心对称”得到平行四边形、矩形、菱形、正方形及中位线的性质. 在这一章中上述结论的再学习并不是游离于以往的探索经验，而是依然建立在我们对“对称”的理解和认识基础上，继续发挥这根“线”的作用，借助曾经的实验操作方法，就能帮助我们确定证明的方法.
知识点1 等腰三角形的两个底角相等
【透析】 应用等腰三角形的性质定理证明两个角相等时，必须是这两个角在同一个三角形中，否则结论不一定成立.
知识点2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
【透析】 这个定理简称为“三线合一”，应用的前提条件是三角形必须为等腰三角形. 在解决有关等腰三角形的问题中，经常需要添加辅助线，虽然等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，但是如何添加辅助线要由具体情况来决定，作辅助线时只需作出一条，再根据性质得出另外两条.
知识点3 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理，只能用在直角三角形中，对于一般三角形是不成立的. 证明中，主要涉及两种方法：图形的“拆”（把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形）和“拼”（把两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形），体现了转化思想，即把待证的问题转化为可证的问题.
知识点4 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
【透析】 这里的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等.
知识点5 菱形的性质
【透析】 菱形也是特殊的平行四边形，它也具有平行四边形的所有性质，它的独特性质主要体现在：（1） 4条边都相等，对角线互相垂直；（2） 菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形；（3） 计算菱形的面积除利用平行四边形的面积的计算公式外，当a，b分别表示两条对角线的长时，菱形的面积为s=ab.
知识点6 矩形的判定
【透析】 矩形的每种判定方法都必须有两个条件. （1） 定义判定：① 平行四边形；② 有一个角是直角. （2） 判定定理1：① 平行四边形；② 对角线相等. （3） 判定定理2：① 四边形；② 有3个角是直角.
知识点7 菱形的判定
【透析】 若已知的四边形是平行四边形，要证它是菱形，需要证它有一组邻边相等或对角线互相垂直；当四边形是一般的四边形，要证它是菱形，可以证它的四条边相等或先证它是一个平行四边形，再证它是菱形.
知识点8 正方形的判定
【透析】 判定一个四边形是正方形的主要途径有两条：（1） 先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直；（2） 先证它是菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.
知识点9 等腰梯形的判定
【透析】 等腰梯形判定的一般步骤：先判定一个四边形是梯形，再用“两腰相等”或“在同一底上的两个角相等或对角线相等”来判定它是等腰梯形.
考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线
1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2、角的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：
（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。2、三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。6、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。7、三角形的角关系
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。等角的补角相等，等角的余角相等。
8、三角形的面积
三角形的面积=
2
1
×底×高应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值
考点二、全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）考点三、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
三角形的全等和相似是研究图形问题最基本的方法和策略. 它是研究四边形、圆等复杂图形以及函数等知识的重要工具.
三角形的知识在中考试题中占有相当重要的地位，希望同学们努力掌握好基础知识以及最基本的解决问题的方法和策略，能灵活地解决相关问题.
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形是初中数学的基础内容之一，中考考点的核心就是它与分类讨论结合考查. 举例如下：
一、 关于角的讨论
例1 （2013·钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）.
A. 80° B. 80°或20°
C. 80°或50° D. 20°
【解析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°；②80°角是底角时，顶角为180°-80°×2=20°. 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°. 故选B.
【变式】若将80°改为100°要注意100°角不能做底角.
例2 在ABC中，∠A=50°，当∠B=_____°时，ABC是等腰三角形.
【解析】①∠B是顶角时，∠A一定是底角，则有∠B=80°；②∠B角是底角时，∠A若是底角，则有∠B=50°，∠A若是顶角，得∠B=65°.
【点评】这一类问题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角，做题时要注意分情况进行讨论，这是解决问题的关键.
二、 关于边的讨论
例3 （2013·淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）.
A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 6
【解析】因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论. ①当3为底时，其他两边都为1，1+1<3，∴不能构成三角形，故舍去；②当3为腰时，其他两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7.
【变式1】（2013·凉山州）已知实数x，y满足x-4+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______.
【答案】20.
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.
（1） 判断这个一元二次方程的根的情况；
（2） 若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积.
【答案】（1） b2-4ac=（2k-3）2≥0，所以方程有实数根.
（2） 分两种情况讨论：①若腰为3，则x=3是方程的一个根，可求得三边为3，3，2.那么这个等腰三角形的周长为8，面积为2. ②若底为3，则b2-4ac=（2k-3）2=0，可求得三边为2，2，3. 那么这个等腰三角形的周长为7，面积为.
【点评】本例考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在已知条件中没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键.
例4 （2013·玉林）如图1，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有______个，写出其中一个点P的坐标是______.
【解析】本例考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质. 如图2，从x轴上考虑，以OA为腰长的等腰三角形有3个，P4（5，0），P2（8，0），P5（-5，0），以OA为底边的等腰三角形有1个，P8
，0. y轴上情况与x轴相似，P3（0，5），P1（0，6），P6（0，-5），P70
，，故满足条件的点P共有8个.
【变式1】如图3，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB左右移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的任意两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有______个.
【答案】设正方形边长为a. 分类讨论如下：①腰长为a的等腰三角形有4个；②腰长为a的等腰三角形有4个；③以CD为底边的等腰三角形有1个. 共9个.
【变式2】如图4，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB.
（1） 求AC的长和点D的坐标；
（2） 说明AEF与DCE相似；
（3） 当EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.
【答案】（1） AC=20，D（12，0）；
（2） 欲证AEF与DCE相似，只需要证明两个对应角相等. ∠CDE=∠CAO，∠AEF
=∠DCE；
（3） 当EFC为等腰三角形时，有三种情况：①当CE=EF时，AEF与DCE的相似比为1，则有AE=CD=20，E（8，0）.
②当EF=FC时，此时过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE的中点，FME∽ABC得出=，那么AEF∽DCE的相似比为5∶6，E
，0.
③当CE=CF时，F点与A点重合，E点与D点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在.
例5 如图5，半圆O的半径为4 cm，AB是☉O的直径，BC切☉O于点B，且BC=4 cm，当点P在☉O上运动时，是否存在点P，使得PBC为等腰三角形？若存在，有几个符合条件的点P，并分别求出点P到线段BC的距离；若不存在，请说明理由.
【解析】本例是等腰三角形与圆相结合的一个综合题，解决问题的关键是分BC为腰、BC为底边两种情况来解决. 如图6，①BP1=BC，②CP2=BC，③CP=BP，即作BC的垂直平分线交☉O于P3，P4.
例6 如图7，抛物线y=-x2+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B.
（1） 求抛物线解析式和顶点坐标；
（2） 若P是坐标轴上一点，且PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标.
【解析】本例是等腰三角形与二次函数结合的综合题.
（1） 由该函数图像经过A点（1，0），由0=-1+4+n得n=-3，解析式是y=-x2+4x-3
=-（x-2）2+1，顶点坐标为（2，1）.
（2） 由题意知，B点坐标是（0，-3），AB的长是，要注意的是问题中强调“以AB为腰”所以不必习惯性地分AB为腰，AB为底边两类讨论，而是分P点在x轴或y轴上进行讨论. ①当P点在x轴上时，P点坐标为（1+，0），（1-，0），（-1，0）；②当P点在y轴上时，P点坐标为（0，3） ，（0，-3+），（0，-3-）.
【变式】如图8，已知二次函数的图像经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O. P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C.
（1） 求出二次函数的解析式；
（2） 当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；
（3） 当m>0时，探索是否存在点P，使得PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1） 设y=ax2+bx，把A、B点坐标代入，求出解析式为y=-x2+4x；
（2） 根据点P（m，-m2+4m），点C（m，m）的坐标代入，得PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2
+3m=-m
-2+，PC的最大值为；
（3） 当0
当m≥3时，PC=m2-3m，OC=m，分三种情况：
①当OC=PC时，m2-3m=m，解得：m=3+或m=0（舍去），P（3+，1-2）；
②当OC=OP时，（m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，-5）；
所谓“操作”，是指人用手活动的一种行为，也是一种技能，含义很广泛.一般是指劳动、劳作，或者按照一定的规范和要领操纵动作，数学中的操作题一般是需要对数的设置或对图形的变换、剪拼等，由于此类试题既可以有效地巩固数学知识，又可以提高同学们的动手能力，所以中考中频频“上演”此类问题.
重点题型例析
一、对数的操作
例1（2014.娄底）按照下面所示的操作步骤，若输入值为3，则输出的值为________.
分析：由操作程序可知，32=9
解：由32=9
反思：解此类题时，应正确地选择运算操作程序，避免：①错选“否”的运算程序；②错把10作为一个结果参与运算；③不按每一步的结果得数进行计算，如32+2x5=19.
二、对式的操作
例2 （2014.台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n次的运算结果=________.（用含字母x和n的代数式表示）
分析：要探究操作的第n次运算结果，可分别将第2、3、4次的分式计算、化简，再将化简后的分式列表分析、发现规律.
解：依题意，可列表如表1.
四、阅读与操作
例4 （2014.山西）阅读下列材料，按要求完成相应的任务.
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形――筝形，所谓筝形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似.
定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图4，四边形∠ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD.
判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形.②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.
显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点.如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：
（1）清说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条.
（2）请仿照如图5的画法，在如图6所示的8x8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都涂上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）.
分析：（1）利用菱形的性质以及结合图形得出筝形的性质分别得出异同点即可.（2）利用轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意得出答案，显然答案不唯一.
解：（1）相同点：①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③有一条对角线垂直平分另一条对角线：④有一条对角线平分一组对角；⑤都是轴对称图形；⑥面积等于对角线乘积的一半.不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；⑥菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称图形.（2）答案不唯一，如图7所示中的任意一种情形.
反思：求解此类问题时，一定要充分借助网格特点进行作图，解题的关键是正确理解平移、轴对称、旋转以及中心对称图形、轴对称图形的意义.
五、裁剪操作
例5 （2014.宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图8所示的两种方法裁剪（裁剪后边角不再利用）.
A方法：剪6个侧面：B方法：剪4个侧面和5个底面，
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.
（1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数.
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
分析：（1）根据一张硬纸板用A方法剪6个侧面 ，B
六、对图形的分割操作
例6 （2014.漳州）如图9，ABC中，AB=AC，∠A=36。，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括ABC）：
（1）在图9中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是______度和______度.
（2）在图10中画2条线段，使图中有4个等腰三角形.
（3）继续按以上操作发现：在ABC中画n条线段，则图中有______个等腰三角形，其中有______个黄金等腰三角形.
分析：（1）利用等腰三角形的性质以及∠A的度数，进而得出这两个等腰三角形的顶角度数.（2）利用（1）中思路进而得出符合题意的图形.（3）利用画1条线段可得到2个等腰三角形，画两条线段可得到4个等腰三角形，画3条线段可得到6个等腰三角形，进而得出规律求出答案.
解：（1）如图9所示AB=AC，∠A =36。，故当AE=BE时，∠A= ∠ABE=36。，则∠AEB=108。，则∠EBC=36。，故这两个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度.
（2）画法不唯一，如图10所示，四个等腰三角形分别是：ABE，BCE，BEF，CEF
（3）如图11.画1条线段可得到两个等腰三角形，画两条线段可得到4个等腰三角形，画3条线段可得到6个等腰三角形，…，在ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形.
反思：本题既是一道操作题，又是一道问题的探究题，求解时应注意作图技巧，灵活运用等腰三角形的性质，其中探究出分割图形的规律是解题关键.另外，在（2）中当画出线段BE时，余下的也可以过C作∠C的平分线交BE于点F
七、折叠操作
例7 （2014 临沂）对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开，
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A’处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA’，EA’，展开，如图12.
第三步：再沿EA’所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，得到折痕EF，同时得到线段B’F，展开，如图13.
（1）证明：∠A BE=300.
（2）证明：四边形BFB’E为菱形.
分析：（1）根据点M是AB的中点判断出A’是EF的中点，然后判断出BA'垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE=BF，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠A’BE=∠A 'BF，根据翻折的性质可得∠ABE= ∠A 'BE，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证.（2）根据翻折变换的性质可得BE=B'E，BF=B'F，然后得出BE=B'E=B'F=BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明.
解：（1）由对折AD与BC重合，折痕是MN，故点M是AB的中点，故A’是EF的中点，因∠BA’E= ∠A =90。，故BA’垂直平分EF，故BE=BF，故∠A' BE= ∠A 'BF，由翻折的性质，∠ABE=∠A'BE，故∠ABE= ∠A 'BE=∠A，BF，故∠ABE（）×90。=30。.
（2）沿EA’所在的直线折叠，点B落在AD上的点B’处，故BE=B'E，BF=B'F因BE=BF，故BE=B'E=B'F=BF，故四边形BFB'E为菱形.
反思：本题通过操作，意在考查矩形、菱形、线段垂直平分线等知识.解答折叠问题的一般思路：分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角，进行相关的计算或证明.
中考命题预测
1.在ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有____条.
2.如图14，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动____格.
3.如图15，将一副七巧板拼成一只小动物，则∠AOB=____.
4.如图16，小亮拿一张矩形纸如图16 （1），沿虚线对折一次得图16 （2），将对角两顶点重合折叠得图16（3）.按图16（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（）.
A.都是等腰梯形
B.都是等边三角形
C.两个直角三角形，一个等腰三角形
D.两个直角三角形，一个等腰梯形
5.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图17）：
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图l8）.
请解答以下问题：
（1）如图18，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论.
（2）在图18中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出{符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
6.现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可以打开铺平再折第二次）.使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图19（虚线表示折痕）.
除图19外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图20（1）至图20（3）中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作.如图19（2）和图19（1）是相同的操作）.（上接第26页）点同时从点P 出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时问为t（s）.
（1）求PQ的长.
（2）当t为何值时，直线AB与00相切？
3.如图8，在平行四边形ABCD中.AD=4 cm，∠A=60。，BD AD.一动点P从A出发，以每秒l cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．在直角坐标系中，点（2，1）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：点的坐标．
分析：应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
解答：解：因为点P（2，1）的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点在平面直角坐标系的第一象限．
故选A．
点评：解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A．1、2、3.5B．4、5、9C．20、15、8D．5、15、8
考点：三角形三边关系．
分析：根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用排除法求解．
解答：解：A、1+2=3＜3.5，不能组成三角形；
B、4+5=9，不能组成三角形；
C、20、15、8，能组成三角形；
D、5+8=13＜15，不能组成三角形．
故选：C．
点评：本题主要考查三角形的三边性质，需要熟练掌握．
3．下列命题中，是真命题的是（）
A．若a•b＞0，则a＞0，b＞0B．若a•b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a•b=0，则a=0，且b=0D．若a•b=0，则a=0，或b=0
考点：命题与定理．
分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解答：解：A、a•b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；
B、a•b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；
C、a•b=0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；
D、若a•b=0，则a=0，或b=0，或二者同时为0，是真命题．
故选D．
点评：本题主要考查乘法法则，只有深刻理解乘法法则才能求出正确答案，需要考生具备一定的思维能力．
4．如图，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理．
专题：证明题．
分析：根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
解答：解：共有5个．
（1）AB=AC
ABC是等腰三角形；
（2）BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，
ABC是等腰三角形，
∠EBC=∠ECB，
BCE是等腰三角形；
（3）∠A=36°，AB=AC，
∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
ABD是等腰三角形；
同理可证CDE和BCD是等腰三角形．
故选：A．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
5．如图，ABC经过怎样的平移得到DEF（）
A．把ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
考点：平移的性质．
专题：压轴题．
分析：根据平移的性质可知，图中DE与AB是对应线段，DE是AB向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的．
解答：解：由题意可知把ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到DEF．
故选C．
点评：本题主要考查了平移的性质，观察图象，分析对应线段作答．
6．下列说法错误的是（）
A．三角形的中线、高、角平分线都是线段
B．任意三角形内角和都是180°
C．三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形
D．直角三角形两锐角互余
考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质．
专题：推理填空题．
分析：根据三角形的中线高角平分线定义即可判断A；由三角形内角和定理能判断B；由直角三角形的分类能判断C；根据直角三角形的性质能判断D．
解答：解：A、三角形的中线高角平分线都是线段，故本选项错误；
B、根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项错误；
C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项错误；
D、直角三角形两锐角互余，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，熟练理解和掌握这些知识是解此题的关键．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
专题：压轴题．
分析：根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案．
解答：解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．
故选B．
点评：本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
8．如图，在ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将ABC绕点A旋转到AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
考点：旋转的性质．
分析：旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
解答：解：CC′∥AB，∠CAB=70°，
∠C′CA=∠CAB=70°，
又C、C′为对应点，点A为旋转中心，
AC=AC′，即ACC′为等腰三角形，
∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．
故选：C．
点评：本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c
字母abcdefghijklm
序号0123456789101112
字母nopqrstuvwxyz
序号13141516171819202122232425
按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）
A．wkdrcB．wkhtcC．eqdjcD．eqhjc
考点：有理数的混合运算．
专题：应用题；压轴题．
分析：m对应的数字是12，12+10=22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0+10=10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19+10=29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．
解答：解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．
故选：A．
点评：本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．
10．甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（）
A．B．C．D．
考点：函数的图象．
专题：压轴题．
分析：甲在乙前面，而乙的速度大于甲，则此过程为乙先追上甲后再超过甲，全程时间以乙跑的时间计算，算出相遇时间判断图象．
解答：解：此过程可看作追及过程，由相遇到越来越远，按照等量关系“甲在相遇前跑的路程+100=乙在相遇前跑的路程”列出等式
v乙t=v甲t+100，根据
甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，
则乙要追上甲，所需时间为t=50，
全程乙跑完后计时结束t总==200，
则计时结束后甲乙的距离s=（v乙﹣v甲）×（t总﹣t）=300m
由上述分析可看出，C选项函数图象符合
故选：C．
点评：本题考查的是函数图象与实际结合的问题，需注意相遇的时间、全程时间以及最后甲乙的距离这几个点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上）
11．如果正比例函数y=kx的图象经过点（1，﹣2），那么k的值等于﹣2．
考点：待定系数法求正比例函数解析式．
专题：待定系数法．
分析：把点的坐标代入函数解析式，就可以求出k的值．
解答：解：图象经过点（1，﹣2），
1×k=﹣2，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题主要考查函数图象经过点的意义，经过点，说明点的坐标满足函数解析式．
12．等腰三角形的对称轴有一条或三条条．
考点：轴对称图形．
专题：常规题型．
分析：等腰三角形是轴对称图形，注意分一般等腰三角形和特殊等腰三角形两种情况考虑．
解答：解：一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在的直线；
若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在的直线．
故答案为：一条或三条．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及轴对称图形；做题时很易出错，往往只想到一般的等腰三角形，要注意两种情况的考虑．
13．命题“直角都相等”的逆命题是
相等的角都是直角，它是
假命题．（填“真”或“假”）．
考点：命题与定理．
分析：把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题，根据真命题与假命题的概念，判断正确的命题叫真命题，判断错误的命题叫假命题，即可判断出命题的真假．
解答：解：命题“直角都相等”的逆命题是：相等的角都是直角，
相等的角不一定都是直角，
命题是假命题，
故答案为：相等的角都是直角，假．
点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，还考查了真假命题的定义，难度适中．
14．如图，AD是ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是②③④．
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
考点：等腰三角形的判定与性质．
专题：压轴题．
分析：可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．
解答：解：应添加的条件是②③④；
证明：②当∠BAD=∠CAD时，
AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；
则ABD≌ACD，
BAC是等腰三角形；
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；
AB+BD=CD+AC，
DE=DF，又ADBC；
AEF是等腰三角形；
∠E=∠F；
AB=BE，
∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∠ABC=∠ACB，即AB=AC，ABC是等腰三角形；
④ABC中，ADBC，根据勾股定理，得：
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；
AB﹣BD=AC﹣CD①，
AB+BD=AC+CD②；
①+②得：，
2AB=2AC；
AB=AC，
ABC是等腰三角形
故答案为：②③④．
点评：此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE．
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：只有FB=CE，AC=DF．不能证明AB∥ED；可添加：①AB=ED，可用SSS证明ABC≌DEF，得到∠B=∠E，再根据平行线的判定方法可得AB∥ED；也可添加：③∠ACB=∠DFE，可用SAS证明ABC≌DEF；但不能添加②，这就是SSA，不能判定ABC≌DEF．
解答：解：不能；
可添加：①AB=ED，可用SSS证明ABC≌DEF；
FB=CE，
FB+FC=CE+FC，
即BC=EF，
在ABC和DEF中，
ABC≌DEF（SSS），
∠B=∠E，
AB∥ED．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，关键是掌握证明三角形全等的方法，以及全等三角形的性质定理．
16．如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：由已知条件“过点C、B作AD及其延长线的垂线”易证两个直角相等；再由AD是中线知BD=CD，对顶角∠BDF与∠CDE相等，利用“AAS”来证明BDF≌CDE；最后根据全等三角形的对应边相等来证明BF=CE．
解答：证明：根据题意，知CEAF，BFAF，
∠CED=∠BFD=90°，
又AD是边BC上的中线，
BD=DC；
在RtBDF和RtCDE中，
∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BD=CD，∠CED=∠BFD，
BDF≌CDE（AAS），
BF=CE（全等三角形的对应边相等）．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是通过平行线的判定定理（在同一平面内，垂直于同一条线段的两条直线平行）证明CE∥BF，然后通过平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求得∠DBF=∠DCE才能构建是全等三角形BDF≌CDE．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17．如图，已知直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．
（1）求直线L1的解析式．
（2）若APB的面积为3，求m的值．（提示：分两种情形，即点P在A的左侧和右侧）
考点：待定系数法求一次函数解析式．
专题：分类讨论；待定系数法．
分析：（1）设直线L1的解析式为y=kx+b，由题意列出方程组求解；
（2）分两种情形，即点P在A的左侧和右侧分别求出P点坐标，再求解．
解答：解：（1）设直线L1的解析式为y=kx+b，
直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），
，
解得．
所以直线L1的解析式为y=x+1．
（2）当点P在点A的右侧时，AP=m﹣（﹣1）=m+1，
有SAPB=×（m+1）×3=3，
解得：m=1．
此时点P的坐标为（1，0）．
当点P在点A的左侧时，AP=﹣1﹣m，
有SAPB=×|﹣m﹣1|×3=3，
解得：m=﹣3，
此时，点P的坐标为（﹣3，0）．
综上所述，m的值为1或﹣3．
点评：本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数求得函数解析式；利用P点坐标求三角形的面积．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
①点P到A，B两点的距离相等；
②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P后，写出点P的坐标．
考点：作图—复杂作图．
分析：（1）点P到A，B两点的距离相等，即作AB的垂直平分线，点P到∠xOy的两边的距离相等，即作角的平分线，两线的交点就是点P的位置．
（2）根据坐标系读出点P的坐标．
解答：解：（1）作图如右，点P即为所求作的点．
（2）设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，
由作图可得，EFAB，EFx轴，且OF=3，
OP是坐标轴的角平分线，
P（3，3），
同理可得：P（3，﹣3），
综上所述：符合题意的点的坐标为：（3，3），（3，﹣3）．
点评：本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等．
五、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19．已知函数y1=x﹣1和y2=﹣2x+3．
（1）同一坐标系中画出这两个函数的图象．
（2）求出这两个函数图象的交点坐标．
（3）观察图象，当x取什么范围时，y1＞y2？
考点：两条直线相交或平行问题．
专题：作图题；数形结合．
分析：（1）找出y1，y2与横纵纵坐标的交点即可画出；
（2）令x﹣1=﹣2x+3即得到交点；
（3）由（2）中所得交点结合图象即求得．
解答：解：（1）如右图
（2）令x﹣1=﹣2x+3，得x=，
代入得：y=
交点坐标为（，）；
（3）当x＞时，从图象上函数y1的图象在y2图象的上面，
即此时y1＞y2
点评：本题考查两直线的相交问题，（1）中求得两直线与横纵坐标的交点即可求得直线，（2）令两直线相等，即可求得两直线的交点坐标．（3）从（2）中得到的交点结合图象即求得．
20．观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到AEF（如图②）．小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
考点：翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定；矩形的性质．
专题：操作型．
分析：（1）由两次折叠知，点A在EF的中垂线上，所以AE=AF；
（2）由图知，∠α=∠FED﹣（180°﹣∠AEB）÷2．
解答：解：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．
由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，
所以∠AGE=∠AGF=90°，
所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，
即AEF为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，
所以∠BED=135度．
又由折叠知，∠BEG=∠DEG，
所以∠DEG=67.5度．
从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．
点评：本题是一道折叠操作性考题．重点考查学生通过观察学习，领悟感受，探究发现折叠图形的对称只是，培养其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等．
在解答此题时，有的人往往知道结论，书写不规范，建议教师在以后的教学中，在培养学生自主学习能力的同时，还要注重培养有条理表达和规范证明的能力．
六、（本题满分12分）
21．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．
（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；
（2）求证：∠MPB=90°﹣∠FCM．
考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
专题：证明题．
分析：（1）连接MD，由于点E是DC的中点，MEDC，所以MD=MC，然后利用已知条件证明AMD≌FMC，根据全等三角形的性质可以推出∠MAD=∠MFC=120°，接着得到∠MAB=30°，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM；
（2）利用（1）的结论得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM，再根据已知条件即可解决问题．
解答：证明：（1）连接MD，
点E是DC的中点，MEDC，
MD=MC，
又AD=CF，MF=MA，
AMD≌FMC，
∠MAD=∠MFC=120°，
AD∥BC，∠ABC=90°，
∠BAD=90°，
∠MAB=30°，
在RtAMB中，∠MAB=30°，
BM=AM，
即AM=2BM；
（2）连接MD，
点E是DC的中点，MEDC，
MD=MC，
又AD=CF，MF=MA，
AMD≌FMC，
∠ADM=∠FCM，
AD∥BC，
∠ADM=∠CMD
∠CMD=∠FCM，
MD=MC，MEDC，
∠DME=∠CME=∠CMD，
∠CME=∠FCM，
在RtMBP中，∠MPB=90°﹣∠CME=90°﹣∠FCM．
点评：此题主要考查了梯形的性质、全等三角形的性质与判定，及等腰三角形的性质与判定，综合性比较强．
七、（本题满分12分）
22．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润=（售价﹣成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率？（直接写出答案）
考点：一次函数的应用；分段函数．
专题：压轴题；图表型．
分析：（1）根据销售记录每升利润为1元，所以销售利润为4万元时销售量为4万升；
（2）设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），求出图象中B点和C点的坐标代入关系式中即可．
（3）判断利润率，应该看倾斜度．
解答：解：解法一：
（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷（5﹣4）=4（万升）．
答：销售量x为4万升时销售利润为4万元；
（2）点A的坐标为（4，4），从13日到15日销售利润为5.5﹣4=1.5（万元），
所以销售量为1.5÷（5.5﹣4）=1（万升），所以点B的坐标为（5，5.5）．
设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b，则解得
线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x﹣2（4≤x≤5）．
从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5+4×（5.5﹣4.5）=5.5（万元）．
本月销售该油品的利润为5.5+5.5=11（万元），所以点C的坐标为（10，11）．
设线段BC所对应的函数关系式为y=mx+n，则解得
所以线段BC所对应的函数关系式为y=1.1x（5≤x≤10）；
（3）线段AB倾斜度，所以利润率．
解法二：
（1）根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y=（5﹣4）x，即y=x（0≤x≤4）．
当y=4时，x=4．
答：销售量为4万升时，销售利润为4万元．
（2）设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则解得
线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x﹣2（4≤x≤5）．
设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
截止至15日进油时的销售利润为5.5万元，
且13日油价调整为5.5元/升，
5.5=4+（5.5﹣4）x，
x=1（万升）．
B点坐标为（5，5.5）．
15日进油4万升，进价4.5元/升，
又本月共销售10万升，
本月总利润为：
y=5.5+（5.5﹣4）×（6﹣4﹣1）+4×（5.5﹣4.5）
=5.5+1.5+4
=11（万元）．
C点坐标为（10，11）．
将B点和C点坐标代入y=kx+b得方程组为：
，
解得：．
故线段BC所对应的函数关系式为：y=1.1x．（5≤x≤10）．
（3）线段AB倾斜度，所以利润率．
点评：这是一道分段函数难度中上的考题，主要考查从图表获取信息和利用一次函数解决实际问题的能力．本题的关键是要仔细审题，找出数量变化与对应函数图象的关系，思考：险段AB，OA，BC对应的函数有哪些不同其根本原因是每升的成本，利润的变化，导致销售量的变化，正确计算出三种情形中的每升利润，是解决这一分段函数的重中之重．
八、（本题满分14分）
23．某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图表示快递车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
（1）请在图中画出货车距离A地的路程y（千米）与所用时间x（时）的函数图象；
（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？
考点：一次函数的应用；分段函数．
专题：压轴题．
分析：（1）货车从出发到返回共10小时，所以前4小时一段、后4小时一段、中间2小时路程不变；
（2）分别求出函数解析式解方程组即可．
解答：解：（1）根据题意，图象经过（﹣1，0）、（3，200）和（5，200）、（9，0）．
如图：
（2）4次；
（3）如图，设直线EF的解析式为y=k1x+b1
图象过（9，0），（5，200），
，
，
y=﹣50x+450①，
设直线CD的解析式为y=k2x+b2
图象过（8，0），（6，200），
，
，
y=﹣100x+800②，
解由①②组成的方程组得：，
1.目的明确，难易适中
首先，问题必须具有鲜明的目的性，为什么提出这样的问题？提出这样的问题对最终解决问题起什么作用？这就要求教师要有目的地设计问题，并准确地加以表述，其次，严格控制问题的数量，在教学时选择一些繁简得当，难度适中的问题，要符合大多数学生的实际，处于大多数学生的。“最近发展区”，所谓“跳一跳，摘得到”，少提质量粗糙、简单重复、无关紧要的问题，如导入新课时设问，要力争激起学生的求知欲；接触新知识后要在关键处设问，引导学生准确掌握本堂课的重点；例题讲解后要抓住题目的变通处设问，培养学生思维的流畅性和灵活性，从而激发学生的兴趣，打开他们探究的心扉，点燃他们心中的创新之火，使他们既有所得又乐在其中。
2.面向全体，因人而异
问题要有层次，照顾到全体学生，这就要求教师备课时对学生心中有数，课堂上善于观察每一位学生的微妙变化，捕捉那些容易被忽视的思维浪花，通过不同层次的问题，调动全体学生的兴趣，使每一个学生都能得到提高，在此基础上，教师提问应面向全体学生，然后根据教学目的、要求与问题的难易程度，有目的地选择提问对象，较难的问题要向基础好的学生发问，待学生回答后，再作必要的讲解，以便让基础差的学生也有所收获；较易的问题向基础差的学生发问，这样，可以吸引所有的学生参加思维活动，促使每一位学生用心回答问题。
3.鼓励探索，科学讲评
在课堂教学中，学生对问题的回答，标志着他们对问题的理解和掌握程度，也是教师检查自身教学效果的重要途径，因此，教师要积极鼓励学生大胆回答问题，而且提问不仅可以是教师提，也包括学生问教师要鼓励学生大胆质疑，在无疑处找疑，在有疑处解疑，对于学生提出的疑问，或让学生议论，或给予适当的启发、诱导、指导思路，但教师不要包办代替，教师听完学生回答后要进行小结，学生受知识水平所限，回答问题出现的错误是难免的，教师要及时给予归纳总结，对正确的加以肯定，不完整的给予补充，错误的给予纠正，使学生最后能掌握系统、完整、科学的知识。
在评价学生提出的问题时，首先应关注学生提出问题的积极性；其次要关注学生提出问题的深度和广度，在评价学生解决问题时，不仅关注解答结果的正确，更应关注学生是否积极思考，能否表述自己发现的规律及与同伴进行交流等。
二、设计“问题”的方法
1.创设情境，激活兴趣
问题1：请帮助小李想办法：墙上钉了一根木条，小李想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图1所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤，小李将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点，如果重锤过A点，那么这根木就是水平的你能说明其中的道理吗？
等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有其他性质吗？想一想，你能告诉我们吗？在我们还没有确切答案以前，让我们先分组做个实验吧。
问题1引导学生思考开放性、应用性的实际问题，设悬念唤起学生的学习需要，激发学生的兴趣，诱发学生思考，为下面的教学活动拉开了序幕。
2.师生互动，以旧引新
问题2：如图2，任意画一个等腰三角形，请大家剪下刚才画好的等腰三角形ABC，把纸片对折，让两腰重叠在一起，折痕为AD，然后展平，那么∠1与∠2相等吗？教师同时演示。
由于角两边互相重合，∠1=∠2，发现折痕AD为等腰三角形ABC的顶角平分线。
问题3：观察AABC被折痕AD分成的两个部分能否完全重合？
因为等腰三角形ABC是以顶角平分线AD所在的直线为对称轴的对称图形，点B的对称点是点C，点A的对称点是点A，点D的对称点是点D，所以ABD作关于直线AD的轴对称变换所得到的像是ACD，因此，ABD与ACD重合。
问题2、3以等腰三角形的轴对称性为切入点，使得知识衔接较为自然，并为下一步探索等腰三角形的性质埋下伏笔。
3.动手实践，归纳结论
问题4：你还能找出图中其他相等的线段和相等的角吗？
因为ABD与ACD重合，根据轴对称变换不改变图形的形状和大小得出ABD≌ACD，故BD=CD，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC。
问题5：你能否用文字叙述等腰三角形中有关底角的性质呢？
等腰三角形两底角相等，也就是说，在同一个三角形中，等边对等角。
问题6：抢答练习。
（1）等腰三角形的一个内角为100°，则另两个角为：_______。
（2）等腰三角形的一个内角为40°，则另两个角为_______。
（3）等腰三角形的一个内角为60°，则另两个角为_______。
（4）一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______。
问题7：现在再观察折痕AD，你能得出什么结论？
因为∠ADB=∠ADC，∠ADB +∠ADC=180°，所以AD⊥BC，即折痕AD为底边上的高，因为∠1=∠2，折痕AD为顶角的平分线，因为BD=CD，折痕AD为底边上的中线。
问题8：你能否用文字叙述等腰三角形中有关折痕AD的性质呢？
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高互相重合，简称等腰三角形三线合一。
问题9：如图2，在ABC中，根据下列已知条件，写出你能得到的结论：
①如果AB=AC，∠1=∠2，那么_______。
②如果AB=AC，AD⊥BC，那么______。
③如果AB=AC，BD=DC，那么______。
问题4～9围绕探求折痕AD的多重“身份”层层展开讨论，用运动变换的方法一起得出等腰三角形的两个性质，不仅激发了学生学习的兴趣和求知欲，而且问题的梯度拾级而上，符合学生的认知规律。
4.指导应用，延伸拓展
例1如图3，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DELAB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由。
问题10：若不能添辅助线，你会添加一个怎样的条件？
添加BD=CD，或BE=CF均能证明BDE≌CDF（ASA）
问题11：若能添辅助线，你会添加一个怎样的条件？
连结AD，添加BD=CD，利用等腰三角形三线合一得出AD平分∠BAC，由角平分线上的点到角的两边距离相等得到DE=DF。
此例是为使学生巩固等腰三角 形的性质而增设，亦可通过构造三角形全等的角度证得，从而拓宽分析问题的视野和思路。
例2如图4，已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，BC边上的高为h。
问题12：底边BC已知，底边上的高长为h，你知道怎样确定顶点A的位置吗？
该例有效地训练学生发散性思维能力，在已有认知的基础上使新知得以内化。
5.归纳小结，反思提高
问题13：在本节课的学习中，你有哪些收获与我们分享？
问题14：你还有什么不理解的地方，需要得到老师或同学的帮助？
三、“问题”教学的实践体会
1.创设问题情境，把问题作为教学的出发点
学生问题意识的培养，首先依赖于教师的教学设计，因此，教师要善于联系学生的生活实际，找准“最近发展区”，通过多种手段呈现问题情境，制造学生认识冲突，诱发学生的问题意识，使学生确实感到有问题要问。
其次，课堂教学提问要有明确的目的，要根据每节课的教学要求，对要提问的问题进行精心的设计，一定要克服课堂教学的随意性，提问要紧紧围绕课堂教学的中心来进行，提问内容要具有典型性、代表性，提问的形式要具有灵活性、多样性，问题不能太笼统另外，教师提出的问题还要符合逻辑，注意按照教材顺序，层层设问，环环紧扣，使问题与问题间构成内在的必然联系和逻辑层次。
从问题出发设计教学，关键之处在于把握学生的固有认识与新现象、新事物的矛盾，在于引导学生自己发现或创设情境，帮助学生发现这一矛盾，这样才会引发真正有效的学习活动，才能真正让学生学有所思。
2.指导学生开展尝试活动，启发他们发现问题，提出问题，分析问题
（1）营造敢问的氛围，由于传统教育思想的束缚，我们不少教师对学生在课堂上的随意议论、相互交流、回答提问等活动限制过多、过细，因而造成了学生因回答不对或害怕违反有关规定而感到紧张、焦虑甚至受压制的现象。
因此，教师既要经常鼓励学生大胆提出问题，又要设法保护学生的积极性，在组织讨论中，能最大限度地让每个学生有发表自己见解的机会，真正使学生动起来，课堂活起来，特别是与众不同的见解，无论是否正确，是否完整，只要学生在思考，只要敢说，就应鼓励，这样让各个层次的学生都尝到成功的乐趣，能提高学生分析问题、解决问题的能力。
要让学生在课堂上多思敢问，就必须为学生参与教学创造有心理安全和自由的气氛，否则学生就不会多思，也不敢多想，有了问题也不敢多问，有了想法也不敢多说，长此以往，学生的问题意识就会淡化。
（2）创设想问的情境，心理学家研究表明“思维来自于疑问，意向产生于恰当的问题情境”，设置问题情境的目的是为了激发学生的学习兴趣，使学生处于智力的情境中，事实上，当创设的问题情境激发了学生接受挑战的欲望时，则说明这种问题情境已经生成，已起到了作用。
因此，教师在设计以问题为核心的情境中，在问题基础上展开讨论、阅读、讲解、点拨，然后再激发出新的问题，同时，教师要学会从学生的直接表述中发现问题，应该学会从了解到学生的认识基础与新现象矛盾中发现问题，而且积极引导学生多角度地观察问题，思考问题，使学生敢想、敢说、敢质疑。
（3）教给会问的方法，要培养学生的问题意识，除了要学生敢问、想问，还要让学生会问、教师要教给学生一些提问的技巧，提高学生的思维品质，如教材中出现的“通过上面例子，你发现了什么规律？”“你有解决这个问题的更好的方法吗？”“在同样条件下，还有其他结论吗？如果条件改变或部分条件改变，结论会怎样？”这不仅教给学生会问的方法，同时使学生能主动参与认识过程，能提高学生分析问题、解决向题的能力。
3.问题获解后的探究
学生初解此类问题时，一般靠直觉画图，或是主观猜测，往往会出现漏解、错解，甚至在坐标系背景下无从下手等现象。根据笔者对此类问题的研究，现将本考点解题策略整理如下：
一、先弄清一个基本问题的解题方法：已知线段AB，在平面内取一点P，使PAB为等腰三角形。首先，因为没有说明谁为腰，谁为底，因此要分类讨论：
1.如果AB为底，则作AB的垂直平分线，点P一定在AB的垂直平分线上。
2.如果AB为腰，若∠A为顶角，则以点A为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。
3.如果AB为腰，若∠B为顶角，则以点B为圆心，AB长为半径画圆，点P一定在这个圆上。称这种方法为“两圆一线”，两圆即以两定点为圆心，以定长为半径画的两个圆，具体到实际问题可画出部分弧，一线即给定线段的垂直平分线。即两圆上的点和线段垂直平分线上的点都符合要求，具体到题目中会让在指定范围确定。
二、探索的等腰三角形有一条边是确定位置及长度的，确定第三个顶点的存在（一般会指定位置，如在x轴或y轴或抛物线或某抛物线的对称轴上是否存在点使三角形为等腰三角形）。
例1.如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
思路点拨：因为A、C位置确定，采用“两圆一线”找到两圆及一线与l的交点，因本例是在对称轴上确定点，所以不太好确定点的坐标，我们可采用设未知数的方法来求。设未知数的方法有两种：一种是设点的坐标，一种是设某线段的长度。但总之设未知数后都要利用几何条件及图形特征列方程，利用代数方法求解，因为只有通过解方程才能求出设的未知数的值。
三、在所求的等腰三角形中，一个顶点固定，另外两个顶点运动（有运动两点的位置范围，即在哪条线上），确定其中一顶点或两点坐标。
解题策略：由于两个顶点都在运动，用“两圆一线”无从下手，这种问题常见的有两种类型：一是三角形的三边可以用已知或与运动变化相关的量来表示，这一种我们可以利用勾股定理或相似表示边长，再根据两边相等列方程（当然也需分类讨论）。二是“盲解”，即代数方法。这种解法一般分三步：1.罗列三边；2.分类列方程；3.解方程，检验三角形不是所有边长都能用与运动相关的量来表示，那我们就要利用等腰三角形的性质（三线合一、两腰相等等），常过顶点做底边的垂线把底边平分来列方程求解。
例2 如图2，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当APD是等腰三角形时，求m的值。
思路点拨：
1.用含m的代数式表示APD的三边长，为解等腰三角形做好准备。
2.探求APD是等腰三角形，分三种情况利用边相等列方程求解。
解答：（1）因为PC//DB，所以■=■=■。因此PM=DM，CP=BD=2-m。所以AD=4-m。于是得到点D的坐标为（2，4-m）。
（2）在APD中，AD2=（4-m）2，AP2=m2+4，PD2=（2PM）2=4+4（2-m）2。
①当AP=AD时，（4-m）2=m2+4。解得m=■（如图3）。
②当PA=PD时，m2+4=4+4（2-m）2。解得m=■（如图4）或m=4（不合题意，舍去）。
③当DA=DP时，（4-m）2=4+4（2-m）2。解得m=■（如图5）或m=2（不合题意，舍去）。
综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为■，■或■。
■
第（2）题解等腰三角形的问题，其中①②用几何说理的方法，计算更简单：图3，当AP=AD时，AM垂直平分PD，那么PCM∽MBA。所以■=■=■。因此PC=■，m=■。
②如图4，当PA=PD时，P在AD的垂直平分线上。所以DA=2PO。因此4-m=2m。解得m=■。
一、教学实录
（一）课堂引入
首先，教师和学生一起回顾二次函数定义及其图象的顶点坐标、对称轴等，然后给出下列问题：
如图1，已知二次函数y=x2-2x-3，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点为D。
（1）直接写出A，B，C，D各点坐标及BC的直线解析式；
（2）根据图象回答下列问题：
①开口方向为__________；
②对称轴______________；
③当x=_______时，
最大（小）值_______；
④|AB|=______
⑤当x_________，y随x的增大而增大，
当x_______，y随x的增大而减小。
复习课的课堂引入是教师通过创设情境，帮助学生回顾已有的知识结构。潘老师通过一个简单的二次函数图象，将学生短期内遗忘掉的零散知识点重新编码，通过（1）（2）两小题建立二次函数知识之间、知识与学生个体经验之间的联系，帮助学生回顾知识和整理知识，并组织学生交流探讨第（2）题的第④小题，当A、B两点的坐标任意确定时，都可以求出线段AB的长度，让学生自己试着举出例子，引导学生相互交流，帮助学生优化知识结构。
（二）创设问题
在解答完以上两个小题之后，给出第三个小题。
（3）根据图象思考由这些点O、A、B、C、D能构成了哪些三角形，并求出这些三角形的面积。
生1：SOAC=[12]×1×3=[32] SOBD=[12]×3×4=6
SOBC=[12]×3×3=[92] SOCD=[12]×1×3=[32]
SABC=[12]×4×3=6 SAOD=[12]×1×4=2
SABD=[12]×4×4=8
师：还有其他三角形的面积能求吗？
生2：还有ACD和BCD。
师：能否求出这两个三角形的面积？相对于上述三角形，这两个三角形的面积最难求吗？为什么最困难？
生3：因为ACD和BCD的边没有在坐标轴上，其他三角形中都有某一边或两边在坐标轴上，这样便于寻找三角形的底和高，能比较直观求出它们的面积，这两个三角形的三边都没有在坐标轴上，寻找数量关系就显得比较困难。
师：那我们有什么办法来求出它们的面积呢？由原图会想到哪些问题？
教师的点拨激起了学生思维的火花，带领学生的思维进入，使数学问题逐步深入，探究变得非常巧妙自然。
（三）探究问题
师：如图2，下面我们以BCD为例，来求它的面积，请同学们思考求解的好方法？
生1：可先求出四边形ACDB的面积，利用上面的几个基本三角形的和差，从而得到。
SBCD=S四边形ACBD-SABC
=SAOC+SOCD+SOBD-SABC
=[32]+[32]+6-6
=3
生2：可先求出四边形OCDB
的面积，利用OCD和OBD的
面积和减去OBC的面积即可。
生3：过D点作DHOC于H点，先求出梯形OHDB的面积，再减去OBC和CHD的面积即可。
本小题涉及到计算三角形面积的常用方法――割补法，学生采用“一题多解”，灵活运用，积极思考，课堂气氛非常活跃，教师引导学生通过选择适当的方法解决问题，体验解决问题的思考过程，体验数学的思想方法，尽可能多地让学生自己讲解，加深记忆，一题多解，做到“授人以鱼不如授人以渔”。
二、几个亮点思考
（一）注重数学的解题方法：“一题多解”和“一图多用”
笔者在金华市培训期间听一位专家在“对基于教育本质的数学课堂的几点思考”的讲座中提到一个案例：等腰三角形的判定。某位教师在复习等腰三角形性质定理“等腰三角形的两个底角相等”后给出其判定定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，在该教学片断中，采用一图多用，给笔者留下了深刻印象。题目如下：
师：如图3，在ABC中，若∠B=∠C，则有什么结论？
图3 图4
生1：由等腰三角形的判定定理得出图中ABC为等腰三角形.
师：如图4，在ABC中，∠ABC=∠ACB，若BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，能得出什么结论？
生2：可找到两个等腰三角形，分别是ABC和OBC。
师：如图5，过O作直线EF∥BC。则图中有几个等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间有何关系？
图5 图6
生3：图中可找到4个等腰三角形，分别是ABC、OBC、EBO、FOC，线段EF=BE+FC。
接着有学生指出学生3答题不仔细，纷纷举手，发现图3中有5个等腰三角形，不仅线段满足EF=BE+FC，而且EF=2BE，或EF=2FC。学生观察问题非常仔细，对问题的思考更加深入。
接着教师让学生自己编题，设计问题后自己解决，其中一个学生想到：
生4：如图6，若∠B与∠C不相等。则图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有上述关系？
生5：图中还有两个等腰三角形，此时我们必须综合应用角平分线定义和平行线性质以及等腰三角形的判定定理得出EBO和FOC是等腰三角形，最后得出线段之间的关系式还是成立的。
师：讲得非常好。针对此题，你还能想到什么问题？
生6：当BO和CO中其中有一条是ABC的一个内角和一个外角平分线时，比如BO平分∠ABC，CO平分∠ACB的外角，且相交于点O，此时图中有几个等腰三角形？线段EF、EB、FC又满足什么关系式？
师：针对这个图形你还会设计什么问题呢？
生7：在图3和图4中，当EF不平行BC时，直线EF绕着点O旋转时，会不会出现等腰三角形？若有，最多有几个？
这个问题引起了全班同学的思考，大家相互讨论，积极动手操作。此时，教师利用几何画板，很好的演示了这个过程，点E和点F的位置有可能在线段AB、AC上，或者在其延长线上，同时要对∠EBO进行分类讨论：当∠EBO为等腰三角形的顶角或底角时又会怎样，同时学生也发现等腰三角形个数的多少还取决于ABC的形状。
同学们看着教师的演示，纷纷讨论，画图探究，动手操作，思考问题的积极性非常高，气氛热烈，教师和学生一起完成了学生设计的难题。这个教学片断非常巧妙地运用了数学几何图形的“一图多用”，让学生层层思考，通过变式、出题、由浅入深，学生整个思维清晰有序，课堂参与率非常高。
（二）注重数学课堂提问的艺术
数学课堂提问的方式很多，有开门见山的提问、有创设情景的提问、有穷追不舍的提问等。教师在提问时应注意问题要有需要性、激发性、创造性、发展性、全面性、适度性。好的提问方式可以激发学生的学习兴趣，迅速集中学生的注意力，是开启学生智慧之门的钥匙。笔者在听一位年轻教师执教八年级上册第十一章数学活动课“平面镶嵌”这一课时，摘录了这位教师的课堂提问。年轻教师的课堂提问设计能做到精心揣摩，笔者认为是非常好的。
师：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形这四种图形中，选取一种进行平面镶嵌，哪种不能？
通过多媒体演示，师生共同得出正五边形不能单独进行平面镶嵌。
师：为什么正五边形不能单一进行平面镶嵌？能进行平面镶嵌的图形必须满足什么条件？
因着教师的提问，学生进一步思考，对于多边形进行平面镶嵌有了更深刻的理解和认识，而并不单单在于记住正五边形不能进行平面镶嵌，同时也探讨多边形的内角与360°的关系，提出能被360°整除的就可以进行平面镶嵌。
结论：一种正多边形进行镶嵌，只有正三角形、正四边形、正六边形三种可以。
师：若选取两种或三种边长相等的正多边形，哪些可以进行平面镶嵌？
在讨论探究中学生1得出一个结论：凡是有正五边形参与的就不能进行平面镶嵌。
师：大家同意这位同学（生1）的想法吗？
生2：用两个正五边形和一个正十边形就可以进行平面镶嵌，因为正十边形的内角为144°，而正五边形的内角为108°，我想到了式子：2×108°+144°=360°。
全班学生都纷纷举手表示赞同，但有的学生当时也就疑惑了，这样凑不是很麻烦？紧接着教师就提出问题。
师：能否用常规的方法来解决此类问题？
师生一起思考，共同解决。以正三角形和正六边形进行平面镶嵌为例，设有m个正三角形和n个正六边形进行平面镶嵌，则有式子：60m+120n=360成立，得出m=6-2n，当n=1时，m=4；当n=2时，m=2，这样就有两种情况，用这种办法去解决一般的多种多边形平面镶嵌问题。
师：除了用正多边形进行平面镶嵌外，还有没有其他任意多边形，如：三角形、四边形之类能否进行单一镶嵌呢？
教师通过多媒体演示，利用做好的四个全等的任意三角形和四边形模型让学生到黑板上进行动手拼图，得出能进行平面镶嵌。
结论：形状、大小完全相同的任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌。
师：除了三角形、四边形、还有其他一般的多边形能单一进行平面镶嵌吗？
学生深入思考探究，最后得出除了三角形和四边形，没有其他任意的多边形能进行平面镶嵌。
其实问题的提出并不在于多少，而在于是否具有启发性，是否能够触及问题的本质，并引导学生深入思考，不能让问题处于形式主义。要使提问有效，首先要做到问题的指向明确，提问时针对性要强，充分钻研教材，悉心考察学情，做到精心设计问题，倾听学生回答，及时给予肯定和鼓励。课堂提问贯穿于我们教学的始终，虽然它是一个古老的话题，却是我们一线教师永恒的话题，我们要把握提问时机，选择恰当的提问语气，激活学生的思维内力，培养学生探索精神，引导学生积极主动学习，这样的课堂才是有效和精彩的课堂。
[参 考 文 献]
一、基本图形的组合有利于学生理解并掌握图形的性质
一个较复杂的图形可以分解成若干个基本图形，一个较复杂的图形的性质是若干个基本图形性质的综合.为此，要理解并掌握较复杂图形的性质，就必须归纳、比较出其组成的若干个基本图形性质，使新旧知识成为一个有序知识链结构，有了这个研究图形的方法和策略，学生学习空间与图形的知识就轻松多了.
如： 1.三条线段顺次连接构成三角形，利用线段的可度量性，理解三角形的分类：
不等边三角形，三边都不相等；等腰三角形，有两边相等；底边与腰不相等的等腰三角形，只有两边相等；等边三角形，三边相等.
（1）不等边三角形
（2）等腰三角形①底边与腰不相等的等腰三角形
②等边三角形
2.在教学人教版七（下）P12 “5.2.2平行线的判定”时，如图1.将三线八角所组成图形中的八个角分成同位角、内错角、同旁内角，利用同位角的数量关系、内错角的数量关系、同旁内角的数量关系来刻画两条直线的位置关系，体现从形象思维向逻辑思维的发展，从定量研究走向定性研究，培养学生用数学思维解决实际问题的方式方法.
3.如图2.两个三角形拼在一起构成四边形，利用三角形的内角和定理理解四边形的内角和等于360°.
4.如图3.两个全等三角形拼在一起构成平行四边形，利用全等三角形的性质理解平行四边形的性质：由全等三角形的对应边相等得到平行四边形的对边相等，连接平行四边形的两条对角线后得到平行四边形的两条对角线互相平分；由全等三角形的对应角相等得到内错角相等，进而得到平行四边形的两组对边分别平行.
二、图形的分解有利于学生探究几何图形的求解和证明
从复杂图形中分解出基本图形，根据基本图形的形状、大小和位置关系来捕获有效解题信息，达成探究较复杂的图形和解决综合性的问题的方法，渗透转化与化归思想、数形结合思想、模型思想等，使学生探究和解决问题有了方向.
如：1.连接平行四边形的一条对角线把平行四边形分解成一对全等三角形，通过全等三角形的性质证明平行四边形的判断定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形②两组对角分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.使学生掌握利用三角形研究四边形的方法，并渗透转化与化归思想、数形结合思想.
2.教学圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”时，通过学生的动手折叠发现圆心与圆周角的三种位置关系：（1）圆心在圆周角的一条边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部.如图4.情形（1）从图形中分离出等腰三角形中的内角与外角关系来证明圆周角定理，情形（2）（3）作直径转化为情形（1）证明圆周角定理，其证明思路渗透了图形的组合与分解关系、转化与化归思想、数形结合思想.
三、图形的组合与分解是对综合性图形的解题和析题的有效途径
以函数为背景的中考压轴题，通常把函数图象和几何图形有机结合构成综合性题型，图形显得较为复杂，象这种题型只有从复杂图形中分解出简单图形才能找到解题思路.
例（2015年龙岩）如图5，已知点D在双曲线y=20x （x>0）的图象上，以D为圆心的D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点；抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q.
上好一堂数学课，是我一直努力探索和奋斗的目标，经过长期的实践，我总结了几种数学课的导入方法。
一、温固知新，导入新课
温固知新的教学方法，可以将新旧知识有机的结合起来，使学生从旧知识的复习中自然获得新知识。例如：在学习全等三角形时先与学生复习学过的三角形的概念后，提问学生：两个三角形全等，有多少对对应顶点、有多少组对应边、有多少组对应角、分别写出来，引导学生归纳出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。在以后的练习或作业中，给出两个三角形全等和一组对应角（或对应边），学生就可以正确地写出其他的对应角或对应边。这样导入，学生能从旧知识的复习中，发现一串新知识，并且掌握了全等三角形证明方法。
二、实验演示，导入新课
数学试验是激发学生创新思维的源泉，能帮助学生巩固数学知识，促成数学的良好循环。上课时组织学生动手操作和试验，通过动手动脑去探索新知识，主动发现欲学新知识的愿望，引发学生探索的兴趣。这种演示能使学生把抽象的东西，通过演示教具形象、具体、生动、直观地掌握知识，给学生直观感觉，留下深刻印象。如上等腰三角形性质一课，课前先让同学各自拿先剪好的腰长相等，顶角不等的等腰三角形纸片，让他们沿顶角平分线对折，发现这四个顶角不等的等腰三角形的两顶角都能完全重合，自然得出等腰三角形的性质：“等腰三角形的两底角相等”，再通过证明得出“等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合。”这种导入新课的方法，能使学生享受到发现的快乐，点燃学生探索的思维火花，促进学生学习的欲望。使学生有亲身感受，学习起来注意力集中。使学生印象深，容易理解，记得牢。
三、进行类比，导入新课
新课程标准中指出“初中数学教学中发展学生的逻辑思维能力主要是逐步培养学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力”。会运用归纳、演译和类比进行推理。可见，“类比”很重要。类比就是一种间接推理的方法，类比导入法就是通过两类不同的对象间的某些属性的相似，而从一种具有的某种其他属性就猜想另一种也有这种属性。比如：讲分式，分式的基本性质等内容时，就可以通过对分数，分数的基本性质复习，类比得出分式，分式的基本性质。这种方法导入自然，使学生能从类推中促进知识的迁移，发现新知识。从而掌握新知识，能充分调动学生学习的积极性，主动性和创造性。
四、设疑问式，导入新课
设疑式导入法是根据中学生追根求源的心理特点，一上课就给学生创设一些疑问，创设矛盾，设置悬念，引起思考，使学生产生迫切学习的浓厚兴趣，诱导学生由疑到思，由思到知的一种方法。例如：有一个同学想依照亲戚家的三角形玻璃板割一块三角形，他能不能把玻璃带回家割出同样的一块三角形呢？同学们议论纷纷。然后，我向同学们说，要解决这个问题要用到三角形的判定。现在我们就解决这个问题――全等三角形的判定。
总之，初中数学课的导入方法很多，上面列举了几种方法，但不管哪种方法都是为了充分调动内在积极因素，激发求知欲，使学生处于精神振奋状态，注意力集中，为学生能顺利接受新知识创造有利的条件。因此在教学过程中教师要优化新课的导入，要精心设计适合课题特点的导入方法，最大限度地发挥导入新课在整个课堂中的作用。来提高学生学习数学的兴趣，提高教学效果。
（作者单位：021000内蒙古呼伦贝尔市海拉尔区第七中学）