时间：2022-01-30 22:21:54
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数列考试总结，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词: 2009年高考试题数列比较分析
高考是全国普通高等院校统一招生考试的简称,是一种竞争、选拔性的考试。作为我国高中教学的唯一评价标准,它关系到社会的方方面面。数学是高考的主要考试科目,数学试题又是高考中数学科目的关键,因此高考中的数学试题也是值得注意的方面。
数列在整个高中数学教学内容中,处于数学知识和教学方法的汇合点。与高中的许多知识,如方程、不等式、函数、解析几何、三角函数等,都有着密切的联系。在数列的题目中,这些知识点都能充分运用。因此数列部分在我国高考数学这一科目中占有重要地位。
对2009年全国高考的18份数学理科试卷:全国卷Ⅰ,全国卷Ⅱ,北京卷,湖北卷,陕西卷,四川卷,安徽卷,福建卷,辽宁卷,江苏卷,山东卷,广东卷,浙江卷,天津卷,江西卷,重庆卷,湖南卷,宁夏、海南卷的比较分析,均有数列这部分内容的试题。对其中的考查题型与命题知识点的分析如下。
一、考查题型比较
高考数学考试的题型有三种:选择题、填空题和简答题。其中填空题和选择题都属于提供型试题。选择题与填空题在数学考试中每道题的分值在5分左右,而简答题的分值一般都在10分以上。
所研究的18套2009年高考试卷,都涉及了数列内容的试题。而且其中在11份试卷中,数列部分的内容被列为简答题,在这11份试卷中有7份试卷,除了将数列的题目列为简答题外,也将其知识点放在填空或选择题中考查,数列知识点在卷面上的分值都在12分以上。只有5份试卷对数列知识的评价分值放在5分左右,只将其作为填空题或者选择题。有两份试卷对这部分内容既作为选择题又作为填空题来考查,分值都在10分左右。
通过比较发现,全国卷的两套试题和安徽卷、江苏卷、江西卷、广东卷、重庆卷对数列部分的试题分值都达到了15分以上,考查的内容均为综合性的知识,大多涉及数列通项公式的推导和数列与函数知识点、数列与不等式知识点的结合。而北京卷、陕西卷、福建卷、浙江卷这几套高考试题对数列的试题分值较小,只有5分左右,而且以考查基本知识点为主。
二、考查的知识点
从考查的知识点来说,高考在考查数列部分内容过程中主要有以下几个主要的知识点。
1.等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用,以及它们之间的关系。
如2009年浙江卷填空题第11题。
这道题主要考查了等比数列的通项公式及前n项和公式,以及它们之间的关系。在历年的考试题中,对等差、等比数列的基本概念、性质、通项公式、前n项和,以及通项公式与前n项和之间关系的题目屡见不鲜。不仅在填空选择题,还在简答题中也作为基本题型出现。
2.数列的求和问题,递推数列问题,数列应用问题。
如2009年湖北卷简答题第19题。
这道题主要考查数列的通项公式、等差数列的定义、数列求和、数学归纳法等基础知识和基本技能,考查学生分析问题的能力和推理论证的能力。解决此类问题要熟练数列等差、等比数列的通项公式及前n项和的公式,也要掌握常用的通项公式及前n项和的求法,如错位相减法,拆项法等。这种题目主要是数列知识点的综合运用。
3.数列与其它知识点的综合问题。
如:2009年广东卷第21题是一道考查函数、数列、不等式的综合题目。
这道高考题以数列知识为基础,分别考查了数列的递推关系、数列的通项公式、不等式的放缩等内容,是函数、数列、不等式的综合题目,还能够考查学生的抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力和创新意识。
在对数列这部分高考试题的研究,我们不难发现数列内容命题的多元化。这些题目也反映出了我国高考数学命题的方方面面。
三、总结与反思
1.总结
通过对2009年不同数学试卷中数列部分命题研究,以及对数列试题的异同分析,我们不难得出以下结论。
(1)单纯基础知识点的试题较少,学生能力的考查较多。
在这18份数学高考试卷中,就数列这部分内容来看,单纯考查学生数列的基本概念、性质、通项公式的题目很少,大部分的试题是数列知识的综合运用、学生的归纳推理能力,以及数列知识与其它数学知识的综合运用。
“过去多年的改革基本上是在科目设置上,科目多少上做文章,没有去触动影响高中学生能力和素质的关键――高考的内容,把高考内容作为改革的重点是新一轮高考改革的关键”。[1]而这里所说的高考内容就是高考试题。数列试题的命题现在已经重视考查学生的数学能力及数学思想方法。
(2)高中课程改革对高考数列试题的影响。
高中课程改革与高考改革是当前教育改革的两大热点问题,高考的命题关系到新课程改革的实施与高校人才的选拔。作为高中课程改革的一部分,高考命题也充分反映了高中新课程标准的要求。“数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型”,“学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用他们解决一些实际问题”。[2]
各地的高考卷中,数列这部分的命题表现出了题目新颖,提供了新的信息、新的材料,从不同的角度对数列的知识点进行考查,通过与不等式、方程、函数、解析几何等知识点融合起来,引导学生从不同的角度思考数列的模型。
2.2009年高考试题对2010年高考的启示
2010年普通高校招生全国统一大纲――数学(理)(必修+选修Ⅱ)中对数列这部分的考试要求为:(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。大纲中还强调了数学能力、数学思想方法、数学意识等方面提出了考查要求。从2009年各种数学试卷对数列命题可以看出,2010年的试卷中仍然不会单独地考查单独的数列知识点,仍然会以数列的综合题型或与解析几何、函数、不等式等知识点结合起来。因此,学生学习数列的过程中,应运用数列的思想,通过类比归纳,将数列的通项公式之间的关系和数列与其它数学知识点之间的关系结合起来,真正认识数列的本质。
参考文献:
[1]周远清.实现高考改革的新突破[J].中国高等教育,2000,(19).
数列的知识点总结
数列知识：数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
数列
①用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
数列的一般形式可以写成
a1，a2，a3，…，an，a(n+1)，……
简记为{an}，
项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence)，
项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。
数列的各项都是正数的为正项数列;
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;如：1，2，3，4，5，6，7;
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;如：8，7，6，5，4，3，2，1;
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列;
各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);
各项相等的数列叫做常数列(如：2，2，2，2，2，2，2，2，2)。
通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。
递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
数列中项的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an=f(n)。
如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是a(n)=f(n).
并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如：π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…它没有通项公式。
数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
知识拓展：函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合
三个规定：
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成
对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
初中数学知识点：点的坐标的性质
下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。
点的坐标的性质
建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
对于平面内任意一点C，过点C分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。
一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。
希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。
初中数学知识点：因式分解的一般步骤
关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。
因式分解的一般步骤
如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。
初中数学知识点：因式分解
下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。
因式分解
因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④
因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)
公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
提取公因式步骤：
①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
分解因式注意；
①不准丢字母
②不准丢常数项注意查项数
③双重括号化成单括号
④结果按数单字母单项式多项式顺序排列
⑤相同因式写成幂的形式
【关键词】高考数学;数列;不等式;解题思路
一、高中数学不等式和数列的学习短板
总结高中三年学习心得，笔者认为在数学不等式和数列的学习过程中，常见的学习阻碍主要是以下两方面：
第一，未能充分、全面、系统地理解不等式和数列的数学性质，难以灵活运用、贯通相关公式，正负问题相对明显。造成这一问题的原因，较多是因为在学习过程中没有形成数学思维，没有培养良好的思维习惯，或是数学概念掌握不牢固，在学习数列和不等式时倾向于对概念性的记忆，而忽视了对解题思路、逻辑推理的理解和运用，导致在进行课外练习时，无法做到举一反三。
第二，未能进行深度、有效的课外练习拓展，学习欠缺主动性。通常在课堂上听取老师讲授后，课后未能将课本上关于数列和不等式的知识与课外相关练习进行融合联系，对数列和不等式的相关知识点掌握未进行深度挖掘、探究，仅是依葫芦画瓢，课本上有什么就学什么，缺乏学习积极性，由此很大程度上限制了数学思维和创新能力的发展。
二、打破常规――不等式解题思路
不等式的解法和C明是学习的重点和难点，而解析不等式的基础则是熟知相关概念和不等式的性质。因此，在分析不等式的解析思路过程中，要根据自己数学学习能力的实际情况，针对不等式的难点和重点，灵活采取科学的学习方式予以突破。具体地说，首先要牢固基础，在不等式性质的运用过程中，要注意不等式性质成立的前提;其次，要明确不等式的解答过程，实际就是同解变形的过程，在不等式证明中，如果不等式跟二次函数有关，就可以将不等式转换为二次函数的问题，再通过单调性、判别式等知识证明不等式。例如，在求证“x2+10>6x”一题时，可以采取如下思路：先将不等式变形为“x2-6x+10>0”，这样就将左边完全变成关于“x的二次函数”，再用配方法，即可轻松证明这个二次函数的最小值大于零，推得“（x-3）2+1>0”。笔者认为，采取这样通过二次函数的性质来判断不等式是否成立的方法是十分方便的。除上述外，在不等式的实际应用中还要学会如何抓住关键，如何将实际问题转化为数学模型。因为在高考试题中，经常出现以实际情况为背景、以函数形式来建模型的题目。如题：“有一批成本有a元的货物，如果本月初出售可获利100元，然后将本利都存入银行，已知银行的月利是2%，如果下月初出售，可获利120元，但货物要付5元保管费。”提问：“什么时间出售好？”在解析这类题型时，可以先假设“本月初出售获利为x”，“下月初出售可获利为y”，推知：“x=（100+a）×（1+2%），y=120+a-5;x-y=13-0.02a”。从而可推导出“当a=650时，本月初、下月初出售获利相同;当a>650时，x-y
三、融会贯通――数列解题思路
对于高中数列的学习，笔者认为重点在于全面掌握等差数列和等比数列的求法及其性质，灵活运用求通项公式an以及前n项和Sn，同时，尽可能熟练掌握常见求通项公式的方法，如定义法、构造法、猜想和数学归纳法;以及Sn求法，如叠加法、错位相减法（一个等差数列乘以一个等比数列）、分组求和法（一般是一个等比数列加上一个等差数列）、裂项相消法，等等。
其中，高考试题常见考查方向主要有：
（1）裂项抵消或错位相减求和;
（2）从递推关系构造出等差或等比数列求通项：①分式线性一阶递推的不动点法;②线性常系数多阶递推的特征根法;③其他能通过取倒数等简单代数变形求得的。
（3）已知通项但求和没有解析解的，通过代数变形、不等式性质等放缩出求和的上下限。
（4）已知递推关系但通项没有解析解的，通过代数变形、不等式性质和数学归纳法等给出通项的一些性质。
本文以累加法、累乘法、公式法和待定系数法为例展开分析。
1.累加法
例题：“已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，
a1=1，求数列{an}的通项公式。”
解析：“由an+1=an+2n+1可得an+1-an=2n+1”
即推得出：an=n2
2.累乘法
例题：“已知数列{an}满足a1=1，an=a1
+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），求{an}的通项公式。”
解析：“此类题型的关键在于利用递推公式对数列进行转化，进而推导出an=3×2n-1
×5×n。
3.公式法
例题：“已知数列{an}，满足an+1=2an+3×2n，
a1=2，求数列{an}的通项公式。”
解析：“an+1=2an+3×2n，等式两边同时除以2n+1，则，即
即数列为以为首项，以为公差的等差数列。
故，即数列{an}的通项公式为”。
通过将已知递推公式“an+1=2an+3×2n”转化为“”，再利用等差数列通项公式的解答方法，从而推导出数列“{an}”的通项公式是较常见的解题思路，也是较为简单的一种利用公式法求数列通项公式的解题方法。
4.待定系数法
例题：“数列{an}满足an+1=2an+3n2+4n+5，
a1=1，求数列{an}的通项公式。”
解析：“an+1+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）
则2an+3n2+4n+5+x（n+1）2+y（n+1）+z=2（an+xn2+yn+z）
2an+（3+x）n2+（2x+y+4）n+（x+y+z+5）
=2an+2xn2+2yn+2z
等式两边同时除以2an，则“（3+x）n2+（2x+y+4）n+（x+y+z+5）=2xn2+2yn+2z”
得“an+1+3（n+1）2+10（n+1）+18=2（an+3n2+10n+18）”;
又a1+3×12+10×1+18=1+31=32≠0，则“an+3n2+10n+18≠0”;
而盗{an+3n2+10n+18}是以a1+3×12+10×1
+18=1+31=32为首项，以2为公比的等比数列，所以“an+3n2+10n+18=32×2n-1”，即“an=2n+4-3n2-10n-18”。
除上述外，还有一个重点应给予重视，即对数列放缩的学习。在对这一技巧的学习过程中，笔者采取了分析法进行解析。具体地说，既然是一个等比数列，那么就可直接构造这个等比数列，将“a1”和“q”都设出来。一般来说，“q”就是前面需要放缩的式子中指数下的那个（题目难的话，可能会调整这个q），然后再利用放缩的逆过程，即两个数列中的每一项都有固定的大小关系（如要证A>B，那么对应的a（n）>b（n））;此处会用到很多技巧，比如可能这个式子的前几项不满足，但后面的所有项都成立，那么，便可将前几项单独拿出来说明;最后，再运用综合法来书写解题过程。
总而言之，数列题通常以高考压轴题的形式出现，题目难度不算很大，但在解答过程中要格外注意解析的步骤，认真完成计算和推导过程，牢记公式法，如累加法、累乘法常适用于数列规律较明显的题目;待定系数法则可用于多种数列题目，适应性较强;此外还有迭代法、换元法、数字归纳法等，每种方法都有其解题优势，在实际解答操作时，要针对具体题目与要求，灵活选择最简便易行的方法完成题目解析。
四、总结与反思
综上所述，笔者认为高中数学数列和不等式的学习及相关解题技巧和思路的训练，都是一种基于总结而形成的，并不具备绝对性和完全适应性。对于备战高考的高中生而言，学习的恒重点是在平时不断练习、不断探索的过程中，学会和掌握如何自我总结、分析和整理，如何夯实数学基础，从而形成适合自己学习水平的思维习惯，进而逐渐培养自身从已知条件、隐含条件当中挖掘更多的信息能力，最终实现数学学习能力的拔高。
参考文献：
[1]朱国宏. 探析数列型不等式证明中“放缩法”的妙用[J]. 高中数理化， 2014（5）：12-13.
[2]高国圣. PBL模式下的高中数学微课教学研究――以“不等式与数列求和教学”为例[J]. 中学数学， 2016（7）：4-5.
关键词： 等比数列 快速求和 解法
1.引言
如何在高度紧张的考场环境中提高解题速度和解题准确率是处于高考复习阶段的莘莘学子共同关心的问题。那么，到底如何在考场环境中提高解题速度和解题准确率呢？这除了取决于考生临场发挥和自信心外，更重要的在于考生平时对解题技巧的归纳和掌握程度。下面我就平时数学教学过程中自己的一点关于数列趣味性计算技巧总结如下，供同学们和同行借鉴参考，也希望借此帮助学生在感受数学美的同时舒缓紧张的神经。
等比数列求解
++…+?摇?摇（n=0，1，2，…）?摇?摇（1）
++…+?摇?摇（n=0，1，2，…）?摇?摇（2）
++…+?摇?摇（n=0，1，2，…）?摇?摇（3）
……?摇?摇?摇?摇?摇?摇……
++…+?摇?摇（n=0，1，2，…）?摇?摇（k-1）
按照课本上学习的等比数列求解公式：
S=（a：首项；q：公比；n：项数）
该公式看似简单，但随着首项的逐渐增大，其计算难度也逐渐增大，同时也影响了解题的速度与准确率。在教学过程中，我发现该类型的等比数列有两种快速且带趣味性的求解方法。
2.趣味图解法
（1）假定把圆的面积当作1，则式（1）可以理解为：
从图中可以看出，各式分别单位圆减去带圈的数字部分（该部分的数值等于数列的最后一项），即：
1-?摇?摇?摇?摇1-?摇?摇?摇?摇1-?摇?摇?摇?摇1-
由此可得该数列的总和为：
++…+=1-
即总和等于首项（a）的2倍减去末项（a）。
（2）同理，假定把圆的面积当作1，则式（2）可以理解为：
+?摇?摇?摇++?摇?摇?摇+++?摇?摇?摇 ++++
从图中可以看出，各式分别以虚线处减去带圈的数字部分（该部分的数值等于数列的最后一项），即：
-?摇?摇?摇?摇-?摇?摇?摇?摇-?摇?摇?摇?摇-
由此可得该数列的总和为：
++…+=-
即总和等于首项（a）的2倍减去末项（a）。
（3）同理，假定把圆的面积当作1，则式（2）可以理解为：
+?摇?摇?摇++?摇?摇?摇+++?摇?摇?摇++++
从图中可以看出，各式分别以虚线处减去带圈的数字部分（该部分的数值等于数列的最后一项），即：
-?摇?摇?摇?摇-?摇?摇?摇?摇-?摇?摇?摇?摇-
由此可得该数列的总和为：
++…+=-
即总和等于首项（a）的2倍减去末项（a）。
3.逆向求解法
由于该类型的数列公比是，因此数列当中后一项的2倍等于前一项。因此，如果数列本身再加上其末项，该数列即可转化为：
（1）如果k=2时，数列=-
（2）如果k=3时，数列=-
（3）如果k=4时，数列=-
计算结果与上述图解法相等，即此方法亦可行。
4.数列极限
从该数列的上述图解法和逆向求解法可知，
即该数列极限等于首项的2倍。
5.结语
1.求通项公式问题
1.1 已知数列的前n项和表达式，求数列的通项公式。
（例2009年安徽卷）已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，求这个数列的通项公式。
方法解析：由Sn=2n2+2n得，
当n≥2时，有Sn-1=2(n-1)2+2(n-1)
an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-［2(n-1)2+2(n-1)］=4n,n∈N*。
说明：解答这类问题的关键，是充分利用前n项和表达式这一条件，再根据an=Sn-Sn-1这一相等关系即可解决。
1.2 给出已知数列的递推公式，求数列的通项公式。
如果一个数列的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就称这个数列的递推公式。利用数列的递推公式求数列的通项，是历年高考数学的一个热点。解决这类问题的主要方法有累加法、累乘法、分离常数化归为等差数列和分项整理化归为等比数列等。
例1:已知数列{an}满足a1=2，aa+1=an+2n，求这个数列的通项公式。
方法解析：由an+1=an+2n得，
an+1-an=2n，据此可写出如下等式：
a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23……an-an-1=2n-1
将上述等式两边分别相加得，
an-a1=2+22+23+……2n-1=2（1-2n-1）1-2=2n-2
an=a1+2n-2=2n。
说明：此题的解法就是利用了累加法，通过累加，使等式中的一些项抵消，巧妙地得出通项公式。
例2:已知数列{an}是首项为1的正项数列，且an+1=nn+1an，求这个数列的通项公式。
方法解析：由an+1=nn+1an得，
an+1an=nn+1，据此可写出如下等式：
a2a1=12，a3a2，a4a3=34……anan-1=n-1n
将上述等式两边分别相乘得，
a2a1•a3a2•a4a3……anan-1=12•
23•34……n-1n
ana1=1n
即an=1n。
说明：此题的解法就是利用了累乘法，通过对许多等式的累乘，约去大量的因式，从而简化计算过程，求出通项公式。
例3：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求这个数列的通项公式。
方法解析：由an+1=2an+1得，
an+1+1=2(an+1)
a1+1=2≠0
an+1+1an+1=2。
上式说明数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列
an+1=2×2n-1
即an=2n-1。
说明：此题的解法就是利用了化归的数学思想方法。通过对递推公式分项整理，将所给问题化归为等比数列问题，从而使问题迎刃而解。同时也总结出一个结论：对于“an+1=xan+y(x≠0,x≠1,y≠0)”型数列递推式，可以化归为等比数列：an+1+λ=x(an+λ)，其中λ=yx-1。
2.求前n项和问题
在高考中，由于所给的数列问题往往千变万化，可能既不是等差也不是等比数列，这就需要我们学会随机巧变，灵活转化，最终将所给的问题转化成等差或等比数列的问题来解决；或应用其他手段，化变量为常量，以多化少，以繁化简，以解决问题为目的。
2.1 倒序相加法。
例：求1+2+3+……+100的和。
方法解析：设S100是所求的和，则
S100=1+2+3+……+100
另一方面又有，
S100=100+99+98+……+1
将上述两个等式的两边分别相加得，
2S100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（100+1）
=100×100
S100=101×1002=5050
说明：采用倒序相加的目的，是将多个变量化成一个常量，从而有效地减少了变量的个数，使复杂问题简单化。
2.2 错位相减法。
以课本教材为例。求首项为a1，公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和Sn。
方法解析：设Sn为等比数列的前n项和
Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1 ①
将上述等式的两端分别都乘以q得
qSn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1②
②-①得，qSn-Sn=a1qn-a1
q≠1
Sn=a1(1-qn)1-q。
说明：上述解法就是利用的错位相减法，通过错位相减，使等式中一些共同的项消去。运用错位相减法求和的关键特征是等式中存在大量的相同的项。
2.3 分组转化法。
例：已知在数列{an}中，an=n+2n，求这个数列的前n项和Sn。
方法解析：Sn=a1+a2+a3+……+an
=（1+2）+（2+22）+（3+23）+……（n+2n）
=(1+2+3+……+n)+(2+23+23+……+2n)
=n(n+1)2+2(1-2n)1-2
=n2+n2+2n+1-2
说明：分组转化法，就是把数列的每一项分成多项，再经过重新组合，使其转化为熟知的等差或等比数列求和。一个数列能否利用分组转化法求和，是由通项的结构特征所解决的。
2.4 裂项抵消法。
例:已知在数列{an}中，an=1n2+n，求这个数列的前n项和Sn。
方法解析：由an=1n2+n得，
an=1n(n+1)=1n-1n+1
Sn=a1+a2+a3+……+an
=(1-12)+(12-13)+(13-14)+……+(1n-1n+1)
=1-1n+1
=nn+1
说明：若一个数列的每一项都可以表示为两项之差，且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间的一些项就可以互相抵消，这种数列求和的方法就称为裂项抵消法。
3.证明一个数列是等差或等比数列问题
关于等差或等比数列的证明问题，多出现在解答题的第一问，一般难度不太大，只要利用等差或等比数列的定义即可解决。
（例2009年陕西卷）已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*，令bn=an+1-an，证明数列{bn}是等比数列。
方法解析：an+2=an+an+12
an+2-an+1=-12（an+1-an）
由bn=an+1-an得，
bn+1=an+2-an+1
bn+1=-12(an+1-an)=-12bn
又b1=a2-a1=2-1=1≠0
bn+1bn=-12
上式说明数列{bn}是首项为1公比为-12的等比数列。
说明：要证明一个数列是等差或等比数列，一般应用定义进行严格论证，即证明an+1-an或an+1an为常数；要证一个数列不是等差或等比数列，只要举一反例说明即可。
【关键词】数学考试 难题 技巧
高中学生在学习数学的过程中，普遍存在一个问题，平时听老师讲课，听得懂，所学的知识点也掌握，但是在紧张的考试中，一但遇到有一定难度的数学题目，往往就无从下手，找不到突破口，不知如何是好？这是学生普遍存在的问题。这时，我们将如何思考、运用所学知识解决实际问题，让难题变得容易呢？这就牵涉到难题解题技巧，使得在竞争激烈的高考考试中，在有限的时间内快速、正确地解答数学难题，考出好成绩，实现自己远大理想和目标。以下是我在教学中总结出的一些方法和技巧，仅供同行参考。
首先，要慢读题。读题时要把题中的每个字母表示的含义都要弄清，每一个已知条件所牵涉到的知识点要掌握。一边读一边审。
其次，要从题目中条件的结构，形式去选择解题方法。
第三，代数法，几何法，同时兼并，即“数形结合”，达到快速解题的功效。
例如【1】；定义在R上的奇函数Y= f（x），
满足不等式>0，，
若当时，
首先；要慢读题，认清题中的字母，，代表自变量，，，表示函数的值。其次，想到的是解不等式 >0，
即；>0，
从而总结出自变量，，与函数值，，满足的是单调性的关系，即；y=f（x）在R上为增函数。第三，题中的已知条件，y=f（x）为奇函数，得到f（x）=―，其中时，，这个条件不要放过。即；
，
且，
在解这个不等式中，利用几何知识（线性规划）问题，解二元二次不等式，在分别以为横轴，为纵轴建立坐标系，则不等式表示的平面区域为一个圆心在原点，半径为1的一个半圆，分别在一，四象限。
所解决的问题为的取值范围是什么？
其实就是直角坐标系中，点p与A，两点的距离，且点p在半圆内。根据“数形结合”思想，点，点。则AB的距离最大为2.AO的距离最小为1，
从而；。解题过程如下；
解；
y=f（x）在R上为增函数。且f（x）=―，
且
例如【2】；已知函数
（I）当时，讨论f（x）的单调性；
（II）若时，恒成立，求的取值范围。
（I）首先；慢读题，考虑解析式中的代表的是函数的自变量，可取那些数，即函数的定义域，表示自然对数，底数为，
其次，开始看第一小题的条件，，则定义域确定；
根据求导公式可得；，
通过解不等式得到单调区间，即；
函数在，为减函数，在
为增函数。
（II）由特殊到一般，分两种情况进行；
（i）若时，，故
，，函数在为增函数。故，而题目要求恒成立。所以，。
（ii）若时，，
①当时，，时，。所以，在为减函数，即 .
恒成立。
②当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，则在上存在，使，故不合题意.
③当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则在上存在，使，故不合题意.
综上所得，。
例如【3】；设数列的前n项和为，数列的前n项和为， 满足，（n）
求；的值。
（2）求数列的通项公式。
首先，慢读题，认清题中的字母，，，n，表示什么？
即； 。
。
其次，看到 已知条件，
这一个等式，就可以写出无数个等式，即；
， ，，。。。。
第三，题中的条件， 不要忘记。从而n可取1，2，3，，，，，。解题过程如下；
解；（1）由
，
（2）由数列公式；
【关键词】高中数学 数列
本章在历年高考中占有较大的比重，至少占8%，考题类型既有选择题，也有填空题和解答题，既有容易题，也有中档题，更有难题。而从这几年高考题的命题模式来看，客观题主要是考察和其他知识点的交汇，主观题对数列的考察较为全面，考察数列的概念、性质、公式、求和的应用。除09年理科解答题考察了和不等式及数学归纳法的结合外，最近几年的数列解答题在高考中主要作为中档题出现，对知识的交汇的考察主要集中在与函数、不等式以及数学归纳法的联系上。本文从近几年山东高考对数列的考查情况进行分析。
1.数列考点（山东卷）统计分析
年号题号所占分值重点考察的知识点及知识点交汇情况所占比例
有以上两个表格分析的近五年试题的分布来看，等差、等比数列作为最基本的数列模型，依然是高考重点考察的对象，利用Sn与an的关系以及递推公式求数列通项，以及数列求和问题也是近几年高考命题的热点。由于2009年考试说明把放缩法、反证法、数学归纳法加入考试要求，在09年高考中就考了数学归纳证明、放缩法，从而加大数列题难度，从最近五年的高考出题情况，虽然从2009年考纲加大难度，到2010年的中规中矩，再到2011年的新鲜题干，最后到2012年的等差数列中巧妙嵌入等比数列，我觉得数列的考察题目对知识难度要求总体有下降的趋势，我认为这与山东高考将取消文理分科，进一步降低难度的大趋势有关。
2.本单元考纲要求及复习策略
2.1 考纲要求
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。
了解数列是自变量为正整数的一次函数。
了解等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系。
（2）理解等差数列，等比数列的概念；
掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式；
掌握由数列前n项求通项的公式；
掌握由递推公式求通项的基本方法；
掌握裂项求和以及错位相减求和。
（3）能在具体的问题情境中，识别数列的等差、等比关系，并能综合运用有关知识解决问题。
2.2 复习策略
（1）首先要认真研读大纲、考纲，认真分析高考的出题动向，才能做到对这一部分出题动向的深入把握，这样才能做到复习中更有针对性。
（2）曾听到一位命题专家说过这样一句话：“高考题来源于课本，高于课本”。由于这几年山东高考大趋势是更加注重基础，降低难度。所以，复习过程中要切实做到“降低起点，以课本为主”，以知识模块为主线开展复习，不能脱离课本仅凭某本参考资料复习。其实，往往很多高考题都是课本习题或例题的再加工或者就是原型。尤其是课本中思考、探究更应引起我们的重视。如：（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
这是我们课本数列第一节的引入实例，如果我们在教学过程中能够给予重视、讲解，那这个题学生做起来就很容易了。所以高考中很多题目都可以在课本中找到原型。
（3）教学过程中我们坚持用“题组法”进行数学总复习教学，取得了较好的复习效果。用题组法组织数学复习，可以更好的突出重点，有梯度的攻克难点。用“题组法”组织数学复习课一般由四组题目构成：再现型题组，巩固型题组，提高型题组，反馈型题组。
具体是：①再现性题组，前一天已经做过，老师已经批阅过，上课是先用 3到5分钟时间，让学生习惯性的展开小组讨论，然后，遗留问题就少得多了，老师精讲相关内容、用时也较少。 ②巩固型题组，组内派代表板演，不但让小组间展开积极竞争，也能更好地检测再现性题组的讨论效果，板演结束后，由其它组的成员点评，提出多种不同的解决方案，老师在此基础上再精析，将知识、方法升华。③提高型题组，小组内简单交流，稍作思考，然后有老师引导学生共同解决问题。④反馈型题组，完全的交给学生，小组内完成，基础好的同学，一般是组长可以利用自习、课间时间负责组织组内讲解，这样，班级学习氛围更浓了，第二天的课上轻松多了。相信经过同学们的充分参与，我们的课堂真正成为学生的课堂，老师只是“导演”！
（4）在每次选编题组时，要求出题教师要围绕有利于复习基础知识，巩固基本方法，揭示某些解题规律来选题、编题，每个题组中的题目及各题组之间要由易到难，并紧紧围绕课时复习目标，使基础知识、基本技能、基本方法、基本思想、解题规律重复出现，螺旋式递进。这符合学生的认识规律，有助于学生记忆、理解知识、方法、思想，加速从模仿到灵活运用的进程，能深深印入学生的脑海中。同时题目的选编，要以考纲为纲，以教本为本，应具有基础性、典型性、启智性等。
（5）在复习过程中，要注意重视抓书写规范训练，突出提高解题准确与速度，以及对公式的准确记忆。计算能力是高考四大能力要求之一，也是学生的薄弱环节之一。
3.高考试题典例分析
3.1 考察等差、等比数列的概念和简单性质
（2010山东理数）
（9）设{an}是等比数列，则“a1
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件、
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若已知a11，且a1>0，所以数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列，则公比q>1且a1>0，所以a1
【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。
3.2 用定义法求数列的通项，以an，-1n为基础构造新数列，分类讨论，分组求和
2011年（山东文、理20）
等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
评析：文理（ 20 ）题均为数列题，情景一致。该题以列表的形式简洁明了地给出了等比数列的前三项，极易让考生把握，巧妙地穿了分类整合的思想。该种情景具有科学依据，因为数列是特殊的函数，函数可以借助解析法、列表法、图象法来表示。此外，从该情景中还可以感觉到行列式的魅力。所以该题目情景的设置极具创新精神，又不失科学依据，具有极深的数学底蕴，充分体现了数学语言文化的魅力。在第二问中，均在通项的基础上求和，但在求和的方法、计算量的大小和难易的程度，都充分考虑到文理考生的实际状况，体现了对广大考生的人文关怀。
3.3 对数列知识的综合考察
（08年山东理19题）
将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
评析：本题以数列知识为背景，综合考察不等式的证明方法，如数学归纳法，放缩法且步步递进，环环相扣，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.
4.5 以等差数列为背景嵌入等比数列，对等差（比）数列之定义，通项以及求和的全面考察
（2012年文20） （本小题满分12分）
已知等差数列{an}的前5项和为105，且a20=2a5.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.
解析：（I）由已知得：5a1+10d=105，a1+9d=2（a1+4d），
4.2013年高考预测
从近五年高考题目来看，除零九年理科数列题结合数学归纳法和不等式难度有点增加外， 08、10年数列高考题的出题方向难度降低、更加注重基础方向发展。2011年、2012年均是作为20题出现，文理两科的出题意境也极为类似，而且全面考察等差数列、等比数列定义，通项公式以及求和等基础知识。这就要求我们以后教学过程中仍要坚持重视基础，无论难度降低还是提高，都能做到“以不变应万变”。
1.客观题以考察等差、等比数列的概念、简单性质和基本量运算为主。
2.解答题主要考查数列的综合应用为主，这里常涉及到的知识方法有：
（1）基本量思想，对等差或等比数列，列方程求首项和公差或公比。
（2）利用Sn与an的关系，求通项或实现Sn与an的转化，我认为Sn与an的关系公式，不仅仅是求通项，而是在题目中实现了Sn与an相互转化的一条通道。
（3）已知递推公式求通项公式，这里重点考察的是构造法。
【关键词】高考数学；数列复习；思想方法；有效策略
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。近几年来，主要有以下三个方面的命题：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其他知识的交汇结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。那么对于高三课堂，如何才能在不增加学生负担的前提下，更有效地复习好数列呢？
一、紧扣课本，夯实基础知识
对于一名高三教师，应该认真学习研究《新课程标准》与《考试说明》，明确数列的考查要求，突出两种基本数列（等差、等比数列）的复习，从历年数列考题可以看出，多数问题解决最终均化归为等差或等比数列求解。在复习中，我们教师要注意难度的把握，等差、等比数列的基本量计算是个常考点，常涉及“知三求二”题型，对于该题型的训练我们要强化，使学生熟练掌握，又要适度，不要人为做那些太难、太繁题目，这样不仅增加学习负担，而且还淡化了数学本质；同时还应适当关注等差、等比数列的性质在化简运算方面的作用；等差、等比数列的判定（定义法，中项公式法等）以及数列求和也是高考的另外两个常考点，我们应通过适当的练习训练来加深学生对数列求和方法（公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等）的正确运用，并注意引导学生关注易漏、易错、易混点，培养学生的认真、严谨的思维品质，避免不必要的失分。例如，（2012高考重庆理1）在等差数列{an}中，a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（ ），本题可采用基本量法，也可利用数列的相关性质解决问题。
二、把握基本思想，提高解题能力
数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式等有着密切的练习，在数列综合问题中涉及很多数学思想方法，如函数思想、方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想、递推思想与数学归纳思想等。在复习中若能灵活应用这些数学思想方法，将会取得事半功倍的效果。
（1）函数思想。数列是一种特殊的函数，等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，而等比数列的通项公式，则要弄清它与指数函数之间的关系，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。例如，设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13
（2）方程思想。数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量a1，n，d（q），an，sn，“知三求二”是一类最基本的运算，根据题设条件，结合数列通项公式和求和公式构建方程或方程组求解，方程思想贯穿于数列学习和解题的始终。例如，已知等差数列{an}的公差是正数a3a7=-12，a4+a6=-4，求前n项的和sn。此题利用了a3+a7=a4+a6这一性质构造了二次方程巧妙的解出了a3=-6，a7=2，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与an+am=ap+aq（或an・am=ap・aq）找出解题的捷径。
（3）分类讨论思想。数列中渗透分类讨论的思想。在运用等比数列求和公式时，若公比q没有明确给出，需要分q=1和q≠1讨论；在数列求和中有时需要进行奇偶分析讨论；有些数列的通项公式是分段表示，解题过程需要讨论；在数列解题中有时根据过程需要进行讨论。
（4）递推思想与数学归纳思想。递推是数列的本质性的内涵，是数列的一大特色。数列中涉及n，an，sn之间的关系问题，常采用递推思想来解决，其中主要使用公式法、累加法、累乘法、迭代法、构造法、数学归纳法等思想方法。例如，设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a-na+an+1・an=0（n=1，2，3…），求通项an。对于此题，通过化简已知等式，得到（n+1）an+1-nan=0，然后利用累乘法或累加法都可以解决问题，对于一些有些不易直接化成等差或等比的数列，经推理可以寻求特殊关系的，可以把它转化为可求通项的特殊数列再求解。
三、关注交汇内容，做好融会贯通
数列除了考查本身知识内容，还常与程序框图、对数、三角结合、一般函数、不等式等知识相结合进行交汇考查。
例如，在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n≥1
①求数列{an}的通项公式；②设bn=tanan・tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn。
关键词：命题创新；应对策略；明年高考创新预测
由于综合高中的生源特点（基础知识较薄弱，综合能力较差），所以每年综合高中数学高考试卷一方面要控制难度，以基本题和常规题为主，另一方面为了保证高考试卷的新颖度和区分度，每年的高考题中都有1-2道创新题，让基本功扎实，能力强的学生能脱颖而出，达到选拔人才的效果。结合综合高中的教材和学生的特点，综合高考创新题的特征是小而活，新而不难，立意巧妙。认真研究创新题的特点，可以揣摩命题教师的创新思路，深刻领会“能力立意”的命题指导思想，准确把握《考试大纲》的要求，以提高高三复习的针对性和有效性。
知识综合，推陈出新
【例1】（江苏省2009年对口高考第20题）设数列a■的前n项和为Sn，对一切n∈N+，点（n，■）均在函数f（x）=3x+2 的图象上。
（1）求a■，a■及数列a■的通项公式；
（2）解不等式f（n）？叟Sn-22。
点评：例1是数列与函数，不等式进行综合，在解题时要注意变量n的取值范围。
【例2】（江苏省2010年对口高考第20题）已知？琢为锐角，且点（cos？琢，sin？琢）在曲线6x2+y2=5上。
（1）求cos2？琢的值
（2）求tan（2？琢-■）的值
点评：例2是三角函数与解析几何的综合题，属于浅层次的综合，改变了题目条件的给出方式，其实质仍然是三角函数题。
【应对策略】：
在知识的交汇点处出题，加强学生对不同章节间知识的综合运用能力是高考中常见的考法，可以考查学生熟练运用所学知识进行融会贯通的能力。数列、三角函数作为特殊的函数常与函数、不等式进行综合，向量作为工具常与三角函数，解析几何进行综合等。这就要求学生在平时的学习过程中加强双基训练，熟练掌握所学知识，并培养出解决综合题的能力。
风水轮流转，知识轮流考
【例3】（江苏省2013年对口高考第25题）设双曲线■-■=1的焦点分别为F1，F2，离心率为2。
（1）求双曲线的标准方程及渐近线l1，l2的方程；
（2）若A，B分别是l1，l2上的动点，且2AB=5F1F2。求线段AB中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
点评：上次考查解析几何的轨迹问题，是在2005年的高考卷上。但后来，从2005年到2012年却一直未考查，这种长期未考查的知识点很容易被许多老师淡化。所以，今年再次考查这个知识点，可以说是给了所有老师一个足够的警示。
【例4】（江苏省2010年对口高考第21题）已知数列a■满足
a■=2，a■=a■+2n，n∈N+
（1）求证：a■是a■，a■的等比中项；
（2）求数列a■的通项公式。
点评：数列中迭加法求通项公式，在以前单招考试中一直没出现过，但在2010年的对口单招考试中却出现了。这表明，即使以前未考的知识点，未必以后不会考， 所以广大师生在复习过程中，千万不能忽视那些书本上要求掌握的，却一直没考过的知识点。
【应对策略】：
首先：一轮复习时要有足够的广度，不能因为某个知识点近几年没考，就淡化对其复习，如利用迭加法求数列的通项公式，在高考中一直没有考过，但在2010年高考解答中题进行了考查；其次：在三轮复习中要进行针对性的练习，知识面上不容许出现盲点，研究每一章中有哪些知识点，最近5年考查了哪些知识点，还有哪些未考查的知识点要进行扫盲，进行针对性的复习，提高复习的全面性，避免高考中因为复习的问题导致班级整体性的丢分。
二次加工，源于课本
【例5】（江苏省2012年对口高考第19题）设关于x的不等式x-a
点评：我们平时复多接触的是给出不等式，求不等式的解集，而此题将条件和结论进行了调换，给出了绝对值不等式的解集，求其中待定系数a，b的值，给人耳目一新的感觉。另外此题其实是从书本上已知一元二次不等式的解集，求a，b的值的题目迁移而来。
【例6】（江苏省2012年对口高考第12题）若过点A（3，0）的直线l与圆C：（x+1）2+y2=1有公共点，则直线 斜率的取值范围为（ ）
A.（-■，■）
B.-■，■
C.（-■，■）
D.（-■，■）
点评：关于上述考题，还有个小故事。在高考的前一天晚上，班级中部分学生围在一起，我对他们进行答疑，这时其中一个学生问到练习卷上的这样一道题目：若直线l：y=x+b与圆C：x2+y2=1有公共点，求b的取值范围。当时我给学生讲解之后，想到高考考同类型的题目可能性不大，于是将题目进行适当改动，将直线y=x+b改成了过P（0，2）的直线，其它条件不变。从这个故事可以看出，高考题其实是从书本上练次加工得到。
【应对策略】：
从上述两个例题可以看出，高考考题其实来源于书本和平时的练习，并对此进行适当的加工，所以我们在平时的复习中，要加强变式训练（条件结论互换，题目迁徙，动静结合），可以起到事半功倍的效果。
背景新颖，考题公平
【例7】（江苏省2010年对口高考第11题）为赢得2010年上海世博会的制高点，某工艺品厂最近设计、生产了一款工艺品进行试销，得到如下数据表：
根据该数据表，可以推测下列函数模型中能较好反映每天销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间关系的是（ ）
A.y=kx+b B.y=ax+bx+c（a≠0）
C.y=logax+b（a>0且a≠1）
D.y=ax+b（a>0且a≠1）
点评：此题是以上海世博会为背景的一个函数模型题，可利用数形结合的思想予以突破。题型较新颖，很难在复习资料和模拟试题中找到，解答往往没有现成的方法可套，对所有考生公平，并会使一些考生感到难以入手，从而使试卷具有很好的区分度和选拔功能。
【例8】（江苏省2007年对口高考第22题）随着人们生活水平的不断提高，私家车也越来越普及.某人购买了一辆价值15万元的汽车，每年应交保险费、养路费及消耗汽油费合计12000元，汽车的维修费为：第一年3000元，第二年6000元，第三年9000元，依此逐年递增（成等差数列）。若以汽车的年平均费用最低报废最为合算。
（1）求汽车使用年时，年平均费用 （万元）的表达式；
（2）问这种汽车使用多少年报废最为合算？此时，年平均费用为多少？
点评：此题以日常生活中私家车保养费用为背景，贴近生活，与数列，一元二次函数最值，均值不等式最值等知识点进行综合，难度较大，综合性强，具有良好的选拔功能。
【应对策略】：
针对背景新颖的应用题，难度较大，我们在平时的学习过程很难接触到原题，这需要教师平时注意培养学生将实际问题转换成数学问题的能力，并且对应用题进行专题训练，克服对应用题的恐惧心理，提高解题能力和信心。
新教材的实施，为创新提供了更广阔的空间
仔细研读新教材，可以发现新教材中增加了与日常生活联系密切的内容（逻辑代数初步、算法与程序框图、数据表格信息处理、编制计划的原理与方法、线性规划初步等），加强了中职数学的实用性，删除了一些晦涩难懂的内容（如反函数，均值不等式等）。从新考纲来看，试卷从试题结构和知识点两方面进行了创新。
【例9】（来源2014年考纲典型题示例10）已知圆x2+y2=10上有一点A（1，3），过点A的圆的直径的斜率为 ，过点A的圆的切线的斜率为 ，切线方程是 。点B也是圆上的点，那么过点B的圆的切线方程是 。过圆x2+y2=10上任意一点P（x0，y0）的圆的切线方程是 。
如果某城市交通规划中，拟在半径为50m的高架圆形车道侧某处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引伸一条直道接到圆形道中心正北150m处的道路上（如图），建立如图所示坐标系，试写出所引伸直道的方程，并计算出口应开在圆形道何处。
点评：本题将填空题与解答题结合在一起，进行了创新。题中的填空部分为后继问题的解决奠定了基础，降低了题目难度，提高了学生得分。本题背景现实，从方法论的角度看，让学生经历了解决问题的全过程。
【例10】（来源2014年考纲典型题示例11）某饭店烹调“汽锅鸽子汤”的用料规定如下：①鸽子1只，单价14元/只；②水发口菇50克，单价10元/千克；③冬笋、火腿、干贝等原料6元；④调味品0.9元。规定毛利率为55。
（1）你能制作“汽锅鸽子汤”的成本表吗？
（2）“汽锅鸽子汤”的定价应是多少元？（保留到个位）
答案：（1）成本表如下：
（2）21.4（1+55%）=33.17≈33（元）。
点评：
1.本题属于“数据表格、数组” 内容。此类问题与实际生活联系紧密，有较强的应用性。
2.新教材中增加了与日常生活联系密切的一些内容，如逻辑代数初步、算法与程序框图、数据表格信息处理、编制计划的原理与方法、线性规划初步等，一方面加强了利用数学知识解决实际问题的能力，提高了中职数学教材的实用性，另一方面为高考创新命题提供了广阔的空间。
【应对策略】：
关键词：高中数学；课堂教学；有效性
新课程改革要求在实际教学当中，大多数教师只是有了形式上的转变，真正课堂内容的实质转变却无法做到。那么，怎样才能真正做到向素质教育的转变呢？这里有一个衡量的标志，那就是课堂教学的有效性。课堂有效性的不断提高，是新型教育转变成功与否的指标。那么，具体到高中数学学科应该如何提高课堂教学的有效性呢？笔者结合自身教学经验，在此谈谈自己对提高数学课堂教学实效性的粗浅认识。
一、对课堂教学内容和本班学生的了解和分析是提高课堂有效性的前提
数学教师在上课之前，一定要对教学内容进行分析、理解、总结，只有对教学内容做了前期的准备和分析后，才能准确把握课堂教学的目标和任务，才能把课堂有限的时间安排得详略得当。如何使课堂的时间在教学内容上表现出来，首先应该体现在对重难点的突出上。例如，在数列教学时，要让学生明白通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题。数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用。数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究……这样就教给了学生研究问题的方法，取得了良好的效果。
此外，高中数学教师在授课前一定要对本班的学生做一个比较详细的调查分析，要了解他们现在的知识状况、掌握程度，只有这样才能在教学中做到有的放矢，为顺利完成教学目标打下基础。
二、以学生为主体的，互动课堂是提高课堂教学的内驱力
新课程改革要求我们高中数学教师要改变过去以往陈旧的教学方式和方法，要建立以学生为主体的互动课堂模式。教师作为一个宏观的指挥者和课堂设计者的角色出现在学生面前，以学生为主体，师生互动，生生合作，共同完成课堂教学。这样，不仅可以活跃课堂气氛，而且可以激发学生学习数学的兴趣，从而从根本上提高高中数学课堂教学的有效性。教师不必再担心学生的学习成绩，也不会因为课堂教学的单一而烦恼。
三、运动多种信息化教学手段是提高课堂教学有效性的重要
途径
高中数学教学教具比较有限，如果只利用原有的专业教具来授势必比较单调、无趣。我们不妨利用多媒体等各种信息化手段来教学，如，立体几何中的一些几何图形、高中数学中的应用题、重要章节的内容都可以用投影仪或者多媒体课件来进行授课，通过形象丰富的画面来加深学生的印象，从而收到事半功倍的效果。
总之，在高中数学教学中，教师要善于思考，通过多种教学方法不断提高数学课堂教学的有效性。
参考文献：
[1]晁旭伟.提高高中数学课堂教学有效性的实践探索[J].学周刊，2011（29）.
“无聊”的填数问题
网上公布的公务员考试题中有一道找规律填数字问题:
题1 根据规律填空：1， 3， 11， 67， 629,( ).
S老师准备让学生试试看.
生 老师,这类题目我们小学时做得太多了.现在还让我们做不是太无聊了吗?
学生虽这么说,其实还是很感兴趣.但很快由不屑一顾变成束手无策了.这个数列既不是等差数列,也不是等比数列.套路无用武之地了.总体看,数列逐项在增大.但给出的四个选项都比629大.
生 增大的幅度越来越大:3-1=2， 11-3=8， 67-11=56， 629-67=562.不过2351-629=1722也远大于562,后面几个选项与629的差就更大了.并没有看出哪个选项显得特别.
师 除了考察相邻两项的差,还有其他方法吗?
生 能不能看看相邻两项的比呢?
于是粗略地估算知:31=3, 113≈3.67, 6711≈6.09, 62967≈9.39.
师 接下来的一个比值大致可能是多少呢?
生 应该在12附近才行.又2351629≈3.74, 3130629≈4.98, 4783629≈7.60, 7781629≈12.37,选择D.
师 很好.
生 老师,虽然猜到了正确的答案,但并没觉得与学过的等差或等比数列有何联系?
师 你察觉出数列是逐项增大,不是考察了相邻两项的差、相邻两项的商吗?看到3.67， 6.09， 9.39,为什么会猜想下一个数应该在12的附近呢?
生 哦,原来默化潜移地影响了我直观察觉的方法.但这样做让人有点不放心.如果四个选项提供的数值靠得很近,不还是没法选吗?
师 你们认为怎样才是完美的解法呢?
生 应该找出一个通项公式.
师 好,启动你们这些聪明的脑袋,大家一起想想看.
也就是这样的问题:
11, 23, 311, 467, 5629, 6？
学生觉得可从“467, 5629”入手寻找.靠近67的64是43,也就是说67=43+3;同理629=625+4=54+4.
再回头查看，10+0=1， 21+1=3， 32+2=11,皆符合同样关系.所以该数列的一个通项公式为an=nn-1+n-1.当n=6时，65+5=7781,选择D.
师 看来解决数列问题并非都是一环紧扣一环的推理计算,凭借对问题洞察,也能直逼问题的本质.
生 嘻,我们解题套路的版本该升级了.
直觉得来的结果有时我们自己也不敢相信.
被“误解”的好学生
一次作业中有这样一道题:
题2 已知{an}为等差数列, Sn是其前n项和， a1=25, S17=S9,问n为何值时，Sn取得最大值?
批改时,绝大部分同学是按“套路”求解.但发现某同学的本子上仅写了:
解当n=13时，Sn取得最大值.
难道来不及做作业,直接将别人的答案抄在自己的作业本上?课间S老师还是与该生面谈了解具体情况.
生 这个问题我会做,只是没有将想法写出来.
师 你是怎样想的呢?
生 因为Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+a1-d2n.所以当d≠0时,Sn是关于n的二次函数.且常数项为0.故有Sn=an2+bn.考察二次函数f(x)=ax2+bx.
由条件a1=25, S17=S9,知f(1)=25, f(17)=f(9).
因为f(x)的图象为抛物线,且过原点.又f(17)=f(9),所以抛物线关于直线x=17+92=13对称.又因为f(0)
师 想法很好,为什么不写出来呢?
生 这些都是显而易见的东西,写出来太长.但只要想到函数图象,也用不着计算,结果太明显了.
师 确实是很好的想法,由等差数列的前n项和联想到二次函数,用函数工具解决数列问题,很具有代表性.但数学表达也是不可忽视的一个方面.可不能“茶壶中煮饺子,有货到不出”.将你的思考过程好好整理一下,贴在后面的展示栏里好吗?
学生高兴地离开了办公室.
未过几天,该生又来找我.
生 老师,我发现用函数方法解决问题真的很有用.昨天与同学讨论这样一道题:
题3 在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1>0,且a1≠a3， a3=b3.试比较下列各组数的大小.(1)a2与b2;(2)a5与b5.
我这样思考行吗?
数列{an}的各项对应的点(n， an)在直线y=dx+(a1-d)上,数列{bn}对应的点在曲线y=b1qqx上.因为a1=b1， a3=b3.所以A(1， a1)， B(3， a3)是这两个函数图象的交点.当0
由图1可知,当x∈(-∞， 1）∪(3， +∞)时,直线在曲线的下方,当x∈(1， 3)时,直线在曲线的上方.所以a2>b2， a5
师 联想越来越丰富,头脑越学越活,方法很好.如果能注意到q可能为负数就更严谨了.
联想让我们的思维插上的翅膀.
“多余”的点拨
随着对数列学习的不断深入,学生涉猎问题的面越来越广,对解决问题不循规蹈矩早已司空见惯.还不时挑战一些有思考难度的问题.老师自然成了学生的高参.
生 老师,我遇到这样一道题,不知怎么办.
题4 给定数列{xn}， x1=1， xn+1=3xn+13-xn,则x2012
师 等式xn+1=3xn+13-xn也称为数列的递推关系式.递推关系式也是确定数列的一种方式.根据给定的前几项,逐步求出后面的项.
生 这些我都知道.
师 好,那我们就用这一关系来进行计算.由x1=1,可求得x2=2+3,由x2=2+3,求得x3=-2-3,再顺次下去,可求得x4=-1， x5=-2+3， x6=2-3.
生 老师,这些我都会.
师 那为什么还要问我呢?
生 我想找一个好方法,能快速算出x2012,像这样算,即使用计算器,或许到放学也算不完.
师 我这不是也在找方法吗?我也没有再好的方法了,只好先这样吧.老师也计算腻了.下面你来接着算一算吧,可不能算错啊!免得一失足成千古恨.
生 知道了,老师放心是了.
于是学生着手计算.
生 老师,我知道结果了.
师 怎么这么快解决了呢?
生 因为x7=1,也就是说,往下算得到的结果与前面由x1=1算出来的重复了.这不与三角函数的周期性一样吗?所以x13=1， x19=1， …, x6k+1=1 (k∈N),也就是说数列{xn}以6为周期.又因为2012=335×6+2.所以x2012=x2=2+3.我要是再多算一项,就不用来找您了.
师 你把我的功劳都抹杀了.
生 没想到三角函数的知识在数列中也能发挥作用.老师,万一这个数列的周期是一个很大的数,比如是50,那么不就更难发现了吗?有没有什么其他的方法呢?
师 这个问题提得很好,不妨想想看有没有其他的方法.由xn+1=3xn+13-xn能想到什么呢?
生 我想到3=tanπ6.
师 式子xn+1=3xn+13-xn又像是一个怎样的关系式呢?
生 我还想到tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.
师 但差异还很明显.分母应当是“1-×”的形式.
生 只要将分子分母同除以3就行了.也就是xn+1=xn+331-33xn.
师 这下真的很像了.
生 像是tanα+π6=tanα+331-33tanα.设xn=tanαn,则tanαn+1=tanαn+331-33tanαn,所以tanαn+1=tanαn+π6.
则xn+6=tanαn+6=tanαn+5+π6=tanαn+4+2π6=…=tanαn+6π6=tanαn=xn.真地又找到了一种好方法.
师 这一方法你有完全的知识产权.老师不与你争了.
[关键词]高中数学作业设计探究策略
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2016）290013
作业是巩固高中生数学知识学习的重要途径，这一点毋庸置疑.对于高中生而言，他们的学习任务是极为繁重的.在这样的高压学习之下，高中数学教师在作业设计方面也应多下一番工夫，争取可以通过有效的作业设计不断激发高中生完成作业的兴趣.针对高中数学作业的设计，具体可采取如下有效设计策略.
一、自主探究型作业的设计
对于高中生而言，他们的数学作业绝大部分是通过自主探究完成的.因此，高中数学教师在设计自主探究型作业时应进行科学设计，通过科学有效的自主探究型作业设计给高中生在数学学习方面以更多有益启示.
例如，执教《等差数列》一课时，为了让学生对“公差”更加深入地了解，我特地设计了如下作业让学生通过自主探究的方式完成.请找出下面数列的公差，并总结公差的基本性质.（1）19、18、17、16、15……（2）9.8、9.7、9.6、9.5、9.4……（3）1、1、1、1、1、1、1、1……通过自主探究，学生可以轻易发现，第（1）组数列的公差为-1；第（2）组数列的公差为0.1；第（3）组数列的公差为0.由此可以极容易地总结出等差数列的公差可以为正数、负数，也可以为0.这样的自主探究型作业设计省去了数学教师很多的教学时间，可以让学生通过该作业的完成有效掌握等差数列的公差特性.所以说，这样的自主探究型数学作业的设计是极为有效的.
在数学高考试卷中关注更多的是高中生基础数学知识的考察.因此，高中数学教师在设计自主探究型作业时，也应积极遵循这一特点，多为学生设计一些基础型探究作业，从而不断巩固和深化高中生对数学知识的掌握.
二、合作探究型作业的设计
对于部分数学作业而言，单靠高中生个人的能力是很难在短时间内完成的.所以，对这部分学生的数学作业必须要求学生通过合作学习的方式完成.这样的作业我们习惯称其为合作探究型作业.高中数学教师在合作探究型作业设计时也应灵活把握，尽可能让合作探究型作业的设计呈现出更高成效.
例如，执教《等差数列》一课时，我设计了这样一个合作探究型作业让学生完成：假如在数字a与b的中间插入一个数字A，最终使得a、A、b形成一个等差数列.请问，此时的A应该满足什么样的基本条件？由于该合作探究型作业是课堂作业，因此作业布置之后学生便迅速行动起来.通过合作探究，学生一致认为，只有A=a+b2时，方能最终使得a、A、b形成一个等差数列.学生给出答案后，我还要求给出自己的理由.通过这样的合作探究型数学作业的设计，不仅在一定程度上培养了学生的团结合作精神，更有效提升了高中生合作解决数学问题的能力.
合作探究型作业的设计不仅是一门艺术，更是一门学问.高中数学教师在设计合作探究型作业时，应对学生的实际数学学习情况进行科学把握，并在此基础上科学设计合作探究型的数学作业，让合作探究型作业尽可能发挥其成效.
三、网络探讨型作业的设计
21世纪是一个信息化社会，互联网已融入高中生的生活中.为了更好地适应互联网发展的迅猛形势，高中数学教师也应适当设计网络探讨型的数学作业让学生完成.这样的数学作业设计方式对高中生而言往往更具吸引力.
榱吮阌谕络探讨型数学作业的设计实施，我特地在班级内建立了一个微信群.微信群建立之后，我经常会将一些数学作业公布于微信群中，供学生进行探索、讨论.例如，执教《等差数列》一课后，我曾设计了这样两个作业让学生进行探讨：（1）若等差数列的前三项依次是
1m+1，56m，1m
，求m的值.（2）已知等差数列{an}中，a2+a6+a10=1，求a3+a9.作业呈现完毕之后，学生积极参与讨论.为了帮助学生进一步理清解决问题的思路，我也积极参与其中，给予学生有效的启发.通过一段时间的讨论，最终在师生的共同努力下有效解决了上述问题.
在具体的教学实践中，发现高中生对网络讨论型作业的设计尤为感兴趣，从他们积极参与的热情中我充分感受到这一点.因此，我也会积极利用课余时间有效设计网络讨论型作业，不断提高高中生完成数学作业的兴趣.
高中数学作业类型是多种多样的，有游戏型数学作业、调查型数学作业、动手操作型数学作业等.由于篇幅有限，在此不便一一进行论述.希望本文的观点可以对一线高中数学教师在作业设计方面有积极启示，进而通过有效作业的设计不断提升高中生完成数学作业的兴趣，提升高中生的数学素养.
[参考文献]
[1]蔡金发，毛耀南.农村高中学生作业个性化设计与实施策略研究[J].现代教育科学（中学教师）.2014（03）
[2]彭红春，吴仲宏.研究性学习作业个性化设计与实施策略[J].现代教育科学.2013（04）
