时间：2022-06-19 05:47:00
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇集合的含义与表示，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、遗忘空集和本身
例1.满足M?哿{0，1，2}且M?哿{0，2，4}的集合M的个数有()。
(A)1个(B)2个(C)3个 (D)4个
错解：由已知，M?哿{0，2}，用列举法得M为{0}，{2}，{0，2}，故选（C）。
剖析：忽视了M=／，故应选（D）。
点评：在集合部分，空集是一个特殊的集合，其定义为不含任何元素的集合，它的具体表现形式很多，可能是方程（组）无解，也可能是不等式（组）无解，或者为其他完全不存在的集合对象。课本上明确指出了它的很多性质，如（1）／?哿A，其中A为任一集合，当A非空时／?芴A；（2）／I A=／，
次考试，笔者都发现错误率很高。
二、忽视集合中元素的互异性
例5.设A={-1，a}，B={1，|a|}，若A∩B≠／，求实数a的取值范围。
错解：|a|≠-1，由已知A∩B≠／|a|=aa≥0。
剖析：当a=1时，B={1，1}和集合中元素的互异性发生矛盾，所以a的范围应为{a|a≥0且a≠1}，故本题应考虑|a|≠1这一隐藏条件。
剖析：当m=1时，A中有元素1重复，和互异性矛盾，应舍去，m=-1。
剖析：本题C的值出现了增解，因为当C=1时，集合B出现了相同的元素，和互异性矛盾，故应舍去，C=- 。
点评：集合中的元素有三大性质：⑴确定性、⑵互异性、⑶无序性，其中的互异性在解题时最易被忽视，所以在已知两个集合满足某些条件，确定某些字母时要注意将所求得的结果代入检验集合中有无重复元素。
三、不能正确理解集合中元素的形式和真正含义
例7.下列哪个集合不同于另外三个集合（ ）。
错解：笔者发现学生大部分选（A）、（B）或（D）。
剖析：事实上（A）、（B）、（D）都表示集合{1}，而（C）则表示的以“x=1”这个表达式为元素的集合，应选（C）。
分析：上述五小题出错率都很高，应分别选（D），（C），（D），（D），（C），究其原因主要是完全曲解了这些集合中元素的表示形式及真正含义，它们有时表示定义域，有时为值域，有时表示点集，只有认真审题，了解元素的真正含义，才能立于不败之地。
点评：集合有多种表示方法，如列举法，描述法，图示法等。描述法{x|x具有性质p}用得最多，我们称之为代表元素描述法，它被广泛应用于方程（组）、不等式（组）、函数等的表示，学生往往只留意表示方法中竖线右边的内容，而忽视其左边的内容，造成对集合中元素的真正含义模糊不清，解题时屡屡犯错，常见错误有{x＞2}=
四、对“／”、“∈”、“?哿”、“ ?芴 ”、“∩”等符号不能正确识记
点评：本题错误率很高，正确答案为（B），只有关系式②是正确的，“∈”表示集合和元素之间的关系，“?哿”表示集合与集合之间的关系，值得注意的是一个集合可以一个元素的形式出现在另一个集合中，此时它们即为元素和集合之间的关系，如②和③，对⑤来说，（1，1）并非集合{y|y=x -2x+2，x∈R}的元素，另外我们还应注意符号“?芴”不包括相等这种情况，因此①当A=／时出现了问题。
例10.若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有（ ）。
（A）A?哿C （B）C?哿A （C）A≠C （D）A=／
错解：笔者发现学生选（A）、（B）、（C）或（D）均有。
剖析：学生不能正确理解集合中符号“∩，∪，?哿，∈”的含义。方法一：利用定义转化抽象的符号语言，设任意元素x∈A或x∈B，A∪B=B∩C x∈B且x∈C，A?哿C，选（A）。方法二：利用A∪B，B∩C的等价的图形语言转化抽象的符号语言。
五、区间端点取舍模糊不清
（1）若A?芴B，求a的取值范围；
（2）若A∩B=B，求a的取值范围；
（3）若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值。
分析：在考试中发现学生答案较多，如在解（2）时，至少会出现1＜a＜2，1≤a＜2，1＜a≤2，1≤a≤2四种答案，（1）和（3）亦存在类似问题，我们归纳起来发现这些错误的共同特征是区间端点问题。解答这类问题的方法是借助数轴求解，首先要特别注意已知集合是否包括区间的端点，如本题集合B改为B={x| x -（a+1）x+a＜0}其答案又都发生变化，本题正确答案依次为（1）a＞2（2）1≤a≤2（3）a≤1，笔者据多年教学经验认为对区间端点如a=1和a=2代入集合B={1}和B={x|1≤x≤2}，由此易得区间端点是否满足题意。
例12.已知集合A={ x|-2≤x≤4}，B={ x|x＞a}。
（1）若A∩B≠／，求实数a的取值范围；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B≠／，且A∩B≠A，求实数a的取值范围。
分析：本题所揭示问题和上题类似，读者不妨一试，能否得如下答案：（1）a＜4、（2）a＜-2、（3）-2≤a＜4，将本题中集合A改为A={ x|-2＜x＜4}，答案有何变化？集合B改为B={x|x≥a}，答案又如何？
总之，集合的概念在中学数学教学中的地位十分重要，且应用非常广泛，被高考列入必考内容。我们应高度重视，对其概念能够透彻理解，减少考试中的不必要的失分。
一、说教材
集合思想是数学中最基本的思想。从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想了，例如：把1个人、2朵花、3支铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示。又如，学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。但是，学生只是对集合有一定的生活经验和知识基础，但还没有抽象成集合的思想，以前所接触到的也只是单独的一个个集合图，而本节课所要用到的含有重复部分的集合图，学生并没有接触过。
教材例1编排的意图是借助学生熟悉的题材，通过统计表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，而总人数并不是这两个小组的人数之和，从而引发学生的认知冲突。这时，教材利用直观图（即韦恩图）把这两个课外小组的关系直观地表示出来，从而渗透集合的有关思想，帮助学生找到解决问题的办法。当然，针对三年级学生的认知水平，学习这部分内容，思维力度较强，有一定的挑战性。因此教材只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。
基于以上思考，我设定以下教学目标：
知识与技能：经历韦恩图的产生过程，初步体会集合思想，理解“韦恩图”中各部分表示的意义，并能用数学语言表述，会利用集合思想解决简单的实际问题。
过程与方法：在观察、猜测、操作、比较、交流等数学活动中体会集合思想，会借助集合思想解决简单的实际问题，培养学生用不同的方法解决问题的意识。
情感态度与价值观：利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一步树立学数学用数学的意识。
根据学情分析，我确定本节课的教学重点是：理解“韦恩图”中各部分表示的含义，并能用数学语言表述，会利用集合思想解决简单的实际问题。
教学难点是：对重复部分的理解。
评析：数学广角是人教版教材中的一大亮点。教师在教学数学广角“重叠问题”时，善于根据教材和编者意图，着力让学生真正体验和感悟数学思想方法――“集合”，并有具体的活动目标、重点。
二、说教法与学法
本课教学我采取“先学后教，以学定教，顺学而导”的教学策略，让学生充分自学、尝试、探究、交流、展示，让他们在猜一猜、说一说、画一画、算一算等一系列活动来理解重叠的含义，并能用学到的知识解决生活中的问题。
评析：教师在教法、学法上，将数学教学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验上，没有让学习活动单纯模仿与记忆，而是让动手实践、自主探索、合作交流，以生为本，让课堂动态生成。
三、说教学过程
为了更好地突出教学重点，突破教学难点，达到已定教学目标，我设计了以下四个教学环节。
第一环节：创设情境，初步感悟。
“施教之功，贵在引路，妙在开窍。”要开启学生通窍之门，就要让学生先学，然后依据先学中暴露出来的问题实现以学定教。
首先，我根据即将到来的“六一”儿童节创设问题情境出示一份通知，让学生收集了解信息。然后提问：“根据要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？”绝大多数学生会根据以往学习经验认为需要17人。这时，教师反问“一定是17人吗？”引导学生深入思考其他可能性，教师顺势出示参赛名单。随着参赛名单实时呈现，学生的脑海里会跃出一个大大的问号――过去求总数就是直接把各部分的数量加起来的呀，怎么在这里行不通了呢？通过仔细观察，学生会发现之前脱口而出的答案错误了，因为“有重复参加项目的”，从而自然地引出本节课的课题“重叠问题”。
评析：学生是在思维活动中学会思维的。通过学生自学与尝试，暴露的问题是：过去用部分数相加就能求出总数的方法解决不了今天的新问题。问题激起学生强烈认知冲突，研究“重叠问题”变成学生源自内心的学习需求。
第二环节：合作探究，逐步领悟。
本环节中，我大胆放手，适时引导，让学生合作交流，将时间和空间交给学生，让每个学生都参与到活动中来。本环节我设计了以下几个教学活动。
1.提出问题，明确要求
首先我让学生继续观察表格：既参加书法又参加绘画的是哪几人？只参加书法比赛的是哪几人？只参加绘画比赛的是哪几人？引导学生思考：这些信息，可不可以用图表示出来？引导学生进行创造，自主构建韦恩图的雏形。
2.独立探究，自主实践
问题的提出，如一石激起千层浪，激发了学生挑战新问题的欲望，此时，我让学生静静思考，然后再尝试摆一摆。学生自主活动的同时，我深入到学生之中，仔细收集和分析学生的方法，以便后面的教学中能以学定教，顺学而导。
3.合作交流，自主展示
通过学生独立尝试、探究，此时学生对问题的解决有了一定的思考，还可能出现了多种不同的解决问题的策略。特别是对于两项比赛都参加的3名同学，因为名字只有一个，所以在摆的过程中必然会产生矛盾冲突：这几个名字究竟是任意贴在其中一个圈中，还是摆在中间？此时我因势利导，安排了两个层次的交流展示。（1）组内交流。组内四人，通过交流，形成一致的摆法。（2）小组展示。组内交流完成后，请进入全班展示的环节。在小组展示的过程中，建议展示的学生除了展示自己小组的摆法和想法，还要询问其他同学对本组摆法的看法和意见。此时，也要要求其余学生对其展示的摆法做出评价，提出问题。在这样“询问―回应―再询问―再回应”的过程中，教师适时参与其中，生生之间，师生之间，相互启迪，思维的火花得到了碰撞，对韦恩图的认知也逐步走向深入，最终完成韦恩图的创作。此时顺势介绍韦恩图的数学文化，让学生深深感受数学文化，以及隐藏在文化背后的数学思想。
4.再次感知，深化理解
在揭示韦恩图的名称之后，我要求学生用数学化的语言描述韦恩图各部分的含义，在学生描述交流的过程中，教师完善板书：红色的圈表示参加书法比赛的同学，蓝色的圈表示参加绘画比赛的同学，两个圈中间重叠的部分恰好可以表示“既参加了书法比赛又参加了绘画比赛的同学”，左边的月牙形表示“只参加了书法比赛的同学”，右边的月牙形表示“只参加了绘画比赛”的同学。让学生在小组内再互相指一指、说一说，最后通过多媒体课件的光、色等多种信息渠道进一步明确韦恩图各部分的含义。
5.抽象概括，完善认知
在学生明确了韦恩图各部分的含义之后，让学生根据韦恩图列算式解决三（1）班一共有多少人参加了这两项比赛的问题。再在组内和全班交流自己的方法。由于学生思考问题的角度不同，必然会有不同的解决问题的策略。而教师对于学生提出的多种方法，都予以及时的评价和肯定。对于算式中每个数字表示的含义，也让学生讲清讲透，如对于8+9-3=14（人）一一对应板书中的信息和问题，让学生说说为什么减“3”。这样做一方面是让学生感受到韦恩图能很好地帮助理清思路，找到解决问题的方法。另一方面通过学生个性化的解读，使知识到位到每个人，让孩子们感受到解决问题的多样性。
评析：整个新授课环节，教师从学生的自学开始，先尝试后内化，先自主再交流，教师则在学生自学的基础上引导学生展开合作、交流，有针对性地点拨，充分开发学生潜能，充分激发学生的主动性、创造性。
第三环节：反馈应用，实现深悟。
在这个环节中，我安排了以下几个层次的练习。
1.基本练习：动物运动会（出示110页第1题）
第一题是练十四的第一题，本题是在学生有利用集合的思想方法解决简单问题经历的基础上，放手让学生辨析集合图的含义，完成对一些动物的分类并填写。最后我添加了一个问题：“大伙正在为自己报了拿手的项目而高兴时，有一种动物11号（小兔）却在圈外垂头丧气。这是为什么呢？”相信学生能够说出因为它既不会游泳又不会飞。这样顺利把集合图由圈内引向了圈外，将学生的视野拓展开来。
2.综合练习：文具店开业（出示110页第2题）
第二题是练十四的第二题，文具店昨天与今天进的货有重复的，要求学生列式计算两天一共进了多少种货。本题给学生提供再次感知、认识集合的思想方法的机会，加深对相应集合思想方法的体验。解决问题中，放手让学生用自己喜欢的方式，有效落实问题策略多样性的改革理念，提高学生解题的灵活性。
3.拓展练习
在课开始，对于每个班要选多少人参加比赛，很多学生脱口而出的答案是17人，后来通过观察三（1）班参赛名单，发现有人重复了，实际只有14人。现在再回头看这个问题，三（1）班是14人，那其他班级呢？在这里我通过判断小明和小军的结论再次引起学生思考，小组交流得出“每班参赛的同学最多是17人，最少是8人”。这样在课始问题基础上做出纵向和横向的自然延伸，使学生对“重叠问题”的理解更具深度与广度。
评析：练习是学生掌握知识、形成技能和能力、发展智力的重要方法，也是课堂教学的一个重要环节。通过不同层次的练习巩固强化所学知识，拓展学生的思维空间，使不同的学生得到不同的发展。
第四环节：提炼升华，延伸回悟。
这是本节课的最后一个环节，首先让学生自己总结本节课所学内容，谈体会和收获。同时询问“关于韦恩图和重叠问题，你还有新的问题吗？老师更喜欢那些在解决了问题之后还能提出新问题的同学！”这样一方面在最后给学生回忆梳理全课知识的时间，另一方面鼓励学生主动提出新问题。
最后老师再出示以下表格并提问学生：从这份名单中你发现了什么？怎么用韦恩图来表示这三个小组的重叠问题呢？有兴趣的同学可以课后继续研究。这样做是让学生带着问号进入课堂展开学习，又带着问号走出课堂继续学习，让学生感受数学海洋的无穷奥秘。
评析：学生自己总结、提炼，梳理思想，明晰方法。让学生滋生新疑，是学习深入、理解深刻的体现，是继续深化学习、向更多领域拓展学习的动力。
总评：本说课设计立足教材，超越教材，采取大版块、大线条，采用学生自由的学习形式，以学定教，顺学而导。在开放性的课堂里，学生有充分的学习时空，大胆质疑，广泛交流，充分讨论，通过不同的角度、形式获得知识的学习体验，汲取自己最需要的知识，锻炼自己新的思维。学生智慧的生成，让课堂更具蓬勃生命活力。
关键词：数据挖掘；关联规则；Apriori算法；购物篮分析；频繁项集
中图分类号：TP391.4
先从著名的啤酒与尿布的案例说起。美国某零售业企业对过去的历史数据进行分析，意外发现很多购买尿布的顾客会购买啤酒。这样的结论按平常的思维根本不能解释，经过仔细调查，商家发现了潜在的秘密：美国的妈妈们习惯将购买尿布的任务交给下班后的小孩爸爸，其中有一些爸爸在买完尿布之后再去购买自己喜欢的啤酒，啤酒与尿布两个不相关联的事物就这样联系了起来。得到这一结论后，这家企业立即采取行动，将啤酒与尿布放在距离相近的位置，大大提高了销售额。由此，诞生了购物篮分析（Market Basket Analysis）方法，衍生到数据挖掘领域称之为关联规则（Association Rules）。关联规则揭示了事物之间的相互依存性和关联性。关联规则在当今生活中应用十分广泛，如电商根据顾客近期的消费记录向顾客推送相似商品的广告信息，60%购买了牛奶的顾客会购买面包等。
1 关联规则概述
1.1 规则与关联规则
形如“如果…那么…”，通过条件得到结果，就是一项规则。关联规则可以用蕴含式：R：X Y表示，度量一项规则是否够好有两个指标：置信度（Confidence）和支持度（Support）。
1.2 置信度和支持度
置信度：表示一条规则值得信赖的程度。如果A表示条件，B表示结果，则置信度的数学表示为Confidence（A―>B）=P（B|A），其含义是在条件A发生的情况中同时条件B发生的概率。
支持度：表示在总体情况下当前情况发生的概率。如果A、B均表示一种可能发生的情况，则支持度数学表示为Support（A―>B）=P（AB），其含义是A、B同时发生的概率。
1.3 关联规则的相关概念
项目（Item）：集合I={k1，k2，…，kn}中每一个kn（n=1，2，…，n）叫做一个项目。集合I叫做项集（Itemset）。集合中元素个数为k的项集叫做k-项集（k-Itemset）。
交易（Transaction）：集合I的子集构成的集合称为交易，记为T，T I。每一笔交易有自己唯一的编号，即交易号TID。若干交易构成的集合D称为交易集D，交易集D中包含的交易个数记为count（D）。
项集支持度：对于规则X Y，Support（X Y）=count（X∪Y）/count（D），X、Y I，支持度的含义就是含X、Y的交易数与总交易数之比。
项集置信度：Confidence（X Y）=Support（X Y）/Support（X），置信度的含义是包含X、Y的交易与包含X的交易之比。支持度与置信度刻画了用户兴趣程度，一般来说，两者都高表示用户对其兴趣越高。
1.4 最小支持度与频繁项集
关联规则作用的集合必须满足一个最小支持阈值，即存在最小支持度（Minimum Support）。所有项的支持度均大于等于最小支持度的集合，称之为频繁项集（Frequent Itemset）。同样也存在一个最小置信度（Minimum Confidence）。最小支持度与最小置信度用来衡量关联规则的最低可靠程度。
1.5 强关联规则
满足支持度大于等于最小支持度，置信度大于等于最小置信度的关联规则称之为强关联规则（Strong Rules）。反之，称为弱关联规则。
2 Apriori算法的实现
Apriori算法是一种生成关联规则的频繁项集挖掘经典算法，利用该算法，可以找到项之间关系。Apriori算法有两个重要的性质：
（1）频繁项集的子集一定是频繁项集。
（2）非频繁项集的超集一定是非频繁项集。
Apriori算法挖掘的步骤：
（1）扫描数据库，算出初始项集K1各个项的支持度，即1-项集的支持度，通过最小支持度筛选得到1-项集的频繁集，记为Q1。
（2）扫描数据库，通过Q1中项与项之间连接∞得到备选项集K2，K2是2-项集。
（3）通过最小支持度筛选K2得到频繁集Q2，即将K2中不满足最小支持度的项舍去得到Q2。
（4）通过Q2以（2）中的方法计算出K3，通过K3以（3）中的方法计算出Q4，继续扫描数据库，用（2）（3）中方法继续计算更高层次的频繁项集，（2）中使用的的方法叫做连接（Join），（3）中使用的方法叫做剪枝（Prune），重复步骤连接、剪枝，直到不再产生新的项集为止。例：
K1={k1，k2，k3，k4，k5}，最小支持度Supmin=45%，最小置信度Conmin=45%
（1）计算k1各项支持度：sup{k1}=50%，sup{k2}=75%，sup{k3}=75%，sup{k4}=25%，sup{k5}=75%。
sup（k4）
（2）Q1中项与项之间做连接 ：K2={{k1，k2}，{k1，k3}，{k1，k5}，{k2，k3}，{k2，k5}，{k3，k5}}。
（3）计算K2各项支持度，得到sup{k1，k2}
（4）循环（2）（3）中步骤，最终得到频繁项集{k2，k3，k5}。通过{k2，k3，k5}的非空子集和最小置信度即可产生强关联规则。
3 Apriori算法的不足
Apriori算法存在一个很严重的问题是效率低。因为Apriori算法是从1-项集开始逐层计算得到最大项集的，从k-项集通过连接、剪枝到k+1项集需要扫描一次数据库，如果项集中项数越多，则扫描次数越多。比如：项集中含10个项，则要扫描数据库10次，I/O负载特别大。针对它的不足，Jiawei Han等人提出了FP-growth算法，也有人研究出一些改进算法，大大提高了算法的效率。
参考文献：
[1]杨文博.零售业数据挖掘的再认识[J].商业时代，2004（11）：10-11.
[2]刘华婷，郭仁祥，姜浩.关联规则挖掘Apriori算法的研究与改进[J].计算机应用与软件，2009（01）：146-149.
[3]赵洪英，蔡乐才，李先杰.关联规则挖掘的Apriori算法综述[J].四川理工学院学报（自然科学版），2011（01）：66-70.
[4]张红艳，都娟.关联规则中Apriori算法的应用[J].数字技术与应用，2011（08）：14-15.
依据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》和福建省教育厅颁布的《福建省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见（试行）》、《福建省普通高中学生学业基础会考方案（试行）》、《2018年福建省普通高中学生学业基础会考数学学科考试大纲（试行）》，并结合我省普通高中数学学科的教学实际情况进行命题.
二、命题原则
1．导向性原则.面向全体学生，有利于促进学生全面、和谐、健康的发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥基础会考对普通高中数学学科教学的正确导向作用.
2．基础性原则.突出学科基础知识、基本技能，注重学科基本思想和方法，考查初步应用知识分析、解决问题的能力，试题难易适当，不出偏题和怪题.
3．科学性原则.试题设计必须与考试大纲要求相一致，具有较高的信度、效度.试卷结构合理，试题内容科学、严谨，试题文字简洁、规范，试题答案准确、合理.
4．实践性原则.坚持理论联系实际，试题背景应来自学生所能理解的生活现实，符合学生所具有的数学现实和其他学科现实，贴近学生的生活实际，关注数学的应用及其与社会的联系.
5．公平性原则.试题的考查内容、素材选取、试卷形式对每个学生而言要体现公平性，制定合理的评分标准，尊重不同的解答方式和表现形式.
三、考试目标与要求
高中毕业会考数学科考试的主要考查方面包括：中学数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法.
1．知识
知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理.
基本技能包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等.
对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.
（1）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，能按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它.
这一层次所涉及的主要行为动词有了解，知道，识别，模仿等.
（2）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.
这一层次所涉及的主要行为动词有：理解，描述，说明，表达，推测，想像，比较，判别，会求，会解，初步应用等.
（3）掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导、证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决.
这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，选择，决策，运用、解决问题等.
2．能力
能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.
（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.
（2）抽象概括能力：对具体的实例，通过抽象概括，能发现研究对象的本质属性；并从给定的信息材料中，概括出一般性结论，同时能将其用于解决问题或作出新的判断.
（3）推理论证能力：推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.应学会运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.会根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性.
（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求借助计算器对数据进行估计和近似计算.
（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定实际问题.
（6）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.
（7）创新意识：对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.
3．数学思想方法
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中.对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，主要考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、必然与或然思想等.对数学思想方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映学生对数学思想方法的理解和掌握程度.考查时，要从学科整体意义上考虑，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测学生对中学数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度.
4．个性品质
个性品质是指学生个体的情感、态度和价值观.要求学生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义.
四、考试内容
普通高中《数学课程标准》所规定的五个必修模块的学习内容.具体分述如下：
（一）集合
1.集合的含义与表示
了解集合的含义，了解元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述具体问题.
2.集合间的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义；了解全集、子集、空集的含义.
3．集合的基本运算
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解补集的含义，会求给定子集的补集；会用Venn图表达两个简单集合间的关系及运算.
（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）
1.函数
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）；理解函数的单调性、（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义；会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
2．指数函数
理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算及性质；理解指数函数的概念及其单调性，掌握函数图象通过的特殊点，会画底数为2、3、10、 、 的指数函数的图象；知道指数函数是一类重要的函数模型.
3. 对数函数
理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用；理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2、10、 的对数函数的图象；知道对数函数是一类重要的函数模型，知道指数函数 （ > 0,且 ≠1） 与对数函数 （ > 0,且 ≠1）互为反函数.
4. 幂函数
了解幂函数的概念；了解幂函数y= ,y= 2,y= 3, , 的图象的变化情况.
5．函数与方程
了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数；会用二分法求某些方程的近似解.
6.函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
（三）立体几何初步
1.空间几何体
了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,会用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；会用平行投影方法画出简单空间图形的三图视与直观图,了解空间图形的不同表示形式；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
2. 点、直线、平面之间的位置关系
理解空间直线、平面位置关系的定义，会用以下公理和定理进行推理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.
理解以下判定定理，并用以证明一些空间位置关系的简单命题：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.
一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直.
掌握以下性质定理并用以证明一些空间位置关系的简单命题：
一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.
两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
（四）平面解析几何初步
1．直线与方程
掌握确定直线位置的几何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.
2．圆与方程
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；了解用代数方法处理几何问题的思想.
3．空间直角坐标系
了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标刻画点的位置；会求空间两点间的距离.
（五）算法初步
1.算法的含义、程序框图
了解算法的含义，了解算法的思想；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.
2. 基本算法语句
了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
3．算法案例
了解秦九韶算法、辗转相除法、更相减损术等算法案例.
（六）统计
1. 随机抽样
理解随机抽样；会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
2. 用样本估计总体
了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，了解他们各自的特点；理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差（不要求记忆公式）；能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释；会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解样本估计总体的思想；会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.
3. 变量的相关性
会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系；了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）.
（七）概率
1. 事件与概率
了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别；了解两个互斥事件的概率加法公式.
2．古典概型
理解古典概型及概率计算公式；会计算一些随机事件的基本事件数及其发生的概率.
3．随机数与几何概型
了解随机数的意义，了解几何概型的意义，能运用模拟方法估计概率.
（八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）
1．任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制的概念；能进行弧度与角度的互化.
2．三角函数
理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式及 的正弦、余弦的诱导公式；能画出 ， ， 的图象，了解三角函数的周期性；理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、值和最小值、图象与x轴交点等），理解正切函数在（ ）上的单调性；理解同角三角函数的基本关系式： ， ；了解函数 的物理意义，了解函数 中参数A， ， 对函数图象变化的影响；会用三角函数解决一些简单实际问题.
（九）平面向量
1．平面向量的实际背景及基本概念
了解向量的实际背景；理解平面向量概念和两个向量相等的含义；理解向量的几何表示.
2．向量的线性运算
掌握向量加、减法的运算，理解其几何意义；掌握向量数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义.
3．平面向量的基本定理及坐标表示
了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
4．平面向量的数量积
理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；会运用数量积表示两个向量的夹角，会判断两个平面向量的垂直关系.
5．向量的应用
会用向量方法解决一些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
（十）三角恒等变换
1．两角和与差的三角函数公式
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.
（十一）解三角形
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．正弦定理和余弦定理的应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
（十二）数列
1．数列的概念和简单表示法
了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；知道数列是自变量为正整数的特殊函数.
2．等差数列、等比数列
理解等差数列、等比数列的概念；掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；能判断数列的等差或等比关系，并用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题；了解等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系.
（十三）不等式
1．不等关系与一元二次不等式
了解不等式（组）的实际背景，会从实际问题的情境中抽象出不等式模型；了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式.
2．二元一次不等式组与简单线性规划问题
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
3．基本不等式： （ ）
了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的（小）值问题.
五、考试形式
考试采用闭卷笔试的形式，全卷100分，考试时间90分钟.考试不使用计算器．
六、试卷结构
一、会计主体理论评述
对所有者权益性质的认定依赖于人们对会计主体性质的认定。迄今为止，所有者权益并没有一个统一的定义，现有的定义也并没有揭示所有者权益的本质，其根源在于人们对会计主体性质认识的差异。
(一)所有权理论评述所有权理论的基本出发点是“股东是企业的所有者”，“股东拥有企业的所有权”。所有权理论认为，所有者拥有资产和负债，资产是所有者所拥有的权利，而负债是所有者所承担的义务，权利减去负债后的净额便是所有者权益。所有权理论的资产负债表方程式为：资产一负债=所有者权益，其所对应的资产负债表则为报告式。
所有权理论的主要目标就是确定和分析所有者的净财富，也就是所有权的价值。严格的所有权理论进一步认为，负债为“负资产”，“资产一负债”就是企业的净资产，而所有者权益就成为“净资产”。美国财务会计概念公告第6号《财务报表的各种要素》对所有者权益的定义是：“所有者权益或净资产是某一个主体的资产扣除其负债的剩余部分”，这里将所有者权益等同于净资产，可见美国财务会计准则概念公告对所有者权益的定义的依据正是所有权理论。
一般认为，所有权理论只适用于独资和合伙这类不公开募股的公司，并不适用于公众公司。除了股东之外，企业还有许多利益相关者，如债权人、职工、社区居民、政府等，这些利益相关者也拥有对企业的特定权益，企业主体理论正是对这种现实的反映。另外，企业的剩余索取权并不总是归股东所有，在某些特定情况下(如企业经营不善导致资不抵债)企业的所有权将被债权人接收，剩余权益理论正是对这种现实的反映。
所有权理论将负债抽象为“负资产”，实质上将负债的义务属性抽象掉了，负债不再是一个独立的会计要素，而成为特定类别的“资产”；所有者权益的所有权属性也被抽象掉了，而成为“净资产”，成为总资产的一个部分，所有权理论实质上否定了所有权的存在，与其基本的出发点相矛盾。按照所有权理论编制的资产负债表所提供的信息只是有关资产、负资产和净资产的信息，降低了资产负债表的信息含量，这是所有权理论最致命的缺陷。
(二)企业主体理论评述企业主体理论认为应将企业主体与所有者和其他利益相关者分离开来，企业主体是有别于供资者的一个主体，将企业视为具有独立人格的独立主体，这也是被法律和制度认可的事实。企业主体拥有企业的资源，负有向所有者和债权人支付的义务。相应的资产负债表方程式为：资产=权益，或者，资产：负债十所有者权益。在这一等式中，负债和所有者权益被置于相同的地位，都是企业资产的来源，其区别仅在于，债权人的权益不受其他计价项目的影响，而所有者权益则是一种剩余权益，或者说，负债是企业的特定义务，而剩余部分则是归属于所有者的权益。
企业主体理论将“资产”定义为归属于企业主体的权利，“权益”定义为资产的来源，所有者权益则是权益扣除负债后的剩余权益。企业主体理论的缺陷在于对“权益”的定义。毫无疑问，企业的资产主要来源于债权人和所有者，会计实务核算的负债和所有者权益也主要是债权人和所有者向企业投入资源形成的，但企业在生产经营过程中会形成新的资产(主要体现为资产价值的增加)，这也是企业存在的根本目的，这部分资产并不是来源于债权人和所有者的投入，这说明会计实务核算的权益并不全是“资产的来源”。另外，有许多权益项目的形成也并不是“资产的来源”，如，“应计利息”产生的原因不是债权人向企业提供了资金，而是源于企业占用了债权人的资金；“应交税金”产生的原因也不是政府向企业提供了资产，而是企业法定的义务；“留存收益”记录的是企业经营活动导致的所有者权益增加，而不是所有者向企业投人资产。可见，将“权益”定义为资产的来源与会计实务相矛盾。
(三)剩余权益理论评述剩余权益理论是介于所有权理论和企业主体理论之间的一种理论，其目的是为了更好地向普通股股东提供与决策有关的信息。该理论所对应的资产负债表方程式为：资产－特定权益=剩余权益。
特定权益包括债权人权益和优先股东权益。在通常情况下，优先股票既具有债权的性质又有所有者权益的性质。有些优先股票实际上具有到期日和金额，到期时必须用现金偿还。这样的优先股票与一般债权并无不同。特定权益的主要特征是它的数额通常不受资产计价程序的影响，而归属于普通股的权益则受到资产计价程序的影响，即要按上述资产负债表方程式来计算剩余权益。
剩余权益理论兼具所有权理论和企业主体理论缺陷。如果按所有权理论将特定权益定义为“负资产”，则剩余权益也就成为“净资产”，资产负债表也就只能提供有关“资产”的信息。如果按企业主体理论将“特定权益”和“剩余权益”定义为“企业资产来源”，则与会计实务核算的特定权益和所有者权益相矛盾。
(四)基金理论评述基金理论将从事业务活动的单位作为会计核算的对象，这一业务活动单元的利益范围成为基金。该理论所对应的会计等式为：资产=基金。基金可按用途分为基金项目。我国在计划经济时期采用了基金理论，将资产限定为流动资产、固定资产和专项资产，并为之设立了三个相对应的基金，即流动基金、固定基金和专项基金，其根本目的在于控制资产的运用，以达到专款专用。这种做法对国家直接管理企业能发挥一定的作用，但限制了企业成为一个产权清晰、权责明确、政企分开、管理科学、追逐利润的主体。基金理论缺陷在于忽视了企业所有权的存在，也忽视了企业是一个独立的主体，因此，基金理论所建立的会计主体并不适合于企业。
二、资产扣除负债的含义
我国会计准则对资产和负债的定义是：“资产是指企业过去的交易或者事项形成的、由企业拥有或者控制的、预期会给企业带来经济利益的资源；负债是指企业过去的交易或者事项形成的、预期会导致经济利益流出企业的现时义务。”该定义所揭示出的资产的最本质特性是“资源”，负债的最本质特性是“义务”。那么，资产能扣除负债?
(一)两个集合的扣除运算借助两个集合的差来探讨“扣除”的含义。设A和B表示两个任意的集合，从集合A中扣除集合B的元素得到的集合称为A和B的差集，记为A―B。集合A和B之间存在三
种可能的关系，A包含B、A与B不相交、A与B相交，如图1所示。
从图1可知：(1)当A包含B，A扣除B就是将集合B从集合A中扣除，剩余部分为A中没有阴影的部分，是集合A的一个子集。(2)由于A与B不相交，集合A扣除集合B，剩余部分仍然为集合A，或者说从集合A中扣除集合B没有产生任何实质的影响。(3)当A与B相交，集合A扣除集合B就是将两集合相交部分从集合A中扣除，剩余部分为A中没有阴影部分，是集合A的一个子集。由此可以看出，集合A扣除集合B剩余部分一定是集合A的一个子集，当A与B不相交时，集合A扣除集合B还是集合A本身，“扣除”没有产生任何实际影响。
(二)资产与负债的关系用符号A表示企业的资产集合。按照资产的定义，集合A的构成元素为具备特定条件的“资源”，或者说具备“企业过去的交易或者事项形成的”、“由企业拥有或者控制的”、“预期会给企业带来经济利益的”这三个条件的资源构成了集合A。用符号B表示企业的负债集合。按照负债的定义，集合B的构成元素为具备特定条件的“义务”，或者说具备“企业过去的交易或者事项形成的”、“预期会导致经济利益流出企业的”、“现时的”这三个条件的义务构成了集合B。
资源包含自然资源和社会资源两大类，前者如阳光：空气、水、土地、森林、草原、动物、矿藏等，后者包括人力资源、信息资源以及经过劳动创造的各种物质财富。义务的本质属性为人与人之间的社会关系，指政治上、法律上或道义上应尽的责任。因此，资源与义务属于完全不同的范畴，或者说，不存在既是资源又是义务的资源，也不存在既是义务又是资源的义务。进而可知，集合A和集合B的构成元素没有相同的，也即集合A与集合B不相交，因此，集合A扣除集合B剩余部分仍然是集合A，即资产集合扣除负债集合仍然为资产集合，或者说，资产扣除负债没有任何实际意义。
(三)资产扣除负债的特定含义“资产=负债+所有者权益”是复式记账和编制资产负债表的基石，由该等式可以得到“资产－负债=所有者权益”。但资产负债表等式仅仅反映的是等式两边的价值相等，并不表示“资产”与“负债+所有者权益”性质相同。资产负债表等式可以更为准确地表述为“资产的价值=负债的价值+所有者权益的价值”，“资产－负债=所有者权益”则实质上是“资产的价值－负债的价值=所有者权益的价值”。因此，“资产－负债=所有者权益”只能用来计量所有者权益的价值，并不是对所有者权益属性的规定。“资产扣除负债”的特定含义就是资产的价值减去负债的价值，这只是规定了所有者权益的计量方法，并不是对所有者权益的定义。
三、所有者权益定义的改进
企业主体理论将“资产”定义为归属于企业主体的权利，“权益”定义为资产的来源，提出的资产负债表等式为“资产=权益”。本文不赞同企业主体理论对“资产”和“权益”的定义，但接受将“资产=权益”作为资产负债表等式。笔者不赞同所有权理论将“负债”看作是“负资产”，也不赞同将所有者权益定义为“净资产”，但接受所有者权益为“剩余权益”的观点。以此为基础，笔者对所有者权益会计定义进行改进。
一、注意符号的识别与记忆
例1 用适当的方法表示下列集合：（1）方程x2=1的解组成的集合；（2）不等式3x≥4-2x的解集。
错解：（1）｛x|-1，1｝，｛x=-1或x=1｝；（2）｛x≥■｝。
集合语言主要有三种形态，即自然语言、符号语言和图形语言。平时的数学表达更多的是使用符号语言。表示集合的方法，课本上介绍了列举法和描述法。例1两小题的错因是学生把两种表示方法混淆了，同时用描述法和列举法来表示集合。笔者建议在教学中多强调两种表示法的特点和适用条件，多让学生练习体会它们的区别。
例2 用适当的方法表示下列集合：（1）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合；（2）二次函数y=x2-4的函数值组成的集合。
错解：（1）｛1，4｝；（2）｛（x，y）|y=x2-4｝。
高中数学主要涉及的集合有两类：数集和平面点集。例2两小题的错因是学生没有弄清楚集合的元素是什么：（1）表示两个数1和4组成的集合；（2）表示二次函数y=x2-4图象上的点组成的集合，与题目要求不符。列举法表示数集和平面点集的区别在于集合元素是数还是点，或者看看每个元素之间有没有用括号隔开；描述法表示数集和平面点集的区别是竖线前面的元素符号是数还是点。
符号语言是一种高度抽象的人工符号系统，因此它常常成为数学教学的难点。正确理解集合符号语言的前提是对集合符号能正确地识别和记忆。笔者建议广大教师重视数学符号语言的教学，组织学生对一些符号进行辨析、识别和记忆，同时加强训练，加深学生对符号的理解和记忆。
二、注意空集?芰的概念和性质
例3 用正确的符号填空：（1）?芰_________｛0｝；（2）0________?芰；（3）?芰_________｛?芰｝。
错解：（1）=；（2）∈；（3）=。
空集是不含任何元素的集合，记为?芰。例3中（1）（2）两题的错因是学生把空集概念中“没有”元素中的没有和0表示“没有”的意思混淆了；（3）的错因是学生前面接触的集合都要加｛｝，所以误以为所有的集合都要加｛｝。实际上｛?芰｝可以理解为有一个元素是?芰的集合。笔者建议在教学中可以把不用加｛｝就表示集合的符号罗列一下（如：?芰，N，Z，Q，R），方便学生记忆。
例4 已知集合A=｛x|a+1＜x＜2a｝，B=｛x|x＜4｝，若A?哿B，求a取值范围。
错解：A?哿B，2a≤4，a≤2。
空集是一个特殊且重要的集合，所以它有一些独特的性质：1.对任意的集合A，有A∩?芰=?芰；2.对任意的集合A，有A∪?芰=A；3.空集是任何集合A的子集，即?芰?哿A。例4的错因是忽视了空集的第三个性质。所以这题要分A=?芰和A≠?芰两种情况讨论。
三、注意临界点的取舍
例5 已知集合A=｛x|-2＜x≤4｝，B=｛x|x＜a｝，若A?哿B，求实数a取值范围。
■
错解：a≤4。
临界点的讨论一直是含参问题的难点。例5的错因是学生误以为字母a取到等号集合B就含有4这个元素。实际上集合B是否含有4这个元素主要是看x＜a中不等号是否有等号。笔者建议引导学生单独考虑临界点的等号，把取等号时两个集合的情况写出来，对照条件是否满足，再进行最后的取舍。
例6 若全集U=｛x|x≥-3｝，A=｛x|x＞1|｝，则?奁UA=__________。
■
错解：?奁UA=｛x|-3＜x＜1｝。
集合运算中临界点的取舍是考试考查的重点。例6的错因是学生没有理解补集的概念。笔者建议在讲解补集概念时，重点突出补集中元素的两个特点：1.在全集U中；2.不在集合A中。在解题过程中可以运用补集的两个性质：（?奁UA）∩A=?芰和（?奁UA）∪A=U对结果进行检验，这样就知道临界点是否可以取到。
四、注意新定义集合的理解和运算
例7 设集合S=｛0，1，2，3，4，5｝，A是S的子集，当x∈A时，若有x-1?埸A且x+1?埸A，则称x是A的一个“孤立元素”；如果A中含有4个元素，且没有“孤立元素”，则这样的集合有_________。
错解：｛0，1，2，3｝；｛1，2，3，4｝；｛2，3，4，5｝。
例7 的错因是学生没有正确理解“孤立元素”的含义。本题转化为学生容易理解的内容是：不含“孤立元素”是指集合A中每个元素的前一个或后一个数也在A中。而不是指集合A中元素必须全部相邻。
【关键词】集合；子集；特征函数；包含与排除
为了证明本原理的定理，我们事先要做一些引导，我们讨论一个有限或无穷的集合U.U的子集A的特征函数A（x）是U中变元x的函数.根据x属于或不属于A定义
A（x）=1或0.
U的特征函数为常数1（因此U也表示单位数），空集的特征函数是常数0，U的子集A，B，C，…的特征函数分别用A（x），B（x），C（x），…表示，如果不致发生误解的话，也可以把A（x），B（x），C（x），…简写成A，B，C，…即用同样的符号表示U的子集和它的特征函数.
A是B的一个子集的充要条件是对所有x成立A（x）≤B（x）或简写成A≤B.
如果U是一个有限集，那么子集A中元素的个数是∑A（x），其中和式取遍U中所有元素.
定理1 设有N个对象，令Nα，Nβ，…，Nμ，Nλ分别表示这些对象中具有某种性质α，β，…，μ和λ的对象的个数.类似的，令Nαβ，Nαγ，…，Nαβλ，…，Nαβγ…μλ分别表示同时具有性质α和β，α和γ，…，α，β和γ，…，α，β，γ，…，μ和λ的对象的个数.那么不具有性质α，β，γ，…，μ，λ中任一性质的对象个数N0等于
N-Nα-Nβ-Nγ-…-Nμ-Nλ+Nαβ+Nαγ+…+ Nμλ-Nαβλ-…±Nαβγ…μλ.
证明 设A，B，C，…分别为具有性质α，β，γ…的对象所组成的子集，则A，B，C，…的余集的交集表示不具有性质α，β，γ…中的任何一个性质的对象所组成的集合.我们需要找出它所含元素的个数，令N0是它所含元素的个数，N是对象的个数，其他Nα，Nβ，…的含义同定理.由上可得A，B，C，…的余集的交集的特征函数是：
（1-A）（1-B）（1-C）…=1-A-B-C-…+AB+AC+BC+…-ABC-…
所以它的元素个数N0等于
∑[（1-A）（1-B）（1-C）…]= ∑1-∑A-∑B-∑C-…+∑（AB）+∑（AC）+∑（BC）+…-
∑（ABC）-…= N-Nα-Nβ- Nγ-…+Nαβ+Nαγ+ Nβγ-…-Nαβγ-….
即求出所需求元素的个数，定理即证.
定理2 假定有N个对象，像在定理1中那样，它们能够具有性质α，β，…，μ，λ，给每个对象带上一个权数.用Wα表示具有性质α的所有对象所带的权数总值（那些对象所带权数数值的和），用Wβ表示具有性质β的所有对象所带的权数总值等等.类似的，令Wαβ，Wαγ，…，Wαβλ，…，Wαβγ…μλ分别表示同时具有性质α和β，α和γ，…，α，β和γ，…，α，β，γ，…，μ和λ的对象所带权数总值.如果W是所有对象所带的权数总值，那么不具有性质α，β，γ，…，μ，λ中任一性质的那些对象所带的权数总值等于W-Wα-Wβ-Wγ-…-Wμ-Wλ+Wαβ+Wαγ+…+ Wμλ- Wαβλ-…±Wαβγ…μλ.
证明 设A，B，C，…分别为具有性质α，β，γ，…的对象所组成的子集，则不具有性质α，β，γ，…中的任何一个性质的对象所组成的集合是A，B，C，…的余集的交集，则有∑xA是具有性质α的所有对象的权数总值，类似的∑xB表示具有性质β的所有对象的权数总值……我们需要找出A，B，C，…的余集的交集中对象所带的权数总值，由此可得，它的特征函数是：
（1-A）（1-B）（1-C）…=1-A-B-C-…+AB+AC+BC+…-ABC-….
那么，不具有性质α，β，γ，…中任一性质的那些对象所带的权数总值W0等于
a+b+c+…+k+l-min（a，b）-min（a，c）-…-min（k，l）+min（a，b，c）+…±min（a，b，c，…，k，l）.
证 令N=max（a，b，c，…，k，l）.当N=0时，结论显然成立.当N>0时，将数1，2，…，N看作对象，并对它们应用定理1.如果一个数≤a，则称该数具有性质α，若≤b，则称具有性质β，等等，既没有性质α也没有性质β…的对象的个数显然等于0.于是
N-[a+b+c+…+k+l-min（a，b）-min（a，c）-…-min（k，l）+min（a，b，c）+…±min（a，b，c，…，k，l）]=0，即证.
在这里我们从集合的角度，证明了包含与排除原理的两个定理，其中定理2是定理1的推广，而定理1是定理2的特殊情况.并通过例题对所证明的定理进行了应用，在实际的运用过程中通常应用定理2即可.
【参考文献】
[1]刘玉翘，陈汉卿.集合初步知识[M].天津：天津科学技术出版社，1980.
[2]同济大学数学系.高等数学.高等教育出版社，2007.
目前现有的针对烟草营销策略的研究，多采用数据挖掘的思想，基于数据挖掘的营销策略是对终端客户进行分类，根据用户的销量和诚信记录把用户分为多个等级，但这种分级策略只能反应用户的销量信息，把这个分类作为营销策略依据太单薄，只能起一定的辅助作用。更深入地研究是根据客户的资料和历史订单数据对现有商户进行聚类，获取到自主的商户分类，但盲目的聚类会导致商户的分类没有实际意义，或获取的结果是无助于营销目的的。
2技术关键
本系统采用基于营销目的的商户聚类，技术关键包括三部分内容：数据预处理中的特征选择、基于限制目标的商户精确聚类和基于聚类结果的多层关联规则算法的研究。
2.1特征选择
假定获取的数据的维数为n，通常情况下n是很大的一个数，为简化模型，也为了防止模型陷入过拟合（维数灾难），需要进行降维处理，即仅把对项目改造判定起关键作用的因素挑选出来。本系统采用PCA算法来进行降维处理，过程如下：
1)计算标准化后的矩阵Z的样本的协方差矩阵Cov；
2)计算协方差矩阵Cov的本征向量e1,e2,…,en的本征值。本征值按大到小排序；
3)投影数据
到本征矢张成的空间之中，利用贡献分析取前m个向量Y1,Y2,…,Ym。
2.2基于营销目标限制的商户精确聚类算法
现有聚类算法一般没有约束条件，只根据相似度来进行聚类，为了能够体现约束条件，需要在聚类相似度或者样本距离之间把限制条件增加进去，这样在样本聚类的时候即可使得具有相同营销特性的样本或者客户被划分到同一个类中。烟草终端商户的大部分属性是分类属性，例如：地区、类别等，此外还有数字型属性、日期型属性，由于存在不同类型的属性，常规的聚类算法无法使用，为此，采用把数字属性和日期属性划分区间的思路，这样可以转化成分类属性的方式来进行聚类。进而可建立如下商户模型：分类对象X∈Ω，X=[A1=x1]∧[A2=x2]∧…∧[Am=xm]，其中xj∈DOM(Aj)，1≤j≤m，为简便起见，将对象X∈Ω用向量（x1,x2,…,xm）表达，如果属性Aj的值不存在，则Aj=ε。令Χ={X1,X2,…,Xn}为n个分类对象的集合，用集合方式表达分类对象，则Xi={xi,1,xi,2,…,xi,m}，如果属性Aj的值不存在，则集合中不出现xi,j，容易得到|Xi|≤m。如果存在Xi,j=Xk,j，1≤j≤m，则Xi=Xk。为方便聚类，利用聚类汇总来压缩原始数据，从而达到提高算法效率的目的。一个类C可以由如下三元组（n,I,S）来表示。其中n为类C中的对象数量，I={i1,i2,…,iu}是C内所有属性值的集合，S={s1,s2,…,su}，其中sj为ij在类C中的数量，ij∈I，1≤j≤u。集合S按升序排列，即s1≤s2≤…≤su，这同时也暗示集合I的元素按其在C中的数量按升序排列。三元组（n,I,S）被称作类C的聚类汇总CS，CS的三个成员分别记作CS.n、CS.I和CS.S；对于CS.I的任一元素ij∈CS.I，则记作CS.I.ij，对于sj∈CS.S，则记作CS.S.sj，其中1≤j≤u。
2.3基于烟草营销的多层关联规则的研究
针对本项目，对关联规则定义进行扩展，对形如：XY的关联规则，不再限定X和Y为一个项目集，而把X和Y定义为条件的合取范式，每个条件Ai=True/False为布尔表达式。此时的Ai为一个项目集，它的含义与原来的X和Y的含义相同，如果把结果中的条件布尔表达式写成Cj=True/False，则关联规则有如下形式：（A1=True/False）∧（A2=True/False）∧…∧（An=True/False）（C1=True/False）∧（C2=True/False）∧…∧（Cm=True/False）关联规则的开采问题可以分解成以下两个子问题：
①从数据集合或交易集合D中发现所有的频繁项目集。
②从频繁项目集中生成所有置信度不小于用户定义的最小置信度minconf的关联规则。即对任一个频繁项目集F和F的所有非空真子集S，SF，如果sup（F）/sup（F－S）≥minconf，则（F－S）S就是一条有效的关联规则。按上述方法发现所有类似的规则。这两个步骤中第2步要相对容易，因此项目的研究将更关注第1步，由于最大频繁项目集已经隐含了所有频繁项目集，所以可以把发现频繁项目集的问题转化为发现最大频繁项目集的问题。针对烟草营销的客户，进行关联规则挖掘时，是在上一步的基础上，即针对每一个商户群进行规则挖掘。在获取到最大频繁项目集后，顺序生成频繁项目集，然后获取到可用的关联规则。此时获取的关联规则是底层关联规则，然后再采用概念树的方法对获取的底层关联规则进行汇总。概念树由烟草领域专家根据属性的领域知识提供，按特定属性的概念层次从一般到具体排序。树的根结点是用any表示最一般的概念，叶结点是最具体的概念即属性的具体值。
一、思考“本质属性”
对“学什么”这一问题的思考，实际上就是对学生“学习目标（Objective）”的确定过程。如果把学生视为学习的主体，那么这样的学习目标相对于学生来说就具有客观性，是课程编制者或者教师对学生应当“学什么”的期望（Expectation）。对“怎样学”的思考，首先是将学习目标转变为学生应当执行并完成的学习任务（Task），之后是思考学生为完成任务所需要经历的学习活动（Activity）。对“学什么”和“怎样学”这两个问题的思考并不是截然分开的，二者的思考应当是融合在一起，并且都要基于对所学知识点及其认识过程本质属性的认识。
比如“平行四边形的面积”，[2]这一知识点反映的是一个平行四边形面积的大小与这个平行四边形内部元素（底边长度和高的长度）之间相互依赖与制约的关系，其本质属性是对客观规律的描述，此类知识的特点相对于学习者来说具有“确定性”，不依人的意志为转移。认识这种知识的基本方法是“发现（Discover）”，也就是通过观察并比较诸多不同对象，从中发现共性，这样的共性就成为了具有一定普遍意义的规律。
数学课程中另外一类知识其本质属性是人的“发明（Invention）”，这一类知识通常是依赖于人的主观“需求（Need）”而出现的。以分数为例，这种“需求”至少表现在三个方面。从语言的视角看，当表达数量关系的时候，同一种数量关系通常会有两种说法，这两种说法往往是“双向同义”的。如果说“甲的收入比乙的收入多100元”，就会有反过来并且意义相同的说法，即“乙的收入比甲的收入少100元”。如果说“甲的收入是乙的3倍”，需要反过来并且要求意义相同的说法，那么没有分数，这样的说法就难以实现。有了分数，就可以说“乙的收入是甲收入的三分之一”，从而实现了“双向同义”的语言描述。
历史上人们对分数的“需求”还表现在“量（Magnitude）”的测量方面。在没有度量单位的时候，人们对量与量之间的比较通常都是“用小量大”，当出现“量不尽”的情况时，就“用余量小”，如此反复，量尽为止。比如图1两条线段分别表示量A和量B，其中A是较大的量。
量A：― ― ― ― ― ―
量B：―――
图1 量的比较示意图
如果需要了解并且表达两个量之间关系的时候，人们首先就会用较小的量B去与较大的量A重叠测量，目的是为了知道几次量尽，从而就可以知道量A中包含了几个量B。但是测量过程中经常出现量不尽的情况，也就是有剩余的情况出现。（见图2）
量A：
量B：
图2 “量不尽”示意图
图2中用量B测量量A重叠2次后，出现了小于量B的剩余量C，这时候人们通常会用剩余的量C反过来去与量B重叠测量，如果仍然量不尽，就继续重复这一“用余量小”的过程。图2用C量B的结果恰好三次量尽。这时候就需要用数来描述量A与量B之间的关系，此时仅有整数就不够了，有了分数就可以说“A是B的2（或者）”，也可以说“B是A的”。用“比”的语言说就是A与B的比是7∶3，或者B与A的比是3∶7。
数学家对分数的“需求”还表现为对除法运算“封闭”的愿望。在整数范围内，两个整数相除，可能得不到整数的结果，这种情况就叫作“整数集合对除法运算不封闭”，也就是整数集合内两个元素的运算结果跑到了整数集合的外面了。因此需要扩大整数集合的范围，把分数合并到整数集合中来，由此形成了数学中的有理数集合，在这个集合中除法运算就能保证封闭了，即任何两个有理数相除的结果一定还是有理数。
“发现”的知识与“发明”的知识属性不同，当然学习的方式也就有了差异。发现的过程核心环节是“观察与比较”，发明的过程重在“需求与创造”。针对不同属性的知识，备课中就要思考如何为学生设计学习任务和学习活动。
二、如何设计“发现”的过程
对客观规律的认识至少应当包括两个方面。首先应当是定性的认识，比如对于“平行四边形面积”来说，应当认识无论什么样的平行四边形，其面积的大小都受制于底边长度和高的长度；在定性认识的基础上，就可以有定量的认识，即面积的大小等于底边与高的乘积。针对定性的认识，需要观察并且比较不同的平行四边形，在不同中发现共性，也就是所有平行四边形面积的大小都受制于底边长度和高的长度；而对于定量的认识，也就是平行四边形的面积等于底边与高的乘积，需要观察平行四边形与面积相等的长方形之间的关系而得到。如果把长方形视为特殊的平行四边形，那么就可以将定性的认识与定量的认识合为一体，把学习目标确定为“发现平行四边形面积的大小与底边和高的关系”。
既然这一学习目标的实现依赖于观察与比较，那么教师在备课中需要思考的就是如何设计能够沟通学习目标及观察与比较活动之间联系的学习任务。这种任务的设计是否有效，取决于两个前提，第一是观察者为什么需要观察，也就是要为学生提供观察的理由，这种理由可以使得学生具有观察的动机；第二是观察什么，也即需要为学生提供观察对象以及思考方向。学习任务的叙述可以是以问题的形式出现的，不妨称之为“问题型”任务。比如针对学习目标“发现平行四边形面积的大小与底边及高的关系”，可以设计如下的问题型任务：“下面是三组平行四边形，每一组中两个平行四边形面积是否相等？你是怎么得到结论的？”
图3 平行四边形面积比较图
第一组中两个平行四边形的底边长度不相等，但是高的长度相等；第二组中两个平行四边形的底边长度相等，但是高的长度不相等；第三组中两个平行四边形的底边长度相等，同时高的长度也相等。为了回答这样两个问题，学生可能的学习活动有用眼睛“看”，看不出来还可以用尺子“量”，当然也可以用剪刀把两个平行四边形“剪”下来重叠在一起“看”。所有的活动都是针对“是否相等”以及“为什么”这样两个问题，因此活动就不是盲目的，而是有目的的，活动的目的性使得学生具有了参与活动的动机。同时，教师为学生提供的三组图形相当于为学生的观察提供了对象。通过活动最终期望学生发现平行四边形面积的大小与底边以及高有关。
学习任务的叙述还可以是“指令性”的，就是指明要求学生做什么。比如在前面任务已经完成的基础上，为了能够发现平行四边形面积公式，可以给学生布置如下任务：“在方格纸上画出一个长方形，再画出一个与长方形面积相等的平行四边形，和你的同伴说说你的画法。”学生依据前面观察的经验，在画图过程中自然而然地就会把平行四边形的底和高与长方形的长和宽建立起联系。在以上学习活动的基础上，最后可以通过布置指令性任务：“请自己总结出计算平行四边形的面积公式，将你的结论写出来。”通过以上三项任务，学生经历一系列以观察与比较为核心的学习活动，就应当可以达成“发现平行四边形面积的大小与底边和高的关系”这一学习目标。
三、“发明”的过程需要经历
对于“发明”的知识，认识的核心环节是感受需求，并且经历自主发明的过程。以分数为例，分数的学习包括分数概念的形成与语言表述、分数之间的相等与不等关系、分数的运算以及分数与除法和比的关系等内容，这些内容需要一个螺旋上升的学习过程。如果把分数的本质属性定位于语言，那么其学习过程就应当遵循语言学习的规律。语言通常是按照“先听说，后读写”的顺序进行学习的。通过“听说”可以感受到分数的存在以及分数概念的含义，通过“读写”让学生经历“发明”的过程，感受数学中文字语言、图形语言以及符号语言之间的相互关系。学习分数之初，首先应当让学生感受到对分数的“需求”，体现“让知识因需要而产生”的教学原则。因此小学三年级“分数初步认识”的学习目标可以确定为如下三个：感受分数在语言中的存在及其必要性；经历分数符号从“多样”到“统一”的发明过程；了解分数的含义。
针对第一个学习目标，可以设计如下的学习任务：“钟表上表示的时间是‘7点半’，思考其中的‘半’是什么意思？与同伴交流自己的想法。”（见图4）
图4 钟表示意图
学生在执行并完成这一任务的过程中，自然要思考和交流分针转动一圈与半圈的关系，或者时针转动一格与半格之间的关系。这种思考与交流一方面感受到二分之一的现实存在，同时也能初步感受到分数用于描述局部与整体关系的含义。类似的任务还可以设计为如下的形式。
将一张长方形纸对折，折痕将整张纸平均分成了两部分。这两部分的大小是什么关系？用尽可能多的语言说说其中一部分的大小与整张纸之间的关系。
用尽可能多的语言说说“10元钱”与“2元钱”之间的关系。
这样的任务可以启发学生在思考和交流的过程中，沟通描述数量关系的多种语言之间的联系。比如关于“10元钱”与“2元钱”之间的关系，学生可能利用先前熟悉的描述加减关系的语言，说出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。学生还可能利用二年级学习过的“倍的认识”说：“5个2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此时恰好说明需要一种与之相反的说法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而产生了。
通过“听说”初步感受分数的含义后，就需要用符号来表示分数。符号作为一种数学的语言，具有“人造（Artificial）”的特点，其发生与发展必然是从“多样”走向“统一”的过程。如果把分数的符号表示方法直接告知学生，表面看省时省力，但失去的是学生经历发明符号的思考过程。为了让学生经历这种“发明”的思考过程，针对第二个学习目标，可以设计这样的学习任务：“你认为应当用什么样的符号表示二分之一？向同伴介绍你的发明。”在北京小学万年花城分校“变教为学教学改革实验”的课堂中，发现学生依据这个任务开展活动后，的确出现了“多样”的符号表达。（见图5）
图5 学生分数符号表达
在这些符号表达中，学生运用斜线、横线、逗号等多种方式表达“分”的含义。而且还发现许多学生在写“二分之一”的符号时，喜欢将2写在左侧或者上面。这实际上反映出平时习惯的阅读和书写顺序（从左向右，自上而下）对学生认识分数的符号是有影响的。分数“二分之一”的读法是“先2后1”，因此学生书写也是这样的顺序。
在学生“多样”的发明充分交流和展示之后，教师可以补充一个学习任务：“同一个二分之一出现了这么多不同的符号，行吗？应当怎么办呢？”补充这个任务的目的在于引发学生思考，分数符号作为一种数学语言，其重要作用是用于交流，多样化会带来交流的困难，因此需要统一，统一的目的是让所有人看到后都能够知道其确定的含义。
在这两个任务之后，为了进一步沟通不同语言之间的联系，深化对分数含义的理解，可以再为学生布置一个任务：“举个例子说明的意思，在小组内交流不同的想法。”学生可以通过画图、折纸、讲故事等多样化的活动完成这个任务，在完成任务的过程中自然会加深对分数含义的理解。
如果时间允许，还可以设计数学与其他学科沟通联系的学习任务。比如中国传统文化中成语和诗词的学习通常是语文课程中的内容，如果引入到数学课程的教学中，一方面可以沟通不同学科知识之间的联系，同时也能够激发学生学习数学的兴趣，感受到数学学习的现实意义。在前面已经初步认识分数之后，可以利用成语“半斤八两”设计如下的学习任务：“中国古代用‘斤’和‘两’作为重量单位，16两为1斤。古代成语中有‘半斤八两’的说法，请你用今天学习的知识描述这个成语的意思。”这个任务的思考讨论实际上已经渗透了六年级将要学习的“正比例”的知识。如果把“斤”和“两”看作两类不同的量，那么其相互依赖的关系可以从表1中明显看出。
类似的成语还有“事半功倍”与“事倍功半”等。中国古代诗词中也有蕴含着分数含义的。比如明代诗人杜庠的题为“岳阳楼”的诗：“茫茫雪浪带烟芜，天与西湖作画图。楼外十分风景好，一分山色九分湖。”洞庭湖是湖南省和湖北省的分界，岳阳楼位于洞庭湖畔湖南省一侧，在楼中能够远眺君山。“楼外十分风景好，一分山色九分湖”可以用分数的语言描述为，把楼外的风景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描绘出了近大远小的视觉效果。
“变教为学”教学改革期望的是学生“自由、自主、自信”地开展学习活动，为此就需要教师在备课中准确把握知识的本质属性，合理设置学习目标。在此基础上，“把目标变成任务、把知识变成问题、把方法变成活动”，让学生在课堂学习活动中“爱做、能做、善做”。所谓“爱做”就是学生对于执行学习任务具有积极性和主动性，也就是所谓内在的动机（Motivation），让学习活动成为学生“自觉自愿”的主动活动，而不是“被逼无奈”的被动活动；所谓“能做”是期望每位学生都能够明白自己应当做什么和怎样做，而不是“部分人做，其他人陪”；所谓“善做”指的是每位学生都有做好的愿望，活动过程中有机会向同伴学习，也有机会与同伴分享自己的想法。真正做到“每位学生都有活动，每位学生都有机会”。
参考文献：
[1]郜舒竹.“变教为学”从哪儿做起[J].教学月刊小学版（数学），2013（9）.
关键词：数困生；教学设计；转化
据研究，高中“数困生”很多不是真正意义上的数学学习困难生，他们在初中时大都有着良好的数学基础，也有着良好的智能开发，他们或是由于从初中到高中教学方法的不适应，或是由于经过几次考试失败而丧失了学习信心，或是存在大量没有攻克的学习难点等各种原因才造成了暂时的学习困难，因此，在教学时设计适合学生发展水平的教学过程和教学方式，转化进而避免“数困生”是完全可以实现的. 本文就笔者多年教学经验，谈一些体会，供参考.
[?] 设计生动的问题情境，激发“数困生”学习兴趣
在课堂教学中设计一些生动的问题情境，不仅能够在较短的时间内吸引“数困生”的注意力，不让其思维游离在课堂之外，而且能诱发强烈的参与动机，加速思维的运转.
案例1必修2 “平面的基本性质”教学中，“直线”、“平面”等概念是几何学所研究的最为初始的对象，在公理系统中对于这类初始事物的概念，不给予定义，只是予以描述. 因此，学生理解起来有些困难，“数困生”更加会觉得这部分内容抽象，难理解，教师可设置一系列的情境并提出相应问题，通过学生活动，帮助“数困生”进行感知和理解.
情境1 平静的水面、广阔的平原、平坦的足球场地、平滑的桌面、黑板的表面等.
情境2 棱柱的底面、圆柱和圆台的底面.
图1
问题1 这些事物给我们一种怎样的形象？
问题2 平面有什么样的特征？
问题3 我们可以通过怎样的方式形成平面？
情境3 电脑演示课件，如图2.
[l][平移]
图2
通过观察、归纳、抽象出平面的基本特征：平坦，没有厚薄，是无限延展的，从而描述出平面的概念.
问题4 可以用怎样的数学语言描述上述事物？
问题5 直线可以看成是以点为元素的集合，那么平面是否可视为点构成的集合？可以用怎样的数学符号表示点、直线与平面之间的关系？
通过这些问题情境的设置，“数困生”就很容易理解平面的相关概念和表示方法. 再比如，在讲等比数列时，可用古印度“国际象棋的传说”、生物学中的“细胞分裂问题”及实际生活中的一些情境问题导入课题，这样既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，从而提高学生学习的兴趣.
当然，教师在设置情境、提出问题时的注意点是起点要低、入口要宽，如此才能让“数困生”能够顺利产生思维着力点，努力想出解决问题的方法，从而使所激发的解决问题的热情为后面的问题解决起到良好的惯性作用，即使遇到一点挫折，他们也会努力去克服.
[?] 设计丰富的学生活动，增加“数困生”数学体验
著名教育家苏霍姆林斯基说过：“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件. 当一个人不仅在认识世界，而且在认识自我的时候，就能形成兴趣. 没有这种自我肯定的体验，就不可能有对知识的真正的兴趣.”据观察，“数困生”大多都是数学课堂活动的旁观者，真正参与的很少. 教师可以根据教学内容，设定一些有趣的学生活动，增加他们数学学习的体验，这样既激发了他们的学习兴趣，又调动了学习的积极性.
案例2必修3 “随机事件及其概率”教学中，讲解完必然事件、随机事件、不可能事件之后，设计了学生自己动手抛硬币的实验，以期帮助学生形成随机事件概率的定义. 为了使每个人都有机会参与到实验中去，小组成员责任要具体化，如某小组的分工如下：
[第X小组分工＼&操作员＼&负责抛硬币＼&观察员＼&负责观察硬币的正反面＼&记录员＼&负责记录硬币出现正面的次数＼&总结人＼&根据观察到的现象总结并汇报实验结果＼&]
此外，还可以根据需要设置其他角色，如检查者：学习委员或者数学课代表负责纠正别人在解释或者总结中的错误；联络员：负责小组与老师之间的联络与沟通等. 最后由每组的总结人汇报实验结果，并输入EXCEL电子表格计算频率.
在试验的过程中，学生发现规律：当实验次数越多的时候，出现正面朝上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动.再由学生自由讨论交流这个常数是什么？此时教师提出新的问题：“我们可以如何定义概率呢？”经过学生讨论后得出概率的统计定义，这是本节课的重点，也是理解“概率”定义的难点.让学生动手做实验，主要是为了让所有的学生都参与其中，经过观察，在这个过程中，“数困生”确实也能积极地、兴致盎然地进行抛硬币的实验.
当然，课堂活动的设计要有较强的可操作性，时间安排要合理，难易程度要控制好，此外，还要考虑所有学生（特别是“数困生”）的知识水平和接受能力，教师的课堂活动指令应清晰明了，从而使“数困生”能理解并积极参与到课堂活动中，培养他们的合作意识，增加他们的数学体验.
[?] 设计多样的例题变式，培养“数困生”的解题能力
有部分“数困生”的学习态度端正，但是考试成绩较差. 他们在课堂上能够听懂，但是当他们自己独立解题时就束手无策，这说明这部分学生不会灵活应用知识，解题能力欠缺，这需要教师对教学内容进行精心设计从而提高他们的解题能力. 在教学中，教师要精讲精练，抓住典型例题，进行迁移、加深、拓展、创新，进行变式训练，从而加深“数困生”对所学知识的理解并举一反三，增强思维能力.
案例3必修5 “基本不等式”教学中，在学习了基本不等式的公式之后，可设计如下例题及对应的变式：
例题 已知+=2（x>0，y>0），求xy的最小值.
变式1 已知3x+5y-2xy=0，x>0，y>0，求xy和x+y的最小值.
变式2 已知y=loga（x+3）-1（a>0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在直线mx+ny+1=0上，求+的最小值.
变式3 已知a>0，b>0，是3a与3b的等比数列，求+的最小值.
变式4 若直线ax+2by-2=0（a>0，b>0）始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，求+的最小值.
变式5 已知a，b都是正实数，且满足log9（9a+b）=log3，求4a+b的最小值.
以上变式题从形式上看分别考查了函数、直线、圆、等比数列的有关知识，但是其内在本质都是基本不等式的应用，教师通过这些变式，引导“数困生”寻求解决方法，并让他们感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法. 通过一个题，掌握一类题，以点带面，这样可以使“数困生”觉得原来数学并没有那么难学，很多时候只是披了一件华丽的外衣，关键要抓住本质，多角度、全方位地去考虑问题.这样的教学有助于“数困生”增强学习数学的信心，提高分析问题和解决问题的能力.
[?] 设计恰当的教学环节，帮助“数困生”克服难点
教学实践中发现“数困生”总是在某个知识点上屡次犯同样的错误，这里固然有他们自己不求甚解的原因，但也有教师的原因，那就是在讲解过程中为了教学进度无暇顾及“数困生”，造成知识点的讲解不容易让“数困生”理解. 因此，进行详细、细致的错题分析是非常有效地帮助学生突破知识难点的手段.
案例4 在必修1“集合的含义及其表示”的教学中，笔者注意到学生经常会出现如下错误：
题1 {x
x+1=0}=______；学生的错解：答案是{x=-1}. 分析：题目中的x是指方程x+1=0的解，是一个以数为元素的集合，而答案是用列举法表示的以表达式x=-1为元素的集合，其本质发生了改变. 错误原因是不了解集合中描述法的含义，正确答案是{-1}.
题2 已知M={x
2x2-5x-3=0}，N={x
mx=1}，若N?M，求实数m组成的集合P. 学生的错解：M=
x
3，-
. 分析：混淆了集合表示的两种方法，即不是描述法，也不是列举法，是个四不像，有的学生由N?M，得出N={3}或N=
-
，漏掉了N= 的情况，错误原因是没有理解空集是任何集合的子集的含义.
题3 已知A={x
x=3n+1，n∈Z}，B={x
x=3n+2，n∈Z}，C={x
x=6n+3，n∈Z}. 若c∈C，则是否存在a∈A，b∈B，使c=a+b？
学生错解：设a=3n+1，b=3n+2，则c=a+b=6n+3∈C，故若c∈C，一定存在a∈A，b∈B，使c=a+b成立. 分析：集合A、B中的n不一定是同一个数，它只是表示整数；另外题中是由c∈C，问是否存在a∈A，b∈B，使c=a+b？而上述解法中是先取了a∈A，b∈B，推出c∈C，题意没有理解清楚，条件和结论刚好颠倒.
这些都是在集合中容易犯的错误，其主要原因都是对相关知识点的理解不到位，所以当发现这些错题时，教师要把它当成一个宝藏，充分挖掘其内在价值，要让“数困生”自己找出其错误的原因，分析其错误本质并进行纠正，从而避免再次犯同样的错误. 当然，教学过程中除了引导学生进行错题分析，还可以结合一些其他的教学手段，比如应用多媒体技术、留时间给学生反思、多鼓励学生、给予情感关注等等，让“数困生”乐学数学，主动地钻研数学，突破知识上的难点.
[?] 设计多层的练习作业，增强“数困生”学习信心
作业是巩固课堂知识的重要手段，但是在布置作业时，教师经常会“一刀切”，全班所有学生做的是同样的作业，忽视了学生间的差距和潜能，如此的作业，对数优生来说，可能缺乏挑战性，对数困生来说可能会有太多的障碍，从而都产生厌倦情绪. 为了“让每个学生都能得到最优发展”，教师在设计作业时要针对不同程度的学生设计不同层次的作业，力争让每个学生在适合自己的作业中获得成功、轻松、愉快、满足的心理体验.
案例5 在选修部分“椭圆”的教学后，在布置作业时，可设置以下两个练习：
练习1 已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），若AB=，求直线l的倾斜角.
练习2 已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. 若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且・=4，求y0的值.
由于练习1思路简单、方法常规，属于容易题，在布置作业时要求“数困生”做练习1，其他学生做练习2，如果“数困生”有兴趣，也可以做练习2，这样就可以保护“数困生”做作业的积极性.
关键词 函数 概念
回顾函数概念的历史发展，函数概念是不断被精炼，深化，丰富的。初中时函数的定义是一个变量对另一个变量的一种依赖关系。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。高中时，是用集合与对应的语言描述了函数概念。函数是一种对应关系，是函数概念的近代定义。
设a,b是非空数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:ab为从集合a到集合b的一个函数,记作y=f(x),x∈a。函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
函数的概念这一节课，内容比较抽象，概念性强，思维量大，为了充分调动学生的积极性和主动性，教学中通过典型实例来启发和帮助学生分析，比较，以达到建构概念之目的。
引出函数的概念，先是举出了生活中的三个实例。第一个实例是关于物体做斜抛运动的，和初中学习过的二次函数相联系。第二个实例是关于臭氧空洞的问题，给出了函数的图像，按照图中曲线，发现了两个集合之间的一种特殊的对应关系。第三个实例是关于恩格尔系数的经济实例。列表给出了恩格尔系数和时间（年）的关系。三个实例共同反映了变量之间的相互依赖的关系，同时反映出两个非空集合之间的一种特殊的对应关系。这样，自然而然地给出了函数的概念，并且这三个实例中的函数恰好是用了三种表示方法：解析法，图像法，列表法。
以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。通过三个实例的教学，师生共同发现了函数概念中的对应关系。教师在归纳出函数定义后，可以在全班进行交流。结合初中函数的定义，指出两个定义的区别和联系。关于“y=f(x)”这一个函数符号的理解，教师可以提问：y=f(x)一定是函数的解析式吗？回答是不一定，可以举出实例二和实例三。函数的解析式，图像，表格都是函数的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函数，但f(x)不一定是解析式。当f(x)是一个解析式时，如果把x,y看作是并列的未知量或者点的坐标，那么y=f(x)也可以看做是一个方程。
函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域a的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在b中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合b中并非所有的元素在定义域a中都有元素和它对应；值域 。教师引导学生归纳并总结，函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
然后，教师给出同学们所熟悉的三种函数，一次函数y=ax+b(a≠0)，反比例函数 ，以及二次函数 。教师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图像，启发学生观察，分析，并请学生们思考之后，填写对应关系，定义域和值域。通过三个熟悉的函数加深学生对函数近代定义的理解。教师引导学生归纳总结出：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如果函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。
连续的实数集合可以用集合表示，也可以用区间表示。利用多媒体课件展示怎样用区间表示集合。区间可以分为闭区间，开区间，半开半闭区间。特别地，实数集r记作(-∞,+∞), ∞ 读作无穷大；-∞ 读作负无穷大；+∞ 读作正无穷大;“∞”不是一个数，表示无限大的变化趋势，因此作为端点，不用方括号。
例1和例2的编排，是为了进一步地加深理解函数的三要素。函数的定义域通常由问题的实际背景确定.对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。在例1中，要注意f(a)与f(x)的联系与区别：f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量。f(a)是f(x)的一个特殊值。例2是来判断两个函数是否相等的。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就是相等的。
数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础；是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务，是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础，概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因。
一、教材分析
1．教材的地位和作用
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿于中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2．教学目标及确立的依据
（1）教学目标：
1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
（2）教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3．教学重点难点及确立的依据
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高档题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。 函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不同了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这个难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
四、教学程序
学 法：
〖课程导入〗
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1，把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
〖新课讲授〗
1．接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
2．巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对一，多对一”但不能是“一对多”。
例1，给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射，进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：AB记为y＝f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y［或f（x）］值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
（1）函数是非空数集到非空数集的映射。
（2）f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
（3）f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
（4）集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
（5）“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。
〖讲解例题〗
例1，问y＝1（x∈A）是不是函数？
解：y＝1可以化为y＝0•x＋1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
［注］：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
〖课时小结〗
1．映射的定义。
2．函数的近代定义。
3．函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4．函数近代定义的五大注意点。
〖课后作业及板书设计〗
