时间：2022-07-22 04:32:18
一、教学案例
第一次教学:
出示例1:每个小中国结用米彩绳,每个大中国结用米彩绳。两种中国结各做18个,一共用彩绳多少米?
师:你会列综合算式表示要求的问题吗?
学生讨论后,交流。
生:×18+×18。
生:(+)×18。
师:这两道算式该怎样计算呢?
学生尝试着计算,计算后交流。
生:计算×18+×18时,我是分别先算×18和×18,再相加,也就是先求出两种中国结各用彩绳多少米。
生:计算(+)×18时,我是先算+,再用两个数的和乘18。也就是先求出两种中国结各做一个要用彩绳多少米。
我接着让学生回忆整数、小数四则混合运算的计算方法。
师:你认为分数四则运算顺序与整数、小数四则混合运算顺序有什么联系?
学生们说一说。
师:分数四则混合运算顺序和整数、小数的四则混合运算顺序相同。
……
教后反思:第一次直接使用例1进行开门见山式教学。从实际教学情况来看,学生对分数四则混合运算顺序的掌握还行,但对于分数四则混合运算与以前学过的整数、小数四则混合运算之间的联系却不能进行真正的自主建构。分析其主要原因是教学完分数四则运算后直接让学生回忆整数、小数四则运算,学生由于没有做题的直接经验,学习的主动性不够,课堂教学气氛沉闷,教学效果一般。有了第一次教学的失败教训,我在另外一个班进行了第二次教学尝试。
第二次教学:
出示例1改编题:每个小中国结用4分米彩绳,每个大中国结用6分米彩绳。两种中国结各做18个,一共用彩绳多少分米?
师:你会列综合算式表示一共用彩绳多少分米吗?
学生们很快口答出两种算式(师板书:4×18+6×18;(4+6)×18)。
师:你们会计算这两道算式吗?
学生同桌交流后发言。
生:计算4×18+6×18时,先算两个乘法,再把它们的积相加。
师:为什么呢?
生:因为这是一道没有括号的整数四则混合运算,根据它们的运算顺序应该先算乘除,再算加减。
生:我是这样想的:要求一共用彩绳多少分米,要先求出两种中国结各用彩绳多少分米,再相加。
生:(4+6)×18,先算括号中的4+6的和,再用和去乘18。因为这道算式中有小括号,我们应先算小括号里面的4+6,求出两种中国结各做一个要用彩绳多少分米。
师:如果将题目中所有的分米单位改写成米作单位,你还会做吗?
生说,师直接在题目上改写。
生:4分米等于0.4米或等于米,6分米等于0.6米或等于米。
接着出示:每个小中国结用0.4米彩绳,每个大中国结用0.6米彩绳。两种中国结各做18个,一共用彩绳多少米?
我让学生列出综合算式,并说一说你是怎么想的,怎样计算这两道综合算式,为什么?(师板书0.4×18+0.6×18;(0.4+0.6)×18)。
最后出示例1:每个小中国结用米彩绳,每个大中国结用米彩绳。两种中国结各做18个,一共用彩绳多少米?
学生们很快地列出两道不同的综合算式:×18+×18;(+)×18。
师:黑板上这两道算式分别含有两种不同的运算,像这样含有两种或两种以上不同的运算叫分数四则混合运算。板书课题:分数四则混合运算。
我让学生尝试着做一做。
学生完成后交流。
生:把算式中的转化成0.4,转化成0.6,应用以前学过的小数四则混合运算的运算顺序进行计算。
师:这位同学想法好,当我们遇到不能解决的数学问题时可以应用转化思想,把新知转化成已经学过的知识来解决。
生:如果一个分数算式中有的分数不能化成有限小数怎么办呢?
生:我是这样想的,因为这两道算式中的米和米就相当于前面的0.4米和0.6米,4分米和6分米,数据的表达形式在变,其实大小是相等的,所以我认为分数四则混合运算顺序与前面整数、小数四则混合运算顺序相同。
我让学生说一说两道分数综合算式先算部分分别表示什么,接着动笔算一算。
师:你认为分数四则运算顺序与整数、小数四则混合运算顺序有什么联系。
我让学生充分地说一说。
师:分数四则混合运算顺序和整数、小数的四则混合运算顺序相同。
……
教后反思:本次教学先将例1中的米和米分别转化成4分米和6分米进行,让学生回忆整数四则混合运算顺序,接着将4分米和6分米分别转化成0.4米和0.6米进行,让学生回忆小数四则运算运算顺序,最后教学分数四则混合运算,可以说水到渠成,充分发挥学生的自主性,让学生们联系整数、小数四则混合运算顺序说一说分数四则混合运算顺序。这种呈现方式看起来花时间,其实它整合了新老教材的优势,减轻了学生记忆负担,实现了新旧知识之间的有效联系。
二、总体思考
本节课经过两次不同的教学尝试,我深深地感受到,同样一节课,因为教师设计不同,学生们获得的知识或者说对知识的理解程度也不同。第一次教学,只有少数学生能说出分数四则运算和整数、小数四则运算的联系,而第二次教学,大部分学生都能说出分数四则运算和整数、小数四则运算的联系。以上教学效果的差异,引起了我的思考。
思考一:数学课堂是不是少数学生参与就行了?
在现实的数学课堂上,很多教师都在抱怨学生不肯回答问题,常常将数学问题抛给举手的几个学生回答,认为他们回答对了,其他学生听听就懂了。用这种做法,长此以往,学生们学习的主动性就没有了,他们变成了学习的容器,老师教什么,他们就记什么。第二次教学,我首先找出新知识的生长点,复习已有的相关知识,为学生学习新知架好脚手架,实践证明,本节课采取这种教学方式,学生学习变得轻松、简单。
思考二:数学课堂应渗透一些数学思想。
在小学数学教材中,编者渗透了许多的数学思想,比如常用的转化、对应等。第二次教学,我根据4分米=0.4米=米、6分米=0.6米=米,运用转化思想,巧妙地将新知与旧知联系起来。
思考三:数学课堂学生讨论问题应注意什么?
两次教学,我都安排学生讨论:“你认为分数四则运算顺序与整数、小数四则混合运算顺序有什么联系。”实践结果,第一次教学,参与的学生很少,而第二次教学,学生参与面很广。因此,我认为数学课堂上讨论类似问题,应注意尽量做到让全体学生有话可说。为做到这一点,教师可以让学生先做一做相关题目,再组织学生讨论相关数学问题,这样可以充分发挥学生的主体性,数学课堂才真实有效。
【关键词】提高；计算能力；重要性；提高方法
一、帮助学生掌握算理
正确的运算必须建立在透彻地理解算理的基础上，学生的头脑中算理清楚，法则记得牢固，做计算题时，就可以有条不紊的进行。
1、领悟；在1 0以内的组成和分解，凑十法和破十法，相同数连加的概念，十进制计数法，有关数位的概念，小数的意义与性质，小数点位置的移动引起小数大小的变化，分数的意义与性质，分数单位的概念，分数与除法的关系，约分与通分等概念等。在低年级讲授进位加法时，可以让学生在摆、画、数的基础上体会凑十的过程，发现满十进一的现象，已达到领悟。
2、明理；小学教材中加法的交换律、结合律。减法的性质以及乘法的交换律、结合律和分配律。这几个定律对于整数、小数和分数的运算同时适用，用途是很广泛的。讲解时，我首先使学生理解这几个定律的意义。鉴于学生难掌握减法性质和乘法分配律，教学时，可举学生熟悉的事例，并配合画一些直观图加以说明，已达到明理。
二、提高小学生计算能力的方法
“数的运算”贯穿了整个小学阶段，包括四则运算的意义及四则运算之间的关系，获得运算结果（估算、口算、笔算、计算器），运算律、运算性质。数的运算模型简单归纳起来就加法、减法、乘法、除法四则运算。在小学低段我们主要对学生进行简单的比较小的数的加法、减法、乘法、除法的运算。
这几年我在小学数学的教学中也深刻的体会到一个孩子如果计算能力不强，对这个孩子的整体数学成绩都有非常大的影响。所以在平时的教学中我非常重视对学生计算能力的培养。提高孩子的计算能力，我认为重点从以下方面进行训练：
1、基础准备；
要熟练的掌握“10以内的加减法”、“20以内的加减法”、“九九乘法口诀”。低年级作为关键的起始阶段，加、减、乘、除的入门学习对学生今后的继续学习将会产生深远的影响。
2、加强口算训练，提高计算速度和正确率。
口算是学习笔算、简算和四则混合运算的基础，也是学生计算能力培养的重要组成部分。坚持口算训练，不仅能提高计算速度和正确率，也能有效地培养学生的注意力、记忆力和思维能力。
随着小学各个阶段教学要求和教学内容的不同，口算训练要有针对性，低中年级主要是一、两位数的加法，高年级把一位数乘两位数的口算作为基础训练效果较好。口算题的难度应当由易到难，要有一个坡度；要求应当由低到高，逐步提高。
在口算训练时，首先要求会算，力求准确，然后再要求方法简便，加快计算速度。训练时要多练一些凑整计算、常用数据的运算，如：45+55、20×5、25×4、125×8；1到20各自然数的平方数；分母是2、4、5、8、10、20、25的最简分数的小数值，也就是这些分数与小数的互化；3.14与各个一位数的乘积。这些类型题的训练能大大提高学生的口算速度。进行口算训练时，要注意练习形式灵活多样，要有利于激发学生的学习兴趣。《小学数学教学大纲》指出：“培养学生的计算能力，要重视基本的口算训练，口算既是笔算、估算和简便运算的基础，也是计算能力的重要组成部分。”
3、理解和掌握计算法则是计算教学的重点。
知识和能力是密切联系、相互促进的，培养学生的计算能力必须以理解掌握数的概念、四则运算的意义、运算定律和法则为基础，“理解”要求不但知其然，而且知其所以然。应在教学中创设情境，使学生充分感知、理解算理。小学生的思维特点是具体形象思维为主，尤其是低年级学生更为突出。所以教学时，要注意创设情境，让学生充分感知，以加深学生对法则的理解。
创设情境，让学生理解和掌握计算法则，要注意及时抽象，不能让学生停留在具体的形象思维上，应帮助学生在感知的基础上及时抽象出计算法则。法则得出后，要引导学生应用法则进行计算。在应用法则的开始阶段，要让学生详细地讲出思考和计算的过程。经过一定的练习后，可要求学生计算时默想计算的每一步，边想边算。学生基本掌握法则后，可简化中间的环节进行计算。学生学习计算法则都是从单个法则开始的，在教学中应进一步将这些法则联系起来，形成法则系统
4、精选习题，巩固训练。
学生学习计算的能力是通过练习形成的，但并非任何练习都能取得良好的效果。为了在有效的时间内达到练习的目的和要求，使练习的数量与效益较好地统一起来，教师在选择习题和设计练习层次时要使练习题具有“四性”：
目的性：目标必须明确恰当。
针对性：针对重点、难点、关键，做到重点内容反复练习，难点内容着重练习，关键内容突出练习。
多样性：变换练习形式，引导学生从不同角度理解和掌握计算的算理。
趣味性：形式活泼，新颖有趣，充分调动学生计算的积极性。
为了让学生避免盲目、机械、重复、无效甚至有害的练习，练习层次也是十分重要的。在一般情况下对教学计算的练习设计应有以下几个层次：
（1）准备练习。在新课前完成，目的在于以旧换新，为学生探究新知识迁移做准备。
（2）基本练习。在预习或讲授新课时边讲边练。习题与例题相似，帮助学生领会理解新知识，初步形成技能。
（3）变式练习。采用变化习题的结构形式，清楚定势思维。
5、重视错题的分析。
学生的学习是一个反复认识和实践的过程，出错总是难免的。特别是低年级学生由于年龄特征刚刚学习的知识比较容易遗忘。例如，退位减，前一位退了1，可计算时忘了减1。同样，做进位加时，又忘了进位。特别是连续进位的加法，连续退位的减法，忘加或漏写的错误较多，这些都与儿童记忆不完整有关系。因此，教师要及时了解学生计算中存在的问题，深入分析其计算错误的原因，有针对性地进行教学。
6、养成反思、验算的习惯。
关键词：教学改革 迁移规律 教学方法
众所周知，目前教学中存在着的许多问题，如学生的课业负担过重，学生的书包越背越重；学生的文化素质不高等等，都引起了整个社会的关注。所以，近些年来，在教育界乃至整个社会，优化课堂教学， 深化教学改革，都是一个热门话题。无论是小学，中学还是大学，都一直在探索教学改革，进行着以提高学生的素质为目的尝试。本文依据教育心理学的一些理论知识，结合以前笔者的教改经验，从优化课堂教学的角度，提出一些教学改革的观点。[1]
一、利用学习迁移规律，深化教学改革
教育心理学认为，学习是一个循序渐进的过程。学生所学的知识经验之间总是有着千丝万缕的联系，因此，凡是学习都必然存在着迁移的现象。所谓学习迁移，是一种学习对另一种学习的影响。根据效果不同，可以将学习迁移分为正迁移和负迁移。如果对某一种知识经验的学习能够促进另一种知识经验的学习，对另一种知识的学习经验起积极作用，则称这种作用为正迁移；反之，如果对某一种知识经验的学习能够干扰或阻碍另一种知识的学习，对另一种知识经验的学习起消极作用，则称这种作用为负迁移。例如，学生学习整数的四则运算法则之后，就为小数的四则运算打下了基础，有利于小数的四则运算，则小数四则运算的学习就是对整数四则运算的学习的正迁移；而一个人孩提时代对母语（方言）的学习一定也会干扰日后普通话的学习，这就是学习中的负迁移。实际上，这两种迁移常常相伴而生，同时存在，只是两者的作用程度一般不同。如小数四则运算的学习就是对整数四则运算的学习也有一定的消极影响，即是整数的加减法运算要求是末位数字对齐，而小数的加减法运算则要求小数点对齐。而在学说普通话方面母语为汉语的人要远比母语不是汉语的人要容易得多。关于知识经验的迁移现象，无论是在小学、中学还是大学阶段都存在，这就为我们进行优化课堂教学、进而进行教学改革不仅提供了一种理论依据，而且也提供了一种实际方法，就是在教学过程中，要正确地把握其规律，进行有效地教改活动，这样既可以提高课堂教学效率，也可以减轻学生的课业负担。比如，在小学阶段，教师在教学学生在学过分数应用题后，就可以放开学生的手脚，让学生自己去独立或自学后面的百分数应用题，而教师只需向学生说明分数与百分数的差别就在于百分数仅可以表示“率”而分数不仅可以表示“率”而且还可以表示“值”，而当它们在应用题中表示“率”时则意义相同，仅此而已。再如，在大学阶段，计算机语言课是当今学生的必修课，但当学生学习过Basic或C语言之后，就可以让学生自学C++语言等课程，这样不仅可以减轻学生的课业负担，而且还可以培养学生的自学能力，从而达到提高学生素质的目的。在运用知识经验的学习迁移规律时教师要注意向学生讲清楚新旧知识之间的区别与联系，即哪些方面属于正迁移，哪些属于负迁移，这样便于学生顺利而又正确地掌握新的知识技能。
二、深入钻研教材，掌握编者的编写意图，弄清每一知识点在教材中的作用，从而正确把握教学目的和教学要求；对于一些基本概念，要能给出其具体的例子（正例或反例），以加深学生对该概念的理解。
一位教师只有正确地领会了编者的编写意图，才能准确地掌握该教学内容的教学目的，准确地把握该教学内容的教学要求。大学阶段，由于一些概念特别的抽象，学生初学时就会感到难以理解，这时，如果教师能够给出一个恰当的例子，学生就会对该概念理解得既直观又深刻。例如，在大学《格论》中“完备格”，一般教材中都有下面的结论：“所有的有限格都是完备格”，编者为何要有这样的结论？这时如果教师能够及时地引导学生思考“是不是所有的无限格都是完备格？”，就会激发学生的学习兴趣，这样的反例一般是不容易得出的。这时教师如果能给出一个反例，就会使学生清楚完备格与无限格的关系，从而加深对完备格的概念。如果没有这样的反例，那么尽管师生在课堂上下了不少的功夫，但结果必定是学生对这个概念的理解仍是模糊乃至似是而非的。
三、精炼课堂语言，提高学生思维的品质
众所周知，语言是人类相互交流的主要工具。同时，心理学认为，语言是人类思维的载体，即是人类借助于语言思维的。没有语言，便没有人类的思维。同样，学生也是借助于语言进行思维的，而这种语言主要来自于教师课堂上的语言。在某种意义上来说，教师就是学生知识体系的构建者。教师语言之准确与否，在很大程度上来讲决定了学生能否正确地对知识理解。教师语言精练与否，在很大程度上来将决定了学生思维敏捷性的优劣。敏捷性是思维品质的重要内容之一。这就要求教师在备课时不仅要对所讲的内容进行钻研，而且要对课堂上的每一句话都要进行反复推敲，既要避免语言冗余，又要避免会出现歧义的语言，以防止学生出现惰性思维。笔者曾听过一节小学数学《年、月、日》的课，作课老师在成功讲授完该课主要内容之后，给学生口头出了一道思考题，“小明12岁了，却过了4个生日，请问小明的生日是几月几日？”，由于刚学过闰年这个概念，学生就立即回答到“2月29日”。其实这是不对的。这是一个不严密的思考题，教材上有这个思考题，不过是这样表述的，“小明12岁的时候，却过了4个生日，请问小明的生日是几月几日？”，而“小明12岁的时候”与“小明12岁了”是两个不同的概念，且作课教师作课的那一年恰又不是闰年。所以，教师课堂上一句不经意的语言，误将“小明12岁的时候”表述为“小明12岁了”，造成了学生的惰性思维。如果教师此时能发现这种现象，提醒学生“错了，请想一想错在哪里了？”，就会激发学生思考问题的积极性，提高学生的学习兴趣，从而培养了学生的严密审题的学习习惯。[2]
目前，学生课业负担过重是一个普遍的现象，提高学生的素质的呼声也越来越高。这里面的原因是多方面的。本文是从提高教师课堂教学水平和改进教学方法方面提出了改善这种状况的几种方法。小学、中学与大学各阶段教育尽管各有各的特点，但在提高课堂教学水平上应该是有共同点的。
参考文献：
摘要：文章剖析了小学数学教学内容应优化活动策略，注重运算、推理和操作技能训练，引导学生经历数学建模过程，使学生在学习中积累学习经验，锻炼数学思维，发展学生解决问题能力，提升学生数学综合素养。
关键词：运算技能；推理技能；操作技能；数学思维
中图分类号：G623.5？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）14-0255-02
在数学的教学中，教师要理解和挖掘教材内涵，根据学生已有知识和实际水平，采取有利于学生数学思维能力的活动策略，引导学生在数学学习过程中，掌握数学学习技能，获取和积累数学技能的方法，以及品味成功乐趣，训练和发展学生的数学思维。
一、立足运算技能训练，培养思维的灵活性
教师应以实际生活中实例为教学载体，让学生对实例进行分析、归纳和总结，分析具体数量关系，寻找解决问题的方法，并对生活实例进行解释，引导学生在解决实际问题的过程中，经历数学知识模型的建构，初步理解数学规则来源于生活实际，并领悟到数学规则是根据需要而规定。在引导学生运算训练时，教师应着重让技能教学活动蕴涵着丰富的数学思考，同时也浸透着理性的数学思维，充分拓展学生数学思维时空，引发学生运用自己的手、眼、脑去认识数学，体验数学知识的深刻内涵，从而发展学生数学思维的灵活性，激发学生积极参与数学运算技能活动的兴趣。例如，教学《混合运算》时，教师采用激趣导入后，学生积极参与数学活动，教师则乘势引导学生自主探究。教师先运用多媒体屏幕出示一个大的红包袋，袋外有一张2元的人民币，袋里也有一些人民币，教师提出：“到底有多少钱？红包袋里有多少钱？是不是要把红包袋里的钱加上袋外的钱呢？”得到学生肯定回答后，教师在屏幕上展示出红包袋中有4张5元的人民币，教师继续提出：“想要得出红包袋里和袋外的共有多少钱，应该怎样计算？如何列出算式？”学生通过自主探究，列出算式：①4×5+2=22（元）；②5×4+2=22（元）；③2+4×5=22（元）。教师在黑板上列举出算式，引导学生思考：“在这种综合算式要先算什么？”学生立即表示要先计算乘法，教师让学生理解算式①、算式②是红包里的钱加上红包外的钱，算式③则是红包外的钱加上红包里的钱，算式③应先算什么？为什么？在一系列问题情境里，学生参与数学活动的兴趣高涨，学生通过讨论探究，认为算式③计算顺序依然先算乘法，即4×5=（20元），计算出红包里到底有多少钱，再把红包里的20元与红包外的2元相加，得出红包袋里和袋外的钱有22（元）。学生通过运用各种算式，激发了学生学习兴趣，从而得出了在今后乘与加的综合算式里，无论乘法在算式的前面，还是在算式的后面，必须先算乘法，再算加法。
二、重视推理技能训练，发展深刻缜密思维
在数学学习过程中，推理技能是根据具体数学对象所规定的程序和步骤进行的。教师要结合具体的数学活动情境，引导学生的猜想，借助举例验证猜想，最后形成数学结论，进而在解释和应用的过程中进一步深化认识。而具体的数学活动情境一般都是从感性认识到理性认识，其感性认识积累到一定量时，自然就会进行抽象概括，有效地生成数学模型，这就是善于引导学生立足于生活经验，将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，拓展学生思维的深刻性与缜密性。例如，教学“加法交换律”时，教师通过故事情境导入后，让学生观察5+6=6+5这一算式，从这算式发现：①交换5和6的位置，和不变。②交换两个加数的位置，和不变。对于发现结论②，教师要求学生举例进行验证，同时加以点拨，如，是否可以举正反实例？举出的实例能验证出结论的可靠性吗？什么样的实例才能证明出结论的准确性？学生带着问题在小组里讨论探究，举出各种实例进行验证，如，举出尽可能的实例进行验证；举出了整数加法交换位置、分数加法交换位置进行验证。学生对举出的实例进行比较、分析、反思，得出准确的结论应是交换任意两个加数的位置，和不变。学生通过观察与分析，从猜想到实验，直至运用实例验证结论的解决问题策略，凸显数学课堂超越知识的教学活动实效。又如，教学“长方体的认识”时，教师捧出一个大西瓜，拿起西瓜刀，切下一刀，提出：“老师切了一刀，大家观察一下，现在得出几个面？”“一面。”教师继续切下一刀，学生发现教师切了两刀后，得到了两个面和一条棱；教师又切下第三刀，学生在观察中发现到，此时西瓜已有三个面、三条棱以及一个顶点了。教师让学生回答问题后，提出思考题：“如果要把这颗西瓜切成一个长方体，大家认真思考一下，老师一共要切多少刀呢？”学生经过思考与探讨后，认为教师还要再切三刀，才能使这个西瓜出现六个面、六条棱和六个顶点，这样才能把西瓜切成一个长方体。教师再切三刀后，让学生数一数这个长方体的西瓜有几个面？几条棱？几个顶点？学生数了之后，发现后面的三刀切出长方体西瓜，它有6个面、12条棱和8个顶点，此时，学生的认知冲突了，探究欲望更加强烈，在进行的观察与探究中层层深入，准确地建构了长方体特征的数学模型。
三、引导操作技能训练，引导反思形成经验
教师应积极开展操作技能训练，引导学生积极主动地通过多种感官，从事观察、猜测、动手操作证明或推理等实践活动，经历了数学知识的形成过程，体验了数学的思维方法，同时教师要给予学生充分的反思、交流与总结的空间，反思解决数学问题的过程，交流对数学方法的体会，锻炼数学思维能力，提炼条理化、显性化和概括化的数学活动经验，有效地建构和完善数学知识模型。例如，教学“三角形面积计算”时，教师给每个学生准备了一个三角形硬纸板和一把剪刀，三角形硬纸板有的是直角三角形、有的是锐角三角形、有的是钝角三角形，要求学生认真思考，动手试一试，探究三角形面积计算方法。学生通过动手操作，学生1剪了一个同样大小的三角形拼出长方形；学生2剪了一个同样大小的三角形，拼成平行四边形；学生3把三角形剪开，拼成平行四边形。教师让学生说一说自己的操作方法，进而提炼出“两个完全一样的三角形能拼成平行四边形。”接着，教师要求学生不剪不拼，想象用另一个三角形在脑海中拼出平行四边形。学生通过想象后，再上台进行展示，教师引导学生加以分析与总结，然后根据拼成的平行四边形的面积推导出三角形的面积。这时，教师应立足于学生获得数学现象及过程的体验方面，及时引导学生进行反思、回顾和交流，实现活动经验数学化，提炼和丰富数学活动经验，建构和完善数学模型。如，在交流活动中，教师让学生说说自己是如何总结操作过程，比较和分析是否可以另辟途径，推导出三角形面积计算公式，等等。在反思与回顾过程中，学生的思维进行碰撞，深刻体会数学思维方法，有效地提升问题解决能力，整理和概括数学学习经验。
[关键词]小学数学 四则运算 常见错误 解题方法
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）32-062
一、运算顺序错误
学生都能记住运算法则，但在实际运用时却会受到理解能力的影响，导致出错率较高。
又如，计算“8+3×（9.5-0.5×5）”时，很多学生会写成“8+3×（9×5）”，得到错误的结果。对于这个题目，教师要尽力帮助学生避免定式思维，不让他们随意凑整数而颠倒了运算的顺序。
为此，教师在平时的教学中，应该经常提醒学生：题目中有哪些类型的运算？根据运算法则应该先算什么，再算什么？从而提高学生计算的正确率。
二、乱用运算律
对于加法交换律和结合律，乘法交换律、结合律和分配律等，应避免学生滥用和错用。
教师应该让学生明确四则运算的运算律只有所学过的这几种，不能随意编造，还要鼓励学生养成验算的好习惯，提高运算结果的准确度。
三、点错小数点
在列竖式的四则运算中，学生因为点错小数点而导致的错误较多，严重影响了计算的正确率。
例如，对于题目“4.8×9.6-34.5÷4.6”，学生会写错成：
4.8×9.6-34.5÷4.6
=460.8-0.75
=460.05
正确的计算过程为
4.8×9.6-34.5÷4.6
=46.08-7.5
=38.58
不难发现，由于计算“4.8×9.6”时小数点点错了，导致结果扩大了十倍，而在计算“34.5÷4.6”时，把4.6扩大十倍变成了46，而没有把被除数34.5进行相应的转化，所以得出的商也是错误的。
为避免类似错误的再次出现，教师应该加强小数乘法中小数点位数和除法计算时小数与整数之间的转化的教学。
四、漏抄漏算某数
学生注意力不集中、思维不活跃等，也容易导致他们在计算时漏抄漏算，最终计算错误。
例如，计算“18÷2+12-9”时，有的学生虽然得出了正确的答案，但是计算过程存在问题，即“18÷2+12-9=9+12=21-9=12”，有遗漏的情况。而在面对计算题“0.6×0.83+0.6×0.17+0.6”时，很多学生受到自身思维的限制，在计算的过程中会出现顾此失彼的情况，即“0.6×0.83+0.6×0.17+0.6=0.6×（0.83+0.17）=0.6”，忽略了0.6本身是0.6与1的乘积。
为此，教师应该根据不同学生出现的不同问题辨证施治，对于解题步骤存在问题的学生，鼓励他们多看课本上的例题，每一字每一步都按照课本上的范例操作；对于思维固化的学生，则培养他们的发散性思维，引导他们把题目看全面，可安排小组合作探究式学习；对于经常看错题目的学生，教师则应从培养学生的耐心和细心程度入手。
一、培养学生学习数学的兴趣和数感
传统的数学课堂教学，就是老师讲学生听，教师从不审视自己的教学是否引起学生的兴趣，当学生出现与课堂教学不一致的行为时，只怨学生，甚至批评学生，而不反思自己的教学行为是否恰当。所以教师的课堂教学要讲究艺术特色，学生喜欢你的课堂才喜欢你教的学科。学生对数学有兴趣，老师就要进一步引领学生进入数的世界，培养学生数感，如多做一些数独题、数学趣味题，激发学生的求知欲。
有理数计算是训练思维的重要途径。在我看来计算不仅仅只是面对一些干瘪的算式，在这些算式背后隐藏着丰富的思维，特别是学生用一些巧妙的方式解决出一些能简算的运算后给人一种美的享受。计算是学生观察力、推理能力、运算能力的综合考验。教师要引导学生面对一道题首先要观察、思考而不是立刻下笔，经过低、中段有扎实训练的学生走到高段后应该能达到这种程度，这种成果不是因为题做得多，而是教师强调、重视了在计算教学中培养学生的数感、思维。
二、教学要循序渐进
1.弄清有理数加、减、乘、除、乘方法则及运算律。教师应引导学生对学过的公式、法则等不仅要牢牢记住，而且要弄清来龙去脉；掌握公式和法则要会正用，同时也要会逆用和变形用。
例如：对比计算（－5）－（－8）；（－5）＋（＋8；（－5）＋（－1）×（－8），这三道题的结果相同，但分别运用了正用法则、逆用法则、变形用法则，学生在运算中感受乐趣，领悟解题技巧，对提高准确率有很大的帮助。有许多学生，平时做题查公式、法则，考试前突击背公式、法则，这种办法是不妥当的。好比一个成语，只有平时深刻理解其含义，才能在写文章时用得得心应手，恰到好处。一边写文章，一边查成语词典，是很难写出好文章的。
2.牢记运算顺序。特别是同级运算，应按由左到右顺序进行运算。例如：（－1）÷3×（－）很多学生认为有简便运算：先算乘，后算除，计算出错误结果1。
3.注重做题反思。有理数计算能力的提高离不开做题，但做题后的反思更重要，解题的质量在于好好反思每做的一道题。我们要引导学生积极探索，经历反思过程，并在反思过程中提高数学思维能力。运算是否准确，大多数学生做完后一般要再算一两遍，到出现同一答案为止，以为正确，试卷一发下来老师评讲后才恍然大悟，这是定势思维的影响，我们应教会学生从不同角度进行验算。学生做题往往是为做题而做题，还没有认真分析解题规律和简便方法，所以做题后反思就是准确率提高过程，也是思维能力提高过程。
三、注重训练技巧
运算能力也是许多学生的薄弱环节之一，每次考试，由于计算失误的丢分占相当比例。学生往往认为自己会算，但“会算”和算对是两回事。因此，教师在平时要加强学生运算能力的训练，并不断创新训练技巧，使学生不仅真正会算，而且算得准、算得快。如有理数运算题让学生进行计时训练，看哪种方法解题快。如下题：
四、及时纠错，注重激励
1.课前问答比赛，学生轮着来，老师读题学生答，又快又准为胜出。题目类似如下：①－1－1；②－1×（－1）；③－1＋2；④（－1）2.⑤－22；⑥－1÷（－2）；⑦－2＋（－3）；⑧－2－（－3）；⑨0－（－3）；⑩3－5等等。由于提问的学生怕答错、怕同学笑，其思维高度集中，那准确率就高，达到有效的纠错的效果。
2.有理数运算堂上测评连续10次满分的同学其作业本在全班展览并获班级管理加分奖励，并授予“计算得分王”光荣称号。以此鼓励学生争取荣誉、珍惜荣誉，激发学生计算求快、求准的潜能。
《新课标》第四部分明确谈到：“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。例如，可以介绍《九章算术》、珠算、《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术、布丰投针等。”尤其是在初等教育的学习阶段，小学数学教材作为学生系统学习数学的起点，有关数学史内容的渗透是很有必要的。与此同时，对于数学史在小学数学教材渗透过程中，我们必须要进行理性的思考。本文主要讨论《九章算术》应用在小学数学教材中的内容。
《九章算术》是中国古代最重要的数学著作，也是世界数学史上极为珍贵的古典文献。公元656年，李淳风受诏负责编撰的“算经十书”作为国学标准的数学教科书，而《九章算术》就是“算经十书”之一。《九章算术》作为算法化的代表，凝聚了古代学者的智慧，形成了我国古代初等数学体系，是数坛历史上的一颗璀璨明珠。现传本《九章算术》包括246道数学问题，按问题的性质划分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股这九章数学内容，故称为《九章算术》。《九章算术》不仅对我国古代数学的发展有着深远的影响，同时也对现代初等数学具有一定的指导意义。
一 《九章算术》应用于小学数学教材的内容
第一章是方田，共38个题目，其中有一部分讲的是平面图形的面积计算问题，另一部分讲的就是分数的四则运算法则。其中涉及的平面图形有方田（长方形）、圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）、圆田（圆形）、宛田（扇形）、弧田（弓形）、环田（圆环）。还提及了有关分数的约分、通分及分数的加减法和分数的大小比较等。这一章中运用到小学数学课本的有平面图形的面积求法，例如：第1题指出计算长方形的面积方法，“术曰：广从步数相乘得积步。”这里的“广”是指长方形的长，“从”是指长方形的宽。还有运用分数的四则运算法则，例如：第10题指出分数减法的运算，“术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。”这里的“母互乘子，以少减多，余为实”是指分子与分母交叉相乘，用少的减多，所得余数为分子；再分母相乘为分母，“实如法而一”就是得到的一个新分数。
第二章是粟米，共46个题目，主要讲了谷物粮食的按比例折换，还有比例的算法。为了更好地进行物品交易，先是规定好了各种粮食之间的交换比例，然后在按比例折算，古代把正比例称为“今有术”，并给这四项定了名字，分别是“所有率”“所有数”“所求率”“所求数”，就是已知其中的三项要求出第四项，所用的运算公式是：
所有率∶所有数=所求率∶所求数
例如“今有术曰：以所有数乘所有率为实，以所有率为法，实如法而一。”相当于
这一章的比例换算在人教版、北师大版等多种版本的小学数学课本均有涉猎。
第三章是衰分，共20个题目，提出比例分配法则，称“衰分术”，是以“今有术”为基础来处理各种比例分配问题。例如“衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之。”具体以第一题为例“大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎的五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？”既是按比率5∶4∶3∶2∶1计算每人应得鹿。这些比例的运算在小学数学
课本中有讲解，也运用到了现实生活中的具体例子。
第四章是少广，共24个题目，讲的是面积和体积的开平方、开立方，反求其一边长和径长等的问题，这在小学数学课本中未涉及。
第五章是商功，共28个题目，讲的是立体图形的体积运算，例如“城、垣、堤、沟（底为等腰梯形的直棱柱）、渠，皆同术。术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”，就是我们小学数学课本中所学的梯形面积=（上广+下广）÷2×高，而等腰梯形的直棱柱的体积=梯形面积×袤，还有分割长方体后的各个立体图形的体积，如：堑堵、阳马等。
第六章是均输，共28个题目，讲的是平均摊派捐税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论，是粟米和衰分章的发展。
第七章是盈不足，共20个题目，讲的是盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题解法。例如《九章算术》卷七第2题，“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六；不足十六。问人数、鸡价各为几何？答曰：九人，鸡价七十。”若每人出9，就比鸡价多11；若每人出6，就比鸡价少16。一般地假设人数为x，每人出钱a1盈b1，出钱a2不足b2。“盈不足术”相当于给出了解法：x=（b1+b2）÷（a1-a2），这些内容在小学数学课本中还未涉及到。
第八章是方程，共18个题目，讲的是多元一次方程组应用问题解法；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组使用的是直除法，与矩阵的初等变换是一致的。除此，这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术――正负数的加减法则，还有正负数的乘除法等。其中有运用到小学数学课本中的是正负数的引进和正负数的加减法。
第九章是勾股，共24个题目，讲的是利用勾股定理来解决各种实际问题，与测量和绘图有直接的联系，勾股定理公式是指：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则a2+b2=c2。
二 《九章算术》实例解析
本文将以人教版为例，研究小学数学教材的《九章算术》的内容，如下表：
由表1可以看出，小学数学教材中包含了大篇幅《九章算术》的内容，那么在《九章算术》中是如何阐述以上的数学内容，又体现了怎样的数学思想方法，以下将以方程和负数为切入点进行阐述。
1.方程
第八章是方程，共18个题目，讲多元一次方程组应用问题解法。《九章算术》的注释者刘徽说：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”就是说物体未知的个数即是方程的个数。与此同时，为了使方程组有确切的解，刘徽对方程组提出了正确无误的理论说：“行之左右无所同存，且为有所据而言耳”。就是说在方程组里既不能有相依方程，也不能有矛盾方程。
现以九章算术卷八第一题为例题，来阐述方程的算法程序。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”对于此题，《九章算术》所提出的解法是“遍乘直除算法”，“直除”法就是连续相减的消元法。《九章算术》没有表示未知数x，y，z的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列成一个方阵（如图1）。
图1
对于数学专业的学生而言，方阵的介绍及求解见大学的高等代数，因此通过列举方阵的方法求解方程组对初等教育的学生而言是不太现实的。现今中小学的学生求解方程所使用的方法是通过x，y，z列举三元一次方程组：
再通过消元法进行求解，古今求解《九章算术》的思想方法实质上是一致的，都是运用消元法，但是九章算术的过程相对而言不及解线性方程组简便。
2.负数
负数的引进，是中国数学史的一个里程碑，这个记载比国外早了七八百年。《九章算术》卷八“方程”章是这样介绍的：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”刘徽对此做了这样的注释：今两算得失相反，要令正负以名之；正算赤，负算黑，否则以邪正为异。刘徽注释为：正负是两种“得失相反”情况的反映，用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，或者用正、斜排列的方式分别表示正、负数。
据调查，负数的内容在人教版、苏教版和北师大版教材中均有涉猎，可见负数是初等数学的一个重要板块。负数的历史与介绍不仅应运用于小学数学教材中，作为高等师范学校的教师，也应该在数学史课程中对《九章算术》负数部分做重点介绍，使得他们在今后的教学中有足够的知识储备，为他们成为一名合格的小学教师做准备。
三 《九章算术》应用于小学数学教材的利弊
1.《九章算术》的优点
《九章算术》作为一部世界数学名著，理论联系实际，题材多样，由浅入深，既便于教学又适合自学深造。即使到现在，它在数学教育领域还有着极高的教育价值。
第一，有利于拓展学生数学知识面。《九章算术》算题在取材上丰富多样，直观形象。具体涉猎了小学数学八个方面的教学内容：图形的面积、长方体体积的计算、十进位计算、最大公因数、约分、分数四则运算、方程、负数。书中很多题目只要稍加变换就可以成为比较好的教学题材。
第二，有利于学生更好地掌握数学思想方法。《九章算术》通过观察―分析―归纳―概括这一循序渐进的步骤，总结出抽象的结论，对抽象理论辅以一定数量的实际问题来加深理解，蕴含了化归、数形结合、构造数学模型等思想方法，利于学生创造性思维的培养。同时，对于学生从数学史的角度，寻找目前正在学习数学知识的本源，亦有一定的借鉴与探源作用。
第三，有利于将数学与生活结合起来。《九章算术》对中国数学的影响与欧几里得《几何原本》对西方数学的影响是一样的。相对而言，欧几里得的《几何原本》 内容比较理论化，不仅不适合小学生学习，对成人而言也具有一定的难度。而《九章算术》秉承理论联系实际的解题思维，将抽象思维转化为具体思维，与现代数学“数学来源于生活，又回归于生活”的思想大同小异。小学生学习具有直观性、具体性的特点，以具体的实物为数学原型，利于学生掌握抽象的知识。
2.《九章算术》的缺点
《九章算术》的功绩是值得肯定的，不过，社会在变迁，时代在发展，今人已经在古人的基础上对 《九章算术》提出了新的见解，甚至得出更为简便的计算方法，用现代数学的观点去评价《九章算术》，它也存在些许不合理之处：
第一，它对任何数学概念都没有定义，对于7～12岁的儿童来讲，没有一个准确的定义或者概括，学生则很难将所学的方法进行延伸、拓展。而且《九章算术》对数学公式，解法都没有进行推导和证明，很难向小学生阐述方法的准确性，数学是一门严谨的学科，每一步都应有其理论依据。
第二，如果将《九章算术》的内容直接运用于小学数学教学中，这样做并不合理，它的编排顺序不适合学生的数学学习，而且随着岁月的变迁、时代的发展，现代社会已经不存在《九章算术》所举的实物例子，如果学生无法联系到身边的实物，这样也就缺乏了理论与实践相结合的意义。
第三，《九章算术》是古人智慧的结晶，由于那时没有系统的理论体系，计算方法相对而言比较繁杂，而今，现代数学家已经简化了《九章算术》的数学方法。
任何一本伟大的著作，都需要与时俱进才能发挥出其最大的价值，如果要将《九章算术》运用到小学数学现行教材中，则需要将其内容进行合理的改编，这样才能突显《九章算术》的教育价值及数学思想方法。
一、渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和思维迁移能力
数形结合是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合.利用数形结合可以化难为易、化繁为简，使问题易于理解.初一学生最先接触的数轴就是一个很好的数形结合的载体.利用数轴上的点可以表示数，借助数轴便于理解相反数、绝对值的几何意义，推导有理数的加法法则，学习不等式及不等式组的解集的概念，比较两个数的大小等.
例如，不等式x-3≤-5的解集是x≤-2，可用数轴直观地表示出来(如图).利用数轴表示不等式的解集，不仅形象，而且简单明了，同时也培养了学生的思维能力和创造能力.
在教学中注意渗透数形结合思想，使学生逐步学会应用数形结合分析、解决问题，养成良好的思维习惯.
二、渗透分类讨论的思想方法，培养全面观察事物，灵活处理问题的能力
分类讨论是中学数学中最常见的一种思想方法.当被研究的问题包含多种可能情形时，不能一概而论，必须分类讨论.如研究相反数、绝对值的代数意义时，将有理数分成正数、负数、零三类分别研究；三角形按角分类为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.应用分类思想时必须注意两点：1.每次分类都要按同一标准进行，分类常用的依据有概念、法则、图形性质、形状等；2.不重不漏.
例1-a一定是负数吗？
解析：因为a代表任意数，故要把a分为正数、负数、零三类来讨论.当a>0时，-a是负数；当a=0时，-a是0；当a<0时，-a是正数.
例2等腰三角形周长为16，其中一边长为6，求另两边长.
解析：已知一边长为6，这边可能是底边，也可能是腰.所以此题要分两种情况讨论.
(1)当6为腰长时，另一腰长为6，底边长为16-6×2=4，因为6、6、4三边能构成三角形，故等腰三角形另两边长为6和4；
通过这类题目，有意识地渗透分类讨论思想，帮助学生多角度、多方面分析解决问题，从而培养学生思维的严密性和全面性.
三、渗透转化思想，提高学生解决问题的能力
转化思想就是把要解决的问题转化成另一个较容易的问题或已经解决的问题，把“新知识”转化成“旧知识”，把“未知”转化成“已知”，把复杂问题转化成简单问题，这是解决问题的基本方法.例如，依据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算；依据除以一个数等于乘以这个数的倒数，把除法运算转化为乘法运算；同负的两个数相加、异号的两个数相加，依据加法法则确定符号后，转化为小学学过的加减法运算；将二元一次方程组经过消元转化为一元一次方程.
例1已知(3m-4n-14)2+|5m+4n-2|=0，求m、n的值.
解析：利用完全平方和绝对值的非负性质将等式转化为二元一次方程组，再根据消元法转化为一元一次方程求解.
在数学过程中，注重转化思想的渗透与点拨，通过知识的迁移运用，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新精神.
四、渗透方程思想，培养学生的数学建模能力
方程思想是指求解数学问题时，从题目中的已知量和未知量之间的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程或方程组，再通过解方程(组)解决问题.对初一学生进行方程思想的渗透实际上是培养他们的数学建模能力，这将对学生以后的数学学习有深远的影响.
例1若5x+2与-2x+9互为相反数，则x的值是多少？
解析：根据互为相反数的两个数和为0，得方程(5x+2)+(-2x+9)=0，解此方程求出x的值.
例2已知线段AC∶AB∶BC=3∶5∶7，且AC+AB=16，求线段BC的长.
解析：设每一份为x，则有AC=3x，AB=5x，BC=7x.
AC+AB=16，
3x+5x=16，解得x=2.
故BC=7x=7×2=14.
五、渗透逆向思维，培养学生思维的灵活性
逆向思维也叫求异思维，就是从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想、创立新形象的思维方式.在初一数学教材中，许多内容间存在互逆关系，教师在教学中应适时渗透逆向思维，帮助学生在解题时灵活运用.例如，有去括号法则，反过来就有添括号法则；学了整式乘法公式与幂的相关运算法则，就要会正用和反用；乘法的分配律a(b+c)=ab+ac，自然也会逆运用ab+ac=a(b+c).
解析：通过观察，容易看出四分之五是每个积的公共部分，逆用乘法分配律，可使运算简便化.
运用逆向思维思考和处理问题，实际上是以“出奇”达到“制胜”，有利于加深学生对知识的理解，培养学生思维的灵活性.
六、渗透整体思想方法，提高解题效率
整体思想是从整体出发，在全面考虑问题的条件和结论的基础上，寻求解题途径的思想方法.在应用整体思想时，有时须先变形，然后把整体部分用括号括起来.
例已知a+b=5，求(a+b)2-4(a+b).
解析：本题只需要将a+b的值整体代入即可，当a+b=5时，(a+b)2-4(a+b)=52-4×5=25-20=5.
在教学中渗透整体思想方法可提高解题效率，有助于培养学生良好的思维品质和创新意识.
1．归纳整理四则运算的意义．
2．归纳整理整数小数和分数计算法则的异同点，进一步总结计算时应遵循的一般规律．
3．总结四则运算中的一些特殊情况．
4．总结验算方法．
教学重点
整理四则运算的意义及法则．
教学难点
对四则运算算理本质规律的认识和理解．
教学步骤
一、复习旧知识，归纳知识结构．
（一）四则运算的意义．【演示课件“四则运算的意义和法则”】
1．举例说明四则运算的意义．
根据下面算式，说一说它们表示的四则运算的意义．
2＋30.6－0.42×36÷2
100－152×0.30.6÷0.2
0.2＋0.32×1.3
2．观察图片．
教师提问：看一看，整数、小数、分数的哪些意义相同？哪些意义有扩展？
（加法、减法和除法意义相同，乘法意义在小数和分数中有所扩展．）
3．你能用图示的形式表示出四则运算的意义之间的关系吗？
（二）四则运算的法则．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】
1．加法和减法的法则．
（1）出示三道题，请分析错误原因并改正．
错误分别是：数位没有对齐，小数点没有对齐，没有通分．
（2）三条法则分别是怎样要求的？
整数：相同数位对齐
小数：小数点对齐
分数：分母相同时才能直接相加减
思考：三条法则的要求反映了一条什么样的共同的规律？
（相同计数单位上的数才能相加或相减）
2．乘法和除法的法则．
（1）出示两道题：
口述整数乘法和除法的计算法则．
改编成小数乘除法计算：1.42×2.34.182÷1.23
（要求：学生在整数计算的结果上确定小数点的位置）
（2）教师提问．
通过上面的计算，你发现小数乘法和除法与整数乘法和除法有什么相似的地方？
（小数乘除法都先按整数乘除法法则计算）
有什么不同？
（小数乘、除法还要在计算结果上确定小数点的位置．）
（3）根据，说一说分数乘法和除法的法则．
分数乘法和除法比较又有什么相似和不同？
相似：分数除法要转化成分数乘法计算．
不同：分数除法转化后乘的是除数的倒数．
（三）练习．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】
计算后说一说各题计算时需要注意什么？
73.06－3.96（差的百分位是0，可以不写）
37.5×1.03（积是三位小数）
8.7÷0.03（商是整数）
3.13÷15（得数保留三位小数）
（要除到小数点后第四位）
（要先通分）
（四）法则中的特殊情况．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】
请同学们根据a与0，a与1和a与a的运算分类．（a作除数时不等于0）
分类如下：
第一组：a＋0＝aa－0＝aa×0＝00÷a＝0
第二组：a×1＝aa÷1＝a
第三组：a－a＝0a÷a＝1
（五）验算．【继续演示课件“四则运算的意义和法则”】
1．根据四则运算的关系，完成下面等式．
2．思考：怎样应用这些关系对加、减法或乘、除法的计算进行验算？
（加法可用减法验算；减法可以用加法或减法验算；乘法可以用除法验算；除法可以用乘法或除法验算．）
3．练习：先说出下面各算式的意义，再计算，并进行验算．
4325＋37947.5－7.6518.4×75
84×587.1÷0.57÷
二、全课小结．
这节课我们对四则运算的意义和法则进行了整理和复习，总结了在四则运算中的一些特殊情况及注意的问题，希望同学们在计算时一定要细心、认真，养成自觉验算的好习惯．
三、随堂练习．
1．根据43×78＝3354，直接写出下面各题的得数．（复习积的变化规律和商不变的性质）
43×0.78＝0.43×7.8＝
33.54÷0.78＝3354÷0.43＝
2．在里填上“＞”“＜”或“＝”．
12×12÷3×2
÷12÷12÷2×3
3．思考：7.6÷0.25的商与7.6×4的积相等吗？为什么？
四、布置作业．
计算下面各题，并且验算．
1624÷56－
学生数学经验的积累离不开计算的学习与运用。计算教学中的简便计算是非常重要的一个部分，它是学生计算能力的综合体现。它需要学生综合运用各种规律、定律和性质等使计算达到事半功倍的效果。简便计算的过程需要经历一系列的思维活动，它对发展学生的数学思维能力有极大的作用。可总有一部分学生没有简算的意识，甚至有些学生不会准确简算。“简算教学”好比织一张渔网，只有每个结、每根网线都非常牢固，才能顺利地撒与收。
一、理解简算依据，实现有效衔接
简便计算的依据并不只有运算律，还有一些规律、性质等。如“商不变的规律”、“分数的基本性质”、“积的变化规律”等。其中有一部分知识是以例题的形式呈现，而还有的则出现在书上的习题中，如果教学各年级段的老师对教材的把握不够，教学效果差的话，那学生就不能深刻理解，也就达不到长期的记忆，也会使今后的教学更费劲。到了高年级，简便计算的形式更复杂，范围也扩大到了小数和分数，能否简算往往是在计算过程中逐步显现的，如果不能深刻理解运算律和运算性质等，那很难实现简算的效果。例如： -（÷+），第一步要按照四则混合运算的运算顺序算，第二步才能发现可以运用减法的性质进行简算。所以，每个年级段的教学都要扎实、到位。要让学生深刻理解某些运算法则、运算律和运算性质等的意义，要多问一问，“为什么可以这样算？”使教与学都能有效地衔接。
二、培养审题习惯，实现简算效果
很多简算试题并不是单纯某个运算律或运算性质的框架呈现，能否简算会隐藏地很深，认真审题、多思善想、步步惊心才能实现简算的效果。所以首先要让学生仔细观察，并且要同时观察算式的特点和数字的特点，要想想原来的运算顺序是什么，然后再根据数字的特点看能否变换算式的形式，同时还要想一想这样变换的依据是什么。要让学生把“认真审题”保持于整个计算过程中，要审一步算一步，这样可以避免侧重观察数字的特点而胡乱凑整的错误。例如：630×9+370÷18，有的学生会把算式错变成（630+370）×9÷18，显然违反了四则混合运算的法则，也反而使计算更繁琐。这样出错的原因往往是某些老师过分强调了数的特点，而没有强调这样变的依据是什么。老师应让学生明白简便计算的依据并不是数字的特点，而是一些定律或性质等，如果在变的过程中违反了某些规定，那数字再有特点也不能简算的。
三、坚持练在每天，温习简算方法
虽然简便计算时只要用对方法，计算就很快捷，但总脱离不了枯燥的现实，而且简便计算题不同于一般的列式计算，多数题目会有一定的思维含量，不少学生会见“简便”而紧张。要消除学生不爱简便的心理，我们必须把这种枯燥和难度分散开来，让学生每天都接受一点点。我们要突破教材的安排，不能教材中出现一下，我们就安排练一下，我们要把简便计算的练习安排在每天，这样也能保持学生对方法的记忆，因为有些简算题需要多种方法并用才能实现简算。比如苏教版五年级下册安排了分数四则混合运算，其中有关分数的简便计算题比较复杂，如果老师能在这时开始就坚持安排学生每天练习一、二题，那到了六年级总复习时，学生就不会觉得突如其来，也能轻松复习，老师也不需要总担忧学生的思维不够灵活，总想着复习是否全面。织网的过程需要坚持和细致，一旦有不符规格的网洞出现就会影响捕鱼的效果，简算教学同样也贵在坚持。
四、增强简算意识，形成简算策略
在教科书或各类练习册上总会把计算题单独列一项，然后标上“能简算的要简算”之类的提醒，属于纯粹地计算技能的考察。我们在实际教学中不能拘泥这样的考察，让学生很被动地计算。我们要引导学生把简算上升为意识，要让学生明白我们学习简便计算的方法并不只是为了解决单纯的计算问题，而是要把简便计算更好地应用到解决实际问题中去。教师要力争把“使计算简便”的观念渗透到平时的教学中，让“简便算法”转变为学生自发的思维方式，形成一种策略，让这种策略成为学生的思维习惯，真正让学生体会到简算的省时省力。就如乘法分配律的运用，巧妙地运用它，还能拓宽学生的解题思路，增加经验的积累。如在求空心钢管的体积时，有1题是这样列式的：3.14×52×200-3.14×42×200，这样的列式可以理解为整个圆柱的体积减去空心部分的体积就是空心钢管的体积。但由于“3.14”要参与计算两次，所以计算比较繁。运用乘法分配律可以把该式变为（52-42）×3.14×200，这样的计算会简便些，而且又呈现了另一种思路，（52-42）×3.14可以理解为空心钢管底面圆环的面积，那么空心钢管的体积也可以用底面积乘高来计算。在教学这个内容时，我抓住了以下几个问题：这个算式的意义是什么？能进行简便计算吗？简算的依据是什么？还有其它列式方法吗？从而让学生发现3.14×52×200-3.14×42×200简算时的某一步就和（52-42）×3.14×200是一样的，此时，不仅让学生体会到乘法分配律的重要性，还增强了简算的意识，发展了学生的思维。
数学新课标指出：在数学课程中，应当注重发展学生的运算能力，要让学生能够根据法则和运算律正确地进行运算。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题②。是的，我们要在平时的教学中多注意引导学生思考能否进行简算？怎样进行简算？简算的依据是什么？真正织好“简算教学”的网，授生以渔。
【作者单位：苏州工业园区莲花学校 江苏】
【关键词】小数知识；错误认识；教学探讨
前言
有研究表明，小学生在学习小数知识时存在较多的问题，并且在理解小数的意义方面仍存在一定的困难，对小数知识的掌握程度较差[1]。在小数知识方面的错误认识既包括概念题的错误，也包括计算题的错误。本文就此进行相关的分析与探讨，并提出相关的解决策略。
1.常见的小数知识的错误认识
（1）小数概念的认识不当。小学生对小数概念的错误认识包括以下几点。读小数方面，小学生常常精读小数后的数字，如将0.24读成零点二十四；在数线上标小数点或读小数时，易将两格间的单位弄错，例如将0.1与0.3分为十格，不知道两小格间表示的是0.02，同时在理解数线所对应的小数方面存在较大困难；在度量单复名数的转化问题方面，易将小数点的位置放错，如难以将1公尺50公分转化为1.5公尺；容易在序列小数进位方面出错，如0.9进位后变成0.10；在分数与小数的转化方面，易将分子当整数，分母当小数，或将分母当成小数，分子当成小数。如将8/9看作8.9或9.8；在对小数大小进行比较时，错误地认为小数点后面的数字量越多，其值越大。如比较0.8与0.78的大小时，会认为0.78更大；此外部分学生认为除法会使结果变小，乘法能够使结果增大，将用于整数计算的乘除概念用在小数计算上；多数学生不了解分数和小数的稠密性，不知道数与数之间可以被无限分割，在小数的除法计算上，会以大数除以小数这样的思维进行解题。而上述这些错误主要是由于小学生未能准确区分分数与整数的概念所致。
（2）在小数计算方面的错误认识。小数计算包括小数四则运算，在这方面的错误主要有以下几点。在乘除运算上错误放置余数小数点，部分同学在解余数问题时常采用四舍五入法求商；在余数的除法计算中，学生常常出现的问题就是忽视余数小数点；加减法运算时会依据整数的加减法运算原则“向右对齐”进行计算，结果不标小数点或者小数点未对齐。另外，学生虽然对小数的概念有一定的认识，但在小数的互相转化（元、角、分，米、分米、厘米、毫米等）方面仍存在较大的困难[2]。作为小学数学教育的教学重点，小数知识应得到重视。本文就上述问题进行了相关思考，并提出以下几点建议。
2. 避免学生错误认识小数知识的措施
（1）丰富教学方法。教师可以借助计算器对学生进行指导或者由现实生活中的案例导入小数教学。通过指示物以及计算器的相关操作，帮助小学生理解小数知识，提高算的准确性，采用指示物进行操作能够树立学生的小数化聚能力。例如，在学习序列小数时，运用计算器进行累加，将0.1累加，从而教会学生0.9进位后为1.0，0.99进位后则为0.1。采用视觉表征来提高学生对概念的理解，防止其出现0.9进位后变为0.10的错误认识。
（2）将视觉与听觉相结合进行教学。例如教师采用图卡配对的方式，让学生读出小数，并将正确的读法告知学生，从而提高其小数听说读写方面的能力，及时纠正学生的错误读法。运用等分割的概念对小数知识进行解释，即对比小数的十等分与整数十等分的区别，从而使学生意识到小数点后面的数值不可精读的原因。由于学生在读小数方面的错误多数是因整数读法的影响，因此可以运用反问的方式打破学生的思维定势。当学生出现读法上的错误时，教师可以进行反问，从而加深学生对问题的思考。如学生将65.54读成“六十五点五十四”时，教师则应反问：“大家都认为这是正确的读法吗？”从而引起学生反思。同时教师可进行适当的引导，如：“小数部分的5也在十位上吗？”若学生回答不在，则继续发问“既然不在的话，还能读成五十吗？”从而使学生领悟到不能依照整数的方法来读。
（3）运用数线无限制分割原理来增强学生对小数稠密性这一概念的理解。教师运用直尺导入数线的方式展开教学，让学生用直尺画线段。学生在一边动手一边学习小数知识的过程中，不断理解0.1是经十等分得出的，0.01则是将0.1十等分后得出的。在动手操作的过程中逐渐提高学生对小数知识的学习兴趣，同时能够加深其对数线知识的印象，有利于构建小数知识网络。可见通过数线上的数字位置来掌握小数点知识，能够使学生在反思中认识到小数的大小，并能够运用位置法对小数的大小进行比较。
（4）在进行小数教学时，可以结合45/100 = 4/10加5/100即0.45=0.4加0.05的模式教导位数概念来强化小学多单位概念与位数概念的学习。例如0.48就是4个0.1和8个0.01，其单位就是几个0.1或者0.01。还可以运用小数与分数的连接转换教导位数概念进行教学，如先让学生对分数进行思考，再让其运用不同的方法对分数进行表示，如450/1000=4/10+5/100，之后教师引出 45/100 =4/10加5/100=0.4+0.05 =4×0.1加5×0.01。同样的，在含有整数的小数中也能够使用这种方式开展位数教学，例如5.23 = 5加2/10加3/100，这种将分数与小数互相转换的方式有助于小数位数教学。此外在教学时也可以运用举例的方式，让学生通过观察对比来理解小数转化知识。如在进行元、角、分的相互转化时，教师可先将10张1角与1张1元展示在学生面前，再告知其两者相等，取出1元（10角）中的一份可以用分数表示为1/10元，因此1角=1/10元=0.1元。此方式既能够说明位数概念，又能够增加学生对小数与分数相互转换的认识，从而更好地澄清位数概念。通过质疑辩证数字的摆放位置，促进学生思考各个数字所表示的位数，从而帮助其建立小叔概念。
3. 结语
小学生在小数知识方面的错误主要集中在概念题与计算题，具体包括读法、小数大小比较、小数进位等方面的错误。为了解决这些问题，教师应重视丰富教学方法，借助计算器、卡片等工具，将视觉与听觉结合展开教学。丰富小数的表达方式，并重视对学生进行引导，使学生从多角度理解小数，让学生在反思中准确掌握小数知识。
【参考文献】
一、开门见山，让学生迅速进入学习的状态
片段1：师：里能填“=”号吗？每组算式有什么特点？你发现了什么规律？
0.8×1.31.3×0.8
（0.9×0.4）×0.50.9×（0.4×0.5）
（3.2+0.8）×0.63.2×0.6+2.8×0.6
生1：都填“=”，第一组和第三组的算式都运用乘法的分配律；第二组算式运用乘法的结合律。
生2：我发现运算律在小数中也可以用，运用这些定律可以使计算简便。
数学课的“开场”有多种，如创设一定的情境，让学生体会计算的价值等，本课单刀直入呈现问题，简约有效。
二、开放的课堂环境是学生自主学习的平台
片段2：师：每个四人小组出小数四则混合运算的题，要求能运用运算定律能使计算简便，分工合作完成。
师巡视，板演学生创造的素材，学生每人选1—2题完成。
（1）5.7×0.4+4.3×0.4
（2）1.4+0.8+1.6+0.2
（3）（0.8+0.4）×1.25
（4）0.9×0.5×0.8
（5）1.25×16
（6）19×1.25+1.25
学生纷纷汇报出题意图及各种解题方法。
此案例中教师进行了大胆的尝试，让学生根据运算律的特点和已有的经验，自己创造学习的素材，营造了一个开放的课堂，自主学习的平台。期间教师巡视引领课堂。学生从中选择1-2题用简便方法解答，再让出题的人进行讲解。学生在试练试讲的过程中，暴露计算中的错误，师针对性地进行指导。
三、有效的练习是实现计算能力提高的关键
片段3：师：小测试，四人小组内最先完成的学生，由老师检查正误并担任小老师，其他三人在完成后交小老师检查并交流。
（1）0.25×8.5×4
（2）2.4×1.02
（3）1.28×8.6+0.72×8.6
（4）12.5×0.96×0.8
师：汇报组内错误最多的题？ 生：2.4×1.02
师：你能想到哪道题？
生：可以想到24×102，把1.02拆分成1+0.02，再用乘法分配律。
案例中，通过有效的练习，让学生掌握运算方法，正确、迅速进行计算，方法合理、灵活，继而形成技能。对少数未能理解掌握的学生，教师也能做到及时给予帮助。该课例中，教师采用四道不同类型并有一定梯度的题，要求学生独立完成并用独特的方式参与共同反馈。教师再针对典型错题，让学生共同分析原因。学生间互议互启，教师参与交流。
四、发展数学思维是计算教学的最终目标
片段4：师小结：今天的学习材料来自同学们的原创，简便运算的目的不是为了简便而简便，而是要使我们的计算更简洁快速准确。
