时间：2022-09-27 23:36:32
兴趣是最好的老师，是学生认识事物、探索新知的动力。兴趣带有情感色彩，它是推动人去认识事物、探求真理的一种重要动机，是学生学习中不可或缺的主要因素。小学生具有好奇的天性，对新事物总是充满遐想，总是乐于接受感兴趣的新知识。数学这门学科本身较抽象、单调，不如其他学科那样富有故事性、趣味性。在课堂教学中，如果教师一味地采用传统“满堂灌、注入式”的教学方式，对学生的学习兴趣不管不问，久而久之，学生就会渐渐地厌倦数学。因此，课堂教学中想要让学生学得更好，作为教师的我们应把学生的学习兴趣激发放在第一位，抓住小学生“好奇”的特性，设法使学生对所学内容产生兴趣，用学生的学习兴趣去带动学生的学习积极性和主动性，引导学生变“苦学”为“乐学”，变“要我学”为“我要学”。激发学生学习兴趣的方式有很多，教学中，教师可以根据学生的特点，结合所学内容，积极搞好课堂引入，在课程开始时就用学生感兴趣的事物把学生引进课堂，激发学生的学习兴趣，使学生在有兴趣保障的环境下积极学习数学知识，提高课堂教学的有效性。
二、创设有效的课堂教学情境
教师在课堂教学中要尽量设计各种各样生动有趣的教学情境，如问题情境、故事情境、竞争情境等。如在学习“分数的认识”时，当学生已认识了1/2、1/3这两个分数后，教师可以问学生：“你觉得还可能有哪些分数呢？谁来大胆地猜一猜。”学生稍加思考后，就会立即回答：“1/4、1/5、3/4、2/5……”此时，教师可以问：“同学们，的确有这些分数，你能借助课前准备好的材料把1/4表示出来吗？我们来比一比，看谁表示的方法多？”问题一经提出，学生就积极思考并操作起来。之后，大家积极展示、争先恐后地发表着自己的意见。有的学生说：“我把一个长方形对折再对折，打开后平均分成了四份，每份就是它的1/4。”有的学生说：“我把一个圆形对折两次，打开后也平均分成了四份，每份也是它的1/4。”教师通过情境的创设，不仅使学生兴趣浓厚，而且也使学生感受了数学与生活的密切关系，借助旧知迁移使学生很好地掌握了知识。
三、注重练习，促使学生的学习能力快速提高
（一）多方面练习
小学生好奇心比较重，在课堂上好动，在思维方面以具体形象思维为主，而抽象逻辑思维能力比较弱，持续注意力较差。他们对具体形象的事物比较感兴趣，因此，在教学中教师应引导学生动手、动口、动眼、动脑，让他们在学习过程中多方面进行练习。教师要引导学生利用旧概念去认识新概念，应用曾经学习过的公式、定律去解决新的问题，通过温故知新促进学生学习能力的发展。
（二）练习要有针对性，使学生掌握计算规律
多练虽然是提高学生计算能力的重要方法，但如果教师只是注重练习数量，有时会损伤学生的积极性，因此，练习也要有针对性。教师要让学生针对那些易错、易混的题目进行练习，以此提高学生的计算能力。教师可以选择教材中的重点和难点题型，也可以选择大多数学生共同出现的错误题型，还可以用不同题型设计计算题，让学生进行针对性练习。通过不同题型的练习，学生既能提高计算能力，也能灵活掌握所学知识。学生掌握了一些计算题的规律，既能够提高计算准确率、节省计算时间，又能培养逻辑思维能力。
四、重视动手操作，提高实践能力传统的数学课堂教学
主要是以教师上面讲解、学生下面记背的方式为主，纯粹是通过教师的讲授使学生学习有关的概念、公式、法则与定律，形式比较单一，课堂比较枯燥。学生通过动手实践活动获得数学知识，不仅可以对知识的形成有一个清醒的认识，也有助于良好学习方法、思维方法以及学习态度的形成。通过这一类的活动，学生既能体验到独立获取知识的乐趣，又能从中学到解决问题的方法，有效地培养实践意识和实践能力。如在教学“分数的意义”时，教师可以利用分一分、画一画等动手操作活动激发学生的兴趣，使学生发现长方形纸的4分之1有大有小，促进学生进一步主动思考，体会什么是单位“1”，理解分数的意义。学生学会使用分数解决生活中的问题后，就会增强自信心、提高探究能力。
关键词：小学数学；概念教学；有效策略
数学概念是数学知识的基本组成元素，只有正确理解和完善概念，才能有效解决数学问题，是学生学好数学的前提。本文以小学数学概念教学为例，研究概念教学的有效性。
一、巧设问题，激发学生的想象力
概念教学对小学生来说具有一定的难度，小学生很难在一开始就能正确的理解数学概念，需要教师适当指导，设置一个简单的相关性问题，激发学生的思考能力和想象力，慢慢引出数学概念，逐渐加深学生对数学概念的印象及认识。
在学习“圆”这一课时，教师可以首先提出一个问题：“同学们，你们知道轮胎是什么形状吗？”学生肯定都知道是“圆形”，教师在黑板上画出轮胎的形状，告诉学生这就是我们所要学习的“圆”，经过教师结合实际生活的逐步指导，学生会不自觉地对“圆”的形状进行想象，让学生加深对“圆”概念的理解，达到了学习数学概念的教学目的。
在课堂上，随着教师提出的问题和学生积极想象，不断开阔了学生的思维，让学生思考和与教师互动的过程中学习了新知识，掌握了新概念。教师通过利用学生身边所熟知的物品，使学生建立正确的数学概念，并可以较好地运用数学概念，有效提高了学生学习数学的能力。
二、分组讨论，加强学生之间的交流
在小学的课堂教学中，每个班的学生都普遍较多，严重影响了教学效率和学生的学习效率。教师不可能对每一个学生都亲自指导，更不可能及时帮助学生解决学习中的问题。而进行分组讨论，并以小组为单位得出一个统一的结论，教师在此基础上进行点评与指导，是目前解决上述问题的最佳途径。
在学习“体积”这一课时，教师可以组建互补型小组，每组成员为6个，根据学生的学习成绩、性格等具体情况来分配组员，确定小组后，选取一个组长组织学生关于体积的问题进行探讨，也可以让组长通过故事性的讲解来深化学生对体积的理解。教师指导组长可以给学生讲“乌鸦喝水”的故事，问学生乌鸦为什么喝到了水？在学生有趣的讨论时，总结出一个统一的结论报告给教师，教师让学生对石头在水中占有一定的体积进行初步认识，在循序渐进中以生活物品为对象，组织学生进行实验演示，并分析实验目的得出结论。
在分组讨论的学习中，加强了学生之间的交流，使学生的思维不断发生碰撞，在学生互动与交流的过程中不仅学习了数学概念，还加强了学生之间的团结友谊，让学生明白合作共赢的学习方法，小组讨论的学习方法可以有效加强学生之间的互动交流，更为学生指出一个友好的学习策略，极大发挥了概念教学作用。
三、强化学生动手能力，体验概念的本质
小学生学习数学概念都是比较被动接受知识，不能加深对数学概念的理解，很容易导致学了就忘，特别是针对一些比较抽象的数学概念。为了有效提高学生的学习效率，教师可以对一些复杂难懂或过于抽象的数学内容，尽可能提供学生自己动手进行学习的机会，通过学生亲身体验，从本质上理解数学概念，加深学生对数学概念的理解，提高学生的学习效率。
学习“三角形”这一课程时，教师可以实现让学生准备3、4、5、6cm的尺子或小棒，通过2人一组自己动手实验，看看这些尺子能不能组成三角形，对于可以组成三角形的尺子，记录它们的长度，指导学生思考，为什么有的尺子可以组成三角形有的却不可以呢？学生之间思考交流，促进学生对三角形性质知识的理解。
教师通过给学生提供自己动手实践的学习机会，指导学生自主交流和思考。教师不要过早告知学生正确的答案，给学生充足的时间，让学生思考、讨论、实验验证。在学习过程中出现的疑问会激发学生进一步学习的兴趣，学生通过自己动手实践获取的知识远远比教师直接传授有价值，不仅加深了学生对概念数学知识的理解，更在动手学习的过程中体会到学习的乐趣，激发了学生的学习兴趣，有利于提高小学数学概念的积极作用。
概念数学教学对小学生的学习难度较大，需要教师进行有效的教学方法指导，教师可以通过巧设问题，进行分组学习，强化学生动手实践能力等策略来激发学生的学习兴趣，加深学生对概念数学知识的理解，进而提高学生的学习效率，尽可能发挥概念教学的积极作用。
参考文献：
[1]王彩.提高小学数学教学有效性的策略研究[J].新课程：小学，2015（04）：87.
[2]李颖.提高小学数学概念教学有效性的策略[J].甘肃教育，2015（09）：106.
关键词：数学概念教学；误区；实践
中图分类号：G623.5文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）11-0266-02
1.过度着手于学生的操作活动，却有意无意淡化了语言概括的重要性
[案例一]《因数与合数》的教学：教师先让学生列出1-20各数的所有因数，然后汇报表格的填写情况，集体订正；再根据因数的个数进行分类，抽象出质数和合数的概念；最后出示百数表，先让学生试找100以内的质数和合数，集体订正。并背诵50以内的质数。
本例中，教师非常重视学生在"做"中学，如"写"20以内数的因数。"找"100以内的质数，而忽视了让学生在"言"中悟，忽视学生通过用自己的语言尝试概括概念的内涵，重操作，轻语言。事实上，当教师让学生通过自主列出1-20各数的因数时，学生已经对概念有了模糊的意象，只是不能用精准的数学语言来概括，此时教师也没有引导学生用自己的语言尝试概括概念，而是直接揭示概念，通过背诵记忆概念。这在一定程度上影响了学生逐步舍弃事物的非本质属性而突出本质属性的抽象概括能力的发展，导致学生对概念的理解只停留于表面。
又如在百数表中找质数和合数环节中，教师关注的是找的结果，忽视了让学生说说找的方法，忽略了让学生讨论这样找的依据，既浪费了找的时间，又导致了找的低效。可以让学生说说怎么找，为什么这样找，然后再让学生独立找。这样不仅能加深学生对概念的理解，更重要的是，在这样的逻辑推理过程中，能提高运用数学语言合乎逻辑地讨论和判断的能力，培养学生有序推理的意识。
2.过分追求直接指向结论的捷径，却忽略了学生经历活动过程的价值
[案例二]《循环小数》的教学：教师先谈话引入新课：校运动会，小强跑400米时，用了75秒，他平均每秒跑多少米？请你在课堂作业本上列竖式计算（指名板演）。然后再出示28÷18和78.6÷11两个算式，让学生笔算并板演，最后抛出几个问题：
师：哪位同学来说一说这三个商的特点？
师：像这样一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。（师板演课题）
师：你认为这一句话中关键字、词有哪些？（无人举手）
师：你觉得这句话中，哪些词是重点词呢？
师：大家一定要记住这些重点的词，现在给大家2分钟时间，看谁能记住这句话。（自由读，再指定学生背诵）
这样的教学设计，学生能理解、会理解"循环小数"这一概念的定义吗？这一定义是教师强加在学生的身上，学生是"被理解"。虽然能背出"循环小数"这一概念的定义，但根本是不知所以然，犯了重结论，轻过程的毛病。
"循环"现象在日常生活中随处可见：四季的轮回、日历的变化、体育老师的口令等。在概念的引入阶段，教师就可为学生提供丰富的感性材料和生活经验进行"对接"，通过学生的观察，师生的对话，一步一步感知循环，深化循环，直至理解循环。先突破"不断地""重复出现""无限的"这些教学难点，再通过计算、思考、猜想、讨论等一系列的数学活动，深入探究，进一步巩固加深对循环小数这一数学概念的理解。
3.集中精力解读概念的内涵，却忽略了概念的丰富外延
[案例三]《商的变化规律》的教学：教师创设了这样一个情境：金老师花了100元钱买5元/个的文旦；王老师花了200元钱买10元/个的文旦；陈老师花了300元钱买15元/个的文旦。三位老师各买了几个文旦？学生列出了100÷5=20、200÷10=20、300÷15=20这三个算式，然后教师引导学生观察，并探究规律。结果，好几个学生都发现了"被除数依次增加100，除数依次增加5，商不变"这一规律，使探究商的变化规律的过程"节外生枝"，极大地影响了学生学习的效率。而老师还不得不承认他们的发现是对的，导致了教学的尴尬。
如果把例题改为：金老师在利群水果超市买了2个文旦，花了30元钱；王老师在楚门水果超市买了4个文旦，花了60元钱；陈老师大众水果超市买了10个文旦，花了150元钱。哪位老师买得便宜？列式：① 30÷2=15，② 60÷4=15，②150÷10=15仔细观察这三个算式，什么变了？什么不变？（被除数和除数都变了，商没变）②式与①比，被除数和除数怎么变？（都乘2，商不变）③式与①比，被除数和除数怎么变？（都乘5，商不变）反过来，①式与②比，被除数和除数怎么变？①式与②比，被除数和除数怎么变？……就可避免了原来的教学"尴尬""麻烦"。
4.生拉硬拽地对概念的认知从直观感知直接拖至抽象概括，却省略了从"形象-表象-抽象"这一关键桥梁
[案例四]《长方体和正方体认识》的教学：利用课件演示一个长方体，让学生观察、讨论、汇报，得出它的特征：长方体有6个面、8个顶点、12条棱等。本案例的教学中，教师只是通过观察活动获取感性的认识，学生还没有在头脑中建立起长方体丰富的表象时，就抽象出长方体的特征，他们也只能是糊里糊涂地接受这一概念知识，不会真正理解和记忆长方体的特征。犯了重抽象，轻表象的错误。
小学阶段是学生数学学习的起始阶段，学生的认知水平、思维水平都处于起步阶段，学生对于具体形象思维的依赖、抽象逻辑思维的不成熟，是他们的专利，因此，小学数学概念的形成，更多地需要形象或表象的支撑，它必须经历"形象-表象-抽象"这一转化过程。
当然，人们常说：教学永远是一门遗憾的艺术。小学数学概念教学也不例外，不管哪堂概念课，当你课后反思的时候，总会觉得有这样那样的失误或遗憾。我想，正是在不断解决这样失误和那样遗憾的过程中，使我们的教学水平不断得到提升。
参考文献：
[1]林武.小学数学概念教学[M].北京：教育科学出版社，2014.
关键词： 高等数学 极限 极限思想
极限是高等数学中的一个非常重要的概念，极限思想贯穿于高等数学的各个部分.因此，理解极限概念所蕴涵的数学思想方法，对掌握高等数学中的其他概念有很大的帮助.
纵观数学的发展史，当初牛顿、莱布尼兹在创立微积分时取得了极其重要的创造性的成果，但由于缺乏清晰严格的“极限”和“无穷小”的概念，未能把微积分建牢固的基础上.之后数学界展开了一场长达十多年的关于微积分奠基问题的大论战.通过这场论战，大批数学家对微积分基础概念做了深入探讨，促进了微积分理论基础的建设.正是由于极限理论的完善，微积分才取得最后的胜利.而微积分的主要理论基础是极限论，高等数学中的导数、积分、级数、敛散、甚至数学中最基本的实数概念都要以极限概念为基础来建立.理解了极限的思想方法，掌握了极限的基本运用，以及有关它的一些重要性质，有助于学生理解其他数学概念，把握不同数学概念之间的本质联系.下面我就高等数学中的几个重要概念所蕴涵的极限思想作分析，以供教学参考.
一、导数的概念
导数概念不是数学家凭空想象出来的，而是从解决客观实际问题的过程中概括抽象出来的.要了解导数概念所蕴涵的数学思想方法，我们还是通过导数概念的引入来探讨.
几乎所有高等数学教材关于导数概念的引入都是通过求物体运动的瞬时速度和曲线的切线斜率.两个例子，虽然意义不同，但分析问题、解决问题的方法则是相同的，取得结论的方式也是一致的.它们都是刻画一个变量对另一个变量的变化快慢速度，也就是因变量对自变量的变化速度.舍弃这些例子各自的意义，抽出其共同的数学本质，即得到导数的概念：
称该级数收敛，S是该级数的和.若该级数的部分数列发散，则称该级数发散，此时该级数没有和.级数收敛的概念真正解决了无限小数是一个数理论问题.随着绝对收敛概念的建立，无限和运算结合律、交换律、分配率的成立范围在理论上才得以明确.同样借助极限，函数项级数一致收敛概念建立后，函数级数每项具有的分析性质，即连续性、可积性、可微性与其和函数间才建立了必然联系，无限和运算分别与极限运算、定积分运算、求导运算交换次序成为可能.
以上仅借助于导数的概念、定积分的概念和级数敛散性定义说明在高等数学中极限思想的应用.事实上，其他类型的极限概念可以通过类似法进行处理.在教学过程中，再辅以恰当的实例，使学生清楚、牢固地掌握极限概念、性质，以及相应的极限思想和方法.
参考文献：
[1][美]Walter Rudin.数学分析原理.机械工业出版社，2009.
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社，1993.
一、数学概念
在数学概念中的数形结合，就是借助于直观形象模型去理解抽象的数学语言或数量关系，即用有形的数学教具、数学模型和数学概念、定义、规律等数学知识有机结合，帮助学生感知、生成、深化概念。
1.图形演示，理解概念
图形演示是理解概念的最常用的方法，借助丰富的感性材料联系具体形象的模型演示出数学概念最抽象的最本质的属性，从而丰富了学生的感性认知，更为理解数学概念。
如“求一个数的几倍是多少”，学生最不易理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有个深刻的印象，用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。可以利用多媒体技术在第一行排出3根一组的红色小木棒，再在第二行排出3根一组的蓝色的小木棒，第二行一共排4组蓝色小木棒。
结合演示，让学生观察比较两行小木棒的数量特征，再启发学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：红色小木棒是1个3根，蓝色小木棒是4个3根；把一个3根当作一份，则红色小木棒是1份，而蓝色小木棒就有4份。用数学语言：把红色小木棒当作1倍，蓝色小木棒的根数就是红色小木棒的4倍。这样，从演示中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。
2.借形设问，形成过程
在概念教学中要借助学生熟知的能够触摸和直接感知的有形物体或图形，设置一些步步深入的诱导性问题，从感知到认识的思维过程，再引导学生通过观察、比较、分析、概括逐步形成新的概念。有助于加强学生理解与运用概念，同时激发学生的数学思维。如，教学“体积”概念。教师可以借助形象物体设问，引导学生分析比较。首先观察物体，初步感知。
让学生观察教室门和黑板并说出谁大谁小，再出示两个边长分别为2厘米和5厘米的正方形纸板用同样的方法，这样建立了学生对物体大小的初步感性认识。接着出示两个同样的玻璃杯都?b有半杯水A、B：在B杯中慢慢加入小石子，学生可以观察到，随着小石子投入的增多，杯中的水位不断上升。问：B杯的水位为什么会上升？再引导“为什么B杯的水位会随着放入的小石子增多而升高”这一问题进行深入讨论，通过讨论交流学生自然地领悟“物体所占空间的大小叫体积”这一概念。为了进一步使概念在应用中得到巩固，继续B杯中放石子，学生观察到水溢了出来，启发学生从观察到的现象中发现了什么问题？学生思考后提出：杯里溢出的水的多少与放进去的石子有什么关系？经过讨论得出：从杯里溢出水的体积等于石子的体积。至此，学生不仅认识了概念，而且能够应用概念。
二、数量信息
数量信息是数学问题中常见的呈现方式，用数形结合把复杂问题简单化、抽象问题具体化，挖掘数学问题的本质。使问题化难为易，化繁为简。既可以引进新知、建构概念，还可激发学生的学习兴趣，有利于发展学生的想象力和提高思维力。
1.“以形助数”借助图形的直观性来阐明数间关系
借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，挖掘数学的本质。根据题意画直观图分析和找出数量关系，以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。”
如：A、B两车从甲、乙两地相对开出在某个地方相遇。A车行了5小时，每小时54千米；B车行了7小时，每小时48千米。甲、乙两地相距多少千米？
画图观察分析，明确数量关系：
路程A=速度A×时间A；路程B=速度B×时间B；总路程=路程A+路程B
54×5+48×7
=270+336
=606（千米）
或：54×5=270（千米） 48×7=336（千米）
270+336=606（千米）
答：甲、乙两地相距606千米。
2.“以数解形”借助数的精确性来阐明形的某些属性
通过数的运算和变式，求出相应的结果，增强了学生的学习兴趣，扩展了学生的思维，让学生明白学习数学的价值。如求一元一次方程ax+b=0的解的时候可以进行拓展方法。通常是采用转化数学思想，利用等式基本性质求解。我觉得也可以用数形结合的方法，把求方程的解转化为找函数y=ax+b与x轴相交时（即y=0）的交点坐标的横坐标。以“求2x+4=0的解”来说明。
论文摘要:笔者通过分析华师大版初中数学教材概率教学内容编排上存在的瑕疵和不足,认为初中数学概率教学内容编排上要正确运用逐步递进、螺旋上升原则,要正确把握概率概念的提出时机,要正确处理实验概率与理论概率的关系,遵循整体性原则、有序性原则、综合性原则、最优化原则。
在初中数学教学中,课程体系的编排应重点考虑以下方面:1.初中生的认知发展规律和数学学习特点;2.数学教学三维目标和现代社会飞速发展背景下基础数学教学发展特点;3.社会发展对学生数学能力素养的要求。只有充分考虑以上三方面,才能提高教学内容编排上的合理性。笔者试以华师大版教材(以下简称教材)为例,对概率内容编排的合理性作一番探讨。
一、要正确处理分步与递进、螺旋与上升的关系
从总体结构上看,教材在遵循《数学课程标准》所提出的重要的数学概念与数学思想宜体现螺旋上升的原则时,把握得欠全面,造成了“螺旋有余,上升不足”的格局。《数学课程标准》明确提出初中阶段(第三学段)概率的具体目标,比小学高段(第二学段)所要达到的具体目标高出不少,这就是初中阶段所要实现的上升幅度。针对概率的具体教学目标,教材采用分步达成目标的思路是正确的,但分步过多,分级过细。华师大版教材对概率教学内容的编排——七年级上:可能还是确定;七年级下:机会的均等与不等;八年级上:用概率估计机会的大小;八年级下:机会的大小比较;九年级上:概率的含义,概率的预测。这样造成了过多的重复,甚至与第一、二学段也有重复,缺乏层次感,缺乏递进性,使有些“螺旋”叠加缠绕在一起,其症结在于没准确把握逐级递进、螺旋上升的原则,割裂了逐级与递进、螺旋与上升的联系,出现了教学进程“又慢又费”的情况,不符合初中生的认知发展特点。对于这种贴近生活的概率及其思想其实设置两组、至多设置三组螺旋就可以达到目标,不必设置四组、五组,为“螺旋”而“螺旋”,为分步而分步。
另外,在运用螺旋上升原则时,一要有一种学科本身所具有的核心的东西(不妨称之元认知)统帅螺旋上升的教学内容,做到“形散而神不散”,如对概率,不妨把“研究随机性现象”“寻找随机性中的规律性”这一学科研究范畴作为编排主线。二要使每一组螺旋有头有尾,能自成较完整的体系,前、后组螺旋间要有联结的纽带。虽然新课程理念提出“不再首先强调是否向学生提供系统的数学知识”的思想,但这并没有否定提供系统的数学知识的必要性。现在教材以交叉编排方法为主,其实交叉编排方式仍是要顾及内容体系的,仍是讲究系统性的,只是为适应学生认知特点而采用交叉编排。如果螺旋结构不完整,前后螺旋衔接性差,反而会出现诸多干扰学生学习的因素,使一线教师无所适从,交叉编排方式也定会失去适应性和亲和力。还有,逐步递进、螺旋上升原则也不是绝对的,其成立是有条件的。合理地运用逐步递进、螺旋上升的原则,容易照顾到学生认识的特点,加深对学科的理解,如螺旋之间上升的幅度过小,会使学生感到厌倦,不利于学生保持学习的兴趣,可见,在编排教学内容时,刻意套用这一原则反而会适得其反。
二、要正确把握概率概念的提出时机
从概率概念的提出上看,教材延误了时机。教材到九年级上才提出概率的含义,真是令人费解。其实,现在的初中学生,即使学校里不学概率,已有“可能这样,可能那样”“某某同学有很大实力当选班长”等生活经验,也往往在媒体中接触过“概率”一词,何况,学生在小学阶段已学习了“不确定现象”和“可能性”的内容,所以在初中阶段,概率概念的提出不宜过迟,宜在七年级、八年级之交提出为妥。因为此时,学生处于认知能力快速发展阶段,并对概率的实质和实际背景已有了相当的了解、体验,这时就应不失时机地进行概率概念的教学。“课程内容的组织要考虑到:先让学生进行辨别,然后学习概念,在此基础上掌握规则或原理,最后把原理或规则用于问题解决”,可见,概念具有一定的统摄性,何况概率是一个中心概念,只有适时地进行概率概念教学,才能“一览众山小”,才能更深刻地了解“可能性”“机会”的含义。概念还是学生开展思维活动的要素,有了一定的概念,并不妨碍学生数学创造能力的发挥,照样可进行合情推理以及其他瞬间性思维活动。古人提出“不悱不发”,要求我们不可“不悱而发”,也不可“悱而不发”。这套教材在概率教学中却出现了“悱而不发”的情况,这样会妨碍学生数学认知能力的发展。
在义务教学阶段,概率概念教学在小学阶段,处于“犹抱琵琶半遮脸”状况,是很正常的,到了初中阶段,教材虽然“大弦嘈嘈如急雨,小弦切切如私语”,但迟迟未闻“大珠小珠落玉盘”,影响了教材编排上体系结构的和谐,不利于学生便捷地学习有价值的数学。
三、要正确处理实验概率和理论概率的关系
概率教学中,开展实验式的教学活动,只要教师发挥高明的组织者,高水准的合作者,高超的引导者的作用,并有良好的教学设备设施,的确能使学生成为学习的主人,让学习活动成为充满探索、思考和合作的过程。但教材太器重实验概率了,有过分强调实验概率之虞,且实验概率的实验缺乏新颖性,“抛硬币”一抛就是三年,“掷骰子”一掷也是三年。
其实,课程标准提出:教材内容呈现方式灵活,贴近初中生的真实世界,拓展活动和探索的层次及空间,增强概率教学的吸引力和亲和力。所以教材编排概率教学内容时,在拓展活动和探索的层次和空间上,还大有文章可做。在实验概率层面,可多创设与概率意义有关的新颖的情景,可创设一些新颖的试验;在理论概率层面,也要有机地渗透有关概率的思想和方法,以解决一些实际问题,从而使实验概率和理论概率完美结合。具体编排上,七、八年级宜以实验概率为主,九年级宜以渗透理论概率为主。如果教材一味用试验来呈现教学内容,某种意义上讲,也是教材内容呈现方式的不灵活。
另外,在课程内容的选择和组织方面,过于容易或过于困难的问题都会抑制学生学习的积极性,要为学生制定超出他们现有水平、同时又是通过努力能够达到的准则,这也要求在概率教学中,正确处理实验概率与理论概率的关系,增加概率探索性实验的形式,并在时机成熟时加强理论概率的渗透。
华师大版教材是出版较早的课改教材之一,其中存在瑕疵和不足是难免的,客观上,为编辑同类教材提供了不少经验和教训。我们一线教师认为编写或修订教材时,应力求避免以上种种缺憾。总之,教学内容的编排要遵循课程知识系统的结构原则,即整体性原则、有序性原则、综合性原则、最优化原则。自然,概率教学内容编排上也应体现以上原则。
参考文献:
1.施良方.课程理论——课程的基础、原理与问题[m].北京:教育科学出版社,1996.118~119,40
一、经历形成过程，加深层层认识
高中数学概念比较抽象，学生不易理解，而要学好数学必须先理解数学概念或掌握数学概念。要有效掌握或理解数学概念，我认为，就得让同学们经历概念形成过程，反复进行螺旋上升，加深对数学概念的认识。因此，在引入数学概念的教学过程中，我们要积极引导学生参与数学概念的建立，是揭示概念发生、形成的过程，使学生理解概念的来龙去脉，让他们从具体实例抽象出数学概念的过程，从而加深对概念的认知，这样更好地实现概念从感性认识到理性认识，达到层层加深认识。
例如：在探索直线与平面垂直概念教学时，为了加深同学们对直线与平面垂直概念层层认识，我创设下列教学氛围，让同学们经历概念形成过程，首先运用多媒体课件展示并请学生们观察下列生活实例。
1.在阳光下，观察直立于地面的铁塔及它在地面上的影子，尽管随着时间的变化，影子的位置会移动，铁塔与地面上的影子有什么关系？（铁塔始终与影子垂直）
2.在开门的过程中，观察门轴和门与地面的交线有什么关系？（始终垂直）
3.把书打开直立于桌面，观察书脊和各页面与桌面的交线是怎样？（显然都是垂直）
同学们由观察、实验很快形成直线与平面垂直的感性认识。之后，指导同学们取出两支笔，通过以下程序进行自主探索。
1.把一支笔放在桌面上，之后，过该笔上的一点，在桌面上作它的垂线，能作多少条？并在小组里讨论。
2.把放在桌面上的笔举起来，之后，再过同一点作它的垂线，能作多少条？并在小组里讨论。
3.把其中的一条垂线（笔）旋转一周的轨迹是什么？以上的现象说明了怎样问题？你怎样给直线和平面垂直下定义？
在小组讨论的基础上，同学们很快归纳出直线与平面垂直的有关概念，教学效果非常显著。我采用这样处理，目的是让学生亲身参与，使他们水到渠成地抽象出直线和平面垂直的有关概念。
二、注重学生实验，理解概念实质
数学中有些概念来源于现实生活，是从现实生活实际问题中抽象出来的，而对于这些概念，我认为应引导学生通过一些感性材料，进行实验，让他们自己抽象与概括出数学概念，并进行组织整理，去反复体会概念的本质属性，有效把握概念的本质特征，这样有利于同学们深化对概念理解实质，形成学数学的意识。因此，在数学教学中，要根据教学内容和学情，引导学生亲自试验或通过多媒体技术手段演示及自己操作（如几何画板提供了很好的工具），让同学们去领悟数学概念的形成，从中体会数学的意义，让他们在动手操作、探索反思中，去理解、掌握数学概念，深化对概念本质属性的理解，有效增强他们问题意识，从而在潜移默化中养成理解概念实质的良好习惯。
例如：在探索椭圆概念教学时，为了使学生有效理解椭圆概念实质，引导同学们按下列实验步骤进行：1.取出一定长的细线和两个小钉（事先准备好的），把细线的两端固定，之后，铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动（要求学生仔细观察），可得椭圆图形（由实验获得第一感性认识）；2.教师提出问题，引导探索思考并讨论。a.椭圆有什么特点？b.如果细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是怎样？c.如果细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹又如何？d.如果细线的长大于两定点之间的距离时，其轨迹又怎样？e.同学们你能给椭圆下一个定义吗？
我采用这样方法处理，目的之一是使同学们经历椭圆的定义的实验的探索过程；之二是同学们经过讨论、争论，对椭圆的概念理解透彻；之三是避免椭圆定义理解错误；之四能培养学生仔细观察、动手能力。
三、运用多元教学，深化概念理解
新课程理念倡导我们，数学教学要由传授知识向培养学生能力方面转变，实现全面提高学生综合素质，我认为要实现此目的，首先应要掌握好双基，其次是综合运用，而深化概念理解最为重要。因此，在教学中，形成数学概念是概念教学中至关重要的一步，它是关系到学生学会数学的核心部分，为此，我们要运用多元教学手段（现代媒体技术、自主探索学习和精心设计练习等），引导学生去感知、辨别实现概念，为学生提供充足时间和探索平台，让他们去抽象概括概念过程，用自己的头脑亲自去发现概念的本质属性或规律，从而达到真正深化概念理解的目的。
例如：在探索函数概念教学时，为了使同学们深化对函数概念的理解，我精心设计这样的问题，引导学生自主探的点（x，y）与定点（3，2）连线的斜率；之后，还可以借助于圆的参数方程：x=1+cosθ，y=1+sinθ，再利用三角函数最值的求法，即可求解。
我引导同学们经过这样处理，目的就是加强概念间的灵活变通，从而把要求解的问题进行逐步转化，达到深化概念理解的效果。
数学概念 教育方式 育人价值
一、前言
概念教学，从本质上讲，就是要让学生掌握同类事中共有的本质属性，同时区分概念的有关本质属性与无关本质属性。小学数学中的概念，在儿童理解和掌握数学知识的过程中起着非常重要的作用，可想而知，数学概念是有着相当重要的地位的。学生要牢固地掌握知识，提高解题及计算技能,必须以掌握清晰、完整、准确的概念为前提。所以，我们研究课堂教学，应该把研究概念教学放在重要的位置。
二、小学数学概念的特征
1.数学概念的意义
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。当然，在教学中，我们会发现有些数学概念是直接反映客观事物的，如点、线、面、体等；然而，大多数数学概念是在一些数学概念的基础上，通过一次次的抽象概括过程，最终才形成和发展。例如，小数、分数的概念，就是在整数的基础上产生的。
2.小学数学概念的特征
数学知识是架构在数学概念的基础之上的，可以说，数学概念是数学知识的核心，是它的灵魂。我们通过对上文数学概念的理解可以知道，数学概念在一定范围内具有普遍性意义，是用特定的数量语言和符号，以最概括、最简洁的方式揭示某类事物共同属性的思维方式，是对所有具有这种特征的事物的抽象，因此，我们说抽象性是数学概念的主要特征。而小学数学概念除具有这一基本特征外，还有它独特的地方。具体如下:
首先，它常常具有某些自然概念的痕迹，并且，针对儿童的认知特征，会经过某种改造，以适应儿童的学习、掌握与运用。
其次，小学数学概念在组织上具有系统性的特征，这是由数学自身的自然结构的精确性所决定的。
再次，通过大量的直观材料，在引导学生进行充分的操作、观察、分类等感知活动的基础上来构建数学概念的。
最后，它往往以图画或语言文字为主，以描述的方式来呈现概念。
三、儿童数学概念的教育方式
针对小学数学概念所具有的主要特征，我们在教学过程中就可以采取相应的教学方法，使学生在数学课堂教学中，既能掌握知识，又能感受到数学知识的乐趣。具体如下：
1.引入概念
第一，把数学概念的学习与日常生活相结合，运用直观形象的客观事物引入概念。小学生尤其是低年级的小学生，他们会受到年龄、知识、生活等等各方面的限制，其思维尚处于思维形式的初级阶段，即以具体形象思维为主的阶段。认识一种事物、理解一个数学道理，主要是凭借事物的具体形象。因此，教师在数学概念教学的过程中，尽量从学生日常生活中所熟悉的事物开始引入，这样可以激发学生的学习兴趣，调动学生的思考积极性。
第二，我们需要借助于学生已有的知识来引出新的概念。数学中的有些概念，如比例尺、循环小数等，在日常生活中难以找到具体形象的事物表述，但它们与旧知识都有一定的联系，因此，我们可以充分运用旧知识来引出新概念。这就需要教师在备课时要充分理解这一新概念，分析它和哪些旧知识有内在的联系，然后，在课堂上，利用学生已掌握的旧知识讲授新概念，这样学生就更容易接受。
2.形成概念
引入概念只是是概念教学的开始，若要使学生理解概念，形成主动的意识，作为教师，我们还需做下一步的工作，就是引导学生准确的了解概念的本质和范围。为此，教师可采取下面三种具体的方法：
第一，对比与类比，把几个概念进行比较，让学生找出其中的相同和不同之处，发现每一个概念的特点，进行有效记忆。
第二，恰当地引入反例，在教学中，为了便于学生更快，更好地记住所学概念，教师必须着重突出新学概念的特征，而引入反例恰恰可以使新学概念的特征更加明显，还可以使学生能够通过正反比较，寻找自己思路中的错误，强化记忆。
第三，合理运用变式，让学生从不同角度、不同方面去理解和把握新学概念的本质属性。
3.巩固概念
在数学概念的教学过程中，若说引入概念是开始，形成概念是关键，那么巩固概念同样是重中之重，是教学中必不可少的一个环节。通过一个阶段的学习，教师有必要引导学生归类整理已学概念，使学生明确概念间的联系与区别，从而使他们掌握完整的概念体系，之后，通过实际应用，解决实际问题，这样就势必加深对基本概念的理解。
四、小学数学概念教育的育人价值
教师在一系列的教学过程中带领学生理解概念，掌握概念，并运用概念解决问题,这样学生既可以掌握基础的数学理论，又可以成为再认识其他事物的工具，如此往复，这样的学习过程就成为实践——认识——再实践——再认识的过程，从而培养了思维的灵活性，深刻性。
1.培养学生思维的灵活性
我们不能简单地把学生获取正确的数学概念作为衡量教师教学任务是否完成的标准，而是要看学生是运用怎样的方法来解决问题的，学生是否能够严密的、全面的、多角度的思考问题，学生的思维是否灵活。比如，学完大于号和小于号后，请同学们把60、108、38、10、61这些数用大一些、小一些、大得多、小得多等来描述它们之间的大小关系，再分别用“”来表示它们从小到大、从大到小的顺序。培养学生思维的灵活性，关键在于教师的观念是否更新，是否鼓励学生多角度，全方位，灵活地思考问题，是否注意培养学生的数学意识，是否注重知识在生活中灵活运用。
2.培养学生思维的深刻性
数学是思维的体操。学生思维的发展，良好思维品质的培养在数学教与学的过程中都会得到充足的体现。良好的思维品质主要是指探寻概念的本质而不受非本质的现象的影响，这就是我们所说的思维的深刻性。比如，对于几何初步知识的教学，教师不仅要让学生能够认识标准图形，还要注意引导学生从图形的多种方位上加以认识，着力进行变式练习；当学完对长方形、正方形的认识后，为了使学生对概念的认识和理解更加彻底，可让学生练习从不同的图形中挑出长方形和正方形来，如果学生不能正确地从这些图形中挑出来，那就是被图形的表象所迷惑，教师经常设计这样的练习，学生就能透过现象抓住本质，这种能力反映出来的就是思维的深刻性。
五、结束语
概念教学不仅要使学生记住概念，运用用概念，还应让学生知道概念形成的合理性，在教学的每个环节，都应注重启迪和引导，让学生参与到知识的形成过程中去，从而培养和开发学生的思维能力。总之，数学教学的根本任务不只是让学生掌握基本的数学知识，更重要的是锻炼学生的思维，培养学生的多种能力，优化学生的思想品质，促进学生的全面发展。
参考文献：
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［2］锁银环.论在小学数学教学中的概念教学［J］.科学大众，2011.
关键词：数学统一性；概率论；教学
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）24-0075-02
数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学。据统计，至今为止数学已经有将近100多个高深广博的分支。其中，概率论是研究随机性或不确定性等现象的一个数学分支。《概率论》或《概率论与数理统计》是大学课堂教学中必修的一门课程。对于大部分已习惯于学习确定性数学内容的学生来说，概率论中相关概念或定义等内容感到难以理解。尤其是随着高等教育的普及或因为部分学校功利主义倾向影响，一些院系在课时安排上尽可能压缩《高等数学》等数学基础理论课程，忽视其在学生思维能力训练方面的重要作用，进一步造成了学生理解与分析能力的欠缺。本文利用数学的统一性的原理，对概率论中的某些概念、定理的理解作一些粗浅的探讨，以利于学生更好地掌握并应用概率思想。辩证唯物主义认为物质和意识是对立的统一，它们统一于物质之中；物质和意识的对立产生于实践，它们的统一又在实践中实现。数学的统一性是指部分与部分、部分与整体间的互相贯通、相互转化与和谐一致性。数学的发展过程以及内容都贯穿着辩证法，因此，数学的统一性不仅仅表现在统一的数学符号和共同的数学语言，更表现在其中各个分支固有的内在的联系以及各个分支相互渗透和相互结合的趋势。本文以概率论中的概率空间、随机变量、数学期望、概率密度函数以及分布函数中所蕴含的数学统一性进行阐述，揭示数学的统一性思想对概率论的理解所产生的作用。
一、相关概念数学统一性分析
1.概率空间中的数学统一性。数学概念的发展是遵循认识规律的，是由简单至复杂、由特殊到一般，有序地达到较高的抽象水平。简而言之，概念统一性是通过逻辑推演扩大概念的性质结构后与原来概念之间的一致性。概率论教学过程中，充分利用数学概念的统一性以及数学分析中实数域上映射概念，便于学生对于初次接触的概率空间的理解。实际上，我们先复习一下实数域上的映射概念以及容易理解的古典概率模型后，指出在古典概率模型中，所有可能的结果看成一个集合？赘，此集合上定义的概率是？赘[0，1]的一个映射。根据认识规律，自然地，可将古典概率中的？赘可以是任一个非空集合，即为我们所说的样本空间；而σ-域F是这个集合的一些子集的集合（满足一定条件）；概率P实际上是？赘[0，1]的一个映射，即将σ-域F的某个子集A（称之为事件）对应于一个[0，1]上的数，记这个数为P（A）。由此可看出，概率空间本质上就是数学分析所学习的某一集合与其上所定义的一种映射所构成的有序对。
2.随机变量中的数学统一性。随机变量的定义以及如何从离散型随机变量过度到连续型随机变量是学习概率论过程中难以理解的一个知识点。在讲解随机变量的定义时，注意其和普通变量、普通函数之间的联系，注意它们之间的统一性与差异性有助于学生对其理解。此外，指出离散随机变量定义在具有有限或可列个元素的某一集合上；连续型随机变量是定义在不可数的样本空间上。通过对比离散函数与连续函数的统一性与差异性以及离散函数如何过度到连续函数（特别是连续函数作图），让学生对其有初步理解，然后结合定积分的定义（求和取极限）给出连续函数初步定义，最后导出其严格定义。事实上，离散与连续是矛盾的两个方面，也是相对和绝对的统一，它们也具有统一性的一面。在现实中，我们有时将连续问题离散化处理，有时又将离散问题连续化分析。充分利用离散与连续这对矛盾是现代数学的主要矛盾之一，具体地深入地研究这对矛盾在概率论教学中的表现，将有助于学生对相关概念的理解。正如著名数学家Lovasz所说，离散数学与连续数学的结构和方法确实差别很大，但是从更深层次来说，离散与连续是一个事物的两面。
3.数学期望中的数学统一性。在讲解数学期望的时候，将数学分析中的数列求和以及定积分与之联系起来，有助于理解为何在定义离散随机变量的数学期望要求绝对收敛以及连续随机变量要绝对可积。此外，特别向学生阐明连续随机变量的数学期望中所蕴含的数学思想与定积分则有着惊人的统一：“以直代曲”。从方法论角度来看，它们之间在方法上更是惊人的一致：分割、求和、取极限。由此让学生明白，以后的很多概率论问题均可利用定积分中的分部积分、换元积分、变上限的积分等内容来解决。这体现了数学分析与概率论这两个不同领域在某种方面的相互转化以及和谐一致性，它们之间具有统一性。
4.概率密度函数与分布函数的数学统一性。连续性随机变量分布函数与概率密度函数是学生经常容易混淆的一个知识点。特别是概率密度函数这个概念，学生一般不好理解。此时，利用物理中体积、密度与质量之间的关系启发学生思考概率与概率密度之间的关系。事实上，如果将某一区间上的概率看成“物体的质量”，其长度看作“物体的体积”，两者之比值正好是“物体的密度”。因此概率密度函数在某点值的大小反映了随机变量落在该点附近概率的大小，而连续型随机变量落在某区间上的概率可转化为其密度函数在该区间上的积分，完全转化为已学过的数学分析中的定积分问题。此时，学生会恍然大悟，数学来源于物理，一些物理背景知识常常有助于理解数学概念，它们之间是和谐统一的。
二、启示
20世纪最伟大的数学家戴维・希尔伯特曾说：数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是各个部分之间的联系。数学的发展必然是逐步统一的过程。因此，作为数学教师，如果没有站在数学统一性高度去教授数学，呈现的必然只是一堆枯燥无味的数字、字母以及呆板的“定理―引理―证明”之步骤。因此，在概率论教学乃至其他数学教学中，教师应该正确处理好教学内容与其他知识点的统一性，阐明其中蕴含的辩证关系和相互转化，注重其中对立统一性的讨论与分析。将统一性思想具体融入到数学课堂教学中，这不仅能提高学习能力，促进学生对概率论以及数学知识的理解，提高学生知识点的融会贯通能力，而且在传授知识的同时，对学生进行马克思主义哲学思想的教育，使教书与育人结合起来，对培养辩证思维能力有着重要的作用。
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函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。
1、函数概念的纵向发展
1．1 早期函数概念──几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
1．2 十八世纪函数概念──代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
1．3 十九世纪函数概念──对应关系下的函数
1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。
1．4 现代函数概念──集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶(a，b)为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。
2、函数概念的横向比较
函数概念，作为世界各国学生必修的内容，各国对其分配设置、处理方式不尽相同。下图对中国与各个西方国家的函数概念作一横向比较：
函数概念引入──学习──深化的过程比较
中国
初三时引入函数概念，强调学生对于函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。
高一时用“映射”来刻画函数概念。
法国
四五年级学生认识和使用小数集上定义的数值函数。
七年级，用图表表示情景，通过消费、发展、环境等让学生初步感受函数。
八年级，能用图、表或解析式等多种方式表示函数，但不给出严格定义。
九、十年级，用表格、图表处理一些其他领域的问题，定义处理十分谨慎。
高中时，大量增加函数内容。
日本
小学四年级开始接触函数关系的初步概念，对两个相依变化的数量关系进行研究并用图表来表示，用式子简洁的表示数量关系。
中学在数量关系领域把函数概念的学习划分为三个阶段，渗透函数思想。
美国
九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系。
德国
初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。
英国
由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图象，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。
2．1 函数概念引入方式上的差异
我国教材函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辨证思维能力的发展。
西方各国函数概念的引入一般较早，函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学概念实际问题。它更注重函数概念背景知识的铺垫，重视函数思想和方法的掌握，淡化函数的形式化定义，大多没有给出具体的函数概念，而是将实际应用中的问题与学生的认知结构相联系，以问题解决的形式让学生学习函数内容，应用数学的意识比较突出。
2．2 函数概念与信息技术结合程度上的差异
我国函数概念教学中加强了函数与其他学科知识的联系，并且结合各种现代教育技术初步培养学生用数学能力，逐步提高学生分析问题，解决实际问题的能力。但常常局限于用计算器进行简单求解，用计算机辅助教学等内容，没有很好的引导学生利用互联网资源自主学习。西方各国大部分函数概念教学都与计算机技术教育相结合，涉及“寄储器”、“算法”等诸多计算机语言、计算机网络图，很好的培养了学生动手操作能力，调动学生积极思维，有利于学生树立正确的数学观，即数学不仅是书本上呈现的知识，而是广泛存在于我们的生活空间，拥有非常丰富的信息载体，学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。
3、函数概念教学的几点思考
3．1 注重函数概念的早期渗透
函数概念的培养在小学已经开始了，进入中学，随着代数式、方程的研究以渗透了这一观念，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。所以教师可以在教学中，根据相关内容向学生渗透函数的思想，如代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性；通过数的概念的发展，积累学生关于“集合”概念的初步思想；通过数轴和坐标的教学，渗透关于“对应”概念的初步思想等。通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时，易于接受。
3．2 注重学生学习函数概念的心理建构过程
建构主义学习理论认为：应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的。（2）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。（3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应。同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构。
3．3 注重函数概念与信息技术的适时性、适度性结合
由初中刚进高中的高一学生，思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维。函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好的学习和理解函数。
3．4 注重函数概念的实际应用
抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而通过解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股势走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等。这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展。
参考文献
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关键词：缩放概念图；电子地图；树形分层；数字化学习
DOIDOI：10.11907/rjdk.161788
中图分类号：G434
文献标识码：A文章编号：16727800（2016）010019203
0引言
随着信息技术和新媒体技术的迅猛发展，教育信息化已经渗透到教育的各个角落。目前，数字化学习作为一种全新的学习方式受到社会各界的重视，数字化学习中以知识数字化为中心的资源建设一直是研究人员探究的主要问题之一。建构主义学习理论认为，知识只有被整合、纳入现有的认知结构中才能有利于建构新知识。而概念图作为支持学生有意义学习的一种技术和方法有利于促进新旧知识的结合，并促使知识意义更加清楚明了，同时能够引起学习者对概念之间关系的注意。而且通过对知识概念图的构建，将原有知识和新知识建立联系，从而让学习者学习和掌握新知识，并培养学习者探索知识、分析问题以及解决问题的能力。因此，在数字化学习中有效地运用信息技术构建概念图，建设创新型数字化资源是当前教育工作者不可推卸的责任和使命。
1概念图及其相关研究
概念图在教学中的应用越来越广泛，特别是在中小学教学中的应用，随着新一代信息技术的普及与发展以及工具软件的不断推出，概念图已经成为信息技术与课程整合的有效手段之一。概念图是用来组织和表征知识的有效工具，它通常将某一主题或知识的有关概念置于方框或圆圈等图之中，然后用标明两个概念之间意义关系的连线将相关的概念和命题进行连接[1]。
概念图由5个要素组成，包括概念、关系、命题、交叉连接和分级结构，是一个五元组，记作 O=。其中，C是概念集合，代表事物或事件的规则属性，用一个名词或符号进行指定；R是关系集合，指概念集合中概念间的关系；P是命题的集合，两个或更多的概念通过某个连接词连接起来形成的一定意义关系是命题，命题是真正的意义单元；Cc是交叉连接的集合，表示较远概念之间存在的某种关系或命题；Hs是分级结构的集合，是概念和命题的呈现方式，一般有两种情况，一种是同一知识领域中的概念按照概括水平的不同层次进行分层排列，最综合、最具概括性的概念排在最上层，较具体、概括性低的概念依次排在下层。
概念图自20世纪60年代由美国康耐尔大学诺瓦克博士提出以来，国内关于概念图应用的探索日益活跃，众多学者对其展开了一系列深入研究。笔者在“中国知识资源总库（CNKI）”，以“概念图”为关键字检索2005年1月1日年至2015年12月31日在国内公开发表的期刊学术论文和博士、硕士学位论文，共检索到篇名中含有“概念图”的期刊论文1 390篇，以及学位论文222篇（其中硕士学位论文218篇、博士学位论文4篇）。从检索的论文数量和时间关系来看，概念图的研究在国内已经得到了广泛关注，特别是学位论文的深层次研究。自2005年以来关于概念图研究的期刊及学位论文统计情况，如图1所示。
通过对篇名中含有“概念图”的全部论文进行内容分析发现，关于概念图的研究主要集中在以下几个方面：概念图的理论研究、概念图的制作工具及其应用研究，以及概念图自身的应用研究等几个方面。在分析当前研究的基础上，本文从网络电子地图的缩放思想得到启发，进行缩放概念图尝试性研究，以期探索概念图研究的新途径。
2电子地图概述
网络电子地图在地图服务方面给人们提供了巨大便利，它突破了传统地图的空间限制，利用树形分层缩放可视化技术实现了地理信息系统的信息浏览与查询问题。网络电子地图既可以从城市地图放大到某小区地图查看局部信息，又可以从城市地图缩小到省份和国家，甚至整个世界，得到全局地图信息，网络电子地图的树形分层缩放特点体现在每一层中只显示当前地区最关键细节，同时在上下层之间也提供了全局与局部的链接信息。网络电子地图有树形分层、双向互动和按需动态地提供信息等特点。
2.1树形分层
网络电子地图在地图底图的基础上提供了丰富的附加信息，把提供多种附加信息的知识图叫作多层次知识图。多层次知识图是为了解决缩放中不同的抽象水平和上下级内容的表示与呈现问题，以及解决如何递进提供所需要的细节。在不同的地理范围可以同时看到封装在不同知识图中的3个层次的信息：不同范围的版图信息、道路基础设施信息以及交通信息，然后根据不同的地理版图范围进行浏览，可以放大或缩小到不同的地理范围，此时都含有与之相关的其它两层的道路基础设施信息以及交通信息，这就是电子地图的树形分层。树形分层缩放让人们在不同节点和不同等级层面上进行信息浏览，在水平方向上可以通过节点进行版图范围的搜索活动，在垂直方向上可以通过上下层之间不同等级层面上放大或缩小地理范围进行沉浸活动，通过树形分层实现了水平探索和垂直沉浸的一体化。
2.2双向互动
网络电子地图通过递进缩小浏览其概观，通过递进放大浏览其细节，通过概观与细节信息的双向互动，帮助浏览者找到感兴趣的信息，按照地理方位进行分层次缩放浏览，而且上下层之间也隐性展示了概观与细节内涵。由此可见，电子地图在设计中将细节信息融入到宏观结构中，在表示细节的同时提供概括版图，以帮助读者理解复杂的内容，提供垂直方向和水平方向上的概观与细节递进和互动支持，让人们在浏览地图时不容易迷失方向，同时了解其它所需道路基础设施信息及交通信息。
2.3按需动态
网络电子地图根据人们的需要进行放大局部细节或缩小至概观，按需提供细节，从而让浏览者在与电子地图的交互过程中选择动态数据，提供所需信息。比如，可以点击地图的图标以获取加油站等信息，也可以选择不同的路线规划。根据用户需求，动态地提供适量的地图信息是网络电子地图技术的精髓。
基于对电子地图特点的分析，查找某一地点的流程大致是：首先提供地图整体概观，然后进行依次缩放和筛选，再按需提供细节，最后再次缩小了解其概观。可以根据需要，周而复始地完成这一过程。
本文将这种双向的缩小或放大的缩放思想应用于概念图设计，根据某知识领域的合适维度递进提供上下级内容和抽象水平相适应的更详细或更简洁的细节信息，称之为缩放概念图设计。
3缩放概念图设计
概念图以简单直观的图形形式展现复杂的知识结构，运用概念图不但可以从可视化角度清晰地了解概念、知识以及知识之间的关系，而且可以通过概念图连线的引导按需获得与知识有关的各种媒体资源。
3.1知识体系分等级设计
网络电子地图的版图、道路以及交通信息分别隶属于3个范畴，浏览电子地图时可以在访问版图信息和道路基础设施的同时了解交通信息。缩放的概念图维度设计分为知识模型、多媒体资源库和学习者模型3个范畴，同时学习者模型是动态变化的。在进行概念图的叠加设计时应使概念图的导航方向和知识叠加方向正交，并根据不同等级访问概念图的每一层截面，每层截面都可以同时访问概念图的3个范畴的叠加层，为需求细节的信息提供支持，从而实现水平方式的探索。导航方向和知识叠加方向正交促使水平方向的移动和垂直方向的深入都具有开放性，可以实现水平探索和垂直沉浸的一体化。
概念图是将领域知识及相关媒体资源构建成非线性的、开放性的以及逐渐完善的资源集合，它以简单直观的图形形式展现复杂的知识结构，可视地揭示知识之间以及知识与资源之间的关系，使特定领域的知识以整体的、一目了然的方式呈现出来。在一个知识领域中，概念用定义描述，被赋予约定的指称（即术语）。一组概念可依据概念间的相互关系构建成概念体系。一般来说，概念体系反映相应的知识体系，知识体系按照合适的分层等级将领域或课程知识划分出合适的层次结构。如课程以树形分层自上而下依次表示为课程层、章层、节层、知识点层和子知识点层等，以这种方式提供概观和细节，如图2所示。一门课程包含若干章，每一章包含若干节，每一节包含若干知识点，某一知识点又包含若干子知识点。按照这种结构分出层次，包容度较大的章概念放在上面，包容度较小的节概念依次放在下面，同一类概念放在同一层次。
树形分层结构可以用一个五元组来表示，KT=（┬，，N，C，R），其中，┬表示领域顶层概念；表示底层概念；N表示树的节点集合{n0， n1， …， nm}；C表示概念集合{c0， c1， …， cm}，ci（i=0，1， …，m）表示一个键值，是唯一的；R表示树中相邻两层之间连线的集合，R=（Ra，Rb，Rc，Rd），a，b，c，d∈{1，2，…，m}，也即直接相连的两个概念之间的关系集合，包括前提关系集Ra、父子关系集Rb、并列关系集Rc和附属关系集Rd。
3.2缩放界面设计
网络电子地图利用多层知识图建模、树形分层缩放可视化技术、信息叠加、概观与细节双向互动技术以及按需动态提供细节信息等技术，为人们进行概念图设计提供了技术启示和支持。基于缩放的概念图设计在知识体系分等级设计的基础上，设计树形分层缩放可视化界面，实现概观与细节双向互动，将知识模型、多媒体资源库和学习者模型3个范畴的信息进行正交叠加。在缩放界面设计时选择合适的树形分层可视化布局和可视化工具，同时在实现效果上，可以使用动画效果来展示上下层之间的转换过程，这样能够减轻记忆负担，从而改善用户体验。
矢量图形在任意放大、缩小或旋转等情况下都不会失真，因此，可水平移动的缩放界面是一种矢量图形环境，学习者可以通过改变视图范围的比例查看其它信息的概观或细节，可以在虚拟平面中使用二维平移和缩放技术浏览感兴趣的对象，同时，缩放对象允许递归嵌套和任意水平的缩放。缩放情况如图3所示，垂直轴Z表示在水平上不同放大率的比例。
4结语
本文提出的由相关理论基础支持的缩放概念图架构，借鉴网络电子地图的特点，不但可以清楚地描述概念并揭示知识之间的概观和细节关系，使其可视化展示，还可以将不同层次的知识结构与其它媒体类型的相关资源联系起来形成概念图知识模型，从而为学习者提供协作、共享、导航和检索等功能的可视数字化资源，有利于学习者在数字化学习中进行知识的学习与建构。
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一、抓住数学概念背景，巧设实验教学情境
对于数学概念而言，不管是以何种形式呈现，都有一定的形成背景，这就需要教师善于发掘，将抽象的知识变得具体化。如有些数学概念是依照数学理论发展而形成的；有些数学概念是在已有概念的基础上抽象而成的；而有些则源于现实生活，为解决现实问题而形成。在日常生活中，处处蕴含着丰富的数学知识。因此，在初中数学概念教学中，教师应善于发掘数学概念的背景，将生活问题数学化，诱导学生活用数学知识来解决生活问题，实现数学“思想实验”。
如教学“平面直角坐标系”时，教师可结合生活实际，发掘这一概念的生活原型与背景，让学生进行“确定座位”的游戏实验，从而使抽象知识形象化、具体化，拉近学生与知识的距离。具体操作如下：教师点名，点到的学生站起来回答自己的座位号；教师说出座位号，对应的学生起立。然后教师提出问题：你们怎样确定自己的座位呢？要求学生先独立思考，然后小范围的讨论，再引导学生总结归纳：要确定自己的座位，需要知道排数与列数这两个数。教师继续提问：4排3列与3排4列是不是同一座位呢？表示座位和两数的顺序有关系吗？教师结合课件演示，引导学生思考与讨论，使其明白一个学生的座位由一对有序的对数构成。设疑激思：你们想知道如何构建有序数对与点的一一对应关系吗？学习本课之后，则会豁然开朗。这样，将数学问题生活化，可降低学习难度，消除学生紧张心理，使其自然融入“平面直角坐标系”的学习状态中，主动探索。
二、把握概念本质特点，组织实验探究活动
数学概念既有内涵，也有外延。在学习数学概念时，若要透彻理解与把握概念知识，则需准确地把握概念的外延与内涵及其相互关系，由概念的本质特点切入，借助实验操作来深入理解概念，构建新知系统。如教学“轴对称图形与轴对称”时，轴对称和轴对称图形的概念及识别是教学重点；轴对称和轴对称图形的区别与联系是教学难点。在学习过程中，因为同学们空间想象能力有限，教师可为他们提供可操作的3D模型，使其借助动手操作来感知轴对称图形，也可当作验证手段，帮助学生进一步理解数学概念，深入感受知识之间的内在关系，构建整体化知识，并在实验操作中，学会观察、思考、讨论、总结等，从而加深对概念的理解与记忆。
具体实施如下：实验探究1：轴对称图形。当学生进入学习情境之后，引导学生登录有关网站，到百度中输入“美丽的轴对称图形”，搜一搜，看一看，感受现实中的轴对称图形，并选出自己最喜欢的轴对称图形传给教师。同时，教师也准备一组轴对称图片，利用计算机呈现展示给学生。然后引导学生思考与讨论：①依据上述搜索和观察后，你们有哪些收获？②是否可以举出日常生活中的其他类似现象？当学生自由表述后，引导学生进入另一个实验操作环节——剪纸活动。教师先呈现飞鸟图案：
提问：哪位学生可以说说老师是怎样剪出飞鸟图案的？然后引导学生试一试，比比谁剪的图案最漂亮。接着，要求学生观察所剪图案，以小组为单位，进行讨论交流，说说这些图案有什么共同点。并试着小结：对折后两部分完全重合，即两部分对称。教师可继续引导，利用多媒体呈现图案，演示对折与重合过程，让学生理解对折就有折痕，而折痕可视为直线，并试着总结轴对称图形与对称轴的定义。这样，既可以让学生更深刻地理解了概念，同时也体会到数学中的对称美。
实验探究2：对称轴的条数。要求学生折叠课前准备的图形，画对称轴，并拓展思考：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形分别有几条对称轴？那么正n边形又有几条对称轴呢？当n愈来愈大时，正多边形接近什么图形？有几条对称轴？学生打开Flash课件，自主调整，探究结论。
实验探究3：轴对称。①动手操作：你们是否可以借助两块形状、大小完全相同的直角三角形来拼和一个轴对称图形吗？②学生观察与讨论，总结轴对称及对称点的定义。小组讨论与操作，在黑板上粘贴获得的不同形状，如 .
接着进行多媒体演示：将 中的两个三角形向两边移动，使之变为 ，思考：这两个三角形存在什么关系？学生打开课件，利用计算机演示两个三角形的对折重叠过程。
