时间：2022-07-21 16:15:42
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇分数乘法教学反思，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
本节课《分数乘分数》是人教版六年级数学第二单元的内容，重点是巩固和进化理解分数乘法的意义，探索分数乘分数的计算法则。接下来是为大家带来的数学分数乘分数教学反思，望大家喜欢。
数学分数乘分数教学反思范文一分数乘分数的意义是分数乘整数意义的扩展，记住分数乘法的计算法则并不困难，但让学生理解算理难度就比较大了。本节课教学的重点，难点是巩固和进一部理解分数乘法的意义，探索分数乘分数的计算法则。教学中我主要是采用“数形结合”的数学方法，让学生在实际操作中，直观体会分数乘分数的计算方法，并运用自己的语言进行归纳总结。首先在复习中，通过直观演示，引导学生依次折出长方形纸条的1/2,再取1/2的1/4和3/4，并让学生用乘法算式来表示这个过程，初步感受分数乘分数的意义和计算方法，接着以2/3×1/5、2/3×4/5例，让学生先解释算式的意义，然后用图形表示这个意义，最后在根据图形表示出算式的计算过程，这样做的目的是通过“以形论数”和“以数表形”的过程是学生巩固分数乘法的意义，体会分数乘分数的计算过程。教学中我充分借助学生已有的知识基础，通过观察、实验、操作、推理等活动，通过例题的直观操作，通过知识的迁移帮助学生理解了分数乘分数的意义，初步掌握了分数乘分数的计算方法。在探究活动中，能引导学生主动参与分析、观察、猜想、验证、比较、归纳的过程，进一步发展了学生初步的演绎推理和合情推理能力。
通过本课教学我有了以下几点思考：
以形论数”和“以数表形”相结合。
分数乘法的意义和计算法则的道理比较抽象，学生理解起来不是很容易，所以利用图形使抽象的问题直观化，在本课教学中就显得尤其重要了.纵观教材，数形结合思想的渗透也有着不同的层次，例如分数乘法前两节课中是利用具体的实物图形，帮助学生从具体问题中抽象出数学问题;在分数乘法第三节课中是利用直观的几何图形，帮助学生理解分数乘分数的计算道理;接下来的分数乘法应用中，我们还将利用线段图帮助学生理解分数乘法应用的问题。数形结合的过程不是简单的抽象变为直观的过程，而是抽象变为直观之后，再从直观变为抽象，也就是要讲“以形论数”和“以数表形”两个方面有机的结合起来，只有完整的使学生经历数与形之间的“互动”，才能使他们感知“数形结合”，才能使他们能在解决问题时自觉地应用“数形结合”
经历探究过程，优化互动生成。
“新课程标准”指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”这一新的理念说明：数学教学活动将是学生经历一个数学化的过程，是学生自己建构数学知识的活动。因此，教学本课时力图让学生亲自经历学习过程。即让学生在动手操作——探究算法——举例验证——交流评价——法则统整等一系列活动中经历“分数乘分数”计算法则的形成过程。这里关注了让学生自己去经历、去体验，去感悟、去创造。学习是孩子自己的事，把探究的权力真正还给学生后，学生的表现会让你大吃一惊。在两个班的上课中，关于分数乘分数法则都有不同的验证和说明的方法出现，这些方法远远超出课前的预设。究其原因，就是学习变成了自己的事，学的更主动，潜能发挥到了极至。
数学分数乘分数教学反思范文二本节课《分数乘分数》是人教版六年级数学第二单元的内容，重点是巩固和进化理解分数乘法的意义，探索分数乘分数的计算法则。
在教学实践中我继续采用“数形结合”的数学方法，帮助学生达成以上的两个数学目标。对于课堂中的“探究活动”没有直接放手，这是因为学生对“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法意义的理解还不够深刻，因此在整个得教学过程分为三个层次：
(1)、引导学生通过用图形表示算式，再用算式表示图形，深化“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法意义，感知分数乘分数的计算过程。
(2)、以3/4×1/4为例，让学生先解释算式的意义，然后用图形表示这个意义，最后在根据图形表示出算式的计算过程，这样做的目的是通过“以形论数”和“以数表形”的过程是学生巩固分数乘法的意义，体会分数乘分数的计算过程。
(3)、学生运用数形结合的方法独立完成教材中的试一试，进一步达成以上目标，并为总结分数乘分数的计算方法积累认知。整体教学的效果很好。
由于学生有比较坚实的整数乘法意义的基础，所以对于探索分数乘整数的意义和计算法则的探索完全可以让学生独立进行。而在分数乘分数计算过程的探索中，由于学生刚刚认识“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法意义，并且用图形表征分数乘分数的计算过程比较复杂，因此采用“扶一扶，放一放”的策略就比较好。
学生在计算分数乘分数时能根据计算法则进行计算，但对于计算过程的约分，部分学生的约分意识不强，如3的倍数，7的倍数，甚至更大质数的倍数，学生不知道约分，使结果不是最简，还要加强训练。
数学分数乘分数教学反思范文三本节课内容是《分数乘分数》，它是建立在学生理解分数乘整数意义的基础上进行教学的，重点在于使学生理解分数乘分数的意义及计算方法，这也是本单元的难点。教学设计中主要是突出实际操作和图形语言，使学生在实际操作中，直观体会分数乘分数的计算方法，并能运用自己的语言进行总结。
首先在情境中，先让学生理解分数乘整数的意义及计算方法，然后通过直观演示，依次折出长方形纸条的二分之一，二分之一的二分之一，并让学生用乘法算式来表示这个过程，初步感受分数乘分数的意义和计算方法，然后让学生猜想，由于学生已有了分数乘整数的基础，所以不难猜出结果，接着就让学生在实际操作中，借助图形语言，体会分数乘分数的意义，感受分数乘分数为什么是用“分子乘分子，分母乘分母”的方法，学生在折纸的过程中，再借助教材中“讨论”的问题，鼓励学生讨论算式与图形之间的关系，通过类似几道题的“折一折、想一想、算一算”，让学生运用自己的语言小结分数乘分数的方法。在计算法则的发现上，因为在前面花费了许多的笔墨，到法则的形成时，就让学生根据黑板上的五个算式让学生观察“积的分子、分母与两个因数的分子、分母有什么关系?”得出分数乘分数的计算方法。
由于本节课只是初步让学生通过折纸活动感受分数乘分数的意义及计算方法，整节课大量的时间都放在了学生“折一折、涂一涂”的直观感受上，注重发挥学生的积极性和主动性，给于学生更多的自主学习的机会。整个教学的流程是非常清晰的，由复习到新授再到练习老师都对教材进行了很好的研究，并且非常熟练自己的教学程序。
教材分析：分式的乘除法是本章的一个重要的内容，是分式的基本性质、分式的约分的进步提高及应用。本课时包含分式的乘法、分式的除法的内容。分式的除法可以转化为分式的乘法进行运算。分式的乘法是本课时的一个重点。分式的乘除法是建立在小学分数乘除运算的基础上，又与数的运算有很大的不同。
教学目标：（1）知识与技能目标：使学生理解并掌握分式的乘除法运算方法，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。（2）数学思考目标：经历探索分式的乘除法运算方法，发展合情推理的推理能力，培养学生大胆猜想的能力。（3）解决问题能力：形成解决问题的基本策略，从特殊到一般，从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算，也为以后学习分式的加减运算作铺垫。（4）情感与价值目标：教学中注意渗透类比转化思想，让学生在大胆猜想中学到方法，培养学习数学的自信心。
教学重点：使学生掌握分式的乘除法运算。
教学难点：分子、分母为多项式的分式的乘除法运算。
教学方法：探究式、引导式、小组交流合作。
教学准备：多媒体辅助。
教学过程：问题1：一个长方体容器的容积为v底面的长为a宽为b，当容器内的水占容积的
时，水高多少？长方体容器的高为____，水高为____
问题2：大拖拉机m天耕地a公顷__，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？大拖拉机的工作效率是
公顷，天，小拖拉机的工作效率是__公顷，天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的__倍。
（1）学生小组活动：讨论并填空。（2）教师提问：这是一个什么运算？怎样计算呢？
（板书课题：16，2分式的运算1、分式的乘除法）
设计意图：有问题1、问题2创设问题情境，在学生感到新奇而不知所措的过程中激发学生强烈的求知欲、设置悬疑、无疑为学生对本节课的学习创设了良好的情绪状态，面从实际生活引入，体现了数学知识源于生活。
学生交流：分数乘法法则？分数除法法则？分数乘法法则：分数乘以分数，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。分数除法法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。（1）教师叙述：通过上面分数乘除运算可先约分再相乘。但对于除法运算首先把除法化为乘法，然后约分、相乘。设计意图：通过对旧知识的复习、引导学生从旧知识中寻找新知识的生长点，符合新事物的规律、由浅入深、同表及里、逐渐深化。（2）探索新知：你能用代数式表示上题中（（旧知再现）观察下列运算）的计算过程中吗？与同伴
通过类比，得出：①分式乘除法与分数乘除法类似；②“数”变为“式”后，其运算又有不同。
设计意图：观察、类比、迁移的方式达到自然导人的目的，培养合作交流意识。注意的是通常分式除法首先应转化成乘法、为了方便记忆可说为“除以一个式子等于乘以这个式子的倒数或者一变一传倒”。
一、追溯错因，渗透数学思想
数学教学需要在让学生理解基础知识、掌握基本技能的前提下，感悟数学思想方法，积累丰富的数学活动经验。在课堂教学中，对于学生存在的错误不能只是简单地订正即可，需要追溯错误的原因，也就是要找到错误的根，这样才能促进学生真正地理解和掌握知识。在此过程中渗透数学思想至关重要，因为数学思想是对数学规律的归纳，是掌握数学知识的基础，以数学思想为指导，学生的思维才能更广阔，对错误原因的分析才能更到位，进而使数学课堂因差错而变得更有意义。
如在学习人教版数学五年级上册《小数乘法和除法》时，计算能力的培养是教学的关键，但在计算小数乘法时有的学生出现小数点位数不对、进位错误等问题，这时教师就要引导学生仔细观察，先找出自己错误的地方，再分析产生错误的原因，让学生进一步理解小数乘法的知识。但在后续做题时仍有一部分学生出现错误，究其原因在于这部分学生还是没有把握住解题的根本。针对这种情况，教师将小数乘法的计算提炼为转化思想的应用，让学生先忽略小数点，把小数乘法当成整数乘法，计算出结果后，再根据因数的小数位数之和得出积的小数位数，点上小数点，这样学生在计算时就能按步就班地进行计算，出错率大大减少。
二、比较错题，找出本质区别
比较是一切思维的基础，在学生出现错误时教师可以引导学生进行相关的比较，这样就可以从现象中发现本质，提高学生的辨别能力，从而更加扎实、有效地掌握所学知识。在教学时让学生用比较的方法来订正错误，可以实现将不同知识融合在一起，既巩固了正确解法，又能使错误显现出来，在比较中分清异同，实现举一反三的教学效果。
如在学习人教版数学四年级上册《运算律》时，学生在做乘法结合律和分配律的题目时总是出错。如计算（25×6）×4，有的学生写成（25×4）×（6×4），而在计算（25+6）×4时，有的学生又写成25x6+4，这些错误反映了学生对于乘法结合律和分配律的掌握不够透彻，在计算时错用、乱用运算率而导致出错。针对学生出现的错误，教师要引导学生重新认识乘法结合律和分配律，明确乘法结合律的前提是几个数相乘，将其中的几个数结合在一起使计算更加简便；分配律则是和与积的组合，需体现出和中的每一个数都与另一个因数相乘，再求和。在比较的过程中学生把握了乘法结合律与分配律的不同，从而更好地理解了计算时先观察判断应该采用的运算律，确保在把握本质的同时提高计算的质量。
三、探寻方法。避免类似错误
错误是不可避免的，但是不要重复出现同样的错误。将错误当成一种资源，既要寻根问底，更重要的是让学生不再犯同样的错误。因此，在教学时教师要探寻最佳的方法，让学生深刻理解错误的原因，从而确保学习的效果。如可以通过建立错题集的方法来将错题摘录下来，分析原因并订正，并举出类似的例子，这样学生在复习时翻一翻、看一看，就可以降低再出错的概率，并在有效的方法的指引下更好地学习。此外，教师还可以让学生根据出现的错误写出反思：为什么这样做？错在哪里？如何改正错误？进一步加深学生对于错题的印象，使学习更有效。
如在学习人教版数学三年级上册《分数的初步认识》时，有很多学生对于分数的意义理解不到位，分不清带不带单位名称的区别，因此也就比较容易出现错误。例如：一根长5米的绳子，把它平均分成6段，则每一段是全长的几分之几？每段长是几分之几米？结果学生做得乱七八糟。由此教师进行了反思，并在讲评时采用多媒体展示：分成6段、10段、100段，每段占全长的几分之几，也就是分成段数之一，与绳长无关；而每段的长度则与原来学习的除法有关，只需拿K长除以段数即可得出。此后，教师引导学生在将错题整理到错题集上，经常看一看，避免再出现类似的错误。
一、什么是同课异构
从字面上理解：异构――一种包含不同成分的特性。通常被用于信息技术和化学科研。与异构相对存在的就是同构，同构――两个或两个以上的图形组合在一起，共同构成一个新的图形，后者是对前者的一个超越或突变。把“构”放在教学中是指教师不同的教学设计、不同的教学构思、不同的教学方法，等等。“构”的目的是让不同的教师面对相同的教材，结合所教学生的实际情况，根据自己的生活经历、知识背景、情感体验构建出不同意义的设计，呈现出不同教学风格的课堂，培养出各具个性特色的创造性。
以人教版小学数学二年级上册教材中的《表内乘法（二）》为例，教师可以怎样实施异构呢？
教学设计（一）
参考教师用书，把7、8、9的乘法口诀分3个课时分别进行讲授。第一课时是教学7的乘法口诀，根据教材中的主题图和表格，利用七巧板拼成的图案，让学生自己将表格里的数据填写完整，再通过计算乘法算式的积，编制出7的乘法口诀，然后进行记忆和练习。教学8的乘法口诀和9的乘法口诀的设计思路与7的大体相同。
教学设计（二）
在教学7、8、9的乘法口诀之前，学生已经学过了2～6的乘法口诀，并且知道编制的方法。因此，教师把7、8、9的乘法口诀进行有效整合，以一句7的口诀“三七二十一”为突破口，让学生自己编制7的口诀；完成后，将学生分成两个竞赛组，分别编制8、9的乘法口诀，再进行记忆和练习。
对比以上两种教学，第二种设计更具开放性和生本特点，值得教师们尝试。
二、同课异构的特征
同课异构是一种教学型教研。教学型教研一般以课例为载体，围绕如何上好一节课而展开，研究过程渗透融入教学过程，贯穿备课、设计、上课、评课等教学环节之中，活动方式以同伴成员之间的沟通、交流、讨论为主，研究成果的主要呈现形式是文本教案和案例式课堂教学。因此，这种教研活动在不同学科的不同学段都可以进行。同课异构又可以分成多人同课异构和一人同课异构等形式。在教学研讨活动中，最经常用到的是两人同课异构模式，两人同课异构又俗称为“一课两上”。
以小学数学中高年级各个单元知识后的“整理与复习”内容为例。一种教学设计思路是：根据教材中的练习题安排，逐一对本单元的教学内容进行回忆和概括，然后做练习题加以巩固提高。另一种教学设计模式是将一节“整理与复习”的课分成三大部分进行。第一部分是知识整理环节，由学生自主回忆起本单元的所有知识点，教师根据学生的回答进行有序的整理和板书；第二部分是学生质疑环节，由于学生已经了解本单元的所有内容，那么他们必定有自己的困惑或疑难问题，在课堂上提出，请求他人的帮助；第三部分是针对性练习环节，可以由学生和教师收集一些易错题或综合性较强的题目，当堂进行解答。
对比而言，第二种教学思路更好地突出了学生的自主地位，充分将孩子们的思想和问题暴露了出来，而且可以马上找到解决问题的策略。这样，整理与复习就能达到既查漏补缺又提升能力的双重效果。
三、同课异构的用途
同课异构由以教材教法为中心的文本教研转向以师生共同发展为中心的人本教研，由单一封闭的个人研究模式转向多维互动的群体研究模式。①针对性强。它是基于帮助教师更好地理解教材、更好地完善教学方式而采取的一种具有实效的教研方式。②适用性强。它适用于各学科、各学段、各教师，它是一个认识―实践―再认识―再实践的认知建构过程。③参与性高。它是集体智慧的展现，资源共享可以帮助教师更好地把握教学目标，加深对课程标准的理解，同伴互助十分重要。④提升力度大。在教师的专业发展中，个人的感悟是一个十分重要的过程。
以人教版小学数学三年级上册《分数的初步认识》为例，一般在同课异构活动中，教师们采用以下两种设计。
教学设计（一）
以认识二分之一为起点，让学生学会读、写分数，知道分数各部分名称，初步感知分数二分之一的含义；以四分之一为操作点，让学生通过折、画、比较出不同分数表示的含义和呈现的不同图案，再通过判断、选择等形式的练习，加深理解分数的意义和分母的含义。
教学设计（二）
以认识二分之一为起点，让学生学会读、写分数，知道分数各部分名称，初步感知分数二分之一的含义；以四分之一为操作点，让学生通过折、画、比较出不同的分数表示的含义和呈现的不同图案；再通过判断题的练习，在众多的分数单位中，设计一个几分之几的分数，让学生学习几分之几。
当教师通过思考、探究、集体研讨之后，又有了第三种教学设计思路。
教学设计（三）
以认识几分之几为起点，让学生学会读、写分数，知道分数各部分名称，初步感知分数的含义；再通过判断题练习，在众多的几分之几数中，设计一个几分之一的分数，让学生学习。
一、有机利用，促进正迁移
1．因势利导，唤醒旧知。
数学知识之间有着紧密的内在联系，后续知识的学习往往是先前学习的概括或延伸。教学中教师应尽量在回忆旧知识的基础上引出新知识，努力挖掘新旧知识的内在联系，抓住新旧知识的共同特征启发思维，引导学生将旧知识迁移到新知识的学习中来。如教学“比的基本性质”一课，先让学生回忆旧知比和除法、分数的关系，使学生发现比、除法、分数有很多相似之处，再回忆商不变的规律和分数的基本性质，引导学生联想：在除法中有商不变的规律，在分数中有分数的基本性质，那么比有没有类似的基本性质呢？这样使学生在回忆旧知识的过程中，自然地过渡到了新课的学习，使学生很清楚地知道知识间的内在联系。
2．围绕思想，以旧引新。
教师在分析、解决数学问题时，要善于将一些数学思想方法和策略在传授知识的同时教授给学生。教师在教学过程中要唤起学生已经形成和积累的一些初步的解决问题的策略，促进这些策略的正迁移，为学生理解和掌握知识、发展思维提供支撑。如教学“梯形的面积计算”一课时，教师引导学生思考：“我们在推导平行四边形、三角形面积计算公式的时候，都用到了什么方法和策略？”然后教师予以启发：“我们能否也用这样的方法和策略来推导梯形面积的计算公式呢？”这样促使学生将梯形面积计算公式与已有认知结构中的面积计算公式建立非人为的实质性联系，为学生对梯形面积公式的探究、研讨及促进知识方法的有效迁移创造条件。
3．丰富表象，树立意识。
教师在教学过程中要结合教学内容尽可能地创设一些生动、有趣、贴近生活的例子，经常引导学生启发联想，使学生眼中单调、枯燥的数学问题与头脑中已有的知识和经验之间建立起联系，利用已有的生活经验，按照一定的模式去解决数学问题，实现知识的正迁移。如在教学“圆的认识”一课时，教师创设生活情境，通过让学生“寻找生活中的圆、欣赏生活中的圆”，由此引出数学问题，使学生感受到数学知识就在自己的身边。课的结尾让学生解释“车轮为什么不做成三角形、正方形、五边形而偏要做成圆形”的问题，把数学知识和生活再次联系起来，进而使学生体验到数学来源于生活，又运用于生活，促使学生学会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效地促进知识的有效迁移。
二、适时运用，避免负迁移
1．加强对比，建构知识。
注重知识结构的合理建构，是避免思维定势负迁移的前提。学习不只是新信息的简单吸收，而是通过新旧知识经验的相互作用实现的意义建构。学生大脑中有丰富的知识储备，到需要时能在一大堆旧知识中甄别出科学的那一部分，重新建构和再现新知识。如在“乘法交换律和结合律”一课中，我教学例1时，始终围绕着“乘法交换律和结合律是什么”的问题展开新知的探究。先通过把3×5和5×3这两个算式用等号连接，让学生初步感受乘法交换律，再通过呈现一批具有乘法交换律结构特征的等式，进一步丰富学生的感受，然后讨论交流总结规律，最后像加法交换律一样用字母来表示乘法交换律，把乘法交换律抽象到符号层面。这种对乘法交换律知识的建构，避免了对加法交换律的形式模仿。
2．比较深辩，避免定势。
比较是避免思维定势负迁移的有效方法之一。教师要善于指导学生运用比较的方法，通过对学习材料及已有结论的比较分析，找出异同，发现问题，使学生对知识的可利用因素和易混的因素进行辨析分化，从而加深对知识的理解。如在“乘数末尾有0的乘法”的练习课，书中第八题如下。
207×40 23×802 60×305
270×40 23×820 60×350
这是题组比较练习，是在学生学会乘数末尾有0的乘法计算以后，把它与乘数中间有0的乘法计算进行比较，让学生体会乘数末尾有0与中间有0的乘法笔算过程的区别。同时也使学生体会三位数乘两位数同样可以应用乘法的运算律或依据乘法意义，使计算简便，学生进一步熟悉乘数末尾有0的乘法的特征，避免思维定势的产生。
3．巧设“陷阱”，深化认知。
巧设“陷阱”是避免思维定势负迁移的有效途径之一。在教学中，我们要注意结合教学内容，从学生的学习实际出发，巧妙设置“陷阱”，敢于让学生出错。设计“陷阱”的目的不是为了让学生“上当受骗”，而是让学生能够认真反思出错的原因，深化对新旧知识的理解。如教学“应用乘法分配律进行简便计算”时，我设计了以下“陷阱题”：怎样简便就怎样算。
102×45 16×29+16×21 101×62-62
99×45 （40-4）×25 56×99+65
一、 丰富背景与单一背景之间的两难选择
人总是以已有知识作为背景，去认识、获取新知识，分数除法的背景较多，有整数除法的背景、除法是乘法的逆运算的背景、分数乘法的背景等。以1÷为例，它可以建立在以下背景之上：
1.包含背景：求1中有多少个，或的多少倍是1。
2.等分背景：求一个数，使得它的是1。
3.乘积背景：求乘以得乘积为1的因数。
小学数学教材所给的背景与教师选择的背景不同，苏教版和北师大版教材中的分数除以整数、整数除以分数都以“分物”为背景，归纳分数除法的算法。而有些教师利用“除法是乘法的逆运算”这一背景开展分数除法的教学。设：÷=，由除法是乘法的逆运算可得：×=，3×x=3，4×y=8，x=3÷3，y=8÷4，综合起来就是÷===，如果省略过程，呈现在学生眼前的就是：÷==。接下来考虑，发现÷==这个规律依然成立，最后，通过“划归”的方法，探讨一般分数的除法，从而得到：÷=÷==。
从上面的分析可以看出：教师和教材在分数除法算法及其含意的理解上有分歧，双方都把这种算法引入到不同的背景中，当然这种认识上的差异是必然的，甚至是积极的，但要引导师生进行有效的对话，就不能采用有分歧的背景，而必须共同观察相同的参考背景。分数除法教学时，应考察同一个背景――“分物”，它是除法运算的一个联结因素，它在以前的除法和分数除法之间建立了联系，分数除法的算法也有了合情合理的解释。
香港地区也用类似于“分物”的背景来教学整数除以分数。在实践活动中通过折纸发现：1（2，3，4）包含了多少个？推算：8包含了多少个？学生探究出：整数÷=整数×4。在探究活动环节，要求学生利用小组内的手工纸，找出：3张手工纸包含了多少个？
二、 知识载体与知识含义之间的两难推理
我们都知道，在数学知识的每一次介入中存在一个基本的认识论二难推理：教师想提供新知识给学生时，他们必须使用新知识的载体（符号与图表），当然符号与图表之间由某些严密的规则相联系。教学过程中必须使学生的注意力集中在这些知识载体上，然而，知识的含义并不包含在这些载体中，要让学生知道知识含义，就必须要学生自己去探索。也就是说，学生不能从知识载体直接读出知识含义，必须从中主动地重新建构。这是分数除法教学必须要面对的问题。
以苏教版小学数学教材六年级上册第46页的练一练为例，阐明这个认识论难题。
我们知道，对于÷=×=2，一方面，用某些运算符号联结起来的数学表示形成了一个小小的运算体系；另一方面，教材想借助一个几何背景，为符号与运算提供含义。右上角的图形以什么样的方式赋予÷=2含义呢？对于和，其中一个分数的分母是另一分数的倍数，似乎需要预先假定某一类分数，用来表明图形与公式之间最初的相互作用。这种相互作用还有另外的一些暗示：在右上角的长方形中，对1和单位的理解必须是可变动的。10个小方块是单位，与的比例分别是3个长方形（每一个长方形有2个小方块）与含3个小方块的一个长方形的比列。解释÷=2时，对“2”的认识论含意要根据单位的改变而改变。2可以这样理解：将解释为，将÷改成÷，计算÷时，可以不考虑分母10，只相当于运算就行了。
以上的分析表明，单位的解释要改变，首先，含有10个方块的大长方形表示单位1，接着，单独的方块也表示单位1。这种认识上的改变源于对的再认识，像这样的一个分数，并非仅仅是简单的两个具体数字6和10的关系，而是大量这类关系如：、 、、……的一个代表。谁是其中的代表要根据几何图形与给定的数值符号而定。
分数除法教学中遇到的认识论难题就是，要以符号载体来传送知识，同时又要超越这些具体载体。所以在课堂里，教师必须给学生呈现特定背景下的学习情境，从而可以在交流中分享，最后，借助于概括，创设一个消除背景的过程，帮助学生自觉重建隐藏在背景后面的数学知识的含意。
三、 逻辑标准与数学标准之间的两难评价
我们都知道，不同的人利用不同的数学知识背景得到不同的认识结构，分数除法教学也不例外。除了通常的“颠倒法”之外，有些研究者推荐了“通分法”。如苏教版小学数学教材六年级上册第46页的练一练，÷，可以这样来计算：把通分为，再和比较，看看包含几个，也就是：÷=÷=6÷3=2。康托就曾经这样写道：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前定义引进的概念相协调。”这是数学研究的逻辑标准。而“数学标准是关于研究工作‘数学意义’的分析。如新的研究是否有利于认识的深化以及方法论上的进步等。”
前面所讲用“通分法”来解决分数除法，从逻辑标准上来评价是没有任何问题的，可能有人还会认为若用直观图来解释“通分法”的算理更能体现其优越性，历史上也出现了一些其他类似的独特方法。但为什么这些方法最终都被人们所抛弃，而唯独留下“颠倒法”呢？我们是不是应该从“数学标准”的角度来评价一下“通分法”。从计算方法来讲，“通分法”是把分数除法转化为整数除法，这种方法当然可行，但是不是最简洁、最有效的方法呢？前面我们已经学习了分数的乘法，为什么非要通过复杂的通分而计算出结果呢？转化为刚学的分数乘法岂不更好。正如皮亚杰曾指出：“在更高的层次上对已有的东西重新进行构建，并使前者成为一个更大结构的一个部分。这样，我们最终就获得了一个无限丰富，而又层次分明、井然有序的数学世界。”
当然，“通分法”与“颠倒法”并不矛盾，不能否认“通分法”，因为有了这种方法，我们才能从更为广泛的角度去理解知识。但是教师不能因为“颠倒法”难理解而抓住“通分法”不放，教师要善于从“数学标准”的角度去评价 “通分法”和“颠倒法”，让学生真正理解“颠倒法”这种算法所体现的“数学系统的内部和谐”。
四、 理解保持与记忆结论之间的两难平衡
数学教学中有一对矛盾――理解和记忆，分数除法教学也不例外。因为学生对分数乘法的算理――“颠倒法”难于理解，而利用“颠倒法”来计算分数除法又如此简单。如何解决这个矛盾？不少学者提议：先记忆，再理解，先让学生反复练习，记住算理，然后再来理解算理。他们的理由是学生的理解能力有差异，不是所有学生都能在四十分钟内完全理解算理的，对于程序性知识，可以先知其然，然后知其所以然。我们仔细分析“先记忆，再理解”这一“缓冲”的方法，其实有时是很难实现的。教师要让学生记忆算法，就必须通过训练达到熟练的程度，这固然是一件好事。但有时过早、过多的训练，学生的理解的保持会受到训练的严重威胁，他们才不会努力理解这些“显而易见”的算法。
弗赖登塔尔在《数学教育再探》一书中指出：“算法是一种完全极端的情况，它一旦被掌握，或确信被掌握，人们很可能就不理会它们的来源。的确，算法最大的优点就是它们能机械地进行。但是当它们变得无用，或甚至对数学本身的目标构成危害（即把数学和操作算法等同起来）时，它们就变成了缺点。”教师的工作不是教学生仅知道应用“颠倒法”快速得到答案，关键是要让学生理解这个算法的真正意义。
【关键词】思维素质；教学生产链；深度合作；单元整合；实例教学
一、学习运算律的意义
（一）三个阶段
新北师大版教科书关于运算律的学致可以分为三个阶段.第一阶段也就是第一学段，学生能够结合具体的生活实例，对运算律有所体会，在解决简单实际问题和计算题的计算中，有的学生凭借直觉有所运用，没有出现概念，是自然渗透、自觉运用阶段.第二阶段也就是本学期（四年级上册），系统地学习5个运算律，重点是理解运算律的意义，并运用一些运算律使一些运算简便，感受算式的等值变形，提升运算能力.第三阶段在五年级下册和六年级上册，主要是学习运算律在小数和分数中的应用，运用运算律使一些小数和分数的混合运算简便，提升运算能力.
（二）意义
运算律是运算中进行简便计算的必要的理论依据，是学生正确、合理、灵活地进行计算的思维素质，掌握的好坏将直接影响学生今后的简便计算和计算速度.这部分内容是在学生已经学过的加法及乘法计算和验算的基础上进一步探究，从感性上升到理性的内容.
二、本期学习的五个运算律的内容
（一）教学目标
能够用自己的语言说出各运算律的意义，把握其特点；能运用各运算律进行简便运算和解决相关的应用问题.
（二）内容
1.加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a.
2.乘法交换律：两个乘数相乘，交换乘数的位置，积不变，即a×b=b×a.
3.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数所得的和，c先把后两个数相加，再加上第一个数所得的和是相等的，即（a+b）+c=a+（b+c）.
4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数所得的积，与先把后两个数相乘，再乘第一个数所得的积是相等的，即（a×b）×c=a×（b×c）.
5.乘法分配律：两个数的和乘第三个数所得的积等于这两个数分别与第三个数相乘所得积的和，即（a+b）×c=a×c+b×c.
三、学生学习中遇到的困难
（一）学习后恐惧，不能做题
新课讲授完，教师都会利用文字和字母总结各种运算律的内容，部分学生因为之前缺乏理论性的学习，对于文字和字母感到陌生和比较抗拒，对于所学的内容不能乐于消化，进而不会做题.
（二）各种运算律混淆，计算错误
相对于一二年级的简单教学，四年级的教材难度和容量上了一个台阶，在运算律学习方面，以下的错误是比较经常出现的：
128-37-63
=128-（63-37）
=128-26
=102 8×19×125
=（125+8）×19
=133×19
=2527 8×（125+25）
=125×8×25
=1000×25
=25000
（三）一定程度上掌握，但运用解决问题方面比较困难
学生学习运算律的目的是使一些运算简便，在提高计算能力和速度的基础上，会运用相关知识解决生活中的一些实际问题.但是因为对运算律的理解不到位或没有进行归纳总结，部分学生在运用解决问题方面比较困难.
四、建议措施
（一）课前
1.教师自身学习，教前认真备课，打通小学六年的教材，做实教的生产链：备课―上课―作业―辅导―考试.
2.低中高学段教师科组内深度合作，有意识地为学生的系统性学习和终身发展成长负责.
（二）课中
1.建议讲授的过程采用单元整合.
（1）各运算律分类：交换律（加法交换律和乘法交换律）、结合律（加法结合律和乘法结合律）、分配律（乘法分配律）.
（2）教授顺序：观察―发现―小结―公式正用巩固和强化―公式逆用巩固和强化―变式练习―综合练习.
2.充分利用生活情境或生活实例教学，提供机会让学生多想、多说、多总结，重理解和运用.比如，在讲授乘法分配律的时候，可以借助之前学习过的长方形的周长=长+长+宽+宽=长×2+宽×2=（长+宽）×2，或者举例子：马上要到元旦表演了，全班同学54人计划购买衣服（上衣+裤子）的场景，即（上衣单价+裤子单价）×54=上衣单价×54+裤子单价×54.
（三）课后
1.分层次练习，及时地进行试题检测.
2.查缺补漏，尽可能做到人人清、日日清和周周清.
五、结论
好的教学设计是教学成功的一半，教师在教学中合理设计，加上老师潜移默化的指导对教学成果有着重要作用，转变思想，积极探索，改革教学，在继续推进“自主――创新”课堂教学模式的同时，把新课程标准的新思想、新理念和数学课堂教学的新思路、新设想结合起来，转变思想，积极探索，改我们怎样教数学，《国家数学课程标准》对数学的教学内容，教学方式，教学评估教育价值观等多方面都提出了许多新的要求。无疑我们每位数学教师身置其中去迎接这种挑战，是我们每位教师必须重新思考的问题。通过多年教学实践，我对设计思路，课程目标，内容标准及课程实施建议有更深的了解，使教学改革跃上了一个新的台阶。
一、对教学内容的分析
这里特别强调的是对教材内容的数学核心思想的分析，就是希望教师不仅考虑本节课所教的知识，更要考虑到本节课后蕴涵的潜能。如小学数学教学中知识间的迁移：由刚开始的一位数加一位数的口算到多位数加多位数的笔算；求几个相同加数的和可以用乘法计算（整数乘法）到小数乘法；由小数乘法到分数乘法；由分数乘法到百分数乘法。每个知识点之间都存在着紧密的联系。假如在教学第一环节的内容时，考虑到它在今后数学教学中的地位和作用，那么教师应该深挖教材，既能使自己准确把握教材，有针对性地处理好教材，又能使自己的课堂如鱼得水、游刃有余。
二、对学生情况的分析
教学设计必须是对学生已有的知识基础，学生的生活经验、学习经验、学习困难、学习兴趣及学习方式等进行分析的基础上进行，否则会事倍功半或无法收到预期的效果。如：师：2012年6月16号下午18点37分神州八号发射声控，女航天员刘洋搭载升空。你们知道刘洋向全世界展示的是什么吗？教室内一片寂静！
本案例中，教师及时将富有时代气息的材料引入课堂，体现了教师具有较强的选材意识，但是，却忽视了面对的是刚刚步入学校的一年级的儿童，他们不一定对发生的每一件大事都感兴趣，他们有他们的爱好和兴趣。教师不能用自己的视界来衡量学生的视界。要想真正了解学生不仅仅依靠经验，有时还需要一定的调研。如小测验，访谈和学生交流，侧面了解，课堂观察，作业分析等等，教师要根据不同的目的做出合理的选择。
三、对教学目标的确定
教学目标是为学生的“学”而设计的，教师的“教”是为学生的学习目标达成而服务的。《数学课程标准》以知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等几个方面规定了学生应达到的目标，因此，教学目标的确定也要体现数学教育的多方面价值，教学行为的主体必须是学生而不是教师，因为判断教学有没有效益的直接依据是学生是否获得个体的进步，而不是教师是否完成任务。行为动词必须是可测的，可评价的，否则就无法评价。为此教师在目标制定过程中要从三维目标入手，设计具体的的可操作性的目标。如《长方形的面积》（小学三年级下册）教学目标：①能借助透明方格胶片或带有方格的面积图，说明长方形面积等于长乘宽的理由。②对给予的长方形和实物，能够正确计算它们的面积。
四、对教学活动的设计
教师在进行教学活动设计时，要在认真分析学生的基础上，根据学生的兴趣对教学内容进行差异化处理。教学活动包括活动的内容，活动的设计意图，活动的组织和实施，活动的时间分配等。其中活动内容是核心，活动设计意图是导向，活动的组织实施是关键。活动组织实施也就是教学活动的具体形式，包括：教师活动的开展？导入、提出问题或提出任务，主题探究（包括组织学习、组织交流、讲授等）；学生的学习方式？动手操作，独立思考，合作交流，练习等；活动材料的准备？学具、教具、课件等。要注意的是教学活动是为了完成和达到教学目标而设计的，要紧紧围绕教学目标的实现来设计。那种只关注活动过程“热闹”而导致教学目标的偏离，或者活动时只注重教学活动而忽视教学目标的做法，是最不可取的。
五、创新评价，激励促进学生全面发展
把评价作为全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生全面发展的手段，也作为教师反思和改进教学的有力手段。
对学生的学习评价，既关注学生知识与技能的理解和掌握，更关注他们情感与态度的形成和发展；既关注学生数学学习的结果，更关注他们在学习过程中的变化和发展。抓基础知识的掌握，抓课堂作业的堂堂清，采用定性与定量相结合，定量采用等级制，定性采用评语的形式，更多地关注学生已经掌握了什么，获得了那些进步，具备了什么能力。使评价结果有利于树立学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，促进学生的发展。引一个三年级评语例子：“这几天我们学习了较大的长度单位《千米的认识》，学生通过自己的努力，能收集、记录较远的路程，知道如何推测、估计较远的距离，在这方面是班里最好的。但在语言表达方面有一定的困难，希继续努力。等级评定，优。”这个以定性为主的评语，是学生与老师的一次情感交流，学生获得了成功的体验，树立一分耕耘，一份收获。教学工作苦乐相伴。我们将本着“勤学、善思、实干”的准则，一如既往，再接再厉，把工作搞得更好。
一、教师对解决问题教学的认识不到位，简单地把解决问题等同于应用题
在实际教学过程中，部分教师认为解决问题就是应用题，他们会觉得例题中的内容太“散”，所以通常会把题目写成文字应用题，再进行教学。例如，在教学三年级上册“有余数除法”时，教师在出示了情境图后，只是简单地提问了学生情境图中的内容，然后就直接把例题以文字的形式呈现在学生面前，“有23盘花，每组摆5盘，最多可以摆几组？还多出几盘？”这样的教学违背了例题的本意，完全忽略了学生对解决问题的认知过程，结果部分学生在解题的时候显得无从下手。
在教学解决问题的过程中，教师应该充分地让学生通过自己的观察、思考，解决自己发现的问题，并找出问题与条件之间的联系和解决问题的方法。单纯文字层面上的说明，对于刚刚学习“有余数除法”的三年级学生来说是有一定难度的。所以，教师应该结合生活情境，图文并茂地把实际问题呈现出来，同时让学生通过“分一分”、“摆一摆”的动手操作，使学生充分理解问题，掌握解决问题的方法与策略，为以后的学习打下坚实的基础。
二、解决问题的教学手段单一，解题策略缺乏多样性
在解决问题的教学中，教师为能够更好地把问题说清楚，把问题的各个方面都展示给学生，通常会进行大量的说明和提示。这样的教学可能会使学生容易理解，但却剥夺了学生独立思考，自觉发现问题、分析问题、找出解决问题的策略的学习过程，学生在学习过程中缺乏有效的交流、合作，完全处于被动位置，没有突出自身的主体地位。例如，在教学五年级上册32页“解决问题（一）”的教学中，教师对例题进行了详细的说明，通过关系式、示意图清楚地把解题思路一一呈现出来，学生也顺利地把例题解答了出来。但是在完成课本“做一做”的练习中，部分学生却出现了严重的错误，把应该先用乘法求总数再用除法求平均数的题目也直接用了连除进行计算了事。原因是整个教学过程中基本是由教师包办完成了例题的学习，学生没有充分地进行探究和交流，思考不够深入，同时受到例题是连除计算的影响，出现这样的错误也就不足为奇了。
受教材的影响，部分教师认为学生只需要掌握课本中提供的方法就可以了，而没有必要再学习其它方法，这种想法是与教材的编写意图和解决问题教学的目的相悖的，也不利于对学生的培养。解决问题就是要让学生通过一系列的学习过程，找出适合自己的、容易的、合理的策略，使学生真正体会数学思维在实际中的运用，会用数学思维去解决问题。例如，在教学六年级上册“解决问题（分数除法一）”的过程中，教师只突出了例题中用方程的解法，甚至在评课时也有教师提出简单方程解法思路，只需要教会学生用方程解题就可以了。其实我们可以发现例题1是求“单位1的量”的一步计算题，学生完全可以通过之前学习的分数乘法中求“对应量”的关系式推导出求“单位1的量”的关系式：“对应量”÷“对应分率”=“单位1的量”，这样的计算过程简单、思路十分清晰。通过分析教材可知，例题中用方程的解法就是对分数乘法的一个承接，然后对分数除法的一个引入，并非是规定了某种方法更好。
从以上两个案例可以看出，要真正体现解决问题教学的地位和作用，教师在教学中一定要大胆放手，让学生通过自主探究、合作交流、动手操作等有效的教学手段，使学生全程参与到解决问题的每一个环节，找出解决问题的各种策略，并从中选出最优的策略进行解题，使策略来自学生解决问题的需要，从而加深学生对解决问题策略的理解。
三、在解决问题的教学过程中对问题的反思浮于形式
解决问题的过程主要有四个环节：①收集信息，②分析问题，③寻求策略，④反思问题。但在教学过程中，部分教师往往只落实了前面三个环节，却忽视了“反思问题”这个关键的教学环节。每次听课，到了还有两三分钟就要下课的时候，教师都会设计“谈收获”这个环节，而绝大部分学生都只是例行公事地回答，例如，“我学会了求圆的面积”“我知道了用除法求平均数”……用一句简简单单的话就概括了整节课的学习。这样的反思流于形式，没有让学生完整地去体验解决问题的全过程，不利于培养其良好的思维习惯。
因此，教师应该有目的地引导学生回顾整个解决问题的过程，反思“收集信息时如何找出了隐含的条件”、“学习过程中遇到了什么困难”、“运用了哪些策略，是否合理、是否简捷？”、“其他同学用什么策略分析问题，对我有什么启发”等问题，让学生回味解题时用到的知识和方法，积累解决问题的经验，通过比较不同解法各自的特点，反思哪一种解题策略更合理、更简单，从而真正提炼出解题策略的核心，突出思维的关键，并延伸到解决其他问题上，同时也使学生获得成功的情感体验。
四、解决问题过程中忽视了数学模型的建立
数学模型是学生解决问题的有效工具，是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，简化问题的一种强有力的数学手段。通过数学建模解决问题，可以提高学生的综合素质，增强数学思维能力。
一、同学段计算方法、法则的整体性
小学阶段有很多方法法则是相通的，比如：除法的商不变规律、分数的基本性质、比的基本性质。这三者出现在不同年级，但本质是一样的，相互间的联系非常紧密，在学习分数的基本性质时可借助除法的商不变规律引入，同样学习比的基本性质时也可借助它与前两者的联系揭示出自身的规律。三者学完后应揭示它们之间的联系，学会相互转化，融会贯通。
分数乘法应用题和整数乘法应用题出现的时段相差很大，以至于很多教师把这两者割裂开来，看成两个截然不同的知识，其实这两者联系也很紧密，解题思路基本一致。比如：15千克的3倍是多少？和15千克的1/3是多少？都可看作倍数问题用乘法计算，区别是前者的倍数是整数，后者的倍数不到一倍而已。在教学分数乘法应用题时可从倍数应用题入手，最后小结：求一个数的几分之几是多少和求一个数的几倍是多少是一样的，用乘法计算。
很多学生对理解“小学美术组人数比书法组多3/5”这样的关系句感到困难，其实这样的数量关系和“小学美术组人数比书法组多2倍”是一样的，学生理解了后者，对前者的理解就轻松多了。这样两者体现了整体性，有助于学生知识结构的完善。
二、一题目不同解答方法的整体性
在现在的数学教学过程中提倡用不同的方法来解决问题，以体现思维的求异性和灵活性，教师更看重的是方法的多样，而往往忽视不同方法之间的整体统一。例如：34加16的进位加法教学片断：
执教者在教学过程中依次出现小棒图、计算器图（如下），逐个引导学生算出得数，最后教学列竖式（如下），结束片段进入下一环节。
这三幅图联系非常紧密，第一幅图右边的单个小棒相加和第二幅图中个位上珠子相加与第三幅图竖式里个位相加是一致的，同理第一幅图左边的每捆小棒相加和第二幅图中十位上珠子相加与第三幅图竖式里十位相加也是一致的，进位的原理也是一样。教师在执教时应指出这三幅图之间的联系，让学生体会整体性思想，感悟数学知识的来龙去脉。
三、不同题目间解答方法的整体性
在苏教版教材中，很多题目间看似不同，其实是有紧密联系的，找出共同之处，形成整体，对提高学生解决问题的能力和数学素养有很大帮助。
苏教版十二册“解决问题的策略”有这样几题：
计算1/2+1/4+1/8+1/16。
有16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制进行。数一数，一共要进行多少场比赛后才能产生冠军？如果不画图，有更简便的计算方法吗？如果有64支球队参加比赛，产生冠军要多少场？
对前一题，学生大多能在教师的引导下利用数形结合的思想找到简便方法：1-1/16，对后一题很多教师也能引导学生得出：8+4+2+1=16-1。但很多教师没有引导学生去发现这两题的共同点，没能从整体出发思考，显得零碎，不成体系。教师应在这两题间设置过渡题：计算1/3+1/6+1/12+
一、 运用比较策略，培养学生的归纳推理能力和运算能力
归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理，它的思维进程是从特殊到一般。在教学中可以用类比的方法。这也是教学中最经常使用的方法。
在苏教版《分数乘法》教学中，有一位教师为了让学生更好地理解分数乘分数的方法，用折纸的办法形象直观地展开教学：
1.把一张纸的■再对折，也就是■的■是多少？能用一个算式来表示吗？
2.把余下的再对折，也就是■的■是多少？能用一个算式来表示吗？
3.一张纸的■的■是多少？能用一个算式来表示吗？（学生说不清，也道不明）通过引导学生动手折一折、分一分、涂一涂、猜一猜、想一想等活动得出算式。
……
质疑：像这样既要折又要画才能知道结果，太繁。该怎么办呢？（教师引导学生，把中间的内容补充完整，从而由学生概括出分数乘分数的计算方法。）
在上述案例中，学生手中折的长方形纸是不变的，变化的是折纸的过程，教师先通过折纸灵动地将“形”转化成多个算式，并把形和数紧密结合，产生多个不同的结果，学生在经历了特殊——一般的比较过程中，通过多个不同算式的计算过程，概括出了一个共同的法则，真切感悟到了计算分数乘分数时为什么是“分子乘分子，分母乘分母”的道理。学生在比较的过程中提升了归纳推理能力。
在数与代数的学习过程中，学生要花费较多的时间和精力去学习和掌握关于各种运算的知识和技能，不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且要理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径。在教学中，教师可以用对比的范式进行教学。教师要帮助学生区分什么是概念本身、什么与此无关，从而提升运算能力。
在苏教版《乘法分配律》教学中，教师安排了这样的两题：
1.算一算，比一比，每组中哪一题的计算比较简便。
（1）25×4+25×8 （2）25×17+25×3
（4+8）×25 25×（17+3）
通过对比有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
2.请用手势告诉老师你选哪一个？与25×（4×8）相等的算式是（ ）。
①25×4+25×8 ②25×4×25×8 ③25×4×8
此题是不同于乘法分配律这一概念的例子，通过对比辨析，让学生更加清楚乘法分配律和乘法结合律的区别。
通过这两题的对比练习，让学生加深了对乘法分配律本身的理解，它与乘法结合律没关系，也有效地避免了以后的计算错误。
二、 运用比较策略，培养学生的数据分析观念和随机意识
统计学是建立在数据基础上的，本质上是通过数据进行推断。因此，数据分析观念的首要方面是“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析比较作出判断，体会数据中蕴涵的信息。”
在教学《复式折线统计图》时，教师先介绍自己暑期想去旅游，接着分别出示烟台和吐鲁番某一天气温变化情况的単式折线统计图，并分别让学生说说这一天的气温变化情况，然后，提出三个问题：吐鲁番从几时到几时之间温度下降最快？两个城市在几时的气温相差最大？从几时到几时之间烟台的温度比吐鲁番的温度高？
通过学生思考、交流，感觉后两道问题比较麻烦，接着，教师又提出：有没有更好的办法，不计算也能直观方便地解决这两个问题呢？你们想到了什么办法？（将两张统计图重叠；将两根折线画在一张统计图上等。）随即，教师动态呈现合并过程并完善复式折线统计图。（图略）
讨论：现在能很快解决后两个问题了吗？你又是怎么看的？猜一猜老师会去哪里？需做怎样的准备？
……
上述案例，教师利用比较两个城市一天之内温度变化的相关问题，激发学生寻求更简便的方法的内在需求，生成了复式折线统计图。教师通过对单式折线统计图和复式折线统计图的分析、区别、归纳，辨析异同，使学生体会到了复式折线统计图对两组数据分析的优势，培养了他们的数据分析观念。
在统计与概率这一内容中除了要培养学生的数据分析能力，还要培养学生的随机意识。随机性是一个非常重要的概念，理解它的丰富内涵不但要多做实验，而且要多收集和分析实验数据，帮助学生深刻体会“可能性”的含义，增强感性认识。如苏教版三年级上册设计了这么一个实验：一个口袋里有3个黄球和3个红球，从中任意摸一个，会摸到什么球？通过实验发现：两种球都可能摸到，每次摸到的结果是不确定的。笔者认为，为了让学生对随机性有更全面和更深刻的认识，实验时要求学生把摸到的结果纪录下来，实验后要让学生通过观察、比较和分析结果，感悟到：从每个学生的实验结果看，尽管都摸到了黄球，但不能确定其第几次摸到黄球，而且每个学生摸球的记录几乎都不一样，从中具体体会“可能性”的深刻含义，体会随机性。
三、 运用比较策略，培养学生的几何直观和空间观念
几何直观就是依托、利用图形进行思考和想象，它在本质上是通过图形所展开的想象能力。几何直观和空间观念的培养，都需要有操作、观察、想象、分析比较的基础。在教学中，教师应为学生提供足够的时间和空间让学生去观察和想象、操作和分析。
《面积和面积单位》的教学是学生认识“空间与图形”知识的一次飞跃。为了使学生认识到统一面积单位的必要性，一位教师是这样设计教学的：第一步，教师先出示一张画好方格的白纸的一面，让学生数一数包含多少个大小相同的小正方形（16个）。第二步，教师把这张白纸放进抽屉中，取出另一张白纸（其实这是一个假动作，取的是同一张白纸）。第三步，教师向学生展示白纸的另一面，让学生数一数包含了多少个大小相同的小正方形（18个），并提出问题：“刚才的两张白纸哪张大？”此时学生一定会认为第二张白纸大。第四步，展现白纸的两面并告诉学生，两次展现的其实是同一张白纸。
此案例中，教师巧用障眼法，让学生误解是两张白纸，其实白纸是不变的，变化的是小正方形的大小，学生在如此强烈的对比刺激下，经历了由迷惑到醒悟的过程，自然会理解统一面积单位的必要性。
四、 运用比较策略，培养学生的问题意识和创新意识
爱因斯坦说过：提出问题比解决问题更重要。但问题的提出不应当是教师的专利，而应以学生现有知识基础与生活经验为背景，随着学习活动的不断深入，逐步生成。对于孩子来说好奇心是天性，他们有很多很多的问题，他们对一切都感到新鲜、富于想像。由此可见，教师要注意在课堂上唤醒学生的问题意识。
在教学《解决问题的策略（假设）》时，教师在练习中设计了这样的两题：
1.钢笔的单价是铅笔的6倍，一支钢笔和三支铅笔的价格是10.8元，钢笔和铅笔的单价各是多少元？
2. CRH5型动车组，共计8节，长约206米。头部车辆长度比中间车辆长3米，头部车辆长度是多少米？中间车辆长度是多少米？
这两道题主要让学生想想、说说，在关注策略的同时着眼于解决问题以及学生思维品质的提升。显然这两题都可以用“假设”的策略解决，教师在处理这两题时要善于引导学生提问：应该怎样“假设”才能更好些？第一题把一支钢笔假设为6支铅笔比较好思考，第二题把头部车辆长度假设为中间车辆长度计算更快。教师要通过比较让学生真切体会到要根据需要恰当地选择策略，并引导学生主动反思自己的学习过程，在反思中提升对策略的认识。
苏霍姆林斯基认为：“教学就是教给学生借助已有的知识去获取新知识的能力，并使学习成为一种思索的活动。”教师要善于选择具体的问题，精细地诱导学生的求异意识，让学生在对问题的多解追求中享受学习带来的乐趣。
在教学《解决问题的策略（画图）》时，教师出示了一组变式训练题：
1.兆丰学校有一间长方形的科技室，长增加6米，或者宽增加4米，面积都比原来增加48平方米。你知道原来科技室的面积是多少平方米吗？
2.兆丰学校有一间长方形的科技室，长12米，宽8米。如果这间科技室长和宽都增加2米，科技室的面积增加了多少平方米？
第1题中长增加6米或者宽增加4米，面积都比原来增加48平方米。学生容易解决。第2题学生容易把长和宽都增加2米与长或宽增加2米混淆，当学生发现错误后，教师不仅要求学生自己画图比较纠正错误，而且还要求学生用多种方法完成。此案例中，原来科技室的长和宽是不变的，关键要理清长和宽都增加2米与长或宽增加2米的区别，即使有第一题的铺垫，多数学生一开始还会列出2×8+2×12的错误算式，少了其中的一小块2×2，通过引导学生画图对比，有效地促进学生的学习，同时教师并不满足一种解法，还要用其他方法进行验证，培养了学生的创新意识。
数学素养的提高是一个长期的、不断体验和积累的过程。教师在教学设计时既要善于运用比较策略，又要注意与多种策略有机地结合，要用其所长，避其所短，不能生搬硬套。苏联的巴班斯基认为：“教学工作通常要求运用的不止一种，而是多种方法，是方法的综合。”所以，在实际教学过程中，可以突出一两种主要的方法，综合利用一切有效的教学方法，组成最优化的、复合的教学法实施方案，长此以往，学生的数学素养才能得到有效提高。
参考文献
[1] 史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2.
【摘要】俄国著名教育家乌申斯基说：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界的一切。”在小学数学教学中，比较是经常使用的一种有效教学策略。合理使用比较策略，不仅能帮助学生深入理解数学知识，还能有效提升学生的思维品质。
关键词 数学教学；比较策略；思维品质
一、比较的内涵与外延
1.同中比异，揭示本质。
小学教材中，很多知识的差异性常常被他们的相似性、相近性和相关性所掩盖，小学生在思想上易被泛化为同类事物而发生混淆。此时组织辨异比较，有利于学生区别知识的各自内涵。如教学小数的读法，课始要求学生读出507.507，通过学生正误读法比较引导明确：整数部分要读出计数单位；小数部分只要读出各数位上的数就行了。接着又让学生读：5007.5007，再次比较明确整数部分连续两个零只读一个零，小数部分要把零一个个都读出来。两次辨异比较，学生清晰掌握整数部分和小数部分的不同读法，从表面上的“同”辨出读法上的“异”，轻松突破难点。
2.异中比同，深化理解。
数学知识灵活多变，对那些隐而不显的知识共性，习惯于表面现象认识事物的小学生误以为他们是各各独立。此时组织异中求同的比较，则有利于挖掘知识的共性，使学生的理解深刻化、概括化。如学习了约分和通分后，学生的理解往往分割地停留在“两种过程”、“两种方法”的孤立认识上。如适时组织比较，让学生悟出约分和通分尽管过程、方法不同，但都是分数基本性质的应用，只是索取角度不同，前者取“同时缩小相同的倍数”，后者取“同时扩大相同的倍数”，能把学生的理解引向深入、引向概括。
3.同中比优，促进优化。
面对相同的问题，不同的学生会产生不同的思维活动，从而产生不同的思维方法，而不同的方法是不同思维层次的体现，究竟应该选择怎样的方法，这就需要横向比较，没有比较就会固步自封。比如在探究长方形的周长时，方法有“长+长+宽+宽”，有“长×2＋宽×2，有“（长＋宽）×2”。教师应引导学生进行优劣繁简的比较，促进学生知识理解的准确性、深刻性和概括性，实现发散思维和聚敛思维的和谐结合。
二、善用比较，提升思维品质
1.通过比较实现有效迁移，提升思维的灵活性和条理性
比如在教学《比的基本性质》时，教师可先复习商不变的规律、分数的基本性质以及除法、分数、比之间的联系，然后引导学生大胆猜想：既然比和分数和除法之间有这么密切的关系，分数中有基本性质，除法有商不变的规律，敢不敢对比中存在某种规律进行大胆猜想？在猜想的基础上引导学生举例验证，从而得出比的基本性质。
2.通过比较促进抽象概括，提升思维的抽象性和严密性
比如教学苏教版五上《分数的意义》一课。为使学生建构分数的意义，教学中设计两次比较。
师：为什么这4幅图都可以用3/4表示？
师：比较前两幅图与后两幅图有什么不同的地方？
通过两次比较分别让学生明确：平均分的份数一样，涂色的份数也一样，就可以用同一个分数表示；单位“1”可以是单个物体或图形，也可以是多个物体或图形组成的一个整体。
通过比较帮助学生逐步抽象出分数的本质属性“怎么分”和“分什么”的问题，进而概括出出“分数的意义”。这样的比较归纳过程，是学生认识上质的飞跃，从感性到理性、逐步把握概念的本质，促进思维的深度理解和高度概括。
3.通过比较研错纠错，提升思维的精确性和深刻性
数学教学中，有许多知识点容易造成混淆，错误在所难免。为使学生能清晰地分辨知识的本质属性，可以将错解和正解对比，引导学生辨析反思，促进学生自主纠正。
如教学乘法分配律后，由于与乘法结合律的相互干扰，计算25×44时，错误极多。教学中，可呈现正解和错解，引导学生进行“形”辨和“意”辨：25×（4+40）既有加法，又有乘法，是分配律（a+b)×c=a×c＋b×c的形式。“意”是指算理的理解：25×44表示44个25，即4个25加40个25。由此推断前者是错误的。
教师可对比讲评，引导学生理解各种方法的解题依据，感知方法优劣，选出适合自己的最佳解法。同时比较解法一和解法二，明确求单位“1”的问题可以方程解，也可以用除法解。比较解法二、解法三和解法四，让学生充分理解比、分数、除法之间的内在联系。如此多方位、多角度的比较，既有利于培养学生思维的灵活性和独创性，又有利于知识的纵向沟通，发展思维的广阔性和综合性。
