时间：2023-02-23 01:47:49
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇小数的初步认识，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
“变教为学”倡导数学学习中进行文化渗透，文化的精髓依附在数学知识发生、发展的过程中，而不是知识的附庸，它在呈现形式上可以作为数学知识的具体情境，甚至是数学学习的具体内容，使其成为学生数学活动和数学思考的具体对象。以“小数”为例，小数是依据人的需求与主观意愿所发明的，它所蕴含的学习内容及需要经历的学习活动，主要包括小数发生过程中所体现的必要性、发展过程中形式的多样性和形成过程中表达方式的统一性、与其他知识联系的广泛性。[2]这些学习活动体现了数学教学的“文化性”。
一、小数产生的必要性
随着社会的发展，对数量表示的精确程度的要求逐渐提高。只用整数表示数量已不能满足人们的需要，于是在所表示的数量的末尾附上“有余”“有奇”或“强”“弱”等字，以表示该数量与实际量之间的差异，当需要用数来较为精确地表明这种差异的时候，就慢慢地形成了两种表示方法：一种是用分数来表示不足整数的剩余部分；另一种是发展度量衡系统，采用更小的度量衡单位来表示有关的量。[3]什么是度量衡？度量衡就是长度、容量和重量单位。起始的度量单位是比较大的，度量的结果比较粗疏，随着社会的需要才慢慢精细起来，人们逐渐制定了一批越来越小的度量衡单位。魏晋时期数学家刘徽当时在长度记法中采用的单位名称为：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，单位在逐渐地减小，相邻两单位之间的进率为10。虽然我国历史上也有过非十进的度量衡单位，如《汉书・律历志》载有重量单位：石、钧、斤、两、铢，其进制是1石=4钧，1钧=30斤，1斤=16两，1两=24铢，但十进制的度量衡单位还是占主要地位的。由于我国很早就使用十进制计数法，所以在度量衡的单位上也采用十进制，这为小数的出现奠定了基础。
有了十进制计数法、十进制度量衡单位这样的客观基础，又由于中算家研究的多为应用题，所以解题结果都是有单位名称的数，当运算时遇到非整数问题，为使书写形式简洁而不提及小单位名称，小数的概念就逐渐形成了。开始，人们在数字的后面加上小单位名称，由于制造出太多的小单位无论在记忆上还是书写上都较麻烦，如刘徽当时就对“忽”以下的单位不再命名，称为“微数”，相当于现在的小数部分。实际上，只要在十进制度量衡单位中认定一个作为基本单位，那这个单位后面的数便是小数的各位数了。后来，人们逐渐用“分、厘、毫”这样的单位来统一代表小数部分，如“分”代表小数十分位上的数，“厘”代表百分位上的数，“毫”代表千分位上的数。为进一步追求形式的简洁，人们逐渐把“分、厘、毫”等单位舍去，想办法来区分整数部分和小数部分，经过不断的演变，慢慢地才使用今天的“小数点”来区分整数部分和小数部分。现在所说的小数，其完整名称应为十进小数，小数的出现标志着十进制计数法从整数扩展到了非整数，使整数与非整数在形式上获得了统一，所以说小数的本质是十进制数，它是整数的延伸，[4]如果以1为基本单位，向大的方向延伸就可以得到10、100、1000……向小的方向延伸就得到了0.1、0.01、0.001……因此在小数初步认识时，可沟通其与整数的联系，而不涉及与分数的联系。
二、小数形式的多样性
小数的表示由产生到现在的相对统一，经历了漫长的历程，可以用王安石的一句诗来形容“看似平凡最崎崛，成如容易却艰辛”。
在中国，小数的写法主要有四种：第一种是依次给小数部分写上名称，一般情况下“分”代表小数十分位上的数，“厘”代表百分位上的数，“毫”代表千分位上的数。如公元400年左右《孙子算经》卷下第二题：“今有丁一千五百万，出兵四十万，问几丁科一兵？答曰：三十七丁五分。”答案中的“五分”指的是0.5丁，“丁”应该是以整数计算的，不过作为数学答案，可以用小数来表示其精确计算的结果。这里是用“分”来专门表示小数的，“五分”有了明显的小数概念。再如，古代计钱以“文”为最小单位，在《夏侯阳算经》卷中“分禄料”记有：“新官分得五贯八百八十九文二分一厘六毫，旧官分得一贯四百七十二文三分四毫”，这里出现了“文”以下的小单位“分、厘、毫”，正是为了表达运算结果的精确性，二分一厘六毫就是0.216文，三分四毫就是0.304文。
第二种是在整数的个位下面注以单位名称，南宋数学家秦九韶就把0.5尺写成如图1的形式，把4.608石写成如图2的形式，这里的“尺”“石”就成了整数部分和小数部分的分界，实质上起到小数点的作用。
第三种是用位置来区分，南朝刘宋天文学家何承天在其编著的《宋书》律历志部分，就已经大量叙述了像十一万八千二百九十六二十五（118296.25）、九万四千三百五十七（94300.57）这样的数，他是用小数部分比整数部分小一号的字体来表示的。此外，刘瑾在《律吕成书》（约1300年）中采用小数部分比整数部分降低一位的写法，图3是书中对小数106368.6312的记法，这是世界上最早的小数表示法。
第四种是在整数部分和小数部分间插入字，唐中宗天文学家南宫说在其《神龙历》（705年）中把365.2448写为三百六十五日余二十四奇四十八，这里的“余”字有小数点的意思。此外，丁巨也曾在整数与第一位小数之间插入一个“余”字，用来表示小数点。
由于中国使用算筹和大写数字来表示数，因此主要用单位名称来表示小数点，要出现现代形式的小数点是不大可能的。清代由于大量翻译西方著作，西方的小数点也随之引进我国。康熙年间的《数理精蕴》（1723年）中已经出现了现代的小数点，但还不是现代记法，如把52.43记作五二・四三。印度―阿拉伯数字最早出现在由美国传教士狄考文和邹立文合译的《笔算数学》中，后由于封建保守思想，曾一度改回用汉字一、二、三，直到后印度―阿拉伯数字才在我国正式通行。小数在当时表示的形式多样，如12.3可表示为一二・三，一二.三，12・3，12.3。到20世纪20年代才形成今天的统一写法，1925年出版的《数学辞典》中规定：“数字横写，小数点为小圆点，位置在个位右下方。”
随着中国早期的十进小数传入印度并渐渐在世界传播，其他国家开始陆续创造小数的表示方法，国外对小数符号的设计种类繁多。古印度数学家将小数部分的各数分别用圆圈圈出，如42.56表示为42⑤⑥。印度人将中国用文字分厘毫的表示法改为用圆圈圈出，这可以很明显地区别出小数部分。1530年，德国数学家Rudolff用一条直竖线来隔开整数部分和小数部分，如36.75写成36|75，这条竖线已经蕴含着小数的概念。1585年，荷兰工程师Stevin编写的《论十进小数》首次系统地论述了十进小数的理论，书中开篇宣称“本书教你如何进行所有计算，这些计算只须用全体整数而无须用分数就可以完成”，并给出小数的定义：“小数是基于十进制而发明的一种算术，它使用普通的阿拉伯数字即可记载任何数，并且在人类事务中的所有运算可以完全不用分数而只用整数来进行。”[5]Stevin创造了小数的表示方法，他首先用一个符号把整数部分和小数部分分开，然后把①②③④⑤写在数字的后方或上方来表示整数后边的部分，例如89①3②7③表示8.937。
1592年，瑞士数学家Burgi用一个空心小圆圈把整数部分和小数部分分开，比如把36.548表示为36。548。意大利数学家Clavius在《星盘》一书中首次使用了现代意义的小数点，即把小数点作为整数部分与小数部分分界的记号，他在后来1608年《代数学》中更明确地使用这种小数点，这就是用“点”表示小数记法的开始。1617年，英国数学家Napier在《小数计算法》中用“逗号”把整数与小数部分分开。英国数学家Briggs在1624年《对数算术》中又创立了一种小数符号，他在小数部分下面画一条线，如把3.45写成345，这条横线虽然后来在欧洲小数记号中逐渐消失，但却在中国一些财务记账中被使用过，一般是在元以下的角分处画上一条水平线。
现在世界上小数点的使用还没有统一，欧洲大陆派（德、法、俄等）用逗号“，”作为小数点；英美派则用实心圆点“.”作为小数点，中国使用英美派记法。
三、小数与其他学科的联系
小数在文学、经济、自然科学中有着广泛的应用性。战国末期楚国大才子宋玉在《登徒子好色赋》中描述了一位女子：“增之一分则太长，减之一分则太短。”他并没有直接描述这位女子的身高，而是从侧面夸赞其身高恰到好处：再高一分就太高，再矮一分则又显得太矮。那“一分”是多高呢？按照今天的度量标准，1尺≈0.333米，而1尺=100分，因此1分≈0.00333米。对于人的身高说，0.00333米的差异几乎难以察觉，通过宋玉这番带有夸张色彩的描述，可以想象到这个女子留给宋玉的印象很完美。俗语“一亩三分地”用小数表示是1.3亩，清朝时的皇帝为显示对农业生产的重视，每年到先农坛耕地，其亲耕的面积恰好是一亩三分。为什么定为“一亩三分”？有一种说法是中国古代把数字一三五七九看作阳数，一和三为阳数中最小的两个数，皇帝既要亲耕又不能太劳累，所以定个最小面积作为耕田。后来人们将个人利益或个人势力范围称为“一亩三分地”。
在经济生活里，小数发挥着重要作用，如商品销售中的尾数定价策略，即制定非整数价格，以零头数结尾。这样给人的感觉首先是便宜，易于接受，如标价99.98元的商品和100.08元的商品，虽然仅相差0.1元，但前者使人感觉还不到100元，后者却使人认为100多元；其次是精确，带有尾数的定价使消费者认为商品定价是非常认真、精确的，连几角几分都算得如此清楚，进而产生一种信任感。
在自然科学中，小数有着举足轻重的作用，如果不给予重视，那么重大发明也许会擦肩而过，或者造成重大损失。电话机发明者贝尔曾说，他是借助科学家莱斯的试验而成功发明电话机的。原来，莱斯在贝尔之前已经研制出一种利用电流进行传声的装置，但是这个装置仅能单向传送，不能双向交谈。当贝尔发现了莱斯装置中的不足后，经过分析研究，最后只将莱斯装置上的一颗螺丝往里拧了半圈，也就是0.0005米，话声就能相互传递了。就这样，0.0005米的细微之差，诞生了世界上第一部真正的电话机。这个结果令莱斯瞠目结舌，虽然他突破了电流传声技术，但却在离成功发明电话机0.0005米的地方失败了。
四、“小数的初步认识”学习活动单
在“变教为学”的背景下，以“改变教学单一的工具性，使数学教学呈现文化性”为出发点，设计了“小数的初步认识”学习活动单。
活动一：一袋牛奶的价格是1元9角8分，你有其他的表示方法吗？自己试试写出来，然后与同伴交流。
活动二：你认为哪一种方法最好？把自己的想法说给同伴听。
活动三：请你尝试读一读1.98、0.50、1.06，说一说你发现了什么？
活动四：你认为小数和整数的相同点和不同点是什么？先独立思考，再与同伴交流。
活动五：利用小数表示“一亩三分地”（1亩=10分），读一读你写的小数，并说说你对这个词语的看法。
活动六：生活中“小数”无处不在，请你课后找一找，记录下来，并和同伴分享。
活动设计说明：活动一的目的是让学生用不同的方法来表示1元9角8分，从而经历小数的产生过程，感受小数产生的必要性。活动二是让学生对不同的小数表示方法进行理解与比较，在比较的过程中感悟小数形式的多样性，体会现在小数表示方法的简洁性。活动三通过让学生自己尝试读小数，从中发现小数和整数在读法上有哪些区别。活动四是归纳与概括的思考过程，使学生体会小数的本质是整数的延伸，都是十进制数。活动五是将小数与语文中的词语建立联系，同时将中华传统文化也渗透到了数学教学中，学生既可以体会数学与其他学科存在着联系，也可以领略到中华传统文化的魅力。活动六是让学生寻找生活中的小数，将数学与生活联系在一起，旨在让学生善于观察生活，带着问题走入课堂，带着问题走出课堂。
参考文献：
[1] 郜舒竹. “变教为学”的文化性[J]. 教学月刊・小学版（数学），2014（9）.
[2] 郜舒竹. “变教为学”从哪儿做起[J]. 教学月刊・小学版（数学），2013（9）.
[3] 眭秋生. 我国十进小数发展简史[J]. 南京师大学报，1985（2）.
[4] 曾小平，韩龙淑. 小数是特殊的分数吗？ ――小数的意义与教学探究[J]. 教学月刊・小学版（数学），2012（7～8）.
〔关键词〕小数 计数器 数位 单位名数
教师教学实践的创新之一是由教科书的被动使用者成为新课程的塑造者。展示实物（教具的使用）是一种古老而且非常有效的方法。
学习内容：人教版小学三年级数学下册（7）小数的初步认识例1知识及相关练习某日，应三年级新老师之邀，上一节示范课，重点是复习。阅览课本及同步精练时，发现多数同学对于小数的换算掌握较差。于是我决定把这部分知识重新纳入课堂带领同学们一同进行复习。可面临的困难是对于例1学生都已经学过了，而单位间的进率知识又较繁杂。如何解决枯燥乏味的机械复习呢？
经过观察我发现：米――分米――厘米，元――角――分之间的进率都是10，我灵机一动。决定借助竖式计算数来把过去的部分知识重行进行复习。上课了，我首先向同学们展示了计数器，利用读数写数（如：百位是3，十位是2，个位是O这个数写作____读作____）让学生熟悉数位，这个内容学生在二年级就学过，现在特别容易。 然后我在把数位换为：米分米厘米（米后带小数点）让学生添数3米18厘米=（ ）米、3米5分米=（ ）米、2米8厘米=（ ）米、1分米3厘米=（ ）分米、7米26厘米=（ ）米、1米9分米=（ ）米。
通过老师的演示，学生的动手操作，知识很快被消化了。再此基础上我又把名称改为：元――角――分，让学生自学1元3角=（ ）元、4元2分=（ ）元、5元12分=（ ）元8角9分=（ ）角、10分=（ ）元、3角9分=（ ）元。看到同学们借助计数器把所有问题都正确解答了，我又借机把竖式计数器立了起来
分（厘米）
角（分米）
元（米）出示了问题：2角5分是元。再让学生观察单位间的进率，在学生明白了由分到元的进率是100的基础上，解决了2角5分=元教师带动学生再次横过汁数器来观察，还得到：2角5分还可以写成0.25元；同理23厘米=米，还可以写成0.23米。针对学生们在头脑中形成了“竖式理念，我随机出了一些相关习题（用小黑板的形式展现），对知识进行了巩固。经过同学们的抢答、笔答，可以看到准确率都达到了100%，真的出乎意料。
四十分钟的课堂结束了，但却给我留下了深深的思考：
1、小学数学教学是师生双方交互作用的历程，教师教学工作的目的是引导学生有效地建构数学知识，教师对学生建构知识和探究性的学习活动的引导可运用知识的对比、迁移等方法。此节课上，就应用了数位（百――十――个）与单位名数（元一――角――分）（米――分米――厘米）的对比、迁移学习，找到了它们之间的联系和区别，不但加深了学生的理解，还帮助学生将多个知识建构到一个知识系统中。
教学内容
这一册教材包括下面一些内容：除数是一位数的除法，两位数乘两位数，小数的初步认识，位置与方向，面积，年、月、日，简单的数据分析和平均数，用数学解决问题，数学广角和数学实践活动等。
除数是一位数的除法、两位数乘两位数、面积以及简单的数据分析和平均数是本册教材的重点教学内容。
在数与计算方面，这一册教材安排了除数是一位数的除法、两位数乘两位数以及小数的初步认识。这部分乘、除法计算仍然是小学生应该掌握和形成的基础知识和基本技能，是进一步学习计算的重要基础。例如，用两位数除多位数，每求一位商的步骤与用一位数除的步骤基本相同；又如，两位数乘两位数是学习小数乘法的必要基础。
从本册开始引入小数的初步认识，内容比较简单。此时学生在日常生活中经常遇到或用到有关小数的知识和问题，这部分知识的学习，可以扩大用数学解决实际问题的范围，提高学生解决问题的能力；同时也使学生初步学会用简单的小数进行表达和交流，进一步发展数感，并为进一步系统学习小数及小数四则运算做好铺垫。
在空间与图形方面，这一册教材安排了位置与方向和面积两个单元，这是这册教材的另两个重点教学内容，为发展学生的空间观念提供了丰富的素材。通过这些内容的学习，让学生初步形成辨认方向、表达与交流物体所在的方向的能力等。通过现实的数学活动，让学生获得探究学习的经历，探索并体会引进统一的面积单位的必要性，认识面积单位，掌握长方形、正方形的面积公式，进一步促进空间观念的发展。
在量的计量方面，这一册进一步扩大计量知识的范围，除了面积单位的认识外，还安排了认识较大的时间单位年、月、日及24时计时法。这些内容的教学可以进一步发展学生的空间观念和时间观念，并通过实际操作与具体体验，培养学生估计面积大小和时间长短的意识和能力。
在统计知识方面，本册教材让学生初步学习简单的数据分析和平均数。教材向学生介绍了两种不同形式的条形统计图，让学生利用已有的知识，学习看这两种统计图，初步学会简单的数据分析；通过学习平均数的含义和简单的求平均数的方法，初步理解平均数的意义和实际应用，进一步体会统计在现实生活中的作用。
在用数学解决问题方面，教材一方面安排了一个单元，专门教学用所学的乘除法计算知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动学习简单的集合思想和等量代换思想，并能应用集合和等量代换的思想方法解决一些简单的问题，培养学生观察、分析及推理的能力，培养他们探索数学问题的兴趣和发现、欣赏数学美的意识。
本册教材根据学生所学习的数学知识和生活经验，安排了两个数学实践活动，让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学意识和实践能力。
教学目标
使学生：
1．会笔算一位数除多位数的除法、两位数乘两位数的乘法，会进行相应的乘、除法估算和验算。
2．会口算一位数除商是整十、整百、整千的数，整十、整百数乘整十数，两位数乘整十、整百数（每位乘积不满十）。
《认识小数》是三年级数学下册的内容，这部分内容是在学生认识了万以内的数、初步认识了分数并且学会了常用计量单位的基础上进行学习的。学习这部分知识既可以在实际生活中应用，又能为今后系统地学习小数打下初步的基础。为了适应儿童的年龄特征，使学生易于接受，教材结合元、角、分或常用的长度、质量单位出现，以便于学生联系实际，来初步认识小数的含义。
1.会认、读、写小数，初步感知十分之几可以用一位小数表示、百分之几可以用两位小数表示。
2.结合具体情境认识小数的现实意义，懂得以元为单位、以米为单位的小数的实际含义。
教学难点：结合具体情境认识小数的现实意义，懂得以元为单位、以米为单位的小数的实际含义。
本节课的教学目标定位如下：
1.结合具体情境认识小数，初步理解小数的含义，会读写小数。
2.知道十分之几可以用一位小数表示、百分之几可以用两位小数表示。
3.通过观察、比较等学习活动，培养学生的观察能力、概括能力和类推能力。
4.感知数学来源于生活并用于生活，激发学生热爱生活、热爱数学的情感。
二、对教学方法与学生学习方法的确定
教学方法是教学过程中师生双方为完成目标而采取的活动方式的组合，根据本课教学内容的特点和学生的思维特点，可选择谈话法、直观演示法、启发法、尝试法、引导发现法等方法的优化组合，充分发挥老师的主导作用，调动学生的能动性，引导他们去发现问题、分析问题、解决问题、获取知识，从而达到训练思维、培养能力的目的。
小数的含义较为抽象，根据学生对概念的认知规律，教学时我创设了小动物出游的情境，并让学生说说小动物使用食品的价格，使学生在有趣的情境中直观地认识了小数。
三、对教学活动的安排
第一环节：创设生活情境
生动、熟悉的生活情境可以使数学由抽象变得具体，激发学生的学习思维。所以教师在第一环节中就以小动物出游的情境图告诉学生：在三亚美丽的海底世界里，小动物们可热闹了，你看他们带着自己喜欢的食物准备出游，我们去看看他们都带了些什么。同时问：你们仔细观察一下，标价牌的这些数和我们以前学过的数有什么不同？让学生自主说出，并要求学生把这些商品的价格分成两类，同时看看这些数有什么特点。然后引导学生小结，像这样的数我们就称之为小数。在这里通过“小动物出游”的情境引入，极大地调动了学生的好奇心，激发了学生参与的积极性，为学生探究活动的展开打下了基础。同时，由标价牌上的价格引出小数，让学生联系生活实际知道小数就在生活中，引起学生对已有小数表象的回忆，从而形成原始的感性认识。
第二环节：突出数学活动，引导主动构建
建构主义的学习观认为，学习是学生自主探索和实践的过程，学生用自己的活动建立对人类已有数学知识的理解。数学教学是数学活动的教学，数学学习也不是单纯的知识接受，而是以学生为主体的数学活动。因此，在课堂教学中，要注重向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们获得广泛的数学活动经验，在具体现实背景的活动中去研究、去探索，从而培养学生的探索与创新精神，以及运用数学发现问题、解决问题、交流与处理信息的能力。所以在这一环节中，师首先设计了有趣的游戏活动，让学生自主从生活中找出一些小数并试读，后小结小数点的读法：读小数的时候，要先读小数点左边的整数部分，按照整数部分的读法读，小数点右边要一位一位读，每一位是几就读几。接着进行有意义的实践活动，让学生试着“以元为单位写出下面的价格”，最后引导学生知道小数点左边的数表示“元”，右边第一位表示“角”，右边第二位表示“分”，让学生产生对以“元”为单位的小数意义的感受。由于在四年级还要具体认识小数，所以在这里只是对小数的读写法做了一个简单的介绍，让学生初步感知该如何读小数、写小数。
第三环节：优化合作环境，引导自主探索
首先营造合作氛围。课前教师要求学生回家测量自己的身高，课上让学生自主汇报，然后与同桌试着用“米”作单位进行讨论。在这里由学生的身高问题引入新知，能使学生体验到生活与数学的密切联系，过渡自然，很好地衔接到下一个环节的教学中。接着为学生提供合作机会，让学生自己探索一位小数和十分之几的关系，有助于培养学生的思维能力。通过这样的情境图，把学生的生活经历与课本知识联系起来，同时在帮助小动物解决问题的愉快气氛中很快就理解和掌握了百分之几可以用两位小数这个知识重点。
第四环节：注重应用实践，提升数学素养
学以致用是数学教学的目标之一。《标准》指出，教师应充分利用小数已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学的现实意义。
每年的3月，笔者所在的学校都要举行青年教师课堂教学比武活动，今年数学第一学段的“比武”主题是“认识小数”。为此，青年教师们可谓是“八仙过海，各显神通”，有些认真研读教材教参，也有些寻找着他人的课堂预设进行整合梳理。其中笔者随堂听了一位教师的课，颇有感想。
【教学片段一】
课件出示6个小数（5.9，15.6，0.85，36.00，2.60，18.18）
师：这些小数可以怎么分类？
生1： 按最后一位是不是0分类，可以分成两类。
生2：按整数部分有没有数进行分类，可以分成两类。
……
师：今天我们学习的是小数，分类方法肯定也和“小数部分”有关系，再想一想。
（部分学生一脸茫然，部分学生苦思冥想，终于――）
生：小数点后是一个数字的分成一类，是两个数字的分成一类。
（教师终于长舒一口气，接着往下讲）
师：像这样小数点后只有一个数字的小数，我们把它叫做一位小数，有两个数字的小数，就把它叫做两位小数。
思考：花了这么长的时间对小数进行了分类，分类的结果只是为了说明“一位小数”和“两位小数”。那是不是到了第二学段，我们还得分出“三位小数”“四位小数”？
翻阅教参可以看到这样一段话――例1以一组同学测量身高为题材，教学一位小数、两位小数的含义及其写法。知道一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几。笔者认为这段话应该理解为：让学生知道小数点后的数位可以是多位，位数不同表示的意义是不同的；让学生理解十分之几的分数可以用一位小数来表示，百分之几可以用两位小数来表示。而“一位小数”与“两位小数”的所谓概念只需在教师心里明确就可以了，没有必要让学生花大量时间进行分类与概念提炼。
【教学片段二】
课件出示课本插图。
师：读一读这些价格，想一想，如果要买2.60元的面包应该付多少钱？
生：应该付2元6角。
师：你怎么知道应该付2元6角？
生：因为小数点前面是2，所以应该付2元……
师：小数点前面的数表示元数，小数点后面一位数表示角数，第二位表示分数。
（学生完成表格填写）
思考：应该这么说，实在是佩服这些学生，面对“你怎么知道应该付2元6角”这样的问题，也能出现极其标准的答案，不得不对他们说声“赞”。要知道我们的学生并非生活在与世隔绝的环境中，对于三年级的孩子而言，即使没有学数学，也应该知道“2.60元”需要付2元多，这分明就是一种生活经验的积累。
思考执教教师为什么会问这样一个问题，笔者认为，她可能是想要着重体现课程标准所要求的“联系生活实际”“结合元、角、分”进行教学吧。那么这样的结合是不是太过生硬了呢？
二、观而思索
没有深入研读教材，真正领会教材意图便仓促而就的课堂，不仅教师讲得累，学生学得累，作为旁听课的笔者也觉得很累，那么如何才能正确把握“认识小数”一课的精髓？笔者认为需要通过以下几点进行把握。
1.课标对“小数的初步认识”的要求
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中要求：（第一学段）能结合具体情境初步认识小数，并能读、写小数。结合具体情境能比较两个一位小数的大小。（第二学段）结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义，会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数），会比较小数的大小，能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。能解决小数、分数和百分数的简单实际问题。
也就是说，课标要求小学阶段的学生在第一学段初步认识小数；第二学段理解应用小数。那么“初步认识小数”需要认识哪些内容，认识到什么地步？人教版教师用书对此给出了解释――一是本单元不要求离开现实背景和具体的量，抽象地讨论小数。二是小数的认、读、写，限于小数部分不超过两位的小数。三是简单的小数加减法原则上限于一位小数，并且结合元、角进行计算。由于本课是“小数初步认识”单元的第一课时，那么这个“初步”便可以基本锁定在“结合生活实际”进行“认、读、写小数部分不超过两位的小数”。
笔者认为，只有通过对课程标准的深入学习、充分理解、严格把关，才能使我们的课堂教学“中心明确不偏题”。
2.对“认识小数”的教材阅读
（1）读懂本课知识内容。
在课堂教学之前，读懂本课的知识内容――这一节课需要解决的知识点有哪些？这些知识点都是以怎样的方式呈现的？知识点之间有什么样的联系？重点要解决什么问题？――是对教师最基本的要求。就拿“认识小数”一课为例，来解读课本的深意。
（2）读懂课堂学习过程。
，教材又想提示我们什么呢？图中的这些孩子围坐在一起，取出各自带来的物品，寻找身边的小数。
笔者认为这张图给出了以下几点提示：①在学习方法上：可以组织小组合作讨论的形式进行学习，让学生主动参与，读读小数；②在学习内容上：可以选择学生身边能够找到的小数；③在学习目标上：讨论以读数为载体，思考小结出读小数的一般方法。
不要小看教材中的每一幅插图，在读透课标的基础上对过程性插图进行深入解读，会对课堂有更宏观的掌控。
（3）读懂学习品质培养的目标。
情感态度价值观这种看不见、摸不到的培养目标，在以往的教学中经常处于“看起来重要，做起来不要”的尴尬境地，但是在新一轮课改别强调了这方面的培养与引导。
如本课教学中透过下面的插图，可以清晰了解编者意图――引导学生主动思考，提出相关问题进行展开解惑，让学生做一个会质疑的人，这便是对学习态度的一种培养，作为教师要能够透过文本读懂教材深意，读懂编者在教材中渗透的对学生学习品质培养的目标。
三、三思而动
经过反思与琢磨，笔者也对“认识小数”这一教学内容进行了片段设计实践。
1.通过元、角、分来初识小数
师：（课件出示商品价格）知道这些是什么数吗？
引出本课主题
师：你会读这些小数吗？
规范小数读法
师：这些小数的长相有点特别，你觉得哪些地方让你印象深刻？
引出“小数点”“整数部分”“小数部分”，并进行认识。
……
设计思路：学生对人民币的认识和使用已经有了一定的经验，通过元、角、分来初识小数，既是对“小数是十进分数”的一种肯定认识，也为后续第二学段学习“启蒙代数”奠定基础。
2.认识生活中的小数
师：橡皮每块0.50元，可是我们没有0.5元这样面额的钱币呀，那就是要付多少钱呢？钢笔呢？尺子呢？
师：拿出你课前准备的超市购物小票，和你的同桌说说物品价格的表现方式。
学生反馈：0.1元，0.2元，0.3元，0.4元……
师：完成课本第88页的表格填空，想一想生活中你还见过哪些小数？
学生举例，引出长度单位：米、分米、厘米
设计思路：通过对超市小票上价格的描述，及之后的小数序列渗透，使学生感受到数学来自生活，也进一步理解十进小数的意义。
3.进一步认识小数
师：想一想，如果把一个长方形当成1元（将课前准备好的长方形纸片发给学生），购买橡皮的0.5元应该怎么在这个长方形上表示呢？你可以拿出学具折一折、画一画，也可以和同学们讨论交流。
学生反馈：把1元（长方形纸）平均分成10份，表示这样的5份就是0.5元。
师：刚才这个平均分，得到5份的过程在什么时候我们也用到过？
生：学分数的时候。
师：想一想，这个5份可不可以用分数来表示呢？
生：
师：噢，原来元和0.5元表示的意思是一样的呀。（在和0.5之间画上等号）
师：你还能找到这样相等的分数与小数吗？
……
我班现有学生43名。他们已经不象刚入学那样，什么都不懂，经过一年的成长，他们初步有了自己的思想、意识，有一定的控制能力。为了激发学生的学习欲望，教师应改变教学方法，从学生感兴趣的开始，初步培养学生主动学习的能力，使每个学生在自身的基础上都有一定的提高。
二、教材分析
本册教材包括下面一些内容：一个因数是两位数的乘法，除数是两位数的除法，年、月、日的认识，混合运算和应用题。
一个因数是两位数的乘法和除数是两位数的除法是本册的重点。学生掌握好这两部分计算，就为以后学习小数乘、除法打下良好基础。
混合运算和应用题也是本册的一个重点。这部分内容是在前一册的基础上，继续学习三步式题的混合运算顺序，继续学习一些两步计算的应用题。通过解答所学的应用题，使学生进一步理解和掌握一些数量关系，提高运用所学知识分析和解决实际问题的能力，并培养学生检验应用题解答的技能和习惯。
在量的计量方面，本册教材在前一册的基础上进一步扩大计量知识的范围，教学较大的时间单位年、月、日以及24时计时法。
三、教学目标要求
（一）会笔算一位数除多位数的除法、两位数乘两位数的乘法，会进行相应的乘除法估算和验算。
（二）会口算一位数除商是整十、整百、整千的数，整十、整百的数乘整十数，两位数乘整十、整百数（每位乘积不满十）。
（三）初步认识简单的小数（小数部分不超过两位），初步知道小数的含义，会读、写小数，初步认识小数的大小，会计算一位小数的加减法。
（四）认识东、西、南、北、东北、西北、东南、西南八个方位，能够用给定的一个方向（东、南、西或北）辨认其余的七个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向；会看简单的线路图，能描述行走的路线。
（五）认识面积的含义，能用自选单位估计和测量图形的面积，体会并认识面积单位（平方厘米、平方分米、平方米、平方千米、公顷），会进行简单的单位换算；掌握长方形、正方形的面积公式，会用公式正确计算长方形、正方形的面积，并能估计给定的长方形、正方形的面积。
（六）认识时间单位年、月、日，了解它们之间的关系；知道各月以及全年的天数；知道24时计时法，会用24时计时法表示时刻。
（七）了解不同形式的条形统计图，初步学会简单的数据分析；了解平均数的意义，会求简单数据的平均数（结果是整数）；进一步体会统计在现实生活中的作用。
（八）经历从实际生活中发现为题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。
（九）初步了解集合和等量代换的思想，形成发现生活中的数学的意识，初步形成观察、分析及推理的能力。
（十）体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
（十一）养成认真作业、书写整洁的良好习惯。
四、教学措施
（一）以学生经验为基础，设计富有儿童情趣的学习素材和活动情境，激发学习兴趣。
（二）充分利用教具和学具进行直观教学。
（三）加强导优辅差工作，让每个学生都得到发展。
（四）设计一些探索性操作活动，培养实践能力和创新精神。
五、教材的重点、难点分析
本册教材的重难点是：除数是一位数的除法、两位数乘两位数、面积以及简单的数据分析和平均数。
小学数学研究的11种简单应用题，归纳起来实际上是以下四种关系的应用题：相并关系、相差关系、份总关系、倍数关系。
下面就后两种关系的应用题做个具体说明：
一、份总关系的应用题
马老师非常重视概念教学，因为数学概念反映了客观事物的空间形式和数量关系的本质属性，只有抓住了最基本的概念与有关知识的联系，才能使学生认识事物的本质。二年级第二学期开学后，我们便引导学生重点弄清每个数量的含义，理解数量关系。
例如：每盘有2个梨，有这样的3盘。这两个数量之间的关系是知道1盘是1个2，就能知道3盘是3个2，要求一共有多少个梨，也就是要求3个2的总数是多少。知道一共有6个梨，有这样的3盘。这两个数量的关系是3盘梨的总数是6，6是3盘梨的总数。要求一盘有几个梨，就要把6平均分成3份。知道一共有6个梨，每2个装在一个盘里，这两个数量的关系是有1个2就有1盘，6里面有几个2就有几盘。教师在引导学生理解数量关系的同时，对应用题的条件及问题的结构应进行渗透，使学生形成初步的逻辑推理能力，为分析解答有关乘除法应用题打下坚实的基础。通过这样有层次、有目的的教学过程培养了学生分析、综合、判断、推理、抽象、概括的能力，从学生的反馈中也能看出，马老师这种步步渗透、层层深入、抓住概念理解数量关系，在这个基础上学习解答应用题的方法是非常科学的，是符合学生的认知规律的。正像马老师所说：“正确解题思路的形成，决定于对数量关系的正确判断，而正确的判断又来源于概念的正确建立。”
二、大小数四则应用题
大小数这部分知识可分为这样三部分：大小数的概念；大小数的关系；大小数应用题。
1.大小数的概念。
这部分又可以分为以下几层：
第一层：认识“同样多”。“同样多”是研究大小数之间关系的桥梁，只有在深入理解“同样多”的基础上，才能很好地理解大小数之间的关系。
马老师对“同样多”概念的渗透，在教学第一册教材认识数“2”的时候就已经开始了。当学生知道2朵花是由左边的1朵花和右边的1朵花这两部分合并起来的时候，问学生“左边和右边花的朵数怎样”，学生能够说出“一样多”、“一般多”，这时马老师给了学生准确的概念，这就是“同样多”。这是通过具体实物在学生头脑中初步建立“同样多”的概念。在教学“”和“=”时，先讲“”，目的是为了学“=”，理解“同样多”。这里仍然是通过实物图让学生理解，如3个苹果和3个梨比较，没有多余的苹果，也没有多余的梨，我们就说苹果和梨的个数同样多，也就是3和3同样多。这时学生从具体的两部分同样多，已经认识到两个数同样多，同样多可以用“=”表示，也就是“=”表示两个数同样多。以上所举这些例子都是通过学习“10以内数的认识”的过程，逐步渗透“同样多”这一重要概念的。
第二层：认识“大数、小数、同样多”。前面所理解的“同样多”是两部分正好相等，这一层所要理解的是小数和大数里的一部分“同样多”。如：3个苹果和5个梨里的一部分同样多，其中3个梨是5个梨里的一部分，3个苹果又和梨的这部分同样多，所以说苹果的个数只相当于梨里的一部分，即小数相当于大数里的一部分。在这里“同样多”就起到了重要的桥梁作用，同时“3”为什么是小数的问题也就迎刃而解了。
梨的“5个”为什么是大数呢？因为5个梨和3个苹果比较，l个苹果对1个梨，这样一对应，再继续比，苹果就没有了，梨还有两个。通过比较，很自然地把大数分成了两部分：一部分是和小数同样多的，另一部分是比小数多的。那么把5个梨分成1和4，行不行呢？如果这样分比不出谁大谁小。分成2和3行不行呢？仍然是量在变化，还是比不出谁大谁小。只有当把5个梨分成和苹果同样多的3个和比苹果多的2个的时候，才能通过比较得出5是大数。所以把大数分成两部分是在两个具体数量比较过程中自然得出的。
第三层：通过大量实物图巩固大、小数和同样多的概念。要达到这一层的目的可不是一日之功，在这一阶段，马老师要求每天用5-10分钟的时间让学生以不同形式、多种角度循序渐进地巩固这部分知识。
第四层：从实物图过渡到线段图，进一步理解大数和小数，仍然利用每天5-10分钟的时间进行训练。
2.大小数的关系。
大小数的关系，也就是研究大数、小数、差这三个数量的关系。大数和小数、大数和差、小数和差，这三个数量中每两个数量间有着密切的关系。这一部分也可以分为三个层次：
第一层：深入理解“同样多”，初步理解大小数之间的关系。
第二层（理解“多”和“少”）：深入理解大小数的关系，初步理解解答有关应用题的思路。
第三层（理解关键句）：深化大小数之间的关系，理解大小数应用题的解题思路，初步培养学生的逻辑判断推理能力。
3.大小数四则应用题。
小学数学研究的11种简单应用题，归纳起来实际上是以下四种关系的应用题：相并关系、相差关系、份总关系、倍数关系。下面就后两种关系的应用题做个具体说明。
马老师非常重视概念教学。因为数学概念反映了客观事物的空间形式和数量关系的本质属性。只有抓住了最基本的概念与有关知识的联系，才能使学生认识事物的本质。
这部分的概念教学是在二年级第一学期完成的。教师在教学乘法的初步认识时，就已经渗透了每份数、份数、总数的概念。如每盘有2个梨，有这样的3盘。
其中每盘有2个梨，就是说每部分的数是2，渗透了每份数；有3盘，就是有3部分，渗透了份数，这节课不仅让学生理解相同加数也就是每份的数，相同加数的个数是份数，更重要的是理解每个数量所表示的意义。这样就为学生学习数量关系铺平了道路。
教师在讲除法的意义之前，要讲清“平均分”这个概念。因为“平均分”是除法的核心。要通过“平均分”理解除法的意义，沟通减法和除法的关系，渗透乘法与除法的关系，同时也渗透了份总关系。
二年级第二学期开学后，我们便引导学生重点弄清每个数量的含义，理解数量关系。例如：每盘有2个梨，有这样的3盘。这两个数量之间的关系是知道1盘是1个2，就能知道3盘是3个2，要求一共有多少个梨，也就是要求3个2的总数是多少。知道一共有6个梨，有这样的3盘。这两个数量的关系是3盘梨的总数是6，6是3盘梨的总数。要求一盘有几个梨，就要把6平均分成3份。知道一共有6个梨，每2个装在一个盘里，这两个数量的关系是有1个2就有1盘，6里面有几个2就有几盘，教师在引导学生理解数量关系的同时，对应用题条件及问题的结构进行渗透，使学生形成初步的逻辑推理能力，为分析解答有关乘除法应用题打下坚实的基矗通过这样有层次、有目的的教学过程培养了学生分析、综合、判断、推理、抽象、概括的能力，从学生的反馈中也能看出，马老师这种步步渗透、层层深入，抓住概念理解数量关系，在这个基础上学习解答应用题的方法是非常科学的，是符合学生的认知规律的。正像马老师所说，“正确解题思路的形成，决定于对数量关系的正确判断，而正确的判断又来源于概念的正确建立”。
大小数这部分知识可分为这样三部分：大小数的概念；大小数的关系；大小数应用题。
（一）大小数的概念
这部分又可以分为以下几层：
第一层：认识“同样多”。
“同样多”是研究大小数之间关系的桥梁，只有在深入理解“同样多”的基础上，才能很好地理解大小数之间的关系。
马老师对“同样多”概念的渗透，在教学第一册教材认识数“2”的时候就已经开始了。当学生知道2朵花是由左边的1朵花和右边的1朵花这两部分合并起来的时候，问学生“左边和右边花的朵数怎样”，学生能够说出“一样多”、“一般多”，这时马老师给学生准确的概念，这就是“同样多”。这是通过具体实物在学生头脑中初步建立“同样多”的概念。在学“＜”、“＞”和“＝”符号时，先讲“＜”和“＞”，目的是为了学“＝”，理解“同样多”，这里仍然是通过实物图让学生理解，如3个苹果和3个梨比较，没有多余的苹果，也没有多余的梨，我们就说苹果和梨的个数同样多，也就是3和3同样多。这时学生从具体的两部分同样多，已经认识到两个数同样多，同样多可以用“＝”表示，也就是“＝”表示两个数同样多。
以上所举这些例了都是通过学习“10以内数的认识”的过程中，逐步渗透“同样多”这一重要概念的。
第二层：认识“大数、小数、同样多”。前面所理解的“同样多”是两部分正好相等，这一层所要理解的是小数和大数里的一部分“同样多”，如：3个苹果和5个梨里的一部分同样多，其中3个梨是5个梨里的一部分，3个苹果又和梨的这部分同样多，所以说苹果的个数只相当于梨里的一部分，即小数相当于大数里的一部分，在这里“同样多”就起到了重要的桥梁作用，同时“3”为什么是小数的问题也就迎刃而解了。
梨的“5个”为什么是大数呢？因为5个梨和3个苹果比较，l个苹果对1个梨，这样一对应，再继续比，苹果就没有了，梨还有两个，通过比较，很自然地把大数分成了两部分：一部分是和小数同样多的，另一部分是比小数多的，那么把5个梨分成1和4，行不行呢？如果这样分比不出谁大谁校分成2和3行不行呢？仍然是量在变化，还是比不出谁大谁校只有当把5个梨分成和苹果同样多的3个和比苹果多的2个的时候，才能通过比较得出5是大数。所以把大数分成两部分是在两个具体数量比较过程中自然得出的。
第三层：通过大量实物图巩固大、小数和同样多的概念。
要达到这一层的目的可不是一日之功，在这一阶段，马老师要求每天用5--10分钟的时间让学生以不同形式、多种角度循序渐进地来巩固这部分知识。
第四层：从实物图过渡到线段图，进一步理解大数和小数，仍然利用每天5--10分钟的时间进行训练。
以上这四个层次均为大小数应用题的准备阶段，通过这一过程的训练使学生比较深入地理解了“同样多”这一概念，初步认识了大小数之间的关系，使学生有了初步的分析能力。
（二）大小数的关系
大小数的关系，也就是研究大数、小数、差这三个数量的关系，大数和小数、大数和差、小数和差，这三个数量中每两个数量间有着密切的关系，例如：3个苹果和5个梨进行比较。3个苹果和2个梨的关系：这2个梨是比3个苹果多出来的部分。2个梨和5个梨的关系：2个梨是5个梨里的一部分。3个苹果和5个梨的关系：3个苹果相当于5个梨里的一部分。要研究这三个数量的关系仍然要抓装同样多”这个概念，以“同样多”作桥梁，把“大小数的关系”转化为“整体与部分的关系”去分析理解。
这一部分也可以分为三个层次：
第一层：深入理解“同样多”，初步理解大小数之间的关系。
第二层：（理解“多”和“少”）深入理解大小数的关系，初步理解解答有关应用题的思路。
第三层：（理解关键句）深化大小数之间关系，理解大小数应用题的解题思路，初步培养学生逻辑判断推理的能力。
（三）大小数四则应用题这一部分，数学教师应抓住关键句分析题目，目的是深入理解大小数之间的关系，掌握解答有关应用题的思路，培养学生分析推理的能力，使画图分析、解答成为一体。学习这部分知识时，每人早自习出两道应用题，让学生自己分析解答，直到现在（二年级第二学期）还练习这样的题目。
通过每天几分钟的积累，使学生有了新的认识、新的效果、新的高度。
一、以高尚的师德育人
我热爱和忠诚人民的教育事业，自觉遵守教师职业道德，全心全意为教育事业服务,关注教育改革。勤奋学习，刻苦钻研，及时更新知识，不断提高教育和教学能力。以认真负责的态度上好每堂课；用满腔的爱关心学生，关心学生的学习,生活，积极做好学生的思想工作，循循善诱，既教书又育人。能主动、认真地服从和配合学校各级领导安排的工作，与同事们团结协作，相互帮助，共同完成学校交给的各项工作任务。
二、以认真的态度学习
新时代要求教师要不断更新充实自己的学识，要有终身学习的观念,具备渊博的知识和多方面的才能对每一位教师来说很重要。因为我们的产品会说话,会思考,他们什么问题都会提出来，而且往往“打破沙锅问到底”。没有广博的知识，就不能很好地解学生之“惑”，传为人之“道”。所以我认真参加学校组织的各种教研活动，我努力学习别人先进的教学经验，改变旧的教学观念，把新的教学理念运用在自己教育教学之上。
三、以满腔的热情教学
著名教育心理学家布鲁纳认为：“认知是一个过程，而不是一个结果。"因此，他强调“教一个人某门学科，不是要他把一些结果记下来，而是教他参与把知识建立起来的过程。”我在教学课堂教学中正确处理好教与学的关系，学与导的关系，把教与学的重点放在学生的学上，在教法上着眼于导，以学生发展为本，激发学生的求知欲，引导学生主动探索、主动参与构建知识的过程，促使学生乐学，会学,善学。
本期完成了两位数乘两位数,长方形和正方形的面积,三位数除以一位数的除法,统计,小数的初步认识轴对称,实践活动,总复习这七个单元的教学目标。主要达成了如下教学目标：
1．会笔算三位数除除以一位数的除法、两位数乘两位数的乘法，会进行相应的乘、除法估算和笔算。
2．会口算三位数除以一位数,商是整十、整百的数。会口算整十数乘整十数，两位数乘整十数。
3．初步认识简单的小数（小数部分不超过两位），初步知道小数的含义，会读、写小数，初步认识小数的大小，会计算一位小数的加减法
4．认识面积的含义，能估计和测量图形的面积，体会并认识面积单位（平方厘米、平方分米、平方米），会进行简单的单位换算；掌握长方形、正方形的面积公式，会用公式正确计算长方形、正方形的面积，并能估计给定的长方形、正方形的面积,会利用公式解决简单的实际问题。
5．了解统计图，初步学会简单的数据分析；能初步体会统计在现实生活中的作用。
6.初步认识轴对称,知道生活中的对称现象和轴对称图形,了解生活中的对称美,感受数学来源于生活。
7．经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。
8．体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
螺旋式上升的课程编排是相对于直线型的课程编排而言的，现行的教材编排可能存在改进的空间，因此教师并不一定要完全遵循教材，可以有自己的理解和处理。但是对于大部分人来说，改变教法不是最难的，难的是接受这种理论。只有深入探究“螺旋式上升”理论在教学中的实施，才能对其中可能存在的不合理因素进行能动地处理解决。
本文尝试从三个层面对“螺旋式上升”理论在教学的应用实施进行探讨，以期引发广大同仁对深化“螺旋式上升”理论研究和实践探索方面的思辨。
一、把握课程内容的螺旋上升，恰当定位教学目标
《数学课程标准》（2011年版）在“教材编写建议”中明确提出：“教材在呈现相应的教学内容与思想时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。”如此安排课程内容，符合儿童由直观到抽象、低级到高级、简单到复杂的认知规律，体现了知识的由浅入深、由易到难、循序渐进的发展过程。教师要从知识的整体性、发展性的高度解读教材，避免出现对教学内容设计意图把握不清，造成教学目标定位不恰当的现象。
如对于“认识分数”内容，课标对第一、二学段提出不同要求，分别是“能结合具体情境初步认识分数”“结合具体情境，理解分数的意义”。苏教版教材分三个教学段帮助学生逐步认识分数：第一教学段（三年级上册）引入“认识分数”，第二教学段（三年级下册）进一步认识分数，第二教学段（五年级下册）学习分数的意义。内容编排如下表：
■
以上三个轮次的教学体现出明显的阶段性要求。三年级上册经历从整数到分数的产生过程，认识一个物体（或图形）的几分之一和几分之几，但不给分数下定义。三年级下册认识一个整体的几分之一和几分之几，并应用对分数的理解，解决“求一个整体的几分之一或几分之几是多少”的实际问题。五年级下册系统认识分数的意义：先是结合实例初步理解单位“1”和分数单位的含义，引导学生归纳、概括分数的意义；接着在理解分数单位的基础上，区分真分数、假分数，探讨分数与除法的关系，拓展对分数意义的理解；然后应用分数与除法之间的关系，掌握“求一个数是另一个数的几分之几”的方法。
从三年级到五年级，完成了三次螺旋上升，不仅反映出数学学科知识的逻辑特点，还将学科与学习者的心智发展有机地结合起来。充分考虑到各个年龄层儿童的认知特点，每一册的内容之间都存在着内在的联系，由浅入深，逐级递进，对于分数意义的认识在深度和广度方面均有实质性的不同要求。这种课程体系对原有知识在复习的基础上进一步发展，且隔一段时间在越来越复杂的形式中反复学习，学生对知识的理解会随着年龄和阅历的提升而逐渐深刻。
二、展现课堂结构的螺旋上升，呈现清晰教学脉络
“螺旋式上升”课程设计和教材编排是需要与相应的教学形式相匹配的，即对于“螺旋上升”课程，应该设计出螺旋式的教学安排，帮助学生树立数学的整体观点。而精心安排教学环节并合理组合是优化课堂结构、提高教学效益的保证，教师在预设各教学环节间的学习内容时，要重视各环节知识间的相互联系，体现承上启下式的衔接和发展。
如苏教版五年级上册的《小数乘整数》一课，可以围绕教材设计如下课堂教学结构：
1.激活经验，初步感知
通过创设购买西瓜的情境，引出小数乘整数的计算问题：“夏天的西瓜每千克0.8元，买3千克要多少元？”
本环节结合具体情境，充分利用学生已有的小数连加知识和元角分的生活经验探索“0.8×3”的计算结果，然后介绍怎样用竖式计算“0.8×3”，并引导学生初步感知积的小数位数与因数中小数的位数是相同的。
2.积累认知，建立猜想
变化情境为冬天购买西瓜：“西瓜：每千克2.38元，买3千克要多少元？（先用加法计算，再用乘法计算）”
本情境教学，首先让学生进一步积累小数与整数相乘计算方法的感性认识，接着引导学生初步建立猜想：小数与整数相乘时，因数中的小数是几位小数，积也是几位小数。
3.观察联想，归纳方法
新授之后，安排“试一试”：
用计算器计算下面各题，看看积和因数的小数位数有什么联系。
4.76×12 2.8×53 103×0.25
执教时，教师可以先让学生通过观察猜一猜每道题的乘积是几位小数，再用计算器加以验证，并引导学生联系例题获得的感性认识，归纳出整数与小数相乘的计算方法。
4.独立练习，完善建构
帮助学生通过练习巩固初步归纳的计算方法，安排“练一练”。
5.拓展练习，升华理解
进一步巩固“因数中的小数是几位小数，积也是几位小数”的认识，设计了以下练习。
根据148×23=3404填空。
14.8×23=（ ） 148×2.3=（ ）
148×（ ）=34.04 （ ）×23=340.4
让学生在直接写出得数的基础上，说说思考的过程。训练既有顺向判断，又有逆向推理，甚至可以训练发散思维。如我们可以拓展设计（ ）×（ ）=3.404，学生不仅可以灵活运用本课知识解决，还可以大胆猜想出下阶段的小数乘小数的有关知识。
以上对教学结构的处理上体现了五个小螺旋（感知—猜想—归纳—完善—拓展），教学流程脉络清晰，循序渐进，学生听得清楚、学得明白，思维训练的深度逐渐提高，教学效果自然扎实、有效。
三、体现认知发展的螺旋上升，适时组织反思交流
数学中一些概念的建立、思想方法的感悟是一个系统过程，需要经历逐步理解、掌握和内化，不断积累与深化的过程，特别是数学思想的感悟与形成更是一个否定之否定的过程，常常需要在认知的扬弃中升华。
如苏教版五年级下册的《解决问题的策略》一课，策略的教学有别于传统的应用题，其学习意义不仅是掌握具体问题的解法，更是感悟、体会内在的“逆推”的数学思想。本课的主要教学目标是：在解决具体问题的过程中，会用“倒过来推想”的策略寻求解决问题的思路，初步掌握运用这一策略解决问题的基本方法；在不断反思解决问题的方法的过程中，感受“倒过来推想”的策略对于解决特定问题的价值，增强解决问题的策略意识。
为了达成以上教学目标，可以引导学生经历三个层次的学习过程：第一层次，唤醒策略意识，寻求解决思路；第二层次，体验策略价值，形成基本方法；第三层次，增强策略意识，辩证认识策略。这三个层次的教学可以引导学生经历对“倒过来推想”的策略认知发展的三次螺旋上升。
第一个螺旋，可以借助回顾生活中常见的《参观线路图》，交流“原路返回时该怎样行走”等生活现象，或者“正话倒说”等数学游戏，体会到“倒着思考也是解决问题的方法”，唤醒难以教会的策略意识，为下一环节的新课学习埋下伏笔。
第二个螺旋，解决“倒果汁”“收集邮票”等具体问题，引导学生经历策略的形成过程：初步提炼，引出策略；逐层推进，理解策略；回顾反思，构建策略；对比练习，优化策略。其间，教师要关注引导学生体会解决问题“背后”所支撑的策略，组织学生讨论“为什么选择用倒推的策略解决这个问题”“怎样的问题适合用倒推的策略来解决”“运用倒推的策略来解决实际问题时要注意什么”等问题。及时让学生缓下脚步，驻足反思，令学生直觉经验式的解题行为逐步走向有意识运用策略的自觉行为，实现倒推策略的提炼。
第三个螺旋，设计拓展练习，辩证认知策略。如在拓展环节设计“在一个面积256平方米的池塘里，放入0.5平方米的水浮莲。如果水浮莲日长一倍，10天正好铺满整个池塘”的问题情境。思考：“第9天水浮莲的覆盖面积有多大？”追问：“如果求第3天的覆盖面积有多大呢？你用的是什么策略？”反思：“求第9天的面积你们觉得用倒推好，求第3天又说顺推好，这里到底有什么秘诀吗？”最后达成共识：“策略没有最好，只有适合，需要具体情况具体分析，灵活运用。”
问题一：“数”和“数字”意思一样吗？
某教师执教三年级下册《小数的初步认识》一课，在描述“小数的意义”时，语言不够准确。
【教学片段1】
（1）出示超市商品及价格。
哈密瓜6.75元 苹果4.89元 梨2.5元
师：仔细观察这些商品价格上的数字，都有什么特点？
生：中间有小点。
师：像这样带有小点的数字，就叫做小数。
（2）引出课题：认识小数。
师：这节课，就让我们走进小数的世界，一起来认识它们。（出示课题：小数的初步认识）
【思考】科学性是小学数学教学的生命线，不仅课堂上的知识要准确无误，教师的数学教学语言也必须是科学的、严谨的、准确无误的。“仔细观察这些商品价格上的数字都有什么特点？”“像这样带有小点的数字就叫做小数。”这两句话是错误的。大家知道，在小学阶段，所有的数都是由“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”这10个数字组成的，或由这10个数字加上小数点组成小数，像6.75、4.89、2.5都是由0至9这10个数字中的几个数字加上小数点组成的，所以像6.75、4.89、2.5都是数，而不是数字。数是由数字组成的，数字是组成数的元素。区分“数”与“数字”的区别：数是一个抽象的概念，数有无数个，有自然数、分数、小数、整数、无理数、有理数、实数、虚数、复数等。数有不同进制，数有大小之分，常用的数是一个值。数字只是个符号，是用来构成和表示数的元素，有限的数字可以构成无限的数。十进制数有10个元素。因此，教学时要正确使用数和数字两个概念。在这里，教师应该说：“仔细观察这些商品价格上的数都有什么特点？”“像这样带有小数点的数，叫做小数”。再如，十位上的数相加，不能说成十位上的数字相加；各个数位上的数的和，不能说成各个数位上的数字的和。数学教学讲究严谨，多一个字或少一个字，表达的意思也许就完全不同。所以，我们每一位数学教师都应该注意这一点。
问题二：分数可以表示“掌声的一半”吗？
某教师执教的《认识分数》一课。
【教学片段2】
师：美羊羊生日，沸羊羊带来了礼物与美羊羊共同庆祝生日。
礼物一：4个掌声，平均分给美羊羊与沸羊羊，每人几个？
生：每人2个。
师：2个掌声，平均分给美洋洋与费洋洋，每人几个？
生：每人一个。
师：如果一个掌声呢？一个掌声平均分给美洋洋与沸洋洋，每人几个？
生：每人半个。
师：对了。一个掌声的一半，可以用表示。今天我们就来认识一位新朋友（展示课题：分数的初步认识）。
【思考】“掌声的一半”就是“半个掌声”了，“半个掌声”到底有没有声音呢？生活中能分的东西无数，非得分掌声？“掌声的一半”或“半个掌声”都让人听起来觉得怪怪的。建议执教教师换一个情境创设。
问题三：这里有4个，对吗？
某教师执教的《认识分数》一课，练习设计判断题中有一道图文判断题。
这里有4个（ ），要学生判断对还是错。学生都认为错，因为这个长方形并没有平均分成4份，所以“这里有4个”是错的。最后，教师认为学生说的正确。
[关键词]学习起点；前测；建构；设计；效率
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）08-0023-03
《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”基于这一理念，教师在教学时首先要充分了解学生的认知发展水平和已有的知识经验，并且对其进行客观的分析。要做到这点，则需要教师在教学前对学生进行测试，了解学生的生活经验、知识储备、认知水平和思维状态，从而真实全面地了解学生的现实起点和最近发展区。
一、了解学生的学习起点
1. 编拟前测试题
根据教学内容和学生实际，我在课前要求学生完成以下测试题：
（1） 你认为0.1元是几角钱？
（2） 请用画一画等方式来表示你认为的0.1元。
（3）你认为 0.1米有多长？
（4）你能用画一画、写一写等方式来表示你认为的0.1米吗？
2.汇总前测结果，分析学生的学习起点
对于第（2）题，全班42位学生，有28位学生能用画图的方式直观地表示0.1元，理解0.1元是十角中的一角；有15位学生能利用长方形、圆形，甚至线段表示出抽象的十分之一；有6位学生能用分数元表示0.1元；有4位学生答错。
对于第（4）题，全班42位学生，仅有13位学生答对。
显然，学生对以人民币单位为单位的小数非常熟悉，基本上能够正确理解0.1元的实际含义，但对以长度单位为单位的小数比较陌生，有不少学生把0.1米误认为1厘米或1毫米。可见，学生关于0.1元的经验储备比较丰富。
二、制定教学策略
1.以0.1元作为学生认识小数的切入点
学生的学习需要就是教师教学的起点和切入点。利用前测中学生表示0.1元的方法为教学切入点，让学生在自主分析、互相交流中初步建构一位小数与十进分数之间的联系。
2.借助米尺进行表征，解决小数意义构建的重点
在三年级上册学习“分数的初步认识”时，学生已经积累了把1分米长的彩带平均分成10份的操作经验。所以，当学生认识0.1元后，教师可提问：“怎样找出米尺上的0.1米？”学生运用已有的知识经验，在积极解决问题的过程中能够理解“零点几米就是十分之几米，十分之几米也就是零点几米”，进一步建构一位小数与十进分数间的联系。
3.“从有量到无量”，突破小数意义构建的难点
为凸显一位小数与十进分数间的本质联系，教师可利用线段图把以人民币单位为单位的小数和以长度单位为单位的小数去单位后进行分析，得出“零点几就是十分之几，十分之几也就是零点几”的结论，沟通好十进分数与一位小数的联系，使学生能够轻松理解本节课的难点，从而掌握重点。
三、教学实践
教学环节1：立足前测，构建新知识
（课件出示前测题目：请你们用画一画、写一写等方式来表示你认为的0.1元。）
师：昨天的前测练习中，有几位同学这样表示0.1元（如下图），我们来看一看。
（请学生说明图示的含义）
师：他们是用直观的、画图的方式表示0.1元的，还有一部分同学这样表示0.1元（如下图）。
生1：用1个长方形表示1元，把这1元平均分成10份，其中的1份就是0.1元。
生2： 用一条线段表示1元，把1元平均分成10份，其中的1份就是0.1元。
师：刚才几位同学用不同的方式表示了0.1元，他们的方法有什么相同的地方？
生3：相同点就是都把1元平均分成10份，其中的1份就是0.1元。
师：我发现有6位同学直接写“0.1元=元”，他们这样表示0.1元，你能看懂吗？
生4：把1元平均分成10份，取其中的1份，用分数表示就是元，也就是0.1元。
（板书：把1元平均分成10份，取其中的1份，用分数表示就是元，也就是0.1元）
W生的认知水平层次是教师在教学中要考虑的核心因素，它直接关系着学习内容的选取以及学习“序”的安排。 进行前测，根据学生的前测情况有的放矢地制定教学策略，方能让学生在自主分析、互相交流中初步建构一位小数与十进分数间的联系。
教学环节2：动态生成，抽象概念本质
（1）认识0.1米
师：现在我们已经认识了0.1元，也知道了它表示的意思。那么0.1米表示什么意思？这里有一把米尺，谁能在米尺上找到0.1米？
生1：把1米平均分成10份，取其中的1份就是米，即0.1米，也就是1分米。
（板书：1分米=米=0.1米）
师：1分米用米做单位时可以写成米，也就是0.1米。
