时间：2022-06-27 03:18:48
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇高斯求和教学总结，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
“问题是数学的心脏”，采用有效的数学问题串，让学生接受式的学习数学转化为对“问题串”的探索过程，使模仿、记忆为主的学习变为活泼的、有效的求解“问题串”。采用“问题串”教学法可以激发学生的数学学习兴趣，培养学生的创新意识，改进学生的学习方式。
二、“问题串”教学法在中学数学教学中的运用
“问题串”教学的核心和关键就在于“问题”的设计，“问题”是学生学习的起点。问题必须能够引出所学课程的基础知识点、基本概念、原理等，这应该是问题设计的出发点。教师所设计的问题应该能够有效激发学生的主观学习动机，鼓励学生进行积极的探索和学习。学生带着这样的问题进行自主学习，在学习的过程中将问题解决，同时能够对自己的知识掌握情况、学习方法、学习策略作出客观的评价，这也有利于培养学生的判断能力和推理能力。
“问题串”教学法一般由四部分构成：1.创设情境，提出问题；2.探究方法，建立模型；3．应用模型，解决问题；4．引导总结，构建网络。下面以必修5（人教B版）2.2.2等差数列的前n项和为例具体来说明。
1．创设情境，提出问题。
创设问题情境，就是根据教学内容，结合学生的认知发展水平和已有的知识经验，将学习内容设计成若干与学生生活接近、有一定趣味性和挑战性的问题。目的是激发学生学习的积极性，给学生提供参与数学活动的机会，使学生在动手实践、自主探索和与他人合作交流的过程中获取数学知识、技能、思想和方法。
问题一：大家还记得德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事吗？小高斯在上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”小高斯稍加思考就得到了准确答案5050。这使得老师异常惊讶。那么高斯是用了怎样的方法如此快速计算出答案的？
生：高斯是应用首尾配对进行求和的，1+100=2+99=3+98=...=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+...+100=50×101=5050。
问题二：从1到999的自然数加起来，和是多少？看谁最先算出并说明方法。
生：1+999=2+998=3+997=...499+501=1000，有499个1000，还剩个500所以1+2+3+...+999=499500。
在导入新课时，我采取：由数学趣闻引入，激发学生的思维，引发学生探究的兴趣和欲望，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义。
2.探究方法，建立模型。
数学建模在解决问题中是最关键、最重要的环节，建立模型的过程就是将实际生活问题转换为数学问题的过程。一般要经历以下三个步骤：
（1）在原有经验的基础上，独立思考，利用猜想、迁移、类推，尝试探索解决问题的方法。
（2）在独立思考的基础上，组织小组互动交流，促进生生之间相互补充，形成统一认识，达到深化思维、理解问题的目的。
（3）小组合作之后，教师组织全班交流，在引领学生反思归纳的基础上，建立数学模型。
问题三：观察上面两个题有什么发现？
生：高斯“首尾配对”的算法还得分“奇、偶”个数的情况求和。
问题四：同学们有无更简单的方法，可以避免“奇、偶”项数的分类讨论吗？
师（提示）：推导三角形面积公式时，用两个全等直角三角形倒置成长方形再用长方形面积公式推导出。
生（讨论得出）：可以用倒序相加再除2算法。
问题五：通过上面的特例思考如何求等差数列的和？设等差数列{an }首项为a1，公差为d，求Sn =a1+a2+a3+...+an（分组讨论）
师：待多数小组完成推导，在板书上做详解：
Sn =a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an
Sn =an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1，两式左右分别相加，得
2Sn =（a1+an ）+（a2+an-1 ）+（a3+an-2）+...+（an-2+a3 ）+（an-1+a2）+（an+a1）
化简得 2Sn =n（a1+an）
于是有：Sn =■
这就是倒序相加法。
问题六：公式是否能用基本量a1和d来表示？
同学们积极讨论，举手回答。
生：把an=a1+（n-1）d 代入上式化简得
Sn=na1+ ■
师（总结）： 我们得到了两个公式
Sn=■，Sn =na1+■
问题七：等差数列前n 项和公式中含几个量，这几个量之间什么关系？
师生共同讨论得：上述两个公式中一共涉及a1，an，sn，n，d五个量，已知其中任意三个，可通过解方程组求得另外两个。
问题八：两个公式分别适用于什么情况？（提示结合等差数列性质思考）
师生共同讨论得：当已知首相a1，末项an ，项数 n或已知首末两项的和，即a1+an（或利用等差数列性质：a1+an=a2+an-1=a3+an-2...可得首末之和）时用公式Sn=■
当已知首相a1，公差d，及项数 n时，用公式sn =na1+ ■
问题九：同学们我们知道等差数列通项公式一元一次函数的关系，那等差数列前n项和与我们学过的哪个函数相似，它们之间有什么关系呢？（结合等差数列通项公式与一元一次函数的关系分组讨论）
师到各小组指导，待多数讨论完成后师生共同总结：
等差数列前n项和公式sn =na1+ ■，若设A=■B=a1-■，则此公式可写成Sn=An2+Bn，即Sn是n的二次函数，故点（n，Sn）在二次函数y=Ax2+Bx的图像上，由二次函数的性质可得：
（1） 当d≠0时，前n项和Sn的图像是二次函数y=Ax2+Bx的图像上的一系列孤立的点；当d=0时，前n项和Sn=na1=nan，它的图像是直线y= a1x上的一系列孤立的点。
（2） 运用二次或一次函数的性质可以研究等差数列的前n项和Sn构成的数列{Sn}的有关单调性、最值问题。
总结：问题三让学生通过自己的观察发现问题，同时也提高了学生发现问题的能力；问题四、五的设计层层递进，用初等几何的模型唤醒同学们的记忆，为倒序相加提供一个直观模型。能够有效地引导学生自己推导等差数列求和公式，建立数学模型；问题六，七贯彻基本量思想，把与等差数列有关的所有问题化归为首项和公差，这是解决等差数列问题的主要方法之一；问题八的设计使学生更加深入理解求和公式，灵活运用此公式；问题九的设计让学生意识到知识具有联系性，等差数列的通项公式和前n项公式分别是关于项数的一次函数和二次函数，数列本身就是特殊的函数。公式的进一步推导，掌握基本量思想对特殊数列问题解决的重要作用，再次引导学生回顾等差数列的性质。
3.应用模型，解决问题。
建立的数学模型对于类似的问题是否适用，需要将之应用到实际问题中检验。本环节要为学生提供若干能应用学生建立的数学模型解决的问题。这样不仅能让学生感受到建立数学模型的稳定性及其特点，同时能培养其综合运用知识解决问题的能力。
1）直接代公式求和
（1）1+2+3+...+n （2）1+3+5+...+(2n-1)
2）在等差数列{ an }中，已知a3+a8 =24，那么s10等于
3）在等差数列{ an }中，a3+a8=19s5=40，则a10 =
4）等差数列5，4，3，2，...前n 项的和是-30，求n 的值。
上面的题目可以让学生迅速熟悉公式，加深学生对公式基本量意义的认识，理解方程思想。另一方面，也加深学生对n的范围的理解。
4.引导总结，构建网络。
数学知识之间存在密切的联系。在学生建立了数学模型并运用模型解决问题的基础上，教师应引导学生进入更深层次的总结，以利于学生知识体系的完整构建，使学生对所学知识有系统化、网络化的认识。本环节不一定在每一堂“解决问题”课中都要体现，但广大教师一定要树立引导学生总结建构的意识，帮助学生形成良好的认知结构。
以上是对于普遍意义上的“解决问题”教学的基本流程。在解决问题体系中，还有一类是单纯学习解决问题的“策略”，对这类课的教学，其流程应适当变通。
问题十：通过本课的学习你的收获有哪些？
问题十一：等差数列的前n项和公式是如何推导出的？
自然思维――根据自我认知，合情推测，想当然地、顺其自然地思维.
直觉思维――根据知识经验，自觉和直接的思想方式.直觉思维往往表现为潜意识、下意识和无意识的，是非逻辑思维的一种思维形式.[1]在教学中如何关注学生主动性思维的培养，本文以人民教育出版社高中课程标准实验教材《数学》必修五数列部分内容和课堂教学案例来作为尝试.
一、求通项公式两种教学设计的对比
在介绍等差数列通项公式时，根据教材给出的方法，常见的教学设计是：
教师问：由等差数列的定义，前后两项之间的关系是什么？
学生写出：a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.
教师再问：各项如何用a1，d来表示？
学生写出：a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d，…
教师请学生填空得到通项公式an=a1+（n-1）d.
然后教师进一步说明这种方法的意义是由个例归纳出一般，是一种合情推理（合理猜想），关于其证明涉及以后的数学归纳法.
据笔者了解，当前大多数教师基本采用这一方法，并且制作了相应的课件.笔者认为，这样的教学方式，只是一种启发引导式的思维培养，看似学生参与了，实质上还是停留在学生由教师主导下被启发引导的一种思维方式，还没有充分体现出让教学的主体――学生自主学习[2]，或者说主动性思维的层面.
笔者的教学方案是：
教师设问：等差数列是一种有规律的数列，这个规律是什么？他的通项公式如何探究？
学生讨论后答：规律就是定义，通项公式可以从项与项之间的关系来推测.
教师要求：
那么请大家进行自主探求.
学生们讨论后基本上有两种方案.
（1）由定义得a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.
a2=a1+d，a3=aa+2d，a4=a1+3d，…，推测得an=a1+（n-1）d.
（2）由a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，把以上各式相加得an-a1=（n-1）d，an=a1+（n-1）d.
教师小结：这两种方法都很好，各有特点.
方法一反映了归纳推理、合情猜想的思维，但是归纳猜想的结论是否正确，需要严格的演绎证明.关于这个证明，今后的证明方法中专门会介绍数学归纳法.
方法二是一种很好和有用的推理证明思想――“累加法”.凡是相加可消去中间项的都可以尝试这种方法.
这样的教学方案，在体现学生主动性思维上显然比第一种方案要好，它注重了学生的自然思维和直觉思维.只要我们有意识，这种教学设计可以在其他内容上继续尝试.
二、求前n项和两种教学设计的对比
在介绍等差数列的前项和时，大部分教师参照教材一开始给出的高斯思想进行提示，并且再把这个思想与求和结合起来.其实许多学生，尤其是初中学过和课前预习过的学生，他们的思维就只停留在高斯的思维引导下，而缺失了自觉主动创新思维的意识，只感受到了高斯的“聪明”，而没有意识去尝试这种“聪明”思维自己能否产生和如何产生.这样被动的思维培养其实只是一种形式而已，这样的思维过程也很不“顺其自然”.如果意识到主动性思维的培养，可以设计这样的教学方案.
教师不作任何提示，直接让学生尝试求和. 学生思考后，基本能够自然地利用通项把每一项的第一个相加，第二个概括在一起得到：Sn=na1+[1+2+…+（n-1）]d. 到了这里，学生们就能自然而主动地想到求Sn就是求1+2+…+（n-1）.关于自然数求和，有的学生就回忆起了高斯方法.更可喜的是，即使没有想到高斯，从1+2+…+（n-2）+（n-1）的形式看，大多数学生也想到了1+（n-1）=2+（n-2）=…，也就是说“与首末等距离的两项之和相等”，这样就得到了Sn.
如果是1+2+…+n呢，显然也成立.
到此，再请学生们看高斯的思维，学生们就会自信地感到自己和高斯一样可以创造性地思维，就会增加学习的主动性和兴趣.
教学至此，教师只要提一句：等差数列有否这个性质？
几乎全体学生都能得到等差数列有这样重要的性质：“与首末等距离的两项之和相等.”即a1+an=a2+an-1=….从而自然想到Sn的求法是Sn=a1+a2+…an，Sn=an+an-1+…+a1，2Sn=n（a1+an），Sn==na1+d.
三、通过习题检验两种设计的效果
至此，求和已完成，接下来是巩固和拓展.
教师小结重要的两点：
1.数列的问题往往要从项着手分析，同学们想到的“拆项法”很重要和有用，比如把每项拆成两个甚至多个，分别将第一个，第二个…合并求和.再比如拆成两个后有可能前后有关联，请学生做课本P47习题4.
对于习题4，本来有许多学生是陌生和困难的，但由于有了前面的思维基础，大多数学生这时能很自然地得到：
Sn=++…+=（-）+（-）+…+（-）=1-.
教师进一步提出求Sn=++…+. Sn=+++…+.
并提醒学生注意不同的细节.
教师更进一步提出对于等差数列{an}，求Sn=++…+.
从具体课堂效果来看，学生会顺利解决并自主总结出方法――拆项相消法.
2.等差数列的重要性质：“与首末等距离的两项和相等.”即a1+an=a2+an-1=at+an-t+1，这是很有用的性质，利用它可以灵活、快速、准确地解题.在具体问题中，要注意的是如果n是奇数，则中间是一项；如果n是偶数，则中间是两项.
进一步请学生应用练习：在等差数列{an}中，（1）已知a7，求S13；（2）已知a5，a11，求a8，S15；（3）已知S21，求a7+a15.
通过以上练习，学生体会到了用此性质的快捷，激发了主动学习兴趣和求知欲，再次感悟了数学的奥妙和乐趣.
这样的教学设计方案所反映的思维过程完全体现了学生的主动性思维，自然而流畅，而且在思维过程中可以得到有用的重要方法，为后续学习提供基础.
四、在等比数列教学中的应用
在等差数列中有了这样的思维，在接下来的等比数列通项公式教学设计中就可以更自然地让学生主动性地思维.
等比数列通项公式（课本P50）仍然是用探究的方法让学生由前n项的个例归纳猜测的，也没要求给予推理证明.笔者的教学设计改进为：
教师设问：等差数列和等比数列的区别和联系是什么？如何用这种联系和等差数列的通项公式探究方法来得到等比数列的通项公式？
学生讨论后，基本上能明确“差”和“比”的关系，从而除了由个例归纳猜测外，还很自然地由等差数列的“累加法”得到了等比数列的“累乘法”.
由=q，=q，…，=8，各式相乘得到：=qn-1，an=a1qn-1.
趁着学生对两种数列关系的兴趣，教师可进一步让学生回忆等差数列前n项和中有一个什么重要性质，等比数列中相应的性质又是什么.
几乎所有的学生都能主动自觉地意识到“等比数列中与首末等距离的两项的积相等”.即a1an=a2an-1=…=atan-t+1.
然后给出相应的练习让学生体会其重要应用和巩固掌握.
从以上的一些教学设计可以认识到，教材的处理和课堂教学设计对学生主体的学习兴趣、主动性思维培养和知识的主动牢固的掌握运用是非常重要和有意义的.作为数学教师，在这些方面应予以更加重视和加强.只要我们在教学实践上有这样的意识，我们的教学主体――学生的数学思维就会更自觉、自然而有创新，学习数学就会更主动积极而有兴趣.
参考文献：
一、温故知新导入法
温故知新的教学方法 ，可以将新旧知识有机地结合起来，使学生从旧知识的复习中自然获得新知识。例如：在讲“反函数”时，使学生 回忆函数及映射的定义，提出问题引导学生反过来思考，从而引进反函数的概念。这样导入，学生能从旧知识的复习中发现一串新知识，清楚反函数与原函数的关系，并且掌握了反函数的定义。
二、创设情境导入法
数学知识的获得，往往是通过时间得来的， 数学知识的探求过程为我们展示了丰富的知识背景。选取具体的背景，可以使学生如临其境，生动形象。例如我在执教“相互独立事件同时发生的概率”时，创设如下情景：常说三个臭皮匠顶一个诸葛亮，能顶上吗？已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，三个臭皮匠能解出问题的概率分别为0.5、0.45、0.4，且每个人必须独立解题，那么三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
三、实践导入法
实践导入法是组织学生进行实践操作，通过学生自己动手动脑去探索知识，发现真理。例如在讲“椭圆定义”时，预先布置学生带好图钉、绳子、纸。在课堂内告诉他们方法 ，让他们自己发挥，使学生享受到探索新知识的快乐。
四、反馈导入法
根据信息论的反馈原理，一上课就给学生提出一些问题，由学生的反馈效果给予肯定或纠正后导入新课。如在上“求函数定义域”时，课前可以先拟几个有代表性的习题让学生到黑板上练习，从学生练习的结果和学生的反馈中老师就可以发现问题。
五、设疑式导入法
设疑导入法即所谓 “学起于思，思源于疑”，是教师通过设疑布置“问题陷阱”，学生在解答问题时不知不觉掉进“陷阱”，使他们的解答自相矛盾，引起学生积极思考，进而引出新课主题的方法。它的设计思路：教师提出问题，学生解答问题，针对学生出现的矛盾对立观点，引发学生的争论与思考，在激起学生对知识的强烈兴趣后，教师点题导入新课。
六、直接导入法
直接导入法是教师直接从课本的课题中提出新课的学习重点、难点和教学目的，以引起学生的有意注意，诱发探求新知识的兴趣，使学生直接进入学习状态。它的设计思路：教师用简捷明快的讲述或设问，直接点题导入新课。
七、观察导入法
据数学概念形成的规律，概念 教学 必须遵循从具体到抽象、由感性认识到理性认识的原则，教学新概念要建立在生动形象的直观上。例如在介绍分类计数原理与分步计数原理时，就以学生很常见的乘车的例子引入，从简单的生活例子升华到抽象的 数学 原理，不至于学生 在学习的过程中觉得枯燥。这种观察引入的方法 进一步沟通了新旧知识的联系，使学生学得轻松愉快，概念理解深。
八、故事引入法
有与教材有关的故事引入，课堂会出现 “洗耳恭听”的势态。例如在教“等差数列求和公式”时，我先讲了一个数学小故事：德国的数学家高斯读小学时，老师出了一道算术题：“1+2+3+……+100=?”老师刚读完题目，高斯就写出了答案----5050，而其他同学还在一个数一个数地挨个相加呢。高斯是用什么方法做得这么快呢？这时学生出现惊疑，产生一种强烈的探究反响。我再点明课题：这就是今天要讲的等差数列的求和方法 ----倒序相加法。 九、电教导入法
一、巧设教学情景，激发学生的学习兴趣
兴趣是最好的老师。俄国著名的教育家乌申斯基曾指出：“没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生关注真理的愿望。”巧设教学情景，精心设疑和诙谐的语言，能大大激发学生的学习兴趣，让学生由“要我学”变成“我要学”。因此，在教学中教师必须要有创造性教学思维，从不同的角度和深度去把握教材内容，根据教材的特点和教学目标，有意识创设情境，用生动的语言和夸张的肢体语言去唤起学生的学习兴趣，让学生愿意主动探究学习。
例如：在教授等差数列求和公式时，我设计了一个 “计算1+2+3+……+99+100=？” 的问题让学生思考。学生很快就知道采取了前后配对的方法求出答案5050，我马上肯定了他们的成果，然后给他们讲了一个数学故事：德国的“数学王子”高斯，在小时候就是用这种方法快速的算出了答案，让老师和同学刮目相看。但是，这种方法也有不足的地方。学生有点不相信，认为数学家的方法怎么还会有缺陷呢？这时，我将问题改成：“1+2+3+……+100+101=？”学生在计算过程中，陆续发现了这回用前后配对的方法出了问题。此时，我再提出问题，虽然高斯的方法不完美，但是，后人在他的基础上寻找到一种方法，不管n多少都能计算1+2+3+……+n，你知道是什么样的方法吗？同样是借助配对的思想，你能找到方法吗？这时学生们都来了兴趣，产生一种强烈的探究反响，通过讨论探究找到等差数列的求和方法――倒序相加法，从而推导出等差数列求和公式。借助这个求和实例，在高斯故事情景启示诱导的作用下，通过层层设疑，揭发了问题的解决过程，激发学生强烈的求知欲望，进而提高学生的学习兴趣。
二、通过直观教学，实验操作等手段促进教学，提高学生的思维想象能力
学生的思维以具体的形象思维为主，数学知识比较抽象，如何使学生由形象思维过渡到抽象思维，使一些抽象的数学知识形象化、具体化？我发现，运用教具或多媒体加强直观教学不失为一种有效方法。对于一些比较抽象难懂的知识，我经常采用实验操作的方法，让学生由感性认识进入到抽象概括。
例如教学锥体体积时，我先让学生准备好硬纸板，剪刀，透明胶，砂子等物品，上课时指导学生按要求制作等底等高的圆锥和圆柱，然后在空圆锥里倒满砂子再倒入圆柱中，看倒几次正好把圆柱体装满。学生经过实验操作后，会发现“圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一”，从而类推“锥体的体积等于和它等底等高的柱体体积的三分之一”，认知由感性认识进入抽象概括环节。
由此可见，在教学中，通过对图形、模型的演示，能让学生摸一摸，动动手，动动脑，使学生在实践操作中掌握了事物的变化规律，揭示了知识间的联系性，更好地掌握知识。
三、巧设练习，多样化巩固，提升课堂教学实效
练习形式的多样化，可以避免学习的枯燥乏味，并且能从不同的角度培养学生的逻辑思维能力。一般的说，属于概念、公式、定理等基础知识的，可以设计一些填空题、选择题或者判断题等类型题进行练习；属于式子计算方面的通常会在原基础上加以变式，由浅入深，举一反三；属于应用题方面的则设计多解、多变、补充条件（或问题）、自选自编等类型；如果涉及几何初步知识的还可以设计一些动手操作的实践题。为了使练习形式丰富多样，让学生在练习时动脑、动手、动心，还应注意把口算、笔算相结合；口答、作图和解题相结合，讨论、操作和实地实践相结合。
例如：在讲授《椭圆的简单几何性质》一课时，我在练习设计上采用了几种模式：
1.指出下列椭圆的性质(a>b>0)
方程
范围
对称性
顶点
离心率
2、求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
(变式：)
3、练习画图：
在直角坐标系下作出椭圆的草图。说一说：长轴长与短轴长各为多少？想一想：x和y有没有范围？
四、优化师生关系，创设良好的教、学氛围
在数学教学活动中教师应发扬民主，成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，要善于激发学生的潜能，鼓励学生大胆创新与实践，引导学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。以下是笔者在数学教学中的一些尝试。
一、事件的分类和概率的定义
纷繁的自然现象和社会现象，从结果能否确定的角度可分为两大类：确定事件和不确定事件，确定事件包含必然事件和不可能事件，不确定事件即随机事件。必然事件和不可能事件不论在事件发生前还是发生后其结果都是确定的，随机事件是在事件未发生前对事件的结果无法预先确定。
一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验而言），又存在着统计规律（对大量重复实验而言），从哲学的观点讲这是偶然性与必然性的统一。在这里要强调大量重复试验这个前提。在引入概率定义以后要强调概率是频率的稳定值，因为这是许多中学生出错的根源。例如可以问学生一个问题：一个随机事件发生的概率为，某人试验了100次，结果发生了12次，这可能吗？再问学生，这个人试验了100次是不是结果一定发生了10次呢？教师要引导学生客观辩证地看待生活实际中的一些问题，树立学生的辩证唯物主义思想。如举下面一个例子：我省某地区举行现场发行福利彩票活动，广告宣传中奖率为20%，且一等奖的奖金数额很诱人。一位老农看到现场不时传来中奖的喜讯，于是做着发财梦去摸奖，结果连家中卖牛的钱都摸光了也没中一次奖。学生通过讨论这个问题，能深刻理解“中奖率为20%”的含义，从而形成健康的心理，用一种理性、平和、富有爱心的心态对待现实生活中的各种摸奖活动，并能激发学习数学的兴趣，提高解决实际问题的能力。
二、等差数列的求和公式
1.创设情景，引入新课。
我们已经熟悉了等差数列的定义及其通项公式a=a+（n-1）d。在教学中，笔者先给学生讲了一个故事：高斯是德国伟大的数学家、天文学家、物理学家，在他10岁那年，有一次，老师出了一道题目：1+2+3+…+100=？正当大家忙着计算的时候，高斯站起来答道：1+2+3+…+100=5050。（讲数学史料故事，激发兴趣）笔者提问：你能说出高斯解题的方法是什么吗？（学生知道运用首尾配对这一方法）笔者再问：你能很快地得出1+2+3+…+48+49的答案吗？（为了避免学生对“首尾配对”这一认识仅处于模仿记忆状态，因此设计了此问题，以促使学生对“首尾配对”法进一步理解）
2.互动探索，研究实质。
提问：1+2+3+…+n=？又如何求呢？（通过比较得出“首尾配对”的算法运用需分项数的奇偶进行讨论，但由于结论S=与n的奇偶无关，进而提问有无简单方法）
提问：既然结论与n的奇偶无关，那么是否有更简单的方法？
追问：用什么方法可以得到上述结论中的n+1呢？
S=1+2+3+…+（n-1）+n
S=n+（n-1）+…+3+2+1
2S=（1+n）+…+（1+n）
S=。
这种求和的方法称为“倒序相加法”。
提问：已知等差数列｛a｝，则其前n项的和S如何求？
S=a+a+a+…+a（1）
S=a+…+a+a+a（2）
哪个同学能起来说一说呢？（大家都举起手来）
生甲说：
将（1）（2）相加得2S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a），（等差数列的性质：a+a=a+a=…必须加以证明）
或者2S=（a+a）+（a+d+a-d）+…+［a+（n-1）d+a-（n-1）d］，
2S=n（a+a）。
由此得S=。
至此得到了一种等差数列前n项和的表示，它的前提是知道a，a，n。而通常情况下确定一个等差数列，只需确定a，d。那么，已知a，d，n，怎样求S呢？
生乙说：
将a=a+（n-1）d代入得S=na+。
还有没有其它的解法呢？（稍候片刻）
生丙说：
S=a+（a+d）+…+［a+n（n-1）d］
=na+［1+2+…+（n-1）］d=na+。
以上解法，归根结底，是通过用a，d，n表示数列中的各项，把问题转化为求一个特殊等差数列的1+2+…+（n-1）的和，而它正是“倒序相加法”的应用。等差数列的通项公式可用a，d，n表示。那么，已知a，a，n，怎样求S呢？
生丁说：
将d=代入上式得S=。
3.回归建构，提高能力。
已知等差数列{a}中，a=50，a=15，求S。
已知等差数列{a}中，a=0.7，a=1.5，求S。
求1000以内能被7整除的所有自然数之和。
南北朝《张丘建算经》：今有女子善织布，逐日所织布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？（一匹为四丈）
4.总结提炼，升华认识。
运用从特殊到一般的方法得到了等差数列前n和公式S==na+。探究过程中得到了一种重要的求和方法，“倒序相加法”。
一、 在情境中激发学生参与的兴趣
在上课时教师要设置情境，让学生参与其中，这样可以提高学生的学习兴趣，更有利于提高学生的学习主动性．例如：在讲“等差数列的求和公式”时，设置情境：讲伟大的数学家高斯的故事：18世纪，在高斯10岁时，他的算式老师出了一道题：计算1～100的和．小高斯只用了极短的时间就得出了结果：5050．教师接着问大家：“同学们，你们知道小高斯他是怎样算出来的吗？”由于大多数学生以前听过这个故事，教师这时可以采用提问、引导的方式，让学生说出其中的奥秘：第一个数和倒数第一个数相加得101，第二个数和倒数第二个数相加得101，…一共有50个101，结果就是5050．教师接着说：他的算法也可以解释成这样：把原式的数颠倒，两式相加成为
教师再启发：这个结果是原来的两倍（相对于把原来多算了一遍），再把这个结果除以2就得到原式的和了．教师问：那么对一般的等差数列 前n项和sn=a1+a2+a3+…+an如何求呢？这节课我们就来共同讨论这个问题．这样通过这个故事，通过学生的积极参与，学生强烈的求知欲被激发出来，再通过师生共同讨论、探索．相信：学生会很容易掌握等差数列的求和方法．
二、 在教学时保持学生参与交流讨论的热情
在《数学课程标准》中明确的提出了：在教学方式上提倡学生的合作交流，在教学内容上要注意选择适合学生交流的内容，在教学活动中要给学生提供交流的机会．其实数学教学是数学信息的交流过程，数学学习是数学信息的选择、获取、加工、交流、反馈、存储的过程．在这种交流讨论的教学中，要让教师与学生、学生与学生多交流、多讨论，多让学生动口、动脑、动手，提出疑问，深入思考，发表见解，畅所欲言，积极反思．交流讨论能激活学生的数学思维，唤起学生对数学的好奇心，引起学生的共鸣，能引起学生长时间、热烈的讨论，一发而不可收，回味无穷．让学生在讨论中学习，在交流中提高．这种参与讨论的热情要在数学课堂中长期保持．例如：在讲不等式的对称性
可以设计实验：
教师：让学生在天平的一边放7颗钢珠，另一边放3颗钢珠，并让他们说出实验的结论．
学生：（学生立即动手，很快的就得出结论）7颗钢珠的这边比3颗钢珠的这边重，则得出：7﹥3．
教师：两边同时拿掉3颗钢珠，天平左边还剩多少？怎样表示？天平的右边还剩多少？怎样表示？得到什么结论？
学生：7-3﹥3-3，还可以得出： 7-3﹥0．
教师：可以让同学们用同样的方法得出一些类似的式子，再总结一下这些式子有什么共同的规律？
学生：（预习过的学生很快得出结论）共同规律是：a-b﹥0 a﹥b
教师：采用同样的方法让学生得出另外两个结论：a-b=0 a=b
a-b﹤0 a﹤b.
教师还要趁热打铁问：x+1与1的大小？让学生讨论得出结论．
学生：有的是：x+1﹥1，有的是：x+1﹤1，有的是：x+1=1．（学生还不会综合起来考虑）
教师再作适当的引导：由上面的规律，试试看，算一算x+1与1的差．（与什么有关？怎样分析？）
学生：当x﹥0时，x+1﹥1．
当x=0时，x+1=1．
当x﹤0时，x+1﹤1．
教师接着再问：x+1与x的大小呢？还是让学生讨论得出结论．
学生：与x的值大小无关．得出：x+1﹥x．
在思考、交流、讨论中构建不等式性质的意义，增强思维的逻辑性、表达的条理性，激发学生的热情，还要保持这种参与讨论交流的热情，这样才能达到如期的教学效果．
三、 在参与中激发学生的创新精神
数学是一门具有严密的逻辑性和高度的抽象性学科，所以数学学习更需要学生积极参与，这样所学的知识才能得以充分的理解、吸收．在学生积极参与的过程中，教师还要充分调动学生的创新热情，其实每个学生都具有潜在的创新才能，怎样才能把这种潜在的创新才能激发出来呢？概括起来主要有以下三个方面：
首先，数学教师自身要具备创新精神，这是数学教学中培养学生创新能力的一个非常重要的因素．因为学生数学知识的获得和能力的形成，教师的主导作用是不可忽视的，教师本身所具有的创新精神会极大地激发学生的创新热情．应该充分调动教师的积极性和创新精神，努力提高创新能力，掌握更具有创新性、更灵活的教学方法，在教学实践中，不断探索和创新，不断地丰富和提高自己业务水平和业务能力．
其次，要有轻松活泼的课堂气氛和和谐的师生关系，是培养学生创新能力的重要条件．每一节课教师要创造适宜于学生主动参与、主动学习的活跃的课堂气氛，从而形成有利于学生主体精神、创新意识、创新能力健康发展的宽松的教学环境．
再次，创造适应数学创新教育的活动，扩展学生数学知识的结构体系，扩大视野，真正提高学生素质．
四、真正开展创新教育的活动
第一、重视学生学习数学的兴趣教育，激发学生创新意识．在教学数学知识时，通过有关的实际例子，说明数学在科学发展中的作用，使学生认识学习数学的意义，鼓励学生学习成才，并积极参加数学实践活动，激发学习数学的兴趣．用启发式加上参与式教学，引导学生了解所有的数学成就都是在旧知识基础上的创新，这一切都源于对数学浓厚的兴趣．源于强烈的创新意识．
一个人掌握知识越多，知识面就越广，其创造性思维就越活跃，创新能力就越强．学生在接受教育和获取知识的同时，形成崇尚创新，追求创新，以创新为荣的观念和意识．这样创新教育才能得以贯彻、延续和发展．
第二、注重学生思维能力的培养，训练创新的思维．数学是思维的体操，因此，若能对数学教材巧安排，对问题妙引导，创设一个良好的思维情境，对学生的思维训练是非常有益的．在教学中打破“教师讲，学生听”的模式，教师要设法让学生看到数学的思维过程，数学教学不是直接的灌输，也不是强化应试的训练，是以知识的形成过程为核心，不是以结论为核心，是展示思维的过程，不只是简单传授数学知识，要变“直接传授”为“学生参与探究活动”，充分理解知识形成的过程，促使学生一开始就进入创新思维状态中，以探索者的身份去发现问题、解决问题、总结出一般的规律．在解题时，教师要引导学生多方位观察，多角度思考，广泛联想，培养学生敏锐的观察力和灵活的解题思路，解题后让学生进行有效地反思引申和举一反三，鼓励学生积极求异和富有创造性的想象，培养学生的创新精神，训练学生的创新思维．
第三、对数学能力的培养，从而形成创新的技能．数学能力是表现在掌握数学知识、技能，数学思想方法上的个性心理特征．其中数学技能在解题中体现为三个阶段；探索阶段——观察，试验，想象；实施阶段——推理、运算、表述；总结阶段——抽象、概括、推广．这几个过程包括了创新技能的全部内容．因此，在数学教学中应加强解题的教学，教给学生学习方法和解题方法同时，进行有意识的强化训练：自学例题、图解分析、推理方法、理解数学符号、温故知新、归类鉴别等等，学生在应用这些方法求知的过程中，掌握相应的数学能力，形成创新技能．
关键词：兴趣；主体；发展
兴趣是最好的老师，是开发智力，激发学习内驱力的基本条件，是一切课堂活动的基本动力。“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”就指出了教学中激发兴趣的重要性。因此，我们要善于激发学生的学习兴趣，善于创设恰当的情境让学生爱上数学，从而激起学生思考的欲望，营造一种宽松、和谐、民主的课堂气氛，使学生学得积极，让课堂成为求知的乐园。
一、课堂要以学生为主体
教师在课堂上要不断确立学生的主体地位。数学教育的根本目的是面向全体学生，促进学生发展，从而实现人人学习有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。教师不是教学生怎样学，而是学生学习的组织者、引导者和合作者。教师的作用就在于激发学生的学习积极性，提供现实而有吸引力的学习情境，向学生提供充分活动的时间和空间，促进学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学学习经验。
例如，在“认识人民币”教学中，我精心设计了一个“小银行”，每组选出一位学生分别扮作银行职员，其他学生都是“顾客”，“顾客”手持人民币到“银行”兑钱，可以拿元换角、分，也可以拿分、角换元。在活动前，先分小组讨论交换意见，然后开始“认识人民币”的活动，经过边讨论边游戏，全班参与，积极动脑，发表不同看法，通过互补、互动、探索，充分发挥了主体教育的作用，收到良好的效果。
二、创设情境，以情激境，以情寓教
教育家第斯多惠说：“教育的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”在课堂教学中要真正落实新课程标准，就要进行创新教学，创设具体的课堂情境，激发学生的创新意识，学生有了好奇心，就急于表现自己。学生只有积极主动地参与，才能在学习活动中不断认识自我、发展自我，教师才能充分挖掘学生的创新潜能，促进学生主动学习，才能让学生体会到数学就在身边，生活中充满了数学，才能使每个学生都有充分发展的机会。在积极推行新课程的今天，教师精心创设课堂教学情境，教学切入点是创设一种能使学生积极思维的环境，让学生处于兴奋状态，沉浸在紧张、活跃、和谐的氛围中，从而使学生自觉、高兴地投入到探求新知的教学活动中。
三、创设现实的问题情境，体验数学生活化
数学是从生活实践中总结和抽象出来了，并且将最终应用于生活。在学生的生活中，处处都有数学的影子，因此，在教学的过程中，教师要时刻注意联系生活，通过利用各种教学方法，创建出生活情境，使学生在自己熟悉的生活中学习知识。这样不仅能够激发学生的学习兴趣，而且能充分调动学生学习的积极性和主动性，诱导学生积极思维，使其主动参与教学活动。
比如，教学“小数加减法”时，教师利用多媒体录像创设了一个商场购物的情境，出示商品的价格，通过解决售货员问顾客的三个问题“你应该付多少钱？”“找给你多少钱？”“你还有多少钱？”让学生体会到数学学习与生活实际密切联系，使他们感受到生活中处处有数学。再如，在教学“平均分”时，我创设了一个“春游”的现实情境，让学生看看准备带多少食品和水果，经过简短的讨论后学生马上回答了以下几个问题“总数是多少”“怎么分的”“分成几份，每份是多少”“还有没有剩余”。教师用最少的教学时间完成了从生活原型到数学模型的过渡，这对于“有效的数学教学”是非常关健的。
利用现代教育技术创设现实的生活情境，使学生如同身临其境，情趣盎然。他们不仅掌握了知识和方法，更真切地感受到了数学就在身边，培养了学生在生活中发现数学问题、提出问题和解决问题的能力。
四、故事化的情境，激发学习之望
故事是学生最喜爱的文学样式之一，它不仅能激发学生的学习兴趣，使学生受到强烈的刺激，而且故事中蕴藏的思想感情能起到教育学生的任用。
如在数学活动课教学高斯求和公式时，教师先讲高斯小时候的故事，年纪小小的他做1+2+3+…+98+99+100时不急于做，而是努力思考，终于又对又快地算了出来，使老师也十分惊奇。正是因为他从小爱动脑筋，后来成了著名的大数学家。故事讲完后教师引导学生要多动脑筋，想一想有什么简便的方法，也做一个聪明的小高斯。沉浸在故事情境中的学生都活跃起来，积极思考，不久也找到了规律。又如在教学“圆周率”时穿国古代数学家祖冲之的故事，不仅让学生加深对圆周率的认识，而且也培养了学生的爱国热情，增加了民族自豪感。
关键词：问题情境；创设；兴趣
所谓创设问题情境就是指教师精心设计一定的客观条件，使学生面临某个迫切需要解决的问题，引起学生的认知冲突，感到原有知识不够用，从而激起学生疑惑、惊奇、差异的情感，进而产生一种积极探究的愿望，集中注意，积极思维。那么，怎样创设问题情境，才能既有利于学生探究，又能取得教学的实效呢？下面谈谈我的一些尝试，以期抛砖引玉。
一、创设趣味性的问题情境
学习的最好刺激是对所学知识的兴趣，没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。在教学过程中，教师如果能充分挖掘教材内容，创设趣味性的问题情境，就能激发学生的好奇心和兴趣，充分调动学生学习的积极性。
案例1：
在学习《等差数列的前n项和》时，我引用了高斯的一个故事：在高斯八岁时，他的算术老师出了一道题：计算从 1到100的和。小高斯只用了极短的时间就得出了结果：5050。我接着问学生：“同学们知道他是怎样算出来的吗？”由于大多数学生在小的时候都听过这个故事，回答说：“他把算式两端的数以及与两端等距离的两数相加，这样一共有50个101，所以很快就得出了5050。”我接着说：“他的算法也可以解释成这样：把原式的数顺序颠倒，两式相加再被 2除就得到原式的和了（实际上是在做进一步的启发）。我接着问：“那么对一般的等差数列{ a n }前n项和 S n =a 1 +a 2 +a 3 +……+a n 如何求呢？这节课我们就来研究这个问题”这样通过故事激发了学生强烈的求知欲，经过引导探讨，学生较容易地掌握了等差数列的求和方法----倒序相加法，得出了等差数列的前n项和公式。
通过创设趣味性的问题情境，调动学生学习的主动性和积极性，激发学生学习的求知欲和学习数学的兴趣。趣味性的问题更容易引发学生对问题的探究和深层次的思考。因此，多为学生提供一些数学史或其它有趣的情境，让学生在生动具体而富有趣味的情境中发现问题、思考问题和解决问题，从而提高学习数学的兴趣。
二、创设贴近学生实际生活的问题情境
高中数学教材中许多抽象的数学命题往往来源于现实世界，与日常生产、生活有密切的联系。如果直接给出这些数学命题，学生往往不知道为什么要学，也不容易理解，教师如果能创设与之有关的实际问题情境，使抽象的内容具体化，这样既能加强数学与生活实践之间的联系，使学生认识到数学学习的实际用途，也更容易激发学生的好奇心和兴趣。
案例2：
在学习《指数函数的性质》这一章节的时候，我讲了这样一个故事：如果我想和你订个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍，你是否同意订立这样的合同。学生刚开始都很高兴地说愿意，看到我笑后又想想可能有什么不对的地方。那么到底谁更为合算？能否用我们的数学知识来进行探讨，此时学生的兴致达到极点，产生“欲知而后快”的期待情境，激起不断探求的兴趣，既唤起学生对知识的愉悦，又唤起学生参与的热情。
用学生熟悉的生活经验作为实例，引导学生利用自身已有的经验探索新知识，掌握新本领，加强数学与生活的联系，让学生感到数学就在身边，身边处处有数学，从而增强学好数学的信心，用已掌握的知识来解决自己身边的实际问题，实现了抽象、具体再抽象的过程，这样的设计易于学生的思考与理解.因此当问题情境来自学生认知范围内的现实生活时，学生能更快，更好地进入学习状态，从而提高学生的学习效率。
总之，创设问题情境的目的是为学生的思维“点火”。
一位教育家说过：“人脑不是一个可以灌注的容器，而是一只可以点燃的火把。”所以，课堂上的问题情境，应该是将现实生活中的数学素材、学生已有的数学知识和能力、数学文化发展史中的史料、数学教材中的数学内容等多方面的数学素材的自然结合，让学生真切感受到数学就在自己的身边，这样自然就能点燃学生的“智慧火种”，从而为学生的自主学习提供生存环境。问题情境的创设是课堂教学中的一个环节，一个问题情境是否有效必须通过课堂教学的检验，它牵涉到教师如何使用，在什么时机使用等等这些因素，也就是说由于教学是一个复杂的过程，课堂是动态生成的，一个有效的问题情境最后不一定能有好的效果，如何使问题情境的创设更富有实效，真正成为教学过程和学生发展的动力，我还需要在以后的教学实践中不断地思考、探索、试验、总结和反思。
参考文献：
[1] 普通高中数学课程标准.中华人民共和国教育部.
[关键词]学问素养 学问课堂 成长发展
一、困惑与追寻：“学问”素养为何缺失
一段时间以来，广大一线教育工作者在“问题教学”方面给予了很多关注，内容涉及问题分析、策略探讨、课堂设计、兴趣培养等多个方面。
现实课堂中学生在老师的引导与追问下也能顺利地分析并解决问题，可总令人莫名地感觉缺失了些什么。如果学生在学习的进程中随着知识的深入，能够自发地提出疑问，自然地引出新知，那将是多么令人欣喜！对，缺失的就是思考的主动、思维的灵动、思想的生动。
二、实践与思考：构建“学问课堂”
如何激发学生的“学”“问”意识？怎样提高学生的“学”“问”素养？我和我所在的教研组开始了“学问课堂”的行动研究。我们以数学学科的课堂教学为研究对象，积极探索“学问课堂”的实践理念、内涵意义、方法策略等。
（一）什么是“学问课堂”
“学问”通常指系统的知识，也泛指知识，是个名词。而“学问课堂”中的“学问”，通俗地说是学学，问问，是学习的动作，是动词。学与问是相辅相成、交融行进的，学生的学习是一个学中问、问中学，先学后问、以问促学，边学边问、问后再学，学问结合的过程。
（二）为何要构建“学问课堂”
依据2011版新课标理念，本研究募し⒀生“学”“问”意识入手，意在焕发课堂的生命活力；本研究着力于学生“学”“问”素养的培育，旨在实现学生的主体发展。
（三）怎样构建“学问课堂”
1.在学习的情境中以学引问――学前问
或是引入时的情境提问，学生在情境中生疑、质疑，引发解疑欲望；抑或是通过对课题的提问，激活学生的思维，发现他们的思考，变解决教师的问题为解决自己的问题，学生将更有兴趣更有动力地投入和创新，实现“我的发展”。
[片段1]
课前游戏：抢32，每人每次至少报一个数，可以报2个，最多报3个，比一比，谁先抢到32。
师生比赛后学生迫不及待地提出疑问：
生1：老师为什么总是你赢？
生2：有没有诀窍？
“非学无以致疑，非问无以广识。”创设情境，以学引问，让学生主动去追求、主动去获得，在“想问”中引发探究欲望，在“想问”中引出学习目标。
2.在学习的进程中学问相融――学中问
学生有何奇思妙想无法预测，什么时候会突发提问也很难预料，这就决定“学问课堂”有一个网状的开放结构，教师要顺应孩子的认知发展，走进孩子的“意义”世界。学生在数学学习过程的充分展开中解疑学前问，而后再生疑、再质疑、再解疑，在学问的反复中领悟知识、积累经验。
[片段2]
教学“平移”时，当学到画出两次平移后的图形只要抓住原图形中的一个点就可以时，突然有学生举手提问：“老师，难道我不可以第一次平移时抓住一个点数，第二次平移时抓住另一个点数吗？”一个发散的问题，就如平地炸雷，激动又茫然之际，学生把扣住“思辨点”，促使他们寻找知识的“固着点”，联系对比后发现多种可行途径中的最佳策略。
随着教学活动的展开，学生的思维会不断地掀起波澜，“无疑处生疑”，相融相荣。学生在好问中自获其知，自增其能。
3.在学习的梳理中以问导学――学后问
可以是课堂的总结提问，变常规的师问生答为生问生答，既照应课始的“学前问”，也让学生从被动回答教师的提问走向主动地自我梳理学习内容后发问；也可以是知识的拓展提问，这样的“延问”丰富内涵、拓宽外延。
[片段3]
学习《三角形的内角和》后学生探究的欲望多多：“四边形、五边形、六边形的内角和是多少？…‘四边形、五边形、六边形的内角和与三角形的内角和有什么关系？”“四边形、五边形、六边形的内角和是不是也是180°或者是180°的倍数呢？”“研究其他多边形的内角和是不是也可以用先猜想再验证的方法呢？”……
随着学习的深入，一直积聚在学生心中的问题一个个地被引发出来，课虽“了”，思未“终”。
三、欣喜与展望：获得了怎样的成长与发展
我们研究小组立足数学课堂教学实践，在现代教育科学理论和方法的引领下，以教学实践变革的逻辑展开研究，从真实的课堂问题着手，在行动中结合实践进行反思、解释、归纳等。通过一年多的“学问课堂”实验，学生有价值的朴素真切的思想得到了展示与认可，大大促进了教学的深度和广度。
（一）“学问”探究知识源流
“问渠那得清如许，为有源头活水来。”学生在亲历的学习过程中刨根问底、寻本溯源，知识的源头在探寻中显山露水，学习的历程在思辨中情趣盎然。
[片段4]
学生在找了2和5的公倍数和最小公倍数后，有几个学生执着地举手并提出疑问：
生1：2和5的最小公倍数正好是2×5的积，可是例题中6和9的最小公倍数并不是这样呀！
生2：这里面有什么奥秘？有规律吗？
著名科学思想史专家波普尔曾说：知识的增长，永远始于问题，终于问题――愈来愈深化的问题，愈来愈能启发大量新问题的问题。学生这样深刻的提问促使师生去寻找知识的“源流”，去分析公倍数与两数各自因数之间的关系。这一阶段的学生已从实验前单一、沉闷的课堂氛围中解脱出来，充盈生命张力的个体迸发出了真切的情感与真实的思考，这样的学问课堂就有生命的成长！
（二）“学问”丰富思维方式
澳大利亚教育学会主席J.Bacr教授说：“教师是一把钥匙，这钥匙应该充满魔力，可以打开许多门，门外的道路至少有三条――实际应用、知识的理解和探索性思维的培养。”为思维而教、为思维而学是教育变革大潮中激荡的最强音。
[片段5]
在学了“高斯求和”基本类型后，出示直接看不出项数的例题：求3+5+7+……+91+93的和。学生展开了讨论：数出项目太麻烦，有什么方法可以计算出项数？
一番思辨之后学生们居然抽丝剥茧般地找出了“高斯求和”与“植树问题”之间颇多联系：
“首项一末项”的相差数不就可以看作是“总长度”吗？“公差”不就可以看作是“间隔长度”吗？“（末项一首项）÷公差”不就相当于“总长度+间隔长度”吗？而“总长度÷间隔长度=间隔数量”，所以用“（末项-首项）÷公差”就可以求出数与数之间的间隔数量，而一个数列一定有首尾，所以就可以把“等差数列”看成是“两端都植”的情况，“间隔数量+1”才是树的棵数，也就是数列中数的个数，即公式中的项数……
真正是“给我一个支点，我可以撬起地球。”学生在学中问、问中学，把看似不相关的两个问题奇迹般地桥接起来，打通时空系统，这样的学问课堂就有生成与发展！
（三）“学问”培养科学精神
一、直接导入法
直接导入法又叫"开门见山"导入法，我们谈话写文章习惯于"开门见山"，这样主体突出，论点鲜明。当一些新授的数学知识难以借助旧知识引入时，可开门见山的点出课题，立即唤起学生的学习兴趣。例如，在讲《二面角》的内容时，可这样引入："两条直线所成的角，直线和平面所成的角，我们已经掌握了它们的度量方法，那么两个平面所成的角怎样度量呢？这节课我们就来学习这个内容――二面角和它的平面角！"（板书课题），这样导入，直截了当， 促使学生迅速集中到新知识的探索追求中。再如，讲《用单位园中的线段表示三角函数值》一节时，可作如下开篇"前面我们学习了三角函数的定义， 每种三角函数的数值都是用两条线段的比值来定义的，这是我们在应用中带来诸多不便，如果变成一条线段，那么应用起来就会方便的多，这节课就来解决这个问题："用单位园中的线段表示三角函数值"，这样引入课题，不仅明确了这堂课的主题，而且也说明了产生这堂课的背景。
二、忆旧导入法
当新旧知识联系较紧密时，用回忆旧知识来自然的导入新课也是常用的一种方法。这种方法导入新课，既可以复习巩固旧知识，又可把新知识由浅到深、由简单到复杂、由低层次到高层次地建立在旧知识的基础上，从而有利于用知识的联系来启发思维，促进新知识的理解和掌握。例：讲三角函数的二倍角公式时，可以在复习回忆两角和公式的基础上顺利的导入，将半角公式可以在复习回忆二倍角公式基础上顺利导入。讲半角公式可以在复习回忆二倍角公式的基础上顺利导入。
三、类比导入法
有些课题内容与前面学过的知识类似时，可运用类比法提出新课内容，促使知识的迁移，比旧出新，自然过渡。 例：讲指数、对数不等式的解法时，可类比指数和对数方程的解法提出课题。有针对性的选择某个知识点进行类比，可以将"已知"和"未知"自然的连接起来，温故而成为知新的基石，课堂教学可望收到满意的效果。
四、发现导入法
启发学生从某些现象中发现某些规律从而导入新课，这种方法可使学生在发现的喜悦中提高学习的兴趣，同时也有利于学生对新知识的理解和记忆。例：讲立体几何《锥体体积》时，教师拿一个圆柱形容器和一个与圆柱等底等高的圆锥形容器，当装满圆柱的沙倒入圆锥形容器中恰好倒满三次时，问学生："你们能发现它们体积的关系吗？"学生立即就能悟出圆锥体积等于等底等高圆柱体积的三分之一，在学生这个发现的基础上,教师进一步引导："这个体积上的三分之一的关系是否对等高等底的各种形状的锥体和柱体都成立？若成立，怎样从理论上严格证明这一结论呢?今天就要来研究这一问题。这样导入新课就把学生从生动的实验所得到的发现引向严密的逻辑推理，对教材来说，这是一种自然的过渡，对学生来说，则成为一种思维上的需要和满足。对于那些容易发现的规律适用于这种方法导入新课。
五、设疑导入法
教师对某些内容故意制造疑团而成为悬念，提出一些必须学习了新知识才能解答的问题，点燃学生的好奇之火，激发学生的求知欲，从而形成一种学习的动力。例：讲《余弦定理》时，可如下设置：我们都熟悉直角三角形的三边满足勾股定理：c2=a2+b2，那么非直角三角形的三边关系怎样呢？锐角三角形的三边是否有c2=a2+b2-x？钝角三角形中钝角的对边是否满足关系c2=a2+b2+x？假若有以上关系，那么x=？教师从这个具有吸引力和启发性的"设疑"引入了对余弦定理的推证。再如：讲立体几何《球冠》一节时，教师可如下设疑：由三个平行平面截一个球恰好把球的一条直径截成四等分，试问截得球面的四部分面积大小如何?教师留出几分钟时间让学生观察议论，同学们一般猜测两头面积较小，中间的两"圈"面积较大。教师这时却肯定的说："这四部分面积时一样的，都是球面积的1/4！"又说："这难道可能吗？两头看起来确实好像小，中间的圈要大，可是它们的面积相等却是事实！让我们来学习今天的内容：球冠。"通过这个内容的学习，同学们自己就可以解开它们的面积为什么相等的迷。学生带着这个疑团来学习新课，不仅能提高注意力，而且这个结论也将使学生经久不忘。
如何处理教材，如何设置疑点，是教学艺术的表现，良好的设疑可以激起学生学习的欲望，从而更有利于对新知识的理解。
六、趣味导入法
新课开始可讲与数学知识有关的小故事、小游戏或创设情境等，适当增加趣味成分，可以提高学生的学习兴趣，因而有利于提高学生的学习主动性。例如：讲《等差数列的求和公式》时，讲高斯的故事：十八世纪，在高斯八岁时，他的算术老师除了一道题：计算从1到100的和。小高斯只用了极短的时间就得出了结果：5050。教师接着问大家："同学们知道他是怎样算出来的吗？"由于大多数学生在小的时候都听过这个故事，回答说："他把算式两端的数以及与两端等距离的两数相加，这样一共有50个101，所以很快就(转下页)得出了5050。"教师接着说："他的算法也可以解释成这样：把原式的数顺序颠倒，两式相加成为：
1 +2 +3 +……+100
+）100+99+98+……+1
……
101+101+101+……+101=101×100
再被2除就得到原式的和了，（教师实际上是在做进一步的启发）。教师问："那末对一般的等差数列{an}前n项和Sn=a1+a2+a3+……+an如何求呢？这节课我们就来研究这个问题。"这样通过故事激发了学生强烈的求知欲，经过引导探讨，学生较容易地掌握了数列的求和方法――倒序相加法，得出了等差数列的前n项和公式：
Sn=n（a1+an）/2
例:在讲一节时，由于许多学生对一个与自然数有关的命题经过数学归纳法的步骤证明后是正确的不太理解，在新课开始时可讲游戏：玩"多米诺"骨牌。玩此游戏的原则主要有两条：（1）排此骨牌的规则：前一块牌倒下，保证后一块牌一定倒下；（2）打倒第一块。讲完这两条规则后问学生："经过这两个步骤后，结果怎样？"学生很快回答："所有的骨牌都倒下了。"由此游戏引出数学归纳法的定义。
设计巧妙的新课导入，可以为新课创设教学意境，使学生迅速依照教师的导向去自主地合作探究，可以为新课的教学需要激起强烈的探索欲望，从而形成良好的心理动态，可以为新课突出重点、突出难点，埋设教学措施的引线，成为新课启发教学的先导。本文结合自己教学实践中的体会，谈谈以下几种导入新课的方法。
(1)故事导入法。在正式授新课之前，讲述与新课内容密切相关的一些数学典故，有助于营造一种轻松愉快的课堂气氛，调动学生学习数学的积极性和主动性，是导入新课的很好途径。例如：在讲等差数列求和一节时，可先介绍高斯计算1+2+3+……+99+100的故事；讲等比数列求和时，先介绍“古印度智者放米进棋盘”的故事；讲三角形相似时，先介绍“托莱斯一根棍子巧测金字塔”的故事等。实践证明，利用故事导入新课，可以提高学生的学习兴趣和主动性，并促使学生注意力迅速集中到新知识的探索追求中来。
(2)演示导入法。从感性认识到理性认识，符合学生的认知特点。在平面几何、立体几何教学中，很多知识可借助教具演示直观导入。例如：在讲椭圆一节时，可借助事先准备好的教具演示，教师一边演示一边提出问题，引导学生观察思考，这样就很自然地导出椭圆的定义。又如，在异面直线概念教学中，教师可借助事先准备好的两根木棍放在黑板上，让学生观察各种位置，让其中一根木棍离开黑板再加以观察，除平行、相交外，有无其他位置，教师适时引导，最后概括出异面直线不共面的本质属性，导出异面直线的定义。直观演示导入新课，学生一开始就获得了感性材料，有利于学生理解和掌握抽象的数学内容。同时，对培养学生的空间想象能力具有很好的作用。
(3)发现导入法。在教学活动中，学生是主体，在教师指导下启发学生从某些现象中发现某些规律，从而导入新课。这种方法可使学生在发现的喜悦中提高学习兴趣，同时也有助于提高学生独立思考、分析、解决问题的能力。例如：在学习“多边形内角和”一节中，可作如下设计：在黑板上作出三边形、四边形、五边形、六边形，让学生观察，合作、探究，发现多边形每增加一条边，就多一个三角形，内角和就多180。，发现并归纳出内角和与边数的关系，从而引出多边形内角和定理。相似地，等差、等比数列的通项及方程的根与系数的关系等的教学中都可利用此法进行。
(4)动手实践导入法。让学生从多种不同的感觉渠道同时往大脑输入相关信息，有利于对知识的认知和掌握。动手实践为学生提供了丰富的感性材料和经验，易于为学生所接受。例如：在讲“三角形内角和定理”时，让每个学生用硬纸片剪一个三角形，然后再把这个三角形的三个角剪下来，要求学生把剪下来的三角形拼在一起，再观察这个三个角之和。这样做不仅让学生从实践中总结得出了“三角形的内角和为180。的结论，而且也为理论上证明这一定理埋下了伏笔，突破了这节课的难点，使学生享受到了发现知识的快乐。动手实践导入新课，有利于培养学生动手动脑的习惯，充分调动学生的多种感官参与实践活动，培养学生的创造性思维能力。
(5)类比导入法。有些课题内容与前面学过的知识类似时，可利用类比法提出新课内容，促使知识正迁移，比旧出新，自然过渡。例如，学习双曲线的定义及标准方程时，可以类比椭圆的定义及标准方程；学习等比数列定义时，可类比等差数列的定义；学习函数极限时，可类比数列极限等。有针对性地选择某个知识点进行类比，可以将已知和未知自然地联系起来，有助于启迪学生的思维，帮助学生找新问题的思路，启发学生联想，这对于新知识的理解和掌握往往能达到事半功倍的效果。
总之，新课程背景下的新课导入法是多种多样的。在平时教学实践中，可根据实际情况选取适当的导入法。不论采用何种方法，只要在新课伊始就能激发起学生的积极性、创造性，点燃学生的思维火花，就是成功的开始。
关键词：教学设计；创新；注意事项
一、数学教学与多媒体技术整合能够有长久的生命力的关键――教学设计
1.通过学生实际设计数学教学与多媒体的整合
教学设计的基础是分析数学，目的是确立解决数学教学中问题的步骤，效果是评价反馈的实验设计和实效。教学设计是关于教学的设计过程和具体操作程序。教学设计影响着课堂的质量，在教学的过程中发挥着前导的作用。教学中的目标与手段的关系是教育工作者选择具体的教学手段的依据之一。在教学决策中，教学设计者不只要考虑教学的目标，还要考虑到学生的特征，即学生们原有的认知能力和认知结构。学生原有认知能力是对知识内容的识记和理解、应用与分析、最后综合与评价的能力；而原有认知结构是在认识事物的过程中已经在自己头脑中形成的经验知识系统。分析学生的特征，就是要应用适当的方法确定现在所学的原有的认知能力和认知结构，将其描述出来，来对学生进行有针对性教学。所以多媒体技术在恰当的时候通过恰当形式出现，数学教学与多媒体技术整合，不是简单地将多媒体技术应用在数学教学之中，而是真正的让多媒体教学技术成为学生们的认知工具。
2.数学教学和多媒体技术整合教学设计应对学生们的主动建构有利
让学生通过实际的问题来学习是构建主义的核心思想，Hilbert等人提出教学和改革的一个原则，就是使学生有对知识好奇的精神，想要知道“为什么事情会是这样”，之后会去探索，会去探索答案，并且解除自己在认知上的不足，只有通过这种活动才能使学生建构对知识结构的理解。依据他们的构想，从课程或教学的开始，就应该给学生一些问题（problems），有两难的选择（dilemmas）或者提出问题（questions ），目的并不是使学生感受到挫折，体会到某种学科的困难，而是鼓励学生对所学的内容能提出问题，并且明确问题，进而能激发他们的好奇心，同时引发起学生们的理解活动。这样通过具体的解决问题的活动，学习者能够对学习的知识结构形成较为深刻的理解，同时对这个学科产生积极的态度。
二、数学教学和多媒体技术整合能具有长久的生命力的保障――好的教学创意
教学的创意体现在具体的创新之上，包括在教学设计、教学内容、教学方法、教学手段和教学评价。其他学科像政、史、地等在使用多媒体时可以用丰富的视和听等多媒体的效果来刺激学生们的感官，这样能激发学生的兴趣。但是数学有它自身的缺点，若是一味利用视和听等刺激，时间久了会使学生产生厌倦的情绪，这反而不利于激发学生们学习的兴趣。所以这就需要教师能有好的创意，通过“问题”来吸引学生，目的是能够激发学生们的兴趣。这样本人做了一些尝试：
1.多媒体整合要充分考虑数学课外题的探究或课本内容知识的拓展
尽量选取和教材的内容相关密切的、典型的，且学生们熟悉的素材，使用多媒体技术设计能体现数学概念和结论以及思想方法的发生和发展过程的情景，让学生感受到数学是那么自然和水到渠成。在解决问题的同时体会到数学的力量，感受数学探究和论证的精彩和优美，使教学“亲和力”增强，能启发学生深入地去学习数学。如在讲授求和问题时提到高斯，让同学们理解高斯求和的原理，让课堂轻松愉快。
2.利用数学公式和定理及函数的表达式结合展示多媒体技术能得到美妙的图形这样来体悟数学的本质
数学的公式和定理，公理与性质，法则和意义等反映的都是某种客观规律，有时候它们的本质只可言传而不可意会，这时候多媒体技术就可以实现言传与意会的效果，能将抽象化为直观，这样既能领会到数学抽象知识的本质，也能得到学习的愉悦，是寓教于美，并寓教于多媒体技术。要让多媒体技术与数学课整合是学生们期待的教学模式。例如可以展示雪花曲线、蝴蝶曲线的图像，可以简单的介绍其内容，体现数学之美。
3.让数学教学和多媒体技术相整合的课堂成为学生们了解数学的窗口
现在随着计算机和网络作为代表的信息技术的发展和普及，越来越能影响人们的生产和生活的各个领域，渐渐地改变着我们的思想和行为，显示了其巨大的威力。若能让学生更多的了解数学的科学研究以及应用的相关信息、知识与方法，这能对学生产生终身的影响。他们会意识到这种课堂是高瞻远瞩的，是科技含量极高的，也只有数学和多媒体技术相整合的课堂才能办到。
三、在教学实践中能影响多媒体技术与数学整合生命力的注意事项
1.给学生们充足的思考时间
运用多媒体技术的时候应该给予学生独立、自由的思考时间，从而避免由原来的人为灌输改为高效的机械灌输。有的教师总是认为许多东西已经呈现给学生们了，而没有给学生足够的思考时间，虽然看上去整堂课是量大高效的，但是其实理解的只是浅显的，不一定能学到真东西。只有给学生们充足的思考时间，才能让学生能融会贯通所学的知识，并从中总结和得出一定的规律，从而才有更加深刻的体会，这样才能真正的学好数学这一学科。
2.教师要有明确的板书、解释和传授知识
随着现代化技术的发展，网络技术逐渐的成熟，多媒体教学已经非常普遍。但是我们要始终坚持这一点，多媒体技术是替代不了师生之间的情谊的，不要仅仅强调多媒体的技术而忽视传统的教育模式，那样会走入教学模式的误区。所以，老师要学会板书、解释等和多媒体技术的综合教学，传统和现代的综合，能让学生更好的理解数学，同时还能增进教师和学生之间的情谊。
3.教师应拓宽多媒体的技术应用范围
目前，多媒体技术处速发展之中，与多个部分多有交集。我们要善于发现多媒体技术和数学的各个部分的知识的联系，促进多媒体技术的应用范围，实现数学和多媒体技术的整合，是实现其长久生命力的一个明智之举。
在现代化的大潮之中，一名优秀的数学教师应该具有如下的素质，现代化的教学理念和教学思想，开拓创新的精神，熟悉运用多媒体的工具包括计算机和网络，以及能对多媒体的资源进行有效处理等。优秀的教师在将多媒体资源的采集和组织、管理和应用中完成与教育教学的整合，潜移默化地影响学生，让他们体会到应用多媒体技术是有利于自己学习和成长的，进而他们会努力的提高自身的素质，所以我们能看见非常良好的效果。
参考文献：
[1]杨开城，李文光.教学设计理论体系构想[J]. 教育研究，2001，11：70-74.
[2]雷樱.信息技术与课程整合的教学设计及案例分析[D].华中师范大学，2007.