时间：2022-12-16 19:47:52
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学例题教学，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
例题教学是初中数学课堂教学的重要环节。不但为学生提供解决数学问题的范例，揭示数学方法，规范思考过程，而且为其数学方法体系的构建提供了基石。那么，如何进行初中数学的例题教学呢？
一、初中数学例题的作用和地位
例题在教材中所占的地位是由它的功能与作用所决定的.数学教材是由数学知识、例题、习题三个有机部分所组成，例题在教材中具有替代的结构性和作用。
例题的作用，主要体现在以下两个方面：
1、从结构上看，例题是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带。
知识的价值，技能的操作、思想与方法的作用都是通过例题来体现的。例题的讲解与示范是教学中传授知识，培养技能必不可少的一个环节。学习知识的最终目的是要转化为能力，例题作为学以致用的重要环节，在教学过程中担负着把知识转化为能力的重要使命，这是它的首要作用。
2、从功能上看，教学例题具有知识功能、教育功能、发展功能与示范功能。
在教学过程中，主要是通过例题和习题，使学生获得系统的数学知识，形成必要的数学技能技巧。例题的思路分析、解题方法与书写格式帮学生掌握分析的方法，了解书写格式与规范，熟悉适用的解题方法，使学生在思想上和行为上都受到数学熏陶，对学生的思维及解题行为起着潜移默化的作用，启迪学生掌握解各类数学问题的钥匙，通过数学例题，还可以向学生进行辩证唯物主义世界观的教育。
二、初中数学例题教学的策略
1、恰当选题，帮助学生减负增效
例题选择恰当与否，直接关系着学生对知识的理解和掌握，切不可盲目选择例题进行“满堂灌”。例题的选择不能过多、过杂、过难，必须要有一定的基础性和代表性，遵循从易到难。恰当选择例题，不能一味追求解题的难度和技巧，要选择典型的，能体现现阶段教学目标，能蕴含数学基本思想和方法的例题，必要时可以根据学生的实际情况更换课本例题或补充课外例题。另外，例题的精选能在很大程度上避免“题海战”，使学生减负增效，提高教学的有效性。一般说，填空题重概念辨析，选择题重方法，解答题重思维，证明题重演绎，综合题重逻辑。教师应根据不同的教学目的而选择不同的题型，使学生从不同的途径和角度去加深理解并巩固知识。
2、例题教学需懂得逐层递进。
初中数学例题教学，首先是要让学生能够听懂教师教学所讲的内容，只有当学生听懂之后，学生才能够接受知识进行消化，也就是所谓的逐层递进。想要做到这一点，教师需要从两个方面入手：其一，将例题吃透，也就是抓住例题本质，懂得将前后知识点相互的结合在一起，对于难易程度也能够了熟于心；其二，将学生吃透，掌握学生知识水平与理解能力，能够针对学生不同的年龄段而给予不同的解题技巧教学。如果部分例题难度较大，学生很难接受，就需要教师进行铺路搭桥，将难度降低到适合学生的高度，也就是要让学生懂得这一题就像树上的桃子，伸伸手不一定能够碰得到，但是如果自己跳一下，就能够将桃子摘下来。
3、讲解到位，全面呈现发现过程
数学教学不仅仅要让学生看到数学结果，最重要的是让学生看到数学结果是如何获得的。学习解题最好的途径是学生自己发现，倘若教师没有全面呈现解法的发现过程，学生通常只知其然，而不知其所以然，解题时只能机械地模仿。“授之以鱼不如授之以渔”，例题讲解要重视思维过程的指导，要全面呈现发现过程，暴露如何想，揭示怎样做。例如解题的关键条件是什么？解法是如何想到的？思路是怎样打通的？如果出现解题困难，是否需要重新审视条件和结论，该引发什么新的思考，思维上的差距何在，等等。某些特殊情况下，教师还应“稚化”自己的思维，有意识地退回到与学生相仿的思维态势，或者假装遭受挫折，一筹莫展，让学生独立分析原因再继续探索等等。
4、拓展例题的知识范围，触类旁通，举一反三
有的例题仅仅针对一个知识点，解决一个问题，但在实际教学时有时可能会根据实际情况，需要“借题发挥”，对例题的知识范围进行拓展。例如在学习方程、不等式和函数知识，如何理解三者之间的关系，可以结合具体的例题，配合图像让学生理解函数的对应的本质，函数是整个过程中的对应，不等式是某个范围内的对应，而方程式是某个瞬间的对应，加深学生对三者之间的关系的理解。
5、错题辨析、改正
在教学中我们发现讲解题目的正确解法有时达不到教学目的，因为学生不知道自己为什么错，错在哪里，无法对症下药。错误是正确的先导，正如哲学家波普尔所说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”。课堂例题教学时，根据学生学习过程中会感到疑难或者易发生认知偏差的问题，设置错题辨析、改正，让学生发现错解及产生错解的原因，从错题中体会到知识的关键点和易错点，辨析出知识的异同，加深对知识的理解，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程，找到正确的解法和结论，有效地知错、改错、防错
鉴于此，本人认为在小学数学例题教学中可以从以下几个方面着手：
一、将例题生活情景化
生活是数学的源泉，数学知识的获得离不开生活。倘若将例题转变生活情景，不仅可以激发学生的参与热情，还能发挥学生的创新意识和创造能力。例如，教学两位数加两位数（进位加）时，我先复习百以内的进位加法，如：27+41=？接着学习例题56+18=?我结合生活实际设计了学生喜欢的玩具图片并展示在黑板上：小汽车28元，飞机56元，手枪5元，狗熊34元，洋娃娃25元。先让学生提出加法问题，并尝试计算，接着请学生对列出的算式进行分类，抽取其中进位加法一例展开讨论，思考算法，哪种方法最简便。这样把学习内容融入生活情景中，不但激发了学生的学习兴趣，还调动了学习的积极性和主动性。
二、让学生动手，在实践中获得知识
学生的积极思维往往是由问题开始，又在解决问题的过程中得到发展。
教师若能结合例题特征，把问题拓展、加深、变活，便可获得良好的效果。如：在教学长方形的周长时，引导学生动手测量教室、课桌面和数学书四周的长度，引出周长的概念和计算方法。通过学生亲手实践，发现规律，从而获取新知。
三、拓展例题，培养思维能力
拓展是指例题教学后，教师引导学生通过对例题的回问，巧妙地改变问题、情节和方法，组织变式练习。数学的各知识点间是相互依存、不断变化的。只有把课本知识融会贯通，拓展延伸，才会增强学生思维的发散性和创造性。
四、细读教材，总结规律，培养自学能力
【摘 要】初中数学的例题及习题是把数学理论、数学思维及数学方法链接在一起的重要纽带。随着新课程改革的不断深入，初中数学例题及习题的教学也取得了一系列的实质性成果。文章就如何充分挖例题及习题的教学优势，以有效提升初中数学教学质量，从三大方面进行了粗浅探讨。
【关键词】初中数学 例题及习题 教学策略
例题及习题是初中数学课堂教学的重要环节之一。学生对于数学理论、数学思维及数学方法等知识的掌握离不开教师对相关例题及习题的解析。当前，随着新课程改革的不断深入，初中数学例题及习题的教学也取得了一系列的实质性成果。下面笔者结合多年教学经验，就如何充分挖例题及习题的教学优势，有效提升初中数学教学质量M行探讨。
一、结合实际情况，选择难度适中的例题及习题
初中数学教材所选的例题及习题虽然都是经过严格精选的，基本符合普通学生的智力发育水平，但结合笔者多年的教学实践来看，因学生学习接受能力不同，同样的教材内所得到的教学效果也不尽相同。如一些班级中大部分学生的数学基础较差，那么教材内容中所涉及的例题内容有可能就会超出其一段时间内的知识接受范围；反之，学生则会感觉例题内容相对简单。因此，教师在进行日常的例题、习题教学时，要从学生的角度出发，合理选择例题内容，并以学生以往课堂知识的学习反馈为依据，对例题内容进行适当选择，切忌不顾实际地将教师自身的理念和主观意识强加于学生。
一般而言，数学中针对一个知识点的例题会有两三个，且其知识侧重点和学习难度均不一样。对此，教师可以根据大多数学生的实际学习情况进行合理挑选：一道简单的例题要紧扣基础知识，以兼顾各方面学习基础的学生，一道难度较大的例题，起到一定的拔高作用。同时，在习题布置尤其是随堂习题的布置方面，也要针对性地选择。
对学生而言，要打下良好的数学基础，一定的习题练习量是必需的。但相对于随堂练习时间而言，每个知识章节后面的练习题量很大，且其中有相当部分习题是同类型的。因此，在随堂练习中，教师同样要结合学生的实际听课情况，尤其要根据重点和难点来布置课后习题，尽可能地贴近考试题型，力求做到每道习题都具有一定的典型性、代表性，从而提高学生的课堂练习质量和效率。
二、掌握教学技巧，用好用活例题及习题
数学知识千变万化，题型也千差万别，但万变不离其宗，无论如何变化，其都要遵循着一定的原理。从历年中考试题来看，绝大部分题目源于教材的例题和习题，即使是综合题也大多是课本例习题的组合、加工与拓展。可见教材的例题及习题具有明显的基础和示范作用。因此教师在平时的数学教学中，要立足于教材，采取多种教学手段，用好用活例题及习题，切实做课程理念倡导的“从教教材，到用教材”。
比如，可以在教学过程中将学生熟悉的事物融入于例题及习题课堂教学当中，让学生在趣味性的教学过程中增强学习兴趣，开拓数学思维。如在教学人教版七年级上册《有理数的乘法》时，教师可先利用多媒体设备播放一系列反映水位上升及下降的短片，激发学生的学习兴趣，再将学生引入相关教学情境。教师将水位下降计为负，水位上升计为正，以此将有理数的乘法概念带入到生活化的教学场景中，再设计一系列问题：以每小时水位下降2米的速度将游泳池中的水排出，2小时后水位下降多少米？以每小时水位上涨2米的速度往游泳池中放水，2小时后水位上涨多少米？此类生活化的例题，不但能大大激发学生的学习兴趣，还使学生在类似的反复锻炼过程中掌握了解题规律，从而将该规律灵活运用在其他题目的解题过程中。
又如，加强变式教学，一题多解，以一推百。笔者在教学中发现，很多学生在日常的习题训练中思维比较僵化，往往只习惯于套用教材例题的固定模式来进行解题分析，不利于提高解题效率。对此，教师可通过变式教学对学生进行引导，使学生学会对一个定义或问题举一反三。以人教版七年级下册《三角形》知识体系为例，此类知识基本上以三角形的内角和来出题。学生在练习中对于一般的题型能很好地解出答案，但在题型变化情况下往往无从下手。对此，笔者在课堂上使用了变式教学法对学生进行引导：“已知三角形的内角和是180°，谁能举出几种方法进行求证呢？”学生经过思考得到如下几种答案：（1）借助量角器等几何工具进行测量，通过对三角形内角的测量，学生很快得出了三角形的内角和；（2）学生亲自动手将三角形的内角进行剪切再组合拼接，发现三角形的内角组合在一起正好是一个平角；（3）通过图形的变形推算，学生将四个角都是直角的四边形进行对折，再根据图形进行推理，可以得到三角形的内角和为180°。如此通过变式引导，既让学生的思维得到了进一步拓展，又让学生学会了在今后的学习中可利用各种方法进行求证，提高了学生的做题速度，降低了错误率。
此外，教师还应该重视课堂上的例题解答过程和做完习题之后的总结概括，以充分发挥课堂习题对学生知识点掌握的强化作用。以人教版七年级下册《不等式的性质》为例，其中例l为：“利用不等式的性质解下列不等式：（1）x-726；（2）-4x3.”在学生对不等式性质及概念有了了解后，可通过如下训练对该知识点进行强化：（1）若ab，则3a__3b，-2a__-2b；（2）若xy，则ayax中的a应满足___，若xy，则axay中的a应满足____。如上习题的设置均为由浅入深，层层递进，符合数学教学由简到难的学习步骤，既让学生参与到了思考解题的过程中，又培养了学生举一反三的能力。
三、创造性地使用教材，积极开发例题及习题活动素材
《义务教育数学课程标准》提出：“让学生获得广泛的数学活动经验。”在初中数学教学中，教师要从这一要求出发，在尊重理解教材的基础上，结合教学目标及学生实际情况，创造性地使用教材，积极开发例题及习题活动素材，以激发学生的数学学习兴趣，提高学生课堂参与度。
以人教版九年级上册《圆》的教学为例，教师在进行例题解析时，若只一味地进行例题讲解，学生往往觉得枯燥乏味。因此，教师可以多多挖掘例题中隐藏的一些趣味性，如让学生发挥想象，探讨三角形、方形或椭圆形的车轮会发生的各种怪异情形来了解车轮为圆形的原因，激发学生学习圆的兴趣，同时还可以让学生动手操作，制作车轮等圆形的物体，并标出圆心、半径和周长等。如此生动活泼的课堂教学，不仅符合初中学生的心理，还培养了学生的动手能力。
又如，将一枚一元硬币放在同样大小的另一枚硬币上，无滑动地滚动一周，问学生该硬币自转了几周，并让学生通过独立动手尝试找出答案。学生给出回答：“因两枚硬币周长相等，故自转了一周。”教师继续提问是否有不同答案。有学生回答两圈，原因是前面回答的学生只关注硬币本身转了几圈，没有关注周长是否相等。通过数学实验很容易解决此题。问题到此，教师还应做一步深化：“我们再来看这样一个问题。如图1，一个半径为1的圆，在边长为2π的等边三角形的边上滚动一周后回到起点，则这个圆自转了几周？”有学生很快回答3周。但有学生发现在三个顶点处是需要拐个弯过来的，因此肯定超过3周，继续深入发现三个顶点处都拐了120°，因此自转了4周……
通过如上的活动教学，教师引导学生发现本质：不论在平面还是曲面上，圆滚动后自转几周的问题，其实就是看圆自身前进的距离等于几个周长，因此关键是看圆心，圆心走的距离就是圆前进的距离。如此，学生既对所学知识有了深刻的认识，又在活动教学中体验到了探究的过程及方法，大大促进了学生生成性知识的形成。
总之，初中数学的例题及习题教学对于提高学生的数学学习能力，提升数学教学效果有积极意义。在今后的教学中，我们应继续加强这方面的探索和研究，不断总结经验并反思，以期更好地发挥出例题及习题教学的教学优势，打造初中数学高效课堂。
【参考文献】
[1]王雨.初中数学例题教学和习题教学的研究[J].新课程导学，2015（35）：89.
例题教学的主要任务是使学生能通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，形成数学的基本技能，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题和解决问题的能力. 所以，在例题教学之前，必须明确例题的任务：具体体现了哪些基础，用来解决怎样的实际问题，用怎样的数学方法等.
二、弄清例题的类型和功能
数学教材中的例题按功能来分，无非有两大类：一类是引入新知识的实际问题或具体事例，另一类是为加深对概念、命题的理解和巩固，熟悉其用途和用法的. 对于不同类型的例题，要选择适当的教法. 前一类例题内容较简单，为了引入新概念，大都是用学生较熟悉或易于理解，易于接受的生活实例，这类例题大都给学生以感性材料，如平行线的教学中，引用铁道上某一段的两条铁轨、黑板的两组对边等，通过具体事例引申到的数学理论. 后一类例题在中学数学教材中占有很大的比重，教学时，一般都在学生接受了数学的基本概念、原理后出示，所以必须在讲解例题前点明例题的意义和作用，以激发学生的积极性，使学生在心里觉得学习了基础还可以解决某一类问题，然后引导学生去分析“已知”和“未知”，以分析法为主为学生寻求解题思路，以综合法为主表述解题过程，因而在进行该类型例题的教学时，应注意以下几点：
1. 例题特点
基础知识和教材中的例题是有机的结合，对于多个例题的章节，一般都是从具体到抽象，从特殊到一般，从易到难，从单一性到综合性，所以为了加强例题教学的针对性，发挥教材所提供该例题的典型示范作用，教学时必须深挖例题的特点，是属于加深理解和巩固新知的，还是用来阐明新知的用途和用法的，或是为学生形成解题基本技巧，解题方法等，这样才能使学生在学习完例题后，深知这一例题的目的何在，才能使学生明确例题与习题的关系，才易于着手下笔.
2. 注意习题的类化作用
教材中引用例题的目的，绝不是为了使学生会做例题，会做习题，而是使学生通过学习一个例题而知一类习题，由一个题的思路、解法而知这一类题的思路和解法. 因此，在加强例题教学的同时，或在例题讲解完之后，向学生进行归纳总结这一类问题的思路、解法、技巧等，这样学生学完一个例题后就能够举一反三，触类旁通，从而达到由“不会”到“学会”，再由“学会”到“学活”.
3. 强化例题的应用
总结了例题的类化后，还必须附加一些巩固习题进行强化训练，在练习中，还要强调例题与习题的关系，强化后，对原题的条件或结论做适当的改变，然后去学会变化这一类题的解法，这样，既可以不至于使学生机械地套用例题，又可以提高学生对例题的灵活性，也拓宽了某一个例题的范围，从而提高学生解题的技巧性和灵活性.
关键词：初中数学；教学现状；具体策略
现有初中数学教材中，例题教学是帮助学生将课本知识高效转化为现实应用的一个媒介。因此，教师需要在实际课堂教学活动中充分发挥例题教学的功能，使初中生可以借助例题解析教材中抽象的数学知识，进而全面提升自我数学学习能力。
一、初中数学例题教学现状
（一）初中数学例题缺乏针对性
众所周知，数学教材中例题的主要功能是导入数学概念，帮助学生解析例题中隐含的数学条件，分析学习重点，相同数学题目中也可能存在完全不同的解题思路。因此，初中数学例题教学内容的选择必须要具备针对性。但是从现阶段初中数学例题教学的实际发展情况来看，大部分教师在选择例题过程中严重缺乏针对性。所选的数学例题没有侧重突出学习重点，无法培养学生的数学解题概念，学生也不理解例题中隐含的数学条件，进而导致数学教学质量严重下滑。
（二）初中数学例题应用存在不足
初中数学课堂教学需要以学生为学习主体，教师作为课堂教学的组织者与引导者。有效利用数学例题可以增进师生间的情感关系，对强化初中生自主学习能力具有较大帮助。但是当下大部分初中数学教师对例题教学的应用存在不足，课堂教学手法过于单一，只是一味地讲述教材中的数学概念，或者是运用简单的数学例题将重要的数学概念一笔带过。数学教师此种数学例题应用不足的问题，若是不能及时进行解决，必定会严重影响学生的数学学习。
二、初中数学例题有效教学的具体策略
（一）强化数学例题的应用性
人教版初中数学教材中例题素材，全部来自于现实生活。教师在实际开展数学例题教学过程中，需要及时认清例题教学的本质。通过不断加强其与学生现实生活的联系，在实际教学过程中有效渗透相关生活实例，强化例题教学趣味性的同时，进一步激发学生的学习兴趣。
如，教师在教学人教版初中七年级上册数学“正数与负数”这一课时，负数是一个比较抽象的概念，为了让学生比较容易理解负数，数学例题从学生的生活实际出发，有效强化学生的学习理解。如，以班级中篮球比赛为例，在上半场篮球比赛中本班同学共计赢球6个，在下半场时赢球4个，比赛结束后共计赢球10个；而在与其他班级进行比赛的过程中，本班学生在上半场输球6个，下半场赢球3个，比赛结束后共计输球3个。教师此时需要引导学生将两场比赛的赢输球运用“+”“-”进行表示。学生在讨论后得出列式为（+6）+（+4）=+10，（-6）+（+3）=-3。此种借助数学实际案例进行形象展示正数与负数概念，有效激发学生学习兴趣的同时，进一步使学生深刻体会数学知识与现实生活间的关联。
（二）以生为本，因材施教
初中数学教师在实际开展课堂教学工作前，需要深入了解班级中学生的实际学习情况及学习基础。只有充分掌握学生的学习情况，结合学生的学习兴趣，才能有效创设激发学生学习兴趣的学习情景，进而充分提高课堂教学质量，开展例题教学活动也是同样的道理。在实际开展例题教学时，教师需要站在学生的视角分析数学知识，尽可能避免将自我主观学习感受强加到学生的学习思维上，进而严重导致课堂教学效率的低下。
例如，教师在教学人教版八年级下“平行四边形的判定”这一课时。
已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF。
若是想要证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明？四边形BEDF是平行四边形，在进行比较方法后，学生得出简单方法。
证明：四边形ABCD是平行四边形，AD∥CB，AD=CD， E、F分别是AD、BC的中点，DE∥BF，且DE=21AD，BF=21BC。
DE=BF，四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）。BE=DF。
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，在学生树立清晰的证明思路的同时，进一步深化学生的学习印象。
再如，在下列给出的l件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）。
A.AB∥CD，AD=BC
B.∠A=∠B，∠C=∠D
C.AB=CD，AD=BC
D.AB=AD，CB=CD
通过有效教学数学例题，旨在让学生可以充分掌握平行四边形的第三种判定方法和综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题。同时适当给学生补充一些题目，进而全面培养学生分析问题，寻找最佳解题途径的能力。
综上所述，初中数学教师在实际开展例题教学过程中，需要事先对例题进行充分的分析与利用，结合班级中学生的实际学习情况，自主创新例题教学模式。通过有效激发学生的学习兴趣，引导学生参与到学习活动中，进而全面激发学生的学习潜能，从根本上提高课堂教学质量与效率。
参考文献：
【关键词】高中数学；例题教学；策略
我们常有这样的困惑：不仅是讲了，而且是讲了多遍，可是学生的解题能力就是得不到提高！也常听见学生这样的埋怨：巩固题做了千万遍，数学成绩却迟迟得不到提高！诚然，出现上述情况涉及方方面面，但其中的例题教学值得反思，例题是教材的重要组成部分，这些例题是编者从茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的，是学生掌握双基的重要来源，也是教师传授知识的纽带，它蕴含着丰富的教学功能，处理好例题的教学，对教学质量大面积的提高、学生智力的发展、思维品质的培养都是至关重要.然而很多时候只是例题继例题，因而学生的学习也就停留在例题表层，出现上述情况也就不奇怪了。
事实上，解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程；是一个吸取教训、逐步提高的过程；是一个收获希望的过程。从这个角度上讲，例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。本文拟从以下三个方面作些探究。
一、引申拓广，培养数学思维的发散性
教学中，若对一些典型的例、习题进行变式处理，如改变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等，即可以在演变多解过程中，使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维。
例1数学必修⑷P122第3题证明：对任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2） （1）
对于⑴式能否有更深刻的变化呢？将不等式⑴字母分别排序，得（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2 （5）
通过分析知道，可以按字母增加的方向演变。
[变4]设a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，
求证：（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2 （6）
此时，利用学生的连续思维所产生的思维惯性，教师因势利导，把问题推广。
推广 设ai，bi∈R（i=1，2……n），则
（a12+a22+……+an2）（b12+b22+……+bn2）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）2
（当且仅当ai=kbi时，取“=”号）
这是一个重要的定理，叫柯西不等式。不等式（5）、（6）即柯西不等式当n=2和n=3时的特例。
如此层层推进，使结论更加完美，更具有普遍性。
上述对原题从不同角度进行演变和多解，这样从一题多变到一题多解，使知识横向联系，纵向深入，拓宽了学生的思路，培养了学生的发散思维。
二、揭示规律，培养思维的深刻性
善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。
例如：（原例题）已知等腰三角形的腰长是4，底长为6；求周长。我们可以将此例题进行一题多变。
变式1 已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长。（这是考查逆向思维能力）
变式2 已等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长。（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论）
变式3已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长。（显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性）
变式4 已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。
变式5 已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是14。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。
通过例题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势；有利于培养思维的变通性和深刻性。
三、联想转化，促进知识的迁移
方程sinx=lgx的解有（ ）个。（A）1（B）2（C）3（D）4
学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无进。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组y=sinxy=lgx的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图家交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。
综上所述，课本是教学之本，深挖教材的潜力，充分发挥教材的自身作用，处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本，对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用，由点到面，由题及类，解剖一例，带活一串，注意数学思想方法的渗透，这样教学，深化了基础知识，培养了思维品质，发展了思维能力，这正是我们所要追求的目标。
【参考文献】
一、例题的选择必须能实现课堂教学目标
每一堂课都有一个明确的教学目标，例题的选取自然离不开这一目标。围绕教学目标，精选例题，合理安排，才能使学生更好地掌握所学知识。教师制订教学目标，必须紧扣教学大纲，加强学生解决实际问题的能力，使之形成创新意识，促进情感、价值观的养成，例题的选择要时刻体现这一点。例如：高中数学中的解析几何教学，许多教师选择的例题都是系数简单或者凑好的整数，这样运算起来一是方便，二又省时，但课后常常发现学生的作业很不理想。教师都知道，解析几何相对来讲运算量大，学生容易算错，有的时候还会丧失信心。所以，在解析几何教学中，可以多些复杂计算，以在提高学生计算能力的同时，培养学生的毅力和勇气。
二、例题的选取要依据学生的认知水平
教师在教学的过程中，应把学生的现有认知水平作为教学的基本出发点，对教材进行创造性的处理，积极引导、适时点拨，培养学生科学的精神和科学的态度，逐渐掌握基本的科学方法，从而促进学生的思维发散，提高学生的创新意识和创新能力。学生的知识结构和认知水平是有巨大差异的，同一地区不同学校有差异，同一学校不同班级也有差异。教师要充分掌握所教班级的情况，例题的讲解要能使决大部分学生理解、掌握。也可以对例题进行组合，或阶梯式地对难点进行分解。运用题组教学，可以帮助学生正确理解定义，突破教学难点，寻找解题规律，构建知识网络。
例如：在讲解映射的定义时，教师可以运用如下题组，让学生思考和练习。试观察下列从集合到集合的对应法则：
（1）A={30°，45°，60°，90°}，B={■，■，■，1}对应法则：求正弦。
（2）A={1，2，3，-1，-2，-3}，B={1，4，9}，对应法则：求平方。
（3）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5，6}，对应法则：乘以2。
（4）A={x|x∈且x≠0}，B=Q，对应法则：f：xy=■。
通过思考和提示，教师可提问学生这些从集合A到集合B的对应法则有何共同点，让学生归纳总结，从而正确理解映射的定义。
三、例题必须具有代表性与典型性
例题是在课堂上讲解给学生听的，课堂时间有限，就必须要求例题少而精，一道例题要代表一类问题，解题方法具有广泛性，称得上是通法。学生通过这一个例题，联想到一系列相似问题，并能较好地利用通法解决。例如：已知圆的方程是x2+y2=r2（r>0），求经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程。在解析几何中，直线与圆的位置关系属于典型试题。教师在讲解时一般有两种方法：1.通过切线与垂直关系先求切线斜率。2.通过圆心到切线距离等于半径立方程求斜率。两种方法都具有代表性，都用到了几何性质。但后者更具广泛性，若求过圆外一点的切线，或有关直线与圆相交相离问题，第一种方法就不适用了。
四、题目追求简洁，尽量用数学语言，不冗长，无歧义
爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”数学例题自然要有数学特色，新编数学教科书更新了传统内容的讲法和部分数学语言，例如比较广泛地使用集合语言、逻辑联结词、国家标准计量符号。在高中阶段，学生将接触很多的数学符号，把题目条件或命题结论都可以用数学的符号语言表示，这也是课程标准提出的要求。所以，例题的给出要使学生不经意间感受到数学的简洁美，培养学生的数学修养。同时，冗长、繁复的题目会影响学生的理解，体现不出数学的美，降低学生学习数学的兴趣。
五、背景要贴近生活
问题来源生活，把实际问题转化为数学问题，学生就会对数学产生兴趣。重视数学知识的应用，是近年来数学教改的一个热点，也是课程标准强调的重点之一，新编教材在加强用数学的意识方面也做了改进，理论联系实际是编写教材的重要原则之一。而联系实际的目的就是为了使学生更好地掌握基础知识，增强用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力。新编教材把培养学生用数学的意识贯穿在教材编写的始终，教材的正文一般都注意从实际引入概念，从实际提出问题，例题、习题中增加了一些联系实际的内容，例如数列中联系经济生活中的储蓄，函数中联系增长率的变化，直线和圆的方程中增加线性规划初步知识，圆锥曲线中联系行星、卫星运行轨道等。概率本身就是与实际问题联系非常密切的内容。各章的章头图或阅读材料中，也注意提供有实际背景的问题。教材中还注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力。但并不是要一味地让学生做应用题，适当地穿插有实际背景的例题，会活跃整个课堂教学气氛。
六、处理好书本例题与课外例题的关系
我们要充分、科学地利用课本例题，为学生创设有益于发展的探究情境，并对课本例题进行适当的提升，推广。例如，已知：如图四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的四边形），E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，■=■=■，求证：四边形EFGH是梯形。如果按课本例题的显性内容就题讲题，也似乎能完成学习任务，甚至有的人认为这道题过于简单而忽略处理。这种做法是不恰当的。这是由于有些教材上的例、习题，看似平淡无奇，仔细琢磨却蕴涵着丰富的教学、教育价值。教师若能结合学生认知水平的实际，对课本的例题、习题加以科学、创造性的利用，则会对学生的思维发展、独立建构认知结构能力的提高均有益处，这道例题就具有相当丰富的教学、教育价值。其次，现在的课堂教学任务已不是以讲得是否清楚为标准，而是以对学生的探究学习能力以及创新能力的形成与提高是否有帮助为标准。简单地处理例题，不利于学生思维的发展和能力的提高。就题论题的简单处理，学生解决问题的能力只局限于这一道题的解决。
若再遇到类似于“已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的四边形），E、H分别是AB、AD的三等份点，F、G分别是边CB、CD上的点，■=■=■，求证EF、GH、AC交于一点”的题，大部分学生还是需要进行“从猿到猴”的审题，甚至学习能力差的学生还会对此题束手无策。若遇到类似抽象一点，如“E、F、G、H分别为空间四边形ABCD各边上的一点，若EF、GH交于一点P，求点P”的题目与类似开放性较强“E、F、G、H分别为空间四边形ABCD各边上的一点，则在什么条件下，有EG=FH成立”的题目，大部分学生仍觉得束手无策。
例题（人教版选修2-1第41页例2） 如图1，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作轴x的垂线段PD，D为垂足. 当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
背景：本例安排在课本上的“椭圆及其标准方程”一节，前一例是用椭圆的定义和待定系数法求解椭圆的标准方程. 本例继续探讨求椭圆的标准方程和椭圆与圆之间的关系.
一、讲“到”目标
每一个数学例题在选取或设计时都应有与其功能相匹配的目标游离于既定教学目标之外的例题教学是不可取的. 因此，教师讲好例题要紧扣目标. 有些例题的目标是显性的，但有些例题的目标是隐性的，并不清楚或明显，需要教师给予解读，将隐性目标显性化，最好就是对目标给予说明，这样学生就会有针对性和重点地参与例题的教学. 对例题目标给予说明往往在展示例题之时，并且很简短. 教师的语言类似于如下：接下来，为了……，我们一起来看这样一个问题；下面，我们一起来解决这些例题，通过这些例题，同学们要理解（掌握）……由此看出，教师对例题的目标的“讲到”，并非多讲，只需点到、提到即可.
【案例片段1】
师：同学们，通过例1我们知道了求椭圆的标准方程的关键是要求a，b，c三者之二，一般采用待定系数法来求.但是，有些情形我们并不知道所求的曲线方程就是椭圆的方程，就不能用这种方法.此时，我们就要先求出曲线方程，如果能化为椭圆的标准方程，那么我们可以再来断定这个曲线就是椭圆，下面，我们来看看这样的情形.
（展示新例题，开展本例教学）
点评：在总结上例的基础上，教师讲到了学习下例的目标，自然过渡到了下例的学习.学生对接下来要做的事情有方向感，会自觉地关注求曲线的方程的方法和进一步认识椭圆的标准方程.
二、讲“清”题意
顺利解决例题的第一步是理清题意，即通常所说的审题. 通常的时机就是在给出例题之后的最短时间内，教师要面对全体，引导学生思考并讲清题意. 这里的“讲”就包括教师的“讲”和学生的“讲”，而所谓“清”，即清楚、清晰而不含混. 讲清的要点包含：（1）题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何；（2）题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何；（3）题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构. [3]
【案例片段2】
教师引导学生讲清例题题意：
师：同学们首先看看这道例题的内容. 都来说说已知条件有几个？哪几个？所求结论是什么？
生：例中已知条件有4个，分别是：圆的方程x2+y2=4；点P在圆上，且为动点；线段PD垂直于x轴；M是线段PD的中点.
（在学生讲已知条件的过程中，教师辅以几何画板作图，呈现图形的构成过程）
生：所求的是“当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？”
师：如果求出了点M的轨迹方程，那么能不能得到结论？
生：能.
师：“点M的轨迹是什么”和“为什么”，这两个问题的本质是一个，即按照严格的方法，求出点M的轨迹方程，根据方程判断轨迹. 根据图形，同学们能不能猜猜点M的轨迹是什么呢？
生：是椭圆. （教师通过几何画板动画演示，发现点的轨迹就是椭圆）
师：点M的轨迹就是椭圆. 但是为什么是椭圆呢？我们必须要严格地推证它是椭圆. 因此，需要求出该曲线的方程，并判断它是否是椭圆的标准方程，对吧？那么，所求的曲线的方程跟已知条件有什么联系呢？
生：点M的运动由点P引起的，点M的坐标由点P和点D决定，点P的坐标关系满足圆的方程.
师：对，这三点非常重要，要求点M的轨迹还得从这三个条件出发.
点评：片段中教师引导学生从三个要点（“已知条件”、“所求结论”、“条件与结论的联系”）初步分析清楚了题意，为具体求解过程奠定了基础. 其间，学生也猜想出了点M的轨迹是椭圆. 为了便于学生把握题目的实质，揭示相关题目的解题规律，有时通过改变呈现方式来讲“清”题意[4]，这一点很重要. 教师借助几何画板工具将点P，M，D动起来，很容易验证了学生的猜想，为学生认识椭圆与圆之间的关系建立了感性基础.
三、讲“出”方法
在例题的教学中，找出问题解决的方法是关键，然而找方法的过程非常艺术化. 教师首先要听学生的讲，然后才是讲给学生听. 在教师与学生的“听”、“讲”交替过程中，方法得以呈现.一般来讲，教师对方法的“讲”主要是对学生的“启”和“导”，即采用启发性和引导性的语言，讲出学生的后续之音、弦外之音和合理之言，而学生的“讲”包括讲出思考中的困惑，讲出错误处的原因，讲出精彩点的道理.这里讲“出”方法就是要将方法呈现、凸现，讲到位.
【案例片段3】
师：我们怎么来求点M的轨迹方程呢？
生1：用前边学的“求曲线的方程”的步骤.
师：主要有哪些步骤呢？
生1：“建”（建立坐标系）、“设”（设定点坐标）、“限”（限制条件列式）、“代”（代入式子）、“化”（化简方程）.
师：本题中又如何应用呢？
生1：坐标系已有了，不用建，点M的坐标可以假设为（x，y），现在主要看后三步.
生2：用点M坐标满足的条件是“M是线段PD的中点”，用它列出式子.
师：对，用我们刚才分析的已知条件.列出什么式子呢？
生2：用中点公式，好像没有直接的……不好表达.
师：有式子，但是还要进行处理，可以把点P的坐标假设出来吗？
……
点评：此处已能看出，本题求解的方法已非常明确，学生很容易想起求曲线“建”、“设”、“限”、“代”、“化”的步骤，说明学生在解题的方法上有基本认识，关键就是如何应用了.
四、讲“通”思路
学生对例题的理解除了方法外，更为细致的是疏通解决问题的思路. 而这一点正是学生实现知识生长、能力提升的关键点. 当学生的解题思路出现各种问题时，教师要不失时机地把握关键点来讲解，使之畅通. 一般来讲，学生思路匮乏时教师要“引”，学生思路混杂时教师要“理”，学生思路受阻时教师要“疏”，学生思路短缺时教师要 “续”，学生思路狭窄时教师要“拓”，当学生思路绕弯时教师要“改”.
在案例片段3中，生2的思路略微受阻，教师可以继续引导生2，可以请其他学生来解决，也可以由教师自己来讲.
【案例片段4】
师：假设点P的坐标为（x0，y0），现在点M的坐标满足的关系式能写出来了吗？
生：能.
（学生写出：x=x0，y=）.
师：但是现在点P的坐标包含有x0，y0两个未知变量. 求的方程中能有这两个变量吗？
生：不能，要消去.
师：怎么消？
生：点P在圆上，代入方程x2+y2=4.
师：很好，这样就能求出点M的轨迹方程了. 我再请一个同学来把整个题的思路讲一下.
生：首先，按照步骤，把点M和P的坐标假设出来，然后利用中点公式写出点M和P的关系式，接着把利用点P的坐标满足圆的方程建立方程，最后化简.
师：说得很好，现在，按照刚才的思路，我们一起来写出求解过程.
……
点评：本例的思路因有“求曲线的方程”的步骤这个“路标”指引而较为畅通，教师要做的就是引导学生讲出“路标”，把各个路标所指的内容串联起来.
五、讲“明”收获
例题教学中不可忽视的一个过程就是反思评价. 在这个过程中教师或学生一定要讲明收获. 这个收获包括与目标对应的预期收获，也包含生成性的意外收获. 这些收获中可能有知识、方法、技巧、经验、情感等中的某些方面. 值得一提的是，我们有时可能并没有获得什么明显的东西，仅仅是一种体验，但它也是教学中的一种经验或情感类营养成分；有时例题中发现的新问题并没有彻底解决，为后续的学习播下一粒“种子”，这也是很有价值的收获.
【案例片段5】
师：刚才，我们求出了点M的轨迹方程，点M的轨迹是一个椭圆. 求曲线的方程的步骤还管用吧！大家要注意当所求动点的坐标不能直接建立关系式时，要尝试找中间变量搭桥，比如这里点P的坐标x0，y0就是中间变量（参数），然后利用中间变量满足的条件再代入另一个关系式达到消参的目的，从而得到所求的轨迹方程.这是解析几何中常用的一种方法.
师：通过刚才的例2，大家发现椭圆与圆之间有什么关系吗？请你们尝试把点M为线段PD的中点改成分点或其他比例的分点，点M的轨迹又是如何呢？（如图2，教师利用几何画板动画演示，得出结论. 略）
点评：教师通过本例强化了求曲线方程的步骤，加深了椭圆的标准方程的认识. 在达到本例的基本目标后再以此例为切入点实施变式探究，探索出椭圆与圆的关系，这也是本例的一个重要收获.
讲好数学例题的关键在于恰当地调控好“讲什么？”“谁来讲？”“何时讲？”“怎么讲？”几个问题. 如果我们把握好了例题讲的内容、讲的主体、讲的时机和讲的技巧，将教师单方面的“讲”变成教师与学生之间对话性的“讲”，那么这种“讲”的普通“招式”同样也是“绝招”，照样能充分发挥例题的功效，有效推进教学. 因此，在例题教学中没必要去刻意追求各种教育理念“冲击”下多种高效教学方式的“变”用，而是应该多一份心思留意于某些教学方式的“活”用.
参考文献：
[1] 吴立宝.数学教科书例题功能的分析[J]. 数学通报，2013，52（3）：18-20，23.
[2] 程新展.例题教学应该做到“三好”[J]. 中国数学教育（高中版），2011（6）：8-9.
关键词 假懂 理解 思维 理性
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）15-0036-03
一、从一个教学片断说起
教师：回顾上述解题思路，数列求和型的不等式，要向有利于求和的方向进行转化（不少同学似有所悟，微微点头回应）。
教师：下面请看下一题。
课后，笔者问坐在教室后排的两位同学：“懂了吗？”他们说：“懂了！”笔者接着问：“答案盖住，自己做下试试看。”两位同学想了想，试着写了一下，放缩还是无法完成。
可见，学生的“懂”是“假懂”，而非“真懂”。
二、学生“假懂”的原因分析
1.从数学的角度看
上文的例题，其解答的思维过程包括一下两个方面：
一是要熟知高中数列常见的求和方法，如：常数列求和，周期数列求和，等差数列求和，等比数列求和，倒序相加求和，错位相减求和，裂项相消求和法等，解题时要能从题目信息中联想到已知的求和方法。从求和式Tn=++++…+的结构特征可以提示我们应采用的是裂项相消求和法，这是后续推理活动的铺垫，是题意理解的一个关键。
二是通项bn2（n≥2）本事不具有裂项求和法的结构特征，从目标分析，需要适当的转化放大，而“适当”说的轻松做起并不容易，这也是本题的一个难点所在。通过以上分析，解题时的目标是明确的，即需要寻找这样一个等差数cn，能够使得，当n≥2时，bn2≤成立，而后式能用裂项相消求和，但注意不要放得过度。
2.从学生的角度来看
面对上文的例题，学生的困难主要来自以下三个方面：
一是两个小题相互关联，前面小题是为后面小题做铺垫的，因此对部分学生而言，第（1）小题结构形式复杂，一下子难以找到突破口， 找寻到突破口还要谨小慎微，细致讨论下才能得到正确结论，这已经就是一只拦路虎。在没有能全面解对情况下，第（2）小题对他来说没有任何意义；
二是看到求和型的不等式时，学生心理上不适应。首先司空见惯的是求数列的前n项的和问题，学习的都是具体而相对简单的数列求和问题，基本思维还希望数列本身能是上述求和类型的。而现在要求和的数列既不是等差也不是等比的，哪怕是等差乘以等比的通项公式也可以，理想很丰满，现实很骨感，这样对于题设中的求和与目标中的不等式内在逻辑联系存在困惑。其次，这与学生接触不等式问题少密切相关，现行高中课本必修部分不等式问题独立成章的，主要内容是解不等式和二元的均值不等式为主。从这个方面分析，学生不能将数列求和与不等式联系起来。
三是在以上两个问题在思维层面都解决了，想到向裂项相消求和转化，但在放缩时却遇到一个更大的拦路虎。放缩法是说起来容易操作起来困难，始终感觉到放缩很神秘，高不可攀，一步小心就放缩过头，实属不易。要在课堂和考试的有限时间内独立完成，也许需要的是技巧和好运气了，但好运气不是时时会有的。
3.从教学的角度来看
上文的例题教学中，教师的讲解思路清晰，逻辑准确，表述简洁规范，可谓“一气呵成”。那么造成学生“假懂”的原因，除了前面已述及的例题本身与学生的知识经验、认知发展的局限性，难道就没有教学上的原因？笔者以为：没有正视学生的思维水平现实，放低教学的思维起点。
新课改以来，一直强调学生是教学的主体，教师是教学的主导，作为主导的教师，从哪里开始导， 导向哪里，怎么导， 是作为教师必须思考的问题。
第一个问题从哪里开始导？笔者的想法是从学生的原有知识基础和现有思维水平开始，本题的原有知识基础最基本的是裂项相消法的一般结构模式，扩展起来还有数列求和的一般方法等。现有的思维水平，就是学生想到哪里了，还有那些地方没想到。这些问题清楚后， 又要注意正视学生的思维水平现实，放低教学的思维起点，这些可作为解此题的出发点。
第二个问题导向哪里？这是一个目标分析的问题，要有大局观，要求的是学生和教师对试题总体方向的把握，也需要解题经验的积累。对于本题直接求和在学生现有的水平上已是不能完成的任务的情况下，就要考虑其向已有的求和方法上转化，转化到那种求和方法需要根据求和式的结构特征分析。
第三个问题是怎么导，顺应学生的思维方式是最为有效的。这是最为关键的问题，前面有了引导的基础和方向，具体落实时就是怎么样过渡过去，基础是此岸，目标是彼岸，采取什么方式渡过中间的河流呢？该式
三、为促进学生的理解而教
以放缩方法的本身技巧性强的特性而采用“告诉式”“结果式”的教学方式，客观上是一种教师逃避责任的行为，事实上，正是由于在学生看来放缩法艰涩难懂，变化灵活，才为教师开展创造性教学提供了巨大的空间。通过上面例题的教学，教师完全可以达到深化学生对放缩方向和尺度的把握，提升数列与不等式综合题的解题和理解能力的目的，为学生后来更好的学习和研究数列奠定基础。
1.目标引领思维，顺势而为达到水到渠成
康托尔说过：“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。”在例题讲解过程中，教师要密切关注学生的学习动态，并不失时机地提出问题，通过引导、启发、指导、点拨、评价矫正，拓展思路，开阔视野，提炼精要，升华情感化，繁为简作用，让师生对话得以持续，将学生单一的思维系统化，使教学目标迅速达成。经过教师的适时提问，学生的自主、合作、探究才能顺畅，学生的思维才有可能从懵懂走向顿悟，内心才有可能从迷惘变得敞亮。
本例可以尝试从以下问题引领思维：
问题1：我们常见的数列求和方法有那些？本题数列求和与哪种相似度大？
问题2：裂项相消求和方法有什么结构特征？
对于这两个问题，作为刚刚复习过数列的学生而言，都易解决，属于知识层面，其设计意图是在已有知识和未知问题直接建立起跨越的桥梁，为学生继续思考打下基础。这时学生可以发现我们现在需要找到这样的一个等差数列{cn}，能满足当n≥2时，bn2≤成立，也就是
即
最后说明的一点是 和式没有初等的解析表达式。
关键词： 初中数学 例题教学 思维能力
例题是数学课堂教学过程中极其重要的一环，它对以堂课的成败起着桥梁和杠杆作用。例题教学不仅可以让学生在掌握旧知识的基础上构建新的认知结构，而且能加深新知识的理解，还能启迪学生的思维、培养学生的思维，这在逻辑性很强的例题教学中显得尤为重要。尤其是对例题的教学方面，要充分发挥例题教学的作用，并着眼于培养学生的创新意识，让学生掌握学习的主动权，激发求知欲望，提高课堂教学的效益。通过例题的教学，调动学生积极思维，提高学生的学习效率。依我之见，例题教学应从以下几方面入手。
一、举例，引出概念，公式，引导学生发现新知识的能力
数学中的有些概念，往往难以直观表述。如近似数、准确数等，但它们与旧知识都有内在联系。我就充分运用举例来引出新概念。在备课时要分析这个新概念有哪些旧知识与它有内在的联系。利用学生已掌握的旧知识讲授新概念，学生是容易接受的。例如我讲同底数幂的乘法，就从幂的意义引入，边板书、边提问：以下这些算式是什么意思？
数学概念对学生来讲是抽象、难懂的，也是数学教师在教学中遇到的比较棘手的问题。然而，全面、透彻地理解概念又是非常重要的，它是学生学习数学知识的基础和正确解题的关键所在。因此，为了适应快速掌握的要求，应设计具有前后知识的连续性的例题，这样学生能节省学习的时间，提高了课堂的效率。另外，根据奥苏•伯尔的同化理论可知，用旧知识促成新知识的学是比较容易的，例题的引入能促进学生对数学概念的全面掌握。
二、选择题，填空题的设计，加深对新知识理解和掌握
选择题、填空题主要考查学生对基础知识的理解，基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的运用、考查问题的严谨、解题速度的快捷等方面，教完新知识后，为了让学生领悟新知识或矫正学习中存在的某些缺陷与障碍，而应当选择一些有针对性的选择题、填空题进行练习，已达到突出重点、突破难点之功效。
在学习了圆周角这节课时，当概念教学结束后，可以安排下面的选择题。
下列图形中，∠BAC是圆周角的图形是（ ）
则后可以出下列填空题，以加深学生对法则的理解。
通过设计以上的选择题和填空题，考查学生对教学内容的理解和对新知识的掌握情况。
三、注意例题的一题多解或例题的变式，培养解题思维能力
“例题千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。
例如：（原例题）已知等腰三角形的腰长是4，底长为6，求周长．我们可以将此例题进行一题多变．
变式1：已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长．（这是考查逆向思维能力）
变式2：已知等腰三角形一边长为4，另一边长为6，求周长．（与前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论）
变式3：已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长．（显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性）
变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围．
变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是14．请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图像．（与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0＜y＜2x的理解运用，是完成此问的关键）
通过例题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生打破思维定势；使学生的直觉思维和发散思维得到综合训练，更有利于培养思维的变通性和灵活性。
四、通过综合性例题，解释知识间的纵横联系，提高解题能力
让学生应用已经理解的公理、定理、公式、概念、数学方法和知识去解决一些复杂的综合练习题，教师在组织综合练习时要有明确的目的，要精选题目，使其具有典型性、代表性、综合性。
例如在学次函数后，为了使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的联系，特设计一道综合题：
已知函线y=x-3x-4，
（1）求此函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，并画出图像.
（2）求图像与x轴y轴的交点坐标，并求出以这三点为顶点的三角形的面积.
（3）x为何值时，有y＞0，y＜0，y=0？
（4）当x?摇 ?摇?摇?摇时，y的值随着x的值增大而增大；当x?摇 ?摇?摇?摇时，y的值随着x的值增大而减小.
（5）求函数图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的图像的函数解析式。这道综合题由几个不同类型的基础题组成，通过对它的解决学生可以举一反三，触类旁通，使知识间的纵横联系得到体现，课堂容量增大，且减轻了学生的课业负担，教学效果显著。
五、有目的列举反例，以巩固和深化概念
所谓数学反例即指否定的数学例证，是为了防止或否定学生对于数学知识的错误认识而列举的一些数学事例。它是数学课堂上的“调节器”。运用数学反例对学生的智力活动能起定向纠错、提炼升华的作用，并维持数学课堂教学按既定的路线进行。数学概念的教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的。学生在解题中经常出现差错且不易发现、纠正。对此，可以引入反例，让学生学习、讨论，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。学生在学习一个新的定理、性质时，往往会忽略定理、性质中的关键词语，从而造成解题的错误。为了克服这一现象，教学中要善于构造反例，帮助学生牢记关键词语，达到正确理解并掌握定理、性质的目的。
例如，垂径定理的推论1“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，学生常会忽略括号中的限制条件，误记为“平分弦的直径垂直于弦”。教学时可以构造反例，列举圆中任意两条直径，虽然它们互相平分，但不一定互相垂直，由此来纠正这一错误认识，可加深学生对限制条件的理解。又如在教学“三角形全等的判定定理”时，学生在掌握基本的几个判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS）后，教师可让学生判断:三个角对应全等的三角形是否全等;有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形是否全等。三角对应相等的三角形全等的反例比较容易列举，例如三角板中的两个三角形。但是有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等的反例却较难构建。为了解决这个问题，教师可以先固定某些边或者某些角对应相等以后再让学生构建反例。可以先固定∠A=∠A′，AC=A′C′，在此基础上引导学生进一步思考：若BC=B′C′=a，说明BC或B′C′。可以通过以下作图方法来画出:以C或者C′为圆心，a为半径画弧，a只要满足一定的条件，此时所画的弧就很可能与AB或者A′B′所在的直线有两个交点，这时再构造不全等的三角形就容易多了。从而说明有两边及其其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等不能成立。利用反例教学，可使学生加深对知识的理解和记忆，从而达到掌握知识、培养能力的要求。
精炼的例题蕴藏着丰富的数学知识、方法和思想，有利于学生去领悟、吸收、深化和探索。因此，深化例题教学发挥例题的功效，是教学的关键。例题教学可培养学生数学能力和良好的思维素质，从而让学生对数学的认识有一个质的飞跃。
参考文献：
［1］陈国新.例题教学中的四点“反思”.中国教育研究论丛，2006，（00）.
［2］方镇军.挖掘例题的教学功能，培养学生的创新思维能力.数理化解题指导研究.
决定新课程改顺利实施的最关键因素就是师资水平，而在这两年中我们最大的成果之一就是体现新课程改精神的教师的教育教学水平的提高，教师的成长，观念的更新是前提，专业化成长是基础。新课程的制定是基于许多新的观念基础上的。因此，能否理解、认同、内化这些新的观念，是关系到新课程能否顺利实施的最基本条件[1]。
教学方式的转变作为本次课程改革的重要任务之一就是要坚定不移地推进教师教学方式的转变，先进的教育观念要通过先进的教育方式体现出来，而教育观念转变本身也要在教育教学中进行，二者是相辅相成的关系。观念不转变，方式转变就没有了方向，没有了基础；方式不转变，观念就失去了归宿，失去了落脚点。教学方法除了受观念的影响外，还与教学内容密不可分，当科学技术和社会政治经济文化等方面的发展变化使得教学内容不得不做相应的调整与改革的时候，教学方法也面临必须变革和创新的时代要求。从上世纪初步教育远动针对普遍存在的“学校中心”、“课本中心”、“教师中心”的传统教学模式进行革命性改造以来，教学法方面的改革从未中断。现在，我们面临着同样的问题，要实现教学方式的转变，有必要弄清历史上教学方法的演变，从中是否可以看到我们现行教学的影子，弄清哪些是落后的，明确为什么要改，改哪些，怎么改。
2.新课程改中中学数学例题教学方法
正如前面所说的，新课程改革中倡导了许多的教育理念，其中，“一切为了每一位学生的发展”是新课程改革中的最高宗旨和核心理念，要将这一核心理念真正地转化为教师的行动[2]。教师要建立现代的课程观。首先要弄清楚课程、教材、教科书三者之间的关系现代教育观念认为：教科书是根据课程标准编写的系统反映了学科内容的教学用书。它是最具代表性的核心教材。而新课程改中的例题又是怎么教学的呢？
例1：化简sin50°（1+■tan10°）
分析探求：师：这道题给我们的感觉是有些无从下手，很难看出有什么公式可以直接使用，两个角10°与50°似乎还有一线希望。但由于受函数名称的限制难以发挥它的作用。大家都来想想看，有什么办法可以打破这一僵局（请同学们讨论一下）？
生：在同角三角函数的化简中，如果一个式子有弦、有切，我们可以把切化弦。
师：好的，我们尝试一下：
解：sin50°（1+■tan10°）
=sin（1+■■）
=sin50°■
=sin50°+■
=2sin50°■
=2cos40°?■
=■
=■=1
反思研究：本题在尝试把正切化为弦后果然获得成功。其实把正切化为弦就是一条重要思想。请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律。另外，本题的解答过程还反映了逆用和角公式的重要性。在实际教学中，教师要避免直接肯定或否定信息的有用与否或重要与否，让学生在思考与交流中证实或否定。
3.如何使数学例题教学方法更好地适应于新课改
对于新课程改中数学例题教学我们可以看出：发展学生的思维，一题多解，让学生自己提问、相互交流、相互分享、解决问题。下面我们看看下面一题.
例2：设数列{a■}的前n项和S■=2a■-1（n=1，2，3，…），数列{b■}满足b■=3，b■=a■+b■（k=1，2，3，…）求数列{b■}的前n项和。
解：本题可以依托S■=2a■-1（n=1，2，3，…）运用a■=S■ （n=1）S■-S■（n≥2）
探求a■与a■的关系，继而求出b■，也可求出S■再求b■。
方法一：S■=2a■-1=2（S■-S■）-1（n≥2）
S■+1=2（S■-S■）
即S■=2（S■+1）（n≥2）
由此得S■=（S■+1）2■
因S■=a■，故a■=2?a■-1，得a■=1.
于是S■=2■-1，设{b■}的前n项和为T■.
由于b■=a■+b■（k=1，2，3，…）
故b■=a■+b■
b■=a■+b■
……
b■=a■+b■诸式累加可得
b■=S■+b■=2■-1+b■
b■=3，故b■=2+2■.
数列{b■}的前n项和为T■=2n+■2■
=2n+■
=2■+2n-1
方法二：因S■=2a■-1（n=1，2，3，…），
故当n=1时，a■=S■=2a■-1，得a■=1，
当n≥2时，a■=S■-S■=（2a■-1）-（2a■-1），
得：a■=2a■.所以数列{a■}是首项为1，公比为2的等比数列a■=2■.
因为b■=a■+b■，故b■-b■=a■=2■
则b■-b■=1，b■-b■=2，…，b■-b■=2■
以上这（n-1）式子相加得：
b■-b■=■=2■-1故b■=2■+2
所以数列{b■}的前n项和T■=（1+2■+2■+…+2■）+2n=2■+2n+1.
由此例题我们可以知道，一题多解，教学过程中；教师与学生间的交往、互动，意味着师生之间的相互交流，相互沟通，相互启发，相互补充。
关键词：浅谈 初中数学 例题教学 有效性
例题教学是数学教学的重要组成部分和环节。通过例题教学，让学生学会运用所学数学知识去解答数学问题，从而达到巩固所学知识之目的。同时，例题教学也是学生学习数学的一个重要途径，它直接影响到学生数学解题能力和数学思维能力的培养。因此，探讨数学例题教学很有意义。
一、课堂例题教学存在的误区
一方面是不考虑学生的实际，盲目选题。盲目选择一些怪题、难题、偏题，收效甚微，导致学生恐惧、厌恶数学，适得其反；二是教法单一、刻板，缺乏变通、创新。例题教学有时教法单一，照本宣科，讲解刻板，缺乏变通、创新。例题简单时，认为没什么好讲的，将解题过程直接板书，让学生自己看解题过程，或者逐字逐句念给学生。讲解例题有时会一股脑地把自己的解题方法灌输给学生，学生缺乏思考，只是单纯地接受，逐渐养成“你讲我听”的接受式学习，没有得到一定的思维训练，遇到类似的问题有时勉强可以应付，但条件稍微有所变化，就难以独立解决问题；三是就题讲题，缺乏题后反思。我国教育家叶圣陶先生说过:“什么是教育？简单地说教育就是培养习惯。”然而，教师常常把例题解答完就了事，不对例题进一步挖掘，题后不引导学生对例题题型、思想方法、表述等进行反思，学生得不到解题反思的熏陶，没有题后反思的意识，无法养成题后反思的习惯。
二、如何做到初中例题教学的有效性
1、讲好例题是学习数学的基础。所谓讲好例题，就是教学上课通过师生、生生积极的互动和一些数学活动，把例题分析清楚、透彻，让学生明白为何这样解，解答该如何表述等等。《标准》强调:“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。”在例题教学中，教师重点要教给学生分析问题的思想和方法，让学生学会用演绎和归纳去探讨问题。东北师大校长史宁中教授在《数学与数学教育》一书中指出:“现在我们来思考数学基础教育，思考除了知识之外还能给学生些什么。我想这就是演绎和归纳。中国50年来的数学基础教育，一直是重演绎、轻归纳，即给出已知条件，求证一个结论，这是演绎的方法。但没有让学生试着去推导出什么结论，也就是没有教归纳的方法。这不利于培养创新型的人才，如果在数学学科教学中教会了学生这两种方法，那就体现了数学教学中的素质教育。”
2、改编例题是数学知识的运用。改编例题的方式很多，例如教材中有些例题的背景一般比较抽象，缺乏生活气息，如果将例题改编成与学生密切相关的生活情境，不仅可以激发学生的参与热情，还能发挥学生的创新意识和创造能力。或者将例题的条件、结论进行改编，由表及里，揭示知识间的内在联系，前后贯通，引伸拓宽，形成一条较为完整的知识链，让学生通过典型范例的思路剖析，牢固掌握基本题型及解题规律。如在教学有理数加减法则时,设置这样一道题：在一条南北走向的公路旁有一售货中心，规定售货中心向南为正，向北为负，某同学家住售货中心南200米处，因有事外出，需经过售货中心办一件事，现在先向南走450米完成一件事后再折转准备北行730米做事，问该同学能经过售货中心办事吗？走完730米后最后位置在售货中心的哪一侧？由学生通过议论、列式计算，在兴趣中顿悟有理数的加减法则。这样，首先是学生能看到实际问题，引起解决问题的悬念，开动脑筋，积极猜想，凭直觉想象，生活经验等等均可一试，感觉数学来自生活，从而也增强学生学习的兴趣。
3、设置规律性例题促进数学能力的提升。为了使学生在解题时有较敏锐的观察能力和较丰富的联想能力，举一反三，触类旁通，提高解题能力，规律型的题目正是考察学生以上这些能力。由于规律型题目的规律性和普通性，我们教师在举这样的例题应注意归纳综合，俗语说：“换汤不换药，万变不离其宗”。这话用在数学上正好反映数学知识的规律性。例如，二次函数中有这样一类题目，给出抛物线中、b、c的符号，要求判断抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置，对称轴在y轴的左侧还是右侧，抛物线与χ轴有无交点，并画出草图，象这样的问题，要先归纳综合它的规律性：(1)>0开口向上； 0与y 轴交点在χ轴上方；C0与x轴两个交点；
4、讲清数学例题中蕴含的方法是学数学的关键。新课程强调要引导学生学会观察，学会思考，学会如何学习，培养终身学习的能力。也就是说授之以鱼不如授之以渔。在例题讲解中重要的是让学生真正领悟隐含于数学问题中的数学思维方法，使学生从中掌握关于数学思想方法方面的知识，并把这些知识消化吸收成具有“个性”的数学思想。逐步形成用数学思想方法指导思维活动，这样在遇到同类问题时才能胸有成竹，从容对待。另外，在例题教学中要充分发挥学生参与活动的主动性。在课堂上，要给学生充分的思维活动空间，尽可能多地靠学生自己发现解题思路和动手作答。例题的讲解不在于老师讲了多少，更重要的是在于学生领悟了多少。数学题目是讲不完的，但只要我们讲解的方法得当，还是可以通过有限的例题的的本质分析、讲解，让学生真正领悟解决无限数学问题的数学奥妙。
参考文献：
