时间：2022-11-07 16:46:11
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇大学线性代数知识点，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
本文主要结合笔者多年的一线教学经验，查阅相关文献，阐述线性代数法在高等数学中运用所需要具备的几种能力，希望对学生的学习具有一定的指导作用。
众所周知，高等数学是高校一门主要基础课程，也是一门必修课程。而线性代数，则是高校数学的一个重要分支，和高等数学的学习息息相关。虽然两者在一般数学问题、解决方法上存在一定的差异性，但是其理念是相通的。因此，在某些数学问题上，两者还是密切相关，具有相通性的，在解题方法和解题思路上还是相互融合，相互渗透的。所以，研究高等数学和线性代数法之间的关联显得尤为重要，如何正确对待线性代数法和高等数学之间的关系，使两者相互促进，更好地相融，已经成为摆在广大高校数学教师面前的一大课题。而将线性代数法引入高等数学，可以提高学生学习兴趣，促进教学质量的提高。这里，侧重谈谈线性代数法在高等数学中的运用所需要具备的两种能力。借此能力，可以更好地学习高等数学，提高学生数学水平。
一、注重抽象思维能力培养
在高校数学科目中，线性代数对于学习者的要求还是相对比较高的，最重要的是需要学生具备良好的抽象思维能力。比如，线性代数中的向量、矩阵以及行列式等，这些数学量的概念、性质和相互关系，都具有一定的抽象性，对于一些学生来说，有时可能比较难以理解。作为教师，我们要努力培养学生的抽象思维能力，让学生掌握知识点的规律性，强化学生对知识点性质和概念的领会。在平时的课程教学中，教师要让学生理解线性代数和高等数学之间的关系，教给他们线性代数方法在高数中的应用策略，并要求学生课后认真复习，自己找出与高等数学的关联之处，自行总结一些抽象思维方法，让学生熟练掌握线性代数法，使其能更好地为高等数学服务。
二、注重逻辑推理能力培养
我们都知道，线性代数的学习也需要较强的逻辑推理能力。在线性代数的学习中，各个环节知识点的连接，就是各个知识点之间逻辑关系的联系，这就要求学生具备良好的逻辑推理能力和逻辑思维能力。作为教师，在线性代数教学过程中，要不断培养和锻炼学生的逻辑思维能力，让学生自主探究，自觉锻炼自身的逻辑推理和思维能力，对各个知识点之间的逻辑关系加深理解。
总之，在高等数学的教学中存在很多烦琐的问题，如果我们将线性代数方法渗透到高等数学问题分析中，充分考虑两者之间的相关性，就能使得很多数学问题迎刃而解。将线性代数法引入到高等数学中，在高等数学教学中最大限度地发挥线性代数法的作用，不仅给高等数学的教学带来了全新的效果，而且在一定程度上提高了高等数学的教学效果和质量，提高了学生的数学水平，促进学生更好地成长。
（吉林省四平职业大学宣传部）
数学在我们生活中无处不在，在大学期间，数学学习的难度有所增加，所以高等数学被分为了好多学科，其中就包括线性代数这一重要的学科。线性代数的学习程度对高等数学是有一定的影响的，因为线性代数与高等数学是由相辅相成的作用的，在解决某些问题上，采用其中的一种方法是有可能比较困难的，这个时候就需要转变思维，换一个角度想问题，让自己的学习过程更加顺利，从而提高自己的成绩。
1 线性代数方法学习所需能力
1.1 需要有抽象的思维能力才能使学习更加高效
线性代数是需要学生通过抽象的思维进行想象的，可以说学习的过程中对于向量，矩阵等都需要自己通过抽象想象的。线性代数中这样的学习有很多种，例如矩阵与线性方程组，在矩阵与矩阵，矩阵与向量组，向量组与向量组等等，所以学生要了解他们之间的抽象关系，认真领会其中的知识点，对他们的概念以及性质的学习进行加强。在初中和高中的学习中，学生们已经接触过具有抽象能力的数学知识点了，比如说在向量的学习中，就需要将向量想象成一种抽象的东西，这个时候的数学还是很好学的，但是对于高等数学中的线性代数里面的思维想象能力的要求就相对来说比较高了，所以对于学生在这方面能力的锻炼与培养，需要教师多加引导，让学生养成自己思考，主动学习的好习惯，多做题，逐渐的就会把自己的抽象能力培养出来。
1.2 逻辑推理能力
不仅仅是线性代数需要逻辑推理能力，可以说整个的数学学习就是一个逻辑推理能力的培养从小学时，学生们便开始学习数学，数学的学习一直都在锻炼学生们的是逻辑推理能力。线性代数的各个知识点之间逻辑关系是非常紧密的，逻辑性是非常高的。其实我们在学习很多学科时都有这种体会，知识点不是单独存在的，教材在安排知识点的位置的时候也都会将有联系的知识点放在一起学，这样既对学生学习起来是一个方便，同时教师在教授的过程中也更加容易方便，这在一定程度上考验了学生的逻辑思维能力，所以线性代数在学习过程中一定要上下联系，找出其中关联的地方，把有关联的知识点放在一起仔细研究，找到他们在解题过程中的运用效果，能够在解题过程中显得不那么手足无措，同时要深刻理解其中的每个知识点之间的联系，从而提高学习效率。另一方面学习的过程中需要运用的推理能力不仅仅表现在知识点的上下联系，而且在解题过程中需要在读过题之后快速的找到体重的关键点，找出解题时所要用到的知识点，这也是对逻辑推理能力的一个考验。[1]
2 线性代数核心方法与工具学习
学习过高等数学的人们都知道，在线性代数的学习过程中，线性方程组是一个核心内容，二有关于线性方程组在解题过程中的主要的答题方法和答题依据是矩阵和矩阵的初等变换。有的解题方法例如矩阵的初等变换这一阶梯方法，可以用在特征向量，向量空间的维数和基，还有就是矩阵的逆矩阵这一内容也可以用矩阵的初等变换这一方法。[2]所以，线性代数的学习是融会贯通的，教师在教学过程中和学生在学习的过程中都要注意好矩阵的初等变换这一内容的学习，掌握矩阵这一项主要的学习工具，这样才能在学习过程中可以游刃有余，可以找到解题的思路。
3 注重学生学习能力的培养
前面我们说过了。线性代数的学习需要很多的抽象能力，二线性代数的核心又在于行列式，行列式的学习就需要很高的抽象能力，学生在学习这一内容时，仅仅是凭借着公式死记硬背的套上去是不能够解决问题的，需要手和脑的一起使用，所以学生在进行基础概念的学习时，要灵活运用，注意要和题相结合，在解题的过程中自然而然的就学会了基础概念，才能对所学的知识进行全面深入的了解。因此，学生在对线性代数知识点的掌握时，可以包含以下几个基本点。
3.1 对学生学习和理解基本知识方面的能力进行加强
学生在学习之前必须要搞清楚概念，只有概念问题解决了，在解题过程中才不至于一头雾水，线性代数是一门概念问题非常多的一门学科，里面的解题思路也很复杂，所以要想学好这门学科，必须先要把概念搞清楚，概念不清楚，解题过程中就会一点思路也没有，即使题做出来了，也会事倍功半，达不到自己预期的效果。[3]线性代数里面包含的概念有关于解方阵的幂，有要求解逆矩阵以及解矩阵的秩，还有计算字母型和数字型的行列式等一些概念，这些概念说容易，只要学生搞清楚里面的关系，还有他们之间的逻辑性，按照规律循序渐进就可以很好地掌握，但是在掌握过程中，在一些抽象的地方还需要进一步的想象和理解。
3.2 强调知识点的转换与衔接
线性代数这门课的知识点是比较多的，但是我们上面已经提到，这些知识点与知识点之间的联系是比较紧密的，我们可以把这些知识点联系起来，构成一个知识体系，使知识点之间能够统筹起来，让自己的综合分析能力得到提高，从而提升自己的解题能力。我们在学习的过程中，要把知识点前后连接起来，形成一套完整的知识体系。从内容上看，这些知识点之间的联系是相当紧密的，有时候一个知识点的学习得使用之前的知识点进行连接贯通，，他们之间是相互渗透，纵横交错的，所以在解题的过程中也有很多的方法可以进行选择，这些都是灵活多变的，我们在学习过程中不能够只是用一种方法阶梯，这样会使效率变得很低，达不到自己的要求。尤其是在线性代数这门课的学习中，应该将其中知识点的转换与串联进行灵活掌握，这样才能在做题中快速的想到解题思路，提高做题速度，从而得到高分。[4]
3.3 叙述的表达能力需要锻炼，逻辑思维能力需要提高
学生在线性代数的学习过程中，一定会碰到很多的证明题，这些证明题在证明的过程中一定会遇到语言叙述方面的问题，不要小看这些文字叙述，他们在考察叙述能力和逻辑思维能力方面是很强的。在证明时，首先得把解题的思路想出来，至于怎样想的就需要对逻辑思维进行考察，当把解题思路想出来后，紧接着就是如何把自己的思路用简洁明了的话语叙述出来，这就用到了我们的叙述表达能力了。[5]所以在学习线性代数的时候，对于表达能力和逻辑能力是需要特别的能力的。学生在不断地证明一道题之后对于里面设计到的一些知识和概念也会随着做题量的增加而更加熟练更加游刃有余的。
关键词：独立学院；线性代数；教学改革
中图分类号：G4 文献标识码：A
文章编号：1672―3198（2014）16―0117―01
《线性代数》课程与《微积分》一样，都是大学数学最重要的基础课，如何教好、学好《线性代数》一直是学校领导、老师比较关注的问题。
与《微积分》相比，《线性代数》的内容相对较少，知识点没有那么琐碎，同时要记的定理和公式少得多，这是学习这门课的容易之处。但另一方面，这门课更加抽象，入门更难。
独立学院的学生层次介于本专科之间，数学基础一般，计算能力较差，逻辑思维不强，更重要的是自觉性比较差，学习积极性不强。在这种环境下，怎样教好《线性代数》，使学生顺利入门就成了任课老师必须要思考的问题。
目前国内对《线性代数》教学改革方面的研究大多是从《线性代数》这门课程整体的层面进行分析的，而对于更加具体的课堂教学方法的研究还比较少。本人从事《线性代数》教学工作多年，结合教学过程中的体会，谈谈《线性代数》课堂教学方法改革的一些认识。
1采用问题式教学，注意选择题的使用
前苏联教学论专家马赫穆括夫创立的问题教学法认为，问题教学是一种发展性教学，让学生带着问题去学习、去思考、去寻找答案。
《线性代数》中有些知识点比较难以掌握，同学们容易混淆记错，而选择题的特点之一恰是以似是而非的多个答案布设“陷阱”，引诱学生肤浅地作答，考查学生拨雾明理的能力，明辨之才能掌握，所以在讲解易混淆的知识的时候，可以有意识地设置一些选择题，让学生通过辨析去掌握它。
例如，在讲解已知A2+A-7E=0求证A+3E可逆这类问题的时候，要用到矩阵乘法的左右分配率，这里会有很多学生会出问题。学生在做到A（A+3E）-2（A+3E）=E这一步时，接下来就要提公因式A+3E，到底怎么提，是（A-2F）（A+3E）=E还是（A+3E）（A-2E）=E呢？很多学生会在这里犯错误，错误的根源在于不熟悉矩阵乘法的分配率。这时我会先让学生看一下左右分配率，然后给出一道选择题：下列哪些选项是正确的（）：
（A）AB+AC=A（B+C）
（B）AB+AC=（B+C）A
（C）AB+CA=A（B+C）
（D）AB+CA=（B+C）A
（E）BA=CA=（B+C）A
（F）BA+CA=A（B+C）
由矩阵乘法的左右分配率知（A）、（E）分别满足左、右分配率是正确的，（C）、（D）两项的A不在同一侧不叫公因式，通过这个题目，学生就会对乘法分配率有一个新的认识，再使用分配率时，就不易出错。
2采用联系式教学
在讲解知识的时候，注重与原先学过知识的联系，找出异同点，这样可以提起学生的学习兴趣。
例如，在讲解求解矩阵方程AX=B时，学生往往搞不懂怎样去掉系数矩阵A。在讲这一问题时，我先列出一个方程2x=6让大家计算，这一题目非常简单，同学们都说两边同除以2，得x=3。这时我会引导说：在这个计算里只能用乘法，不能用除法，因为矩阵运算没有除法，大家又会说方程两边同乘以2-2。
同样解矩阵方程AX=B求解X的话也要去掉系数A，问题是两边怎样同乘以A-1，这样我又会设置一个选择题供学生选择：下列哪个选项是正确的（）：
（A）A-1AX=BA-1
（B）AXA-1=BA-1
（C）A-1AX=A-1B
（D）AXA-1=A-1B
由于矩阵的乘法运算一般不满换律，所以在方程两边同乘以某矩阵时只能在同一侧乘，故选（C）。
通过这一问题，使大家对矩阵方程的解法理解更加深刻，记忆也更加牢固。同理，同学们也学会了XA=B的解法。
3采用娱乐教学，利用好课间时间
在教学中还要充分利用好课间休息的时间，虽然课间休息只有短短的5分钟，但如果利用好了也能起到很好的效果。之前的教学中我发现，一下课，学生就会趴在课桌上，一脸疲惫，无精打采的样子，下节课的学习效率也不高。后来我改变策略，在课间休息的时间，我通常会放一些搞笑的视频，让同学们哈哈大笑一番，上节课的疲劳一扫而光，精神饱满地投入到下节课的学习中去。
通过两个学期的实践，学生对这种方法反映良好，其中测评的时候，学生对我的评语中有“能把复杂问题简单化”、“提起学生学习兴趣”等肯定性的语句。期末考试所有班都全部通过，未发现不及格现象。甚至于后来，我在教《微积分》的时候还有学生接受师兄师姐的推荐来向我请教线性代数的问题，而所问的一般都是我当时采用一些方法讲解的知识点。
参考文献
[1]赵燕.独立学院线性代数教学改革初探[J].中国石油大学胜利学院学报，2011，25（4）.
[2]王志华.独立学院线性代数教学改革的实践与思考[J].高等数学研究，2012，15（6）.
[3]孟丽娜等.线性代数教学改革的实践与探索[J].数学教学研究，2009，28（8）.
[4]贾云涛等.独立学院线性代数教学改革的几点思考[J].中国科教创新导刊，2013，（13）.
[5]姚琼等.独立学院“线性代数”教学改革新思路[J].长春理工大学学报，2011，6（3）.
关键词：线性代数；教学次第
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）17-0119-02
线性代数课程属于代数的范畴，研究对象是有限维空间的线性理论，特点是概念多且抽象，概念与概念之间又有错综复杂的联系。很多教师讨论了怎样进行教学内容与教学形式的改革，怎样培养学生的应用意识，怎样培养学生应用MATLAB等数学软件的能力，致力于解决培养适应各种专业的人才，做出教学改革上的思考。但是，如何进行落实？线性代数乃至整个数学的教学目的，都是让学生具备数学的思想，培养数学的思维，掌握数学的方法，并能学以致用，达到这一较高的目标并不容易。笔者认为，需要在教师的教学和学生的学习上有次第。
一、线性代数教学的第一梯次
笔者认为，线性代数教学的第一梯次应该是讲清楚线性代数的理论、方法和计算，让学生课上能听懂，初步领悟线性代数的理论、方法并会进行相应的计算。而要做到这一点，根据笔者这几年的教学经验，认为就是要把线性代数的概念、性质、定理、推论、方法、计算、应用等几个方面讲清楚。具体论述如下：①对于概念，应从概念的引入，概念的内涵、外延，概念和概念之间的区别与联系，新旧概念所形成的知识链几个方面来讲解。这里需要选择恰当的引例、准确的语言、各种情况下的例子及与前面概念的区别与联系的认识，等等。例如，向量组的秩可以用线性方程组的独立方程的个数来引入，[1]即讨论表示方程的行向量之间的线性相关性，说明方程组中独立方程的个数由谁来确定，从而给出向量组的秩的概念。从实例引入向量组的秩的概念，也就是知道这个概念的内涵之后，说明它的外延，即举例说明向量组的秩。有几种情况：一种是只有零向量的向量组，一种是一般的向量组，即极大无关组包含的向量的个数少于向量组所包含的向量的个数，还有一种是向量组本身就是线性无关的，即向量组是其本身的一个极大无关组，即极大无关组包含的向量的个数等于向量组所包含的向量的个数。要描述向量组的秩的概念，就得了解向量的线性表示、线性相关（无关）和极大无关组的概念，这是一条知识链。即：向量的线性表示 线性相关（无关） 极大无关组 向量组的秩。[2]另外，了解向量组的秩的概念与前面学过的矩阵的秩在概念上的联系，是需要讨论的。②性质。性质当然不是凭空而来，它是由概念推导而来的。但是，人们是怎样想到性质的呢？当然也不是凭空想到的。例如，矩阵的运算规律。前面学习了矩阵的线性运算、矩阵的乘法，与数的运算作为类比讨论了他们的运算规律，到了矩阵的转置运算，就想到转置的转置是什么，加入线性运算后就得到两个矩阵相加后得到的矩阵的转置是什么，一个数乘以一个矩阵后得到的矩阵的转置是什么，加入矩阵的乘法就得到两个矩阵的乘积所得到的矩阵的转置是什么，对于矩阵其它运算的性质也是类似的。再比如，逆矩阵的运算规律。首先，是一个矩阵的逆矩阵的逆矩阵是什么，加入线性运算得到的性质，加入矩阵的乘法运算得到的性质，加入矩阵的转置运算得到的性质，加入矩阵的行列式运算得到的性质，加入矩阵的伴随矩阵的运算得到的性质。③对于定理和推论。所谓定理是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题。所以对于前人提出来的每个定理，都要进行证明，这样能让学生更好地理解定理的内涵和它的应用。④对于方法、计算。讲完了基本的概念、性质、定理、推论后，应该引入具体的计算方法。但是方法、计算的讲解是要以前面的这些要素作为基础的。应该让学生在理解了这些概念之后，也就是在头脑中对这些概念、性质、定理等有印象了以后，再来理解这些计算的方法。例如，利用矩阵的初等行变换来求一个可逆阵的逆矩阵。这个方法的推导用到了初等阵的概念，用到了初等阵是初等变换的矩阵表示这一定理和任何一个可逆阵都可以分解成有限个初等阵的乘积这一定理，用到了分块矩阵的乘法，等等。只有把要用到的知识都讲清楚、讲明白，方法自然就顺理成章地推导出来了。⑤对于应用。一般的线性代数的教材上具体应用的实例都很少，大部分都是在讲理论与方法，但这是基础。由于学时很紧，在课堂上能把理论与方法讲好已经很不容易。但是，如果只讲理论与方法，会使学生觉得课程太过枯燥，而学习的目的很大部分是为了学以致用，所以适当地列举一些简单的应用实例，是必不可少的，如逆矩阵在对明码加密中的应用等。总之，把这些方面讲清楚是教学的基础，要想使学生更容易接受，还得在讲课思路和教法上下功夫。上述内容，是笔者对线性代数第一梯次的认识，这些都可以在课堂上实现。
二、线性代数的第二梯次
笔者认为，第二梯次应该是第一梯次的升级，即熟练掌握各种概念、性质、定理、计算，更要掌握知识与知识之间的各种联系，这就需要大量的习题训练，从单一的知识点的运用，到复合的知识点的运用。这时，考研题是很好的选择。在课堂上，可以适当地举一些例子，但大部分的训练还是需要学生课下去做的。
三、线性代数的第三梯次
笔者认为，第三梯次是知识的应用，这就需要数学建模的训练，可以从一些简单的数学建模的练习题开始，锻炼学生运用知识、解决实际问题的能力。同时，还可以锻炼学生应用MATLAB来解决线性代数中的计算问题的能力。对于MATLAB的训练，可以建立一个基于MATLAB的《线性代数实验课程》的GUI平台。便于学生的操作和教师的演示。[3]数学建模不仅可以使学生更好地理解引入概念的意义，更能在解决问题的过程中更好地理解线性代数的理论和方法。更深刻地认识线性代数乃至整个数学学科。
四、线性代数的最高境界
线性代数的最高境界应该是创新思维、创新能力的培养。要做到这一点，应该了解代数的起源、现状，才可以把握未来的发展动向。当然，这一目标的实现，需要学生多读一些课外的读物，广泛涉猎综合性的知识。
综上，这是笔者对线性代数教学次第的认识与思考。任何一种教学都是需要有次第的，只有有次第的教学才能使教育真正落到实处，才能让学生在学习上获得更多真实的利益。
参考文献：
[1]杜红等.线性代数（第一版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[关键词] 线性代数 抽象思维 线性相关性
一般的工科《线性代数》课程主要包括线性方程组、行列式、矩阵、向量、特征值与特征向量、向量空间与线性变换、二次型等几部分内容[1]。在教材中各部分内容均可独立成章。从而造成线性代数教材可以用不同的方式去组合各个专题展开课程的内容。因此学生很难自发深刻地体会到彼此之间的联系。此外，线性代数课程所具有的高度抽象性也常常使学生望而生畏。针对这些情况，已有不少作者发表了关于怎样学好线性代数的一些文章，可参考文献[2-5]。
在长期的教学实践当中，本文作者发现在对书本知识经过一番必要的解释之后，再从教材的理论结构这一大处着手，半句妙语，提纲挈领，往往胜于千言。因此，针对线性代数课程抽象枯燥的特点，提出了强调教材结构体系的方法。从而将线性代数各部分有机地联系到一起，以使学生对线性代数课程有一个整体全面的把握。
寻找线性代数的理论结构，需要注重局部和全局的关系。线性代数是一门高度抽象的课程，如能从高处以更广的视野对教材的内容进行审视，或对内容进行一种全局性、宏观性的概括，就可使学生的学习有明确的目标意识，而纷繁多头的知识点也就会呈现出清晰的主干脉络和条理性，达到事半功倍的效果。线性代数具有很多种理论层次结构。本文试图从如下几个方面来理解线性代数的理论结构。
一、线性代数的理论基础来源于解线性方程组
最初的线性方程组问题大都来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。展开知识的发展过程就是这个问题的解决过程。所有枯燥的理论都是从这里生长的。在学生明确了学习的目的之后，很自然的就可以回忆起高中解二元一次线性方程组的方法――消元法。那么在大学里，我们将要解决的是所有含有有限个未知量的线性方程组。熟话说：工欲善其事，必先利其“器”！而行列式和矩阵正是我们研究线性方程组的两个“器”。首先，为了求解方程的个数与未知数个数相等时的线性方程组，引入了行列式的概念，进而讨论其性质，利用他们得到了解这类线性方程组的优美的克莱姆定理。其次，对于方程的个数与未知数个数不相等时的线性方程组，引入了矩阵这一工具。而前者可以统一到后者之中。学生在明白了这一简单的理论架构以后就知道自己为什么要学习行列式和矩阵了。参看下面的图1。
图1表明了求解线性方程组时所用到的两种工具。
二、线性代数的重要内容――矩阵
矩阵或者说增广矩阵就是把一个线性方程组最重要的信息提炼出来。这是学生在线性代数的学习中将要遇到的第一次抽象。这一问题的转化过程是通过一一对应实现的。因此矩阵来源于线性方程组。但是矩阵作为线性代数中一个崭新的概念，随着矩阵理论自身的发展，它又是高于线性方程组的。这句话不是很好理解，打一个譬如。如果我们把线性方程组看作“道”，矩阵是另外的“道”。那么矩阵这个“道”是可以用线性方程组这个“道”来描述的，但又不仅仅是线性方程组这个“道”的平常意义所能包涵得了的。很熟？对！就是“道可道，非常道”那句话。事实上，我们的线性方程组这个“道”也是来源于现实生活中更具体的“道”------“道”法自然。而矩阵那个“道”也可以用诸如向量组，向量空间等更高级的“道”来抽象。像这样一种不断的用“道可道，非常道”抽象上去的理论结构的强调对学生抽象思维能力的培养是很有好处的。参看下面的图2。
图2揭示了线性代数课程的某一种理论层次结构：表明了从线性方程组到子空间或极大线性无关组的不断发展抽象的过程。
三、矩阵――广义的数
矩阵的定义是一个数表，但是也可以理解为数的概念的一种推广。因为矩阵也定义了加减乘等运算，对于可逆矩阵还有求逆的运算。特别地，对于一行一列的矩阵来说就是我们通常意义的实数或复数。所以，用这个思路来理解矩阵这个概念就会觉得很自然。另外要注意的一点就是矩阵做为一种新的广义的数，当然具有一些自己独特的性质。如矩阵乘法的交换律，消去律等等已经不再恒成立。这些正是学生需要加以学习和辨认的。当学生对数的概念放宽以后，就可以继续说线性变换甚至更广的函数都是数的概念的推广。从而形成对数的认识发展的理论结构。或者说另外的一种“道可道，非常道”抽象上去的理论结构。参看下面的图3。
图3表明人类对数一种认识的过程。
四、矩阵的核心――矩阵的秩
矩阵的秩是一个较难消化的概念，但又是一个非常重要的概念。对矩阵的秩的理解直接影响到对整个教材的理解。在学生通过学习由K阶子式所导出的矩阵的秩的定义之后，把求矩阵的秩转化为求阶梯形矩阵非零行的行数显得很重要。对于一个具体的线性方程组来说，其所对应的增广矩阵的秩就是方程组中“有用”的方程的个数。也就是说，其增广矩阵对应的阶梯形矩阵中的零行所对应的方程组中的线性方程的存在与否对方程组的解没有任何影响。即零行对应的这些线性方程是“无用的，表面的”！因此通过化矩阵为阶梯形求矩阵的秩的过程，实际上就是对线性方程组的一个化繁为简的过程，去粗取精的过程！这样一种结构事实上就是在线性方程组的集合与矩阵的集合之间建立了一种一一对应的关系之后，把对线性方程组的研究彻底的转化为对矩阵的研究。这是进行数学研究的根本方法。
五、初等变换――“照妖镜”
在用消元法求解的过程当中，我们会用到初等变换。此时，初等变换把一个方程组变成同解的另外一个方程组，在这个过程当中，原方程组形式上变得简单了，但是方程组的解集合不会改变。在把矩阵化为阶梯形矩阵的过程当中，我们同样会用到初等变换，此时矩阵形式上也变得简单了，但是矩阵的秩不会改变。而从阶梯形矩阵我们一眼就可以看出矩阵的秩。所以线性代数用一句话来说就是研究线性方程组，矩阵，向量组，以及二次型等等在初等变换下不变的那些性质。这样一种结构就能把各个知识点串起来，让学生达到融会贯通的效果。
六、两个重要概念――线性相关与线性无关
线性代数里面有很多重要的概念，线性相关与线性无关无疑是其中的两个。这里，一个简单的命题是含有零向量的向量组线性相关。因为我们可以取零向量的系数为1，其他向量的系数为零，从而得到一组不全为零的组合系数。这个命题的逆命题显然是不成立的。与此同时，在各种版本的教材中还会有这样的一个定理：一个向量组线性相关等价于该向量组中存在一个向量被其余向量线性表示。我们说能够被其余向量线性表示的向量在某种意义上在这个向量组里面是多余的或者说没用的――在线性方程组里，去掉这个向量所代表的那个线性方程对原方程组的解不会有任何影响，而在某个矩阵里，去掉该向量所代表的行也不会对矩阵的秩有任何影响。在这样一种意义下，我们甚至可以把这样的向量――能够被其余向量线性表示的向量――看成零向量。因此，线性相关的向量组表面上不含有零向量，但本质上还是含有零向量的。认识清楚这一点，我们就可以透过现象，看到本质！从而也能得到线性代数中另外的一个理论结构。那就是从任何一个向量组出发，通过反复去掉其中多余的向量――能够被该向量组剩余向量线性表示的向量，我们可以得到原向量组的一个极大线性无关组；而通过反复添加多余的向量――能够被该向量组线性表示的向量，就可以直达向量空间这个概念。
七、矩阵的应用――二次型
大部分教材最后一部分往往涉及到实对称矩阵的一个应用，即利用已经得到的有关实对称矩阵的对角化的理论，来化一般二次型为标准二次型。因此纵观整个教材，很好的体现了从实践上升到理论，最后又用理论来指导实践这一创造美好世界的原则。参见图1.
图4为线性代数课程的另一种理论层次结构：表明理论来源于实践（指从解线性方程组中所得到的矩阵理论）之后又可以用于指导实践（指用矩阵理论解决二次型的标准化问题）的哲学思想。
扎根于对教材的深入理解，能得到许多的理论层次结构。既有关于整个教材的，也有关于某个知识小块的。许多结构都还有待于我们去继续发现。本文旨在起个抛砖引玉的作用。鉴于各种抽象的过程，借用《道德经》里面的一段话来结束全文：道可道，非常道，名可名，非常名。无，名天地之始，有，名万物之母。故常无，欲以观其妙；常有，欲以观其缴；此两者，同谓之玄。玄之又玄，众妙之门！
参考文献
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[2]张军，戴霞.浅析注重思维培养的线性代数教学方法[J].高等教育研究，2007，24（4）：29～31
[3]李佩泽.对线性代数中线性方程组教学的实践和体会[J].高等教育，2007，14：21～23
[4]丁巍.浅谈“线性代数”教学中的美育[J].高等数学研究，2008，11（4）89～90
线性代数高素质教育存在问题解决措施一、前言
线性代数是我国高等院校工科专业中的一门基础的数学学科，通过线性代数的学习，可以培养和提高学生思考问题、解决问题的能力，教育部将其列入重点评估课程，可见线性代数在高等院校数学教育中的重要性。计算机技术的进一步发展，使得线性代数的重要性更加突出。随着高等教育规模的不断扩大，如何保证高校人才的教育水平成为了当今高校教育的巨大挑战，而线性代数无疑首当其冲，线性代数面临着各种各样的问题，不仅存在着学生方面的问题，而且在学校方面更存在着非常严重的失误，以下是对高校数学当中非常具有代表性的一科――线性代数，做出了问题分析并提出几点改进的建议。
二、线性代数在高校数学教育中遇到的瓶颈
1.传统教学内容的设置不合理
目前线性代数教育仍然处于新旧交替的阶段，很多陈旧的教材中的内容仍然是处于应试教育的框架，重点在阶梯方法的传授而不是对数值的计算和对数学本身的现代应用。同时，教材中很多的问题还处在上世纪七八十年代的水平，其中不仅包含的信息量不多而且也完全与现代生活脱节，更无法使用现代数学的方法提供解题思路，使得学生们无法真正具有学习线性代数的学前基础，进而导致对相应的知识无法牢固掌握。
2.传统教学目的占主导
由于长期以来受应试教育的影响，学生的学习成绩被当作是教师教学水平的唯一衡量标准，教学的目的也从教书育人变成了如何让学生在考试中取得好的成绩，忽视了培养学生寻根溯源的学习思想。而老师在讲解公式的时候也对方法欠缺指导，教学当中重结果、轻过程的做法泯灭了学生的求知欲。在线性代数的教学过程中，更多的老师习惯通过“用题讲点（知识点）”的方法教育学生以此减少教学压力并且提高教学成绩，不能变通地完成学习计划，其结果只会培养出缺乏个性的学生，进而也就无法适应社会变化发展的需要。
3.教学模式较为单一
教学模式的落后和单一也导致了线性代数无法达到真正的教学目的，目前的线性代数做的是单一的灌输式教育，以教师的讲授为主，学生的学都处于被动接受的状态，师生之间缺乏应有的学习互动导致了本应是双向反馈性质的学习变形成为单一的灌输，所以无法达到学习线性代数应有的效果。还有更多的老师讲授过程中只是单纯的从书本到书本，生硬地隔断了数学与现实生活的联系，让其成为了一个空中楼阁，使其脱离生活实际，从而让学生觉得学习枯燥无味，也体会不到数学在解决现实生活中的巨大作用。实践证明线性代数具有很强的抽象性和严谨的逻辑性以及结论的确定性，这也决定了学习的难度，更要求了老师要不断地更新教学方式，以学生的角度充分调动学生的学习自主性，真正培养学生的主体积极性，只有这样才能提高线性代数的教学水平。
三、解决线性代数教育问题的方法及策略
学生才是学习的活动主题，学习和老师都是教学的外在条件，教师的教授只有通过学生的学习才能体现出教学效果，因此必须要改变传统的师生角色，让学生反客为主，唤起学生自主学习的主体意识，培养学生的主动学习能力。
每个学生的特点和学习基础都是不同的，因此因材施教变得十分重要，实施分层的教学方法是针对学生数学基础参差不齐而且差别较大的特点决定的。分层教育应当做到全过程的分层准备，从备课到课堂练习和作业测验，逐一进行分层，使得好学生不会被拖后腿，中等学生能够听懂课程，学习成绩较差的学生有基本的学习兴趣，并要时刻注意对各个层次的学生给予不同的鼓励以增强学生的信心，是不同层次的学生各有所得，在不同程度上得到进步。
实施以学生为主题的阶段式教学方法，从学什么到怎么学再到怎么用三个层次进行教育。第一步进行目标铺垫，即提出教学目标；第二部展开讨论，在课堂上互动双向解答疑惑，合作学习引发导论并互相做出评价；第三部是整个学习过程中的关键，这一步将学过的知识归纳并加以扩展，通过扩展和展示学过的知识激发学生的学习主体性。
通过调查发现，学生真正出现的问题并不是智力因素，而是平时没有养成良好的生活学习习惯和作息规律，上课的时候不专心听讲，注意力不集中导致了计算的准确率极低，课后学生懒惰没有长久的学习热情，不做练习导致知识没有得到扎实的巩固。所以在整个教学过程中应该在学生的学习习惯和学习方法上多下工夫，最主要的是要培养学生主动学习的学习兴趣，将学生感兴趣的事例引入课堂，如在生活中与线性代数有关的数学问题等，这些知识都和学生的现实生活息息相关，这就增强了学生学习线性代数的目的性、主动性和趣味性。
四、结束语
线性代数作为高校数学科目中的一门应用性非常广的基础课程，从开设的现状到现阶段出现的问题应当从教学目标、教学内容、考核评价和教育原则等方面做出相应的改进。通过线性代数的学习，可以逐渐使学生具有独立的逻辑推理能力和空间想象能力，从各个方面锻炼学生的自学能力。通过发现线性代数中的教育问题进一步反映出了线性代数等一系列基础学科的教育问题，不仅应单纯从教育方式进行改变，更应从更高的教学内容和教育体制改变对学生的脱节知识灌输，变被动为主动，才能真正让学生做到真正的提高，为社会培养全方位综合能力强的高素质人才。
参考文献：
[1]湖北经济学院经济数学教研室.线性代数[M].武汉：武汉工业大学出版社，1997.
[2]吴天毅.线性代数教学内容改革的研究与实践[J].天津轻工业学院学报，2003，（18）：45-47.
关键词 线性代数；高效课堂教学；教学策略
中图分类号：G642.4 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2013）03-0110-02
Efficient Teaching Searching of Linear Algebra//Zhang Limei， Xu Meichun
Abstract For the problems of abstract contents， strong logic， difficult understanding and applying of Linear Algebra， the paper gives some methods of implementing high efficiency of teaching that improving interests of teaching and strength the system of knowledge， so that getting high teaching efficiency.
Key words linear algebra； high class efficiency； teaching strategy
1 前言
随着科学技术数学化和计算机的广泛应用，线性代数在现代科技发展中起着越来越重要的作用，尤其在计算机、通讯、电力、经济、生物、控制系统及管理科学等领域有着广泛应用。对大学生来说，线性代数是高等院校理工科专业及部分文科专业的数学基础课，它不但是学好后续课程的基础，而且是将来从事实际工作的重要数学工具。然而，如此重要的一门课程，在实际教学中却存在以下问题：
1）由于该课程概念、性质、定理多而抽象，逻辑性强，加之大量复杂的数学符号[1]，致使学生的学习存在困难；
2）该课程内容多，课时少，致使多数教师只忙于理论知识的讲授，而忽略了线性代数其广泛的应用性，学生感到乏味无趣，更是难以学以致用。
针对以上问题，在实际教学中势必要求教师要高效地教，学生要高效地学，实施高效课堂教学。为此，笔者认为应从以下几方面进行探索。
2 提高课堂教学的趣味性，使学生喜欢线性代数
2.1 将晦涩难懂的理论与形象生动的实际问题相结合
学有所用是激发学生学好一门课程的关键。然而线性代数的内容大多较抽象，学生往往感觉看不见、摸不着、枯燥乏味，更难以体会到学以致用的乐趣。
事实上，线性代数并非那么深不可测，其应用性渗透到了生产、生活中的众多领域。如奥运场馆鸟巢的受力分析、构造一份减肥食谱等，均会用到线性代数的知识。因而，教师可以将生活中的实例贯穿到课堂教学中去。比如教学中若干抽象概念的引入可以利用这些浅显易懂的实际问题，其相关理论知识也可进一步从实例中建立起来，并可引导学生利用这些理论为实际问题构建模型等。比如，线性方程组概念的引入、相关理论及求解方法可以通过一个国民经济部门的投入产出分析实例来展现。先编制棋盘式的投入产出表，然后建立相应的线性方程组，再利用系数矩阵将其解出。整个问题的解决离不开线性方程组（从概念到求解），让学生一目了然，看得见，摸得着，亲身体会到这些知识的重要性及使用价值。
再比如，“矩阵”是线性代数中贯穿始终的一个重要概念，可以借助于形象的图像来引入。在图像处理中，一张图像如人脸在计算机中通常用矩阵来表示，而图像处理的若干方法也涉及到矩阵的运算[2]，如两张图像的叠加可以通过矩阵的加法得到。如图1中的图像0.5lcu+0.5logo是由图像lcu与图像logo所对应的矩阵相加得到的，在教学中可以使用多媒体形象生动地展示给学生。这样学生不但加深了对知识的理解，知道了它们是“从哪里来”以及“到哪里去”，而且真正地做到了活学活用。
值得注意的是，在选用实际问题时，要考虑到学生的接受能力，不同专业、不同基础的学生应选用不同实例，实例要浅显易懂，以提高他们的学习热情，使他们充分体会到学以致用的乐趣。
2.2 将传统教学方式与现代化的教学方法相结合
线性代数内容多，课时少，为授完课程，多数教师采用传统的讲授式教学，这种一成不变的教学方式缺乏创新，难以调动学生的学习热情和积极性；而且容易助长学生的惰性，使学生习惯于被动地接收，懒于思考问题，严重影响了教学质量。
兴趣是最好的老师，也是促使学生学习的动力。新颖的教学方法能够强烈刺激学生的好奇心和新鲜感，提高学生的学习兴趣。因而，在线性代数的实际教学中应敢于使用不同的教学方式，激发学生兴趣。比如在讲授“矩阵乘法”时可以采用探讨式教学方法。先不给出矩阵相乘的概念，而是让学生自己定义两矩阵相乘的计算方式（若课堂时间不够，可以以课外作业的形式），然后再阐明与教材中的定义方式的不同，这样自然会加深学生对这一重要运算的理解，同时开阔了学生的思维方式。
另外，也可采用研究式教学，讲述知识的原始发现过程，激发学生的创新欲望等。如引入行列式概念时，首先用消元法求解二元、三元方程组，然后分析解表达式中系数与常数项的关系，从而看出需要定义一个新的概念来简化这种解表达式。这样自然地定义出了二阶、三阶行列式。从而使学生充分体会到数学概念并非是凭空产生的，而且其产生过程往往也是漫长的、艰涩的。
当然为提高课堂趣味性，除了以上介绍的方式，在实际教学中还可以插入一些与该课程有关的，同时能启发学生思考，拓展学生视野的元素来调节课堂气氛，调动学生热情。总之，要寓教于乐、寓教于新、寓教于促进学生的学习兴趣。
3 注重知识的系统性，让学生“会学”线性代数
3.1 沟通各知识点之间的联系，一通百通
线性代数的主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、向量与向量空间、矩阵的特征值与特征向量、二次型等，教材的安排通常是各部分内容相对独立，缺乏连贯性。学生学习时，难以将前后内容连贯起来，知识体系混乱，增加了学习难度。
为此，在实际教学时，教师要帮助学生在头脑中形成脉络清晰的知识体系，必要时可以改变教材内容的讲授顺序。事实上，线性代数的各部分内容均可以矩阵为主线，将其联系起来。矩阵概念相对容易理解，可以首先讲述；线性方程组理论可以借助于矩阵来解答；向量实际上是矩阵的某种简化形式，其众多问题如秩等均与矩阵有密切联系；行列式主要用于判断向量组是否线性相关，而该问题往往对应矩阵是否可逆；最后，二次型的问题通常也是借助于矩阵来解决的。当然，在具体讲述时，将它们之间的联系画成知识结构图或表格进行描述会更直观，从而降低知识点的难度，便于学生理解和掌握。
3.2 勤归纳善总结，各个难点分散击破
几乎线性代数的每节课都有概念、性质及定理，内容繁多。在教学中，要勤归纳它们之间的联系与区别，这样学生不但复习了旧知识，而且对新知识的接受会更容易，使线性代数的学习变得更加轻松。对于学生最感头疼的各个难点，除了将处理这种问题的方法进行总结外，还要注意各个击破，避免增加学生困难，挫伤学生的学习积极性。
比如逆矩阵的计算，可以归纳出4种方法[3]：
1）定义法，即按照逆矩阵的定义等式AA-1=I求出逆矩阵中各个待定元素，此法计算量较大。
2）伴随矩阵法，即用公式A-1=A*/|A|求逆矩阵，因计算量较大，常用于理论证明或阶数较低矩阵的逆矩阵。
3）初等变换法，一般是在待求逆的矩阵上拼接单位矩阵，然后对它们同时实施相同的初等变换，将待求逆矩阵化为标准形，则对应的单位矩阵化成的矩阵即为所求的逆矩阵。
4）分块矩阵求逆法，通常是先将待求逆矩阵分块（一般可分为三角形矩阵），然后带入分块矩阵的求逆公式即可。
4 结语
线性代数是大学生必须具备的基础理论知识和重要数学工具，在教学中要努力克服各种困难，提高学生的积极性，引导学生掌握正确的学习方法，取得良好的课堂效果。总之，如何实施线性代数高效课堂教学已成为当前亟待解决的问题。培养学生的应用能力和创造能力，是目前数学教育改革的热点问题。因而，教师不但要传授知识，使学生掌握线性代数的基本知识、基本运算技能，更要培养学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，提高学生的学习热情，着眼于学生的未来发展，培养出高素质创新型人才。
参考文献
[1]张天德.线性代数辅导及习题精解[M].北京：新华出版社，2006：1-3.
关键词：形象化；线性代数，几何图形。
中图分类号G420
线性代数是大学数学的一门重要基础课，不仅将为学生后续专业课的学习打下基础，而且还可以培养他们运用数学思维解决实际问题的能力，同时也为部分学生学历晋升做必要的准备。因而理工科院校对线性代数的教学历来都十分重视。如何讲好这门课程，同样是数学老师关注和探讨的话题。本文结合自己多年教学工作的一点收获，就线性代数授课中引入直观化教学模式谈一些看法和感想。
1.1 多元化人才需求对线性代数教学赋予新任务
随着社会的进步，时代的发展，社会上用人单位对人才的需求也在发生变化，趋于多元化，更多的是由过去的“知识型”转变为“应用型”。走出校门的毕业生单有理论知识而不会应用，在社会上已经很难立足。为了适应这种变化，我们的教学方法也应该做出适当的调整，在保证学生学好理论知识的同时，培养学生对数学的兴趣。特别注重知识向能力的转化。
1.2 学生的实际特点对线性代数课提出新要求
线性代数这门课的特点比较抽象、枯燥。现行的线性代数教材多数是抽象地引出概念，尽管有时也从例子中引出，但是有的例子本身就很复杂，不好理解。对于习惯于中学学习方式的本科生来说，初学线性代数往往感到困难较大。他们虽然思维活跃、求知欲强，但抽象思维能力较差，不少学生在学习线性代数的过程中，只是形式上地接受、模仿、做题，没有抓住线性代数的本质，久而久之，对学习失去兴趣。或只是为了应付考试，学过了也不知道如何应用。造成这种情况的一个重要原因就是对抽象概念缺少形象的展示。因此如何将线性代数教学直观化、形象化，应做为一个有着实际意义的探讨话题。
1.3 线性代数直观化的教学模式探索
1.3.1挖掘相关定义和定理所隐含的实际背景
线性代数的许多概念都有其蕴含的背景。挖掘出这些实际背景，对学生学习将会有很大的帮助，使他们对抽象的概念接受不再感到枯燥乏味，而是真实贴切。比如讲矩阵的概念时，我们从方程组，运输问题，电路理论等引出概念，还加入了人们所熟知的田忌赛马【1】5-6的故事：春秋战国时期，齐王与其手下大将田忌赛马，双方各出上、中、下三等马各一匹比赛，在同等马中，田忌的马均处于劣势，但田忌的上等马可战胜齐王的中等马，中等马可战胜齐王的下等马。由于田忌采用了孙膑的建议，最后赢得了齐王的千金赌注。事实上，这是一个对策问题，在比赛中，齐王和田忌的马匹可以随机出阵，那么每次比赛双方的胜负情况就要根据双方的对阵情况来定。出阵的可能策略为：策略1（上、中、下）；策略2（中、上、下）；策略3（下、中、上）；策略4（上、下、中）；策略5（中、下、上）；策略6（下、上、中）。
如果齐王和田忌依次使用上面6种策略进行比赛，那么齐王的胜、负情况就可以用下面的矩形数表来表示。其中齐王采用的策略用横向行表示，田忌采用的策略用纵向列表示。
田忌策略
.
说明：策略1（上、中、下）表示按先后出阵的顺序派上等马、中等马、下等马。其他策略解释类似。每场比赛中，如果齐王的马匹三战全胜，则用数3表示；如果2胜1负，则用数1表示；如果1胜2负，则用数-1表示。
这个矩形数表就是矩阵。通过这些事例的引入，学生在趣味盎然的气氛中进入了矩阵知识的学习。
1.3.2用学生熟悉的知识对比讲解
学生对线性方程组的问题比较熟悉，从中学起就开始接触。线性代数中不仅行列式的概念可以从解线性方程组问题中引出，其他的概念，如矩阵、矩阵的秩，向量组的秩，向量组的线性相关性等问题。以至于矩阵的初等行变换都可以与解方程组的过程对照讲解。
例如在中学代数里，用加减消元法求解二元、三元线性方程组时，常需对方程组进行下列同解变形：
（1）交换两个方程的位置；
（2）用一非零常数乘以某一方程；
（3）把某个方程乘以一个非零常数后加到另一方程上去。
如线性方程组 ，
把第一、第二两个方程的位置互换，得
，
将第一个方程的-2倍加到第二个方程上，-4倍加到第三个方程上，得
，
将第二个方程的-1倍加到第三个方程上，得
，
再经过类似的变换得方程组的解为
。
而我们知道，方程组的解取决于变量前的系数和常数项部分，每个方程组都对应一个矩阵，因而方程组的每一次变换相当于对矩阵进行一次同样的变换，这样就轻松地引出了矩阵的初等变换的概念。即互换第任意两行；将某行各元素乘以非零常数 ；将某行各元素乘以非零常数 后加到另外一行的对应元素上。
1.3.3结合几何图形，使抽象问题形象化
以二次型的问题为例。把一个二次型化为标准型是线性代数的常见运算。为什么要化为标准型？实质上，化标准型的过程中，借助了正交变换【2】134-135。由于正交变换没有改变向量的模，从几何上看，只是将坐标系旋转，用二次型表示的图形本身并没有变化。而图形在新的坐标系下，其表达式是一个标准的解析表达式，其所表示的几何形状一目了然。例如直角坐标系 下，曲线 经坐标变换后在直角坐标系 下变为 ，显然所代表的曲线是椭圆。如图1所示，这样用几何的观点讨论二次型的问题，学生接受起来就不会感到茫然。
图1
1.3.4增加各知识点的相关应用，激发学生学习兴趣
行列式的应用除了人们所熟知的解线性方程组的问题，还可以应用行列式求三角形面积。如图2，要求三角形 的面积，设 ，则 ，而
图2
再如，求如图3所示的平行六面体的体积，
图3
设 ，则立方体的体积为 ，其中
再如特征值和特征向量的问题一直都是比较抽象的概念，学完后如何用一直困扰着学生，其实它的应用很多，例如判别系统稳定性的问题，人口增长问题，斐波那契（Fibonacci）数列问题，生物基因遗传问题，以及差分方程的问题、多元函数的极值问题等都可以使用特征值和特征值向量的有关知识来处理。以上内容可以在课堂上选取一二进行讲解，而可作为应用实例供学生课后阅读。
简而言之，根据笔者的感受，在抽象的线性代数中，引入了形象化、直观化的教学模式，无论是老师讲解还是学生学习，都会收到较好的效果。相信这种做法如果推广开来，不仅对线性代数，而且对其他的数学学科的学习，都是一个很好的借鉴。
参考文献：
关键词：应用型；知识背景；典型案例；数学建模
中图分类号：G623.5
高等院校线性代数课程是理、工、农、医、经管等学科的一门非常重要的基础课程。该课程具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的应用性。然而，由于种种原因，该课程的应用特色未能在教学中得到很好的体现，许多学生感受不到这门课程的重要性和应用价值。学生在学习中也经常感到困惑，原因在于大多数高校的线性代数课程学时偏紧，教学倾向于数学知识的灌输，轻视线性代数理论的产生背景，缺乏与实践相结合，这使课程成了一门抽象、冗繁而枯燥的课程。应用型大学重在培养学生应用能力，在教学中应重视知识的应用背景介绍，重视用实际的问题引发学生思考，重视学生对知识的应用。本文结合线性代数课程教学的实际，探讨如何通过强化应用特色来提高线性代数的教学质量。
一、在线性代数教学中强调应用的必要性
（一）线性代数教学目的的变化
计算机的广泛应用和计算技术的飞速发展，使科学计算和数值模拟已成为各个学科的必要工具和常用手段。这不但对大学生的数学建模、科学计算和信息处理能力提出了新的要求，而且也将使大学数学的课程内容和教学手段带来变化。线性代数教学的目的，不仅要使学生掌握必要的知识，更重要的是使学生了解它的概念、模型、思维方式及解决问题的思想方法，掌握其精髓，形成解决实际问题的能力。这就要求线性代数的教学不能只停留在理论层面上，要着眼于学生的后续发展，将线性代数和学生的专业背景紧密联系起来，逐步培养在其专业内使用这一数学工具的习惯。
（二）应用型人才培养的要求
应用型本科院校其培养目标和培养模式与研究型大学是不同的，研究型大学的学生数学基础好、能力强，他们对人培养的目标要求较高，因此强调理论性，加强数学素养的培养，教授更多的数学理论。而应用型本科院校，在使学生掌握基础知识之上，重在应用知识，因此需要结合人才培养的实际需要选择教学内容和教学方式。有些学校已经做出了改革尝试[1]，有的侧重于借助数学软件平台，将数学知识应用于解决实际问题；有的侧重于介绍课程相关理论知识，介绍了基础数学知识在某相关领域的一些应用。
（三）线性代数改革的需要
学生们普遍觉得“线性代数”课程抽象、枯燥、难学并且和以前的数学知识基本没有联系，从而学习起来比较困难。许多学生感到无从着手，从而失去了学习线性代数的兴趣，更缺乏进一步深入研究的愿望。这就更难希望他们把线性代数知识应用到他们以后的工作学习中。如何激励学生学习线性代数，并能创造性地应用于工程等各相关专业的问题，是一个亟待研究和解决的重要任务。对于非数学专业的学生来说，学习数学的目的在于实际应用。如何恰到好处地结合一些例子让学生明白抽象概念的实际意义，掌握理论和方法，培养其分析问题，解决问题的能力，是线性代数教学改革的关键。
二、在线性代数教学中强调应用性的途径
（一）重视知识的应用背景介绍，使学生了解知识的来龙去脉
线性代数概念较为抽象，许多学生在学习线性代数时，就只会一味的解题，对这门课程的主要内容、相关背景不做了解。这样很容易使学生一味的为了做题而做题。为了避免这种现象，有必要在介绍理论知识的同时，适当的增加线性代数相关的历史、背景及发展现状的介绍，讲述一些具有想象力、创造力的故事。这样有助于学生在轻松的环境下了解知识点的来龙去脉，在对概念进行
理解的同时，还有利于拓广他们知识面，提高他们的数学修养。
在课堂教学中，要尽可能的以应用实例来引入矩阵、行列式、特征值等数学概念。如，通过考虑运动会成绩记录和奖金计算问题引入矩阵的概念和矩阵运算；通过计算机图形学中的图形变换引入矩阵乘法运算；通过行星轨道计算问题和化学方程式配平问题引入线性方程组的求解问题；通过信息编码和解码问题引入逆矩阵概念和矩阵求逆方法；通过几何向量关系和化学成分结构讨论向量的线性关系；通过传染病问题和生物种群的发展趋势引入特征值与特征向量概念，讨论特征值和特征向量相关的理论；通过行星椭圆轨道的半轴计算和化工机械冷却过程中温度分布问题引入相似矩阵和矩阵对角化概念等。
而且，要尽可能寻找与学生的生活息息相关案例来引入线性代数的概念。例如，可以通过这样的例子来引入数学建模中的层次分析法以及矩阵特征值的概念和计算：一位大四学生正从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素是发展前景，经济收入、单位信誉、地理位置等。试建立模型给他提出决策建议。通过这样的实例，学生的理解就是，线性代数与自己的生活密切相关，而解决生活中这些问题的办法就是数学建模：将现实生活中的问题先转化为数学问题，再将数学问题转为能够应用自己的数学知识能够解决的数学问题，针对该问题求解，再将数学问题中的解反馈到实际问题中。这些实际问题的提出，引起了学生浓厚的兴趣，使他们看到了实际问题是如何和数学概念、理论联系起来的，看到了实际问题的数学表述的简洁，从而对数学的基本概念形成和应用有一定的了解，培养学生的创新意识。
（二）结合专业特点设计典型案例，激发学生应用知识的欲望
针对特定专业的学生，在教学中尽可能选择与专业相关的事例，展现如何从中提炼出数学概念，建立相关数学理论，如何用这些理论去解决实际问题，体现出用数学方法处理实际问题的优势。例如讲解线性方程组的例子时，面对经管专业的学生，从经济学上的“投入产出模型”引入线性方程组的概念；面对电子专业的学生，将电路中的基尔霍夫定律引入案例；而对生化专业，可以从化学方程式的配平的引入。这样可以让学生感觉到线性代数与自己的专业有关，很有用；其次建立方程组的过程，可以培养学生数学的建模能力。
下面是在给电工电子类专业的学生讲解线性方程组时，可以结合电路系统课程引入一个图-1的电路网络，根据已知电压和电阻值确定支路中未知电流。首先介绍基尔霍夫定律[2]：⑴ 每一个节点上流入的电流等于流出的电流；⑵ 每一个闭合回路中各元件电压的代数和为零。然后根据基尔霍夫定律进行建模。
图1 电路网络
建立并求解如上的方程组后可以引出一般线性方程组的概念，介绍方程组解的判定法则，解的结构等理论，针对学生的多元方程如何求解的疑问，适当地介绍适合于计算机运算的Seidel迭代法、Jacobi迭代法等近似的数值计算方法。
再如，对于经济、管理专业的学生，选择他们熟悉有用的案例。在工农业生产，经济管理以及交通运输等方面，经常要涉及使用或分配劳动力、原材料和资金等，而使费用最小、利润最大就是规划问题，而用方程组来解线性规划，就是解决这类问题的常用方法。
如：某企业生产两种产品，要用三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一种产品甲，需要三种原料分别为1，1，0单位；每生产一种产品乙，分别需要三种原料1，2，1单位；每天三种原料供应能力为6，8，3单位。又知道，每生产一件产品甲，企业利润收入为300元，每生产一件产品乙，企业利润收入为400元。企业应如何安排计划，使一天的总利润最大？
通过以上的实例，可以使学生充分认识到，线性代数在后续的专业课程学习中确实有许多重要的应用，从而激发学习的兴趣，一定程度上克服畏难情绪，引导学生将来在专业课程学习中主动应用所学的线性代数理论知识解决问题。
（三）渗透数学建模的思想，强化应用能力的培养
将数学建模引入线性代数教学可以激发学生学习的兴趣，调动学生运用知识分析、解决实际问题的主观能动性，使学生真正认识线性代数的实用价值。
完整的数学建模的过程包括模型准备，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析，模型检验，以及模型应用。但线性代数课程毕竟不是专门的数学建模课，因此我们在介绍一些应用案例的时候不求面面俱到，重点放在模型假设，模型建立和模型求解上，侧重点在于体现数学建模的思想，加深学生对抽象概念及相关理论的理解，从而增强教学效果，实现科学性、实用性、趣味性的有机统一。[3]
例如，在讲授矩阵的逆矩阵时，可以通过密码的编译及破译问题作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题；在讲授矩阵的特征值与特征向量时，可以通过Google搜索网页的排列顺序问题作为引入；在讲授正交矩阵时，可以通过结构化学中原子轨道的杂化问题作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题；在化二次型为标准形时，可以通过空间曲面（球面、椭圆抛物面及马鞍面等等）作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题。
把课堂教学和计算机操作结合起来，将复杂的线性代数问题简单化、具体化和形象化，培养学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识和解决实际问题的能力，同时也能保证了教学质量。借助数学实验课，培养学生用线性代数课程知识解决实际问题的能力。因此在课程中适当地引入Matlab实验教学可为学生今后应用该软件在工程、信息等领域进行计算、模拟等打下良好的基础。让学生在感觉到学有所用的同时，强化学生的应用意识，培养学生的实践动手能力，进而加深学生对知识的掌握和理解，增强学生的学习兴趣。[4]
（四）进一步完善网络教学平台，调整考核方式
目前，线性代数的考核方式是在规定时间内闭卷的方式进行的。考试对学生计算能力要求较高，但是实际中应用不大，学生对抽象知识难以理解，机械性计算，大部分学生是为了考试而死记硬背公式定理，过一段时间后，会很快忘记。这种方式是不易反映学生的创造能力和综合能力的。并且平时成绩占期末的10%～30%，所以很难反映学生的真实学习情况。因此，在考试类型上，应该再加入一些和专业相关的有利于学生发挥的试题，或者是通过上机模式，允许查阅资料，模拟实际问题环境，考查学生动手，自学能力，从而从客观上真实反映学生学习情况。
三、结束语
面向大众化教育时代，按不同的层次培养人才，提高人才素质是目前高等教育改革的重要趋势。应用型本科院校以培养高素质应用型本科人才为目标，必须进行“线性代数”课程的教学方法的改革。在线性代数的教学过程中注重改革教学方法，有意识地培养学生的应用意识、应用能力，注重知识的背景介绍，融入数学建模思想，将代数理论与实际问题和计算机等有机结合，才能真正体现传授知识、培养能力和提高教学效率的有机统一。
参考文献：
[1] 江新华，姜广峰，姜冬青，郭玲，李秋姝.实际问题驱动下的线性代数课程教学探索[J].：78-82.
[2] Steven J.Leon. Linear Algebra with Applications，Sixth Edition[M].Pearson Education， Inc， 2002：22-23.
“线性代数”是应用型本科院校工科专业的一门基础课程。在教学过程中，教师由于对课程任务认识不清晰，对专业需求认识不到位，对学生认识不全面，无法满足应用型本科院校人才培养的需求。在“线性代数”教学过程中，教师应整合教学内容，重新编排课程体系；将多媒体应用于教学中，强化学生的感性认识；增加实践环节，促进理论与应用的结合；创新教学模式，使用“项目教学+小组合作教学”的模式，提高学生的自主学习能力，并用MapleT.A.系统对学生进行评价,反馈学生的学习成果。
关键词：
应用型本科院校“线性代数”教学；MapleT.A.系统；在线测试
“线性代数”课程是应用型本科院校工科专业的一门重要的基础理论课，是学习相关专业课程的数学基础和工具。长期以来，它已形成比较稳定的内容体系，但传统的教学已无法满足应用型本科院校学生能力的培养要求,更无法突显线性代数知识作为有力数学工具的地位。
一、应用型本科院校“线性代数”教学中存在的问题
（一）教师对课程任务认识不清晰
“线性代数”课程的基本任务是使学生获得线性代数方面的基本知识、基本理论和基本技能；重要任务是培养学生的数学软件使用能力以及应用数学知识分析解决实际问题和专业问题的能力；潜在任务是培养学生良好的学习行为习惯，特别是学生自主学习的能力，使学生在学习课程知识的过程中逐渐学会学习。教师往往对基本任务较明确，对重要任务也有逐步的认识，但认识不深入，但对潜在任务的认识较少，能把潜在任务有意识地融入课程教学的就更少了。如何使三层任务有机结合并相互推动，是一个值得思考的问题。
（二）教师对专业需求认识不到位
“线性代数”课程在本科院校工科和理科各专业均开设。对于工科专业来说，线性代数是一种重要的工具，计算能力和应用能力培养的重要性远远大于逻辑思维能力培养的重要性。事实上，不同的工科专业由于其专业特点不同对线性代数知识也有着不一样的需求，应该针对需求各有侧重。然而，实际教学中，学校和教师往往忽视了不同专业在线性代数知识需求上的差异，大部分学校使用相同的教学大纲、相同的教材，甚至教师面对不同专业授课却使用相同的教案，布置相同的课业任务。
（三）教师对学生认识不全面
课堂教学过程中教师及时掌握学生的真实学习状况，对提高课堂教学质量起着重要作用。传统教学中教师往往只能通过抽查个别学生作答，从而对学生的整体学习效果做出判断。“线性代数”课程一般开设一学期，任课教师上课之初往往对学生较陌生，待深入了解学生的学习情况后，课程也即将结束，这就给通过抽查得到有效判断带来了很大的困难。课后作业批阅是除了课堂抽查以外教师了解学生的另一个主要途径，其优点是能获得对学生整体的了解，但现实中学生作业抄袭现象的存在，使得这种判断的有效性也大打折扣。
二、应用型本科院校“线性代数”教学改革的建议
（一）调整教学内容
目前，“线性代数”教学中普遍以理论知识讲授为主，注重基础知识、基本理论的学习，多侧重于课程内部概念，不了解各个学科和工业现代化对线性代数的需求，缺乏与实际生活或专业知识相关问题的研究。在教学中，教师可通过一些实际问题引出基本概念，帮助学生理解概念；通过了解工科各专业对线性代数的需求，增加应用实例，体现专业课程学习中线性代数知识的意义。线性代数中很多知识都涉及计算，对于一些比较繁杂的计算，如高阶行列式的计算、高阶矩阵的运算、大型线性方程组求解等，教师在讲解数学解法的同时还要适当介绍如何利用数学软件求解。国内大部分线性代数教材都是按照行列式、矩阵、向量组、二次型的顺序编排的，教师授课也大部分采用这种教学内容体系，学生看到的是抽象的概念和孤立的知识块，无法将所学知识融为一个有机的整体，更无法体会到线性代数的实质。教师可以对教材内容进行整合，以向量空间为背景，将矩阵作为工具，先介绍矩阵的知识并将行列式看做矩阵的运算，再介绍向量空间的基本知识、特征值问题和线性变换问题，帮助学生将琐碎的线性代数知识进行整合。
（二）改进教学手段
针对“线性代数”课程抽象的特点，教学中可以借助几何解释，以二维、三维的空间形象强化学生的感性认识。如在讲解线性方程组的解的三种情况时，可以把三元线性方程组作为例子。由于三元线性方程在三维空间中表示一个平面，将平面在同一坐标系下绘制出来，可以清晰地看出平面之间的关系以及三元线性方程组的解的情况，让学生直观地感受唯一解、无穷多解、无解，进一步帮助学生找到无穷多解之间的差别以及造成无解的原因。通过多媒体还可以将数学软件的应用贯穿于课堂教学中，一方面，借助数学软件进行可视化教学，如在讲解特征值和特征向量时，可在Matlab软件中编辑相关程序，通过演示动态图，展示特征向量在线性变换下方向的不变性，使学生认识到特征向量的意义；另一方面，在讲解数学理论时，讲解相关数学软件，帮助学生进一步理解和巩固所学数学理论，同时减轻实验课的负担。
（三）创新教学模式
教师应针对教学中不同的教学目标和对象寻找更有效的教学模式，如针对线性代数中某部分知识可以采用“项目教学+小组合作教学”的模式，教师下发项目任务后，学生3至4人组成一个小组自行收集资料，在完成项目的过程中小组成员之间互相交流学习，项目完成后进行小组汇报与交流，通过学生自评、组员互评、教师评分给出综合评价。整个过程中无论是项目的分析、问题解决还是成果的汇报、交流，都给了学生自主学习与探索的机会，在探索过程中，学生的自主学习能力会不断提高。教师还可通过运用现代教育技术手段为学生提供更多自主学习的机会。如利用MapleT.A.系统可进行有效的课外自主学习。基于MapleT.A.的课后练习为学生提供了丰富的在线练习任务，不仅可以避免学生之间的相互抄袭以及抄袭习题集上答案的情况，还可以利用系统的自动评分和反馈功能，让学生及时发现学习中的问题，并根据系统中的注释自行解决问题；教师通过设置练习时间，加强对学生课外作业的监管，并避免学生在课堂上补作业的行为发生；教师可将练习设置为允许多次答卷并提交试卷，即允许学生刷成绩，可激发学生练习的兴趣。同时由于学生提交试卷后可以实时得到本次作业的成绩和正确答案，但学生再次进入同一个作业时，参数和函数随机变化，使得试题内容变化，但知识点不变，所以学生只有真正掌握知识才能答对，从而提高了练习的效果。基于MapleT.A.系统的进阶测验，可以引导学生进行循序渐进的学习，当一部分知识掌握到一定程度后，才能进入另一部分知识的测试，有利于学生各部分知识的平衡掌握，强化薄弱部分的学习。此外，Maple软件的Student包和Task可分步展示解题过程，每个窗口中会给出重要的文字说明注释以及下一步执行的任务，给学生明确的引导，方便学生自主学习线性代数的相关知识。
作者：兰瑞平 雒晓良 单位：吕梁学院数学系
参考文献：
【关键词】线性代数；教学；案例；分层分类
一、部分文理兼收专业数学基础课概况
随着高等教育改革的不断深入，我国的高等教育已经逐渐转为面向大众的大众化教育.同时，全国各省市相继出台的高考改革方案都提出，从2017年后高考将逐渐不再区分文理科，这就意味着高校在招生时将逐步实现大类招生，文理科就读专业以及数学课程学习差异将逐步缩小.与此相应地，我们在对大学生的教学培养过程中，应该从以往的注重专业课程学习转化为侧重学生基础能力培养，包括学生的专业课和专业意识.
笔者所在的是一所省属师范大学，有心理学、工商管理、会计学、地理科学和信息管理与信息系统等20余个专业实现了文理兼收，涉及管理、经济、商学等多个学科，而且近年文科生和女生的比例大幅增加.他们在学习数学基础课时都遇到很大困难，教师在教学时也感觉更加难以推进，效果大不如前.
数学基础课主要包括线性代数、微积分、概率论与数理统计共3门课程，它们都是必修的重要基础理论课.一方面，数学基础课是大多数理工类专业研究生入学考试的必考内容，更加受到学生和学校的重视；另一方面，数学基础课的学习，能够帮助学生构建起崭新的思维方式，为他们的后续课程及进一步深造打好基础.通过微积分和线性代数等数学基础课的学习，能够让学生的思维能力、逻辑推理能力、计算能力、空间想象能力和数学表述能力得到很大提升，这些对于培养学生的综合能力大有裨益.
本文以线性代数教学为例，对文科生数学基础课的学习提出一些思考和建议.
二、线性代数课程特点
线性代数和其他数学基础课的学习一样，本身具有高度抽象性，同时课程要求学生要在短时间内认识了解一个新的研究对象以及一套新的运算规则，而这些特有的规律与初学者曾经学习了十余年的初等数学有比较大的差异.
线性代数的内容主要包括矩阵、行列式、线性方程组、向量空间和二次型，授课时数为32～48课时，课时量少，课程内容偏多，而且和微积分一起在大一下学期开设.两门数学基础课同时学习，给学生学习带来非常大的困难.在线性代数学习中，学生普遍反映这门课程有三个特点：内容抽象、知识点冗繁、计算枯燥.
线性代数教材种类繁多，笔者一直选用中国人民大学卢刚所编线性代数教材.该书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”研究成果，现已修订至第三版.
和多数线性代数教材一样，卢刚版线性代数也呈现出了定义多（51个）、定理多（含性质、推论共101个）和符号多的特点，增加了和经济管理专业有关的例题，如，在矩阵中引进图论模型并给出邻接矩阵表示图的方法，引用马尔可夫链进行天气预测，在矩阵的特征值和特征向量中引用污染与工业发展的工业增长模型、莱斯利种群模型、投入产出分析数学模型等.同时，教材还关注线性代数和其他数学基础课之间的联系，如，在正定矩阵的应用中用正交矩阵的知识解决多元函数极值问题、解决二次曲面的标准形转化问题.
三、线性代数教学的几点建议
（一）注重案例教学，让学生自己设计实验方案
对于文科生数学基础课的学习，关键是培养和提升学习兴趣，增加应用训练便是最有效的途径.思维训练和应用训练在线性代数中并不是筛龉铝⒌墓δ埽大多数学生对线性代数的畏惧，体现在它的思维训练上.事实上，线性代数的运算都很简单，虽然运算过程冗长，但规律性强、技巧性不大.如果能够在教学中，引导学生把理论和应用相结合，注重知识的内在联系，便能够把学生引向一个较高的思维平台.
要在线性代数教学中增加应用训练并不困难，线性代数在各学科中的应用非常广泛，针对不同专业的学生，可以选择与其专业相关的典型问题，让他们体会到线性代数理论的应用.线性代数主要在于应用，核心就是典例，典例选用一定要经典，让学生形成印象、产生兴趣，如，对物流管理专业学生引入运输流量的问题，对计算机专业学生引入加密和解密问题，对化学专业学生引入试剂配制问题，对经济类学生引入效益最优化问题.
笔者在对经济管理类专业教学的过程中，尝试推进案例教学.针对文科生多的特点，选用的都是简单且学生感兴趣的案例，让学生分团队合作，设计实验方案，达到数据分析的目的.
如，在学习矩阵的加法、数乘和乘法等运算知识后，以大一上学期期末成绩排名为例，希望学生们能够以团队合作的方式，自己设置实验方案，利用矩阵基本运算，给出计算全班学生平均分的算法，从而达到对这几个概念内化于心的效果.
例如，某班4名学生甲、乙、丙、丁四门课程（大学英语、体育、微积分、政治经济学）的期中考试成绩和期末考试成绩（按百分制评定）由下表给出，计算四名学生在学分制下的平均分.
实验方案中，矩阵E的构造显然相对灵活，这也是考查学生能否运用所学概念的关键.实际教学过程中，不同小组学生设计的方案虽多，但大多数都是不能灵活利用矩阵各种运算，这更加印证了利用该实验整合矩阵相关运算概念的必要性.
（二）注重分层教学，针对文理科学生分类开课
事实上，随着前述专业中文科生从点缀到现在基本过半，不能再简单地把所有学生塞在同一个教室中上大课.而且，现在很多学校为了节约成本，并不重视数学基础课的学习，甚至出现了数学基础课200余学生一起上课的极端现象，这对于学生的学习非常不利.
以前笔者曾经将文理科学生分别开课，但是效果并不明显，因为他们对数学基础课的需求并不相同.现在笔者正在尝试先对学生进行职业生涯规划的引导，希望能够把握住他们的职业目标和就业定位，在此基础上有针对性地就数学类基础课做出分层分类教学.如，针对有考研深造打算以及在经济管理专业中偏重于模型建立和数据分析的学生，可以把他们划为A类，在数学基础课的学习中加强要求，甚至可以借鉴数学专业高等代数课程教学的一些经验，既增加原理和理论教学，强化概念教学，又注重应用训练.针对有考公务员打算以及想从事会计工作等对数学基础要求不高的学生，可以把他们划为B类，在数学基础课学习中重视对他们结论理解、定理运用等方面能力的培养.
同时，在线性代数学习中，利用学生动手能力强、计算机操作兴趣高的特点，可以借助于EXCEL办公软件和MATLAB、MAPLE等数学软件，教会学生在面对大数据计算时，使用计算机手段辅助计算.如，笔者在教授行列式部分时，就要求学生结合自己的学号或者身份证号码编制出不同的3阶行列式和4阶行列式，练习手工演算，而教师在多媒体操作中利用EXCEL中的MDETERM函数进行快速计算，验证学生的计算结果，大大增加了学生的学习兴趣，也教会了他们一些常见的函数命令.既通过手工演算熟悉原理，又通过软件演算提高效率.
四、结语
数学是有用的，数学基础课的教学，更要注重案例教学，和学生的专业紧密结合.数学基础课在各学科中的应用，也是它的一种美.数学是美的，数学基础课的教学也要体现出数学的美.教学过程中，如何把这种美传递给学生，便是对教师的最基本的要求.本文结合笔者在多年线性代数课程教学中的心得，给出几点建议，如注重案例教学，大力推进分层分类教学，对于其他数学基础课的教学同样是有意义的.教师在教学过程中还应该多探索，希望能够让学生体会到在本专业中数学基础课的强大作用，以及让学生体会到数学基础课带来的数学逻辑之美、数学整合之美、数学简洁之美.
【参考文献】
[1]卢刚.线性代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]温道伟，汪国军.大类招生线性代数教学方法初探[J].高等数学研究，2016，19（3）：49-51.
关键词：教学改革；应用型；线性代数
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）15-0136-02
我国高等教育“重技重能”的时代即将来临。在教育部、国家发展改革委、财政部联合的《关于引导部分地方普通本科高校向应用型转变的指导意见》中，就提出了引导部分地方普通本科高校向应用型转变的重要意义、指导思想、基本思路、l展任务以及配套政策和推进机制。如何培养当今社会需要的应用型、创新型人才，与地方经济、社会发展和产业技术进步融合发展是各高校特别是地方高校面临的重大问题之一。应用型本科是在高等教育由原来的“精英式”教学逐渐向“大众式”教学转变后的大背景下提出的，应用型本科具有以下特点：（1）在教学目标上要以培养出社会所需要的应用型人才为目标；（2）在教学活动中要以实行关注学生综合能力培养的全方位教学模式为主体；（3）在教学内容上要注重理论和实践的充分结合；（4）在教学方法上应以创新的方法为主，注重培养每一位学生的实践能力。为了能向社会输送具有实际应用能力的学生，实现培养应用型人才的目标。对于每一门课程，都要在教学活动中对教学的每个环节进行精准定位。
二、线性代数课程教学改革的原因
数学类课程作为理工、经济类学生的必修基础课程，在人才培养计划中都是不可缺少的重要课程。以我院为例，在计算机科学与技术、网络工程等专业的人才培养方案中，高等数学、线性代数、概率统计这些重要的数学基础课程都包含在学科教育必修课中。线性代数在培养学生的逻辑思维、创造性思维、创新能力等方面，起着至关重要的作用。课程教学质量的高低直接影响着学生上述这些方面的能力。为了便于学生在将来的实际工作中用数学的思想和方法解决现实问题，针对应用型人才培养的数学类课程的教学改革势在必行。
三、线性代数教学内容及教学现状
线性代数课程的基本教学内容是线性方程组的求解、线性空间和线性变换。课程涉及的向量的线性相关性、线性空间、线性变换、矩阵的相似对角化、解线性方程组等知识都是将来学生解决实际问题的重要工具和手段。目前，在许多高校里面，很多教材还是沿用以往的教材，这些教材保持理科教材的框架，部分章节内容多而且抽象，课程的教学学时都很少，教师在上课时，急于教学进度，每节课往往都是重视定理的推导，而忽视了定理出现的实际应用背景，忽略了介绍这门课程是进行数值计算工具的内容，从而造成了学生对此门课程不了解，不感兴趣，认为学而无用。为了顺应高等教育的发展趋势，适应应用型人才的培养，一定要对原有的线性代数课程的教学内容设置以及教学方法等环节进行改革。
四、基于应用型的线性代数教学改革的具体措施
在我院各专业培养应用型人才的教学计划中，都把以培养学生能熟练运用线代知识和工具去分析、解决问题作为教学目标。为此，我们对线性代数知识的需要进行有机结合，减少抽象性，突出应用性，建立一种可以培养学生的实际应用能力和综合分析能力的新的教学模式。
1.教学内容设置方面。线性代数的主要研究内容可概括为五个模块，即“三个工具，两个问题”，三个工具指行列式、矩阵、向量空间，两个问题指线性方程组和二次型。与别的课程相比，线性代数这门课程具有内容抽象、符号繁多、公式庞杂和定理的证明不易理解等特点。因此，我们以线性代数课程是解决实际问题的工具这一原则。讲课时，适当降低理论深度，以“应用为目的，够用为度”的原则，对于一些定理的证明进行略讲或不讲，让学生知道如何应用即可，并在每节课上都根据需要掌握的知识配上典型、有针对性的练习题，学生边学边练，加深对知识的掌握。
2.教学手段运用方面。传统的线代教学，重理论、轻实践的观念比较严重，课堂中，很多的时间和很大的篇幅用于书中定理的证明，对一些实践的例子没有时间进行讲解，教学脱离了现实问题，早已不能满足应用型人才培养的需求。这样的教学方法，使学生对知识的掌握，也是浮于表面，仅能体现在能否在解答卷面问题时能根据条件求出结果。一旦涉及到实际问题就手足无措，没有办法实现知识与实际问题的关联，根本谈不上应用。大部分学生陷入了“学不会，用不了”的局面。针对这一现象，我们主要采用了“先明白为什么这么做，再掌握怎么做”这个方法。例如在讲解矩阵及其逆矩阵时，引出利用逆矩阵进行密码的编译码设计这一具体实例，加强学生的学习兴趣，让学生去自主学习；在讲授特征值和特征向量这部分内容时，我们适当调整了课程内容的讲解次序，从第2章的求方阵方幂这个例题出发，并利用人口迁移问题作为这一系列知识点的引入，最终引出对角矩阵，然后利用求出的对角阵，引出特征值和特征向量的概念。这一过程可以使学生对即将进行学习的对角矩阵有一个鲜明的认识，学生在学习的过程中，时刻都知道自己在做什么，为什么这么做。这些就能使学生对将来如何使用这些知识点做到心中有数，有的放矢，达到事半功倍的效果。这些方法既加强了学生对课程基本内容的了解，又使解决问题方法的引入更加自然。通过我们的教学实践，以上做法对活跃课堂气氛和提高学生的学习热情都很有帮助。学生对本门课程的兴趣也逐渐增加，能主动进行学习，达到了良好的教学效果。
3.理论与实验课相结合。针对应用型人才培养的目标，我们打算在以后的教学模式改革中，将数学软件引入线代教学，弱化手工计算过程，并在将来逐步将学时分配和教学重点偏向上机实验。计算机专业的学生，对软件的操作、编程有自己专业的优越性。有一些可以上机的内容，可以在课堂上把基本的概念和Matlab软件中的简单命令告诉学生，随后在上机课上让他们自己去验证。对软件熟练掌握以后，就可以找几个典型的可用线代知识去解决的实际问题，让学生尝试着用软件去解决，从而培养学生建模、仿真、求解的能力。
4.考试方式的改革。在培养应用型人才的目标下，考试也应随之改革，改变以往那种重记忆、重理论、重计算能力而轻理解、轻实践的传统闭卷考试模式。考试的最终成绩应体现出学生的实际应用能力，除了传统的闭卷纸质考试成绩以外，在最终成绩里面还应考虑到实践应用方面的因素。例如加大平时成绩的比例，把平时作业特别是一些需要进行查询资料，并利用数学软件解决的具有现实意义的题目的完成情况作为主要的平时成绩。这种新型的考核方案，能更好的体现出应用型人才培养的教学目标。
五、结语
以上是我们在基于应用型人才培养的教学环境下线代课程教学改革初步的一些实践。教学模式改革是处于转型期应用型本科院校实现应用型人才培养目标的重要手段，改革的最终目的还是为了提升学生解决际问题的能力，让学生通过解决实际问题，从而使运算、抽象思维、逻辑推理的能力不断地增强，这也符合了应用型人才的发展趋势。当然，所有的这一切，对于教师的要求也越来越高，我们一定要加强学习、交流，积极地去尝试一些有效、可行的教学方法，让每位学生都能在这种背景下得以全面发展，成为一个合格的具有实践能力和创新意识的应用型人才，在实现地方本科高校应用型转型的教学改革方面贡献自己的一份力量。
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