时间：2022-06-13 13:07:17
一、深入理解二次函数的基本概念
初中的数学教材对函数有了大致的定义，学生进入高中以后在学习了集合的基础上又学习了映射.有了映射的基础，接着重新学习函数概念，也主要是应用映射的知识来阐明、解释函数.这个阶段由于学生思想上对函数有了一定的理解，特别是用二次函数为例来加以更深认识函数的概念.
二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.
在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
例如，已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值.
又如，设f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.
对于这样的问题，我们可以这样理解：在已知的对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素x的象，实际上就是求其的对应法则.
主要的方法有以下两种：①把所给表达式表示成x+1的多项式.即f（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1，得f（x）=x2-6x+6.② 变量代换：这种方法的应用很多，一般的函数都可以用这种方法.令y=x+1，则x=y-1.所以（y）=（ y-1）2-4（y-1）+1=y2-6y+6.从而f（x）=x2-6x+6.
二、二次函数的单调性，图象与最值
在高中阶段学习函数的单调性时，必须让学生掌握二次函数y=ax2+bx+c的单调性，当a>0时（-∞，-b2a）是这个函数的单调减区间，（-b2a，+∞）是它的单调增区间，“左降右升”，此时函数有最小值可理解为“落入低谷”；当a
例如，画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性.
（1）y=x2+2|x-1|-1；
（2）y=|x2-1|；
（3）=x2+2|x|-1.
要让学生特别注意这些函数与二次函数的联系和区别.对于有绝对值符号的函数，一定要学会用分段函数去表示，再画出这些函数的图象.
三、二次函数在生活中的运用
利用所学二次函数的知识来解决一些生活中的具体问题，会让学生觉得学有所用，因而更能激发学生的学习热情.
例如，某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
分析：如果每件衬衫降价x元，那么商场平均每天可多售出2x件，则平均每天可售出（20+2x）件，每件盈利（40-x）元.
解：设每件衬衫降价x元，那么商场平均每天可多售出2x件.
根据题意，得商场平均每天盈利y =（20+2x）（40 -x）=-2x2+60x+800.
“转化与化归”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，就是在数学研究中，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方法. 转化有等价转化与不等价转化.等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果.不等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口.在高中数学中，经常出现许多导函数不等价性的结论，例如：f(x)在区间I上为增函数（或减函数），则f′(x)≥0（f′(x)≤0），反之f′(x)≥0（f′(x)≤0），则f(x)不一定是增函数（或减函数），同样f′(x0)=0,则f(x)在x=x0处不一定有极值，他们显然不是充要条件，但是在解题中，我们经常将他们当作等价命题来使用，不加检验，以致错解，本文对此进行探讨.
问题情境一：
导函数f′(x)>0是否是函数f(x)在I内单调递增的充要条件？ 提示：否，例如函数y=x3.
变形：函数在y=ax3-1（-∞,+∞）上减函数，则实数a的取值范围？
错解：有的同学这样做 函数y=ax3-1在（-∞,+∞)上减函数.f′(x)≤0在（-∞,+∞)上恒成立，即3ax2≤0,又x2≥0,再采用分离系数得a≤0,所以a的取值范围为(-∞,0］.
以上解法是我们学生做这种题型的常见做法，但是这是错误.我们可以检验一下，当a=0时，y=-1在（-∞,+∞)上为常值函数，不具备单调性，显然a≠0，所以a的取值范围为(-∞,0).
一、 探究错因
我们说函数f(x)为增函数（或减函数）一定有f′(x)≥0（f′(x)≤0），在不改变单调性的情况下，使f′(x)=0成立的原因，无非两种情况：
第一、在函数y=f(x)图像上存在有限个可疑点，使得f′(x)=0，但不影响其单调性，比如：y=x3,在x=0时，f′(x)=0，但函数y=x3在R上仍然为单调增函数.
第二、在函数y=f(x)图像上存在无限多个可疑点，而且它们离散的，不构成区间，不影响函数的单调性，比如：y=x+sinx,令y′=1+cosx=0，则x=2kπ+π(k∈Z),在所有的x=2kπ+π(k∈Z)点处，y′=0,但函数y=x+sinx在R上仍然为单调函数.
第三、这就是f(x)为增函数，f′(x)≥0中f′(x)=0产生的原因，反之，却不一定成立，即f′(x)≥0不一定有f(x)为增函数.
因为在函数y=f(x)图像上可能存在无限多个可疑点，使得f′(x)=0，但它们是连续的，构成一个小区间，在这个区间上f(x)=c为常值函数，而常值函数没有单调性，这就是f′(x)≥0，f(x)不一定为增函数的原因，也就是说这两者是不等价的，它们是不等价性，不是充要条件，
这就是本题产生错解的原因，所以对上述的结果必须要检验，因为它们是不等价性命题.
二、 解决途径
方案1:结合图像求解，如右图所示，由y=ax3-1得y′=3ax2.
当a=0时，y=-1为常值函数，无单调性，故舍去；
当a≠0时，y′=3ax2≤0在R上恒成立，只要a＜0.综上所述a＜0.故a的取值范围为(-∞,0).
方案2：利用f′(x)≤0, 并对a值检验，舍去多余的解，这种方法在前面已经叙述过.
方案3：利用f′(x)＜0,再补上相应的a值.因为y′＜3ax2
拓展结论：在研究单调性问题时，运用导数求解时，特别注意是不等价性命题一定要检验.
三、 应用结论
例1 已知函数f(x)=2ax-1x2,x∈(0,1］上为增函数，求a的范围.
分析：f′(x)=2a+2x3,由f(x)在(0,1］上为增函数.故f′(x)≥0在(0,1］上恒成立，即
2a+2x3≥0，即a≥-1x3.设g(x)=-1x3,在(0,1］上为增函数.g(x)max=-1.
a≥-1,下面检验a=-1的合理性.
当a=-1时，f′(x)=-2+2x3=2(1-x)(1+x+x2)x3，当x∈(0,1)时，f′(x)>0,则f(x)在(0,1)上为增函数，又在x=0处，不讨论单调性，故f(x)在(0,1］上为增函数.综上所述：a的取值范围为［-1,+∞).
例2 已知f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,在（-∞,0)上为增函数，求a的取值范围.
分析：先求导得：f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a,因为原函数在（-∞,0上为增函数.故此时，有两种方案：Ⅰ） 可以采用分离系数的方法，转化为恒成立问题，不过有点麻烦.
Ⅱ） 上面已经讲过，可结合函数图像来求范围，下面我们结合图像来求解.
又f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).
所以，当a=1时，f′(x)=6(x-1)2≥0,函数f(x)在（-∞,0)上为增函数，满足题意.
当a＞1时，在(-∞,1)上，f′(x)≥0，从而在（-∞,0)上f′(x)＞0，故f(x)在（-∞,0)上为增函数.
当a＜1时，要使函数f(x)在（-∞,0)上为增函数，只要f′(x)≥0在（-∞,0)上恒成立，所以只要a≥0或f(0)≥0
.综上所述：a的取值范围为［0,+∞).（结合图像求解，可能做法更精确）
问题情境二：已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0，求a,b的值.
错解：f(x)=x3+3ax2+bx+a f′(x)=3x2+6ax+b
根据题意可得：-6a-b+3=0
a2+3a-b-1=0
. 解之得a=1
b=3或a=2
b=9
实际上当a=1,b=3时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,则f(x)在定义域上是增函数，无极值，舍去，所以a=2,b=9.
有些同学不理解为什么要舍去一组解？在整个的解题过程中，好像没有问题.
一、 探究错因：实际上同问题情境一的错因是一样的，都是解题过程中，未注意解题过程的不等价性，对所的结果未加检验造成的：f(x)在x=x0处有极值,必有f′(x0)=0,但f′(x0)=0，并不意味着x=x0是极值点.
二、 解决途径：同上面的解法一样，不过要多一个检验的过程.
三、 拓展结论：解决极值类问题，利用导数值为零，所得结果要检验.进而可以推广到一个常识性的结论：不等价性命题一定要检验，只有等价性命题不要检验.
四、 应用结论
例 求函数y=(x-1)3+2的极值点.
分析：y=(x-1)3+2=x3-3x2+3x+1.y′=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，即f(x)在定义域上为增函数，f(x)的极值点不存在.但是，有点同学可能这样解y=x3-3x2+3x+1 y′=3x2-6x+3
令y′=0，则x=1.x=1是极值点.
这种解法显然是错误的，忽视了检验的过程，将不等价性的命题转化为等价性的命题来做，以致出错.
通过以上问题的分析，在导函数问题中，存在许多不等价性的命题，在解题时，要慎重对待，多加检验，避免出错，同时我们更要记住：等价性命题无须检验，不等价性命题必须要检验.它在高中数学在很多地方出现.
总之，转化思想是中学数学解题的重要思想方法，但并非万能的方法，即并不是所有的问题都可以通过转化而得到解决的.因此，我们不能只停留在转化的分析，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论.
【参考文献】
策略一：利用已知函数证明
例1 （2009辽宁高考改编）设f(x)=ex(-x2+x+1).
证明：当x1,x2∈［0,1］时，有|f(x1)-f(x2)|
思路 直接利用已知函数的单调性求出最值.
证明:f′(x)=ex(-x2-x+2)=-ex(x+2)(x-1) .
当x∈［0,1］时，f′(x≥0)（当且仅当x=1时f′(x)=0),
从而f(x)在x∈［0,1］时单调递增,
故f(x)在［0,1］的最大值为f(1)=e，最小值为f(0)=1,
从而对任意x1，x2∈［0,1］,有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=e-1＜2.
评注:根据题目特点,通常利用以下结论可证不等式成立.
(1) 对定义域内任意x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|.
(2) f(x)max0.
策略二：作差构造函数证明
（1） 直接作差构造函数
例2 证明：x∈(1,+∞)时，12x2+lnx
思路:把代数式移至一边，使另一边为0，构造新函数.
证明:设F(x)=23x3-12x2-lnx，
则F′(x)=2x2-x-1x=(x-1)(2x2+x+1)x，
当x>1时，F′(x)=(x-1)(2x2+x+1)x>0，
从而F(x)在(1,+∞)上为增函数，F(x)>F(1)=160，
当x>1时，12x2+lnx
评注:本题欲证f(x)
利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式 .
（2） 变形后构造函数
例3 （全国卷理22节选）设函数f(x)=1-ex. 证明：当x>-1时，f(x)≥xx+1.
证明:当x>-1时，原不等式等价于ex≥1+x，
令F(x)=ex-1-x,则F′(x)=ex-1，
当x∈(-1,0)时，F′(x)
当x∈(0,+∞)时，F′(x)＞0，此时F(x)单调递增，
于是x=0时，F(x)取得极小值也为最小值，
故当x>-1时，F(x)≥F(0),即ex≥1+xf(x)≥xx+1.
评注:当直接作差构造函数无法证明时，可将不等式适当变形后构造函数，然后运用导数判断该函数的单调性或求出最值，从而达到证明不等式的目的，这也是转化与化归思想的重要体现. 变形技巧可以是利用不等式的性质、放缩等, 以达到化繁为简，例5就是应用放缩法的典型一例.
（3） 换元后构造函数
例4 若x∈(0,+∞),求证1x+1
思路:考察目标式子的结构，直接作差较繁，若换元则可使式子化简.
证明:令1+1x=t,x>0,t>1，x=1t-1
则原不等式1-1t
t∈(1,+∞),f′(t)>0,f(t)在t∈(1,+∞)上为增函数，
f(t)>f(1)=0,t-1>lnt.
令g(t)=lnt-1+1t,g′(t)=1t-1t2=t-1t2，
t∈(1,+∞),g′(t)>0,g(t)在t∈(1,+∞)上为增函数.
评注:本题通过换元t=1+1x,0
策略三：分离变量构造函数证明
例5 若a>b>e,证明ba>ab
证明:原题等价于lnaa
当x>e时,f′(x)≤0,当x>e时，f(x)单调递减，
a>b>e,lnaaab.
评注:此题不是直接作差构造函数，而是根据题目的特点采取两边取对数，然后将两个变量分别变形到式子的两边再构造函数，是分离变量思想的运用.
策略四：构造两个函数证明
例6 已知f(x)=xlnx.
（1） 求f(x)的最小值.
（2） 证明：对一切x∈(0,+∞)，都有lnx>1ex-2ex成立.
思路:（1） 易得f(x)min=f1e=-1e.
（2） 直接作差构造函数无法证明，注意到第（1）问研究的结果对（2）的启发，可先将原不等式等价变形为：xlnx>xex-2e，可知左式是已知函数f(x)的表达式，其最小值已经求得，故可研究右式的最大值.
证明（2）时x∈(0,+∞)时，原不等式可等价变形为：xlnx>xex-2e.
设g(x)=xex-2e，x∈(0,+∞)，则g′(x)=xex-2e=1-xex，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增，
当x∈(0,1)时，g′(x)
故x=1时，g(x)取得最大值g(1)=-1e，
而由（1）知f(x)min=f1e=-1e，且两者最值不能同时取得，
故xlnx>xex-2e恒成立，即lnx>1ex-2ex.
评注:本题充分利用已知函数，将所证不等式巧妙变形，通过证明f(x)min>g(x)max，从而证得f(x)>g(x).
关键词 表现性评价 量规 课程设计
中图分类号：TP312 文献标识码：A
1构建表现性评价基本思路
构建表现性评价就是制定评价目标、选择评价内容、开发和设计评价方法的，还包括评价者的参与、选择评价时间和场所、记录、收集和整理评价信息的，以及制定评价标准和表现标准等。依据这样的开发步骤，对C语言课程设计表现性评价的设计和实施做出了整体规划，该设想的总体思路如下图所示：
2表现性评价目标的制定
学习目标是课程学习活动的出发点和归宿，它指导教与学，向其他人传达教学意图，并提供评价学生学业的指导意见，是评价学生的重要依据。表现性评价的评价目标和课程的培养目标是一致的。在评价之前只有清晰的知道C语言课程要培养什么样的学生，才能把握好教学与评价的方向，最终达成目标。
C语言程序设计是一门典型的具有操作性和实践性特点的计算机科学课程。该课程的学习目标体系包括下列内容：
（1）知识类目标：理解并掌握课程要求的基本知识，加深对已学知识的理解，进一步提高原有技能；在熟练掌握陈述性知识的同时，更加注重对知识的应用。
（2）能力类目标：培养学生的创新意识、刨造思维能力和动手实践能力；培养学生信息意识和主动获取信息，处理信息的能力；培养学生的群体意识和学会沟通与合作交往的能力；培养问题意识和独立发现问题、提出问题、解决问题的能力；培养和提高管理能力等。
（3）情感类目标：现代学习观、科学精神和态度、社会责任感和使命感和交往能力等。课程设计的学习目标在课程学习目标的基础之上，更强调实践能力的提高，培养计算机程序设计的能力和素质，以及思维方法。经上述分析，与课程学习目标相对应，课程设计的表现性评价目标也应包含三个维度：对知识习得的评价、对能力的评价和对情感态度价值观的评价。对上述三方面的评价目的具体描述如下表所示。
3选择表现性评价任务
评价任务指的是一种与教学目标紧密相连的，而且能够为学生创造展示自己进步与能力的机会的一种具体的行为，能反映现实生活中的活动、表现和挑战的任务，建立在学习与评价的联系基础之上，考虑学生的兴趣和能力。C语言课程设计任务，更加突出应用性和实用性，拓展知识面。通过课程设计，进一步熟悉掌握数据类型、分支控制、循环控制、函数的定义及调用、结构体及数组、指针、文件操作、编译预处理等知识；达到系统理解、综合运用课程知识的学习目标；学会用C语言程序解决实际问题的方法；掌握程序的局部测试、调试方法，建立程序系统测试、调试的基本概念和思想，学会较大程序的系统测试、调试方法。
一般的C语言课程设计项目包括小型系统设计、图形图像设计和游戏程序设计基本过程包括以下6个步骤：
3.1程序的功能设计
功能设计是课程设计的第一个环节，其任务是根据课程设计题目的描述和要求，确定程序要实现的功能，并把功能划分为不同的层次，确定各层功能的上下级关系，然后绘制出分级描述的程序功能框图。
3.2程序的数据设计
程序的数据设计主要包括对以下各类数据进行设计：对程序中用到的主要数据确定数据类型；对程序中用到的结构体数据定义其结构类型；定义程序中使用到的全局变量、外部变量等；定义程序中通用的符号常量；确定文件的数据类型，如二进制文件、文本文件等。
3.3程序的函数设计
一个综合性的程序，需要设计若干个函数。各个函数功能各异，使用的层次也不尽相同。为了使总体设计协调有序的进行，需要在程序编码之前，对主要的函数做出预先设计，即所谓的函数设计。程序的函数设计包括函数的功能设计和函数调用设计两个方面。
3.4函数编程及调试
函数编程及调试是实现程序功能的核心阶段，函数编程及调试是实现程序功能的核心阶段，需要注意以下问题：课程设计具有一定的综合性，其程序通常由多个函数构成，每个函数都有独立的功能，实现特定的操作；有些函数之间有调用和被调用的关系，在进行函数设计时需要注意顺序问题，有点函数先设计，有点函数后设计，而没有调用关系的函数可以并列设计；程序设计是一个循序渐进的过程。有点函数在程序设计前的函数设计阶段就被考虑到了，而有的函数是在程序设计过程中因需要才产生的。但无论哪个函数，都会经历由简单到功能完善定型的过程。
3.5整体调试
整体调试是程序设计的必要阶段，是在前期程序设计调试基础上进行的基本过程。需要设计准备一个较大规模的数据集，按照课程设计题目的功能要求，对组装完成的程序逐项进行功能测试和调试，直至确认程序达到了设计目标为止。
3.6设计总结
设计总结是课程设计的最终阶段，通过对课程设计的各个过程进行系统全面地总结，按照指导教师的具体要求，形成课程设计报告。
4建立量规
量规（Rubric）是一种结构化的定量评价标准。往往是从与评价目标相关的多个方面详细规定评级指标，具有操作性好、准备性高的特点。量规是评价的工具，学生的作品、成长记录、学习成果或者学习过程中的其他表现（行为、认知、态度）都是量规的评价对象。同时量规也是一个教学工具和学习工具，可以指导教师的教学和学生的学习过程，模糊了教学、学习和评价之间的界限，评价工具也从而成为了教学工具和学习工具。量规设计的出发点和着落点是指标和等级地选择与确立。设计评价量规就是，以课程、教学、评价三者统一，突出学生主体性和促进学生发展的评价目的为设计原则，在明确学习目的和目标的基础上，列出评价指标和制定评价等级。对C语言课程设计内容加以分析，制定出课程设计过程中的几个量规。
4.1 C语言课程设计任务设计量规（教师）
该量规主要是对学生在对课程设计任务进行分析、提出解决方案、制定完成任务的相应计划的表现进行评价时所使用的量规。该量规中的评价项目主要包括问题分析、任务划分、程序架构等。根据评价项目完成情况好坏不同给出不同分值的具体表现，在评价过程中对照量规评价学生的表现。
4.2小组合作量规（教师）
该量规是由教师为各个小组整体表现进行评价的量规工具，小组的表现应包括帮助、倾听、参与、劝说、问题及尊重等几个方面，教师根据对各小组的观察情况，对各项评分，并计算总分，以此作为小组合作表现的成绩。
4.3小组成员相互关系表现量规（学生自评，互评）
小组成员之间的关系是否融洽，合作是否愉快，常常对整体工作效果有着至关重要的作用，因此，该量规也就比不可少了。该量规是从小组成员之间相互观察到角度来制定的，其主要评价项目包括合作、参与、态度、独立性、交流和应答等，每个小组成员都要为其他小组成员打分，计算评价分。这样每个同学都可以看到自己在本小组中和其他成员间的关系如何，在以后的人际交往当中即可吸取经验，更好地与他人融洽相处。
5总结
评价与教学是一个硬币的两面，虽然两者有不同的“图案”，但总是不可分割的共同体。目前，在教育领域中，我们面临的许多真实困难都来与教学和评价的分离。如果我们准备可信的方式评价学生，真正服务于促进学生深入学习的最终目标，教学与评价必将再次结合。
参考文献
[1] 张颖之，李秀菊，刘恩山.评价量规――主动学习的评价工具[J].生物学通报，2007（3）.
“析题”不同于以往的“说题”，是指执教者在精心做题的基础上，立足学生的角度，阐述在题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律并进行拓展引申.析题的关键在“析”，内核在于“用题去教”，即通过对学情的预设，选择题目做传输带，刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，进而形成新的知识经验.其本质是通过对“好题”的深入浅出，落实学生学的“有效”，从而将教师的“教”、学生的“学”与研究“考试命题”三者有机结合.本文拟以2011年福州市高三质检理科卷第20题为例进行析题，以期抛砖而引玉.
1展示题目
（2011年福州市高三质检理科卷第20题）设函数f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=ax，F（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅰ）若x =0是F（ x ）的极值点，求a的值；（Ⅱ）当a =1时，设P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1
≥0，x2
≥0）， 且PQ/ /x轴，求P，Q两点间的最短距离；
（Ⅲ）若x≥0时，函数y=F（ x ）的图象恒在y=F（？x）的图象上方，求实数a的取值范围.
2 试题评价
2.1 考试评价功能
本题主要考查函数的单调性与最值、函数的图象与零点、导数的综合应用等基础知识，并以这些基础知识为载体，考查学生的抽象概括能力、推理论证能力与运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.试题凸显对函数与导数学科本质的考查，并通过与三角函数知识的交汇，来实现对学生综合运用学科知识分析问题和解决问题的能力的考查.试题的主要亮点有（1）很好地实现函数、导数与三角函数知识模块的自然交汇， 问题的设置注重几何描述，强调数形结合；（2）问题设置脉络清晰，层次分明，有效地在问题的求解过程中实现对数学思想方法和学科本质的考查.
2.2 教学导向功能
本题的设计切合《课程标准》的基本理念，很好地体现了高中数学立足基础、关注过程、突出思想、把握本质等教与学的导向.重视对学生运用数学语言进行思维和交流的能力的培养，有效引导数学教学由结果教育向过程教育的转变.
3 教学意图
3.1 课堂情景
本题拟作为高三第一轮函数与导数模块复习课的例题.
3.2 学情预设
通过之前的作业和课堂表现，结合平时对学生的观察、了解学生的现有发展区基本特征为：
（1）学生已学习了运用导数解决以三次函数、指数函数、对数函数为背景的单调性与最值问题的基本方法，已有一定的通过构造函数与求导的方法解决不等式含参问题的基础，能较熟练地通过对二次函数图象性质的分析来处理求导问题.
（2）本题的研究对象以指数函数、三角函数为载体，情境较新，学生比较陌生.求导完难以转化成以二次函数为背景的图象性质来分析，需要通过多次的构造函数与求导来处理，对学生的抽象概括能力要求较高.这对学生而言存在相当大的挑战，但对导数的本质理解却至关重要.
3.3 教学目标
基于课程标准的要求、学生情况的实际、遵循教学目标的“三维”理念，确定教学目标为：经历“多次构造函数与求导”的过程，理解每次构造函数与求导的思维成因及意义，提高运用导数工具探究函数的单调性与最值问题的能力，进一步理清解决函数、方程与不等式综合问题的一般规律.
4 教学流程
以波利亚的“怎样解题表”为指导展示析题过程
4.1 弄清题意
4.4 回顾反思
本道试题以指数函数、三角函数为载体，通过多次的构造函数与求导，考查学生全面运用导数工具探究函数的单调性与最值问题的能力.之前学生对于通过对二次函数图象性质的分析来处理求导问题比较熟练，而对于需要多次求导的问题则显得很不适应.本道试题的价值在于，能较好地切中学生原有的知识经验，打破学生的思维定势，贴近学生的“最近发展区”.刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，形成新的知识经验，进而体会研究导数的应用不应只是掌握具体的方法，更要关注对导数本质的理解.
基于上述反思，结合“用题去教”的理念，对试题的第（Ⅱ）问进行拓展延伸.
变式1 （Ⅱ）当a =1时，设P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1
≥0，x2
≥0）， 且PQ/ /y轴，求P，Q两点间的最短距离；
变式2 （Ⅱ）当a =1时，设P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2
≥0），求P，Q两点间的最短距离；
变式3 （Ⅱ）设P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2
≥0），且PQ/ /x轴，若P，Q两点间的最短距离为1，求a的取值范围；
构造函数h（ x ）=ex+sinx？ax，
观察h’（ x ）=ex+cosx？a和h’’（ x ）=ex？sinx，
由h’’（ x ）≥0推出h’（ x ）在[0， +∞）单调递增结合h’（0）=2？a.不难观察，当2？a≥0时推出h（ x ）在[0， +∞）单调递增，可得最小值为h（0）=1，可类比第（Ⅲ）问思路.
进一步观察h’’（ x ）=ex？sinx，联想到选修2？ 2第一章习题1.3的B组第一题的在[0， +∞）上ex≥x+1与sin x≤x的结论，考虑进一步缩小范围，令h’’（ x ） = ex？sinx？1，发现h’’（ x ）≥0在[0， +∞）仍然成立，考虑令h’（ x ）=ex+cosx？x？m，从h’（ x ）在[0， +∞）单调递增结合h’（0）=2？m出发，不但可以把条件改为二次函数g（ x ）=12x2+mx，同样可类比第（Ⅲ）问思路处理.
变式4 函数f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=12x2+mx，
F（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅱ）P（ x1，f（ x1 ））， Q（ x2，f（ x2））（x1
≥0，x2
≥0）， 且PQ/ /x轴， 若P，Q两点间的最短距离为1，求m的取值范围；
从2012年各省的高考试题来分析，不难看出上述理念在命题思路上得到较好的体现.譬如：12年福建省理科20题，12年山东省理科22题，12年全国大纲理科20题，12年全国新课标文科21题等等.
总之，任何一道数学题，都有它的背景及考查知识和方法的侧重点.
商业函件业务简称商函业务，它区别于具有个人通信性质的信件，是为社会各类用户提供迅速准确传递商用信息的业务。商业函件是一种广告媒体，利用邮局点多面广的优势，以邮寄的方式，将广告客户要求寄发广告商品介绍、订货单、调查征函、通知单等投送到广告客户所希望的接收人手中。
商业函件是一种新兴的广告形式，利用邮政点多面广的优势，以邮寄信件的方式，将您要求寄发的广告、商品介绍、订货单、调查征询函、通知单等投送到指定的收件人手中。目前商业函件的种类有信函型商函、对帐单型商函、邮送广告(印刷品形式)、货样广告型商函、邮政广告邮资明信片(含企业拜年卡)等。
广告函件与广播电视及报刊广告相比，具有广告面广、针对性强、手续简便、价格便宜、方便迅速等特点。
为方便广告客户的使用，各地邮政局可为客户提供商业函件的策划、设计、制作(可提供企业和单位名址库)、投递等一条龙服务。
中国邮政推出混合信函
邮政混合信函业务是用户利用计算机发信，通过因特网传输，由专用设备打印、封装，按国内平常信函进行投递的信函业务，是计算机通信技术和邮政传统信函投递业务相结合的产物，具有传递速度快、保密性强、成本低、效率高等特点。
一、业务主要服务内容
1、出售《桌面邮局》软件和邮资支付卡。
2、对混合信函自动受理、计费和转发，并利用收件人所在地的收发一体机对混合信函进行打印、封装。
3、按照国内平常信函业务分拣封发、运输和投递混合信函。
4、对混合信函进行机上查询。
二、价格标准
1、混合信函起价2.00元，含1页B5信纸和信封，每增加1页信纸0.50元，每封信以4页纸为限，最高资费3.50元。
2、邮资卡面值分50、100元和200元这几种。
三、邮政混合信函业务具体业务流程
用户使用计算机，用邮政提供的专用发信软件、邮资卡，采取网上纳费的形式，通过Internet向邮政信函服务器交寄信函，邮政信函服务器自动完成信函受理、计费、转发等工作，并由收件人所在地的专用信函打印封装机全自动地完成信函的打印、封装过程，最后由邮政部门采用与平常信函混封的方式将信函投交收件人。
四、邮政混合信函的传输过程
五、混合信函的特点
1、与E-mail相比较
E-mail是计算机网络用户和计算机网络用户之间的通信工具，而混合信函可便捷实现网络用户和任意用户之间的通信。
2、与商务信函中心的业务相比较
商务信函侧重于大批量的商务信函（具有价格便宜的特点，主要是针对广告信函的账单类信函），而混合信函则是侧重于中小批量的商务信函业务（非大宗广告类信函）
3、与网上Web信函、E-mail封装投递信函相比较在混合信函由电子信息转变成实物信函的全过程中，没有任何人工干预，是一个完全自动化的封闭处理过程，从而大大提高了信函的安全性的和保密性。
（1）创设真实的贸易情境。网络和多媒体技术使商务英语函电教学和实训均呈现多样化，借助一些模拟软件如TMT（TeachMeTrade）、D客实训等来为学生创设真实的网络环境和商务函电写作情景，调动学生的学习积极性，也可以为学生进行真实语言交际和自由讨论搭建有力的平台。
（2）便于学生进行自主学习。在微时代下微课的发展已经超出了人们的预期，借助它来辅助单一的课堂教学，学生可以随时随地下载观看，为其答疑解惑。同时，网络也有大量宝贵信息资源可供学生学习参考，搜集整理。同时，网络媒体教学便于师生间、学生间进行信息交互，展开讨论，信息共享等，可以提高学生的语言组织能力和写作技巧。
（3）利于突出学生的主题地位。商务英语函电教学是操作性强于理论性的课堂教学，讲求学生的实践性。在运用网络媒体进行商务英语函电教学过程中，学生才是真正在网络媒体创设的语言环境和商务函电写作情景中的操作者，是实践的核心，而教师，只是教学活动的组织者和引导者，符合商务英语函电教学的理念。
2网络媒体给高职商务英语函电教学带来的新特色
2.1教学内容更丰富
网络多媒体技术应用在高职商务英语函电教学中，可丰富教学内容，充分利用网络上的电子信息中心、电子email提供的内容深刻的国外资料信息，将这些信息及资料做成录像、光碟、ppt课件等，多角度、多级别相互配合教学的活动过程。教师可利用wps或一些多媒体制作工具，如excel、word等，来编写展示文档或制作ppt课件，通过清晰的图像和画面，生动逼真地展现商务函电、交易合同、收据、票证等实物图文及其业务流程，让学员对所学知识有理性认识，产生学习的积极性。
2.2教学方式更加多样化，主要体现在人机交互、情境创设、合作探究和自主学习四个方面
2.2.1人机交互
因为多媒体具有人机交互性强的特点，能够使得个人与整体之间的交流与互动。以这种模式为中心，老师通过交互界面向各学生提出想法，学员提出自己的建议、与老师交流或与其他学生交流，最终解决问题完成目标。在整个互动流程之中，教师作为指导者始终参与其中。多媒体网络的交互性使得外贸英语函电的教学实现信息实时交换。另外，还可以成立一个范例虚拟学习模块，模拟贸易的全部流程，互相进行业务信函的往来交流，既学习外贸业务信函的写作要点，学生还能够互相提出写作中的失误及应留意的难题。
2.2.2情境创设
在多媒体教室能够通过组合音响、图文、动漫、程序演示等手段来实现对重点、难点、虚拟概念等复杂内容进行生动形象演示，以此产生一种多维形式效应，对学员的感观产生强烈的刺激，为学生创设了真实生动的学习环境，进而唤起学生学习的积极性，并推动学习的认知内驱力，通过直接地画面生动形象地讲授理论。在此情况下，虚拟教学把相对复杂的理论知识和有意义的案例紧密地联系起来，引导学生趣味化地把所学知识有效地应用到实际生活中去。
2.2.3合作探究
合作探究主要通过师生合作、生生合作、人机合作等形式引导学生进行探究式学习。多媒体网络条件下商务英语函电合作学习通常分知识准备、信息存储、成果展示、综合展示四个方面进行。老师一般首先对学生网络合作学习中所需的互动交流的学员进行分组，在所对应的技能培训之后，小组学员制定学习计划并进行明确分工。然后小组学员各自收集汇总，然后通过线上线下多种方式沟通与交流，共同对所收集的信息进行加工整理、研究、修改并概括，产生学习任务的共同成果。最后，每个小组成员利用网络向班级其他成员展示自己小组的成果并学习其他小组的反馈，然后针对反馈建议进一步完成自己的小组成果。最终是对整个网络贸易英语函电合作学习程序的一个分析。
2.2.4自主学习
在现代多媒体的教学活动中，良好的交互功可以帮助学习者不是被动地听，他们可以主动地参与到教学过程的各个流程中去。比如，温习一类部分，要解答一类问题，要发现自己的学习实际条件等，都能够终结正在运行的整个机制，调入到个人想要的另一部分中去。这样可以很大程度地调动了学习者的学习积极性。
3教学评价
【关键词】根式函数;最值;等价转化
众所周知，求函数最值是高中数学中的一个重要内容，其中有一种题型值得我们注意，那就是带根式的函数最值问题，由于这种题型特殊的结构，所以我们在解题过程中要注意充分利用式子的特征，巧妙灵活地进行转化，将不熟悉的变成熟悉的，将抽象的变成具体的，化腐朽为神奇.本文就此作一点探讨，供大家参考.
1.单调性
例1 求函数f(x)=x+1+x-1的最小值.
解析 函数定义域为［1,+∞)，利用函数单调性易见函数在x=1时有最小值2.
2.分子有理化
例2 求函数f(x)=x+1-x-1的最大值.
解析 函数定义域为［1,+∞)，巧添分母1将原函数转化为f(x)=x+1-x-1[]1，然后再分子有理化得f(x)=(x+1-x-1)(x+1+x-1)[]x+1+x-1=2[]x+1+x-1,由于分母的最小值为2,所以f(x)的最大值为2.
3.换元法
例3 求函数f(x)=x-x-1的最小值.
解析 函数定义域为［1,+∞)，令t=x-1，则x=t2+1,f(t)=t2-t+1(t≥0)，易知最小值为3[]4.
例4 求函数f(x)=x+1-x2的最小值、最大值.
解析 函数定义域为［-1,1］，设x=cosα,α∈［0,π］,
则y=cosα+1-cos2α，
化简得y=cosα+sinα=2sinα+π[]4,α∈［0,π］,
所以ymin=-1,ymax=2.
4.平方法
例5 求函数f(x)=3-x+x-1的最大值.
解析 函数定义域为［1,3］，注意到式子的特征，将等号两边同时平方得y2=2+2(3-x)(x-1)=2+2-x2+4x-3,x∈［1,3］,设t=-x2+4x-3,x∈［1,3］,易知tmax=1,则ymax=2.
5.不等式法
例6 求函数f(x)=3-x+x-1的最大值.
解析 函数定义域为［1,3］，可以利用基本不等式a+b[]2≤a2+b2[]2得
3-x+x-1[]2≤(3-x)2+(x-1)2[]2=1，当且仅当x=2时取“=”，所以ymax=2.
例7 求函数f(x)=3-x+2x-2的最大值.
解析 函数定义域为［1,3］，利用柯西不等式(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)得
(3-x+2x-2)2≤［12+(2)2］［(3-x)2+(x-1)2］=6,所以ymax=6.
6.数形结合法
例8 求函数f(x)=x2-2x+5+x2-6x+25的最小值.
解析 原函数转化为f(x)=(x-1)2+(0-2)2+(x-3)2+(0-4)2,可以理解为直角坐标系中点P(x,0)到点A（1,2)与点P(x,0)到点B（3,4)的距离之和，即
y=|PA|+|PB|,根据图像特点，求出点A关于x轴的对称点A′(1,-2)，则原函数的最小值为ymin=|A′B|=(3-1)2+(4+2)2=210.
7.导数法
例9 求函数f(x)=x(x-3),x∈［0,2］的最小值.
1. 知识与技能
（1）会用导数解决函数的单调性问题。
（2）能利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立他们的导数模型。
2. 过程与方法 通过利用导数研究函数单调性问题的过程，体会从特殊到一般的数形结合的研究方法。
3. 情感态度与价值观
(1)通过导数方法研究单调性的问题，体会不同数学知识间的内在联系，认识数学是一个有机整体。
(2)通过导数研究单调性的基本不骤的形成和使用，是的学生认识到导数使一些复杂问题变的有矩可循，因而认识到导数的实用价值。
【教学重难点】
重点:利用导数的方法判定函数的单调性。
难点:导数与函数单调性的关系。
【教学设计思路】 通过观察发现，启发引导，探究导函数与函数单调性之间的联系，得出结论。
【教学方法】观察发现，启发引导。
【教学手段】运用多媒体和板书。
【教学过程】
1. 问题激发，新课导入 教师:我们知道，对于函数y=f(x) 来说，导数y=f'(x) 刻画的是y 在 x点的瞬时变化率，函数的单调性描述的是y 随 x的增加而减少，两者都是刻画函数的变化，那么，导数与函数单调性之间有什么关系呢?
2. 实践感知，新知形成 教师:用多媒体展示几个函数的解析式，让学生求出以上6个函数的导函数。
(1)y=f(x)=2x+5 (2)y=f(x)=-3x+4
(3)y=f(x)=2x (4)y=f(x)=(12)x
(5)y=f(x)=log3x (6)y=f(x)=log12x
学生：
(1)f'(x)=2 (2)f'(x)=-3
(3)f'(x)=2xln2 (4)f'(x)=(12)xln12
(5)f'(x)=1xln3 (6)f'(x)=1xln12
教师:用多媒体展示这6个函数的图像，以及导函数的图像，并让学生观察各个点导函数的值与函数单调性有什么关系?同学间可以相互交流，(因制作了flas，只要教师拖动切点在曲线上运动，就能看到每一点切线斜率的值)
学生：函数（1） （3） （5）上各点的斜率都是正的，函数（2） （4） （6）上各点切线的斜率都是负的。
教师：我们知道各点切线的斜率就是各点的导数值。
学生: 函数（1） （3） （5）的导数是正的，函数（1） （3） （5）就是递增的，函数（2） （4） （6）的导数都是负的，函数（2） （4） （6）就是递减的。
教师：很好，对于（1） （3） （5）无论x 取定义域内的什么实数，都有f'(x) ＞0，函数 y=f(x)是增加的，对于（2） （4） （6）无论x取定义域内的什么实数，都有f'(x) ＜0 ，函数y=f(x) 是减少的。
【设计意图：一方面让学生回忆以前的初等函数的图像，加深记忆，另一方面从图像上观察各点导数值，提高学生观察图像的能力和抽象概括的能力】
教师:最后，我们再看函数 y=f(x)=x2导数及其单调性，用多媒体展示函数的图形及其导函数的图形，让学生相互讨论看有什么结论。
学生:当 x∈(0,+∞)时， f'(x) =2x＞0 ，函数 y=x2在区间 (0,+∞)上是增加的，当x∈(-∞,0) 时， f'(x) =2x＜0 ，函数y=x2在区间 (-∞,0)上是减少的。
教师:通过以上7个实例我们可以得到导函数与函数的单调性之间有什么关系?
学生:函数 y=f(x)的导数 f'(x) ＞0 ，则函数是增加的，函数 y=f(x) 的导数f'(x) ＜0 ，则函数是减少的。
教师:基本正确但一定要注意区间。
【设计意图：学生可能会忽略掉在定义域上求单调区间，为后面学习在给定区间上求极值和最值做准备】
教师：谁能准确的概括导数与函数单调性之间的关系？
学生抽象概括：如果是在某个区间内，函数y=f(x) 的导数 f'(x) ＞0 ，则函数在这个区间内是增加的，如果在某个区间内，函数y=f(x) 的导数f'(x) ＜0 ，则函数在这个区间内是减少的。
教师：非常棒，这么难的问题我们同学都能发现并表述的非常准确。
【设计意图：提高学生语言表达能力和抽象概括的能力，让学生感觉到自己也能发现新知识，提高对数学的兴趣】
3. 应用新知
例1. 求函数f(x) =2x3-3x2-36x+16的递增区间与递减区间。
分析:根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关，因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间。
解:(教师在黑板上板书)由导数公式表和求导法则可得。
f'(x)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3)
当x∈(-∞,-2) 或x∈(3,+∞) 时， f'(x) ＞0 ，因此，在这两个区间上，函数是增加的；当 x∈(-2,3) 时，f'(x) ＜0 ，因此，在这个区间上函数是减少的。
所以，函数 f(x)=2x3-3x2-36x+16的递增区间为 (-∞,-2)和(3,+∞) ；递减区间为(-2,3) 。
【设计意图：三次函数的单调区间在以前用定义求很复杂，但用导数求是既简单又准确，教师板书让学生能知道导数求单调区间的步骤】
4. 举一反三
（1）求函数 y=x3-3x2的单调区间，(叫学生到黑板上做)。
【设计意图：锻炼学生的书写的规范性，教师及时纠正学生书写中存在的问题】
（2）(2009江西高考，理17)设函数f(x)=ex x，求函数f(x) 的单调区间，(叫学生相互讨论后得出答案)
【设计意图：让学生感觉到高考题也不是很难，增强学生信心】
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导。
如果f'(x)＞0 ， 则f(x)为增函数；如果f'(x) ＜0 ， 则f(x)为减函数。
2.本节课中，用导数去研究函数的单调性是中心，能灵活应用导数解题是目的，另外应注意数形结合在解题中的应用。
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般，从简单到复杂。
【课后作业】
（1）书面作业：课本第62页A组1.2。
关键词：函数；高中数学；解题应用
中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1008-3561（2015）31-0063-01
高中数学中的转化思想，是将未知、陌生的问题转化成熟悉的问题。通过对已知条件及结论的分析，构造出函数、方程、不等式、向量、复数等辅助元素，进而联系条件和结论找到解题途径。这称为构造法。在高中数学中，构造函数是常见方法之一，有构造高次函数、构造指数函数、构造一次函数、构造二次函数、构造分式函数、构造三角函数函数及构造可求导函数等多种类型。
一、构造高次函数解题
例1：如果sin3θ-cos3θ>，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是（ ）.解答：不等式sin3θ-cos3θ>等价于sin3θ+>cos3θ+ 。设f（x）=x3+x5，显然f（x）=x3+x5是（-∞，+∞）上的增函数，于是有不等式f（sinθ）>f（cosθ），从而得sinθ>cosθ，再结合θ∈（0，2π），得
二、构造指数函数解题
例2：已知a、b、c为三角形的三边，且a2+b2=c2，n为正整数，且n>2，求证：cn>an+bn. 证明：由a2+b2=c2，知0
x+
x，易证f（x）在（2，+∞）上是减函数。所以n>2时，f（n）
x+
x
2+
2=1，故an+bn
x+
x（x>2）证明了不等式cn>an+bn。
三、构造一次函数解题
例3：设不等式2x-1>m（x2-1）对于一切满足|m|≤2的值均成立，求x的取值范围. 解答：原不等式可化为（x2-1）m-（2x-1）
f（2）
四、构造二次函数解题
例4：已知c、b、c∈R，a+b+c=1，a2+b2+c2=1，则a的取值范围是（ ）. 解答：b+c=1-a，b2+c2=1-a2，构造函数f（x）=2x2-2（b+c）x+b2+c2=（x-b）2+（x-c）2≥0恒成立，故有Δ=4（b+c）2-8（b2+c2）≤0，也即4（1-a）2-8（1-a2）≤0，解得-≤a≤1.本题将b+c和b2+c2看作整体，构造二次函数f（x）=2x2-2（b+c）x+b2+c2，利用二次函数性质得到判别式的不等式，从而求得结果。
五、构造分式函数解题
例5：证明对任意的实数a和b，不等式≤+成立. 证明：构造f（x）=（x≥0），f′（x）=>0，所以f（x）在[0，+∞]上单调递增，而|a+b|≤|a|+|b|，故f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即≤=+≤+，所以原不等式成立.这道题构造分式函数f（x）=（x≥0），将原本复杂的不等式证明变得简单。
六、构造三角函数解题
例6：求函数y=的值域. 解答：原函数可化为：y==・・，设x=tana，则=cos2a，=sin2a，所以y=cos2a・sin2a=sin4a. 根据-1≤sin4a≤1，得y∈[-，]. 这里将原函数变形后容易联想到三角中的万能公式，进而把原函数转化为三角函数，容易求得值域。
七、构造可导函数解题
例7：若x∈（0，+∞），求证：1，x=，则原不等式等价于1-0，所以f（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）>f（1）=0，即lnt1），g′（t）=-=>0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，故g（t）>g（1）=0，即lnt>1-，所以原不等式成立。本题通过换元将原不等式的对数真数部分化简，再构造两个可导函数，从而证明原不等式成立，这种构造思想在证明不等式中经常使用。
八、结束语
函数是高中数学的重点内容之一，利用构造函数思想解题较为普遍。这需要学生熟悉函数的形式及函数性质，才能选对函数模型，从而既解决问题，又事半功倍。
参考文献：
在学习完二次函数以后，我出了这样一道题：某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式。（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？
这道题是一道利用求二次函数的最大值解决实际问题的试题，稍作分析不难发现：商场的利润是由每件商品的利润乘以每天销售的数量所决定的。在这个问题中，每件服装的利润为（x-42），而销售的件数是（-3x+204），那么就能得到一个y与x之间的函数关系，这个函数是二次函数。销售的最大利润就是求这个二次函数的最大值。我以为学生解答这样的题应该没有问题，但出乎我意料是，很多学生对此束手无策，能做出来的寥寥无几。
二 问题思考
为什么会这样呢？经过教学证明：（1）学生对二次函数的图形变化没有掌握牢固，弄不清楚沿x轴、y轴移动后函数式到底怎样变化。（2）不能把图像和具体问题联系起来。看到二次函数图形对何时取最大值、最小值弄不清楚。究其原因，主要有以下几点：教学中教师忙于完成教学任务，让学生吃了“夹生饭”，学生没有很好理解二次函数的概念、性质、图像；教学中教师未能为学生的学习创设良好的问题情境，让学生在生活中学数学；二次函数的应用需要学生有较强的综合能力，而教学中教师对学生综合能力的培养不够。因此，在教学中我们应根据学生的心理特点和教材特点组织课堂教学。
三 问题的研究
1.专业、理论指导
《课程标准》强调自主、探究、合作的学习，强调数学与生活的联系。因此，课标教材中安排了一些现实生活中与二次函数紧密联系的一些最常见的题型，这些问题的设计使学生感受二次函数的意义，感受到数学与生活的广泛联系和应用价值，还安排了大量的探究性活动，通过学生的合作与交流，获得相应的知识与技能。具体思路如下：（1）通过分析实际问题以及表示这一关系或过程引出二次函数的概念。（2）对二次函数性质的研究采取利用图像直观的非形式化的研究方式，通过学生自己的探索活动，达到对抛物线的特点的认识和对二次函数的理解。（3）二次函数图像的研究是由简单到复杂、从特殊到一般的过程，并且贯穿了实际问题，把图像直观与实际意义相联系。（4）用表格、表达式、图像等多种方式表达二次函数。（5）可利用二次函数解决实际的问题。
2.实践指导
实践是认识事物的源泉，是发现事物规律的有效途径。数学是数学活动的教学，没有做就没有数学学习，因此，在进行二次函数的教学中，我们应为学生创设问题情境，加强数学与生活的联系，让学生在问题情境中做数学，培养学生运用数学解决实践问题的能力。
3.他山之石
“数形结合”在二次函数中的应用。数形结合是通过“数”与“形”的互相转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化。数形结合是初中数学的基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想。近年来，各地中考对考生数形结合能力的考查越来越深，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。
第一，“以形解数”。
例1，已知：点（-1，y1），（-3，y2），（2，y3）在y=3x2+6x+2的图像上。则：y1、y2、y3的大小关系为（ ）。
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1
分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2，画出图像，由图像可以看出：抛物线的对称轴为直线x=-1。
即：x=-1时，y有最小值，故排除A、B，由图像可以看出：x=2时y3的值，比x=-3时y2的值大，故选C。
注：以上是“以形解数”，即将数量关系借图形表示，使其直观化、形象化，从而使问题得以解决。
第二，“以数助形”。
例2，已知：二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1
注：例题由数到形，由形到数，用运动变化的观点去分析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图像的变化规律，解决十分巧妙，充分体现了“数”“形”结合的解题思想。
通过以上例子可看出，正确地利用“数形结合”可使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易得以解决。
四 教学实践与策略探究
我们要从课堂教学入手，探索培养学生应用二次函数的知识和思想方法解决实践问题的能力。
1.收集图片，激发学习兴趣
兴趣是学习的动力源泉。我们在教学二次函数之前搜集了具有代表意义的图片，如中国的石拱桥、火车隧道的形状、摆动的跳绳、射出去下落的子弹等抛物线形。在课堂上用多媒体展示，并与学生讨论这些建筑物和运动项目与二次函数抛物线的关系，使学生认识到二次函数应用的广泛和学次函数的必要性和重要性，以激发学生的学习兴趣，充分调动学生的积极性。
2.经历探索过程，理解定义内容
让学生从已学过的一次函数着手，通过例题学习并自己体味二次函数的定义。如圆面积S=πr2，当r变化时，S因r的变化而变化，此时r可以是自变量，S是因变量，且r的最高次是2。
再如学生自己探索出y=-5x2+100x+60000，当x变化时y也变化，并且x的最高次数是2。
由此让学生自己总结定义，如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫x的二次函数，同时还要注意不同情况下自变量x的取值范围。此时，教师要引导学生不能死记硬背定义，能够灵活地举出二次函数的各种实例，如正方形面积S和边长a之间的关系S=a2是二次函数等。把理论知识和实践生活结合在一起，真正理解定义的内容。
3.借助多媒体演示，掌握图形特点
让学生从最简单的二次函数y=ax2的图形着手研究其特点：顶点坐标、对称轴、最大（小）值、开口方向，注意x的取值范围，连点的曲线要光滑，由此得出抛物线图形。再利用多媒体对图像沿y轴（x轴）进行平移h个单位，在平移过程中图形的开口方向和大小都没改变，但是位置、顶点坐标、对称轴发生了变化。
此时，学生一定要在脑海中清楚地呈现出二次函数的各种图形特征，才能灵活地解决二次函数的各种问题。学生在理解定义、掌握图形特点的基础上，教师还要引导学生加强训练，拓宽视野，完善思维结构，教会学生思维方法，优化他们的思维品质，从根本上提高学生的解题能力，扫除前进道路上的困难。
五 我的反思
一、函数的基本概念问题
1.抽象函数的定义域问题
例1 已知函数f（x?）的定义域是[1，2]，求f（x）的定义域。
解：由函数f（x?）的定义域是[l，2]，得l≤x≤2，则1≤x?≤4。
故函数f（x）的定义域是[1，4]。
评析：一般地，已知函数f（ψ（x））的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f（ψ（x））中x的取值范围为A，据此求ψ（x）的值域问题。
例2 已知函数f（x）的定义域是[-1，2]，求函数的定义域。
解： 由函数f（x）的定义域是[-1，2]，得：在函数中，
解得
故函数的定义域是。
评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数f（ψ（x））的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。一般地，若函数f（x）的定义域是A，则x必须是A中的元素，而不能是A以外的元素，否则f（x）无意义。因此，如果f（xo）有意义，则必有所以这类问题实质上相当于已知ψ（x）的值域是A，据此求z的取值范围，即由ψ（x）∈A建立不等式，解出z的范围。例2和例1形式上正好相反。
2.抽象函数的求值问题
例3 已知定义域为R+的函数f（x），同时满足下列条件：①f（x）+f（y），求f（3）、f（9）的值。
解：取x=2，y=3，得f（6）=f（2）+f（3）。又，则
取x=y=3，得
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取x=2，y=3，这样便把已知条件与欲求的f（3）沟通了起来，这是解决此类问题的常用技巧。
3.抽象函数的值域问题
例4 已知函数f（x）满足：对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x>O时，f（x）
（l）求证：f（x）是奇函数。
（2）证明：f（x）是减函数。
（3）当x∈[-3，3]时，求f（x）的值域。
解：（l）令x=y=0，得f（O）=f（O）+f（O）=>f（O）=O。
对任意的x∈R，有f（O）=f（x）十f（-x）=0=>f（-x）=-f（x）。
故f（x）是奇函数。
（2）设x1>X2。
由f（x+y）=f（x）+f（y）及（1），得
由，知。又x>0时，，则
故f（x）是减函数。
（3）由f（1）=-2及f（x+y）=f（x）+f（y），得：f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2f（1）=-4，f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6。结合（1）及（2）的结论，得：当x∈[-3，3]时，f（x）∈[f（3），f（-3）]=[-6，6]。
评析：由f（x+y）=f（x）+f（y）模型，联想到正比例函数f（x）=kx。若是选择题或填空题，还可以直接由待定系数法求出f（x）=-2x，进而求值域。
4.抽象函数的解析式问题
例5 设对满足x≠O、x≠1的所有实数x，函数f（x）满足，求f（x）的解析式。
解：
在（1）中，以代换x，得： 在（l）中，以代换x，得：
联立（1）、（2）和（3），可得：
评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题的关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
二、研究函数的性质问题
1.抽象函数的单调性问题
例6 设f（x）定义在实数集上，当x>o时，f（x）>1，且对任意实数x、y，有f（x+y）=f（x）f（y），求证：f（x）在R上单调递增。
证明：在f（z+y）=f（x）f（y）中，取x=y=O，得f（0）=f2（O），则f（O）=O或f（0）=1。
若f（O）=0，在f（-x+y）=f（x）f（y）中，令x>0，y=0，则f（x）=O，与f（x）>1矛盾，故f（0）≠O。
故f（O）=1。
当x>0时，f（z）>1>O。
当x0，则f（-x）>1>0。由f（x）f（-x）=f（0）=1，得
当x=0时，f（x）=1>O。
故对任意x∈R，f（x）>0。
设，则
故f（x）在R上单调递增。
例7 已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m、n，均有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且，当时，有f（x）>0，求证：f（x）单调递增。
证明：设，则则
故函数f（x）单调递增。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
2.抽象函数的奇偶性问题
例8 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数a、b，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）成立，且f（0）≠O。试判断f（x）的奇偶性。
解：令a=b=O，得f（O）+f（0）=2f（O）.f（0），即2f（O）・[f（0）-1]=0。又f（O）≠O，则f（O）=1。
令a=0，b=x，得f（x）+f（-x）=2f（O）.f（x）。又f（0）=1，则f（-x）=f（x）。
故f（x）是R上的偶函数。
评析：把握奇偶性的定义，即首先考察定义域是否关于原点对称，再判定f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否成立。解决这类问题，可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论。由三角函数的和差公式可知cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，观察题中条件，我们可判断本题是以余弦函数f（x）-cos x为模型设计的问题。
3.抽象函数的周期性问题
例9 函数f（x）的定义域为全体实数，对任意实数a，b，有f（a+b）+f（a-6）=2f（a）.f（b），且存在C>o，使得，求证：f（x）是周期函数。
思路分析：因为cos（a+b）+cos（a-b）=2cosacosb，且，因而得出函数f（x）的模型函数为y=cos x。由y=cos x的周期为2π，可猜想2C为f（x）的一个周期。要证明2C为f（x）的一个周期，只需证明f（x+2C）=f（x）。
证明：令，代人中，得
故f（x）是周期函数，且2C是其一个周期。
例10 若对于常数m和任意实数x，等式成立，求证：f（x）是周期函数。
思路分析：，因而得出函数f（x）的模型函数为y=tan x。由于y=tan x的周期是π，恰为的4倍，因而自然猜想4m是函数f（x）的一个周期。要证明4m为函数f（x）的一个周期，只需证明f（x+4m）=f（x）。
证明：将已知式中的x换成x+m，可得：
将中的x+2m换成x+4m，可得：
故f（x）是周期函数，且4m是其一个周期。
评析：如果没有余弦函数或正切函数作为模型，就很难想到2C或4m是所求函数的一个周期，解题思路是比较难找的。由此可见，根据已知条件中的对应法则的结构特征，类比所学过的一些函数，寻求或构造恰当的模型函数，可以为思考与解题指明方向，这是处理抽象函数问题的一种重要策略。
4.抽象函数的对称性问题
例11 已知函数f（x）满足：对一切实数x，都有f（2+x）=f（2-x）。如果方程f（x）=O恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
解：由f（2+x）=f（2-x），知直线x=2是函数f（x）的图像的一条对称轴。
f（x）=O有4个不同的实根，现从大到小依次设为x1，x2，x3，x4则与关于直线x=2对称，x2与x3关于直线x=2对称，故x1+x4=x2+x3=2×2=4。
x1+x2+x3+x4=8。
评析：一般地，若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则直线x=a是函数f（x）的图像的一条对称轴。利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。
三、抽象函数中的综合问题
例12 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）f（n），且当x>0时，0
（l）判断f（x）的单调性。
（2）设，若，试确定a的取值范围。
解：（l）在f（m+n）=f（m）f（n）中，令m=l，n=0，得f（1）=f（1）・f（0）。又f（1）≠0.则f（0）=1。
当x>0时，O
当x0，则O
当x=0时，f（x）=1>0。
故对任意x∈R，均有f（x）>O。
设，则，故
故函数f（x）在R上单调递减。
（2）由于函数f（x）在R上单调递减，所以等价于：
由于，根据函数f（x）的单调性，所以
由，得直线与圆面无公共点，则
解得-1≤a≤1。
评析：要讨论函数的单调性，必然涉及两个问题，一是fO）的取值问题，二是结论f（x）>O的证明，完成这些需要在抽象函数式中进行，由特殊到一般的解题思想和联想类比思维都有助于问题的思考和解决。解决第二问时，要根据第一问的结论，消去函数符号。
例13 已知定义在R上的函数f（x）满足：①值域为（-l，1），且当x>0时，-1
（l）求.f（0）的值。
（2）判定函数f（x）的单调性，并给出证明。
解：（1）在，得整理得f（0）.
由于函数f（x）的值域为（-l，1），所以-l≠O，则f（O）=0。
（2）在中，令-x，注意到f（O）=0，得f（x）+f（-x）=0，则函数f（x）为奇函数。
因此，即f（x）-f（y）=f（x―y）[1-f（x）f（y）]。
设x>y，则x-y>0，故f（x-y）
由于函数f（x）的值域为（-1，1），所以-l
故厂（x）-f（y）=f（x―y）[1一f（x）f（y）]
故函数f（x）在R上单调递减。
评析：要讨论函数的单调性，必然涉及f（x）-f（y），于是证明函数的奇偶性成为解题的第一个关键性步骤。
例14 函数f（x）的定义域为D：{x|x≠0}，且满足：对任意，有
（l）求f（l）的值。
（2）判断f（x）的奇偶性并证明。
（3）如果f（4）=1，f（3x+l）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（O，+∞）上单调递增，求x的取值范围。
解：（l）令，得f（1×1）=f（1）+f（l），则f（1）=0。
（2）令，得f（（-l）×（-1））=f（-1）+f（-l），则f（-l）=0。
令，得f（-x）=f（-l）+f（x），则f（-x）=f（x）。
故f（x）为偶函数。
（3）f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4） =3。
f（3x+l）+f（2x-6）≤3等价于：
f（（3x+l）（2x-6））≤f（64）。
①
由f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）为偶函数，得①式等价于：
或
由（*）得则3
由（**）得则