时间：2022-03-18 23:13:48
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇圆的周长教学反思，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
教学片断一：
课件出示狗兔赛跑的情景（如图1）：小狗沿着正方形的路线跑，兔子沿着圆的路线跑，结果兔子赢了，小狗觉得不公平。
师：为什么小狗认为不公平呢？想一想，正方形和圆有什么关系？
生1：正方形的边长就是圆的直径。
生2：这个圆是正方形中最大的圆。
师：你能比划出圆的周长吗？圆的周长在哪里？
生3：就是圆一周的长度。
师：图1中，从圆周长和正方形周长的比，你发现了什么？
生4：正方形的周长可以直接测量，而圆的周长不能直接测量。
生5：正方形的周长是边长的4倍，但圆比正方形小，圆的周长不够正方形边长的4倍。
生6：因为圆的直径等于正方形的边长，所以圆的周长不够直径的4倍。
师（出示图2）：圆的周长大小和什么有关？
生7：圆的周长和直径有关。圆的直径越大，周长越大。
师：刚才大家猜测圆的直径不够周长的4倍，那会是几倍？
生8：2倍多。
生9：3倍多。
生10：超过3倍，但小于4倍。
师（出示图3）：现在我们把圆的周长等分成四条圆弧，半径、圆弧、斜边的大小关系是怎么样的？圆弧大约是半径的几倍？
生11：斜边大约是半径的一倍多。
生12：圆弧是斜边的一倍多。
生13：4个圆弧就是圆周长，是直径的3倍多。
……
反思：为了引发学生自主探究的热情，笔者创设情境，从正方形和圆的关系入手，让学生在比较和类比中思考，得出“圆的周长比直径的4倍少”的结论。这样的引领，使学生有了探究的方向，为下一步验证猜想、催生新知提供了生长点，并渗透了转化的数学思想。
教学片断二：
师：大家认为圆的周长可以怎么测量？
生1：用绳子绕圆一圈，然后测量绳子的长度即可。
生2：在直尺上滚动一周。
师：不错，这叫化曲为直法。现在大家拿出学具，测出圆的周长和直径，并将数据填写在表格中。
■
师：大家观察这个表格中的数据，你发现了什么？
生3：比值都接近3．14。
生4：圆的周长总是它的直径的3倍多。
生5：任意一个圆的周长都是它的直径的3倍多。
师：你还有什么问题吗？
生6：为什么不是一个固定的数，而是都接近3．14呢？
师：谁来回答这个问题？
生7：我知道，因为测量的时候存在误差。
师：古代有一个人就像大家一样，在猜测的基础上进行反复的测量计算，最后发现这个比值的结果始终在3．1415926和3．1415927之间，这就是祖冲之研究出来的圆周率π（板书公式：■＝圆周率）。你对圆周率有什么认识？
生8：圆周率是固定不变的一个数。
生9：圆周率是圆周长与直径的比值。
师：有了圆周率，你怎么计算周长？如果周长用C表示，直径用d表示，怎么表示圆的周长计算公式？
生10：就是C＝πd或者C＝2πr。
师：现在大家想想，小狗和兔子赛跑，为什么不公平？
生11：小狗跑的是边长的4倍，兔子跑的是边长的3．14倍，肯定小狗跑的路多了。
师：如果要你测量校门前香樟树的直径，你怎么算？
生12：先用绳子测量香樟树一圈的周长，然后根据圆的周长计算公式算出直径。
……
一、说教材（分析重难点、知识体系）。
1、教学内容：九年义务教育六年制小学数学第十二册每一单元中的第二课时“圆的周长”即第四页教材及例1。
2、分析：在小学教学中，几何知识是比较抽象的，而小学生的思想思维是处于具体形象思维转化为抽象思维过渡的阶段，教师的主要任务是：首先把抽象的几何知识具体化，使学生看得清，摸得准。从而积累起丰富的感性认识。然后引导学生把这些感性认识加以分析、比较、概括，形成抽象的几何概念。最后还要设计题目，使学生运用所学概念，巩固加深理解所学知识。“圆的周长”这节课，是在认识的基础上进行教学的，主要从突破“圆的周率的意义”这一重难点出发，教师通过形象、直观的教具（或幻灯）进行演示实验，推导出求“圆的周长”的计算公式，并运用其公式进行计算，解决人们在生产生活中的一些实际问题。从而为今后学习有关几何形体的表面积和体积奠定了基础。
3、教学目的：通过教学，使学生理解；圆的周长与直径的关系――圆周率的意义。并撑握圆周率的近似值，理解和掌握求圆的周长的公式，能解答有关问题。
4、重点、难点：圆周率的意义。
5、教具、学具：用硬纸板剪好的直径为1分米、2分米、3厘米、6厘米的圆形，直尺和细线绳。
二、说教学方法：
1、教法：在这节课的教学中，准备采用了自学教材，启发诱导的方法：在教学“圆周率的意义”时，准备采用演示实验的方法：在巩固新知识时准备采用“双向质疑，双化训练”的方法。同时严格遵循了“以学生为主体，以教师为主导”的教学规律。
2、学法：通过本节教学，教给学生动手实验，认真思考问题的方法：分析“圆的周长与直径”的关系。利用“商与除数”的关系，推出“圆的周长”的计算公式的方法。从而培养学生利用计算公式解决实际问题的能力，发展学生的思维。
三、说教学过程：
本节课按五个环节进行教学：A、复习检查：B引入新课：C、教学新知识：D、巩固训练：E、布置作业。
A、复习检查：
1、提问：在同圆或等圆中所有的半径怎么样？所有的直径也都怎么样？直径与半径有什么关系？
2、检查：请同学们把课前剪好的三个硬纸圆（直径为2厘米、3厘米、6厘米），直尺和细线绳放在桌面上。
B、引入新课：同学们：以前咱们学习了长方形和正方形周长的概念的计算方法，今天咱们来认识“圆的周长”。（板书课题）
C：教学新知识：分八个层次：1、自学教材（预习）；2、提出问题；3、进行演示；4、学生自己实验；5、总结圆周率意义；6、进行爱科学教育；7、推导“圆周长”计算公式；8、教学例1。
1、预习：师：“圆的周长是指圆的那一部分？圆的周长与直径有什么关系？怎样计算圆的周长呢？请同学们带着这些问题预习第4――5页教材。
2、提问：（1）请指出圆的周长在圆的那一部分？（学生指给老师或同桌看）；（2）圆的周长与直径有什么关系？（生回答不上来或答不具体没关系）。
3、进行演示实验：
师：有时我们容易量出圆的直径，不容晚是出圆的周长，有时候我们容易量出圆的周长不容易量出圆的直径。如果能找出周长和直径的关系，就可以根据周长求出直径，根据直径求出周长了。
请两名学生到讲台前参加做实验：师拿出直径是1分米的圆在米尺上滚动一周，让拿尺的同学观察后报出周长的数据：
直径：1分米，周长：3.1分米多一些。
4、让学生自己实验并指名报出数据：
直径：2厘米，直径：3厘米，直径：6厘米。
周长：6.28厘米 周长：9.42厘米 周长18.84厘米。
5、让学生自己总结圆周率的意义：
圆的周长总是直径的3倍多一些。这个倍数是个固定不变的，我们把它叫做圆周率。（师板书）：
圆周率=圆的周长÷直径。[圆周率用字母“Л”表示，Л（pai）=3.14读做pai]
6、进行爱科学教育：
这个圆周率是我国宋代杰出的数学家祖冲之研究发现的，他的这一成果在世界各国数学事业上做出了桌绝的贡献。我们在学习中要沿着前人的历史足迹，勇于探索、敢于创新，也会成为象祖冲之这样的科学家。（然后教学л的读法和写法：略）
7、推导圆周长的计算公式：
因为：圆的周长÷直径=圆周率
所以：圆的周长=直径×圆周率
用字母表示：C÷D＝л
C=лD或C=2л r
提醒：字母公式不能写成C=2r×л或C=л2r
8、教学例1：
师：圆周率在实际运用中十分广泛，下面我们利用公式来解决人们在生产与生活中的一些问题。
出示例1：一辆载重汽车轮胎外直径是1.76米，车轮滚动一周的距离是多少米？（得数保留两位小数。）
（1）、让学生默读例1，口述题中的条件与问题；
（2）、指名回答：已知直径如何求周长？
（3）、指名口述计算过程，师板书，并写出答案。
解：C=лd
＝3.14×1.76
＝5.5264
≈5.53（米）
答：车轮滚动一周的距离约是5.53米。
生质疑：（请说出你不懂的知识及问题）。（略）
师点化：在计算时，为了记忆公式，计算时要先写字母公式，再代入数值进行计算，取近似值时要特别注意等号和约等号的运用。
D、巩固训练：
师：这节课我们认识了“圆的周长”，理解了圆的周长与直径的关系即圆周率的意义，并运用圆的周长计算公式解答了例1中所求的问题，（师侧身，手指黑板，生看着黑板上的板书），大家撑握得怎样呢？请同学们进行巩固练习；
1、强化训练：
（1）、阅读教材第4―5页及例1。
（2）、指名板演：已知下面几个圆的直径，求它们的周长各是多少？
D=2米 D=1.5分米 C= ，D=7厘米 C= ，
D=10分米 C= ，r=4.5分米 C= ，r=6厘米 C= 。
2、优化（升华）：
（1）一辆自行车车轮的半径是28厘米，它滚动5周的长度是多少厘米？
（2）、下图是由4个直径是1分米的半圆组成，求曲线的总长。
■
E、布置作业：
练第2、3、6、7题。
四、说板书设计：我是这样进行书设计的：
复 习
提问：在同圆或等
圆中所有的半径、
直径怎么样？直径
与半径朋什么关系？
圆的周长/直径=圆周率
3.14=Л
圆的周长=圆周率×直径
C＝ЛD或
C＝2ЛR
例1：一辆载重汽车
……
解：C＝ЛD
＝3.14×1.76
＝5.5246
≈5.53
答：…………。
五：说体会：
[关键词] 体验；设计；反思
■ 指导思想与理论依据
1. 课程标准承载着上海课程改革的理念，是教材编写、课程实施、教学和评价的主要依据. 因此，本节课严格按照《上海市中小学数学课程标准》中所规定的理念和要求，坚持从知识与技能、过程与方法以及情感态度价值观三个维度进行设计与实施教学，面向全体学生，以适应学生个性发展的需要.
2. 建构主义理论认为学习是知识等建构的过程，因此本设计充分关注课程中的学习过程，以及学生主体性和创造性的发挥. 教学过程充分提供亲身感受、体验的机会，学生则在自主探索与相互交流中，实施探究，建构知识，增加体验.
3. 人本主义理论强调教学要营造民主宽松的氛围，重视发展主体意识、合作意识，经历将实际问题进行数学抽象、建模求解和解释的过程，学生自行获取数学知识，获得终身受用的数学方法与能力.
■ 教学背景分析
1. 学习内容分析
“4.1 圆的周长”是上海教育出版社九年义务教育课本六年级第一学期第四章第一节的教学内容，本课教学以长方形、正方形的周长知识为认知基础，是对小学所学“圆的初步认识”的深化. 作为实验几何学习的起步阶段，本节课的教学以学生熟悉的生活情境为线索，创设自主探究、小组合作的氛围，引导学生经历导出圆周长公式的过程，重在培养动手操作和实验验证的能力，并从中渗透“化曲为直”“类比”“由特殊到一般”等数学思想方法；通过圆周长公式在生活中的应用，锻炼学生“用几何语言表达”和“用逻辑推理说明几何问题”的能力，为后续学习“弧长”“圆的面积”等做铺垫.
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：圆的周长公式的应用.
2. 学生情况分析
在小学阶段，一方面，学生已经具有长方形、正方形周长公式的推导体验，并能利用长方形、正方形的周长公式解决简单问题；另一方面，也初步认识了圆的各部分名称，知道半径、直径的关系，并且会画圆；加之学生好奇心和探究欲强等特点，学生已具备探究圆的周长公式的条件和基础. 但六年级学生的逻辑思维具有一定的局限性，“化曲为直”的转化思想和通过实验发现规律、得出公式的数学思维模式对学生的数学素养、学习能力要求较高，对学生构成了挑战.
基于以上分析，本节课的教学难点是：圆的周长公式的导出，以及对圆周率π的理解.
3. 教学方式、手段说明
（1）激活思维，自主探究
本节课给学生提供充足的探索工具、时间和空间. 以小学所学关于圆的初步认识和生活经验的积累为前提，“测量圆的周长”成为学生的最近发展区；以类比思想激活学生思维，自主寻找“影响圆周长的因素”“圆周长和直径的数量关系”，体验“由一般到特殊”的归纳思想，发展直觉思维和创造性思维，体现“实验几何”的特点.
（2）合作交流，归纳总结
本节课采用的方式是自主探究和合作交流相结合. 在探究中，学生以头脑风暴的方式探求测量圆周长的方法；小组分工协作，共同完成测量、填表等任务，并总结经验、展示成果；猜想、归纳规律；增强合作精神，提高数学语言表达能力和逻辑思维能力.
4. 技术准备
（1）教具准备：多媒体、实验数据单、绳子、软尺、直尺、三角尺、圆形物品.
（2）学具准备：直尺、三角尺、计算器.
5. 前期教学状况、问题、对策说明
（1）前期教学状况：一方面，学生已经理解周长的含义，在小学阶段通过观察、实验操作、制作模型等活动，探究过三角形、长方形和正方形的周长，并可以解决有关这些图形的周长的实际问题；另一方面，也通过操作活动，初步认识了圆形.
（2）存在的问题：虽然学生对圆的周长已有感性认识，但以前都没有理性地思考过曲线的测量问题. 同时，本节课的学习内容要求学生具备一定的观察能力、归纳能力和数学语言表达能力. 另外，在实验操作环节中，对学生的动手操作能力和合作交流能力也有一定的要求.
（3）解决对策：准备多媒体动态演示方案和充分的教具以及学具，增加直观手段，从学生的认知起点出发，给予充分的自主空间，引导学生结合生活经验设置坡度、化解难点，通过自主探究、合作交流，探求圆的周长和直径的数量关系，形成圆的周长公式，从而真正理解公式的实质和内涵.
■ 教学目标设计
1. 认识圆的周长，理解圆的周长公式及圆周率π，会用公式进行简单问题的计算.
2. 通过操作实验，得出圆的周长与直径的数量关系，体会“化曲为直”“类比”等数学思想方法，进一步增强探究意识.
3. 通过圆周率史料的介绍，进一步激发爱国主义情感和民族自豪感.
■ 学习效果评价设计
1. 学生学习效果评价分析
首先，在操作实验部分关注学生的参与程度和思维水平，在应用公式部分关注学生对基本知识的掌握情况和解决实际问题的意识与能力.
其次，在教学过程中尊重学生的个体差异，对学生的不同思维方式，只要合理就都给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教学评价的价值.
同时，在小组讨论、个人展示和公式应用中，为学生提供生生评价的平台，让学生学会质疑，学会相互欣赏、学习和借鉴.
2. 教师教学效果评价分析
本节课，教师为学生提供充足的独立思考、自主学习的时间和空间，引导学生通过自主操作实验，得出圆的周长与直径的数量关系，形成圆的周长公式，促进学生数学思维能力、创造能力的发展与提高. 在应用公式进行简单计算中，创设校园生活情境，从学生已有知识经验出发设置理解的难度、梯度，使学生几何语言理解、推理、表达和书写的能力都能得到锻炼.
■ 教学设计特色及反思
本节课，在设计上主要有以下几点特色：
1. 运用类比方法，把教学过程变成对知识的探索过程
本节课，在“圆周长公式的导出”过程中，教师引导学生运用类比的思想方法，保障学生的主体地位，把大部分时间留给学生. 学生既有独立思考、自主探究，又有动手操作、合作探究，还有小组展示、交流互动，思维常常处在提出问题、不断尝试、解决问题的状态，学生学会自主学习和主动参与数学实践的本领.
2. 注重学科育人价值的实现
通过学习我国古代数学家们对圆周率研究的贡献，有机渗透了爱国主义教育，发挥了学科的育人作用. 在本节课中，学生当了一回祖冲之，经历了圆周率“再发现”的过程. 教师提供了许多大小不同的圆，学生研究圆周长与直径的数量关系，在此基础上，教师引导学生分析、比较、归纳、概括，并将发现最终归结为一点：圆周长是直径的3.14倍. 在这样的课堂中，学生感受了、实践了，并再现了祖冲之的智慧，增强了民族自豪感.
3. 注重数学思想方法的渗透
本节课，学生通过探索“测量圆周长的方法”获取直观经验，体验“化曲为直”的数学思想；通过“类比正方形，探究圆周长公式”的环节感受用“类比”的方法进行知识迁移及“由特殊到一般”的思想方法；通过“发现半径、直径、周长的变化规律”体会函数变化的思想. 这些都为学生以后的数学学习奠定了良好的基础.
4. 有效发挥媒体技术的助力
本节课应用PPT动画演示“绕绳法”和“滚动法”，既精准又直观，提高了课堂效率. 应用几何画板展示圆周长和直径的数量关系，实时测量、计算它们的比值，能及时验证学生的结论，学生自然发现：圆的周长与直径的比值是一个固定的数值. 多媒体动态资源为教学提供了鲜活的素材.
5. 值得改进的地方
一、让学生在“操作”中积累数学基本活动经验
“儿童的智慧在自己的指尖上”。动手操作是学生学习数学的重要途径和方法。动手操作能把抽象的知识变成看得见、讲得清的现象。学生在动手操作体验的过程中，能够获得直接经验和亲身体验，促进思维的发展，而思维的发展又会指导他们的双手更灵巧地活动，也就是通常所说的“心灵手巧”。因此，在教学过程中，应留给学生充裕的时间，放手让学生自己去操作、实验、计算。
我在教学教学“周长的认识”一课时，在初步建立周长的概念之后，我为孩子们准备了钟面、树叶、长方形、正方形、五角星、不规则图形等学具，让孩子们画周长、说周长、找周长，使他们在活动中进一步明确周长的含义。接着安排了如何测量各种不同形状的图形的周长的环节，提供了直尺、毛线、皮尺等测量工具，鼓励学生利用现有的工具思考测量周长的不同方法。在这样开放的探索空间中，教学过程呈现出双向的交流、动态的建构，测量曲线图形周长的操作中还渗透了化曲为直的数学思想。学生在一系列有效的活动中不仅掌握了新知，而且领会了数学的基本思想，还积累了丰富的数学活动经验。
二、让学生在“探究”中积累数学基本活动经验
猜想、探究学习是数学新课标倡导的重要的学习方式之一，有利于培养学生的探究精神。作为教师，我们应该为他们创造宽松、和谐、愉悦的环境，提供广阔的探索空间，促使学生数学能力的发展，有效积累数学活动经验。
例如教学“圆的周长”，教师按以下三步进行教学：（1）给学生提供的材料有纸片圆、布片圆、钟面上时针转动形成的动态圆。问：能量出这些圆的周长吗·怎么量·（2）猜一猜，圆的周长可能跟什么有关系，有怎样的关系·根据测量结果验证自己的猜想。（3）当学生初步发现圆的周长与半径或直径的商存在一定的规律后，教师才出示表格。学生当无法利用绕绳、滚动的方法测量时，自然诱发了重新探索的欲望。尤其是无法直接测量时针转过的圆的周长时，学生自然转入探索圆周长的计算方法，整个过程充满了挑战性与探索性。更巧妙的是教师没有直接呈现例题的表格，而是让学生猜一猜圆的周长可能与什么有关，然后动手测量、计算、验证自己的猜想。这样，给了学生一个自主探索的时空，各个小组测量、收集各圆的周长、直径或半径，通过对周长和直径或半径的长度进行加减乘除四则运算后，找到了它们之间只有除法才存在规律。这时出示表格，通过填表，不同的研究对象得到相同的结果，从而得出了“圆的周长总是直径的3倍多一些”或“圆的周长总是半径6的倍多一些”的结论。整个过程中，学生自己猜想、自主操作、主动思考、交流互动，真正经历了有效的探究过程。在这类探索活动中，学生所积累的数学活动经验也因个体的强烈感受而充满了活力。但要使数学活动经验更长效地纳入学生的个体知识体系，还需要经历一个概念化和形式化的过程，这是经验与“双基”相互融合、向“思想”升华的必要途径。
三、让学生在“运用”中积累数学基本活动经验
在数学教学中，教师要善于在现实生活中采撷教学实例，把社会生活中的题材引入到数学课堂教学之中，让学生在发现问题、解决问题、实践活动的过程中，建立“用数学”的意识，培养“用数学”的能力，体验“用数学”的乐趣，建立“用数学”的意识，在“用”中积累数学基本活动经验。
例如教学《找规律》后，让学生分小组为黑板报设计有规律的花边，为“学习园地”设计有规律的花边，比一比哪个小组设计的花边新颖、漂亮，让学生在生活中运用规律的知识，在比赛中获得成功的体验。又如教学《统计》后，引导学生调查本班同学每天看电视的时间，制作统计图表，提出问题并解决问题，谈谈自己的看法。使学生学会在生活中运用统计知识，并学会自我控制、自主管理。促使学生能够主动联系生活实际，在实际背景中应用数学，能够主动运用数学思想方法解决问题。
四、让学生在“反思”中积累数学基本活动经验
数学活动经验是属于学生自己的，带有明显的个性特征，就学习群体而言，数学活动经验又具有多样性，因此，数学活动经验的积累需要学生的自我反思，也需要与同伴展开积极的交流。
例如教学《平行四边形面积的计算》，在总结环节教师引导：这节课我们研究了平行四边形面积的计算，回忆一下，我们是怎样研究的，中间你有没有遇到哪些困难，又是怎样克服的·学生纷纷发言：我一开始是用数方格的方法计算面积，但太繁了，后来就觉得应该研究更简便的方法；我一眼就看出了从平行四边形中剪下一个三角形，平移到另一边，就转化成长方形，这样通过长方形面积得出平行四边形面积就方便多了；只要沿着高剪开就能转化为长方形，所以不一定是剪三角形，也可以剪梯形；我把平行四边形转化成长方形后，误以为长方形的长和宽分别相当于平行四边形的两条边，后来在同桌的帮助下发现错了，看来以后学习中还是要细心观察。接着，教师用课件演示将平行四边形转化成长方形的过程，提出问题：下节课我们学习三角形的面积计算，你准备怎么研究·
【中图分类号】G ？摇【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）01A-
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几何直观主要是指利用图形来描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。教师若能巧妙地利用几何直观把复杂的数学问题转化为通俗易懂的问题，让学生在入情入境的活动中，活跃思维，在教师引领的直观教学情景中，自主地理解新知，轻松地构建新知，教学将事半功倍。
一、时间――保证学生“几何直观”思考的空间
学生应该拥有独立自主的活动，通过亲自动手操作、亲历动脑思考等活动过程，达到一定的学习目标。实践证明，人的创新意识是在轻松愉快的环境下逐渐生成的，所以只有当教师为学生提供一种充分的“几何直观”想象空间，创设一种学生可以自主学习的独立空间，学生才能成功地摆脱服从心态和机械心态，形成创新精神和求异意识。
教学案例：9+2。
1.借助小棒直观演示“凑十”法。
师：黑板上有9根小棒，想一想，9个加几个是10个？
生：9个加1个是10个。
师：对，那么要把9凑成10，就要加上几？所以我们可以把2分成几和几？
生：把2分成1和1，把1根和9根凑在一起变成了10根，10再加剩下的1是11。
2.指名上台模仿操作。
3.鼓励学生说说操作过程和注意事项。
4.师引导说过程：通过操作，我们明白了要把9凑成10，就要“想9加1得10”，（板书“1”）所以要把2分成1和1，9加1得10，10再加1得11。（逐步完成板书：9+2=9+1+1=10+1=11）
5.同桌之间尝试说操作过程。
数学知识是抽象性的，而儿童思维却是形象性的，这就形成了一定的思维冲突，解决这个冲突比较有效的办法之一就是指导学生进行有效的动手操作，借助动手将思维直观外显。此案例通过教师示范操作和学生模仿操作，直观感知“凑十法”，再把形象的实物操作转化为抽象的符号，学生在亲历操作描述的过程中，逐渐内化为自己的计算方法，把操作、思维、语言溶为一体，达到在操作中直观理解算理的目的。而这些示范操作、模仿操作、师生交流、同桌交流等都需要充足的时间为其保驾护航。没有充足的时间，就无法保证“几何直观”充分伸张的空间。
二、活动――力促学生几何直观能力的形成
数学课程标准指出：“要让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程。”教学中，教师应重点关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系，在学生积极主动地参与学习活动中，通过一组图片展示，在视觉上给同学们直观的认识，引出直线，让学生很容易发现直线的特点，尤其直线是一个理想化的概念，几何直观的感受凸显得更加重要。学习直观几何，就像书上所说采用学生喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念。
几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿几何教学的始终，在几何教学中占有很重要的地位。我们常常把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象转化为具体。我们可以将数学方法传授给学生，但数学眼光却无法传授，因此在课堂中多预设几种活动方式，借助活动把握好对数学思想的教学，这才有利于学生主动探索解决问题的方法，体会解决问题的策略，提高数学的应用意识。如平行四边形面积的计算是在学生已经掌握并能灵活运用长方形面积计算公式，理解平行四边形特征的基础上进行教学的，在这节课中，教师要让学生充分参与学习，让学生数方格、剪拼，引导学生参与学习全过程，去主动探求知识，强化学生的参与意识，通过引导学生运用“割补法”把平行四边形转化为长方形，逐步引导学生观察思考：长方形的面积与原平行四边形的面积有什么关系？长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么关系？利用讨论、交流等形式要求学生把自己操作―转化―推导的过程叙述出来，然后再充分利用几何直观，使学生得出结论：因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。这样的教学对于培养学生的空间观念、发展学生的直观几何能力、解决生活中实际问题的能力都有重要作用。
三、电教――助力学生的几何直观思维的发展
教学案例：人教版六年级数学上册《圆的周长》的教学片段。
师：（屏幕动画显示）请同学们看一幅画面。清晨，两只米老鼠在草地上跑步，黄老鼠沿着正方形的路线跑，蓝老鼠沿着圆形的路线跑。
师：要求黄老鼠所跑的路程，实际上就是求这个正方形的什么？
生：正方形的周长。
师：什么叫正方形的周长？怎样计算正方形的周长呢？
生：围成正方形的四条边长的总和叫做正方形的周长。正方形的周长等于边长乘以4。
师：（板书：围成）（动画显示）对，正方形的周长与它的边长有关系，周长是边长的4倍。
师：要求蓝老鼠所跑的路程，实际上就是求圆的什么呢？（动画显示）
生：圆的周长。
师：你很聪明！那什么叫圆的周长，又怎样计算圆的周长呢？这节课我们就来研究这个问题，好吗？（板书课题）
师：（动画显示）我们已经知道，围成圆的这条线是一条什么线？
生：曲线。（板书：曲线）
师：这条曲线的长就是？
生：圆的周长。
师：那谁来依照正方形周长的定义说说什么是圆的周长呢？
生：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
师：（板书：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。师拿出一个用铁丝围成的圆）谁来说说这个圆的周长就是指哪一部分的长？（学生边指边说）
师：请同桌之间相互边指边说，这个圆片的周长就是指哪一部分的长？（学生相互指说）
一、立足课堂，让每个学生都成为研究者
无论教学改到哪里，“有效的课堂”是教师永恒的追求。立足课堂，引导学生进行研究性学习是开展有效教学的途径之一。研究性学习改变了学生单纯接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道地获取知识，并将所学知识加以综合运用的机会，培养学生的创新精神和实践能力，从而突出教学的实效性。
案例一：《圆的周长》教学片断
师：我们知道正方形的周长与它的边长有关系，周长是边长的4倍，圆的周长是否也与圆的什么有关呢？
课件演示：出现直径是2厘米、2.5厘米、3厘米的三个圆。
师：观察一下，在这三个圆中，哪个圆的周长最短？
学生回答。
师：同学们再观察一下自己手中的几个不同的圆，哪个圆的周长最短？哪个圆的周长最长？
学生观察、分析。
师：这说明圆的周长与圆的什么有关系？
学生回答，教师总结。
学生小组合作测量、计算、填表。
师：哪一个小组来汇报一下你们的数据。
学生汇报。
师：那我们可以用一句话来概括圆周长与直径的关系吗？
生1：圆的周长都是其直径的3倍多一些。（屏幕显示这句话）
师：这就是圆的周长与直径的关系。
师：通过上面的研究，你发现了什么？……
现代教学论认为，知识不能简单地由教师或其他人“传授”给学生，而只能由每个学生依据自己已有的知识和经验主动地加以“建构”。本案例正是从学生已有的知识背景出发，突出学生参与知识的形成过程。通过一个个问题，让学生积极主动地投入到对圆的周长及圆周率的研究过程中去，通过动手操作、自主研究、合作交流等方式，使学生深刻地理解了圆周率的含义，发现了圆的周长与直径的关系。
二、联系生活，让每个学生都成为实践者
新课标指出：“人人学有价值的数学，人人能获得必须的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”学习数学的重要目的在于用数学知识去解决日常生活、学习和工作中的实际问题。数学教学如果脱离实际，那么数学学习就成了“无本之木，无源之水”，更谈不上学生有意义地学习数学和获得有意义的数学知识的目的。所以，我们在课堂上要倡导数学的实践性，让学生感受数学与生活的密切联系。
案例二：如教学“打折”时，可设计这样一道实践题
六（4）班48人去参观温州动物园，门票每人25元，50人开始可以享受八折优惠，你以为怎样买票花钱最少，最少是多少元？
由于学生的智力水平，生活经验不同，所以能设计出不同的解决方案。
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。通过这样的教学，不仅培养了学生思考问题的全面性，而且让学生在体验中学习了知识，在实践中运用知识、盘活知识，通过实践使之再学习、再探索、再提高，使数学知识成为解决实际问题的工具，从而提高了课堂教学效率。
三、倡导合作，让每个学生都成为参与者
《全日制义务教育数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”在数学教学实践中，我深深地体会到小组合作是开展有效教学的重要组织形式。
案例三：《长方体的体积》教学片断
师：你们手中的正方体的体积是多少立方厘米？
生：1立方厘米。
师：下面请同学们相互合作，将你们手中的小正方体摆一摆、排一排。注意：摆好后，请记下它的体积、长、宽和高。最后，借助你们的记录，大家互相讨论，看看它们之间有什么关系？
师：交流一下你们的结果。
学生交流想法……
师：同学们都摆出了许多不同的长方体，想一想，它们各自的长、宽和高与体积有关系吗？
学生发现所摆长方体的体积都是长与宽以及高相乘的积。
……
在本案例中，自始至终以学生活动为主，学生亲自参与探究过程，小组合作操作、讨论，使学生在交流中各抒己见，最终使学生发现了“长方体的体积＝长×宽×高”这一公式。这样教学，教师不再是知识的灌输者，教师的作用只是学习的组织者、引导者与合作者，学生也不再是接受知识的容器，而是知识的探索者、发现者。学生正是在这样一次次的自主合作、自主讨论、自主感悟、自主解决问题的过程中感受到了学习成功的乐趣，体验到了学习成功的快乐，提高了课堂教学的效果。
四、突破传统，让每位学生都成为探索者
教育家波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现。因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”对知识而言，学生的独立思考、相互讨论、辩论、澄清的过程，就是自己发现的过程。因此，在提高课堂教学有效性中，教师要突破传统的教学模式，应围绕学生的自主探索、相互交流组织教学，激发学生想成为探索者、发现者、研究者的动机，鼓励学生超越自我、超越同学、超越老师。
以往的应用题教学，越教学生越“头疼”，并最终造成严重的两极分化现象，其中一个重要的原因，是采用统一步骤、统一分析思路、统一解答方法等同步前进的教学方法，这样抹杀了学生的学习积极性，当然也就更谈不上探究能力的培养。如在《百分数的应用》教学中，教师应该允许学生通过小组合作，鼓励学生说出自己的解法，因此会出现多种解法。有对也有错，但这时，教师不能把自己当作“裁判员”，而是要让这些学生分别说想法、说解题思路，让学生自己在相互交流、探讨中逐步明确解题思路。整个过程，教师仅仅是为学生提供了一个思考与合作、交流与创新的空间，充分调动了学生的积极性，让他们动脑、动眼、动口，研究问题，获取新知，凸现创新。
一、营造轻松自由的气氛，培养学生敢于质疑的习惯
少成苦天性，习惯成自然。可见，良好的学习习惯对学生是多么重要了。在现代教学中，注意培养学生质疑问难的习惯是培养学生良好的学习品质之一。由于受传统教学的影响，小学生往往不敢问、不爱问、不会问，或问得压抑、犹豫、缺乏自信。在课堂教学中，教师要想办法让课堂形成一种轻松、自由、热烈的气氛，使学生感受到质疑问难的心理自由，帮助学生克服质疑问难的心理障碍，增强其勇气和自信心，逐步形成敢于质疑的习惯。例如：在课前准备时，教师说：“同学们，今天有许多老师愿意和同学们成为学习上的伙伴，同学可以去和老师交朋友，待会儿上课时，你们有什么问题，可以问班上的同学，也可以用问你们的新朋友―听课的老师。”
二、创设疑惑情景，激发学生质疑兴趣
兴趣是儿童入门的先导。爱因斯坦说过：“最好的老师莫过于热爱。”儿童有了热爱就有了学习的动力，就会在活动中主动地获取知识。创设疑惑情景，目的在于诱导学生积极提问，将学生的认知结构与教学目标（学生问题）充分暴露于课堂，以利于通过讨论解决问题。例如：在引入新课时，课件出示：新“龟兔赛跑”。（如图所示）森林中在开运动会，乌龟和兔子正在争夺冠军，乌龟跑的是边长40米的正方形跑道， 兔子跑的是直径40米的圆形跑道，它们俩同时从A点经B点跑了一圈，又同时回到A点，这下可难住了老虎裁判。学生听到这里疑问顿生：“谁是冠军？怎样评判？乌龟所跑的路程是正方形，怎样求正方形的周长？兔子所跑的路程是圆形，怎样求圆形的周长？”学生由自言自语很快过渡到“问”声不绝。这样，激发了学生的质疑兴趣，为下一步进行自主学习创造了良好的开端。
三、留下充足的思考时空，引导学生学会质疑
“问”，源于思。它是学生主动学习的重要环节。一个问题的提出往往需要时间和空间，只有留给学生充足的时间和空间，学生才能发现问题和提出问题。在课堂教学中，教师要给学生提供提出开放性问题的材料，给学生质疑问难的机会，留给学生质疑问难的时间和空间，让他们怎么想就怎么问，问错了没有关系。同时引导学生从无到有，从少到多，从现象到本质地提出问题，让学生慢慢地学会质疑。例如：在测量圆的周长时，给学生提供了一元的硬币、象棋子、在纸片上画出的圆、细绳和直尺等材料。让学生想办法测量它们的周长。（给学生留了三分钟的时间思考）学生想了一会，学生自言自语地说：“用什么方法测周长？用什么工具呢？”当学生用细绳测量画在纸上的圆的周长时，感到不方便，学生便疑问顿生：“是否还有其它方法测量圆的周长呢？怎么测呢？”有的几个学生自成小组共同讨论，有的学生还起来问他们认识的新朋友―听课的老师。
四、因人而异，培养学生独立质疑能力
“问”，因人而异。由于学生认识结果、思维方式、学习风格的差异，他们在学习过程中遇到的困惑与不解也不尽相同。因此，在教学过程中，教师要正确对待个体差异，鼓励学生发现问题，因人而异地引导学生大胆质疑，逐步形成多思善问的习惯，以此培养学生独立质疑的能力。创设小组合作学习情景，意在充分利用学生的个体差异，以此培养学生互相提问的主动性、流畅性、有序性，促进学生独立质疑能力的提高。例如：在小组合作求c与d的比值时，教师说明：以百分为基础，提出和回答一个问题奖10分。在学习过程中，学生问：“你会测XX的周长吗？怎样测？你会测它的直径吗？怎样测？”，“你求得的c与d的比值是多少？”，学生试着问、想着问、争着问，经过问与答，自由矫正。这样，既巩固了求c与d比值的方法，又培养了学生独立质疑能力、表达能力和合作竞争意识。
五、创设互动情景，培养学生共同质疑的能力
“问”，表于言。无论哪种形式的提问，都是某一命题的疑问形式，对小学生来说，还存在着语言表述障碍。创设小组互动情景，意在消除这种障碍。在小组合作学习中，既提倡独立思考提出问题，也提倡小组合作提出问题，以此培养学生合作意识和共同质疑的能力。例如：在巩固练习时，提供的材料是：（课件出示）老虎裁判请乌龟和兔子重新比赛，兔子的比赛路线是从A点出发，沿三个小圆的周长经B点回到A点；乌龟的比赛路线是从A点沿大圆的周长经B点回到A点。根据情景，同学们可以提出哪些问题？（小组学习）经过短暂的思考，提出了以下问题：兔子和乌龟比赛的路程相同吗？谁是冠军？如果他们同时到达，谁跑的路程多？谁又是冠军？小组内讨论解决问题。不能解决的问题去请教你们的新朋友―听课的老师。这样既巩固了所学知识，又培养了学生共同质疑和与人合作的能力，这正是合作学习的魅力所在！
课堂总结是数学课堂教学的有机组成部分，它既是一节课的概括，又是学生继续学习数学知识的起点和动力，同时也是教师在数学课堂上完成教学任务的终结阶段，是教师引导学生对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的再认识、再总结、再实践、再升华的教学行为。那么，如何恰当地进行数学课堂总结呢？
【案例】“圆的周长”课堂总结教学片断
课堂总结一
师：同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？
生1：知道了求圆的周长的公式：C＝πd。
生2：求圆的周长也可以用公式“C＝2πr”来计算。
生3：知道圆的周长，反过来也可以求圆的直径，公式是：d＝C÷π。
……
课堂总结二
师：时间过得真快，一节课很快就要过去了。现在请同学们闭上眼睛回忆一下，这节课我们是怎样度过的？
师：好，谁来说说，我们先做了什么？
生1：我们先复习了求一般图形的周长、正方形的周长和长方形的周长。
生2：通过复习，我们知道了求一个图形的周长，就要看这个图形的周长是由哪些边决定的。
师：接下来我们研究了什么？遇到了什么困难？
生3：通过观察，我们发现圆的周长跟它的直径有关系，但究竟有什么样的关系，大家不知道。经过大家的讨论，我们提出一个猜想：圆的周长和它的直径是不是存在着一个固定不变的倍数关系。
……
【评析】
首先，从小的亦即数学活动经验形成的角度看，我们知道，学生在活动中获得的经验往往是模糊、零散的，且不易被学生直接感受到，要培养学生的数学活动经验，就需要将学习过程中学到的这些模糊、零散的经验清晰化、条理化、系统化，最重要的实现途径就是让学生通过自己熟悉的方式，或演示，或语言表达，将之外显出来。在第二个教学片断里，教师在课末引导学生回忆过程，谈思路、谈方法，无疑正是促使学生做这样的经验抑或挫折的外显工作，让学生在回忆的过程中，逐渐产生反思，提升学生对知识形成过程的认识，固化学生的数学活动经验。
其次，从大的亦即“问题解决”目标达成的角度看，数学原本是一个过程，是一个经验累积的过程，也是一个形成知识的过程，数学的本质在于拓展对客观世界的时间、空间关系的认识，引导学生回忆知识的产生过程，回顾问题的提出及解决的过程，是在扎扎实实地发展学生解决问题的能力。侧重于让学生牢记数学知识点，那只是帮助学生在数学知识结构中增加了几个“节点”而已；唯有让学生思考真正的数学问题，并从方法论的角度让学生去全面把握解决问题的全过程，总结过程中想到的思路、遇到的困难、克服的方法，将思想、策略、方法显性化，这才能使学生解决问题的能力得到长足发展。
【反思】
1．要在“序”化中突出重点、突破难点。课堂教学中，每一节课都有自己的重点和难点。因此，教师要采取措施帮助学生对此进行简单的梳理，理清知识的内在联系，形成系统的知识网络。课堂总结就是其中一种高效率的方法，通过课堂总结，指导学生把新旧知识联系起来，形成知识结构，促进学生知识内化，引领学生透过现象看本质，找到知识的精华所在。上述案例中，教师的诸多引语就是一种教师辅的梳理，例如：“好，谁来说说，我们先做了什么？”“接下来我们研究了什么？遇到了什么困难？”等等，这有利于我们突出重点、突破难点，达到引导学生整理、复习、巩固所学知识，深化理解的作用，为后续学习奠定基础。
2．要在“说”中提炼思想、承前启后，激发学生的求知欲。数学知识具有一定的系统性和连贯性，旧知识是新知识的基础，而新知识又为以后的学习作铺垫。因此，每节课结束前用一点时间适当地进行总结，让学生充分地“说”，在“说”中把本节课所学内容与前后的知识进行联系，从而帮助学生更灵活、更深刻地理解掌握所学的知识，丰富自己的知识体系，并通过归纳总结，把相关知识融会贯通。例如总结二，孩子们不仅说着，同时在老师的引导下还不停地思索着。苏霍姆林斯基说过：“人的内心有一种根深蒂固的需求——总想感到自己是发现者、研究者、探索者，在儿童的精神世界里，这种需求特别强烈。”因此，在课堂总结中，你说、我说、他说，实际上就是让学生作进一步的探索，这实际上同时发展了学生的思维，也激发了学生学习的内驱力。
3．要在“评”中提升和固化学生的数学活动经验。考虑到数学活动经验内隐性的特征，我们应该看到，仅仅停留在感性层面的经验往往是粗浅的，不易被学生把握，需要通过一定的教学手段予以提炼，使其外显。因此，课堂中教师的评价、强化以及课堂总结就显得尤为重要。针对小学生求知欲强、好奇心重等心理特点，在课堂总结时根据教学内容提出问题，引导学生对数学活动经验进行反思、评价、提炼和总结，激发出学生想揭秘的问题意识，将所学知识进行归纳、整理，使之系统化，使学生在课堂上获得的数学活动经验条理化，进而固化为自身的经验。
一、课堂上，当面交流发现并培养学生能力
课堂上我经常采用合作小组的学习方式来创设一种相互学习、交流的情境。小学的学生的注意力难以持久，他们喜欢说话，喜欢表现自我。那么，我们可以根据这些特点，创设情境，让学生选择和自己喜欢的同学组成一组，让他们一起积极地讨论老师提出的问题。这样在问题的讨论过程中，他们不仅畅所欲言充分展现交际沟通能力，他们还学会了倾听其他组员的建议，锻炼他们的筛选信息、逻辑推理能力，从而能得出最终满意的结果。此外小组合作教学方式往往会有配套的奖惩制度，所以学生们会着重注意自己的表现，不给小组带来扣分损失，逐渐培养他们的责任感和荣誉感，从而体会到团结合作的快乐。此外，我还经常开展”我是小老师”的课堂活动，就是让学生们当课堂的主人，自己组织所要跟大家分享的数学知识，用自己喜欢或者用同学们可以接受的方式展示。比如在讲到”圆的周长”这一课时，我就让学生们踊跃报名参加讲课活动，反响效果很好。他们为了让当学生弄清周长的含义，特地从家里带了绳子、米尺等，先出示了一个用细绳围成的圆，让学生自己动脑求出圆的周长，学生发现只要把细绳剪断、拉直就可以测量圆的周长，即”化曲为直”的方法；接着又让学生计算手中硬纸片圆的周长，他们有的沿圆的一周贴上透明胶带，有的用绕线的方法，还有的把圆滚动一周也可以测出圆的周长，分别用了绕线法和滚动法；然后指着黑板上画的圆，问：”你们能求出它的周长吗？”“能”，这时候我就启发说：”早在一千多年前我国数学家祖冲之就发现了，我相信同学们经过研究后一定也会成为当代的祖冲之。”同学们研究的兴趣一下子被激活了，纷纷投入到探索研究之中。这种精心设计知识的呈现形式，营造良好的研究氛围，让学生置身于一种探索问题的情境中，以激发学生的创新潜能和实践能力。其实在课堂上发现问题的能力比解决问题的能力更加重要。因为解决问题是被动的，而发现问题是主动的。所以要培养学生们的质疑意识也很重要，给机会学生提问题，引导学生提出合理地，有针对性的，争论性强的问题。在老师的引导下，学生自己提问题，分析问题，解决问题，同时也尝到成功的喜悦，这有助于提高学生兴趣，也有助于活跃课堂气氛。
二、课余时间鼓励学生们自己动手实践，培养创新能力
对学生进行创新思维能力的培养,是经济全球化和知识信息化的世界形势的需要,是国家和民族发展的需要。培养未来的具有创新思维能力的一代新人,事关中华民族的伟大复兴。同志指出:”创新,是一个民族前进的不竭动力。”在全面实施课程改革,大力实践新课程理念的今天,对学生进行创新思维能力的培养,是时代赋予我们广大教育工作者的神圣职责。数学课程标准指出:要以发展学生实践能力和创新精神为核心,重视学生创新思维能力的培养。广大小学数学教育工作者在小学数学教学中应高度重视学生创新思维能力的培养,探索数学知识的发生过程,把握创新思维的策略；以“变”求“新”,培养学生求异性的创新思维能力；启迪质疑和反思,培养学生创新思维的独立性和批判性；强化主体意识,培养思维的独创性。在小学数学教学中,培养学生创新思维能力,意义重大,有待于我们进一步的探索、研究和总结。现在现实是学生们根本没有课余时间这一说，不是繁琐的课后作业就是各种补习班充电。其实作业过程就是不断的重复过程，适量适当就可以了。更为重要的是课余时间是真正培养学生创新思维能力的时间。他们只有下了课才有时间去观察、去回味、去反思。所以我认为更多创新意识和创新能力是学生们实际生活中，自己动手实践而碰撞出的火花，所以与其留一堆学生厌烦的作业，不如留些让他们实际操作的活动项目，效果更可观。比如在在学习几何图形的时候我就要求他们，回家自己动手做一个你所了解的几何图形，然后废物利用再找生活中的几何。他们充分发挥自己的观察力和实践能力，他们会用橡皮泥捏成球体，会用矿泉水瓶剪成圆柱体，用报纸剪成菱形、正方形等等，为了美观他们还在上边画上自己认为漂亮的图案等等，就会发现其实学生们的想象力和创新能力是不可估量的。我们老师不能做那种扼杀画绿色太阳学生的创新能力的刽子手，我们要给他们机会去表达他们新奇的想法和不一样的思维角度，让他们能有个自已发挥创新能力的空间。联合国教科文组织预测“,21世纪是创造教育的世纪”。现在数学教育不仅要让学生“学会”,即掌握知识而且不要让学生“会学”,即掌握思想方法,发展思维,形成能力。要会学,最根本的一条就是要形成把培养学生的能力是现代学校教学的目标。
作者:娜日莎 单位:内蒙古包头市青山区幸福南路小学
关键词：数学习题;创新意识;创新思维;创新能力
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）03-065-1
一、营造开放式的学习氛围，让学生创新意识闪光
当学生的思维方向与教师不同时，教师不要强行让学生跟着走，教学设计跟现实情况不一样时要及时调整，以适应学生的思维水平，这样才能让学生“享受”创新思考带来的乐趣。
面对六年级“白兔1400只，白兔只数比黑兔多25，一共多少只？”这样题目，大多数学生都能很熟练地计算，先算出黑兔的只数1400÷（1+25）=1000（只），再相加求出总只数1400+1000=2400（只）。正在这时，有学生高高地举起手，站起来说：“我还有不同的解法呢。”该学生通过线段画图讲解，把黑兔看做单位“1”平均分成5份，白兔比黑兔多2份，就是7份，1400÷7=200（只），白黑兔加起来就是12份，200×12=2400（只），利用线段图将稍复杂的分数应用题转化成两步整数应用题，更加简单明了。这时候还有的学生受到相互间的启发直接用比例的知识，1400∶（ ）=7∶12在头脑中就能直接口答出来，不同的解题方法体现了学生对题目的数量关系的深入掌握，精彩纷呈的学生思考与回答将课堂推向。
在课堂上，老师不应该只听到课堂上的一种声音，只有老师一种声音的课堂往往掩盖了学生真实的思维，我们要耐心倾听学生错误的想法，从中找出错误的根源加以纠正;我们还要善于倾听学生独特、创新的想法，从中启发其他学生再次的思考，使学生思维不断碰撞出火花，引导教学不断深入，也从而造就课堂的精彩。
二、引导独特认知方式，让学生创新思维迸发
1.从教学习题上引导学生形成完整的认知结构
在五年级学习异分母分数加减法时，笔者是这样利用练习来进行尝试的：先出示整数、小数、同分母分数的加法，接着请学生观察，整数的加法是相同数位对齐，小数的加法还是相同数位对齐。找相同数位就是找相同的单位，而这也就是同分母分数加法的数理解释，以此迁移到异分数的加减法中。当学生在做异分母分数加减法时，把分数单位与整数、小数加法计算中的“一”“十”等计数单位建立起有机的联系，进一步揭示分数加法的本质是和整数、小数加减法一样，都是相同单位的数相加。这时体会加减法计算规定的合理性，不仅仅是依赖于教材安排的直观理解，而是由表及里层层提升对整数及其运算扩展到更大范围数及其运算的认知结构，加深对于数学知识本质的理解。
2.从练习习题中引导学生形成互补的认知网络
再如做下列题目：图中圆的周长是18.84厘米，已知圆的面积等于长方形的面积，求阴影部分的周长。
面对这道题，大部分学生能根据圆的周长去算出半径求出圆的面积，但接下来就不知道怎么办了。有的同学会观察出这个不规则图形的阴影周长，等于长方形的周长减两个半径长和一个14圆的周长。圆的半径就是长方形的宽，为18.84÷3.14÷2=3（厘米），根据条件“圆的面积等于长方形的面积”算出长方形的长为3.14×32÷3=9.42（厘米），所以阴影的周长为（9.42+3）×2-3×2+18.84×14=23.55（厘米）。还有没有其他的方法呢？其实回想圆的面积推导公式，将圆的面积转化成近似的长方形，长方形的长就是圆的周长的一半，宽就是圆的半径，在教师这样的引导启发下，有的学生认为这道题可以直接用圆的周长加圆周长的14就等于阴影图形的周长，18.84+18.84×14=23.55（厘米）。
我们知道思维性没有高低之分，但我们应该明确各种解法是有不同层次指向性的，最后一种学生的思维更是对圆核心知识的准确掌握和转化思想的准确运用，而这种直击核心知识，内化灵活运用对数学本质的把握是大有帮助的，对于学生来说这就是属于自己思维的“再创造”。
三、尊重非智力因素，让学生创新能力提升
教师要重视培养学生自我评价意识，引导学生从思维程度、心理状态、学习行为等多方面来进行差异性的反思，进行更有针对性的自主学习，提升创新能力。在计算题中的验算，估算、重算、互逆运算为的是形成个性化的检验方法;在图形知识中，操作、实验为的是形成逻辑化的检验形式;在解决实际问题中的不同思路不同方法不同形式的求解是为了形成互补的检验策略。
在教学五（下）“复式折线统计图”时，笔者设计了这样几个教学练习习题纲要让学生自学自悟：
1.出示青岛和昆明单个城市的全年降水量的分别统计图，回顾单式折线图的特点。
2.自主思考：你能看出两个城市哪个月的降水量最接近？你需要知道什么？
3.产生问题：你觉得方便吗？怎样才方便看图？
4.合并成一幅图，又有什么问题？（同一种线条和颜色让人难以区分）
[摘 要]在数学教学中，学生出现错误是难免的，也是难能可贵的。因为这都是学生们最真实最朴实的思想的暴露。教师要充分利用且善待学生的错误，把学生的差错看成是难得的资源，并且加以运用，使数学课堂因差错而变得更精彩。
[关键词]数学；教学；错误
在小学数学课堂中，特别是一些公开课、比赛课中，执教教师都追求教学的效率，学生都按照教师的教学设计一步一步地往下学，课堂初看起来，热热闹闹的，学生积极举手发言，正确率也很高。即使课堂上出现一些小插曲、学生出现一些错误或者学生没有按照教师的教学设计说出答案，教师们也不敢放开手去解决，总是含糊其辞，草草了之。其实，这样的做法是错误的。数学教师要有效地利用学生的错误，帮助他们认识错误并改正错误。
一、 亮“错”――把错误“找”出来
课堂上出现的错误很多，关键在于教师有没有认真倾听，有没有成为学生忠实的听众，有没有处处留心，做一个有智慧、有思想的教师。学生在课堂上出现的错误，教师不能一带而过，而应把学生的错误“亮”出来，让学生来评一评，听一听，哪里出错了，为什么错了。引导学生从自己的角度，凭借自己已经掌握的数学知识找错误。让学生产生强烈的纠错意识和欲望，从而让学生了解错误并改正错误。
二、 用“错”――促错误“浮”上来
教师不但要宽容错误，更要利用挖掘好学生的错误资源，努力挖掘错误的潜在资源，使错误增值。让学生在纠错中开启智慧，迈入知识的殿堂。如在教学“半圆的周长和半圆的面积”时，学生对这两个概念经常犯糊涂。求半圆的周长，要用圆的周长的一半加上直径，因为半圆的周长先学，所以学生学“半圆的面积”时，求半圆的面积常常出现这样的错误，用圆的面积的一半加上直径。怎么办呢？当学生出现这样的错误时，教师可先在黑板上画两个半圆，一个求它的周长，一个求它的面积。这样，学生最终会弄明白，求半圆的周长时要用圆周长的一半加上直径，而求半圆的面积时就求出整个圆面积的一半就行了，不用加上直径了。
三、评“错”――让错误“美”起来
学生课堂上或作业上出现了错误，特别是考试时出错了，都会造成较多学生出错时有挫折感。因此，教师应更多地关注学生的情感体验，从课堂教学出发，正确引导对错误的分析评价，让学生从改正错误中领略成功的喜悦，树立学生学习数学的信心。这就要求教师对错误进行适当地“评价”，让错误美丽起来，让课堂因错误而精彩。当错误信息呈现出来时，教师不要急于做判断，而要抓住错误的闪光点，把问题抛回学生，引导学生探讨。
在教学“统计”时，笔者提供给学生“班上4位学生的身高”这个信息，要求学生用条形统计图表示出来。学生在空白的统计图中表示时，出现了很多种错误情况，大部分画着画着就画不下了，还有的一格表示的大小不一样、标准不统一。当笔者展示这些情况时，教室里一下子热闹起来，学生纷纷指出错误，有些统计表的数据太小了，画不下了，无法表示这4个同学的身高。有些统计表的数据应该写在每条线对出去的地方，不能写在每一格的中间。有些统计表没有统一的标准，如果选择了1小格表示一个单位，就不能这样统计图里表示两个单位。有些统计表的设计者有数学思想，每一格表示的单位不是1，而是10，但这样不好表示这4位学生的具体身高。所以，最后应该把这4位学生都相同的130厘米看做一格，第一格表示130厘米，省略一些，所以用折线表示。以后每格表示1厘米，这样就能在统计图中直观地表示每位学生的身高了。
建构主义认为学生的错误不可能单独依靠正确的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个“自我否定”的过程。《数学课程标准》中非常强调数学事实的建构性，也就是说数学知识不应是教师、教材直接给予学生的，而是在学生充分经历数学活动过程中动态生成的。笔者常常抓住错题所生成的教学资源，完善自己的预设，让学生在找错、议错、辨错、改错的反思中，既加深了学生对知识的理解和掌握，有提高了学生分析问题、解决问题的能力。对学生而言，这样的数学学习是富有价值和意义的。
一、温故而知新，培养学生的自学能力
从学生的认知发展角度看，任何新的知识都是在原有的旧知识基础之上生长起来的，旧知识是学习新知识的认知停靠点。在学习新知识时引导学生复习旧知识，作好铺垫，架起“认知桥梁”，做到温故而知新是开展小学数学课堂教学的前提。如教学《小数除以小数》时，我在黑板上写出9.6÷0.8=？，让学生试着计算。学生开始很有信心，通过讨论还是无法解决，这时我别开话题，引导学生复数、被除数都是整十的整数除法（90÷30）的算理，（同时缩小10倍后商不变），从而发现小数除以小数时也可用商不变的性质来解决。这样，既复习了旧知识又获得了解决问题的新知识。
二、激发兴趣，培养学生学习的积极性和主动性
“兴趣是一种特殊的意识倾向，是动机产生的重要的主观原因。兴趣作为一种自觉的动机，是对所从事活动的创造性态度的重要条件。”教学中教师要善于激发学生的学习兴趣，让每个学生积极参与到“探究、尝试”的过程中来，从而发挥他们的想象力，挖掘出他们创新的潜能。教师可以通过列举典型，说明意义，明确目的，使学生感到学习和探求的需要来激发学生的学习积极性和主动性。如教学《比例尺》时，我让学生在操场上试着画学校校园平面图，根据学生的作品问：“我们的校园只有一张纸大吗？”“哪你们是怎样想的呢？”。然后阐述比例尺在设计图纸和绘画等活动中的重要意义，使学生明确学习目的，从而激发学生的学习积极性和主动性。
三、创设情境，培养学生的探索精神
精心创设问题情境，鼓励学生大胆合理猜想数学知识源于生产和生活实践。首先，我们可以给学生创设一个问题情境，引导学生进入情境之中，使学生在情境的激发下产生问题的兴奋点，学生就能在学习中寻求思路，大胆创新。如教学《百分数的意义和写法》一课时，我先通过出示一幅草原沙漠化的图画，将学生引入探讨何种植物更容易在沙漠中成活的问题情境。接着出示农场实验数据让学生来分析，学生热情高涨、思维异常活跃，很快就发现通过分母是100的分数来比较成活率更方便，从而完成了对百分数意义的建构。其次，我们还应鼓励学生进行猜想、尝试、探索等一系列的实践活动。
四、尊重学生的主体地位，培养学生的动手能力
充分尊重学生个性，提倡学生大胆质疑每个学生都是一个独立的个体，而个体的发展具有不同的特点。我们要尊重学生学习主体的地位让学生积极参与，开动脑筋，寻找问题的可能性答案，帮助学生独立的思考和探索，养成对问题，对知识的好奇心与求知欲，以及对问题主动思考的质疑态度和批判精神，即要“学会”又要“会学”，从而培养学生的创新意识。古人云：“学起于思，思源于疑”。课堂教学中教师应把质疑、解疑作为教学过程的重要组成部分。如在教学《圆的周长》中测量圆的周长时，我先问学生：“在学习正方形、长方形时，可用直尺直接量出它们的周长，而圆的周长是一条封闭曲线，怎样测出它的周长呢？你们可以用直尺和绳子去测量桌上的几个圆的周长，有几种测法？”请大家实验一下。顷刻课堂上人人动手参与，我用这种方法，你用那种方法，气氛十分活跃。尔后，大家纷纷发表自己的实验结果。我在肯定学生的思维方法后，在黑板上画出一个圆让学生测量它的周长。学生一下子都不知道怎么办？这时我因势利导，说明用绳测、滚动的办法测量圆的周长都是有一定的局限性，我们能不能找出一条求圆的周长的普遍规律呢？最后通过实验得出：圆的周长是直径的л倍。这样，通过操作、讨论、观察、思考，让学生主动参与学习、探索问题，既掌握了知识，又发展了思维。
五、提供平台，培养学生的合作能力