时间：2022-04-23 11:12:39
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇函数思想，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
第一，常见如下三种类型的转化.
（1）若a>f（x）（a≥f（x））恒成立，则a>f（x）max（a≥f（x）max）（如果函数没有最大值，其值域是（m，n），则a≥n）.
若a
（2）设函数f（x）的定义域为D，若x1∈D，使a>f（x）（a≥f（x））成立，则a>f（x）min（或a≥f（x）min）（如果函数没有最小值，其值域是（m，n）则a>m）.
若x1∈D，使a
（3）若方程a=f（x）有解，则a的取值范围为函数f（x）的值域.
第二，根据以上三点，有下列变式结论.
（1）若对x1，x2∈D，|f（x1）-f（x2）|≤a成立，则a≥f（x）max-f（x）max.
（2）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A与函数g（x）在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠.
（3）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A是函数g（x）在D2上的值域B的子集，即AB.
（4）若f（x），g（x）是闭区间D上的连续函数，则对x1，x2∈D，使得f（x1）≤g（x2）f（x）max≤g（x）min.
（5）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≥g（x2）f（x）min≥g（x）min.
例1已知集合P=x|12≤x≤2|，函数y=log2（ax2-2x+2）的定义域为Q.
（1）若P∩Q≠，求实数a的取值范围；
（2）若方程log2（ax2-2x+2）=2在12，2内有解，求实数a的取值范围；
（3）若不等式log2（ax2-2x+2）>2在12，2内恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意，不等式ax2-2x+2>0在区间12，2上有解，即在区间12，2上至少存在一个实数使不等式ax2-2x+2>0成立.
由ax2-2x+2>0，得a>-2（1x）2+2・1x.
x∈12，2，
1x∈12，2.
函数y=-2（1x）2+2・1x∈-4，12.
a>-4.
（2）由题意，方程a=2x+2x2在区间12，2内有解，令x+1=t，则x=t-1，t∈32，3；则a=2x+2x2=2t+1t-2.
令y=t+1t，则y′=1-1t2>0.
y=t+1t在区间32，3上是增函数.
2t+1t-2∈
32，12，即a∈32，12.
（3）由题意，a>2x+2x2在区间12，2上恒成立，由（2）知，2x+2x2∈32，12，所以a>12.
例2设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3.如果存在x1、x2∈[0，2]，使g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足条件的最大整数M.
解：由题意，M≤[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min即可.
g′（x）=3x2-2x=x（3x-2），
x∈（0，32）时，g′（x）0，g（x）递增.
g（x）min=g（23）=-8527，g（x）max=max{g（0），g（2）}=1.
例1：已知0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞），试比较+与的大小，并说明你的理由。
分析：若本题用作差的方法来比较大小，则通分后分子、分母的结构都非常复杂，并且分子分母的取值符号不易确定。细心观察式子：、与=2•，显然它们都与函数f（x）=相关，因此问题转化为比较f（x）+f（x）与2f（）的大小，联想函数图像就可解决。
解：设f（x）=，对y=变形得y=•即y-=，令x′=x-，y′=y-，则y′=（反比例函数）（如图），由于y=f（x）在x∈（，∞）上的图像是向下凸的，所以对于x≠x且x、x∈（，∞），函数图像上两点A（x，f（x））、B（x，f（x））连结弦AB的中点M（，），若过M作x轴的垂线交曲线弧于点N（，f（）），则N总在M的下方，所以＞f（），即f（x）+f（x）＞2•f（），当0＜a＜1，x≠x且x、x∈（，∞）时必有+＞。
例2：已知椭圆C：+=1，P（a，0）是X轴上的动点，求点P到椭圆C上动点Q的最近距离g（a），并就g（a）=4时求a的值。
分析：动点P（a，0）到椭圆C：+=1上的动点Q（x，y）的距离是关于x、y的二元函数，欲求二元函数的最值，须将多元函数一元化，因此可以用椭圆的参数方程解之。
解：设Q（5cosθ，3sinθ）是椭圆C：+=1上的动点，则 |PQ|=（5cosθ-a）+（3sinθ）=16cosθ-10acosθ+（a+9）。若令t=cosθ，f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］，则问题转化为求二次型函数f（t）=16t-10at+（a+9），t∈［-1，1］的最小值。数形结合易得：当a＜-1，即a＜-时，y=f（-1）=（a+5）；当-1≤a≤1时，即-≤a≤时，y=f（a）=（16-a）；当a＞1，即a＞时，y=f（1）=（a-5）。
注意到|PQ|=，得g（a）=|a+5|（a＜-）（-≤a≤）|a-5|（a＞），即为所求。
若g（a）=4，则易得a=±9。
例3：已知实系数一元二次方程ax+bx+c=0，若ax+bx+c+t（x-k）=0对于一切实数t都有实数根，试求实数k与方程ax+bx+c=0的根的关系。
解：联想到函数f（x）=ax+bx+c，由条件f（x）+t（x-k）=0对于一切实数t都有实数根，当然对t=0该方程也有实数根，即方程ax+bx+c=0有实数根x≤x。而ax+bx+c+t（x-k）=0，即ax+bx+c=-t（x-k），由条件f（x）+t（x-k）=0对于一切实数t都有实数根，即两曲线y=ax+bx+c与y=-t（x-k）对于t为任何实数都有交点。数形结合（如图）便知x≤k≤x为所求。
另解：对于一切实数t，方程ax+bx+c+t（x-k）=0都有实数根，=（b+t）-4a（c-kt）≥0对于一切t∈R都成立，从而得到t+（2b+4ak）t+（b-4ac）≥0的解是R，=（2b+4ak）-4（b-4ac）≤0，即a（ak+bk+c）≤0。
例4：当a为何值时不等式log（x-2x+a）+3＞0存在正数解？
解：log（x-2x+a）+3＞0?圳0＜x-2x+a＜8?圳-x+2x＜a＜-x+2x+8，联想到函数f（x）=-x+2x、φ（x）=-x+2x+8、ψ（x）=a，则原题题意即：存在x＞0，使f（x）＜ψ（x）＜φ（x），数形结合便得a∈（-∞，9）。
的方程；（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）。
解（1）：f′（x）=3x-1，曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线的方程为y-（t-t）=（3t-1）（x-t），即y=（3t-1）x-2t为所求。
证明（2）：过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，存在实数a、b使关于t的方程2t-3at+（a+b）=0有三个不相等的实数根。
令g（t）=2t-3at+（a+b），则g′（t）=6t（t-a）（注意到条件a＞0）。
当t∈（-∞，0）或t∈（a，+∞）时g′（t）＞0，当t∈（0，a）时g′（t）＜0，
函数g（t）在t∈（-∞，0）是增函数，在t∈（0，a）是减函数，在t∈（a，+∞）上是增函数，函数g（t）在t=0处取得极大值g（0）=（a+b），在t=a处取得极小值g（a）=b-（a-a）=b-f（a）。
2t-3at+（a+b）=0有三个不相等的实数根，
必须极大值（a+b）＞0且极小值b-f（a）＜0，即-a＜b＜f（a）。
例题6：（2008理科卷Ⅱ22题）设函数f（x）=，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果对于任何x≥0，都有f（x）≤ax，求实数a的取值范围。
解（1）：f′（x）==，显然f′（x）=0，得cos=-，即x=2kπ+，k∈Z或x=2kπ+，k∈Z，
当f′（x）＜0时，x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，
当f′（x）＞0时，x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z，
函数f（x）的单调递减区间是x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，
函数f（x）的单调递增区间是x∈（2kπ-，2kπ+），k∈Z。
解（2）：若令g（x）=ax-f（x）=ax-，则g′（x）=a-=a-=-+a=3（-）+a-。
显然当a≥时g′（x）≥0，即g（x）在x∈［0，+∞）是增函数，得g（x）≥g（0）=0，
所以当a∈[，+∞)时对于一切x≥0都有f（x）≤ax。
当0＜a＜时，令φ（x）=sinx-3ax，则φ′（x）=cosx-3a。当x∈［0，arccos3a）时得φ′（x）＞0，因此φ（x）在x∈［0，arccos3a）上单调递增，有φ（x）＞φ（0）=0，这时ax＜，而当x∈［0，arccos3a）时f（x）=＞＞ax，不合题设。
当a＜0时存在x=使f（）=＞•a，即a＜0时存在x=使f（x）＞ax不合题设。
综上所述，a∈[，+∞)即为所求。
例题7：（2008全国卷Ⅰ理科19题）已知函数f（x）=x+ax+x+1，a∈R，（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）设函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，求a的取值范围。
解（1）：f′（x）=3x+2ax+1，令=4a-12=4（a+）（a-），
显然，当-≤a≤时≤0，此时f′（x）≥0对于一切实数x成立，
当a∈［-，］时f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数。
当a∈（-∞，-）∪（，+∞）时＞0，这时f′（x）=0有两个不等实数根：
x=--，x=-+，
因此，f′（x）＞0得x∈（-∞，-），x∈（-，+∞）时f（x）单调递增，
f′（x）＜0得x∈（-，-）时f（x）单调递减。
解（2）：若函数f（x）在区间（-，-）内是减函数，
则（-，-）?哿（-，-），
-≥-，并且-≤-，
即2-a≤，并且≥a-1，解之得a∈［2，+∞）。
一、数形结合的思想
总结：在判断三角函数性质的题目中，运用数形结合的思想解决，更容易让学生形象化、具体化、生动化，进而让学生理解、掌握.
二、换元的思想
总结：在三角函数式中，若同时含有sinα±cosα与sinαcosα，则可利用换元的思想，将三角问题转化为代数问题解决.
三、分类讨论的思想
总结：在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论，三角函数与二次函数综合问题，以及三角函数最值等问题也要注意讨论.
四、化归与转化的思想
总结：本题从“角”“名”“形”不同的角度，将三角函数式进行转化，使问题得以解决，化归与转化的思想普遍应用于三角函数式的化简、求值和证明中.
五、方程的思想
函数是一门应用非常广泛的数学工具，因此它也是中学数学中的一个重要内容。其重要性不仅仅体现在自然科学、体现在工程技术上，也逐渐广泛地体现在人文社会科学上：世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。纵观整个中学教学内容,函数的思想便如一根红线把中学教学的各个分支紧紧地连在了一起,构成有机的知识网络。它几乎贯串于整个中学数学, 无论是不等式，还是数列，无论是三角函数，还是集合，都可以看到它的影子。一些看来与函数风马牛不相及的问题,我们若用函数的思想去思考,往往可以简化解题过程，突破思维死角，进而解决问题.下试举几例，供有意者飨之。
一、函数思想在集合相关问题中的应用
例1：①已知集合，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N= 。
析：此题主要考察集合N中元素为y，即二次函数y=3x2+1的值域为 [1，+∞]，可知答案为{x|x＞1}。
②已知全集为I=R,A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-2ax+a≤0，a∈R}，且 ，求a取值范围。
析：此题主要考察二次函数y=x2-2ax+a≤0解集的情况。
解：当＜0即0＜a＜1时，满足条件。
当=0时，a=0或a=1。
若a=0，则x=0，不满足题意。
若a=1，则x=1，满足题意。
当＞0时，两个解必须在[1，2]内，即有：
综上所述，0＜a≤1
在集合相关问题中，一元二次不等式、一元二次方程的题目随处可见，它们相互转化，许多时候都需求出一元二次不等式解集的情况，难度虽不高，但往往会因考虑问题不全面而失分，应引起重视。
二、函数思想在证明不等式中的应用
例2：设a，b∈R，求证：
析：直接采用不等式变换去证明还是比较不容易的。然而观察题目特点，可以把不等式两边看成函数的两个值，因此可否构造函数，而后应用该函数的单调性求解呢？
令，由易知：f（x）在区间（-1，+∞）上是增函数，
因为0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）
即
巧妙极了！直接绕开了繁琐的变形与计算，整个解题过程显得非常简洁。不但使学生拓宽了眼界，提高了能力；而且带来了一种心情上的惊奇与精神上的震撼，使他们深深的体会到数学的奇妙，提高了学习数学的兴趣。
例3：[1993年全国高考理（29）] 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β。证明:如果|α|＜2，|β|＜2，那么2|a|＜4+b
析：作一次函数 α+β
=-a，αβ=b， ，取x1=2（α+
β）-（4+αβ）=-（2-α）（2-β）＜0，x2=2（α+β）+（4+αβ）=（2+α）（2+β）＞0，则有f（x1）=-1，f（x2）=1。由f（x）的单调性知-1=f（x1）＜f（0）＜f（x2）=1，即
又|b|=|α||β|＜4，4+b＞0，2|a|＜4+b。
函数的思想在历年的高考题中，一直是必须考察的重点之一。而考虑到不等式与函数的特殊关系，我们必须对这种题型加以足够的重视。本题通过构造一次函数，巧妙的将不等式问题化为函数问题来解决，整个问题得以轻松解决。
三、函数思想在数列相关问题中的体现与应用
例4：设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12，S12>0，S13
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由。
【分析】题（1）根据题设条件列出关于公差d的不等式组求出d的取值范围；题（2）求等差数列的前n项和的最大值，其求法比较多，总的思路有如下2种：一是通项研究法，即当d＜0时，求出使得an>0且an+1
解不等式组得：－
（2）解法一：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+10，S13
=13a7－a7>0，a7
解法二：
当－
解法三：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an>0，an+1
故S6最大。
【评注】 本题考查等差数列、不等式等知识，利用解不等式及二次函数的图像与性质求Sn的最大值，这是函数思想在数列中的一大表现。
四、函数思想在三角函数相关问题中的应用。
例5：已知函数f（x）=-sin2x+sinx+a，当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围。
析：由f（x）=0得-sin2x+sinx+a=0，那么根据该等式如何求a的取值范围呢？当然可以换元，设t=sinx，将问题转化为一元二次方程-t2+t+a=0在[-1，1]上的根的分布问题。但是，总是觉得太麻烦了，经深思后，觉得可以先作如下变形：
分离a得：
如果把a看成是x的函数，问题转化为求函数的值域。
因为sinx∈[-1，1]，所以
关键词：导数 函数单调性 极值 最值
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）01（a）-0085-01
1 用导数求解某些函数的单调性，具有简洁高效的特点
定理：设函数在内可导，则：
（1）如果在内，那么函数y=f（x）在内单调增加。
（2）如果在内，那么函数y=f（x）在内单调减少。
例1：讨论的单调性。
分析：函数定义域为R，现在令，解得，
当或时，，函数在和上是增函数。
当时，，函数在（-2，2）上是减函数。
例2：设函数，其中，求的单调区间。
解：由已知得函数的定义域为：，且。
（1）当时，函数在上单调递减。
（2）当时，可知当时，函数在上单调递减。
当时，函数在上单调递增。
例3：设函数，其中为实数。当的定义域为时，求的单调减区间。
解：，令，得，由，得或。
又，时，由得；当时，；
当时，由得 ，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为。
例4：设≥0时，
，令，讨论在内的单调性。
解：根据求导法则有
，，
于是，当时，，当时，故知在内是减函数，在内是增函数。
2 用导数求解连续函数的极值和最值时，同样具有几乎公式化的解题方法
如果函数在上连续，则在上一定有最大值M和最小值m，一般先求出在内的一切驻点和一切不可导点，再比较这些驻点和不可导点的函数值以及在区间端点的函数值，最大者就是函数的最大值M，最小者就是函数的最小值m。由上述分析可知，求函数在闭区间上的最大值与最小值的步骤为：
（1）确定函数的定义域，并求其导数。
（2）解方程，求出的全部驻点和不可导点。
（3）讨论在邻近驻点和不可导点左，右两侧符号变化的情况，确定函数的极值点。
（4）求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值。
例5：求函数在区间上的最大值与最小值。
解：（1），
令，得函数定义域内的驻点为：其函数值分别为：。
（2）在区间端点处的函数值分别为：。
（3）比较以上各函数值，可以得到，函数在区间上的最大值为，最小值为。
例6：求函数的极值。
解：函数定义域为R。
，令，得或：当或时，。函数在和上是减函数；
当时，，函数在（0，2）上是增函数.当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值。
例7：求函数的极值。
解：函数的定义域为R。
令，得。当或时，，
函数在和上是减函数；当时，。
函数在（-1，1）上是增函数。当时，函数取得极小值。
当时，函数取得极大值。
导数是分析和解决函数问题的便利的、必不可少的工具，灵活运用导数，可以对解决一些单调性问题，最值问题，产生意想不到的效果，因此，在平时学习教学中应重点加以研究及应用。
参考文献
关键词： 函数思想 方程思想 函数与方程思想 高一数学教学
高中阶段的数学用到的基本思想有：函数与方程思想，分类讨论思想，转化与化归思想，数形结合思想.而其中的函数与方程思想是每年高考的热点之一，高中阶段第一次出现在苏教版必修一的第三章.所以深入研究函数与方程思想对学好数学起非常大的作用.
函数思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图像和性质分析问题，达到转化问题的目的，从而使问题获得解决的思想；方程思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型――方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想.
函数与方程是密不可分的，函数y=f（x）中的f（x）如果为0，就可以转化为方程f（x）=0.函数与方程思想就是把函数问题转化为方程问题，例如求函数的零点可以转化为求对应方程的根，或者把方程问题转化为函数问题来解决，例如求方程的根的个数可以转化为求两函数交点的个数.苏教版必修一的第三章引入的函数与方程思想，主要体现在求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标，即函数y=f（x）的零点；求f（x）=g（x）的根或根的个数就是求函数y=f（x）与y=g（x）图像的交点或交点个数.
一、函数思想
所谓函数思想，就是在根据已知条件构造函数，通过研究函数的单调性、奇偶性等性质，解决问题的思想.
1.构造函数，利用函数的性质答题.
例1：（1）比较大小：lg15；lg6；6■，8■；（2）证明方程x・2■=1至少有一个小于1的正实根.
分析：（1）分别构造函数y=lgx和y=x■，利用其单调性比较大小；（2）构造函数f（x）=x・2■-1，验证f（0）・f（1）的符号即可.
解：（1）构造函数y=lgx，其在（0，+∞）内是单调增函数，因为15>6，所以lg15>lg6；构造函数y=x■，其在（0，+∞）内是单调增函数，因为6>8，所以6■>8■；（2）令f（x）=x・2■-1，则f（x）的图像在R上是一条连续不间断的曲线.所以，f（0）=0×2■-1=-10.所以f（0）・f（1）
点评：解有关不等式、方程、比大小的问题，可以通过构造函数关系式，借助函数的图像和性质，使问题更直观形象，充分利用数形结合、函数方程思想，为以后的学习奠定基础.
2.利用函数思想解答有关实际应用题.
例2：某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特地修了一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次.若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢能乘载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数.
分析：建立目标函数，再求函数的最值.
解：设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，再设y=kx+b（k≠0），
方程组16=4k+b10=7k+b，k=-2b=24，所以y=-2x+24.
由题意知，每日运营车厢节数最多时，运营人数最多，设每日运营S节车厢，则S=xy=x（-2x+24）=-2（x-6）■+72，所以当x=6时，S■=72，此时y=12.
则每日最多运营人数为7920人.
答：这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920人.
点评：通过建立函数解决实际问题要注意定义域，根据定义域来求函数的最值.
二、方程思想
通过换元，构成已经学过的方程求解.
例3：关于x的方程9■+a・3■+3=0恒有解，求a的取值范围.
分析：通过换元将其变为一元二次方程恒有正根的问题，同时利用韦达定理解题.
解：设3■=t，则t>0.由题意得，方程t■+a・t+3=0有正根，
所以Δ≥0x■+x■=-a>0x■x■=3>0即a■-4×3≥0a
点评：对于类似于一元二次方程的复杂方程，可以通过换元将问题转化为已学过的方程求解.
三、函数方程思想
有的题目需要根据函数与方程之间的相互关系而互相转换.
例4：（2008天津卷改编）设a>1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a■]满足方程log■x+log■y=3，此时a的取值集合为？摇 ？摇.
分析：本题看上去是考查含参数的方程，实际上是以含参数方程为载体，考查函数的定义域、值域及函数思想，所以解这道题目的基本思路：方程问题函数化.由方程，可得xy=a■（x>0，y>0），把x看成自变量，y看成应变量，可以得到函数y=a■/x在区间[a，2a]上单调递减，所以函数y=a■/x在区间[a，2a]上的值域是[a■/2，a■]，由题意∈[a■/2，a■]？哿[a，2a]，所以a≤a■/2
一、巧妙解不等式
不等问题是各种高中数学测验中的常客. 虽然大多数题目的难度不是很大，但是，如果没有一个巧妙的解题方法，往往会造成解答过程复杂冗长，不仅浪费解题时间，更容易出现过程错误. 因此，将函数思想运用于不等问题的解答当中十分必要.
例如，曾经有这样一个不等证明问题难住了一大批学生：已知，a，b∈R，求证： ≤ . 猛地看来，这个题目当中的求证内容十分复杂，让人摸不到头脑，更不要说在不等关系之下进行灵活变换了. 但如果能够运用函数的思想来看待这个问题，解决起来就容易很多了. 在这个题目中，我们可以构造一个新的函数f（x），使f（x） = . 这样一来，就可以从函数的单调性入手出现不等关系了. 不难发现，f（x）是（-1，+∞）上的单调递增函数，由0 ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|也就可以得出，f（|a + b|） ≤ f（|a| + |b|）， ≤ 的结论也就不难得出了. 学生们发现，原本十分繁琐的不等问题，在函数思想的辅助之下，一下子简洁了很多，这样的解题过程，甚至让很多学生感到很震惊，也对于函数思想的运用效果感受深刻.
在不等问题解答过程中运用函数思想，使得不等问题的解答思路更加清晰了，解题速度也提升了不少. 这表明，函数思想在不等问题当中的融入，还是比较合理的.
二、重视函数变化
数列问题是令很多学生感到头疼的部分，数列内容当中的公式定理并不算多，但其变化却是相当灵活的，非常容易出活题，出难题. 这也是学生最难以掌握的，我们有必要将函数思想引入到数列问题的解答当中来.
例如，曾经出现过这样一道比较典型的数列习题：已知，{an}是一个等差数列，其前n项和为Sn. 若a3=12，S12 > 0，S13 < 0，那么，该数列公差d的取值范围是什么？并确定S1，S2，S3，…，S12当中，哪一个的值是最大的. 第一问的解答难度并不大，只要按照数列公式按部就班进行计算就可以了. 第二问中则出现了不同的解答方法. 其中，让学生感到最为巧妙的方法当属数列与函数的结合. 我们无需从数列的角度进行太多的思考，只需将Sn以na1 + 的形式进行化简变形，不断向着函数最值研究的方向靠拢，最终能够得到2的表达式. 根据第一问已经求得的- < d < -3的结论可知，n取得最小值的时候，Sn取得最大值. 由此，从d的取值范围得出n的取值也就很容易了. 这种函数方法的引用，明显简化了思维过程，减轻了学生的思考负担.
以前，学生在面对复杂的数列问题时，只能围绕着几个公式打转，局限性很大. 加入了函数思想之后，学生的思维路径被大大拓宽了. 在这个工具的辅助之下，原本抽象复杂的数列问题都迎刃而解了.
三、推进数形结合
立体几何，从字面上来看，似乎是一个纯粹的图形问题. 但是，稍加学习便会发现，立体几何问题当中也经常会关联到代数问题. 很多数量关系的计算，如果只是依靠几何方法，思维过程会十分复杂，如果能够将函数思想融入其中，解答效果就完全不同了.
关键词：不等式；证明；函数法
一、构造函数法证明不等式的概括
1.不等式的分析方法
不等式由于题型多变，加上无固定程序可循，因而常有一定的难度。解决这个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思想方法，熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法——比较法、分析法、综合法，以及其他的证明方法——反证法、换元法、判别式法、放缩法、函数的单调性法、构造法等。根据欲证不等式的特点，构造一个适当的函数，利用其相关性质，通过计算使问题得到快速解决。
（1）利用不等式的性质，均值定理、作差和作商比较法、分析法等可比较两个数的大小。
（2）利用均值定理、换元法、判别式法等数学思想方法可求函数的值域及最值问题。
（3）利用不等式的各种证明方法论证各类不等式。
（4）不等式证明中与三角函数等的综合应用。
2.不等式的证明方法
（1）比较法：比较法是不等式的各种证法中最基本、最重要的方法，包括作差比较法和作商比较法。用比较法证明不等式的一般步骤是作差（作商）通过变形判断符号（或判断两者比值与1的大小）。变形的主要方法是因式分解、配方、通分等。
（2）综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质及其他已经证明过的不等式来推出结论成立的方法。
（3）分析法：即从结论出发，执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件。分析法与综合法对立统一、相辅相成。
（4）反证法：从假设结论的反面成立，逐步推出矛盾，从而肯定结论正确的方法。当题中有“至多”“至少”“都”等词语时，可考虑采用反证法。
（5）放缩法：利用不等式的传递性，欲证A≤B，若知A≤C，只需证C≤B即可。应用此法时应注意放大或缩小不等式的范围，用舍掉一些正（负）项而使不等式各项之和变小（大），或者分式放大或缩小分式的分子、分母等方法达到其目的。
（6）判别式法：有理分式函数去分母整理或关于x的二次方程，利用判别式求函数值域达到证明不等式的目的。
（7）函数的单调性：利用二次函数、三角函数及其他函数单调性来证明不等式。
二、利用函数法解不等式的具体方法
1.构造函数利用判别式证明不等式
在含有两个或两个以上字母的不等式中，可将一边整理为零，而另一边为字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。
2.构造函数利用单调性证明不等式
例1. 设 a，b∈R+，求证：
解析：设 ，当 x>0时， 是增函数，
又
而a，b ∈R+，a+b +ab>a+b
f（a+b +ab）> f（a+b），
故有：
评注：利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特别是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。
3.构造函数利用奇偶性证明不等式
例2.求证： （x≠0）。
解：设 （x≠0），
所以 是偶函数，其图象关于y 轴对称。
当 时x>0，1- 2x
当 时x
故当x≠0时，恒有 ，即
（x≠0）。
评注：实质上是根据函数奇偶性来证明，如何构造恰当的函数充分利用性质是关键。
关键词：数列；不等式；函数思想
数列不等式的证明问题近年来一直是高考的热点，这类问题往往能够融合数列、不等式、函数、解几等多个模块的知识，问题的解决更是要涉及多种数学能力，因而多被用于高考压轴题. 对于难度较大的数列不等式的证明问题大多要用到放缩法，但怎样转化才能有利于放缩、如何把握放缩的度对于高中学生来说则是十分困难的，面对问题学生普遍感觉找不到的切入点.由于数列是一种特殊的函数，因而可以应用函数的思想方法来分析证明数列不等式，通过构造函数将问题转化为研究函数的单调性问题，或求函数的最值问题. 本文试以2011年高考广东卷理数第20题为例，用函数思想指导问题分析，突破分析的瓶颈，寻找问题解决的有效途径，为这类问题的解决开创一个新视点.
题目：设b>0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，an≤+1. （2011年高考广东卷理数第20题）
第（1）问的解决较为容易，其答案为a=，下面用函数意识对第（2）问进行分析.
[?] 构造函数利用其导数探究证明
设法构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，将不等式的证明问题转化为函数值大小比较问题. 本题中含有两个字母，不等式的成立性与两个都有关，可选取一个作为变量，另一作为参数. 下面选择正整数n作为变量进行探究，为了求导的需要，用x表示n，并让x≥1.
因此当p>1时，对一切正整数n，f（n）=p2n+1+（1-p）（1+2n）pn-1>0，变形得≤（pn+1+1），故有当p>1时，不等式（?）成立. 当0
评析：构建函数为证明数列不等式另辟了蹊径，在迷雾中看到曙光，导数在其证明中发挥了重要作用，利用导数研究函数的单调性是一种重要的数学方法. 但必须有扎实的运算功底和较强的分析推理能力.
[?] 以参数为变量构造函数分析证明
前面证明虽然具有一般性，但过程冗长，运算量大，在心理紧张的情况下易出错. 仔细分析由于选择了正整数n作为变量，使得问题中出现了指数型函数，求导过程变得复杂，致使式子麻烦难以处理，下面以另一个参量b作为函数的变量来构建函数进行研究.
评析：在上面的证明中所构建的函数为多项式函数，宜于求导运算，运算推理能力的要求大为降低，证明过程大为简化.可见函数模型的合理构建非常关键.
[?] 研究函数的单调性完成证明
从数列不等式出发构造离散函数，判断函数的单调性，如具有单调性则证明变为首项成立的验证问题，过程会非常简洁，这也是数列不等式证明中常用的方法.
证明：当b=2时，an=2，+1=2，成立.
当b>0且b≠2时，n∈N*，即证an=≤+1，
令b=2p，则p>0且p≠1，等价于证明-2n≥0.（??）
令f（n）=-2n（n∈N*），则f（n+1）-f（n）=-2（n+1）-+2n=-2>2-2=0.
所以f（n）是关于n的递增函数，又f（1）=-2=-2>0.
对一切n∈N*，都有f（n）>0，所以不等式（??）成立.
评析：数列具有双重身份，既可以看做函数，同时具有自身的特殊研究规律，对数列不等式的观察基于它是一类特殊的离散函数的视角去看，则又是一番景象. 上面的证明中利用相邻两个函数值的差这一研究单调性的基本方法，使天堑变通途.
[?] 利用函数的最值巧妙证明
前述证明其实就是构建函数后采用作差比较法探究函数的单调性，与此法相应的还有构造恰当的函数探究其最值来实现证明. 也就是将其一端化为常数，利用另一端的表达式构造函数，问题当然就转化为求函数的最值问题.
证明：由1知，问题的关键即证≤（pn+1+1）（p>0，p≠1）（?）
亦即证≤1，令f（n）=（p>0，p≠1）.
因为f（n）=（p>0，p≠1），
所以=
=1+
=1-
因此对一切正整数n，都有f（n）≤f（1）=≤1. 故（?）成立，不等式得证.
评析：这种证法的思路是简单朴素的，但要有敏锐的观察能力发现所研究式子的结构特征，利用不等式左边为积和商的关系，然后将所证不等式等价化为右边为常数，进而通过构造函数求函数的最值来实现证明. 这里才能为运算把握正确的方向，不至于做无用功.
关键词：数学；函数思想；方程思想
一、知识内容
1. 函数的思想
就是利用函数的图像和性质分析问题，通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题，特别是一些超越方程或超越不等式中，巧用函数的思想，会使问题迎刃而解。
2. 方程的思想
就是把函数构造成方程，利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题，都可利用解二元方程组来巧妙解决。
二、典例分析
1. （题型1）构造函数，并利用函数的图像和性质来解决有关问题
例1 若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。
分析：方程2x+2x=5与方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以应找到两个方程之间的联系，转化为函数的思想来解答。
解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x…（1）
2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x… （2）
由（1）式知x1可以看做函数y=2x-1与函数y=-x的产生的交点A的横坐标；
由（2）式知x2可以看做函数y=log2（x-1）与函数y=-x产生的交点B的横坐标。
而y=2x-1与y=log2（x-1）分别由y=2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称，即y=2x-1与log2（x-1）函数图像关于y=x-1直线对称。因为y=x-1与y=-x互相垂直，其交点C坐标为（，），同时A、B两点关于C点对称，所以x1+x2=2×=。
点评：本例由已知方程构成函数，巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。
变式：设a，b∈R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。
分析：观察已知条件中结构形式，构造函数f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）为奇函数且y=f（x）在R递增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。
例2 设不等式2x-1>m（x2-1）对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围。
分析：不等式f（x）≥g（x）恒成立，往往都是构造F（x）=f（x）-g（x），往求F（x）min，使得F（x）min≥0，即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F（x）=2x-1-m（x2-1），m∈[-2，2]，往求F（x）min，利用分类讨论思想较为复杂化，若变换以m为主元，x为辅元，即一次函数F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2≤m≤2，往求F（m）max，即可使得F（m）max
只要f（-2）
实数x的取值范围为（，）。
点评：本例将不等式恒成立问题构造函数，利用函数的性质巧妙解决问题。
2. （题型2）建立方程，利用方程的思想解决有关问题
例3 如果函数y=的最大值是4，最小值是-1，求实数的值。
分析：函数y=的定义域为R，值域为-1≤y≤4，由y=转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根，使用到别式。
解：y=定义域为Ryx2-ax+y-b=0有实数根 （-a）2-4y（y-b）≥04y2-4by-a2≤0。
-1≤y≤4，4y2-4by-a2-=0产生有两根-1，4。
-1+4=-1+4=a=±4b=3。
点评：本例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。
例4 已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）。
（1）当a>1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）单调递增。
（2）若函数y=f（x）-t-1有三个零点，求的值。
分析：函数y=f（x）-t-1有三个零点转化方程f（x）-t-1=0有三个根，再转化成f（x）=t±1方程有三个根，再转化成函数y=f（x）与函数y==t±1有三个交点，利用函数与方程思想相互转化。
解：（1）f'（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。
x>0，a>1，ax>1，ax-1>0，lna>0，2x>0。
（ax-1）lna+2x>0，即f'（x）>0。y=f（x）在（0，+∞）是单调递增的。
（2）函数y=f（x）-t-1有三个零点？圳方程f（x）-t-1=0有三个根？圳f（x）=t±1方程有三个根？圳函数y=f（x）与函数f=t±1有三个交点。
由（1）式知当a>1时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，f'（x）=（ax-1）lna+2x，当a>1时，若x
当a>1时，y=f（x）在（-∞，0）单调递减。
当00时，ax-1
当a>1时，y=f（x）在（-∞，0）单调递增。
当00 lna
（ax-1）lna
当0
y=f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。
y=f（x）与y=t±1有三个不同的交点，又t+1>t-1，y=t-1=f（0）=1时，且t=2时满足要求。
t=2。
点评：本例巧妙利用函数与方程相互转化的思想解决问题。
关键词：初中数学；函数思想；函数教学
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）-12-0154-01
一、讲清概念
学生在小学里学习四则运算时就已经知道。当已知数确定后，运算所得的结果和、差、积、商是惟一的，当已知数发生变化时，所得的和、差、积、商也发生相应的变化，且有一定的规律，这些规律虽然只局限与某些数量之间的关系。但这为今后学习函数概念建立了感知基础，所不同的是。限与学生的认知水平，不能提出函数的概念，只能感知而已。
函数最主要的特点就是抽象，对于刚刚接触函数的初中学生来说不是很容易理解。所以，在函数的教学过程中，我们要尽可能的利用简单易懂的语言。函数，是对两个变量而言，研究函数关系，就是研究两个变量之间的关系，两个变量之间不同的数量关系对应着不同的函数关系，在初中数学教学中函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。函数在解决实际问题的时候，也是有难度的，但通过引导，学生们还是会把生活中的实例和函数结合起来的。
二、建立函数观点的先决条件确定函数的意义
初中涉及到的三种基本函数（正比例函数，一次函数和反比例函数）教材中很多问题都是以这三种函数进行讨论的，但不能让学生错误的认为函数就此三类。根据教材标准要求要能够使学生把图像和解析式融合在一起，即一见到图像就能够想到解析式，反之见到解析式有能够想到图像及图像所处的位置。对函数其他性质的讨论不能过高的要求，否则容易增加学生的负担，挫伤其积极性。欲速则不达。
和认知其他事物一样，大量的感性知识的积累才能使人的认识从研究表象人手，进行抽象思维，得到本质属性，从而经概括上升为理性知识，很难想象，一个学生若不能理解速度、路程和时间的关系，不能理解商品的单价和总价之间的关系，不能理解数的变化，却能够很好地理解函数的观点。所以建立函数观点的先决条件是以常量数学为基础，真正掌握有理数的四则运算，会解方程，不等式，会进行恒等变形，等量代换等，把握认识函数概念的钥匙和工具。
限于初中数学课程标准只要求。了解常量、变量、函数的意义，会举出函数的实例以及分辨出常量与变量以及两者之间的关系，我们的讨论也只能涉及这些内容，正是由于有了小学的基础知识，在初一、初二又进行了大量的代数运算，使学生对数量的认识具有了一定的感性知识。现在用路程、速度和时间的关系s=vt来讨论问题。使学生看到当速度v不变时，随着时间t的变化，引起了路程s的变化，从而得出“一个量随另一个量的变化而变化”的论断，符合这种论断的现象在现实世界中到处存在，如一天的气温随时间的变化而变化。邮资随邮件重量的变化而变化，圆的面积随半径的变化而变化。从而使学生感知函数问题在客观世界中是大量存在的，充分认识到建立函数概念的必要性。
三、对初中现阶段的函数概念教学的建议
（一）概念教学应循序渐进。函数概念反映和刻画了客观世界中各种事物的动态变化和相互依存关系，它的产生和发展经历了漫长的历史过程，函数的概念要理解透彻并非一朝一夕的事，我们设计函数课的教学过程不可能做到一步到位，必须由浅人深给学生一个逐步加深认识的过程，可给学生呈现一些函数的简单实例，例子要结合实际生活，也要紧紧结合教材内容。
（二）画出图示教形结合。“函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量”。函数自产生就和图形结下了不解之缘。其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。
（三）关注函数模型解题。在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。当然初中学生现有的水平还很低，但可以通过与生活的结合，让学生充分领会到函数在实践中的作用，就能激发学生的学习兴趣，对以后的数学学习会有一个好的导向。教师在学科融合过程中，应该处理好特定学科领域知识之间的整合，对几类知识进行再组织，从教育规律出发对学科内容进行的融合，旨在解决如何教的问题。同时通过对知识的再组织，不断提高教师对教育的认识，这本身也是不断发展、螺旋式上升的过程。
教学思想是数学的灵魂，是对概念、方法、解题思路的整体概括。方程思想与函数思想在初中数学中还是占有重要地位。实际上就是数学思想的发展过程，函数的教学体现了数学思想的发展过程。函数教学成功的好坏，让学生受用一生。只有掌握了数学思维最核心的发展思想，学生就掌握了学习数学的钥匙。
参考文献
[l]教育部.初中数学新课程标准.2003.
关键词： 数形结合思想 二次函数 应用
一、引言
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语）.数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入.一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示.另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论.这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径.因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”.而课堂教学中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法，有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，营造愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学.
“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体.正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致.“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位.关于这一点，只要翻阅近年高考试卷，就可见一斑.在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，同时“数形结合”思想在二次函数中的应用是中、高考命题的一个热点，也是平时学次函数解决应用问题的一个重点.巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍.
二、从“数”到“形”的思想应用
例1.已知方程|x-4x+3|=m有4个根，则实数m的取值范围.
【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决.
解：方程|x-4x+3|=m根的个数问题就是函数y=|x-4x+3|与函数y=m图像的交点的个数.
作出抛物线y=x-4x+3的图像，将x轴下方的图像沿x轴翻折上去，得到y=|x-4x+3|的图像，再作直线y=m，如图所示.由图像可以看出，当0＜m＜1时，两函数图像有4个交点，故m的取值范围是（0，1）.
例2.确定函数y=x|x|-2|x|的单调区间.
解：y=x|x|-2|x|=x-2x，x≥0-x+2x，x＜0
作出函数的图像，由图像可知，函数的单调递增区间为（-∞，0］和［1，＋∞），函数的单调递减区间为［0，1］.
评注：数形结合可用于解决二次函数方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图像是解决这类问题的关键.
三、从“形”到“数”的思想应用
例3.如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B（8，9），则这个二次函数的表达式为?摇?摇 ?摇?摇，小孩将球抛出了约?摇?摇 ?摇?摇米（精确到0.1m）.
解：由题意和图像可设y=a（x-8）+9，将点A（0，1）代入，得a=，
y=-（x-8）+9=-x+2x+1.
令y=0，得-（x-8）+9=0，
解之得x=8±6，
即C（8+6，0），OC=8+6≈16.5（米）.
评注：从“形”到“数”的问题时，应注意观察函数图像的形状特征，充分挖掘图像的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的性质来解.
四、“数形结合”思想的综合应用
例4.市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克.由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如下图所示的一次函数关系式.
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围.
解：（1）设y=kx+b，由图像可知，
30k+b=40040k+b=200，解得k=-20b=1000，
即一次函数表达式为y=-20x+1000（30≤x≤50）.
（2）p=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x+1400x-20000
a=-20＜0，
P有最大值.
当x==35时，P=4500（元）.
（或通过配方，P=-20（x-35）+4500，也可求得最大值）
答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元.
（3）4180≤-20（x-35）+4500≤4480
1≤（x-35）≤16
31≤x≤34或36≤x≤39.
评注：在解决二次函数问题时，要注意“由数想形，以形助数”的方法，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题.
五、结语
在学次函数中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”.
在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则.当然在学习渗透数形结合的思想时，还应掌握以下几点.
1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系.
2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系.
3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图.
参考文献：
［1］姚立新.数形结合的数学思想方法在解题中的应用［J］，2005，1.
