时间：2023-02-11 19:23:27
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇函数概念，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁
性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.
函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.
2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从具体到抽象的思维能力.
6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.
9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象.
10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.
12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.
13.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.
二.编写意图与教学建议
1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.
教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.
2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
3.教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.
4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练.
5.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，教师要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.
6.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法)，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
7.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
8.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.
9.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.
三.教学内容及课时安排建议
本章教学时间约13课时。
1.1集合4课时
1.2函数及其表示4课时
1.3函数的性质3课时
实习作业1课时
复习1课时
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系;
(2)知道常用数集及其专用记号;
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性;
(4)会用集合语言表示有关数学对象;
(5)培养学生抽象概括的能力.
2.过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3.情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二.教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
三.学法与教学用具
1.学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2.教学用具：投影仪.
四.教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆.举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
(二)研探新知
1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交桥;
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点;
(7)方程的所有实数根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入学的高一学生的全体.
2.教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2.教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数;
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3.让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作.
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作.
(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示.
(3)让学生完成教材第6页练习第1题.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
(四)巩固深化，反馈矫正
教师投影学习：
(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例举法表示集合
(3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题.
(五)归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1.本节课我们学习过哪些知识内容?
2.你认为学习集合有什么意义?
3.选择集合的表示法时应注意些什么?
(六)承上启下，留下悬念
1.课后书面作业：第13页习题
[关键词] 数学概念 函数的概念 函数的定义域 可操作性
函数，是中等专业学校数学的重要内容。函数的概念，是函数单元教学开章明义的第一课。概念教学，往往容易流于从概念到概念，显得抽象，枯燥，学生，尤其是中专的学生，对数学的概念往往不重视，对抽象枯燥的函数概念教学更是提不起兴趣，严重地影响了函数这一重要单元以后的学习。因此，在函数概念的教学，如何化抽象为具体，化枯燥为生动，化从概念到概念为具可操作性，就成为教学中必须解决的一大难题。
为了生动地引入函数的概念，我在教学过程首先引进了三个具体的例子：
①每斤2.5元的菜，买若干斤，应付多少钱？
（分析）以所买斤数为x(斤)，以应付款数为y元，则易得 y=2.5x ,这里的x可以取什么数值？可以取负数吗？x为负数，表示买菜的人按2.5元每斤的价格卖菜给卖菜人，卖菜人肯定是不接受的。X=0即不买，当然不需要付钱y=0。X为正数，当然就得按照价钱算来付钱了。所以，y=2.5x 。
②把24个苹果均分给若干个人，要求每个人得到整数个苹果，每个人可能得几个？
（分析）设人数为x人，每人得苹果y个，易知y=24x 。
X可能取什么值？y既要求为正整数，人数x只能取24 的约数：1，2，3，4，6，8，12，24。所以y=24x,x∈｛1,2,3,4,6,8,12,24｝。
③用20m长的铁丝弯成一个矩形，矩形的面积为多少？
（分析）以矩形的一边为x(m)，则邻边为（10－x）m，矩形面积设为y()，则有：
y=x(10-x)=，那么，这式中的x应取什么数？
显然矩形的边长必须大于或等于0（等于0即矩形面积为0），即x应同时满足两个条件：
x≥0,10-x≥0 ，即0≤x≤10，所以y=,
在举例过程，我特别提醒学生注意：x是一个可以变化的量――变量，而x在允许范围内所取的每一个值y都有而且仅有一个值与这个x值相对应。这样，y就随着x的变化而发生变化。因此y也是一个变量。X与y的对应关系叫做对应法则，x，y就是通过某一个对应法则发生对应的。上面所述的y=2.5x，就是x，y这两个变量在具体问题中的对应法则的具体表示。
有了上面的铺垫，函数定义及函数的定义域的讲授就顺理成章了。课本中函数及函数的定义域是这样的：在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数,表示为y=f(x)。数集D就叫做函数的定义域。
为了使学生更加清晰，我把它分述如下：
一、{x}和{y}是两个变量集合，研究函数，也就是要研究两个变量间的对应关系和变化规律。
二、强调对于x在允许范围内所取得某一个确定值，y都有而且只有唯一的一个值与这个x值对应，否则x，y就不构成函数关系。
可以举出反例子加以说明。例如,x≥0
对于一个x值（x=0除外），y可以有两个值与之对应，如x=1y=±1;x=2y=±2等，这样的x，y就不构成函数关系。
三、x，y两个变量有一个对应法则，这个对应法则统一用f来表示，前面三例中的y=2.5x，，就是x，y的具体的对应法则，“y是x的函数”可以用数学式y=f（x）来统一表示，前三例便可写成：,,.
这些具体的对应关系式就称为函数的解析式（简称为函数式）或函数方程。
四、不是所有的实数都可以是x的取值，因为x的取值必须使函数式有意义且符合实际情况。X的可能取值组成的集合称为函数的定义域。上三例y=2.5x、 y=24x、y=,中，、｛1,2,3,4,6,8,12,24｝、就分别是上述各函数的定义域D。
为了增加概念教学的可操作性，我补充了在学生现阶段，函数的定义域可以通过下式方法求出：
①分母式≠0； ②偶次方根的被开方式0； ③实际情况要求的；
要求学生列出不等式求解定义域，且在数轴上表示。相应的例子为：
①，分母式x-2≠0，x≠2；函数定义域为；
②，被开方式1-2x≥0，即，函数定义域为；
③， X必须同时满足：x-2≠0 ⑴， ⑵
从⑴x≠2，⑵，用数轴画出，函数的定义域为。
开始时的三例都是从实际中求出函数的定义域的。
最后，我再把函数概念用图的形式投影打出，并简单作小结。图如下：
最后，再用适当的例子和练习巩固，结束本节教学。
通过对函数的概念这节课的思考和备课，我感到：
①要从学生原有的数学基础出发，设置梯度不大的铺垫，一步一步地引入学生未熟悉的数学概念。
②细分数学概念的讲解，把数学概念的每一部分阐述清楚，再让学生领会数学概念的全部与内涵。
③使严密和抽象的数学概念变得生动具体，具有一定的可操作性。这样可以调动起学生学习数学概念的兴趣，也使学生容易把握好数学概念。
参考文献：
[1]文海山，石峰，《浅谈中学数学教学的有效性》，中国审计出版社出版，2005
[2]徐强，《走进生活，感受数学》，数学通报，2006
[3]孔祥富，《中职数学教育改革过程中几个热点问题的解析与思考》，职业技术教育，2005
[4]雷玲，《中学数学名师教学艺术》，华东师范大学出版社，2008
[5]熊亚飞，《创设问题情境，培养数学学习兴趣》，中等职业教育，2010
1要把握函数的实质
17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。
迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。
对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。
2加强数形结合
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。
3将映射概念下放
就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。
4区分函数与方程
尽管函数和方程都是反映量与量之间的关系，可函数反映的是变量和变量之间的关系，强调的是一个变量随另一个变量的变化情况，从函数的角度来看，考虑的是x和y在各自取值范围内，彼此间怎样相互变化。而方程反映的是未知量和已知量之间的关系，等式F（x，y）=0是一个方程，只有在一定条件下才能确定为一个函数，从方程的角度来看，考虑的是x和y选取哪些数值时才能使等式成立，另一方面，如果变量x和y的函数关系可以用解析式y=f(x)表示，那就得到一个方程y-f(x)=0，它们是可以互相转化的，有时用方程知识去研究函数，也常用函数知识去研究方程。
【关键词】 初中数学 函数概念 教学
1. 概念渗透阶段，初步认识变量之间的相互关系
函数与我们每个人的生活息息相关，函数关系充斥着我们的生活，函数概念是中学数学中的核心概念，函数思想贯穿中学教材的始终。首先，从初一代数“对字母表示数的认识”开始，学生体验、认识到了“变量”，在教学中教师要促使学生感受到变量的意义，体验变量的概念.其次，在“代数式的值”、“数轴和坐标”的教学中再渗透变量的含义，让学生通过对代数式中字母取值之间的相互关系，渗透关于“对应”概念的初步思想，感受到变量之间的相互联系。最后，随着代数式、方程的研究渗透这一观念，特别是“二元一次方程”的教学环节中，进一步促进学生感受两个变量之间是彼此关联的。通过这样的铺垫，经过一定量的知识累积，引导学生体会变量之间的相互依存的关系。
2. 概念认知阶段，逐步感知变量之间的内在联系
在初二几何部分教学中，教材中涉及函数关系的例子非常多。比如“角的平分线的定义”、“中点的定义”、“角度之间的互余、互补”等都揭示了两个变量之间的联系。另外像“平行线四边形的性质”、“中位线定理”等等都蕴涵着函数关系。一方面，教师在传授这些知识点的 过程中要有不断渗透变量的意识，即在现实生活中存在着大量的变量，且变量之间并不是独立的，而是相互联系的；另一方面，要指导学生在学习这些知识的过程中熟悉把“几何问题代数化”的方法，为函数的代数和几何方法的相结合打好必要的基础，为后续函数概念的学习作好充分的铺垫。
函数概念的形成用物理上的知识点渗透变量意识，是非常直观而且有效的方法。物理书中的很多知识点都是促成学生形成函数概念的较好素材。比如速度计算公式v=st中的速度、时间和路程，压强计算公式P=F/S中压力、受力面积和压强之间的关系都是典型的函数关系。从多方面、多学科进行渗透，强化变量之间是相互联系的观念。
3. 概念引入阶段，顺利形成函数概念的感知认识
“建构主义学习理论”认为：“应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。”
在学生对变量意识以及变量之间相互依存关系有了初步认识以后，函数概念的教学前期准备工作已经基本完成，接下来就可以开始函数概念的讲授了。教师在教授函数概念时，一定要合理设置教学情境，要让学生清醒地感受到变量意识，然后再讲清楚“自变量”、“函数”的名称及含义，并引导学生学会运用这些名词来叙述变量间的依存关系，从而熟悉函数概念。
当然学生这时对函数的理解还并不太清晰，正比例函数、一次函数都是比较简单的函数，在实际生活中也是大量存在的，例如相似三角形、30°角的直角三角形中对应边之间的比例关系是正比例函数等等。具体例子可以使学生清楚地认识到两个变量之间的联系及共性，函数的概念就会逐渐在学生的脑海中留下印记，在以后的反比例函数和二次函数的教学中，可以进一步促进学生深入理解函数概念的内涵与实质。教师在实际教学中能从整体上把握教学，就可以挖掘出最适宜的教学方法，使学生深刻理解函数的实质。
4. 概念延伸阶段，逐渐适应函数的学习方法
函数的学习方法与以前代数和几何的学习方法有着明显的不同。进入函数表达式开始，由于函数的表达是多样化的，有图像法、列表法、解析式法等，许多学生很不适应，怎样在教学函数时使学生逐渐适应这种多样化呢？在函数概念的实际教学中，我一般采用教师引导式：先从实际问题引入概念，鼓励学生以讨论的方式，注重分析启发、巩固反馈，使学生一点点地认识到函数概念的共同特性；了解不同的方法表示函数的方法在不同情况下的使用情况。
另外，“数形结合法”是函数学习的最重要的学习方法，它和代数方法、几何方法有着明显的不同。
学生对“数形结合法”的适应需要一定的时间，因为学生对代数解析式与几何图形之间的对应还不适应，从正比例函数到反比例函数，最后进入二次函数的学习过程中，要使学生认识到几种函数的直观对应关系：一次函数对应直线，反比例函数对应双曲线，二次函数对应抛物线.通过对图像的认识与感知，学生体会到“数形结合法”的优点：“准确简洁的解析式，直观形象的图像。”
总之，学习函数概念首先要有观念上的转变，其次要具备抽象思维能力，提高学生的抽象思维能力和学生的认识能力是使学生形成函数思想的基础。所以教师在进入函数概念的教学过程中，要把传授知识和培养思维能力有机结合起来，实现观念上的转变。这就要求教师要从整体上处理好教材，使函数概念的教学活动成为一个有机整体，这样才能在教学活动中真正有效地提高学生的素质。
参考文献：
[1] 义务教育数学课程标准研制组.初中数学新课程标准（最新2007修订）[S].北京：北京师范大学出版社，2007.
[2] 刘运宜.平面几何代数化背景探源[J].中学数学杂志（初中版），2009（1）.
[3] 薛国凤，王亚晖.当代西方建构主义教学理论评析[J].高等教育研究，2003（1）.
【关键词】函数概念；函数定义；定义域；值域；对应法则
在中学数学中函数概念是整个数学的一个核心概念，学习函数对于学生的思维能力的发展具有重要意义，而中学生对于函数概念的理解和学习却感到非常困难。本文作者是一位高三学生，笔者根据函数概念的发展历史和自身理解来学习近代函数概念的三要素：定义域、值域和对应法则，并以近年来高考函数例题进行解答。
一、函数概念历史进程
从17世纪至20世纪上叶，函数概念经历了漫长的演进过程，在此过程中笔者对诸多数学家们给出的各种定义进行简述和总结。在函授概念传统定义中数学家提出最多的是变量对应角度的定义，代表人物德国数学家狄利克雷（L. Dirichlet， 1805―1859）；除了变量对应角度的定义还有集合对应关系的定义，代表人物法国数学家坦纳里（J. Tannery， 1848―1910））；映射的定义，代表人物德国数学家戴德金（R. Dedekind， 1831―1916）；解析式的定义，代表人物瑞士数学家约翰・伯努利（John Bernoulli， 1667―1748）；运算的定义，代表人物17世纪苏格兰数学家格雷戈里（J. Gregory， 1638―1675）；变量的依赖关系的定义，代表人物法国数学家柯西（A. Cauchy， 1789―1857）；最后是曲线或图象定义，代表人物数学家欧拉、拉克洛瓦（S.F. Lacroix， 1765―1843）。从上述定义的代表数学家，笔者认为17世纪后函授概念的演进过程是运算―解析式―变量的依赖关系或对应关系―集合的对应关系或映射。
二、近代函数定义
传统函数定义是设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，与y值对应的值叫函数值。
例题一：正比例函数y=4x；解析：对于x的每一个实数y，都有唯一的实数与它对应y，x是的4倍；非空数集A、B是实数集R，对应关系f是乘4。
近代函数定义是设A，B，是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）。其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。
例题二：反比例函数y=；解析：对于不等于0的每个实数，都有与其对应惟一的实数，y是x的倒数；非空集合A是不等于0的全体实数组成的集合{x∈R|x≠0}，非空集合B可以是实数集R（只要包含集合{y|y≠0}即可），对应关系f是求倒数。
由以上两例题笔者认为初等函数定义与近代函数定义其本质上是相同的，只叙述上的出发点是不相同的，传统函数定义是从运动变化的观点出发，而近代函数定义是从集合的观点出发。函数的实质都是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的对应。
三、近代函数定义的三个要素
笔者在初中的时候主要学习了函数的初等定义、一次函数、二次函数、反比例函数；到了高中还要学习函数的近代定义以及对数函数、指数函数等更多函数。因为不管是初中的一次函数还是高中的对数函数都是属于函数，并且具备共同特征，所以笔者认为函数概念的学习非常重要。
1.近代函数定义三要素的概念。学习近代函数定义主要掌握近代函数的三个要素：定义域（A）、值域（C）和对应法则（f）。定义域是自变量x的取值范围，是构成函数主要的组成部分。值域C是集合B的子集；集合B中包含了与任意x相对应的y值，还会包含其它数值，所以集合B包含集合C。函数的定义域A和对应法则f来确定函数的值域。
例题三：对应法则f就是集合A到集合B的函数吗？
解：不是，集合A、B以及对应法则f一起称为集合A到集合B的函数
2.近代函数定义三要素的三点说明：第一定义域不同，两个函数不同；如第二对应法则不同，两个函数不同；第三定义域、值域分别相同的函数，也不一定是同一个函数，还要看对应法则。
例题四：f（x）=4x+2与g（t）=4t+2是同一函数吗？
解：是的，f（x）=4x+2与g（t）=4t+2定义域都是是4，值域和对应法则都是相同的，所以是同一函数。
注意：函数是两个数集之间的对应关系，任何字母来表示自变量、因变量以及对应关系都不影响两个函数是同一函数。
四、结论
对于所有学生来说理解和学习函数概念是中学数学的学习重点，同时也是学习难点。在初中学习函数概念一般采用“变量说”，而在高中学习函数概念一般采用“对应说”，笔者人物它的学习不仅是要掌握和理解函数概念的初等定义和近代定义，还要将实际生活与数学知识有机的结合起来，才能为今后打下良好的学习基础；才能灵活地解决其函数知识的多变问题，才能提高自身的数学素养和应用数学的能力。
【参考文献】
[1]任明俊，汪晓勤.中学生对函数概念的理解.历史相似性研究[J].数学教育学报，2007（11）
[2]谈雅琴.中学生对函数概念的理解[D].华东师范大学，2006
【关键词】变量 函数概念 概念内涵 对应法则
【中图分类号】 G 【文献标识码】 A
【文章编号】0450-9889（2015）03B-0109-02
要提高数学教学质量，必须加强基础知识、基本方法和基本技能的教学，而概念教学是这“三基”教学的核心。函数是中学数学的主干内容，与中学数学的大部分内容都有密切的联系。鉴于此，函数概念最早出现在初二下学期的课本，而且在此之前的幼儿园、小学阶段都已经渗透了有关函数概念的集合和对应的方法。到了高中，进一步深化函数概念，成为贯穿中学数学知识的一条主线。因此，历届数学教育家想方设法编出了循序渐进、螺旋上升、科学合理的函数内容教材，努力提高学生的数学文化知识。可是，教学效果仍然不尽人意，特别是在普通中学，许多学生读到了高三，还说不清楚什么是函数。在此，笔者想与同行们共同探讨如何进行初、高中数学函数概念的教学。
一、如何进行初中函数概念的教学
学生理解数学概念，一般是从感性开始的。采取从感性到理性，又从理性到实践的过程进行教学，是符合学生认识规律的。课本准备了一些感性材料，让学生经历从典型、丰富的具体事例中概括概念本质的活动。初中课本准备了4个不同类型的实际问题：（1）画出了表示某地某天内的气温随时间变化而变化的图形曲线。（2）绘出了2006年8月中国人民银行公布的“整存整取”年利率表，表中显示了年利率 y 随着存期 x 的增长而增高。（3）给出了收音机刻度盘上的波长 λ（m）和频率 f（kHZ） 的对应值表。（4）让学生根据圆面积公式 S=πr2，填圆半径 r 与面积 S 的对应值表。在上面的每一个问题中，先后出现了两个相互依赖、相互制约、相互影响大小的变量，不妨分别用字母 x 和 y 来表示，引导学生发现：先出现的变量 x ，在允许的范围内每取一个值，都会得出另一个变量 y 的一个值，或者说另一个变量 y 随之就会只有一个值和它对应。由此概括抽象出初中函数定义：如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值， y都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量， y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数。可见，函数 y 是一个变量，但它不是独立变化的变量，而是由自变量自变引起因变量因变的这样一个变量，于是，把因变量 y 称作是自变量 x 的函数。学生学习了定义之后，还要让学生回到实践，知道在客观世界中，广泛存在着函数的事例。比如，正方形的面积 S 是边长 a 的函数；物体作匀速直线运动的路程 S 是时间 t 的函数等事例。当学生知道函数自变量 x 可以表示时间、长度、路程、电流等变量，知道因变量 y 可以表示温度、利率、频率、面积、电压等变量。知道函数研究的对象是两个有着主从依赖、互相制约的确定关系的变量，这两个变量的值存在着一种特殊的对应关系时，学生就理解了初中的函数概念。至于两个变量之间的主导与从属关系，在一定条件下可以互相转化，只能放在高中学习反函数时再去研究。
二、如何进行高中函数概念的教学
高中阶段函数的教学是初中阶段函数教学的延续，要求学生在集合与对应等思想的基础上深刻理解函数概念。现行的高中教材类似于初中教材的设计，从函数具有丰富的实际背景出发，准备了三个不同类型的实际问题。问题（1）给出了炮弹距地面的高度 h（m） 随时间 t （S）变化的规律 h=130t―5t2。问题（2）中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞面积从1979～2001年的变化情况。问题（3）给出了“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况表。每个问题都给出了两个变量各自的变化范围，教材的意图是要让学生知道或发现这两个变量之间对应关系的共同点，于是让学生先回答课本 P16 的思考题：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？
共同点：（1）两个变量都有各自所属于的非空数集；（2）这两个非空数集之间的元素都有一种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应。
不同点：两个变量的对应关系表现形式不相同，实例（1）是解析式，实例（2）是一条曲线，实例（3）是数据表格。
于是，每个实例中的两个变量之间的关系都可以描述为：对于数集 A 中的每一个 x ，按照某种对应关系 f ，在数集 B中都有唯一确定的 y 和它对应，并且把这种对应关系记作 f：AB，从而得到了突出“对应关系”的高中函数定义：
设 A ， B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（x）， x∈A。其中， x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）│x∈A} 叫做函数的值域。这样引入函数概念虽然自然，但是，学生知其然而不知其所以然。过去学习了“因变量 y叫做自变量 x 的函数”，现在为什么要把“数集 A 与 B 之间元素的这种对应关系 f：AB叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数呢？”过去讲的函数是一个变量，现在讲的函数是一种对应关系，学生误以为有两个完全不同的函数定义。
任何一个概念都反映事物的一定范围（即事物的集合）和这个范围内的事物的共同本质。概念所反映事物的范围（或集合）叫做这个概念的外延，这些事物的本质属性的总和（或集合）叫做这个概念的内涵。概念的外延和内涵分别描述了事物集合的量和质。定义概念就是准确地揭示它的内涵和外延。在中学进行新概念教学时，既要从学生接触过的具体内容引入，也要从数学内部问题提出，这是比较好的一种教学方法。
既然学生过去学习了“ y 是 x 的函数”定义，就要从学生的认识水平出发，只要把初中函数定义进一步抽象一点点，把不是最基本的本质属性“变化过程”和“变量”弃掉，只保留最基本的本质属性，就会得出高中的函数定义。
现行高中教材准备的三个实际问题，仍然可以作为引入函数概念的具体事例。不过，先要根据这些具体事例，引导学生回忆、回答出初中的函数定义“y是 x 的函数”之后，提问：
一个函数的自变量 x 总有取值范围吗？因变量即函数 y 总有变化范围吗？
答：都有。
把自变量 x 的取值范围记作 A ，因变量 y 的变化范围记作 B 。再提问：
初中函数的最基本的特征是什么？
答：v1w自变量 x 有一个取值范围 A ，因变量 y 有一个变化范围 B 。
（2）对于数集 A 中的每一个数 x ，按照某个确定的对应法则 f ，都对应着数集 B 中唯一确定的数 y （把这个 y 记作 f（x））。我们把这种对应关系，称之为从数集 A 到数集 B 的单值对应，记作f：AB。
我们把从数集 A 到数集 B 的单值对应 f：AB，叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y= f（x），x∈A。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值（f（x））叫做函数值，函数值的集合{f（x）│x∈A}叫做函数的值域。
这样，只保留初中函数最基本的两个特征，就轻松地得出了高中函数定义。
三、初、高中函数定义的实质是一样的
通过保留初中函数最基本的两个特征，得出高中函数定义，学生容易知道初、高中函数定义的实质一样：都是指两个数集之间的元素单值对应，只不过初中函数定义侧重于表达变量变化的结果，而高中函数定义侧重于整体表达变量之间的全部对应和变化。初、高中函数定义的这种相同本质，可以用如下的简易图形示意：
四、解决初中函数不能解决的一些问题
通过减少初中函数概念的内涵，得到的高中函数概念的外延就会扩大，所以初中函数定义中的每一个函数，即初中讲的“ y 是 x 的函数”，都是高中函数定义中的函数，都可以写成“从集合 A 到集合 B 的一个函数”，但是，反之不成立。这样，高中函数研究的范围已经扩大，就能解决初中函数不能解决的一些问题，这就是发展概念的动机和原因。例如：
（1）y=sin2x+cos2x=1（x∈R）是函数吗？
（2）y=与 y=x 是同一个函数吗？等等，这些问题如果用初中函数定义就无法回答，但是，用高中函数定义就很容易解决。
五、反思高中函数定义
讲授完高中函数定义之后，可让学生反思：（1）定义中的“……，称 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数”。难道从集合 A 到集合 B 还会有另一个函数？比如，已知y=sin x，x∈[0，]是从集合[0，]到集合[0，1]的一个函数，让学生找一找从集合[0，]到集合[0，1]的另一个函数，有y=cos x，x∈[0，]，等等。（2）除了高中学的函数之外，还会有别的函数吗？
例如，设立方体长、宽、高、体积分别为x，y，z，V，则V=xyz，其中x，y，z都是自变量，这是一个有三个自变量的多元函数，不是中学的一元函数。
再如，y=±是函数吗？
因为它不符合中学函数定义的“单值对应”，所以不是中学的函数，而是中学函数之外的多值函数。
通过反思高中函数定义，就不会书云亦云，师云亦云了。
六、巩固、发展函数概念
函数概念的形成，不是一二节课就能完成的，学生学习了概念之后，还需要采取一些巩固、发展概念的措施，罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，来促进学生认识概念的本质，确定概念外延的有效手段。例如（选自2011年湖北黄石必修1检测题）：
在下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，不能确定 y 是 x 的函数是（ ）
（1）A={x│x∈Z}，B={y│y∈Z}，对应法则 f：xy=；
（2）A={x│x>0，x∈R}，B={y│y∈R}，对应法则 f：xy2=3x；
（3）A={x│x∈R}，B={y│y∈R}，对应法则 f：xy：x2+y2=25；
（4）A=R，B=R，对应法则 f：xy=x2；
（5）A={（x，y）│x∈R，y∈R}，B=R，对应法则f：（x，y）S=x+y；
（6）A={x│-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，对应法则 f：xy=0。
解析：在对应法则 f 下，（1）A 中不能被 3 整除的数在 B 中没有象。（2）A 中的数在 B 中有两个数与之对应。（3）A 中的数（除去±5）在 B 中有两个数与之对应。（5） A 不是数集。所以（1）（2）（3）（5）都不能确定 y 是 x 的函数。（4）（6）显然满足函数的特征， y 是 x 的函数。
一个概念即是对前面知识的总结，又是新知识的出发点，函数研究的是变量间的依赖关系，对应关系，因而讨论函数的性质时，还是要突出一个“变”字，围绕自变量，因变量的变化特征来界定。比如，当自变量 x 在定义域 A 中由小变大时，根据 y=f（x） 的变化特点，提出了函数的“增减性”“奇偶性”和“周期性”等概念。用这样的思路来进行函数概念和性质的教学，能把概念教活，使学生获取的知识成为一个有机的整体。
【参考文献】
[1]陈森林.中学代数教学法[M].武汉：湖北人民出版社，1981.8
[2]苏天辅.形式逻辑学[M].成都：四川人民出版社，1981
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1003-2738（2011）12-0083-01
摘要：以函数概念教学设计为媒折射教学设计的艺术性、科学性以及教学劳动的创新性。
关键词：函数概念；教学程序；教学方法
一、内容和内容解析
“函数”是中学数学的核心概念。
在初中，学生已经学习过函数概念。初中建立的函数概念是：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量。
这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制。如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究。例如：
对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么．但用集合、对应的观点来解释，就十分自然。
进入高中，学生需要建立的函数概念是：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f（x）|x∈A 叫做函数的值域。这个概念与初中概念相比更具有一般性。
实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的，不同点在于表述方式不同──高中明确了集合、对应的方法，初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点。
与初中相比，高中引入了抽象的符号f（x）。f（x）指集合B中与x对应的那个数．当x确定时，f（x）也唯一确定。另外，初中并没有明确函数值域这个概念。
函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：
1.两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应。
2.涉及两个数集A，B，而且这两个数集都非空集。
这里的关键词是“每一个”“唯一确定”。也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有，每一个都要有，而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应。
3.函数概念中涉及的集合A，B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。
二、教材的处理
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
四、教学程序
（一）课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1.把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
（二） 新课讲授
1.接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
2.巩固练习课本习题。此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对一，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：AB记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）：x∈A}叫做函数的值域。并把函数的近代定义与映射定义比较，使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
（1）函数是非空数集到非空数集的映射。
（2）f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
（3）f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
（4）集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
（5）“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。
（三）讲解例题
例1.问y=1（x∈A）是不是函数？
解：y=1可以化为y=0*X+1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
（四）课时小结：
一、初、高中关于函数概念一节的教材对比
我市初二学生使用的沪教版教材在第13章《一次函数》中设置了三个情境：
情境1.用热气球探测高空气象，设热气球从海拔500m处的某地升空，它上升到达的海拔高度h与上升时间v的关系；
情境2.S市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线（图像）；
情境3.某型号的汽车在路面上的刹车距离s与车速v之间的关系。
每个例子后面都设置了两到三个问题，引导学生发现每个例子中的两个变量以及两个变量之间的关系，对自变量和因变量的范围没有做过多的要求和说明。学生容易得出初中函数的定义：在一个变化的过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x的值，相应的就确定唯一的一个y值，那么我们称x是y的函数，其中x是自变量，y是因变量。很显然，初中函数概念的“变量说”是以运动观点描述的，是对函数概念的感性认识，直观、感性、贴近生活，符合初中生的认知特点。紧跟着学生又学习了一次函数、二次函数、反比例函数等具体的函数。通过学习，函数给学生留下的印象就是“两个变量，一个解析式”，而且其中的自变量基本上都具有一定的物理背景。
我们再来看看人教版高中数学必修一，教材中同样设置了三个情境：
情境1.炮弹距地面的高度h随时间t变化的规律；
情境2.1979～2001年南极上空臭氧层空洞的面积的变化情况（图像）；
情境3.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数的变化情况（表格）。
在三个情境中都明确给出了其中的两个变量所在的集合，引导学生从集合、对应的观点归纳函数的新定义：一般地，设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.学生已经掌握集合的知识，顺理成章地将初中“自变量x的取值范围”过渡到“定义域”，相对于初中函数，高中函数的定义抽象、理性。
二、高中函数概念的教学策略
（一）从新旧概念冲突入手
由必修一教材中出现的三个例子，学生容易得出函数的新定义，但事实上这三个例子的自变量都是时间，它们用初中的“变量说”仍然可以得到很好的解释，那为什么高中还要学习新定义？因此我们可以设计以下两个情境：
情境1.根据铁道部对火车票做出的规定：身高在1.1以下的乘客免票，身高在1.1～1.5米之间的乘客享受半票，身高在1.5米以上的乘客必须全票，乘客的车票价与身高的关系；
情境2.滁州公交车票价和乘客乘坐的站数之间的关系。
这两个情境是日常生活中比较常见的例子，学生可以很快做出判断。到底这两个例子是不是函数关系呢？学生会产生不同的意见，很多学生认为它们都不是函数，因为情境1中身高在某一范围内发生变化时，票价却是不变的；情境2中票价也不都随站数的变化而变化。在这两个事例中，初中的“变量说”就不能很好地对其进行解释，而用集合与对应的观点来理解，就可以十分自然地理解其实以上两个情境也都是函数。从这个意义上来说，高中所学的函数概念更具一般性，它从一个更高的角度来认识函数，使函数的知识更加系统起来。学生通过对初高中函数概念比较、分析的过程，不但加深了对函数的理解，促使初、高中学习的知识更为有效地衔接起来，形成更为完善的认知结构体系，同时也激发了学生学习的兴趣，提高了学生归纳推理的能力。
（二）函数符号的突破
函数符号是学生难以理解的抽象符号之一，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”。我们可以把对应法则比喻成加工厂，形象地告诉学生，因变量y实际上是通过f（faction第一个字母）加工出来的，学生就比较容易理解。在有些问题中，对应关系f可用一个解析式表示；但在不少问题中，对应关系f不便于或不能用解析式表示，这时就必须采用其他方式如图像或表格等。在教学中，可以让学生通过分析实际问题和动手操作，逐渐认识和理解函数符号的内涵。例如，将不同情境中的对应关系用同一的符号表示，计算当自变量是数字、字母不同情况时的函数值。
在这里强调对应关系和定义域的主导地位，而值域是附属地位。
江苏省苏州市园区金鸡湖学校215000沈奕
作为一节中考复习课，我们需要注意的问题有很多，比如：知识的系统性、全面性、对各项基本技能的训练、对审题能力的培养等等.而在新课程改革的背景下，考试仍然是目前唯一的一种选拔途径，那么如何将平时教学中的知识、技能、能力很好地在考试中发挥出来，使学生都能取得自己理想的成绩呢？通过本节课的教学我感触最深的是：知识要复习，技能要训练，但要想把能力培养与应试训练很好地结合起来，更要注意对解题过程的反思，反思一道题目所考查的知识点、数学思想方法，即考查了什么、怎样求、为什么这样求.对题目的反思过程是一个很好的能力培养的过程，能够培养学生的审题能力，知道遇到这样的问题应该怎样想、如何解决.
一、教学背景分析
一次函数是中考命题的热点，求一次函数的解析式、利用一次函数的图象和性质解题是考查的重点内容.它的概念、图象和性质，充分体现数与形的完美结合.一次函数常与一元一次方程、不等式、不等式组、方程组、三角形的面积、圆的有关线段等知识综合出现，主要考查学生综合运用数学思想、方法分析问题和解决问题的能力，同时也考查学生的计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力.在本节课之前已经复习了平面直角坐标系、函数的表示方法和正、反比例函数.这节课主要复习一次函数的图象和性质，对于一次函数的应用在后面单独复习.
二、教学目标的确定
根据课程标准与2015年中考说明的要求，并结合学生的现有认知水平，我制订了如下教学目标：
1.理解正比例函数，能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质.（基本要求）
2.会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标.（略高要求）
3.运用数形结合的思想解决与一次函数有关的问题，提高分析问题的能力.
4.激发学生运用数形结合的思想解决问题的兴趣，树立科学探究的精神.
三、教学重点与教学难点
根据以上的分析，我确定了本节课的教学重点和难点.
教学重点：一次函数的概念、图象和性质.
教学难点：运用数形结合的思想解决与一次函数有关的问题.
四、教学方式及教学手段
本节课采用讲练结合的教学方式.课上引导学生观察、探究、思考、分析，通过学生讲解的方式展示交流的结果，并以多媒体课件为手段辅助教学，引导学生学习，启发学生发现问题、思考问题，鼓励学生运用数形结合的思想研究问题.
五、课堂实录
（一）复习成果展示
师：我们今天一起来复习一次函数（板书课题）.昨天我们已经对一次函数的基础知识做了复习，谁能说说在一次函数这一部分我们都学习了哪些内容？
生答，教师对学生的回答进行整理说明并板书知识结构.再请一名同学把复习提纲用投影展示，由其他同学提出问题，共同对问题进行修正，教师对重点进行强调并板书.
（通过课前巩固基础知识，可以节省课堂时间，为知识应用作准备.）
（二）巩固基础
试一试：
1.一次函数y=kx+b的图象如图1所示，则k、b的取值范围分别是.
2.一次函数y=2x-3的图象不经过第象限；y随x的增大而.
学生板书图象并看图口答.这两个小题对基础知识进行巩固，渗透数形结合的思想.
教师总结：以上两个小题一个由图象确定k、b的符号，一个根据k、b的符号确定图象的大致位置，可见在一次函数的学习中离不开图象.
下面请同学们独立解决例1.
例1填空：一次函数y=mx-4的图象经过点（-2，6），则m=；画出它的大致图象，y随x的增大而；它的图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是；它的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是.
教师先在黑板上画出坐标系，然后巡视，对有困难的学生进行辅导，约3分钟后请一名同学上黑板画出函数图象，其他学生分析解答，教师给予评价和引导，并板书此面积的求法.
反思解题过程，总结本题考查的知识与方法：
（1）待定系数法；（2）一次函数的性质；（3）求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标；（4）求图形面积（数形结合）.
主要反思如何求、为什么这样求.
接着我们再看看，一次函数还和哪些知识相联系.
例2已知：一次函数y=（m+2）x-（1-4m）.
（1）m为何值时，图象与坐标轴交于原点？
（2）y随菇的增大而增大时，求m的取值范围；
（3）它的图象与y轴交点在x轴的下方时，求m的取值范围；
（4）它的图象经过一、二、三象限，求m的取值范围.
学生独立解题，然后由学生讲解，教师补充评价.
反思解题过程，总结本题考查的知识与方法：（1）一次函数的性质；（2）解方程与不等式；（3）数形结合.
主要反思如何求、为什么这样求.
（三）小结反思、布置作业
引导学生作知识总结.
1.本节课我们学习了哪些知识？
（1）一次函数的概念、图象和性质；
（2）根据已知条件确定一次函数的解析式（待定系数法）；
（3）会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；
（4）一次函数与方程、不等式、图形变换等知识的联系.
2.本节课用到了哪些数学思想方法？数形结合.
3.解函数问题的一般思路.认真审题画出图象分析问题解决问题
首先创设问题情境：
问题一、你能谈谈对函数的认识吗？
问题二、函数的本质是什么？
让学生回顾初中学习过的函数概念，把握住函数的内涵。教师根据学生所举例子的具体情况，引导学生列举分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数。让举例的同学分别解释他们所举例子的含义，为什么用这个例子来说明函数。函数是初中已有过的内容，引导学生用初中的定义解释所列举的例子，可以了解学生对函数概念的掌握情况，挖掘学生背后的思维过程，暴露学生对函数本质的理解状况。
然后教师点拨学生：“我们在初中就学习过函数的概念，并且学习过一些特殊的函数，那么现在我们上了高中，为什么又要来学习函数的概念呢？初中对于函数的定义，主要是从变量之间的依赖关系来表述，那么我们学习了集合的相关知识，为了更加深刻地揭示变量之间的这种依赖关系，能不能利用集合对函数进行重新定义呢？这节课我们将从集合的角度赋予函数概念以新的思想。”以此来引导学生把初中学习过的函数概念与高一刚学习的过的集合知识联系起来，用集合的观点解释过去的概念，获得对函数概念的新认识。
下面把时间留给学生，让学生自学书上的三个实例：
1。物理公式：s=vt；
2。“艾宾浩斯遗忘曲线”；
3。 1988至2008年中国历届奥运会金牌数。
并让学生思考以下四个小问题：
（1）三个实例中分别含有哪几个变量？
（2）这些变量的取值范围怎样用集合表示出来？
（3）变量所在的集合之间有着怎样的对应关系？
（4）实例中变量之间的对应关系有何异同？
在此设置自学环节并提出四个小问能够让学生静下心来从具体实例中抽象出函数的概念。教师要注意突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与x对应，“y是x的函数”。特别要求学生指出对应关系是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个数集做准备。
接着我自编了实例四：将6位同学按1到6进行编号，把他们的编号放在一个集合里，将他们的数学成绩放在另一个集合里，将编号和他们的成绩对应得到第一个对应关系。接着将他们的数学成绩放在一个集合里，把他们的排名放在另一个集合里，将他们的成绩与排名对应得到第二个对应关系。然后关注最后两名没有考及格的同学，把他们的学号与最近两次考试的成绩对应得到第三个对应关系。之后让他们给自己下次考试成绩定个目标，同学5说出下次争取考到60分，而同学6没定目标，这样得到第四个对应关系。请尝试应用刚刚概括出的函数的概念判断一下这四个对应关系中哪些是函数？
在是与不是的函数判断中，学生对函数的概念有着进一步深入的认识。紧接着让学生自己思考以下三个小问题：
（1）函数的概念中有哪些关键词？
（2）如何理解函数的概念与符号？
（3）函数有哪几个要素？
教师引导学生要善于解剖概念，促使学生抓住概念中的关键词，透彻理解概念的内涵。
同时，指出：
（1）A、B必须是非空的数集；且对于集合A中的任意一个数x，在集合B中只有唯一确定的数f（x）和它对应，这种对应为数与数之间的一一对应或多一对应；
（2）函数的定义域就是集合A，但函数的值域未必就是集合B，实际上，它是集合B的子集（这里可以借助自编实例四让学生理解，这也是自编实例四的目的之一）；
（3）f（x）的符号含义：y=f（x）为“y是x的函数”的数学表示，仅仅是一个函数符号，表示x经f作用后的结果，f（x）并非表示f与x相乘 ；
（4）函数必须具备三个要素：定义域，值域，对应法则f，三者缺一不可。并指出对于一个函数，当定义域确定、对应法则确定后，值域也随之确定，因此，两个函数相等的条件是定义域以及对应关系相同。
接着让学生自己总结如何判断一种对应关系是否是函数？
（1）定义域和对应法则是否给出；
（2）根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每个值，是否都能确定唯一的函数值y。
现以“函数概念与基本初等函数”的教学为例，说明自组织教学理论在高中数学教学应用中怎样展现它独特的魅力和优势.
一、让课堂教学充满生机
在传统的教学方法中，教师为了使教学的秩序得到保证，以封闭式的教学系统引导学生学习，这使学生只能跟随教师的思路走，学生即使有想法、有意见、有思路也无法表示.自视域教学理论最重要的特色之一，就是以开放型的教学系统，教师除了给学生一个学习目标以外，不再干涉学生以怎样的方式学习，学生的自体性得到发挥，整个教学课堂变得有生机.
比如，引导理解什么是函数的概念，先让学生观察：y=1(x∈R),y=x,y=x2x，这三个解析式有什么特征？它们满足什么条件？有些学生转化能力强，用画图象的方式得到答案；有的学生逻辑性强，以列表找异同的方式得到答案；有些学生直觉性强，一眼就能看出答案.学生能照自己喜欢的方法学习，就会愿意自主的学习.
二、让学生各展所长
传统的学习方式最大的特点是学生没有选择学习对象的权力，即使自己面对该学习对象内心很烦燥，却依然得被迫学习.自视域教学理论则是将学生视为不同个体的人，以人为本，将学生视为生命的个体，将课堂视为不可复制的一段生命旅程，学生可以根据自己的需要选喜欢的方式学习，我们的自组织理论视域下数学课堂要给学生空间和时间，让学生自主选择学习内容，自己选择学习方式，自主探究与合作，让学习过程成为数学体验与数学享受的过程.比如，指导学生理解函数的值域概念时，引导学生认真思考：
1）习题一
如果函数f(x)=12x2-x+a的定义域与值域为［1,b］(b>1)，那么请求出a、b的数值.
2）习题二
已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R)的值域是［0,+∞)，求a的数值.
3）习题三
以题二的函数为例，如果函数的数值均不为负数，求f(a)=2-a|a+3|的值域.
三道题，给学生选择性学习，让不同学习层次的学生得到不同的发展.教师不仅可以让学生在习题上有选择性，还可以鼓励他们课外寻找非课本的资源研究，让他们根据自身特长去学习.
三、让学生共同交流
自组织理论视域下数学新课程，要求学生之间互动，学会交流，形成知识磁力场，比如学生学习函数概念与基本初等函数知识时，貌似把教师说的内容都听明白了，实际上却可能没有听明白.如果学生能多点交流，学生的视野会得到开拓，学生可能发现自己貌似理解的知识在同学的追问与反驳的情形下原来掌握得非常肤浅.教师要重视学生在课堂中的交流活动.
比如，教师引导学生应用函数与初等函数的知识：
以下左图为马铃薯市场售价与上市时间，右图为马铃薯成本与上市时间，教师将学生分成小组，要求学生共同讨论，马铃薯什么时候上市，所得到的综合利润最高？
这一题既涉及到函数的知识，也涉及到函数的计算，学生在共同讨论的过程中，可以找到函数计算的思路、找到最简的计算方法、找到计算的规律.学生在共同交流的过程中，智慧相互碰撞，知识相互生成，相互激发灵感，可以起到共同进步的学习效果.
四、激发学习能量
从以上自组织视域的函数概念与基本初等函数的教学中可以看到，数学思维能力强、思路宽广、领悟力强的学生能在这样的课堂中迅速掌握各种数学知识，他们掌握的知识远远超过教学大纲的要求，而有一些学生则仅仅能掌握课堂中的基本知识.在传统的教学方法中，会认为这种教学成果不能满足教学要求，然而，自组织视域下的数学教学重视的是培养学生的学习兴趣、培养学生的学习能力、引导学生用科学的方式思考.虽然目前学生在一、两节课堂中看不到学习的成果，然而长期以往，学生会慢慢释放自己的潜力、发挥自己的特长、展现自我的学习风格，未来，他们会形成学习的飞跃.
关键词：周期性现象模型；感性认识；三角函数
到了高中阶段，三角函数概念摆脱了初中阶段的束缚，产生很大的飞越． 概念提升后，学生认识的角度、深度和广度都要相应地发生变化，对概念的理解才能从初中阶段顺利过渡到高中阶段．从人类认识运动的辩证过程看，首先是从实践到认识的过程． 在这个过程中，认识采取了感性认识和理性认识两种形式，并经历了由前者到后者的能动飞跃． 理性认识是基于感性认识的基础之上的． 感性认识和理性认识相互渗透，相互包含． 感性认识和理性认识在实践的基础上是辩证统一的． 认识运动是不断反复和无限发展的． 数学就是人类通过实践由感性认识上升到理性认识而形成的，并在不断丰富和发展．
初中阶段的三角函数概念，其研究范围是锐角，侧重几何的角度，在一个直角三角形中，研究角和三角形边与边的“比值”之间的内在关系，其研究方法是几何的，研究目的是为解直角三角形服务． 高中阶段，它是在“角的概念的推广”的基础上进行讨论和研究的，研究从“静态”到“动态”，体现了运动变化的观点．通过构造，将给定的角通过直角坐标系研究，提供了用代数方法研究几何的思路，研究平台从初中的平面几何图形过渡到平面直角坐标系，再次体现了数形结合的思想． 任意角的三角函数作为函数概念的下位概念，要强调它是以角为自变量，比值为函数值的函数，由“锐角三角函数”概念扩张到“任意角三角函数”． 三角学的现代特征，是把三角量看做函数，即看做是一种与角相对应的函数值． 正如欧拉所说，“引进三角函数以后，原来意义上的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算”．
三角函数在高中数学教材中自成体系，成为独立的一章． 沿定义出发衍生的基本内容有：三角函数线、三角函数值的符号、同角三角函数关系、诱导公式、一些变换公式以及图象和性质，其内涵丰富，外延广泛． 在经历从锐角三角函数过渡到任意角三角函数定义的推广过程中，学生的理解很难一步到位，往往还是容易陷入于直角三角形中去研究角和三角形边与边的“比值”之间的内在关系． 要克服负迁移，打破思维定式，突破它的下位概念——锐角三角函数的概念的束缚，承前启后，从狭义走向广域，达到概念的内化．
脱离实际的理论是空洞的，会显得苍白无力． 找到感性认识的切入点，通过突出和深化感性认识，提供一些适当的背景，增强学生学习活动的体验，学生能身临其境，伴随着“真情实感”来体验概念的产生、发展过程，逐步过渡到理性认识阶段，水到渠成．
以典型、具体的模型，通过适当的实践让学生从已有的知识经验去认知，明确研究范围的变化，开阔视野，引导学生进行提炼概括，才能揭示由此带来的新问题，加深对新概念的理解，这样的学习才会充满活力．
这里给出两个例子来加以说明．
以和我们日常生活息息相关的交流电为例，它的最基本的形式是正弦电流
如图1所示为发电机的示意图．当线圈在匀强磁场中以角速度ω逆时针匀速转动时，线圈将产生感应电动势． 当线圈平面垂直于磁感线时，各边都不切割，没有感应电动势，称此平面为中性面，如图2所示． 设磁感应强度为B，磁场中线圈一边的长度为l，平面从中性面开始转动，经过时间t，线圈转过的角度为ωt，这时，其单侧线圈切割磁感线的线速度v与磁感线的夹角也为ωt，所产生的感应电动势e′=Blvsinωt． 所以整个线圈所产生的感应电动势为e=2Blvsinωt，2Blv为感应电动势的最大值，设为Em，则e=Emsinωt． 此式为正弦交流电动势的瞬时值表达式，也称解析式． 正弦交流电压、电流等表达式与此相似．
图3
图4
从产生交流电的过程看，对比正弦曲线，此例是一个非常生动和具体的实例．
简谐振动
简谐振动有单摆摆动和弹簧振子运动．
理论和实验都证明，简谐振动物体的位移随时间变化的规律呈正弦函数或余弦函数．
以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出简谐运动的位移—时间图象都是正弦或余弦曲线，振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律． 由图象可知振动的周期，可以读出不同时刻的位移；根据图象可以确定速度大小、方向的变化趋势；还可以根据位移的变化趋势判断加速度的变化，也能判断质点动能和势能的变化情况．
学生如果能从所熟悉的问题、感兴趣的事物、日常生活中的情景或已熟悉掌握的知识等这些背景出发，不仅把已有的数学现实作为新知识增长点，从现有的知识经验中培养新的知识经验，也将所学的数学知识与他的现实生活联系起来，找到数学知识在实践应用中的切入点，把数学应用于现实世界，服务于当代和新生科学的理论和实践，“把现实的数学与学生个体的现实紧密地结合起来”．
任意角的三角函数反映了自然界中或工程技术中的一个非常重要的周期运动现象，是大量周期性现象的模型，也是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的．
