时间：2022-07-30 00:17:42
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇三角函数，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
1. “[tanα=34]”是“[sinα=-35]”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 已知[cos（π2+α）=35]，且[α∈（π2，3π2）]，则[tanα=]（ ）
A. [43] B. [34]
C. [-34] D. [±34]
3. 已知[tanθ=2]，则[sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ][=]（ ）
A. [-43] B. [54]
C. [-34] D. [45]
4. 已知[sin（π+θ）=45]，则[θ]角的终边在（ ）
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第一、四象限 D. 第三、四象限
5. 已知[α∈（0，2π）]，且[α]的终边上一点的坐标为[（sinπ6，cos5π6）]，则[α]等于（ ）
A. [2π3] B. [5π3]
C. [5π6] D. [7π6]
6. 若[0
A. [sinx3xπ]
C. [sinx4x2π2]
7. [sin256π+cos253π-tan（-254）π=]（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. -2
8. 若[α]是第四象限角，[tanα=-512]，则[sinα=]（ ）
A. [15] B. [-15]
C. [513] D. [-513]
9. 已知sin[（76π+α）=13]，则sin[（2α-76π）=]（ ）
A. [79] B. [-79]
C. [19] D. [-19]
10. 已知点[P（sinα-cosα，tanα）]在第一象限，则在[0，2π]内[α]的取值范围是（ ）
A. （[π4]，[π2]） B. （π，[54]π）
C. （[3π4]，[54]π） D. （[π4]，[π2]）[?]（π，[54]π）
二、填空题（每小题4分，共16分）
11. 若角[β]的终边与[60°]角的终边相同，则在[[0°]，[360°）]内，终边与角[β3]的终边相同的角为 .
12. 若角[α]的终边落在直线[y=-x]上，则[sinα1-sin2α+1-cos2αcosα]的值等于 .
13. 若[α]是第一象限角，则[sin2α]，[cos2α]，[sinα2]，[cosα2]，[tanα2]中一定为正值的有 个.
14. 若[α]是锐角，且[sin（α-π6）=13]，则[cosα]的值是 .
三、解答题（共4小题，44分）
15. （10分）设[α]为第四象限角，其终边上的一个点是[P（x，-5）]，且[cosα=24x]，求[sinα]和[tanα].
16. （10分）已知扇形[OAB]的圆心角[α]为[120°]，半径长为6，求：
（1）求[AB]的弧长；
（2）求弓形[OAB]的面积.
17. （12分）[A，B]是单位圆[O]上的动点，且[A，B]分别在第一、二象限. [C]是圆[O]与[x]轴正半轴的交点，[AOB]为正三角形. 记[∠AOC=α].
（1）若[A]点的坐标为（[35]，[45]）. 求[sin2α+sin2αcos2α+cos2α]的值；
（2）求[|BC|2]的取值范围.
18. （12分）求值：
1、三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
2、常见的三角函数包括正弦函数（SinX）、余弦函数（Cosx）和正切函数（tanx）.在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数.不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式.
（来源：文章屋网 ）
早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。
然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰
（来源：文章屋网 ）
命题者常常结合其他知识点来考查三角函数，运用多个知识点之间的交叉、渗透和组合出题，具有基础性和综合性，题型可大可小，难易程度忽高忽低.
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解答这种类型的综合题不仅需要同学们熟练掌握好三角函数中的基础知识、基本技能和基本方法，而且还要熟练掌握相关结合知识点的内容，然后分别考虑题目中三角函数的特点与其他知识点，采取各个突破的策略.
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■ 命题“若α=■，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A. 若α≠■，则tanα≠1
B. 若α=■，则tanα≠1
C. 若tanα≠1，则α≠■
D. 若tanα≠1，则α=■
破解思路 本题属于容易题，命题“若p，则q”的逆否命题的格式是“若？劭q，则？劭p”，故可写出命题“若α=■，则tanα=1”的逆否命题.
经典答案 因为“若p，则q”的逆否命题为“若？劭p，则？劭q”，所以“若α=■，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠■”. 选C.
■ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.
①sin213°-sin13°cos17°+cos217°；
②sin215°-sin15°cos15°+cos215°；
③sin218°-sin18°cos12°+cos212°；
④sin2（-18°）-sin2（-18°）cos48°+cos248°；
⑤sin2（-25°）-sin2（-25°）cos55°+cos255°.
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
破解思路 （1）选择一个容易求解的式子求出常数即可.
（2）推广，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.
证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果.
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为■+■-sinα・（cos30°cosα+sin30°sinα），即1-■+■cos2α+■sin2α-■sin2α-■，化简可得结果.
经典答案 选择②，计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-■・sin30°=■，故这个常数为■.
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.
法1：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=sin2α+■cosα+■sinα■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+■cos2α+■sin2α+■sinαcosα-■sinα・cosα-■sin2α=■sin2α+■cos2α=■.
法2：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■+■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1-■+■cos2α+■sin2α-■・sin2α-■= 1-■-■+■=■.
■
运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：若两点等分单位圆时，有相应关系为：sinα+sin（π+α）=0，cosα+cos（π+α）=0. 由此可以推知：
【授课年级】高一年级
【教学目标】
知识目标：使学生在理解任意角三角函数定义和锐角三角函数的基本关系式的基础上，能够类推――发现――猜想――推导同角三角函数的基本关系式，并能够灵活运用同角三角函数的基本关系式解决三角函数中已知一个角的某一三角函数值求其余三角函数值的问题。
能力目标：启发学生主动参与，培养学生类推、发现、归纳、猜想、推导、整理的能力
情感目标：让学生获得发现的成就感，培养学生勇于探索、善于研究的求知精神及严谨的科学态度。
【教学重点】同角三角函数的基本关系式的理解与在同角三角函数的基本关系式求值问题中的灵活应用
【教学难点】同角三角函数的基本关系式在求值问题中的灵活应用
【教学方法】引导发现法
【教具准备】三角板
【课堂构思】课堂结构分为三部分，其一，创设情景，以实例引出已知一个角的某一个三角函数值，求其余五个三角函数值的问题，发现这六个三角函数值之间具有某种关系，激发学生兴趣；其二、引导学生通过观察任意角三角函数的定义，寻找同角三角函数之间的关系式，这是主体部分；其三，实际应用。
【教学过程】
I.引入新课
（1）引例：已知α为锐角且sinα= 4-5 ，求cosα，tanα，
（2）学生活动：学生回忆所学方法探求。
（3）预期成果：学生构造直角三角形用定义求出。
（4）问题1：请学生观察它们之间的关系。
（5）预期答案：
（6）问题2：判断上述关系是否对任意锐角成立
（7）预期答案：利用勾股定理证明
（8）复习任意角的三角函数的定义
II.讲授新课
（1）学生类推探求公式：等
（2）学生类比证明公式：等
（3）师生共同归纳整理所求公式：平方关系、倒数关系、商数关系
（4）教师指出所用公式的注意事项：同角的含义、角的范围、公式的变形
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24α+cos24α=1等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如没有意义
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：，等
（5）同角三角函数的基本关系式的简单应用
例1：（1）已知sinα= 12-13，并且α是第二象限角，求cosα，tanα，cotα.
（2）已知cosα=- 4-5，求sinα，tanα，cotα.
分析：
问题（3）：例1中两问有没有区别？
预期答案：第（1）问中的角α给出了范围，而第（2）问没有。
问题（4）：这些问题与α的范围有无关系？若有，在什么时候用到这个关系？怎么处理这个问题？
预期答案：有，在用平方关系时开方用到，要分类讨论。
III 课堂练习
教材P29 1（1），（2）
IV 课堂小结
四个公式（）
一种题型（运用同角三角函数的基本关系式解决三角函数中已知一个角的某一三角函数值求其余三角函数值的问题）
V 课后作业
教材习题4.4 1（1），（2），（3），
Ⅵ 板书设计
同角三角函数的基本关系式
同角三角函数基本关系式
注意： 例1 学生板演
【教学后记】
在本节学习中，课堂上学生整体配合很好，课后作业学生完成较好，但在课堂教学中反映出了三个问题：
（1）学生探索发现的公式很多超出了要求，如：
关键词：初中数学；锐角三角函数；分析
当前阶段，我国相关教育部门对初中数学中的锐角三角函数这一部分内容作出了全面的要求，要求初中生需要具备熟练掌控在锐角范围内的正、余弦以及正切函数的相关数学概念及其特殊性质，对于一些30°、45°以及60°等一系列特殊角的三角函数，必须可以对其进行熟练的解析；在此基础上可以运用锐角三角函数来进行直角三角形的求解问题等。
一、江苏凤凰科学技术出版社初中数学“锐角三角函数”教材内容
初中教育阶段数学学科的教学活动中，有关“锐角三角函数”的数学定义是建立于直角三角形的基础上的。为此，在初中教育阶段，锐角的函数值的解答方法大多数都是由直角三角形的计算得出的。教材的主要教学内容包括：首先，细致的讲解了与“锐角三角函数”相关的数学知识概念，如：余切的定义、正弦的定义、正切的定义等；其次，以一个特殊角为实际案例，如30°或45°或60°，充分展示了三角函数的具体计算流程与解析技巧；最后，对直角三角形的边角关系进行了深入的探讨。
二、深入探究初中教育阶段数学锐角三角函数的内容
当前阶段，大多数有关锐角三角函数的内容，都是被应用于解决实际问题的。例如，锐角三角函数其中的一条性质为：在其锐角的范围内，同角或者等角的三角函数数值是完全相同的。”教师需要利用这一特殊性质，解决实际数学学习问题。为此，笔者针对上面所提出的锐角三角函数特殊性质，列举出一道典型的教学例题进行充分论述。
如图1，在平面直角坐标系内，以点O为原点，以A点为圆心的圆与坐标轴交与点E（0，4）和点C（6，0），点B为弧EOC上一动点，求tan∠OBE=？
显而易见，此题的主要考点为：学生面对三角函数中有关同角或等角的三角函数值相等的问题。经过分析学生的答案后，得知大部分的学生被题目的表层数学条件所迷惑，进一步导致学生不会解答或者解答错误的问题。此题目充分表现了上文中提及的三角函数的数学性质。其实，此题目是完全可以借助数学学习条件的转化来解决。此题的解答方法仅仅需要将EC进行连接即可，如图2所示。
这样进行连接后就很接近最终的答案了。在实际解题过程中，学生在分析问题时要对学生进行一定的引导，因为三角形OBE并不是直角三角形，不利于问题的解决，因此应当将所求的问题放在直角三角形中来解决。而实际学生自己进行解题时，由于对三角函数的内涵还理解得不够深刻，导致不能将三角函数中的这一性质进行灵活应用，所以在实际三角函数的教学中对于其内涵的掌握是极其重要的。
三、科学进行延伸其学习内容
从全局性的角度进行分析，教师有必要在教学课堂中对三角函数这一教学内容进行延伸。由于其内容在高中教育阶段及学生日后的诸多学习探索中都有所涉及，为此，教师需要在初中教育这一阶段为其后续发展进行良好的教学铺垫。但是，在进行实际教学的过程中，尤其需要注意的是，教师要着重指出其学习问题是建立在学生自身已经学习过的知识上的。只有这样，才可以更为高效地进行扩展学生数学学习思维，为学生日后的学习奠定坚实的物质基础。为此，笔者在文中借助一个教学事例，进行具体阐述如何有效地进行知识拓展。
根据数学定理“等腰三角形顶角角平分线三线合一”，我们可以推出两腰之比等于两底边线段的比，那么一个普通的三角形是否也适用这一内容呢？如图3所示：AD平分∠A，问此时AB/AC=BD/DC是否真正成立。
对于这一数学问题，大量的教学专家对其进行研究调查，要求九年级的学生自主进行解答其问题，但是其结果却显示班级中多一半的学生表示无法解答出答案。在进行解答过程中，对于班级中一些有解题思路的学生而言，普遍都会运用角平分线的性质，通过连接辅助线结合角平分线的相关特性，与三角形其他的数据结果进行科学的对比，进而得出最终的答案。但是，此种解题思路对初中生而言复杂繁琐。教师可以尝试性地对三角函数进行一部分相关知识的扩展，但是需要注意把握好尺度，适当地进行教学扩展，不仅可以有效激发学生的学习兴趣，同时还有助于开发学生的学习潜力。
综上所述，初中数学教师在进行实际教学过程中，不仅需要时刻注意对学生进行数学学习方法方面的教学，还需要在潜移默化中培养学生良好的学习习惯。初中数学“锐角三角函数”这一教学内容则是一个比较好的教学切入点，对于培养学生的数学几何学习能力具有很大的帮助。为此，教师必须要教好“锐角三角函数”这一内容。
参考文献：
一、构造函数表达式
利用函数自身的特性，及函数的奇偶性、增减性等来解题。
例1.已知x、y∈［-，］，a∈R，且x3+sinx-2a=04y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）
思路分析：由x3+sinx与2（4y3+sinycosy）这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式.设f（t）=t3+sint，t∈［-，］，易证f（t）在［-，］上为单调递增。又题中条件变为f（x）-2a=0f（-2y）-2a=0，得f（x）=f（-2y），x=-2y。所以cos（x+2y）=0.
二、构造一元二次方程
利用一元二次方程解的特点及根的判别式来解题。
例2.已知A、B、C是ABC的三个内角，sinA≠sinB，且（sinC-sinA）2-4（sinA-sinB）（sinB-sinC）=0.求证：0
思路分析：题中所给等式是b2-4ac的形式，故可构造一元二次方程。又sinA－sinB≠0，故可构造方程（sinC-sinA）x2+（sinA-sinB）x+（sinB-sinC）=0.方程各项的系数之和为0，所以1是方程的一个根。由已知b2-4ac＝0，知此方程加一个根也是1，根据韦达定理得，=1，2sincos=sincos，cos=sin≠0，
2sin=cos≤1，sin≤，0
三、构造二元一次方程
利用方程解的特点来解题。
例3.已知f（x）=asinx+bcosx，a、b为常数，又存在x1、x2，使f（x1）=f（x2）=0，且x1-x2≠kπ，k∈Z，求证：对一切实数x，f（x）恒等于0.
思路分析：由题设可得asinx1+bcosx1=0asinx2+bcosx2=0，视a、b为未知数，则构造出一个二元一次方程，再利用方程组特点去证之.由消元法得sinx1cosx2-sinx2cosx1=sin（x1-x2）≠0，故方程组只有零解，即a=b=0，f（x）=0・sinx+0・cosx=0.所以对一切实数x，f（x）恒等于0.
四、构造直角三角形
三角函数来自三角形，回到三角形中去，利用三角形的性质来解题。
例4.设x∈［，］，求证：cscx-cotx≥-1.
思路分析：由、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。作RtABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一点D，记∠CDB＝x，则BD＝cscx，CD＝cotx，AD＝1-cotx，利用AD＋DB≥AB＝，可得cscx-cotx≥-1，等号仅在x＝时成立.
五、构造单位圆
利用三角函数的特点，构造单位圆，用正弦线、余弦线、正切线的大小来解题。
例5.若0
思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。作单位圆O，AP1=β，AP2=α，P1P2=α-β，
AT1=tanβ，AT2=tanα，SATO=tanα，SAPO=tanβ，由于S扇形OAP=α，S扇形OAP =β。S扇形OPP=（α-β），SOTT=tanα－tanβ。则SOTT>S扇形OPP，即（α-β）
六、构造长方体
利用立体几何中长方形的基本性质来解题。
例6.若锐角α、β、γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值.
思路分析：锐角α、β、γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1形式满足长方体的三度平方和等于对角线的平方，故可构造长方体。使三棱长分别为a、b、c，对角线为1，对角线与三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则tanα＝，tanβ＝，tanγ＝所以tanαtanβtanγ≥＝2，故tanαtanβtanγ的最小值是2.
构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。上述所列举的各类思维构造，仅是就构造形式的区分，旨在方便通过揭示构造法思维方式教会学生如何去构造。
关键词：直角三角形；边角关系
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的边角关系，在现实世界中应用非常广泛。而锐角的三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，如测量距离、角度、高度等问题，特殊角30度、45度、60度角的三角函数值也是经常用到的，但许多学生在应用这些特殊角的三角函数值解决问题时，却总是出现记忆不牢靠或者张冠李戴的现象，如何让学生牢固并熟练掌握这些特殊角的三角函数值呢？我觉得可以从以下几个方面去加强。
一、引入图形，让学生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三边之间有着特殊比例关系，因此，教学时为了便于学生理解和记忆，可以根据含这些特殊角的三角形的边角之间的关系，画出相应的图形，如30度角所对的直角边，所临的直角边，斜边之比为1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三边之比为1∶1∶√2，让学生自己独立完成这几个特殊角的三角函数值的求值过程，学生根据定义，便可得到各角的三角函数值，学生经历了特殊角的三角函数值的求值过程，由于图形的直观作用，必然会产生清晰的第一印象，方便了记忆。
二、利用三角函数的增减规律进行记忆
在直角三角形中，当锐角的度数一旦确定，它对应的正弦值、余弦值、正切值也随之确定，当锐角的度数发生变化，它的正弦值、余弦值、正切值也随之发生变化，为了帮助学生探索并理解随着锐角度数的增大或减小，它对应的正弦值、余弦值、正切值变化的规律，可设计有公共锐角顶点且一直角边有重叠，以及斜边相等的一系列直角三角形，通过图形，学生会直观的感受到，当锐角的度数逐渐增大，它所对的直角边也随之增大，它所邻的直角边则随之减小，所以会很自然地得出结论，正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大，用锐角三角函数的增减性，学生记忆这几个特殊角的三角函数值就会容易许多。
三、寻找数字规律巧妙记忆
在记忆30度、45度、60度角的三角函数值时，可引导学生通过比较，寻找数字规律，巧妙记忆，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次对应为：1即√1，√2，√3，而余弦值分子则分别是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余两角正弦和余弦之间的关系，及同角三角函数之间的关系，通过比较与联系记忆。
例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值
策略：要求1-sin2αcos2α的值，条件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要从这一条件出发，将α的某一三角函数值求出，即可获解。
解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26
cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)
1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26
2.给角求值要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角公式，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
例1
求值：sec50°+tan10°
解析：sec50°+tan10°
=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°
=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°
=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°
=cos40°+cos20°cos10°=2cos30°cos10°cos10°=3
总结评述：本题的解题思路是：变角切割化弦化异角为同角转化为特殊角约去非特殊角的三角函数。
解此类问题的方法是，转化为特殊角，同时能消去非特殊角的三角函数。
3.给值求角
给出三角函数值求角的关键有二：
（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正弦或余弦为目标函数）。
（2）确定所求角在（已求该角的函数值）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负符号）。
例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。
解析：由已知不难求出tanα与tan2β的值，这就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，关键是准确判断α+2β的范围。
cosα=－750且α∈（0，π）
sinα=150,tanα=－17
又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34
tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα
=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)
β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)
2β∈（π,2π），tan2β=－34<0
3π2<2β<2π
α+2β∈（2π，3π）.
而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4
关键词:三角函数;典型题型;解题应用
中图分类号:G630 文献标识码:A 文章编号:1003-2851(2012)-08-0128-02
一、高考三角函数考点分析
近几年高考对三角函数部分的考查主要有两个方面:一是三角函数的变换,二是三角函数图像和性质。考查的知识点:
1.三角函数的图象和性质是考查的重点。2.三角函数的化简求值是常考题型。3.考应用,建立三角模型。4.考综合,突出三角的函数性质。
二、高考三角函数典型题型解析
1.三角函数图像变换
图像变换是三角函数的考察的重要内容,解决此类问题的关键是理解A,?棕,?渍的意义,特别是?棕的判定,以及伸缩变换对?渍的影响。
例如:将函数y=sin4x的图象向左平移■个单位,得到y=sin(4x+φ)的图象,则φ等于( )
A、-■ B、-■ C、■ D、■
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
分析:利用函数图象的平移,求出函数的解析式,与已知解析式比较,即可得到φ的值.
解答:解:函数y=sin4x的图象向左平移■个单位,得到y=sin4(?仔+■)的图象,就是y=sin(4x+φ)的图象,故选C
2.常见的几种三角函数求值题型。
(1)y=asinx+b、(或y=acosx+b)型
基本思路:利用sinx≤1(或cosx≤1)即可求解,但必须注意字母a的符号对最值的影响。
例:求函数y=asinx+b(a≤0)的最大值。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,且a≤0,从而函数 y=asinx+b(a≤0)的最大值为-a+b。
(2)y=asin2x+bsinx+c(或y=cos2x+cosx+c)型
基本思路:可令t=sinx(或t=cosx)t≤1化归为闭区间上的二次函数的最值问题。
例:求函数y=sin2x+2cosx-3的值域。
分析:此类题目可以转化为型y=cos2x+cosx+c的三角函数的最值问题。
解:由于y=sin2x+2cosx-3
=1-cos2x+2cosx-3
=-cos2x+2cosx-2,
令t=cosx t≤1则原式转化为:y=-t2+2t-2 t≤1
对上式配方得:y=-(t-1)2-1 t≤1
从而当t=-1时,ymin=-5;当时t=1时,ymax=-1。
所求函数的值域为[-5,-1]。
(3)y=■(或y=■)型
基本思路:可化归为sin(x+?渍)=g(y)去处理;或用万能公式换元后利用判别式法去处理,特别a=c时,还可以利用数形结合法去处理。
例:求y=■的值域。
分析:此题我们采用化归为sin(x+?渍)=g(y)去处理。
解:由y=■得:ycosx-sinx=-2-3y,
■sin(x+?渍)=-2-3y,
sin(x+?渍)=-■
又由于csin(x+?渍)=■≤1
解得:y∈[■,■]。
(4)含有sinx?芄cosx,sinxcosx的函数最值问题
基本思路:可令t=sinx?芄cosx,t≤■将sinxcosx转化为t的关系式,从而化归为二次函数的最值问题。
例:求函数y=(sinx+1)(cosx+1)的值域。
分析:由于上式展开后为:y=sinxcosx+sinx+cosx+1恰好为上述形式的三角函数的最值问题。所以可令t=sinx+cosx,t≤■去求解。
解:由y=(sinx+1)(cosx+1)展开得:y=sinxcosx+sinx+cosx+1,
设t=sinx+cosx,t≤■,则sinxcosx=■,
此时:y=■+t+■=■(t+1)2
y∈[0,■]。
(5)含参数型的三角函数的最值问题
基本思路:需要对参数进行讨论。
例:求函数yasinx+b的最大值。
分析:由于a的符号不确定,所以要对参数a的符号加以讨论。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,
当a≥0时,函数y=asinx+b(a≤0)的最大值为a+b;
当a
3.三角函数的单调性综合运用
三角函数是中学数学的七类基本初等函数之一,具有比较完备的函数性质,又因系统的三角公式及其变换,使三角函数问题丰富多彩、层次分明、变化多端,常与函数、三角、数列、解析几何等结合考查。
例:已知函数f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;
命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力。
知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识。
技巧与方法:等价转化,逆向思维。
解:(1)f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos■+cosxsin■)-■sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+■cos2x=2sin(2x+■)
f(x)的最小正周期T=π
方法归纳:
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有:
1.考查三角函数的图象和性质的基础题目,此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用。
2.三角函数与其他知识相结合的综合题目,此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强。
3.三角函数与实际问题的综合应用
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力,要注意数形结合思想在解题中的应用。
(2)当2x+■=2kπ-■,即x=kπ-■(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
三、高考中三角函数的解题应用
高考试题中的三角函数题注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。
(一)知识整合
1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等。2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质。
(二)方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略
(1)常值代换.(2)项的分拆与角的配凑。(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
2.证明三角等式的思路和方法
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
1、初三上册（9年级上册）,介绍锐角三角函数,以及简单的计算。
2、然后是高中，高一下册（10年级下册）,介绍任意角三角函数,并提供大量三角函数公式和正余弦定理，高三时总复习自然会复习到,但高三的课本上没有三角函数。
3、三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
（来源：文章屋网 ）
关键词：三角函数最值 配方转化 有界性转化 单调性转化
三角函数这一章节，在近几年高考中，已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函数最值问题.且一般以选择、填空题形式出现，难度不大.
下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.
1.配方转化
经转化，最后化归为二次函数的三角函数最值问题，称为二次函数型.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，这是求解二次函数型三角最值得主要依据.对能够化为形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题，可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决.
二次函数的对称轴不在t∈[-1，1]的范围内，且二次项系数a>0，其图象开口向上，结合二次函数的图象可知当t=-1，ymin=-6；当t=1，ymax=4.
感悟：这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式， 可以采用换元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，运用二次函数配方的技巧正确配方，易错在二次项系数，如本题中二次项系数是-2，对应二次函数开口向下，配方过程中要先提出负号；其三要把握三角函数sinx或cosx的范围，注意观察二次函数对称轴与换元后变量的范围的关系.值得注意的是，当变量x有一定范围时，更要注意换元量t的范围，防止出错.
2.有界性转化
三角函数尤其正弦、余弦是一种有界函数，其有界性在解决值域、最值或者取值范围等问题显得灵活.对于所给的三角函数能够通过三角恒等变换，结合正余弦的两角和差公式，升降幂公式和二倍角公式，对所给的式子化简为形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函数的有界性，在变量x没有特定范围的情况下，其值域为[-A，A]求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.
感悟：求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值.针对高考中题目看，还要强化变角训练，如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个角的三角函数关系式，这也是高考的重点.由此题可见，灵活运用三角函数的有界性，能使问题的求解直接明了！
