时间：2022-12-12 18:13:52
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇小数的产生和意义，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
教学目标：经历小数计数单位的产生过程，理解十进制分数与小数的联系；结合具体情境理解小数的意义，沟通小数和整数的关系；在探索小数意义的过程中锻炼学生的观察能力、分析能力、抽象概括和迁移能力。
教学重难点：分数和小数的联系，理解小数的意义和小数的计数单位。
教具准备：自制1米长的尺子（正面无刻度，背面平均分成10份，其中1份可取下）
教学过程：
一、复习数数，预伏新知生长点
课件中出示铺满屏幕的一大堆小方块，请学生数有多少个。（数不清楚）
师：我们让电脑来帮帮忙。（整理成十个十个再次出示）现在呢？（还是数不清楚）那要是这样呢？（以百为单位再次显示，学生吃力地数出一千）现在呢？（变为整齐的一个千）
师：为什么同样多的小方块，我们一开始都数不清楚，现在怎么这么快就都数清楚了？一起回顾一下刚才数小方块的过程。课件中的小方块先以个为单位呈现，后逐步转为以十、以百、以千为单位进行呈现，我们数小方块的过程也由不清楚逐渐变为一下子就能报出得数。由此可见，数数时计数单位的合理选择是很重要的。
【设计意图：复习整数的计数单位，理解在适当的情境下选择适当的计数单位很重要。每十个小的计数单位可以合成一个新的比较大的计数单位，使计数变得更清晰、更简便。那么，当计数单位太大，不够分时，就自然会想到平均分成十个，得到新的更小的计数单位再数，这是小数意义的一个预伏的新知生长点。】
二、自主探究，建构新知
1.一位小数的意义
师（出示一把没有刻度的尺子）：如果我用自然数1来表示这把尺子的长度，你觉得我们教室门的高大约可以用什么数字来表示，黑板的长呢？
生1：2，4。
师：那么这支毛笔的长度呢？还能用几个1来表示吗？
生2：不能，毛笔的长度还不到1。
师：也就是说现在用1作为计数单位太大了，那该怎么办？
生3：我们需要创造一个比1更小的计数单位。
师：有道理，那么我们把1平均分成几个小的计数单位比较好呢？
生4：平均分成10个比较好，因为整数里也是满十进一。
师：你很会思考。整数里是满十进一，这里就可以是“一分为十”。（多媒体演示：把一把尺子平均分成10份）这样我们就创造了一个新的比1更小的计数单位――0.1（十分之一），那接下来（取下自制尺子中的0.1边演示边讲解）我们就可以以0.1为单位进行计数和测量物品了。数数看1里面一共分成了几个0.1呢？（板书：1里面有10个0.1）
【设计意图：在新知的探究中，教师舍弃了经典的方格纸的分割来教学小数，而采用了空白的一把尺子来加以引入。因为小数最早产生于人们生产劳动的丈量过程中，采用空白尺子进行教学能更有利于还原小数产生的实际情境，也更有利于小数计数单位的教学。】
师：现在毛笔的长度是几个0.1呢？3个0.1可以怎么表示？（0.3）那么空白部分有几个0.1，可以用什么分数来表示？（0.7）没错，有了0.1这个计数单位以后，我们就可以0.1，0.1地数了。一起来数一数。（结合课件带领学生一起从0.1数到1.0）这个0.1是把1平均分成10份，每一份其实就是分数里的十分之一，对吗？所以我们也可以十分之一、十分之一地数，一起来数一数。（结合课件带领学生一起从十分之一数到十分之十）
学生练习，教师巡视，并进行个别指导后全班交流。
师：都做对了吗？我们再一起来看一看，用0.1作为单位写出的小数都有什么共同的特点？转化成的分数又有什么特点呢？也就是说一位小数和十分之几的分数一样都是把一个物体平均分成十份，表示这样的几份的数。
（板书：计数单位 0.1一位小数？圮十分之几）
【设计意图：两次数数，第一次以0.1为单位数，第二次以十分之一为单位数，能更好地帮助学生理解一位小数都是由0.1累加而成的，十分之几是由十分之一累加而成的。进一步强化了学生计数单位的体验，有利于增强学生对小数意义的理解。】
2.理解两位小数的意义
师：1作为计数单位太大时，我们创造了比1更小的计数单位0.1，并用它作为单位解决了一些问题。那么像橡皮这种用0.1测量还是太大的又该怎么办呢？
生7：需要创造一个比0.1更小的计数单位。
生8：把0.1再平均分成10份，变成0.01再数。
师：为什么都是平分成10份呢？
生8：因为整数计数单位之间的进率都是十，所以我认为小数也应该是十。
师：有道理，得到了0.01这个计数单位后，我们就可以0.01，0.01地数了。我们一起来数数看。（多媒体展示，全班跟着数：从0.0到0.09）再增加一个0.01，小数点右边的第二位就满十了，怎么办？
生9：向前一位进1。
师：前一位是哪一位？
生9：小数点右边的第一位。
师：是的，他从整数的进位中获得了启发。我们接着往下数。0.99是由几个0.01构成的呢？
生10：99个0.01.
师：再增加一个0.01又该怎么表示了呢？（演示百分位满十向十分位进一，十分位满十向个位进一的过程）
【设计意图：两次数数环节的教学设计，能最大限度地利用学生对整数的认知来构建小数体系，有利于今后小数计算教学中的算理沟通，为后续教学铺路。】
3.拓展延伸
师：你也能像刚才总结一位小数一样给我们的两位小数学习做一个总结吗？
0.01两位小数？圮百分之几 （板书）
师：根据刚才的学习，你还能知道三位小数和四位小数的意义吗？
0.001三位小数？圮千分之几
0.0001四位小数？圮万分之几（板书）
三、巩固练习
1.你能根据计数单位的不同把下面的小数分类吗？再试着说说每一个小数由有几个这样的计数单位组成。
0.9 0.39 0.032 2.3 0.06 0.102
0.1（ 、 ） 0.01（ 、 ） 0.001（ 、 ）
2.先说说下面各小数的意义，再用手势表示下面小数中的长度：0.8米，0.8厘米；先说说下面各小数的意义，再用表情表示一下你抱下面的重量时的感受：0.7克，0.07吨。
3.在数轴中表示小数。一位不算矮的女老师，她的身高可以用一个一位小数表示，你猜会是多少米？（1.6米）你能在数轴中把它表示出来吗？一位男的高个子体育老师，他的身高也可以用一位小数来表示，你猜会是多少米？（1.8米）在数轴中表示出来。我的身高介于他们两人之间，但要用两位小数才能表示，你猜会是多少？（1.74米）哪里才是1.74呢？
四、回顾总结
一、明确教学目标，促进认数教学的有效实施
对于“数的认识”， 除了认数、读数、写数的相关要求，《数学课程标准》针对每个学段都提出了明确的要求. 我们教师要在充分理解课标的基础上，结合具体教学内容，从学生的认知发展水平和已有的知识经验出发，合理制定教学目标，促进认数教学的有效开展.
如10以内各数的认识是小学阶段学生认数的开始. 在现实生活中，很多幼儿园的老师或者家长在孩子上学前就已经对他们进行了这些方面的训练. 可以说，在入学前不会数数，不认识1，2，3，…的孩子很少很少，这是学生已有的知识经验. 对于这样的情况，有很多老师会认为，既然学生已经会数数了，只要写好数就行了. 其实这是对于认数教学认识上的一种偏差. 学生对于10以内各数的认识不应该仅仅停留在数数这个浅层次上，还有深层次的要求. 例如：① 物体个数与数一一对应，不能口中按顺序数数，却不能与物体个数对应. ② 物体个数与数字一一对应，每个不同的数量与不同的数学符号（数字）对应. ③ 注意选择不同的情境和不同的学具，帮助学生理解数的意义. 如3可以表示所有数量是3个的物体，而与物体的大小、形状、质量等状态无关. ④ 知道数的作用不但可以用来表示数量的多少（基数），还可以表示顺序（序数）和编码，如3可以表示有3个物体，也可以表示第3个物体. 这些都是我们教师在备课前应该考虑到的.
二、营造生活情境，促进认数教学的有效实施
数是从人们生活和生产的需要中产生和发展起来的，它与人们的生活、生产有着十分密切的联系. “数学情境”是联系数学与现实世界的纽带，是沟通数学与现实生活的桥梁. 教师利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学情境，能够使数学知识成为看得见、摸得着、听得到的现实，让抽象的数贴近生活，让多彩的生活为认数教学服务.
如“小数的初步认识”教学中，可以创设学生喜闻乐见的超市情境，将学生置身于现实生活情境中，让他们根据已有的知识和生活经验观察商品价格的特点，从而自然揭示“小数”、“小数点”的概念，同时也让学生感受到小数在生活中有着广泛的应用，感受到数学学习活动是有意义的.
又如，在“百分数的意义和写法”教学中，布置学生课前收集生活中百分数的例子，创设“小小新闻会”的现实情境，引导学生通过对几条含有百分数信息的分析和交流，初步感知百分数，充分发挥学生收集信息和讨论分析的积极性，为师生共同探究百分数搭好“脚手架”.
三、引领学生感受数的产生与发展，促进认数教学的有效实施
数学知识的形成过程是漫长、动态的过程，数的产生与发展有着其自身特定的意义. 教学中，教师应当有针对性地再现数发展的历史进程，引导学生通过对数学史的简单了解，增强对数学学习的兴趣，丰富数学学习的良好情感，从而加深对数的意义的理解.
如苏教版第五册“认识分数”一课的教学设计，一般教师都是从公平分物引入，让学生自觉体会到在平均分的前提下，每份的物品数量可以用学过的整数来表示. 而当每份的数量无法用学过的整数表示时，像1块蛋糕平均分给2个人，怎样分？每人分得多少？1块蛋糕平均分给4个人、10个人、100个人呢？每人又分得多少？从而逐步产生一个认知上的冲突，“逼迫”学生经历一个再创造的学习过程：从用“半个”这样的生活用语表示，到用图形表示，乃至感到困难时，需要创造一种新的数来表示. 整个设计不仅有利于学生理解分数的产生是以平均分为前提，同时体现了分数的社会属性. 教师再次引发思考：究竟用怎样的数来表示呢？这时恰当地重现分数的发展历程，学生对于分数的意义的理解也就水到渠成了.
又如苏教版教材五年级上册“认识负数”一课，教师利用与学生生活密切联系的三件事情：① 1路公交车在中间第一站上来了8人，第2站下去了3人. ② 本学期我们四年级转来25名新同学，五年级转走16名同学. ③ 小明妈妈投资股票，3月份赚了5000元，4月份亏了2000元. 引导学生亲自动手记录数据，学生在对不同记录方法的分析、比较中，亲身经历“符号化”、“数学化”的过程，充分体会到负数产生的必要性. 然后在此基础上引导学生简单了解负数的产生历史，加深对负数意义的理解，教学效果事半功倍.
四、强化知识之间的联系，促进认数教学的有效实施
在小学阶段，对于数的认识，从纵向看，包括整数、小数、分数、百分数的有关概念和负数的初步认识；从横向看，包括数的意义、数的读法和写法、数的大小比较、数的性质、数的改写. 有经验的教师都知道：因为学生每天都能接触到数，所以对于数的知识不容易遗忘. 而学生学习的薄弱点更多集中在对数的概念模糊不清，对于数的认识没有整体性，解决问题缺乏灵活性. 我们在教学中必须加强知识之间的沟通，提高有效性.
如在“认识小数”教学时，教师要抓住小数与分数（分母是10，100，1000，…）之间的内在联系，把小数的概念建立在十进制分数的基础上，借助直观感性材料米尺、人民币、1吨等，分别把它们平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份可以用分数表示，也可以用小数表示，从而揭示小数与分数之间的联系：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……引导学生探究并揭示小数的意义.
《诗经》上说“如切如磋、如琢如磨”，这是研究课堂教学的一种境界。在研讨交流中，我深深为许卫兵老师的深入思考（对教材的深入分析、对相关材料的阅读、教学想突破的“问题”）所折服，真的是“小数不小，小数的世界很大”。对于一线教师与教学研究者来说，小数的世界之“大”，就“大”在让我们深入地追问与思考一些问题。
“小数初步认识”到底“教什么”？
课程改革后，不同版本教材都是“螺旋上升”式地处理“小数的认识”，各教材的整体设计不尽相同，但在第一次“认识小数”时都把握了共同的原则：（1）基于学生的生活经验学习小数，在具体的“量”中理解小数的现实意义，这里“具体的‘量’”主要指钱数、长度；（2）都是“规定”小数是十进分数的另一种表示方法；（3）沟通用“整数、分数、小数”都能表示同一个“量”，北师大版主要是沟通用“整数、小数”表示同一个量；（4）都涉及到纯小数和混小数的认识。下面以人教版、北师大版、苏教版为例，简要概述“小数的初步认识”的内容安排。
人教版在《小数初步认识》中要学习一位、二位小数，是从“生活中的小数（价钱）”引入，理解用小数表示的价钱是什么意思，通过呈现小数在生活中的应用场景让学生感受到小数是一个生活中常见的“数”，进而以“米制系统”为直观模型认识一位小数就是十分之几的分数、二位小数就是百分之几的分数，认识小数数位上的数字的“分数意义”以及“现实意义”。在此基础上，在“做一做”的活动中，再用整数、分数、小数表示“钱数”，进一步让学生认识到“同一个量，既可以用自然数表示，也可以用小数、分数表示”。其难点是当两位小数中十分位、百分位是“0”时如何用小数表示现实的量。
北师大版也是学习一位、二位小数，一直以“人民币”为直观模型学习小数（包括小数的加减运算），借助于小数位上各数字的“人民币”意义学习，不涉及“分数”（教材中《小数的初步认识》在前，《分数的初步认识》在后）。
苏教版则只学习一位小数，“米制系统”、“人民币”两个直观模型都用，首先借助“米制系统”模型呈现一位小数就是“分母是10的分数”的另一种记法，然后再用“人民币”认识混小数，认识“混小数”能突破学生总认为“小数是比‘1’小的数”的错误思维定势。只有苏教版教材在《小数初步认识》就提出“整数部分”、“小数部分”的概念，认识小数点左边的数是小数的整数部分，小数点右边的数是小数的小数部分。
在认识小数的“学具”方面，人教版、苏教版还使用了“长（正）方形”的面积模型、线段图模型以及“数轴”（习题中），而北师大版则不涉及这些直观“模型”，主要借助人民币认识小数。
小数的含义是“规定的”还是“发现”的？
弄清楚了“教什么”，接下来就是“怎么教”的问题：学生如何理解一个概念？教学如何“教”概念？杜威“由生活经验向科学概念的运动过程就是教学”这一重要的教学思想，在学科课堂教学中如何落实？是“告知”学生概念的意义还是让学生探索、概括发现概念的意义？尤其教学“认识小数”时这两种教学方式容易引发争议。
几乎所有版本的教材都是这样处理小数的意义的：5/10米还可以写成0.5米。即小数是十进分数的另一种表达形式，一位小数就是十分之几，两位小数就是百分之几，依此类推。
很多教师认识，小数的意义是“规定”的，教学时就是告诉学生这个规定而无需学生探究。但许卫兵老师执教的《认识小数》则走了另外一条路：在学生对用小数表示“钱数”已有生活经验、知道其现实意义的基础上，借助于分数的面积模型，让学生在“折一折”、“画一画”的活动中探究发现并概括出“零点几就是十分之几”、“零点几的意义和十分之几的意义相同”的结论。即学生头脑中先有“小数”，然后通过探究发现“一位小数实际上就是分母是10的分数”，让学生有一种“顿悟”、有一种发现了隐藏的秘密的快乐。进而再将这一发现拓展应用到“米制”模型，以巩固对一位小数的认识和理解。
这样做符合执教者的主旨：确立真正的儿童立场，让学生的生活经验真正在概念学习中发挥作用，进而实现概念学习的“案例――原则――模仿――运用”的探究发现式过程。因此许老师说：从学生生活经验的角度看，将“价钱之间的转化”作为例题素材、“长度之间的转化”作为习题素材更为合适，因为学生缺乏足够的“小数表示的长度”这一经验基础，“5/10米还可以写成0.5米”这一直接表明分数、小数之间关联的结论，教师除了采用讲解的方式直接“告诉”学生，别无他法。
但是，可能有教师会追问：是学生独立探究发现“零点几就是十分之几”还是规定“十分之几就是零点几”？即小数的意义到底是“规定的”还是“发现”的？
这个问题要从两个方面来看。首先，从小数的产生发展史看，先有分数后有小数，小数的意义是“人为”规定的。16世纪荷兰的数学家、物理学家，同时也是一位军人的斯蒂文最早发明小数，当时是为了便于计算复杂的利息问题。斯蒂文发现，当利率都是以10、100、1000等作为分母时，按照复利计算的利息问题将变得简单，其结果都是以分母是10、100、1000等的分数表示。但还是不太便于比较大小和计算，于是他发现用“小数”（当时的小数书写形式不是现在的样子，没有小数点）表示非常方便，于是创造出“十进小数”，进行小数的四则计算非常简单，类似于自然数的四则计算。从其发生的本源来看，小数是基于十进分数而创造出来的，是“原创的”。实际上，人为的“约定”、“规定”就是人的一种创造，是一种新的顿悟与发现。
其次，从学生学习的角度看，通过个别案例的探索，发现（对于学生而言是教师引领下的“真正发现”）小数的含义是学生的“再创造”过程。让学生经历这个“再创造”过程远比告知学生“十分之几就可以记作零点几”更有价值，也就是许老师执教本节课的目的所在。
那么这样做的价值何在？价值就在于让学生体验发现秘密的快乐。荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》中说：“要知道，泄露一个可以由学生自主发现的秘密，那是‘坏’的教学法，甚至是罪恶。”这符合他一贯倡导的数学学习观：数学学习就是“再创造”的过程。许老师执教的“认识小数”就落实了这一数学观，让学生经历“再创造”与发现的过程，体验到独立发现秘密的乐趣，这才是学生可持续学习能力培养的深层动力。
用可视化的“形”认识抽象的“数”的意义何在？
用可视化的“形”认识抽象的“数”的意义，即如许老师所强调的：有了与现实生活、与儿童经验的对接，学生对小数的认识也就得以通过“慢镜头”来完成。教学不应停留在教师直接的讲解和“告诉”，而应让学生充分展开探索过程，借助于直观图示的形象支撑，建立起了一位小数的“直观模型”（长方形等分、涂色）。然后将一位小数（纯小数、混小数）的认识拓展到“米制系统”，进而再在半抽象半形象的“数轴”上认识小数（从“米尺”到“数轴”的抽象过程非常巧妙）。
从借助“面积模型”、“线段图模型”到“数轴”来认识小数，所用的工具从直观形象到半抽象半形象，符合学生的认知特点，有助于学生数学学习过程的顺利展开与实施。其实更为重要的是，恰当地运用这些直观模型为学生理解和运用“数形结合”思想积累了数学活动经验，使学生逐步学会“用形象来滋养抽象，用直觉来涵养思维”，这是帮助学生清晰地掌握数学知识的重要“法宝”。数学活动经验的积累与丰富不能够依赖教师的“告知”与重复性的“练习”，需要学生的亲自探究与体验，借助于多种模型和途径（可以说，这三种直观模型贯穿于小学数学教学的始终）充分地展开探究过程，学生的体验与感受就越强烈，理解就越深刻，数学活动经验就越丰富和灵活。
“告知”式的教学可能“省时”、“省力”，但这是短期效果；“慢镜头”教学从短期看“费事”、“费时”、“费力”，但其长期效果不容忽视：有助于教师深入解读教学内容，研究学生的数学学习条件与路径，设计有价值的数学活动；有助于提升教师的执教能力；有助于学生经历探究发现过程，积累数学活动经验，感受体验探究发现的乐趣，真正落实“三维教学目标”的整合。
人教版数学四年级下册第32-33页。
教学目标：
1.进一步认识小数，会进行小数和分数的转化。
2.结合生活经验，了解小数的产生，通过推理等。
3.明确一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……实际也就是让学生明白，每相邻两个小数单位之间的进率是10。
教学过程：
一、从生活中感知小数的意义
课前准备：让学生用米尺测量自己喜欢的物体。如：课桌的高度、长度、自己的身高、同学的身高……
思考：在测量中，你发现了什么？遇到了什么困难？
课堂中让学生说出自己测量出的数据，就会发现学生报出的数据中有小数的存在，让学生自己感知，在测量时，往往不能正好得到整数的结果，这时要用小数来表示。并指导学生看图，看看自己测量时碰到的情况是否和图中小朋友碰到的情况一样。
在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时也常用小数来表示。
二、从探究中感知小数的意义
把1m平均分成1000。
小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之……・分别写作0.1、0.01、0.001……
每相邻两个计数单位之间的进率是（ ）。
分数：____ ____ ____
小数：____ ____ ____
1.运用米和分米的关系探究一位小数的改写。
教师出示尺子图，师生共同探究，让学生把1米平均分成10份，让学生说出1米=（ ）分米，再让学生标出米尺上的1分米、2分米、3分米……10分米。教师巡视指导，并让学生说出1分米处实际就是1米的（ ）分之（ ）处，2分米处实际就是1米的（ ）分之（ ）处，3分米处实际就是（ ）米的（ ）分之（ ）处，以此类推，说到10分米处（即10分之10处），让学生说出10分之10处就是1米处。再让学生说出1/1米写成小数就是0.1米，2/10米写成小数就是（ ）米，3/10米写成小数就是（ ）米，一直写到10/10米就是1米。
2.运用米和厘米的关系，探究两位小数的改写。
出示把1米平均分成100份的尺子D，请学生说出1米=（ ）厘米，接着让学生说出1米平均分成1 00份的一份实际就是（ ）厘米，即1厘米处实际就是1/100米处，也就是（0.01）米处，2厘米处实际就是（ ）分之（ ）米，也就是（ ）（填小数）米处，3厘米处就是（ ）分之（ ）米，也就是（ ）（填小数）米处。让学生尽量多说一些数字，教师点名抽查学生说的情况。
3.运用认识米和毫米的关系，探究三位小数的改写。
出示把1米平均分成1000份尺子图，请学生说出1米=（ ）毫米，接着让学生说出1毫米实际就是1/1000米处，也就是（0.001）米处，2毫米实际就是2/1000米处，也就是（0.002）米处，3毫米实际就是3/1000米处，也就是（0.003）米处，以此类推，让学生尽量多说说。教师根据学生实际点名让学生说，多提问几个学生。
三、动手操作。感知小数的意义
1.涂一涂。
（1）教师在黑板上画出10个大小相同的圆，并把每个圆平均分成10份，点名让学生分别上黑板涂出第1个圆的1份、2份、3份、4份、5份、6份、7份、8份、9份、10份。并让学生在图形下面写出所表示的分数是（ ）分之（ ），小数是（ ）。同时，全体学生也一同练习。师生共同检查学生填写情况。如果有错误，让别的学生给予订正。
（2）教师出示三个平均分成100份的正方形，点名让第一个学生涂出9格，第二个学生涂出15格，第三个学生涂出33格。涂好后在下面分别写上分数和小数。其他学生也一起练习。
2.解决问题，感知小数在生活中的意义。
（1）小东的爸爸有1000元钱，交电话费150元，买牙膏用了25元，买小菜用了15元，交电话费用了这些钱的几分之几？买牙膏用了这些钱的几分之几？买小菜用了这些钱的几分之几？
（2）变一变。（把老师念的分数改写成小数，小数改写成分数。）如：
师：千分之二 生写：0.002
师：百分之二 生写：0.02
师：十分之二 生写：0.2
（教师根据实际设计，以学生熟练掌握为标准。）
教师巡视学生做题情况，对有困难的学生及时给予指导。
四、总结小数的意义
1.从以上的内容我们可以看出，分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。
下面是“小数的性质”教学时，教师遭遇到的尴尬情形。
师：以元为单位，3角怎么表示？
生：0.3元。
师：那30分呢？
生：0.30元。
师：以米为单位，3分米怎么表示？
生：0.3米。
师：那30厘米呢？
生：0.30米。
师：你发现了什么？
生：0.3元=0.30元，0.3米=0.30米。
教师擦去单位名称，剩下0.3=0.30，问：那现在相等吗？
很多学生顿了一下后回答：不相等！
教师一愣，有点恼怒地告诫学生：不相等？！想清楚了再回答。它们相等吗？
生（齐声）：相等！
……
【“问”：病历记录】
课后，教师找来这些发出“异”见的学生，咨询他们当时认为“0.3≠0.30”的真实想法。
生1：“我当时是这么想的，0.3元≠0.30米，所以0.3≠0.30。”
生2：“我当时也觉得0.3≠0.30，因为0.3和0.30的后面可以随便跟什么单位，比如0.3千克和0.30克也不相等。”
生3：“我的想法跟他们一样，0.3和0.30有时候相等，有时候不相等，后面的单位相同时，0.3=0.30；后面的单位不相同时，0.3≠0.30，所以0.3和0.30在没有单位的情况下就无法比较。”
……
教师又问：“上完课，现在你们知道0.3=0.30了吧？”学生点头。
接着教师假设：“如果课一开始直接让你们比较0.3与0.30的大小，你们觉得自己会吗？”
生1：“我觉得自己会比较的。我会把它们看成0.3元和0.30元，0.3元=3角，0.30元=30分=3角，所以0.3=0.30。”
生2：“我会这么想，在它们后面添上单位“米”，0.3米=3分米，0.30米=30厘米=3分米，所以0.3=0.30。“
生3：“我会把它们画成这样的图（如下图），它们涂色部分的面积相等，所以0.3=0.30。”
……
教师好奇地问前两位学生：“你们怎么会想到添上这两个单位的？”结果他们回答说是以前在认识小数的时候老师都是这么教的。
最后，教师不无遗憾地跟这些学生说道：“瞧，现在你们挺清楚的嘛，当时怎么就糊涂了呢？！”他们不好意思地吐了吐舌头。接着一个孩子说出了让人瞠目结舌的秘密：“是老师把我弄糊涂了。老师问我们：‘那现在相等吗？’，让我误以为老师是在故意反过来问，正好前面有‘元’和‘米’，于是就想岔了。”其他学生也若有所思。
【“切”：病理诊治】
这一节课出现的病症并不是这一节课所形成的，而是以前一连串教学中的问题慢慢积累而成的，只不过这一节课设置的情境成了问题的导火索，使学生对知识的误解暴露无遗。
在这节课中，“元”和“米”为何在学生头脑中留下这么深刻的印象，以至于陷在生活的“泥潭”而不能自拔，一是因为教材在教学小数的意义（认识小数第一次安排在三年级，第二次安排在五年级）、小数的大小等内容时都是回到购物和测量这两大学生常见的生活情境之中理解知识、解决问题，结果导致学生“留恋”于生活“走不出来”；二是因为一些教师在教学的时候过多、过久滞留于生活情境之中，对知识抽象不足或抽象太晚，结果导致学生“流连”于生活“走不出来”。
充分利用学生生活中的数学进行教学是数学教学“生活化”的主要做法，这种由生活实践形成的各种数学知识和技能具有直接性的特点，这种直接性十分有利于调动学生学习的积极性，而且置身于实际情境往往也有利于主体更好地发挥自己的聪明才智，有助于学生更快更好地理解和掌握抽象的知识。然而，也正由于它是与各个具体情境直接相联系的，与实物、事物对应性强，因此相应的知识和技能的可迁移性差，概括性、抽象性水平低，从而就表现出一定的局限性。如建构主义所指明的那样，在数学教学中通过“贴近生活”得以调动的学生的生活经验就未必如我们所期望的那样，恰能为抽象的数学概念或知识的学习提供合适的基础，还可能包括许多不相干的，甚至是有一定干扰性的成分，对学生的数学学习产生负面效应：影响学生完成从特殊到一般的抽象过程。
上述课例中，学生根据教师创设的情境，由自身生活中的经验，很快得出“0.3元=0.30元”和“0.3米=0.30米”，此时的0.3和0.30都有具体的含义，学生的思维一如既往地被框在具体的情境中，无法一下子跳出来、转过来。正因为生活中用的大多是名数，它们有具体的含义，所以当数后面没有单位名称时，学生的脑海中还“留恋”或“流连”在单位名称上，无法确定具体含义，于是就认为它们不相等，可以说，正是这种思想的局限性影响了知识的正迁移。
要解决这一种陷于生活的“泥潭”而不能自拔的问题，有效克服低层次、低水平学习的局面，需要教师从知识的“上游”和教学的“上端”加以整治，改变抽象程度不高的知识表征方式和教学表达方式。按照知识的序列，三年级的“小数的初步认识”是知识的起步，教材采用了学生熟悉的测量和购物情境，利用“米”与“分米”、“元”与“角”之间的进率关系来帮助学生理解十分之几就是零点几的关系。在认识小数第一课时，教师就应该做好知识的抽象工作，当借助情境推出知识后，教学就应该去情景化，把学生的注意力集中在知识的“本身”――本课研究的是“数”。
认识一个事物就是把这个对象从与它相关的事物中相剥离的过程。然而，在实际教学过程中，学生在研究小数和分数之间的关系时，常常始终“带”着情境中的数量，知识抽象得并不“干净”。因此，对测量情境中产生的小数，教师要么框出其中的“数”，如：
要么用红色粉笔突出其中的“数”，要么在黑板上擦去或在屏幕上隐去其后的单位名称，仅把“数”留在学生的视野里。
紧随其后，教师应进一步抓住购物情境中产生的小数与测量情境中产生的小数进行意义的比对与同化。例如，“0.5元”与“0.5米”去除单位后小数意义相同，都表示，然后把小数的意义通过“方形图线段图数轴图”反映出来，让学生领悟小数在数学中的不同表征方式，进而强化小数的意义，引导学生排除生活情境的干扰，走向数学的最深处。
一旦前期的知识抽象彻底，等到教学“小数的性质”时，学生就不会那么容易受困于生活情境之中，而能够清楚地明白教师所提出的“0.3和0.30是否相等”这一问题指向的是数的大小比较，与数量无关。
从上述课例中，我们还能够发现另外一个涉及教师教学行为的问题。学生之所以会去牵扯小数的数量，一方面与教学从生活引入有关，另一方面与教师问话有关，“那现在相等吗”让学生误以为教师说的是反话，从而想方设法证明0.3和0.30不相等。之所以会产生这样的误解，是因为在以往的教学中，限于时间，教师大多会直接擦去单位名称直接揭示“0.3=0.30”，而不会多此一问，反之，如果教师突然多此一问，就会让学生以为教师故此一问，是反话正说。由此可见，教师的“反常”会引起学生的怀疑，从而误入歧途。当然，如果学生基础扎实，不管教师怎样说、怎样问，都会意志坚定。
其实，教到“小数的性质”这一步，学生的学习已经多次经历了从生活到数学、从特殊到一般的过程，已具有了丰富的生活经验和数学经验。只要知识抽象得彻底，“小数的性质”这一节课不妨换一种教学路线，采用从一般到特殊的思路来设计教学：课一开始，让学生直接思考“0.3和0.30是否相等”这一数学问题，估计会有许多学生凭直觉会猜测0.3和0.30相等，教师就可以充分利用学生的这种想法甚至争议，引导学生去自己寻找方法来证明自己的观点或别人的观点。此时，学生会主动迁移以前的相关经验，像上述课后访谈中的那些学生的想法一样，或利用购物或测量的生活情境来寻找答案，或通过画图（不画图亦可）直接从这些小数所表示的分数意义上来说明问题，当然也可能有学生把0.3和0.30放入前一节课刚学的数位顺序表中来解释。而教师可以事先为学生提供米尺、方格纸、数位顺序表等探索工具。
从数学回溯到生活，这样“倒行逆施”的教法可以最大程度上避开生活对学生思考问题的负面影响。在这里，学生成功地运用了“关系映射反演”原则：给每个数加上一个单位，比如“米”，这样就形成了“数”与“长度”的一一对应关系，“长度”是“数”在这个映射下的像。利用生活经验和数学经验，得到了像之间的关系（0.3米=0.30米），然后利用“反演”得出这两个像的原像之间的关系（0.3=0.30）。学生运用“关系映射反演”原则来解决问题，从一般到特殊，从而有效地避免了由生活经验（特殊）到数学知识（一般）所带来的“意外”。
当然，为了使学生适应这样的思考问题、研究问题的方式，我们在教学五年级的“小数的再认识”时，就可以尝试改变“小数的初步认识”时所遵循的“生活应用数学发现”的一般教学程序，而采用“数学发现生活解释”这样逆向行驶：先让学生根据已知的“一位小数表示十分之几”猜想出“两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几……”，然后让学生回到购物和测量的生活情境中寻找依据，在此正好与教材例题实现对接。
这样反其道而行之的教学思路，还有一个更大的好处是，可以有效地改变惯常和平常的教学方式，充分发挥学生的主体作用，真正让学习变成学生自己的事。因为人的思维和人体的健康系统具有免疫自检自适应功能一样，学生在寻找知识解释方法、寻找知识解释工具的过程中，会根据知识的意义进行自适应的不断尝试和不断调整，所以，教师不必担心学生找不到知识的“家”。
综上所述，生活并不总是对学生的学习产生“正能量”，它有时也会阻扰学生更深入的学习。经验是理解的基础，提供了把未知的信息模块连接到已有经验结构中去的背景和方法，但有时也会产生误导。希望我们的教师都能明白这一点，千万不要不分阶段、不分场合、不分对象都来“生活化”一下，如果一味这样教学，就可能会弄巧成拙。
一、突出主体，先行自学
先学后教不是不教，而是教的目的和方式有别于先前，重在学前引导、学中辅导、学后督导。在“先学后教，当堂训练”的教学中，每一步都离不开教师。就如同汽车要上高速公路，若没有引桥和匝道，就上不去；如司机驾车没有路标，就可能走错路。教师要当好“引桥”“路标”，发挥主导作用，这是学生学得好的前提。
1.巧设提纲，为先学导航
“先学后教”的“学”不是学生盲目的自学，应是学生带着教师布置的任务、有既定目标的自学。为了提升“先学”的质量与效率，教师应根据所教的内容、学生实际情况及思维特点，抓住知识点、突出重点“靠船下篙”，精心设计每堂课的“导学提纲”，为学生的先行自学、思考、交流明确方向。如 《精打细算――小数除以整数》 （北师大版四下）一课，其目标为：结合具体情境，体会小数除法在日常生活中的应用，进一步体会除法的意义；理解、掌握常见的基本数量关系；正确掌握小数除以整数的计算方法。由此，依据教学目标拟定如下导学提纲：
（1）要解决情境图中的问题，为什么用除法列式？这两道算式与以前学过的除法不同在哪里？由此，你想说些什么？
（2）你想怎样算出“11.5÷5”？你是怎样理解书上的两个竖式的？
（3）你看懂了“12.96÷6”的计算过程吗？遇到什么困难？除到哪一位出现了问题？你想怎样解决？
（4）现在，你认为小数除以整数的一般计算方法是怎样的？
教师通过提纲形式的导学，让学生在先学即预习的时候有章可循，有法可依，思路明确。经过这样有目标、系统性的导学，学生对将要学习的新课内容有了一定的了解，对方法有了初步的掌握，为之后课堂上师生、生生之间的互动交流、合作探究提供了智力支持，创造了良好的条件。
2.依据提纲，先行自学
“先学”，就是让学生围绕“导学提纲”结合具体的例子，通过独立思考、相互讨论、互为补充等方式，解读数学文本，找出已知和未知，建立起新旧知识的内在联系，还有哪些困惑和疑难，为有针对性地“后教”打下基础。其流程如下：
汇报展示：检查学生自学效果，明确教的内容。
师：哪一组先来汇报？
生1：我们小组想汇报第一个问题，即“为什么用除法列式”。我们的理由是：因为小数除法与整数除法的意义相同，所以用除法列式。这两道算式与以前学过的除法不同的是它们的被除数都是小数。
师：还有其他意见吗？
生2：我们小组有不同的意见！我们通过讨论、交流发现：“11.5÷5、12.96÷6”，这里的11.5与12.96表示总价；5与6表示瓶数（即数量）；而11.5÷5、12.96÷6所得的商表示单价（即一瓶牛奶的价钱）。因为，单价（一瓶牛奶的价钱）=总价÷数量（瓶数），所以用除法计算。（这样学生掌握应用题结构的基本数量关系是伴随着对四则计算意义的理解和实际问题的“数学化”思考实现的。）
生3：我们小组汇报第二个问题。我们是把小数转化成整数来计算，即11.5元=115角，115角÷5=23角，23角=2.3元。
生4：我是列竖式计算的，如下式，我是这样想的：先用11除以5得2，2写在个位1的头上，再用1.5除以5得0.3，3写在5的头上。
师：大家还有什么意见吗？
生5：××同学（生4），竖式的余数15可以点上小数点吗？（该生说不清。）
生6：为什么商的小数点要与被除数的小数点对齐？
生4：这是规定的，因为小数加法中和的小数点要与加数的小数点对齐，所以，我认为商的小数点要与被除数的小数点对齐。（这是学生知识点的“盲区”，也是本课时教学的重点、难点。在学生们的相互交流中，为教师的后教找准了“切入”点。）
生7：我汇报第三个问题，即12.9÷6。（学生对照竖式说思考与困惑）当除到小数部分还有余数时，我不知道怎么办，请大家帮助我。
（在余数的后面补“0”继续除是本节课的教学难点，即“后教”的重点）
……
这样，学生结合具体的例子，围绕“导学提纲”进行自学，对小数除以整数的意义、算理等有了一定的认识，然后集体交流、讨论，学生循序渐进理解和掌握了知识，由浅入深的教学，教师教得轻松，学生学得扎实。
二、立足疑惑，灵动点拨
先学后教的“教”不是系统讲授，而是灵动的“点拨”（即引在重点上，导在疑难处，点在困惑时），教师应根据学生的自学情况进行点拨与引导，或规范其不准确的表达或解答其疑惑的问题，或纠正其错误的理解。如前所述：商的小数点为什么要与被除数的小数点对齐是本节课重点目标。当学生通过自主学习、小组合作交流，即经过努力，依然对小数除法算理的理解有障碍时，教师就应该转变角色，做到“该出手时就出手”，参与到学生的讨论之中。比如，可以通过“元角分”和小数意义等知识的提示，引导学生步步深入，由表及里，去认识知识（即小数除以整数的计算法则）的本质。
具体可从以下方面适时引领：
（1）在直观对比中感知。如，先引导学生把11.5元转化成115角再除，如左下竖式。再把所得的商23角及被除数115角化成以元为单位，如右下竖式。让学生初步直观感知“商的小数点与被除数的小数点对齐”这一原理。
（2）在数的组成中提升。学生就“商的小数点为什么要与被除数的小数点对齐”有了初步的感知后，可结合数的组成（即小数的意义）相关知识，引导学生对着竖式，说说计算思路。如先用整数部分的11除以5，得到商2，余数是1；再把小数部分的5落下来，和余数1合成1.5，这里的1.5表示15个0.1（或15个 ），15个0.1除以5，得到3个0.1，所以要把3写在十分位上，因此，11.5除以5得数是2.3。这样，通过教师适时、恰到好处地点拨引导，以及生生间的互为补充，我认为学生对小数除法的计算思路（即算理）会慢慢清晰起来。
再如，生7在计算12.9÷6时，除到小数部分还有余数，不知如何解决，需寻求帮助。此时，应发挥集体智慧，解决问题。如：
师：谁来帮助解决该问题？
生8：我们可以帮助他们，除到小数部分还有余数的时候，可以在余数的末尾补“0”，然后继续除。因为小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。但我们的困惑是“3”是什么意思，而在“3”后补一个“0”变为30，那“30”又是何意呢？
在余数的后面补“0”继续除是本节课的教学难点。当学生在知识难点处深感困惑时，教师应发挥主导作用。如：
师：同学们，这里的9是9个0.1，除以6得1个0.1，还余下3个0.1，不够6除，所以在“3”的后面添“0”，为“30”，30表示30个0.01，除以6得5个0.01（如右式）……
归纳小结：
师：你有什么收获？现在，你认为小数除以整数的一般计算方法是怎样的？
生1：通过本节课的学习，我知道了小数除法与整数除法的意义相同。
生2：商的小数点要与被除数的小数点对齐，从高位除起。
生3：当小数部分有余数时，可以在余数的末尾补“0”，然后继续除。
在学生交流、讨论的基础上总结出除法的计算法则：除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”再继续除。
三、巧设练习，当堂训练――提升能力
学生的数学能力不仅在于他们掌握数学知识的多少，而是看他们能否把所学的数学知识、思维方式迁移到实际问题中去，形成学习新知识的能力。而练习是学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段。因此，教师在精心设计例题教学的同时，应该精心设计练习、充分运用练习达到教学目标。如，本课时在完成新知学习后，可设计以下练习：
1.在下面竖式上点上商的小数点（想想有什么窍门）
2.练习套餐
请根据自己的实际选择其中一组或几组计算。比比看，谁算得又快又对。
（1）计算比拼：
93.2÷4= 75.15÷5= 25÷4=
（2）解决问题：
①6个苹果1.26千克，平均每个苹果多少千克？
②小红买6个苹果共花去3.12元，平均每个苹果多少元？
（3）计算接力（拓展题）：
35.2÷11= 7.79÷95=
练后反馈：
师：大家都做得差不多吧？下面我们一起校对一下。谁愿意把自己的作业拿到前面展示一下？同桌交换批改。
师：校对完后，看看自己的练习情况，你觉得哪几道题还存在疑问，在题号前面打上“√”，待会儿我们一起研究。
师：老师收集了大家的错例，主要集中在下面几道题目上（挑选其中典型错误进行展示）。谁来说说这道题怎样做？需要注意什么？（采用“生教生”的方式进行）
【片断1】
师：（屏幕出示）这是生活中一些物品的单价。谁愿意读给大家听？
1.一支钢笔9元；
2.一根橡皮筋0.06元；
3.一个乒乓球0.8元；
4.一本笔记本2.35元。
师：这节课，我们就围绕这几条信息，展开研究。继续看屏幕。
（在相应的条件后出示问题）
买10支钢笔要多少元？
买7根橡皮筋要多少元？
买3个乒乓球要多少元？
师：这3个问题你能独立解决吗？列式计算，不写答话，写在作业纸上。
师：如果不会计算，也没关系，把算式列出来就行了。
剖析：计算教学不仅是为了计算而计算，而是要与解决实际问题相结合，所以这里出示了一组与购物情境有关的条件和问题，既要求学生说出相应的数量关系式，又要求学生根据乘法的意义说出用乘法计算的理由。让学生说出列式理由，还因为这节课是小数乘法的第一课时，学生面对实际问题，虽然能把整数乘法的意义迁移到小数乘法中来，列出乘法算式，但对于他们来说，乘法的使用范围毕竟扩大了，因此在学生说出列式依据后，教师明确指出：过去我们求几个相同整数的和，用乘法计算比较简便，现在求几个相同小数的和，仍然可以用乘法计算，而且比较简便。这样，既关注了数学知识的严谨性，使学生对乘法意义的认识更加完善，又使接下去的算法探讨有了依据。
【片断2】
师：0.8×3=2.4（元），这里的2.4元是怎样算出来的？同桌互相说说看。全班交流，屏幕相机出示。
生1：0.8元=8角，8×3=24（角），24角=2.4元。
师：这是从元角分的单位上理解的。
生2：8（个0.1）×3=24（个0.1），24个0.1是2.4。
师：这是从小数计数单位上理解的。
生3：0.8的小数点不看，用8×3=24，再点小数点是2.4。
（因为教师备课时没有预设到这种情况，怕耽误上课时间，更加担心如果他已经知道小数和整数相乘的算法，并把算法讲出来，教师没法进行后续教学，所以在课堂上没敢追问，而是迟疑片刻后替学生做出了解答）
师：哦，其实你就是把0.8看成了8个0.1。
（课后，我问这位学生是怎样想的，果不出预料，他说家长已经提前教过他，小数乘整数时，就看做整数乘整数，再看因数是几位小数，积就是几位小数）
生4：0.8＋0.8＋0.8=2.4（元）。
师：这是转化为以前学过的小数加法来计算。十分位上8×3=24，写4进2。
师：这里的0.42元又是怎样算出来的？
师：刚才交流算法的过程中，我们发现，在计算0.8×3时都用到了8×3，在计算0.06×7时都用到了6×7，也就是说在计算小数和整数相乘的时候，都是把它先看做――整数乘整数。
板书：先按整数乘。
剖析：将学生已有的知识基础和生活经验与当下的学习内容紧密结合，让学生在独立思考、自主探索和合作交流中学会思考、学会学习，这是活力课堂的原点。计算0.8×3等于多少时，不是告诉学生怎样算，而是鼓励学生调动已有的知识经验，运用不同的方法得出结果，并让学生体会到数学知识间的内在联系，同时渗透了转化的数学思想。
【思考】
叶澜教授指出：一节充满生命活力的课具有四个特点：有意义，有效率，有生成，有遗憾。我想就从这四个方面来思考上述几个教学片断。
一、过有意义的数学生活
“有意义”主要有三层含义：一是学生必须在课堂教学中学到知识，提高能力，陶冶情感，即学有所得；二是学生在学习过程中必须要产生积极的、愉悦的情感体验，即学有所乐；三是学生在这样的课堂中不断被激发出进一步学习的强烈需求，而且越来越主动地投入到学习中去，即学有所求。当“为什么都用乘法计算？”“0.8×3=2.4（元），这里的2.4元是怎样算出来的？”等富有挑战性的问题呈现在每个学生面前时，学生解决问题的欲望会油然而生。在问题解决任务的驱动下，学生学习的内在需要得到激发，他们会自然而然地主动投入到解决问题的过程中去。每个学生积极主动的参与为师生积极有效的互动提供了思维涌动的源动力。
二、过有效率的数学生活
有效率就是说在课堂教学中能使学生在知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观等方面有所提高。学生的生活背景、学习基础、个性差异等迥然不同，因此有效率的课堂不要求每个学生都能达到统一的标准，但必须使每一位学生都有不同程度的提高。本教学设计让学生解释“为什么都用乘法计算？”用已有的知识解决新的问题“0.8×3”的积是多少，并指出“如果不会计算，也没关系，把算式列出来就行了”等，体现了尊重儿童的差异，遵循儿童的认知规律，突出了“自主”“开放”的课堂价值取向。
三、过有生成的数学生活
有生成就是要求我们在课堂教学中强调动态生成，但是并不忽视有效预设的重要性。相反，动态生成的课堂更需要教师课前的有效预设。只是课前的有效预设不能成为课堂教学的全部，不能成为束缚学生动态生成的枷锁。本教学设计教师为了形成师生积极有效高质量的互动，促进课堂教学的动态生成，有意识地从原来封闭的控制式的教学向开放的教学转化。
四、过有遗憾的数学生活
当然，真实的教学不是尽善尽美的，是存在不足的。关键是课后，能否像围棋运动员那样“赛后复盘”，回顾课堂中的每一个环节，想想怎样处理更合适。
关键词：计数；抽象；对应；自然数；分数
数是什么？浏览中小学数学教材，对数的认识不断深入，数代表的意义越来越抽象化，数域慢慢扩大。下面，按照中小学对数认识的顺序来谈谈中小学数学中学了哪些数，这些数表示的意义是什么？为什么这样表示？
一、自然数
自然数是对自然界中的实物进行抽象对应的符号，而抽象对应的方法又在不断的改进中，所以要深层次理解数的意义，必须要了解数产生的历史和计数原理。
远古时代，为了记录劳动成果，人们发明了石子计数、结绳计数、刻痕计数。以一群羊为例，一头羊对应一个石子，绳结或刻痕。一头羊有众多的属性，羊角的形状，羊毛的长短等，这样计数，依据的是羊的什么属性呢？（1）羊的独立性，每一只羊是独立的。（2）羊的整体性，以一整只羊为一个单位。（3）计数的群体具有相同的属性。计数的方法是一对一的抽象对应。
人类在不断发展，需要记录的数越来越大，于是增大了计数单位，以一个大的石子代表十只羊或者更多，尽管这样，原始的计数方法还是有很多不足之处，人们就发明了一些文字符号，如阿拉伯数字并且沿用至今。
对比古代计数方法和阿拉伯数字，所依据的羊的属性相同，其计数的对应方法不同。古代计数方法是每一只羊对应一个相同的计数符号，加大了计数单位后，对于大的数还是需要繁多的计数符号；阿拉伯数字中，一只羊对应数字“1”，两只羊对应数字“2”，以此类推，阿拉伯数字用不同的简化符号来对应不同的羊。这样就大大简化了计数的文字符号，阿拉伯数字的位值法，增大了计数单位，能表示很大的数，又便于理解和记录。
阿拉伯数字对应的事物满足独立性、整体性（单个事物的整体性作为最基本的计数符号，多个事物又可以看做新的整体对应一个计数符号）和相同属性。例如，一片果林的苹果，一个学校的学生，一个人体内的某细胞……这些事物，我们都可以用一些抽象符号来与之对应。
数的发展初期就是对这些自然界中实际存在的事物进行抽象对应的符号，所以这些数被人们称作自然数。
后来人们用“0”来对应没有任何事物的情况，并把它归纳为自然数。具体代表没有什么事物，要依据所研究的对象了，“0”作为一种最特殊的状况，在实际研究过程中，都会作为一个特例拿出来单独讨论。
二、分数
自然数和分数的本质区别在于，自然数与分数分别体现事物的整体与均分的思想。均分也要选择一定的整体作为基础，以一堆西瓜为例，首先它满足自然数计数的三点：独立性、整体性、相同属性，因此，它可以计作“0，1，2，3，4…”，那么，被分成块的西瓜用什么符号来表示呢？于是人们发明了分数。
把西瓜分成八份，取一份对应符号“1/8”（此分数的计数单位），取两份对应符号“2/8”，以此类推，取八份对应符号“8/8”，以自然数计数也可对应“1”。
对于这类均分的事物，就可以用分数来对应，分数就是这些事物对应的抽象符号。这些事物同样满足独立性、整体性、相同属性。
小数作为一种特殊的分数，其计数单位为：“1/10，1/100，1/1000……”为什么有了分数，还要发明小数呢？在计算和解决一些实际数学问题过程中，分数有诸多不便的地方：（1）有些事物不能清楚地知道被均分成了多少份而取了几份。（2）分数单位不统一带来的不便。因此发明了小数，小数作为分数的近似，不必像分数这样精确，而小数又统一了计数单位。小数沿用了整数的位值法，在任意一个整数中，任意选中一个数字，左边一位数的计数单位是当前这位数的10倍，所以个位的计数单位为“1”，第一位小数上的数字的计数单位为“1/10”，因此称作“十分位”，以此类推。
三、负数
生活中会有这样一些量，收入和支出，升高的量和降低的量，增加的量和减少的量……以收入和支出为例，收入5元，支出5元，但是这两个5代表的意义不同，所以单单一个数字“5”是不能表达他们的不同的，要在前面加上一些描述性语言来区分，即收入和支出，这些语言也是一些抽象的符号，不过没有数学符号简洁。
于是人们用“+”和“-”来表示这种具有相反意义的关系，这样数字前面加上正负号表示了更多的抽象意义。
引入负数以后，数字所抽象对应的事物就从自然界的实物拓宽到一些事件，以及人类自定义的一些抽象概念。例如：海拔高度，海平面零米是人为规定的临界点，高出和低于海平面高度的数字前面分别加上“+”于“-”，正号可省略。要用负数来抽象对应事物，必须要注意：（1）临界点是什么？即“0”表示什么。（2）相反意义的量是什么？（3）确定数值。
四、有理数
把自然数向负数扩充，正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。整数、分数、正数、负数都可以顾名思义，而有理数却让我费解了，更有道理的数？
有理数是对“Rational number”的直译。这词源自古希腊，词根为“ratio”，比率的意思。不难理解，有理数表示的是能化成比率的数。分数自然能看作一个比例，整数又能化成分数，因此，所有的有理数都能化成比例。有理数的意义在前面已经说明，就不在此累述。
五、无理数
在研究一些开方数和圆周率时，人们发现一些不能表示成比例的数，对比有理数，就称这些数为无理数。无理数可分为正无理数、负无理数，所有的无理数可化为无限不循环小数。无理数的意义可以类比有理数得到。
六、复数
复数是指能写成如下形式的数a+bi，这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。其代表的意义在中小学阶段不作要求，就不作说明。
参考文献：
关键词：1奇数 ， 2偶数， 3对立性， 4 同一性 ， 5哲理整小数， 6 哲理整性质，7对立统一，8派生子集合， 9为什么1+1=2？等等
1、奇数与偶数的对立性和同一性（理性地认识奇数与偶数这对拥有哲学和数学意义的矛盾）：
如果从自然辩证法（现代哲学）、数学角度出发去认识奇数与偶数这一对矛盾，偶数能被2整除、奇数不能被2整除的传统理论，只谈了差异、排斥与对立的一面，换言之，仅仅涉及到了奇数与偶数（矛盾）的对立性，没有涉及到奇数与偶数（矛盾）的同一性与差异中的共性，很显然是非完整的理性认识、带有片面性，…，如果奇数与偶数是一对带有数学意义的哲学矛盾，则这一矛盾的两个方面不仅具有对立性与不同性、而且还存在着同一性与差异中的共性，如果存在着差异中的共性与同一性，必须探索寻求科学依据，不能凭空而论，自然辩证法（现代哲学）和辩证数值逻辑共同发现：在数值逻辑公理系统中，派生子集合，即小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…的绝对值比其他普通小数的绝对值整装（不要被它小数性质的现象、假象所迷惑），因而从系统的发展变化的过程中差别、产生分化出来、占据整数的位置（即派生子集合），充当“整数”，体现其哲理整性质，为奇数能被2哲理整除提供科学依据，为奇数与偶数这一对哲学矛盾提供同一性的科学依据，因此，自然辩证法（现代哲学）为怎样正确回答为什么1+1=2？这一数学真理开辟了前进道路、指明了前进方向，所以，偶数能被2整除，奇数不能被2整除确着实能被2哲理整除，不仅存在着对立性，尤其存在着共性与同一性，即异中之同、差异中的共性，换言之，奇数与偶数存在着同一性、存在着相反相成对立统一的辩证关系，奇数与偶数不仅是拥有数学意义的矛盾，更是一对拥有哲学内涵的矛盾，那么当然需要辩证认识与辩证推理，当然更需要自然辩证法（现代哲学）的指导与哲学专家的鼎力支持，…。
2、哲理整小数及其哲理整性质：
我们将小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，……，…以及它们的哲理整性质统称为哲理整小数，…。
何为哲理整性质？：即其他普通小数的绝对值比哲理整小数的绝对值更零散，换言之，哲理整小数的绝对值比其他普通小数的绝对值“整装”，这一相比较而言而得到的“整装”性质与整数的整装性质构成异中之同、差异中的共性，我们将这一差异中的共性与同一性称之为哲理整性质，尽管二者是相对而言的，然而亦是一个客观存在，它为奇数能被2哲理整除提供了客观上的科学依据，这是自然辩证法的重大发现和自然辩证法的重大胜利！这是世界观的认识问题，很显然，哲理整小数具有相互矛盾的双重性质：其一是哲理整性质、其二是普通小数的性质，惟独哲理整小数拥有哲理整性质，其他普通小数并不具备哲理整性质，特此说明，…。
3、哲理整小数的哲学与数学意义：
哲理整小数的哲学与数学意义：它揭示着奇数与偶数相反相成对立统一，为奇数与偶数提供同一性，为奇数能被2 哲理整除、为数学真理为什么1+1=2？提供科学依据，奇数与偶数是一对既属于哲学范畴又属于数学范畴的综合矛盾，整数与哲理整小数为偶数能被2整除、为奇数能被2哲理整除提供完整科学依据，单纯的数学角度去认识似乎无法正确理解与接受，相反相成，老子先生早在两千多年前就提出来了，即相反的事物拥有同一性，奇数与偶数这对哲学矛盾也不例外，哲理整小数的哲学与数学意义主要是为奇数能被2哲理整除、为奇数与偶数相反相成对立统一提供科学依据，即为奇数与偶数提供了哲学意义的同一性，自然辩证法（现代哲学）为完整数学真理指明了前进方向！这是自然辩证法（现代哲学）的重大胜利！
4、哲理整小数拥有哲理整性质的科学依据和其来源：
很显然，哲理整小数具有相互矛盾的双重性质：其一是哲理整性质、其二是普通小数的性质，分数有分数单位，1/2是最大的分数单位，那么则0.5是最大的小数单位，最大的小数单位“0.5”以及辩证数值逻辑中派生子集合为哲理整小数具有哲理整性质提供科学依据，因而，偶数能被2整除、奇数不能被2整除，如果将其极端绝对化了排斥掉了奇数与偶数二者的同一性，即如果排斥掉了奇数能被2哲理整除的性质，就要阻碍完整数学真理向前发展与突破，导致不可思议，千百年来数学基础数值逻辑自身的发展史充分地证明了这一点，偶数能被2整除，奇数不能被2整除的传统理论没有回答为什么1+1=2？，这是因为奇数不能被2整除，理论上无法直接承认、接受2是数学公理；这也是算术（经典数论）的一大遗憾，尽管高深的数理逻辑具有无穷无尽的力量与作用，由于它不能完全彻底取代数值逻辑的巨大意义与作用，因此偶数能被2整除，奇数不能被2整除的传统理论只把完整的数学真理认识了一半（仅仅涉及到了矛盾的对立性），另一半，即同一性，奇数能被2哲理整除亦很重要与必要，…。
5、奇数与偶数存在着对立性与同一性的辩证关系以及蕴含着深刻哲学意义的数学真理为什么1+1=2？：
本文将奇数与偶数这一对具有数学内涵下的哲学矛盾简单的归纳为：偶数能被2整除，奇数不能被2整除确着实能被2哲理整除，奇数与偶数不仅存在着对立性，而且还存在着共性和同一性，即异中之同，差异中的共性，偶数能被2整除、奇数能被2哲理整除就是异中之同，差异中的共性与同一性(偶数能被2整除、奇数不能被2整除就是指二者差异、排斥与对立性)，因此说，奇数与偶数（整数与哲理整小数）二者存在着相反相成、对立统一的辩证关系，它揭示着2是数学公理系统的首要公理，自然辩证法、数学二位一体，辩证统一，这是世界观的认识问题，有什么样的世界观就有什么样的认识论、方法论，为什么1+1=2？我们的回答既简单又深刻：偶数能被2整除，奇数不能被2整除确着实能被2哲理整除，奇数与偶数相反相成对立统一、拥有对立性与同一性，2是数学首要公理，是啊！它真的既简单又深刻，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，但它深刻地不可思议、不可理喻、难以理解与接受，世上有那么多的为什么，为什么迄今为止还没有数学真理为什么1+1=2？出笼？是它客观上根本不存在还是我们地球人类没有对它形成理性认识？本文对此进行了探索性地回答，不妥之处敬请谅解，…。
参考文献
1、《辩证唯物主义和历史唯物主义原理》，中国人民大学出版社出版。
2、《哲学名词解释》，人民出版社出版。
3、《古今数学思想》（北京大学数学系数学史翻译组译）上海科学技术出版社出版，1981年7月。原作者：（美国）M.克莱因 著
数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式。小学数学中反映数和形本质属性的数字、图形、符号、名词术语和定义、法则等都是数学概念。概念教学是数学教学的一个重要组成部分，它具有极强的基础性，概念教学的效果如何将直接影响学生对数学知识的理解和掌握，关系到学生解题能力的培养与提高。因此,教师指导学生学习概念时，就要根据不同概念的不同特征，遵循儿童的认识规律和认知特点，采取适当的方法，按感知、形成、巩固和运用四个阶段进行教学。
一、发现概念 领悟概念
小学生的认知特征是从具体逐渐过渡到抽象。进行概念教学时,教师应尽可能将数学知识与学生在日常生活的、熟悉的、具体的材料相联系，这样就有利于抽象的数学概念具体化、形象化，便于学生的理解,同时也能激发学生的思维和探索新知的欲望。例如学习“百分数的意义”时，教师出示一组在日常生活中经常见的数据：有一商场的衣服降价10%；六⑶班同学的体育合格率达98%；今年城镇人口人均收入比去年增长12.5%……让学生初步感知什么样的数是百分数。学生根据上述的材料会提出一系列的问题：百分数的意义是什么？有什么作用？怎样读？怎样写？百分数与分数有什么不同……有了这样的开始，再来学习“百分数”的概念就显得轻松自然了。再如:开始学习“角”，教师凭借常见的直观实物（五角星、三角板等），帮助学生理解“角”的意义。
对于发展性概念，一般采用课前预习、课堂复习的方式，让学生在已有知识和智力能力的基础上，通过已有的概念去认识新的概念，使新概念在已有的概念中深化，产生新的知识，即在旧概念的基础上引入新概念。如，讲“比的化简”时为了讲清“最简单的整数比”这一概念，可以引导学生回忆运用分数的基本性质约分的道理，复习“最简分数”的概念，这样，学生很快理解了“最简单的整数比”就是“比的前项和后项是互质数的比”。再进一步指出化简比的方法与约分方法相同，但要注意如果比的前项和后项有小数或分数，必须转化成整数比再化简。这样，学生在学习中，就能找出新概念与已有的相关概念的联系与区别，实现知识的迁移，同时也巩固了旧知识。
二、探究概念、形成概念
当学生感知概念后，为了让学生准确把握概念，必须通过比较、分析、综合、概括等思维活动和学习手段，来剔除知识的非本质属性，抽取其基本属性，认真分析概念的内涵和外延，并找准概念中的重点难点给学生讲解，帮助学生构建自己正确、清晰的知识框架。如揭示倒数概念时，应重点强调“乘积为1”、“互为”两个重点，让学生明白两个数互为倒数是表示两个数的关系，一个数是不能称为倒数的。再如,什么叫循环小数？课本是这样定义的:“一个数的小数部分,从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的数叫循环小数。”这里要抓住两点，①前提是一个数的小数部分，与整数部分没关系，②属性是一个数字或几个数字重复出现，且是依次不断的。明确了这两点就能迅速的判断出某些数字是不是循环小数，如7777.777、7.32132、2.2020020002……这样的小数都不具备循环小数的本质属性，所以都不是循环小数。而0.324324……、0.146262……具备了循环小数的本质属性,它们都是循环小数。
在小学阶段的数学概念教学中，可采用直观引进教学，因势利导，通过观察和语言描述提供感性材料，抽象出事物的本质属性；可通过分析比较概念的关系或几何图形的位置、形状等变化，突出概念的内涵和外延；可充分感知，形成正确表象，给概念下定义。
数学中的一些概念是相互联系的,既有相同点,又有不同之处。划清了异同界线,才能建立明确的概念。而对这类概念,应用对比的方法找出它们之间的联系、区别，使学生更加准确地理解和牢固记忆学过的概念。如教学“质数和合数”时，先给出一些自然数，让学生分别找出这些数的所有因数，再比较每个数的因数的个数；然后根据因数的个数把这些数进行分类，①只有一个因数的，②只有1和它本身两个因数的，③除了1和它本身，还有别的因数的，即因数有三个或三个以上的；最后引导学生根据三类数的不同特点，总结出“质数”和“合数”的定义。
在数学概念教学中，如果能够把握概念的内涵，把握概念教学的层次，把握概念之间的联系和区别，突出每一个概念的重点难点，使学生不仅了解这个概念是如何表述的，而且了解描述这个概念的条件是什么，结论是什么，那么，必然能提高学生的认识水平和掌握概念的能力。
三、强化概念 巩固概念
在学生理解和形成概念基础上，让学生在不同题型、不同方式的训练中，深化对概念的理解。引导学生研究、讨论，积极思维，才能使学生深刻理解概念的内涵，抓住本质属性，从而使学生正确地、全面地理解概念，并在理解的基础上记忆、巩固概念，这样学生所学到的结论就不单纯是文字的结论，而是对概念全面的理解和掌握。比如，在“分数的意义”教学时，当学生形成概念后，对分数意义理解应有三次飞跃。第一次是大量感性直观的认识，结合具体事物描述分数是一个什么样的数，理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之几；第二次飞跃是由具体到抽象，把单位“1”平均分成若干份、1份或几份……从具体事物中抽象出来，然后概括出分数的定义，这是感性的飞跃；第三次飞跃是对单位“1”的理解与扩展，单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等，最后抽象出：分谁，谁就是单位“1”，这样单位“1”与自然数的“1”的区别就更加明确了。这样的三个层次不是一蹴而就的，要展现出知识的发展过程，引导学生在知识的发展中去理解分数，这个过程不是一个结论所能代替的。再如学习了“比的意义”后，可根据比与除法、分数之间关系设计练习，从中明确“除法是一种运算，分数是一个数，比是表示两个数的倍数关系。”
四、运用概念、发展概念
策略一：创设复习情境，集中呈现知识，梳理知识网络
一般来说，复习课在设计时，都假定基本的概念、法则、性质、定律已是学生熟知的知识，但是这些知识在学生头脑中是分散的、无序的，因此，需要再现这些知识，并梳理、储存这些知识结构。
1.设计有效情境，集中呈现基础知识
毕业班数学单元复习的内容多，而且是学生已经学习过的内容，因此，对基础知识的呈现就不能像新授课那样依次切入，也不必过分关注知识呈现的有序性和逻辑性，而往往采用某种综合情境或数学题组的形式集中呈现各种有关的基本知识，对这些知识的来龙去脉也并非都是一一分析，大多是在学生相互交流中回忆、完善。
2.采用多种数学思维方法，梳理、储存知识结构
复习课中的基本知识，一般来说也不是简单再现和机械重复，关键是要把平时相对独立地进行教学的概念、法则、性质、规律、方法等以再现、整理、归纳等办法串起来，进而加深学生对知识的理解、沟通，使之条理化、系统化。在知识结构的梳理与建构过程中，必须依据复习内容的特点选择合适的方法，通常有列表结构编织、树状结构编织、网状结构编织等。
策略二：突出重点内容，提高单位时间内的复习效益
一节课只有短短的40分钟，是不可能面面俱到的，而应有重点地复习。可以突出教材中的重点内容进行复习，也可以突出学生学习过程中的难点内容进行复习。复习训练的设计要有一定的基础性、综合性、启发性、代表性与典型性，适当注意知识点之间的叠加训练设计，注意训练呈现形式与呈现素材的多样性，舍弃“题海战术”，避免机械重复的训练，能够使学生通过训练有新的收获。
如在六年级下册总复习第一课时《整数、小数的意义和读写方法》的教学中，我们需要准确地定位复习内容应更侧重于“小数的意义和读写方法”，因为在“带小数”的复习中也包含了整数的意义及读写方法的知识在内。
策略三：突出学生的主体地位，关注过程性目标的落实
教师在新授课的教学或许已经充分考虑并体现了学生的主体地位，但一进入复习阶段则又回到了“唯师独尊”的局面，“满堂灌”的情况并不鲜见。复习课的教学中应想方设法让学生积极参与到复习的全过程，如知识的呈现与梳理及自主命题等方面都可组织学生自主完成。凡是学生看得懂、讲得来、做得出的内容与题目，都要让学生独立完成，教师不能包办代替。同时，教师在复习过程中要注重对学生复习方法的指导，尤其是对学困生复习活动的指导，将辅导补差工作与课堂教学同步进行。
需要指出的是，“突出学生的主体地位让学生自主复习”必须以学生已有的知识经验为基础。为了更好地达成这一点，教师可有针对性地指导学生课前预习复习内容，对复习对象能基本达到再认甚至再现的水平。教师在引导学生对知识进行复习的同时，还需要加强对学生复习方法的指导。
如在《整数、小数的意义和读写方法》复习课的教学中，我安排学生课前自主预习课本内容，学生对各知识点已经有了较为清晰的认知，而将复习的重点转移到对知识的整理、分析中来。通过看、读、交流来再认要复习的知识;通过交流、师生共同整理完成“整数部分”知识的复习，并加强对复习方法的指导;再通过学生自主交流、自主整理完成“小数部分”知识的复习，并及时引导学生将整数知识与小数知识进行联系、对比，体会知识之间的内在联系。
策略四：题组训练沟通联系，挖掘单元知识所蕴涵的内在价值
新课程明确指出，教材仅仅是我们教学的基本线索和基本素材，在具体的教学过程中，我们“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生数学学习的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”。这就是说，数学教学活动要以学生的发展为本，要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为数学教学的重要资源。
策略五：重视元认知能力培养，使复习成为学生自我发展的过程
在复习课教学中，不同学习个体之间认知水平的差异很大，而班级授课制条件下分层施教往往会显得“力不从心”。这就使培养学习者自我监督、自我检查、自我反省、自我调节的意识和能力（即元认知能力），成为教学的必然要求。复习课教学中培养学生的元认知能力，可以采用以下方法：（1）自我提问法。可用于知识整理过程中，也可以用于知识运用过程中。（2）相互提问法。两个或多个学生之间、师生之间就解决问题的计划（应该怎么做）、监控（是否这样做了）、评价（做的怎样）、反思（成功与失败的原因）互相提问。（3）分层练习法。练习设计既要确保达成基本教学目标，又要体现一定的弹性，以满足不同层次学生的发展要求。要逐步培养学生自我评价的能力，要使学生逐步学会选择自己力所能及以至具有挑战性的练习。实践证明，在复习课教学中培养和训练学生的元认知能力，能促进学生的认知结构进一步完善，更能使学生在选择学习策略、监控和调节学习过程的同时，促进自身思维品质和思维能力的提高。
策略六：注意培养复习兴趣，注重数学文化的传承，拓展数学视野，完善认知结构
传统的复习课教学中，学生只是一个“容器”，他们必须被动地接受从“另一个容器”中倒入的“水”。时至今日，我们在努力改变教学方式的同时还需注重对学生复习兴趣的培养。学生复习的兴趣与复习的效益是“两个成正比例关系的量”。教学中要让学生体会复习知识的发生与发展过程，感受数学文化的博大精深，丰富认知，激发学习兴趣，提高复习效果。
课程改革的核心是学生学习方式的改革，目前小学数学课堂教学改革中，学生先自学然后汇报所得成为许多老师经常采用的教学方法，然而，由于学生的认知能力的局限，有因为不同学生间的差异，对某个数学问题的理解不仅相同，这种“信息差”是课堂教学的资源，有时也会构成学习的羁绊，使学生停留在问题的表面，满足于一知半解，不利于学生主动建构，不利于学术数学思维能力的培养。如何使我们的数学课堂既有温度，又有深度，是教师们普遍关心的问题，这里教师的导学起到至关重要的作用。
苏教版国标本第十册教材《分数与小数的互化》一课内容较多，理解难度不大，与学生的旧知联系很紧密，适合采用自主探究式教学方式。教学中可留有空间，无论是教师提出的有效问题还是学生在学习过程中产生的问题都可以有效驱动课堂，让课堂焕发活力。
[案例描述]
片段1：问题引入
1.师出示例9，指名说出图意。
师：从图中你获得了什么数学信息？
生1：我知道两人做彩带李娟用了0.5米长，张玲用了米。
生2：我还知道她们两人一个用小数表示彩带长度，另一人用分数表示。
2.教师追问：你能提出什么问题？会列式解答吗？
生1：两人一共用了多少彩带？用0.5+
生2：李娟用的长度是张玲的几分之几？用0.5÷。
生3：她们谁用的彩带长？0.5
生4：李娟和张玲相差多少米？-0.5
追问：刚才几位同学的算式中都有什么共同的地方？（都同时用小数和分数）解决这些问题都必须将分数和小数怎样？（转化）
片段2：比较0.5米和米的大小，揭示分数化成小数的一般策略。
1.师：怎样比较0.5米和米的大小？先独立思考，再小组交流。
2.学生汇报。
生1：跟1米一半比：0.5米就是1米的一半，米超过了1米的一半，所以0.5米
生2：化成小数比：=3÷4=0.75，0.5
教师追问：把分数化成小数0.75的依据是什么？怎样把分数化成小数？
生3：化成分数比，=，
生4：画图的策略。（具体略）
生5：=1÷2，=3÷4=1.5÷2，可以看出大。
3.比较各种方法，找出一般方法。
师：这些不同的方法有相同之处吗？你喜欢哪种方法？说说你的理由。
生1：我喜欢第一种方法，因为它最快。
生2：虽然第一种方法快，但是第2种方法比较稳，任何时候都能用。
生3：我喜欢画图的方法，形象直观，但不方便。
生4：这些方法的答案是一样的，其实它们都要化成统一的形式才能比出大小。
师：看来把比较分数和小数的大小最一般、最常用的方法是把分数化成小数，因而我们有必要研究分数化成小数。教师板书：分数小数。
片段3：练习分数化小数
1.学生练习：做练习九第8题。把分数化成小数（除不尽的要保留三位小数）挑其中的四题、、、，4人板演。
反馈，重点比较化成小数的结果，有的学生取准确值，有的学生保留了三位小数，让学生比较，质疑。
强调计算要细心、耐心，确定除不尽时才取近似值。
2.教师补充：把化成小数怎么想的？
生1：只要用35÷100=0.35就可以了。
生2：只要根据小数的意义“两位小数表示百分之几”，百分之几就表示两位小数可以直接改写成0.35。
师：观察这题可以从两种不同的角度把分数化成小数，再看刚才我们做过的题，你想说什么？你有怎样的设想？
生1：把、、先写成除法算式，再根据商不变的规律把它们变成除数是10、100、1000等分数，再改写。但是我就没有办法了！
生2：是不是找不到一个整数和9相乘得10、100、1000……，这个分数就除不尽呢？
生3：我给生2补充，因为9的质因数是3和3，10、100、1000等数的质因数里只有2和5，所以9不行。
生4：我还发现=0.3，但是0.3×3≠1呀？
师：你们提出了非常有价值的2个问题。生1、2和3你们可以合作探究，生4的思路可以用来验证，你举的特例以后中学有专门的介绍。这些有趣的问题同学们可以课后再研究。
片段4：教学例10，学习“小数化成分数”
1.师：既然分数可以化成小数，那么你想到——小数是否也能化成分数呢？
2.师：我们学过把小数化成分数吗？你能举例说说小数化成分数的方法吗？
生：我能，跟刚才的过程相反，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……如0.5=等。教师点评：这是根据——小数的意义直接改写。
3.学生独立完成例10 ，教师指名汇报说小数化成分数的依据。
4.学生进行了必要的练习后，教师让学生出题进行分小互化。教师根据学生的出题进行适当点评，指引学生有意识地出题，让各种类型都成为可能。就在学生觉得自己学得很好很成功时，有学生质疑。
生1：现在我已经能把任何一个分数化成小数，除不尽时可以根据要求保留相应的位数，但是把小数化成分数时，我只能把有限小数化成分数，也就是只能化成分母是10、100、1000……这样的分数，而我们见过的分数有很多，可以说任何不是0的自然数都可以是分母，这样的分数是怎样产生的呢？
生2：我发现刚才我们始终是把有限小数化成分数的，要是遇到循环小数时怎么办呢？是不是先保留再改写成分数呢？……
[案例反思]：
