时间：2022-11-01 03:53:46
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇圆柱和圆锥的关系，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、教学前测
第1题（本题为教材中的例题）：工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥，这堆沙子大约多少立方米？（得数保留两位小数）
第2题：你会求圆锥的体积吗？你是怎么知道的？
结果统计如下表。
■
根据前测信息，学生的学习起点简析如下。
经验起点：理解圆锥体积与底面积和高有关。在“不能正确列式计算”的学生中，两班分别有一定比例的学生虽然不会正确列式计算，但能猜测圆锥体积是“底面积×高”，或认为是“底面积×高÷2”。
知识起点：圆锥体积计算方法的学习已不是本课最重要的目标。两个班分别有78.3%和66.0%的学生已经会正确列式计算圆锥的体积，学习的途径也很多，其中“预习学会”的几乎占50%，说明学生已有较好的学习习惯。
认知起点：圆锥体积计算方法的探究过程需加强，需不断丰富活动经验。由于本课是在学习了圆柱的体积后进行的，部分学生受直观定式的影响，对圆锥体积计算方法的猜测出现偏差。
二、教学对策
1.学生的学习起点是什么？
很显然，如果仅以“使学生掌握圆锥体积的计算方法”作为本课的教学目标是不够的。在学习圆锥体积计算方法的同时，需要创设有效环节帮助学生发展空间观念。
2.怎样帮助学生获得丰富的操作经验并理解知识？
需要组织行之有效的操作活动，让每一位学生参与其中，经历操作过程，积累操作经验，从而获得感悟。操作器材的选择与提供尤为重要。
三、教学实践
1.复习准备，直接揭题
2.切割猜想，初步沟通圆柱与圆锥的联系
（1）如果要用木料加工（切削）成一个这样的圆锥（课件出示），它的底面直径是10厘米，高是15厘米。选择怎样形状的木料加工最方便？
（2）为什么选择圆柱形木料？你是怎么想的？
（3）这里有4个不同型号的圆柱形木料，选择底面直径和高分别是多少的圆柱形木料加工最方便？为什么？先独立思考，再同桌交流。
■
（4）选择第3个圆柱加工。猜测：这个圆锥的体积和圆柱有怎样的关系？并说说你的想法。（课件出示：■）在这两个容器中倒满水，再猜测它们的体积有什么关系。
3.探究圆锥体积的计算方法
操作材料说明：同桌两人合做。全班共提供24套学具。其中22套中有3组不同型号等底等高的圆柱、圆锥，还有1套等底不等高的圆柱、圆锥和1套等高不等底的圆柱、圆锥。
（1）引入：这个圆柱和圆锥，它们的体积有什么关系呢？你打算怎么做试验？要注意什么？
（2）同桌合作，先思考准备怎么做，再动手试一试。
（3）反馈：你们小组是怎样做试验的？把你的过程和结果介绍给大家。
生1：把圆锥装满水后倒入圆柱中，一次又一次重复，重复倒了3次，正好把圆柱装满。以此说明圆锥体积是圆柱体积的■。
生2：在圆柱里灌满水，然后倒进圆锥，圆锥里的水满后，倒回桶里。再把圆柱中的水倒进圆锥，满后再倒进桶里，再把圆柱里剩下的水倒进圆锥中，正好又倒满。
师（追问）：倒了几次？你得到什么结论？
生2：正好倒3次。说明圆柱体积是圆锥体积的3倍。
生3：先将圆柱灌满水，圆锥不灌水，把圆锥轻轻地放入圆柱中，此时圆柱中的水会溢出来。再把圆锥轻轻地拿出来，这时圆柱中的水面会下降。用尺量出圆柱中空出部分的高，看看与圆柱的高有什么关系。
师（追问）：溢出的水就是什么？空出部分的高与圆柱的高有什么关系？
生3：溢出的水就是圆锥的体积。空出部分的高是圆柱高的■。说明圆锥的体积就是圆柱的■。
生4：先把圆锥装满水，倒进圆柱里。然后用尺量出圆柱中水的高度，最后用量出的数据除以圆柱的高度。
师（追问）：你们倒了几次？结果如何？
生4：只倒了1次。结果水面的高度正好是圆柱高度的■。
师（再次追问）：说明什么？
生4：圆锥的体积是圆柱体积的■。
生5：把圆锥装满水后，倒进圆柱中，用笔做个记号。然后再把圆锥装满水后倒进圆柱，再做个记号。我用尺量了一下，这两个记号正好把圆柱的高平均分成三份。说明圆锥体积是圆柱的■。
生6：我们前面猜测圆锥的体积是圆柱的■。所以根据圆柱上标出来的线，倒■的水。
师（追问）：你是怎么知道是■的水？
生6（举起试验圆柱）：这上面有红色刻度的，正好是在高的■处。
师（评价）：哦！你们小组做试验的圆柱上有已经做好标记的红线。你们能根据自己的猜测进行试验，验证了猜测是正确的。这种猜想、验证的做法正是我们做学问的态度和方法。如果你一直用这种方法和态度进行学习，相信你会越来越出色的！
生7：我们组开始用圆锥灌满水倒进圆柱里，感觉误差大。就换了一种，把圆柱灌满水，往圆锥里倒，刚刚好倒了3杯。说明圆柱体积是圆锥的3倍，也就是圆锥体积是圆柱体积的■。
师（评价）：真了不起！你们小组不但完成了试验任务，得出了结论，而且发现了做试验减少误差的方法！
师（追问）：还有不同的发现吗？
生8：我们的试验结果和他们的不一样。我们也是做倒水试验，可是用圆锥装满水倒入圆柱，倒了4次多才倒满。
生9（另有一组的学生）：我们才倒了2次半就倒满了。（其他学生都静下来）
师：请你们两组把你们做试验的圆柱、圆锥拿上来，当着大家的面再做一次。（这两组学生当着全班学生的面又做了一次，结果仍然和原来相同。）
师：这是怎么回事呢？
生10（兴奋地）：我知道啦！（走到讲台前，边指边说）他们这两组的圆柱、圆锥和我们做试验的不一样。
师（追问）：什么不一样？
生10：这个圆锥比圆柱矮，所以要倒4次多才能倒满。这个圆锥的底比圆柱大，所以倒了2次半就倒满了。（其余学生若有所思）
师：那你们做试验的圆柱、圆锥之间有什么关系呢？请你们仔细观察。（学生纷纷观察自己小组做试验的器材）
生10：我们做试验的圆柱、圆锥的底是相等的，高也是相等的。
师：你们的发现和他的一样吗？
生：一样！
师：底相等，高也相等，我们叫做等底等高。其他同学还有什么想说的呢？
生11：必须是等底等高的圆柱和圆锥，做试验时，才正好倒3次。
师（小结）：只有等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的三分之一，圆柱体积是圆锥体积的3倍。
（4）课件演示试验过程，并根据过程推导圆锥体积计算方法。V圆锥=■V圆柱=■Sh。
（5）计算如右图所示圆锥的体积。
反馈时追问：3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？
引导：看着这个圆锥，先想像和它等底等高的圆柱的形状，再用手比划。（课件出示：■）
思考：削去了多少体积？你是怎么想的？根据这幅图，你还想到什么？
4.练习巩固
（1）课件出示：工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥，这堆沙子大约多少立方米？要计算这个沙堆的体积，需要知道哪些信息？结合生活实际想一想：底面半径、直径和周长，哪一个信息便于测量？为什么？（出示：底面周长是12.56米，高1.2米。反馈时追问：12.56÷3.14÷2和3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.2分别表示什么意思？）
（2）想一想，做一做。
出示：■已知圆锥的体积是56.52立方厘米，底面积是28.26平方厘米。它的高是多少厘米？
追问：56.52×3或56.52÷■表示什么意思？
课件演示一： ■
课件演示二：圆柱右移■
思考：圆柱与圆锥的体积有什么关系？如果要使它们的体积相等，并且保持原来的形状，你有什么办法？可以画图说明。
（3）观察、猜想。
课件依次出示：■；■；……
思考：根据这节课的学习，你有什么猜想？
5.总结提升
四、反思
在教学过程中，学生的表现极其出色：操作到位、感悟深刻、回答精彩。这都得益于整堂课的设计都立足于学生已有的学习起点，真正做到尊重学生的需求。
1.立足学生的经验起点
六年级的学生，他们已积累了一定的生活与活动经验。因此在教学时要重视唤醒学生已有的经验。
首先，唤醒学生的生活经验。学生的生活经验迁移到学习活动中，往往是一种直觉。这种直觉，可能是正确的，也可能是错误的，但不管如何，这些都是学生进一步学习的“土壤”，等待着知识“种子”的播撒。如在上课伊始，让学生思考“如果要用木料加工（切削）成一个这样的圆锥，它的底面直径是10厘米，高是15厘米。选择怎样形状的木料加工最方便？”学生根据生活经验，马上想到要用圆柱形的木料加工，因为它们的底都是圆的。这种根据两个形体间基本特征的联想，是多么可贵啊！接着让学生从提供的4个不同型号的圆柱木料中做出选择，学生能在潜意识中关注它们的底面直径与高的数值作出判断，这是生活经验的又一次提升，明确了“圆锥从哪里来”的问题。
其次，关注基本活动经验的积累。活动经验具有不可替代性。而在日常教学中，我们往往容易犯“经验替代”的过错，造成了学生只知道圆锥体积的计算方法，而不会主动沟通圆柱与圆锥的联系。为了避免这种现象，在上述课例中，我设计了让学生同桌合作的环节。通过合作，学生反馈的信息异常丰富，概括起来有三个层次：（1）两种常规的倒水法；（2）“排水法”和“量高法”；（3）操作方法的优化提升。学生通过操作发现，用圆柱容器往圆锥容器中倒水，比用圆锥容器往圆柱容器中倒水误差小。这是多么可贵的发现啊！试想，如果没有实物操作，只让学生看课件和看教师操作，他们能有这样的体会和这些发现吗？正因学生有如此丰富的经验积累，才使圆锥体积的计算方法水到渠成！
2.立足学生的知识起点
“圆锥的体积”是学生在小学阶段学习的最后一个形体，在此之前，学生已积累了较为丰富的知识经验。尤其是经过长方体、正方体、圆柱体积的学习之后，学生对“柱体”的体积计算有了一定的认识，“底面积×高”的思想已逐渐树立。但在会求圆锥体积的学生中有相当一部分只是记住了计算方法，而对为什么这样算不清楚，也就是说学生公式推导过程的经验几乎为零。此外，由于圆柱与圆锥在形体上有一定的联系（底面都是圆的），学生会很自觉地对这两个形体进行沟通，寻求它们之间的联系。因此在教学中，如何让学生进一步深化这两个形体之间的联系显得尤为重要，这也成为本课的一个重要的教学任务。如在学生尝试列式计算圆锥的体积后追问：“3.14×（10÷2）2×15表示什么意思？”他们会不自觉地想到与圆锥等底等高的圆柱的体积，并用手势比划出圆柱的形状，从而初步感悟等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系。接着让学生观察■，从不同的角度分析圆柱、圆锥、削去部分的体积之间的关系，进一步深化了等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系。这些新知的获得，都是立足于学生原有的知识基础，是学生自主地生发出来的。
3. 立足学生的认知起点
学生的认知随着年龄的增长而不断丰富，他们的认知起点包括心理起点与思维起点。
（1）找准学生的心理起点。在课堂上创设与生活紧密联系的情境，提出具有启发性的问题，激发学生的学习兴趣与积极性显得尤为重要。本课之所以精彩，与学生的全程积极参与密不可分，而这又得益于教师对学生的有效引导。首先，引发他们思考做圆锥选材的问题。其次，提供了充分的时间让他们操作，让他们“动”起来，在“好玩、有趣”中伴着操作、思考，使他们积累了丰富的活动经验。再次，应用与实际结合起来。在计算沙堆体积时让学生思考需要知道哪些信息，然而随着进一步的思考发现现实生活中测量直径与半径是不现实的，从而得出根据底面周长与高计算沙堆体积的方法。这既是对新学知识的变式应用，又与生活密不可分。学生置身于这一个又一个环环相扣的问题情境，学习的好奇心与求知欲不断得到满足，参与积极性始终保持一定的强度。
[关键词]直观 操作 实验 观察 思维 发散 促进 激发
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）05-022
数学学习是从感性认识开始的，所以在数学课堂中，教师应加强直观演示的教学，引导学生对学习素材进行多层面、多角度、多维度的观察、比较、选择与归纳。下面，以“圆柱与圆锥”单元教学为例，谈谈如何通过直观教学，培养学生的数学思维。
一、操作，激发学生的思维
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”课堂教学中，教师可通过动手操作，激活学生的思维，引导他们深入探究，真正理解所学知识。
师：圆柱的体积计算公式是什么？
生1：圆柱的体积=底面积×高。
师：我们是怎样推导圆柱的体积计算公式的？
生2：我们把圆柱转化成等底等高的长方体，通过长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。
师：今天，我们探究圆锥的体积计算方法。猜一猜，圆锥的体积可以怎样求？它与哪些条件有关？
生3：只要把圆柱上面的一个圆缩成点就变成了圆锥，说明圆锥的体积和圆柱是有联系的。
生4：可以把圆锥转化成已经学过的立体图形——圆柱，由于圆柱体积=底面积×高，那么圆锥的体积计算可能与它的底面积和高有关系。
……
我国数学家徐利治曾说过：“直观就是借助于经验观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。”教学“圆柱的体积”时，把圆柱的体积转化成已学过的长方体体积，这样能有效唤醒学生的学习潜能，使学生去观察、反思、梳理，为后续推导圆锥的体积计算埋下伏笔。由圆柱体积的推导过程，学生能想到圆锥的体积是不是能转化成已学过的立体图形进行计算，这样就会产生一种学习新知识的需求。学生由于生活经验和认知水平的局限，更易于接受直观的事物。因此，直观演示更利于学生进行观察、比较、分析和想象，并在此基础上展开更加丰富多彩的直观推理，进而洞察相关联物体之间的联系与区别，获得必要的结论。
二、实验，促进学生的思维
学生的感悟因经历而丰富，视野因思维更拓展。因此，课堂教学中，教师应以实验为媒介，促进学生的数学学习与数学活动有机融合。
师（出示许多大小不等的圆柱和圆锥形容器）：你打算将圆柱与圆锥如何转化？如果让你在这么多的圆柱与圆锥中选择两个来探究，你打算选择什么样的圆柱和圆锥？说说你选择的理由。
生1：刚才把圆柱的一个底面缩成点就变成了圆锥，其中圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等，所以应选择底面积相等、高相等的圆柱和圆锥进行探究。
师：为了便于我们研究圆锥体积，每个组都准备了一个圆柱和一个圆锥，比一比，它们有什么相同的地方？（生操作演示，如下图）
师：你发现了什么？底面积相等，高也相等，用数学语言来说就叫等底等高。既然圆锥与圆柱等底等高，能不能直接用圆柱的体积计算公式求出圆锥的体积呢？
生2：不行，把圆锥放入圆柱形容器中，发现圆锥比圆柱的体积小。
师：这位同学真了不起。请你再猜一猜，圆锥与它等底等高的圆柱体积有什么样的关系呢？
生3：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/2。
师：还有其他的猜想吗？
生4：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：有什么好办法验证自己的猜想是正确的呢？先在小组里交流，再做实验验证你的猜想。（生动手操作）
师：谁来汇报一下？
生5：我选择等底等高的圆锥和圆柱，发现把圆锥装满水倒入圆柱里，倒满了三次，说明圆锥体积是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：其他组实验的情况也和他们一样吗？
生：一样。
师（出示两组大小不同的圆柱和圆锥，如下图）：这两组圆柱和圆锥，圆锥的体积还是圆柱体积的1/3吗？为什么？
生6：这里的圆锥体积不是圆柱体积的1/3，因为它们不是等底等高。
师：这说明了什么？
生7：不是任何一个圆锥的体积都是圆柱体积的1/3。
师：什么样的圆锥与圆柱体积才有1/3的关系呢？
生8：等底等高的圆锥和圆柱。
……
数学抽象地反映了客观世界。在数学学习过程中，学生由于受知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的数学问题，这时候直观图形或者直观模型就能够给学生提供形象的思考和表达的机会，帮助学生把头脑里的数学事实外显化。学生通过操作、实验去验证自己的想法是否正确，不知不觉中，学生的认识变得更丰富了，理解变得更深刻了，思维变得更灵活了，体验变得更强烈了。这样教学，顺应了学生的思维发展，使他们真正掌握了解决问题的策略。
三、观察，发散学生的思维
系统的发散训练，能适当降低思维的难度，给学生的自主学习搭建一个“脚手架”，有利于学生内化数学思想方法，提升思维能力。
例1 如右图，正方形OABC的面积是10平方厘米，O是圆心，求圆的面积。
由图可知，正方形的面积就是r 2，圆的面积就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。
例2 如右图，正方形ABCD的面积是40平方厘米，求圆的面积。
由于有了例1的铺垫，学生能把例2转化为例1——画两条与正方形邻边互相垂直的直径（如右图），这样就把大正方形平均分成了四个小正方形，可以先求出每个小正方形的面积，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圆的面积，所以圆的面积πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。
例3 如右图，求大正方形、圆、小正方形的面积比。
由图可知，先求出大正方形与小正方形的面积比是多少，再求大正方形、圆、小正方形的面积比。有了上面的坡度练习和推理，学生很快能得出结论：大正方形、圆、小正方形的面积比为4∶π∶2。
师：请小组长拿出老师课前发给你们的空心圆柱和圆锥，比一比，看看你们能发现什么？
生：它们的底和高都相等。
师：同学们准备了沙子或米，请同学们自己动手试一试，你能不能利用这些工具来得出圆锥的体积与圆柱的体积之间的关系？
（小组活动）
师：同学们研究得特别认真，你们有什么发现吗？圆柱的体积和圆锥的体积有什么关系？
生1：我发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
师：你是怎么发现的？
生1：我们把圆锥里面装满沙子倒在圆柱里面，倒三次才能倒满，说明，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
师：这是什么样的圆柱和圆锥？
生1：空的。
生2：等底等高的。
师（兴高采烈的）：说得好，这是等底等高的圆柱和圆锥，虽再说说他们体积的关系？
生3：圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。
生4：等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。
师：别的小组也是这样吗？
生（异口同声地）：是。
……
评析：
改变学习方式是本次课程改革的核心，探究性学习作为新课程所倡导的学习方式，非常有利于挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和实践能力。然而，上面的探究，却大打了折扣，存在着几个明显问题。
1.目标不明。
探究性学习一般包括提出问题、确定策略、展开探究、交流结果几个过程。而在上面的片断中，问题的提出和确定策略两个环节全部省略。学生没有经过思索，只是稀里糊涂地按照老师的要求去操作，至于为什么这样做，学生根本不清楚。目标不明，导致了学生兴趣不浓，思维也根本没有被激活，整个探究的过程中学生只充当了被动的操作工。如果教学时先提出问题：探索圆锥的体积。在老师的启发引导下，学生们一定能够从形状的相似上发现圆锥和圆柱的关系最密切，可以借助圆柱来推导圆锥的体积公式。然后，让小组设计、交流研究方案，小组选择比较简便的操作方法展开探究。这样，学生的探究欲望会是多么强烈，探究的方法该是多么丰富多彩。
2. 空间太小。
探索的路总是充满艰辛的，正因为如此，探究的过程才更有魅力。可是，本节课的探究却是格外的一帆风顺，原因在于空间太小。等底等高的空心圆柱和圆锥，学生只需要装装沙子，就可以一下子发现教师需要的结果，没有一点波折，在学生的心里也就激不起什么波澜，狭窄的探究空间，还使得结论中的关键因素“等底等高”没能引起学生的主意，是在老师的追问、强调中学生才意识到的。其实探究中，老师可以选择一些非等底等高圆锥和的圆柱，这样，有的小组一定能得到3倍的结论，而有的小组一定是得不出3倍结论的：或许是圆锥和的圆柱的体积一样多，或许是4倍、5倍关系。在这种情况下，让学生观察实验所使用的工具，在分析比较、互动交流中学生恍然大悟：只有当圆锥和圆柱等底等高时，他们的体积关系才会出现三分之一（或者3倍）的关系。这样的设计，学生的思维才能在广阔的空间内自由驰骋，碰撞出智慧的火花，不仅发现规律，还能积累探究的经验，体验创造的乐趣，促进三维目标的有效达成。
3.没有适时的评价。
当学生得出自己的结论时，教师没有理性而适时的评价，对于学生结论的正确与否，更没有再一次引导探究，只是对得出正确结论的学生给予了简单的评价，没有体现出评价的作用和价值。错误结论的学生没能得到教师的评价，对自己的结论错误的原因没有理清，更是在这个错误之后，没有教师再一次引导，缺失了对正确结论的认识过程，这和我们以前的灌输式教学，有何不同？更不用提学生的积极性自始至终没有得到关注，教师只是一直询问着自己想要的答案，按照预先的教案延续自己的教学。这样，当学生起初的积极性慢慢淡化后，没有适时的评价延续学生持续的兴奋点，教学只能是回到老路上。
关键词 深度学习 教师引导 学生参与
中图分类号：G623 文献标识码：A
深度学习是相对于浅层学习所提出的一个概念，是一种基于理解的学习，它强调学习者要批叛地学习新知识，把它们纳入原有的认知结构，从而帮助决策，解决问题。深度学习鼓励学生积极地探索、反思和创造。与浅层学习相比，它凸显了学生由被动学习向主动学习的转化，关注了学生发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的能力。下面，结合《圆锥的体积》一课的教学，谈谈教师如何引导学生进行深度学习。
1激发学生主动探究的欲望
赞可夫说过：“单纯地听教师讲解，不能调动学生学习的精神力量。”教师的主导作用就在于激发他们的学习热情，促使其积极主动地探索知识。所以，上课伊始，教师可以利用新旧知识的连接点激发学生对圆锥体积探索的兴趣：（1）让学生说说长方体、正方体、圆柱体积的计算方法。因这三个物体的体积都可以用底面积乘高来进行计算，这个问题为下面学生的猜想作了铺垫。（2）让学生猜想：怎样计算圆锥的体积？学生很自然地想到用“底面积乘高”的方法来计算。但有的同学提出了质疑：底面积乘高是计算圆柱体积的，很明显，圆锥体积不能用同样的方法来计算。（3）在学生的讨论中，新的问题油然而生：那么怎样计算圆锥的体积？圆锥的体积与圆柱的体积有什么关系呢？这几个问题激发了学生探究的兴趣，学生有了问题才会有探索，只有主动探索，才会有创造。
2引导学生真正参与探究过程
利用学生已有认知经验，组织学生研究是学生自主学习的良好方式，但在课堂上往往受时空的限制，有时很难有效地完成，要么蜻蜓点水，要么变成个别同学的研究。对于圆锥体积的计算方法，在课堂教学中，很多老师常常是拿来一个圆柱容器、一个与圆柱容器等底、等高的圆锥形容器，老师演示：往圆锥容器中装水或者谷粒，装满后倒入圆柱容器中，让学生仔细观察几次能装满。老师装完，学生也数完，需三次才能装满，于是师生共同得出结论：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。从课堂教学来看，只是老师在做，学生在看，学生只是一个旁观者，没有参与到研究的过程中去，这种学习是机械地、被动地，是一种浅层的学习。
苏霍姆林斯基说过：“在的人内心深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者，研究者、探索者，而在儿童的精神世界中这种需要特别强烈。”只有让每个孩子都动起来，在动手做的过程中，引发思考、启迪思维，学生才会进行深度学习。
我们可以设计这样的探究活动：
2.1课前制作容器
课前让学生用硬纸板制作一个圆柱容器，再做与这个圆柱等底等高、等高不等底、等底不等高，不等底不等高的圆锥容器各一个。别小看这简单的制作活动，在制作容器的过程中，学生需要测量、计算、剪、粘，在动手、动脑的过程中，对圆锥、圆柱的底面积和高又加深了认识，对“等底等高”这个概念有了深入的认识，为新课的学习打下了基础。
2.2课堂演示操作
课堂上以小组为单位，让每个学生都亲自动手操作：用各种圆锥容器为测量工具，往圆柱容器中装谷粒，记录下装满的次数，并填好表格。
将与圆柱与关的四种圆锥罗列出来，让学生分别都动手做一做，旨在让学生明确“与圆柱等底等高”这一前提的唯一性。
2.3组织学生交流
操作完成后组织学生交流各组操作后的发现，学生从自己小组里的信息可发现，只有与圆柱等底等高的圆锥需3次才能将圆柱容器装满，而其它的次数各不相同，这是不是偶然现象呢？教师再汇总全班各小组的数据让学生观察并思考：观察表中数据，会发现什么？学生会发现：所有组与圆柱等底等高的圆锥都需要3次才能将圆柱装满，而其它圆锥装的次数各不相同。
这样在课堂上组织学生交流分享，碰撞研究火花，学生在独立研究的基础上，与同伴在共赢共进中进行深度学习。
2.4启发思考，得出结论
引导、启发学生思考：你发现了什么？圆锥体积和什么样的圆柱体积有关系呢？有什么关系呢？怎样计算圆锥的体积呢？学生从交流中自己会发现：圆锥体积只和与它等底等高的圆柱体积有关系，而且总是这样圆柱体积的三分之一，于是利用圆柱的体积公式推导出：圆锥的体积=底面积赘住？
学习情境的真实展现，学生学习过程的真实展开，是学生自我建构知识结构的必备条件，只有真正经历用已有数学活动经验，不断解决新问题的过程，学生的深度学习才有生命力。
3变式练习培养思维的深刻性
情景再现一：尊重学生的心理需求，自然引入
师：同学们，今天这节课我们开始认识圆锥。你们觉得，我们首先会研究圆锥的什么呢？
生1：体积。
生2：表面积。因为我们以前在学习长方体、正方体和圆柱的时候，都是先研究它们的特征，然后借助特征来研究它们的表面积，最后才研究体积。所以我觉得在研究圆锥时也应该遵循这样的顺序。
（此时教室里已经鸦雀无声，似乎对此同学的观点都表示认同，更有甚者连连点头表示赞许。只有极个别学生仍然坚持“体积”这一观点，理由很简单，因为书上如此。在这些学生的提示下，大伙都忍不住翻开课本瞧个究竟，看得出一个个不服气的面孔上也带着些许疑问。）
师：同学们，你们发现什么了？有疑问吗？
（一个个迫不及待地伸长着手臂）
生1：老师，今天的确是要研究圆锥的体积。
生2：我仔细看了看，书上竟然没有介绍圆锥的表面积！
……
生3：老师，为什么书上没有安排学习圆锥的表面积呢？
师：是呀，我也正在纳闷呢！怎么偏偏只有圆锥这个立体图形没有介绍表面积呢？谁来帮忙解释一下。
学生一片茫然，老师静静地等待。突然一只手非常急促地、兴奋地举过头顶。
生1：老师，研究圆柱表面积的时候，我们从研究它的侧面展开图开始。我想圆锥也应该如此，上次我做圆锥的时候发现它的侧面展开图是一个不规则图形。
生2：它的展开图像扇子一样。
生3：我知道，那是扇形。
（老师欣然点头）
生1（继续侃侃而谈）：圆柱的侧面展开图可以是长方形、正方形，也可以是平行四边形。这些平面图形的面积我们早就学过了，可是扇形的面积计算方法我们却不知道，所以我想要研究圆锥的表面积就必须先研究出扇形的面积计算方法。
（语速稍快的生1很自豪地坐下了，看得出正期待着老师与同学的表扬呢！几秒的停顿，深入的思考，迎来的是那来自全班学生雷鸣般的掌声。）
思考：以往的教学经验告诉我，很多老师在执教这一内容时，都会直接切入正题，把大量的时间留在推导圆锥的体积公式和利用体积公式解决实际问题上。然而学生也随着老师的“引领”云里雾里地学习着，并不能真正了解教材、体会编者的意图。
因此，本节课从学生已有的知识基础出发，唤醒学生对圆柱这一知识体系的学习经验，从而迁移到本节课的学习中，不仅知其然，更要知其所以然――为什么继续研究的是体积而不是表面积？而且为后一环节圆锥体积公式的推导也进一步埋下伏笔。
情景再现二：尊重学生的知识经验，逐步引导
师：既然今天要研究圆锥的体积，你准备怎样研究？（出示：圆锥）
生1：我想圆锥的体积肯定与圆柱有关系。以前研究三角形的面积时，就发现三角形的面积与平行四边形的面积有联系，新旧知识之间总是有联系的。
生2：我们只要拿一个圆柱和一个圆锥，就可以发现它们之间的关系了。
生3：老师，我觉得他说得不够严谨，像我的这个圆柱（很小），如果跟老师的圆锥进行比较，我觉得……
（虽然很难继续表达下去，但学生们似乎都明白了。）
生4：那我们就找一个与圆锥等底等高的圆柱。（教师微笑着拿出一个圆柱）
师：它符合要求吗？为什么？
（举手的同学越来越多，可能想到了讲台上预先准备的水的作用了。）
多名学生齐说：往里面装满水，再倒入另一个里面。
生5：我估计圆锥的体积可能是那个圆柱体积的几分之几。
生6：我估计圆柱的体积可能是那个圆锥体积的几倍。
师：同学们太了不起了，越来越会思考了。谁愿意到前面来演示一下？
（两名学生进行验证）
思考：学生的已有知识经验是学习新知的基础。平时教学时，笔者经常从学生已有的知识经验出发，拉近学生与数学之间的距离，调动学生学数学学习的兴趣。因此，本节课的教学中，学生自然在新知与旧知之间架起了桥梁，为新知的研究指明了方向。
此环节通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，积极主动地发现了等底等高的圆柱与圆锥体积间的关系，进而推导出圆锥体积的计算公式，充分积累了数学活动经验。这不仅能让学生在猜测、验证中体会到数学的趣味性，也能让学生品尝到成功的喜悦。
情景再现三：尊重学生的学习规律，强化感悟
孩子们通过自己的联想、观察、猜测、操作、验证研究出了圆锥的体积公式，带着自己的研究成果顺利地完成了书上的试一试。
试一试
一个圆锥形零件，底面积是170平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？
师：做完这道题目，你有什么想说的吗？
生：太简单了。
师：是啊，对于我们班同学来说确实简单了点。如果你是教材的主编，你会出些什么题目呢？
生1：我不会直接告诉你圆锥的底面积，可能会告诉你圆锥的底面直径和圆锥的高；或者提供圆锥的底面半径和高，要求计算圆锥的体积。
师：很好！确实增加了一点难度，能解决的同学请举手。
生2：已知圆锥的底面周长和高，要求圆锥的体积。
生3：老师，我这还有一个更难的。已知一个圆柱的侧面积和底面直径，要求与它等底等高的圆锥的体积。
判断下面的圆锥与哪个圆柱的体积相等。（单位：cm）
生1：一个圆柱和一个圆锥，底面积相等，体积也相等……
没等这位同学说完，生2急不可待地说：那么圆锥的高肯定是圆柱高的3倍。
沉思之后，有学生突然说出：书上第5题就有这样的图。所有学生的目光立即转移到了课本上，寻找着那样的两个图形。原本第二课时需要着重处理的圆柱和圆锥之间的关系竟然提前高效地完工了。
思考：学生获得知识与形成能力的方法有所不同，知识靠接受和理解获得，能力则要通过能动的实践和体悟形成，但获得知识、形成能力都需要学生“感悟”。因此，教师在教学中必须尊重学生学习的规律，让学生主动地经历“悟”的过程，进而促进数学能力的提高。基于此，本课的练习几乎是在学生的对话中生成，并逐步感悟的。“授人以鱼，不如授人以渔。”
二、教学目标
1、知识与技能：使学生在具体的情境中认识圆锥，知道圆锥各部分的名称，掌握圆锥的特征，了解圆锥高的测量方法。
2、过程与方法：通过让学生动手摸一摸，量一量，
培养学生的动手操作能力，思维能力。
3、情感态度与价值观：用生活中的圆锥让学生体会所学知识的生活价值，培养学生热爱数学学习的情感、态度。
五、教学重点及难点
教学重点：圆柱圆锥的特征。
教学难点：圆锥的高的测量方法。
六、教学过程
教师活动
预设学生活动
设计意图
今天我给大家带来一则谜语，看：谁来读?
猜谜语：
身体长得细又长，天生美丽黑心肠，
上平下尖纸上爬，越爬越短越伤心。
（打一学习用品）
师：你读得真准确！谁来猜？恭喜你！猜对了。（出示答案）
2、复习旧知，引入新课。
课件出示一支圆柱形铅笔。
教师问：同学们这支铅笔是什么形状的？你能说说它具有什么特征吗？
师：圆柱的特征同学们掌握得非常好，今天我们学习一种新的几何形体，请同学们仔细观察屏幕。
课件演示：用转笔刀削铅笔，把削成的笔尖部分（圆锥体）垂直切下来。
师：这还是圆柱体吗？被切下来的是什么几何形体呢？
师揭示课题：我们把像这样的几何形体叫做圆锥体，简称圆锥，我们所学的圆锥都是直圆锥。今天我们就来学习《圆锥的认识》。板书课题
课件出示书中的三个图片
师：观察这些物体的形状有什么共同的特点？
课件演示他们抽象出的平面几何图形，总结：像图中这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥。
同学们想一想，在日常生活和生产劳动中，你都看到过哪些物体的形状是圆锥体的？你也可以把课下收集的圆锥形物体拿出来给大家看。
同学们很善于观察，请同学们拿出圆锥体模型，看一看、想一想，你都想知道有关圆锥的哪些知识？
出示自探提示，激励学生自探。
拿出圆锥体模型，看一看、摸一摸、玩一玩、也可以猜一猜你能发现什么？想一想，回答下面问题：
（1）圆锥有几部分组成？分别是什么？
（2）什么是圆锥的高？圆锥有几条高？
（3）圆锥侧面展开图是什么图形？
（4）怎样测量圆锥的高？你还能想到什么方法？
指名读谜语，大家猜谜语。
生：是圆柱体。它的特征是：圆柱有三个面，有上下两个底面，是完全相同的两个圆；有一个侧面是曲面，两个底面之间的距离叫做圆柱的高，有无数条高。圆柱侧面展开是长方形。指名回答。
同学们可以拿出准备好的转笔刀，跟着操作。
生：不是。是圆锥体。
预设：顶部是尖尖的，底面是个圆。
生1：冰激凌外壳的形状是圆锥体的。
生2：漏斗的形状是圆锥体的。
生3：盖房子用的铅锤的形状是圆锥体的。
生可能提出：
1、我想知道圆锥的特征。
2、我想知道圆锥有几条高？它的高指的是什么？
3、我想知道圆锥的侧面展开是什么形状的？
4、我想知道圆锥的体积应怎样计算？
5、我想知道圆锥的表面积该怎样计算？
学生自主学习。
下面请同学们根据自探提示，自学教材第31～32页内容，独立思考，逐一探究解决。
数学源于生活，从生活中找数学，才会是“活”数学，有意义的数学。我在教学中从生活中“找”数学素材，多让学生到生活中找数学、想数学，真切地感受到生活中处处有数学。谜语导入，学生就不会对数学有枯燥感，可以产生学习的兴趣。
回顾之前学习圆柱有哪些特征？这样可以使我了解到学生的学习现状，及时巩固已学过的知识为本节课的学习做好铺垫。
利用转笔刀削铅笔，这一学生所熟悉的活动，把削成的笔尖垂直切下来，观察被切下来的是什么几何形体，让学生感受到数学源于生活，从而激发学生的学习动机和兴趣。
让学生列举在日常生活和生产劳动中的圆锥形物体，使学生感觉到圆锥与我们的生活关系非常密切，从而激发学生的学习动机和兴趣。通过举例，使学生从整体上认识圆锥体，形成初步的表象，在此基础上抽象出几何图形，由物到形，由生活走向数学，引导学生对照模型想图形，在头脑中形成圆柱和圆锥的表象，帮助学生形成空间观念。
让学生学会质疑，培养学生的问题意识，目的就是激发学生的探究欲望。。
师：把你观察到的，感觉到的告诉给你小组的同学，小组同学共同探讨刚才大家提出的问题
小组交流、讨论。教师深入小组和学生一起进行探讨。
师：哪组愿把你们的研究成果展示给大家。
师：通过刚才的学习，我们掌握了圆锥各部分的名称。请同学们拿起圆锥体模型，小组同学互相说说圆锥各部分的名称。找同学谁愿意到前面说说圆锥各部分的名称：圆锥有一个顶点，底面是一个圆，侧面是一个曲面。
师：同学们对于圆锥的高有几种不同的看法，谁的说法是正确呢？请同学们小组进行讨论。
师：哪些同学同意某某的说法。老师也同意这位同学的说法。请同学们仔细看屏幕。
师：这条黑色的虚线就是圆锥的高。谁愿意说说圆锥的高指的是什么？
（手指母线,这条是不是圆锥的高?为什么不是？你能举个例子驳倒他吗？出示等高但母线不等的两圆锥，测量母线的长，发现长短不一，得出母线不足以代表圆锥的高。）
师：请同学们打开书32页看第三自然段最后一句话，谁来读。
（指名读、齐读高的定义）师：哪一组还有发现。
先想一想，然后利用课下大家准备的材料，小组同学共同探究圆锥的高的测量方法。
教师用课件演示侧面展开的过程。（强调沿母线剪开）
探究测量圆锥高的方法。
师：通过刚才的学习我们掌握了圆锥的特征及圆锥各部分的名称，我们知道圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离，那怎样来测量圆锥的高呢？
课件出示测量高的方法
（强调：测量时，圆锥的底面要求水平的放；上面的平板要求水平地放在圆锥的顶点上面；我们认为不管用什么方法，都应该注意小尺测量时要从“0”刻度开始）
同桌合作填表，比较圆柱与圆锥特征
名称
圆柱
圆锥
底面
高
侧面
圆锥与圆柱的区别？
生汇报：（预设展示过程）
A、圆锥特征
①我们发现圆锥上面细，下面粗。
②圆锥有一个尖尖的部分，摸起来很扎手。我们把它叫做顶点。
③圆锥有一个弯曲光滑的面，我们可以把它叫做侧面。这个面是曲面。
④圆锥有一个圆形的面，我们可以把他叫做底面。
B、圆锥的侧面展开。
我们发现圆锥的侧面展开是扇形。（举起给同学们看，一名同学把展开的图形贴在黑板上）
C、圆锥的高
①我们发现圆锥的高是从圆锥的顶点到底面之间的距离。
②圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离，我们认为圆锥只有一条高。
③圆锥的高是圆锥的底面到顶点的线段的长。
④我们认为他们说的不准确，圆锥的高是从圆锥的顶点到底面的距离。它应该有无数条高。因为从圆锥的顶点引一条与底面平行的线，这样就可以作出无数条高。
小组进行讨论。
生试说圆锥的高：
圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。因为圆锥只有一个顶点和一个底面圆心。
D、测量圆锥的高
学生汇报：
生1：我们小组是这样测量的，先把圆锥底面放平，用直尺水平地放在圆锥的顶点上，用三角板竖直地量出圆锥的高
生2：我们小组的方法和他们的差不多，只是用小尺竖立在桌面上，然后用三角板通过顶点与直尺垂直。
生3：我认为这种方法比第一种测量准确。因为三角板这样放在圆锥的顶点上可以与直尺保持垂直，准确地测量出高
生4：我们是这样测量的，把圆锥的底面朝下倒立在桌面上，把小尺放在圆锥的底面上，然后用三角板垂直地测量出顶点到底面之间的距离。
生5：用直尺测量圆锥点到底面边缘的长度。
生6：他说的这种说法是错的，圆锥的高是顶点到底面圆心的距离。
生7：我们认为不管用什么方法，都应该注意小尺测量时要从“0”刻度开始
同桌配合说特点
放手让学生自主探究圆柱的特征，通过课件演示，学生看一看、摸一摸、比一比、量一量、议一议等活动，让学生亲身经历知识的形成过程，进一步整体感知圆锥，加深对圆锥的认识，培养学生的空间观念，建立对圆锥的表象的认识；
通过举例认识高，将抽象的数学知识形象化，便于理解；通过小组合作，交流认识、动手操作，培养了学生的合作能力。
让每个学生自主参与验证活动，而且使学生在经历观察、操作、分析、推理和想象活动过程中解决问题，发展空间观念和论证推理能力。
在多方交流与讨论、积极思考、发表想法。从而使测量高的方法得到一步一步的完善。特别可能出现一种错误的测量高的方法，更加强了学生对高的认识，使学生从中享受成功的喜悦。
通过比较圆柱和圆锥的异同，使学生深化认识圆柱和圆锥的特点。让学生想象，培养学生的空间想象力，加强了圆柱和圆锥的联系，为后面学习圆柱和圆锥的体积关系作铺垫。
课堂练习
1、在下面的图形中找出哪些是圆锥。
2、说出下面各圆锥的高。（单位：厘米）
3、判断。（打手势）
（1）圆锥的侧面是曲面。
（
）
（2）圆柱侧面展开是长方形，圆锥侧面展开也是长方形。
（
）
（3）从圆锥的顶点到底面任意一点的线段叫做圆锥的高。
（
）
（4）
圆锥的底面是圆形。
（
）
4、实践活动
（1）把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出什么形状。
（2）把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出什么形状。
5、思考题
如果一个直角三角形的两条直角边分别长8厘米和6厘米。（1）以长边为轴旋转一周所得圆锥的底面直径是多少厘米，高是多少厘米？
同学答题
分层次测试，多元评价。让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，获取成功并体验成功的喜悦。
这一环节让学生在“玩”中又一次从旋转角度认识了圆锥。同时我将书中的直角三角形旋转拓展到等腰三角形旋转，并进一步追问三角形与旋转后形成的圆锥之间的关系。学生在经历动手操作后能够很轻松的理解并解答教师的问题，真正做到了让学生在有趣的活动中去发现，去创造。
这节课我们学习了什么？通过这节课的学习你都学会了什么？
八、板书设计
圆锥的认识
顶点
侧面
高
一个顶点
展开图是扇形
一条
九、教学反思
教学下来感到基本比较顺，在课中有几点惊喜：
1、学生们的想象力已经初步形成，这对于学生们认识图形很有帮助。这一点体现在：（1）学生对圆锥的认识很清楚：在没有课件演示的情况下，头脑中能想象出圆锥与圆柱之间的关系。
（2）对高的认识与测量：学生们通过观察、测量，理解了圆锥侧面积上的直线是扇形的半径，但半径不是圆锥的高，圆锥的高是看不见的，但是可以测量。
（3）
关键词：知识生成过程；数学概念；思维转换；举一反三
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）33-068-01
数学教学中，我常常因为无法打开学生的思路而苦恼。书上的练习学生大部分都会计算，但是你一但将其放在试卷中或者稍作变换时，学生往往一片茫然，不是做错就是不会。我也曾将这一现象戏称为“不良反应”，究其实，产生这一现象的原因有：学生对考试的恐惧心理造成的思维停滞和知识盲区；学习过于死板，应变能力不强；所学知识没有融会贯通，缺乏自信。基于上面的分析，在课堂练习中，我将变式练习作为学生训练的重点，从基本概念中展开，教会学生举一反三，逐类旁通。
在圆柱表面积和体积、圆锥体积的计算练习中，我曾进行过如下的尝试：
一、从圆柱与圆锥的形成入手，强化数学概念理解：
“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；体验简单图形的运动过程，能在方格纸上画出简单图形运动后的图形，了解确定物置的一些基本方法；掌握测量、识图和画图的基本方法。”
在圆柱概念形成的过程中，学生知道以长方形的一边为轴，旋转一周，便形成了一个圆柱。教学中，我以此出发点指导学生进行变式训练。
例、将一个长为3cm ，宽为1cm 的长方形，以一条边为轴进行旋转，所得到的圆柱，它的表面和体积各是多少？
在这一题目的计算中，学生要从两个角度进行考虑：
（1）以 a=3cm 为轴进行旋转，得到的圆柱为：底面 r=3cm h=1cm.
（2）以b=1cm为轴进行旋转，得到的圆柱为：底面 r=1cm h=3cm .
通过这两个层次的解析，使学生明确了数学概念内涵和外延，强化了学生数学思维的深度，拓展了数学思维的广度。其次通过计算的结果对比，也让学生明确了圆柱表面积和体积的大小，与地面半径和高的大小有着密不可分的关系，联系生活实际，学生为自己的豁然顿悟，感到了兴奋和自豪，增强了学习数学的兴趣。
思考与训练：1、将一边长为 2cm 的正方形，以一条边为轴进行旋转，所得圆柱，它的表面积和体积各是多少？
2、将例题中的长方形如果以对角线为轴进行旋转，所得的图形是什么图形，你能算出它的体积吗？试试看。
有了圆柱概念形成的经验，我又让学生以两个三角板（正三角板和斜三角板）的直角边为轴，进行旋转。看看可以形成几个圆锥，你能算出他们的体积吗？学生个个兴趣盎然，跃跃欲试。通过这一变式训练，不仅强化了学生对于数学概念的掌握，同时也使得他们对圆柱表面积和体积以及圆锥体积的计算有了更深刻的认识。
二、变化公式条件，增强数学灵活性。
“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”
圆锥体积的计算公式是从与圆柱的对比实验中得到的 V= 1/3Sh 。这一结论有一个重要的条件：圆柱和圆锥等底等高。在一般的计算中，学生是不用考虑这一要素的，只要是圆锥，就按公式计算出体积就可以了。但在圆锥与圆柱的对比练习中，这一要素就显得尤为重要学生稍有不慎，就会思想模糊容易出错。其实质是公式理解不到位舍本求末，灵活性太差。为此，在练习中我进行如下的尝试训练：
（1）体积底面积相等，圆柱与圆锥的高有何关系？（圆柱是圆锥高的1/3）
（2）体积高相等，圆柱与圆锥的底面积有何关系？（圆柱是圆锥底面积的1/3）
通过训练和对比分析，学生从最基本的结论“底面积和高相等，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍”推演和验证了，圆柱和圆锥体积及其构成要素之间的密切联系，以及在各要素之间相互变化时产生出不同的结论。从而感受到了数学的“求变”思想和变化的无穷魅力。
三、截剖变形，转换思维角度。
为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面目标有机结合，整体实现课程目标。
圆柱与圆锥在教学过程中，更要注意其几何体的特点及其形成过程，让学生在这一动态的生成过程中，细心的观察、发现、感受其特点，从而从本质上掌握定义公式性质等解决问题的基本要素，才有可能在形变的过程中进行灵活的演变，抓住其核心和关键的计算要素，灵活正确的处理和解决问题。
圆柱与圆锥的形成都是通过长方形和直角三角形旋转得到的，那么这个截剖变形就是有章可循的。为了增强学生求异思维，在数学练习中，进行简单的“破坏”原型几何体的训练，就显得非常重要。
例：一圆柱高为3米，沿地面直径将它剖开，表面积增加了12平方米，请问这个圆柱的体积是多少平方米？
通过训练使学生明确了，无论截还是剖，都是通过转化条件的方式来考察我们解决问题灵活性。这就要求我们在解决数学问题时，首先从数学概念的原始形成入手，注重知识生成过程的分析，全方位多角度掌握概念和公式的应用，举一反三，逐类旁通，只有这样，才会在数学解题时思维活跃，得心应手，增强自信。
一、以学生为主――激发主动，发挥主体
“以学生为主”强调研究学生，研究学习方法。我们不仅要研究教师如何教，如何处理教材，更重要是研究学生如何学。那么，怎样才能激发主动，发挥主体作用呢？
（1）激发学生学习的兴趣及调动学生学习的积极性。一堂课成功与否，就在于能否调动学生学习的积极性，使学生由“要我学”到“我要学”。就要学生多动脑、多动手、多看、多听，充分体现学生为主体。
（2）学生主动参与课堂教学，发展自我。例如：在教学圆锥体积，先组织学生观察比较出空圆柱、圆锥是等底等高后，再分组进行操作，将空圆锥盛满红色的水（或沙子），倒入等底等高的空圆柱内，观察需几次才能将它装满，进而引导学生推导出求圆锥体的体积公式：V圆锥体 = V圆柱体，V圆柱体 = 3V圆锥体。因此，学生作为学习的主体在学习活动中的主动和能动作用发挥得如何，实践活动进行如何，将直接影响学习的效果。只有通过自身的操作活动和主动参与实践，才是最有效的途径，学生的主动性、主体作用才能得到体现。
二、以自学为主――自主参与，培养能力
自学是为学生在尝试活动中自己解决问题提供信息。传统的教学只是在教师讲解后让学生看书。要改变学生被动接受教师讲解的模式，就要使自学成为学生主动的要求，自学前要明确提出目标，看什么，怎样看，解决什么问题，不能让学生盲目地自学;自学后应该及时检查、评价。同时，学生在自学过程中也不能忽视教师的主导作用。例如：教学圆锥体积，教师可根据新知识的重、难点编写一些自学提纲指导学生自学：
（1）我们用来做实验的圆锥和圆柱有什么关系？
（2）将空圆锥装满红色的水（或沙子）倒入空圆柱，几次倒满？
（3）通过实验你发现了什么？
（4）怎样求圆锥的体积？
让学生在操作实践中自主参与，独立思考、独立自学，充分调动学生的积极性，同时发挥教科书的示范作用，促使学生自学能力的培养。
三、以练习为主――促进思维，发展能力
一堂数学课设计应以练习为主线，而尝试教学法则体现了“以练习为主”的六层次的练习系统：基本练习、准备题、尝试题、第二次尝试题、课堂作业题、思考题。那么，尝试教学中练习设计如何让学生积极参与，促使学生掌握知识、形成技能、发展思维？
（1）练习设计要有目的性。教师要根据教学的重难点和教学目的来设计练习。设计练习要有代表性，要利于帮助理清知识的联系与区别。
（2）练习设计要有层次性。练习必须经过模仿、熟练和创造三个阶段。练习的设计要有坡度，由层次，难易适度，适合儿童特点，符合学生智力发展和认知规律，由会到熟，由熟到巧的转化过程。
（3）练习设计要有启发性。启发学生借助已有的知识、经验，主动地获取新知识和解决问题。如：一个圆柱底面积是314平方厘米，高8厘米，一个圆锥和它体积相等，底面积也相等，这个圆锥的高是多少？学生读题后小组进行讨论：这道题求圆锥的高，要知道什么条件？圆锥的体积、底面积与圆柱有什么关系？怎样求圆锥的高？教师引导学生用方程与算术两种解法，启发学生比较得出：当一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍;圆柱高是圆锥高的。这样，学生的主体作用得到充分发挥，就能发掘他们的思维潜力，培养他们探索能力和创造能力。
本节内容是在学生了解了圆锥的特征，掌握了圆柱体积的计算方法基础上进行教学的，教材重视类比、转化思想的渗透，引导学生经历“猜测、实验、探究、推理”的探索过程，理解掌握求圆锥体积的计算公式，会灵活运用公式计算圆锥的体积。这样不仅帮助学生建立空间观念，还能培养学生抽象的逻辑思维能力，激发学生的想象力。
数学课程标准中指出：应放手让学生经历探索的过程，在观察、操作、推理、归纳、总结过程中掌握知识、发展空间观念，从而提高学生自主解决问题的能力。
1、知识与技能：掌握圆锥的体积计算公式，能运用公式求圆锥的体积，并且能运用这一知识解决生活中一些简单的实际问题。
2、过程与方法：通过“直觉猜想——试验探索——合作交流——得出结论——实践运用”探索过程，获得圆锥体积的推导过程和学习的方法。
3、情感、态度与价值观：培养学生勇于探索的求知精神，感受到数学来源于生活,能积极参与数学活动,自觉养成与人合作交流与独立思考的良好习惯。
【教学重点】圆锥体积公式的理解，并能运用公式求圆锥的体积。
【教学难点】圆锥体积公式的推导。
【学情分析】
学生已学习圆柱的体积计算公式和圆锥的特征，在教学中采用放手让学生思考、操作、小组合作探讨等形式，让学生在研讨中自主思考，发现问题并运用学过的圆柱知识迁移到圆锥，通过实验验证，得出结论。对于通过实验操作研究，孩子们有热切的期盼。
【教法学法】实验操作探究法 小组合作研讨法
【教具学具准备】多媒体课件，等底等高圆柱圆锥各15个，米（若干）。
【教学过程】
1、出示情景画面：文老师家里有一个圆柱体的粮仓，去年丰收的时候，不仅装了满满一仓，还多出一堆粮食，刚巧是一个与粮仓等底等高的圆锥体。你能帮我算一算，去年我家共收粮食约多少吨吗？(得数保留两位小数)
【设计意图】以最亲近的老师在生活中遇到的数学问题的形式进行情景设置，引疑激趣，激发学生积极开动脑筋帮助老师解决问题。孩子们纷纷献计献策，在孩子们的讨论中得出可以测量出底面圆的周长和高，但是很难求出圆锥体的体积。激情受阻，在这个时候引导学生对新问题的探究：圆柱与圆锥底面积和高都相等，能使学生全身心投入到知识研讨中，高效率地获取新知，水到渠成。
2、揭示课题:圆锥的体积
探究一：等底等高圆柱与圆锥的体积之间有什么关系？
1、猜想与实验：大胆提出猜想，明确实验步骤及注意事项后，每组拿出等底等高的圆柱、圆锥（装有适量的米），验证猜想。
【设计意图】通过小组讨论，提出猜想与假设，为操作探究活动作好了铺垫。
2、小组汇报试验结论（提醒学生汇报出试验步骤）
3、分析归纳总结试验结论。
4、你能用字母表示出它们的关系吗？
【设计意图】在实验过程中让学生亲历自主猜想、实验验证、归纳小结的过程，充分调动学生主动探索的意识，激发了学生的求知欲，培养了学生的动手能力，突出了教学的重点，突破了本课的难点。
1、判断题。
2、口答题。
3、应用题。
【设计意图】通过判断题、口答题题型的训练，及时检查学生对所学知识的理解程度，巩固了圆锥体的体积公式。而应用题具有生活实践性，开放性给学生提供思维发展的空间，让他们有跳起来摘果子的机会，以达到培养能力、发展个性的目的。
这节课你学到了什么呢？有哪些收获？
【设计意图】孩子们会幸福地分享本节课知识、思维方法、操作方法等多方面的体会与感受，极具满足感的幸福交流。
研究体积相同但等高不等底或等底不等高的圆柱与圆锥之间的关系。
【课后反思】
本节课最具成功的亮点在于：
一、以情孕课。课堂教学始终抓住学生的情感发展变化和心理需要，有效设计学习活动和过程，让孩子们充分地在活动中大胆想象、实验探究、合作研讨，突出了重点，突破了难点。更让孩子们体会到了成功的喜悦，分享到学习的乐趣。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
1.每公顷小麦产量一定，种小麦的面积和总产量（
）。
A．不成比例
B．成正比例
C．成反比例
2.圆柱的表面积等于侧面积加上（
）
A．底面积
B．底面积×2
C．底面周长
3.在比例尺是1：20000的地图上，图上距离是5厘米，则两地实际距离是（
）千米．
A．0.1
B．1
C．100
4.一个圆柱形的油桶可装180L汽油，它的（
）是180L．
A．体积
B．容积
C．表面积
D．质量
5.在一幅地图上，用20厘米的线段表示30千米的实际距离，那么这幅地图的比例尺是（
）
A．1：1500
B．1：15000
C．1：150000
D．1：1500000
6.打一份稿件，甲用6分钟，乙用8分钟，甲乙两人工作效率的最简比（
）
A.
6:8
B.8:6
C.3:4
D.
4:3
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
7.（2分）工作总量一定，工作效率和工作时间成
比例．
8.一幅地图，图上9厘米表示实际距离270千米，这幅地图的比例尺是(
)。
9.在比例尺为1：2000000的这个地图上，量得北京到郑州的距离是32厘米；把它画在比例尺为的地图上。应画(
)厘米。
10.
是
比例尺，改写成数值比例尺形式应该是
．
11.
5：9=20÷
．
12.一支牙膏的出口处直径为5毫米，每次挤1厘米长的牙膏，可以用40次，这支牙膏的容积是
立方毫米（圆周率取3.14）
13.一个圆锥的底面直径和高都是6cm，它的体积是
cm3．
14.两地相距10千米，画在图上为10厘米，这幅图的比例尺是
．
15.在比例尺是1：4000000的地图上，图上
cm表示实际距离
km．
16.一个圆柱形水池的内壁和底面都要抹上水泥，水池底面直径是4米，水池深15分米．抹水泥的面积是
平方米．
评卷人
得分
三、判断题
17.（3分）如果a：b=2：3，那么a与b的和是5
．（判断对错）
18.（1分）（2012华亭县模拟）圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积小．
．（判断对错）
19.把一个圆柱削成最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥的2倍．
．（判断对错）
20.圆柱体的底面直径是3厘米，高是9.42厘米，它的侧面展开后是一个正方形．
．（判断对错）
21.用两枚五角的硬币同时抛掷空中，结果是一枚数字朝上、一枚数字朝下的可能性约占总次数的50%．
．
评卷人
得分
四、计算题
22.求下面形体的体积。（单位：米）
23.（2011秀屿区）
求未知数x的值
（1）x：=8：2
（2）x比它的20%多20．
24.求圆锥的体积（单位：厘米）．
25.解比例．
56：X=7：8
：X=：
3.2：0.6=X：4.5．
26.计算下面立体图形的体积：
评卷人
得分
五、解答题
27.要建一个圆柱形状的水池。底面直径4米，深1.8米。要粉刷它的底面和侧面，粉刷面积至少是多少平方米？
28.在一幅1：20000000的地图上，量得甲、乙两地机场距离为9厘米，一架飞机以每小时750千米的速度从甲机场飞往乙机场，需要飞行几小时？
29.（2012安溪县）一个锥形沙堆，底面积是28.26m2，高是2.5m，用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少米？
30.（2014利辛县）一个圆柱形铁皮烟囱，底面直径是1.2米，高2米，将它的外表面涂上防锈漆，平均每千克油漆可涂2.4平方米．涂10个这样的烟囱需要油漆多少千克？
31.一堆圆锥形的沙子，底面周长是6.28米，高1.2米，每立方米沙重1.5吨．这堆沙重多少吨？
参数答案
1.B
【解析】1.
考点：正比例和反比例的意义。
分析：根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系。
解答：
种小麦的面积和总产量是两种相关联的量，它们与每公顷小麦产量有下面的关系：
总产量：种小麦的面积=每公顷小麦产量（一定）；
已知每公顷小麦产量一定，也就是总产量与种小麦的面积的比值一定，所以种小麦的面积和总产量成正比例。
2.B
【解析】2.
试题分析：根据圆柱体的表面积的意义和它特征，圆柱体的特征是：上下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形，它的侧面积加上两个底面积就是它的表面积．由此解答．
解：根据圆柱体的表面积的意义和它的特征，圆柱的侧面积加上两个底面积就是它的表面积．
故选：B．
【点评】此题主要考查圆柱体的表面积的意义和它的特征．
3.B
【解析】3.
试题分析：要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可．
解：5÷=100000（厘米）
100000厘米=1千米
答：两地的实际距离是1千米．
故选：B．
【点评】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
4.B
【解析】4.
试题分析：一个圆柱形的油桶可装180L汽油，就是说这个油桶所能容纳的汽油的体积是180L．根据容积的意义，物体所能容纳物体的体积叫物体的容积，这个油桶的容积是180L．
解：一个圆柱形的油桶可装180L汽油，它的容积是180L；
故选：B．
【点评】本题是考查容积的意义，容积与体积是两个不同的概念，要注意区分．
5.C
【解析】5.
试题分析：图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=”即可求得这幅图的比例尺．
解：因为30千米=3000000厘米，
则20厘米：3000000厘米=1：150000；
故选：C．
【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
6.D
【解析】6.本题考查有关工作效率的问题。工作效率表示1分钟能打多少字，把这份稿件看作“单位1”，甲的工作效率是1÷6＝，乙的工作效率是1÷8＝，：＝÷＝×8＝＝＝4:3。
7.反．
【解析】7.
试题分析：根据正反比例的意义，分析数量关系，工作总量是一定的量，然后看那两个变量工作效率和工作时间之间是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
解：工作效率×工作时间=工作总量（一定），
可以看出，工作效率与工作时间是两种相关联的量，工作效率随工作时间的变化而变化，
工作总量是一定的，也就是工作效率与工作时间相对应数的乘积一定，所以工作效率与工作时间成反比例关系．
故答案为：反．
点评：此题重点考查反比例的意义．
8.1:3000000
【解析】8.比例尺等于图上距离除以实际距离，所以比例尺是9厘米：270千米=9厘米：27000000厘米=1:3000000。
考点：比例尺的计算。
9.20
【解析】9.先求甲、乙两地的实际距离，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值，计算出甲、乙两地间的实际距离，进而根据“实际距离×比例尺=图上距离”解答即可。
解：32÷×
=64000000×
=20（厘米）
考点：比与比例。
规律总结：解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系：实际距离×比例尺=图上距离，进行解析解答即可得出结论。
10.线段，1：12000000
【解析】10.
试题分析：图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离：实际距离”即可将线段比例尺改为数值比例尺．
解：120千米=12000000厘米，
所以是线段比例尺，改写成数值比例尺形式应该是1：12000000．
故答案为：线段，1：12000000．
点评：此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
11.36
【解析】11.
试题分析：解答此题的关键是5：9，根据比与除法的关系，5：9=5÷9，再根据商不变的性质，被除数、除数都乘4就是20÷36．
解答：解：5：9=20÷36．
故答案为：36．
点评：此题是考查比与除法的关系、商不变的性质．利用它们之间的关系及性质即可转化．
12.7850
【解析】12.
试题分析：我们运用底面积乘以长就是一次使用的牙膏的体积，再乘以40就是这支牙膏的容积．
解答：解：1厘米=10毫米
3.14×（5÷2）2×10×40，
=3.14×62.5×40，
=196.25×40，
=7850（立方毫米）；
答：这支牙膏的容积是7850立方毫米．
故答案为：7850．
点评：本题运用“底面积×高=体积”进行计算即可．
13.56.52．
【解析】13.
试题分析：根据圆锥的底面直径求出圆锥的底面积，然后代入圆锥的体积公式计算即可．
解：V锥=πr2h，
=×3.14××6，
=×3.14×9×6，
=56.52（cm3）
故答案为：56.52．
【点评】此题考查了圆锥的体积计算，求其体积时不要漏乘．
14.1：100000．
【解析】14.
试题分析：根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
解：10千米=1000000厘米，
10：1000000=1：100000；
答：这幅图的比例尺是1：100000．
故答案为：1：100000．
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
15.1，40．
【解析】15.
试题分析：根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
解：比例尺是1：4000000的地图上，图上1cm表示实际距离4000000厘米，
4000000厘米=40千米
即
图上1cm表示实际距离40千米．
故答案为：1，40．
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
16.31.4．
【解析】16.
试题分析：由题意知：抹水泥的面积应是侧面积加上底面积，可利用各自的面积公式分别求出再加在一起；但要注意同一单位，也就是把“15分米”化成“1.5米”．
解：15分米=1.5米；
3.14×4×1.5+3.14×（）2，
=3.14×6+3.14×4，
=3.14×10，
=31.4（平方米）；
故答案为31.4．
【点评】此题是考查圆柱相关面积的计算，要先弄清是求哪些面的面积，再据面积公式解答．
17.错误
【解析】17.
试题分析：根据比的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例；由a：b=2：3，可知：假设a是2，则b是3；假设a是4，b就是6；假设a是10，b就是15，因为a不确定，所以b也不确定所以a+b的和也不确定；据此判断即可．
解：由分析知：如果a：b=2：3，那么a与b的和是5，说法错误；
故答案为：错误．
点评：解答本题的关键是理解比的意义，能够灵活运用知识解答一些简单的问题．
18.正确
【解析】18.
试题分析：因为圆锥体的体积等于和它等底等高的圆柱体体积的，把圆柱体体积看做单位“1”，圆锥体的体积就是，所以圆锥的体积比与它等底等高的圆柱的体积小1﹣=．
解：1﹣=．
故答案为：正确．
点评：此题根据“圆锥体的体积等于和它等底等高的圆柱体体积的”，找出单位“1”，即可解答．
19.√
【解析】19.
试题分析：把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则这个圆柱与圆锥等底等高，所以圆柱是圆锥的体积的3倍，则削去部分的体积是圆锥的体积就是的2倍，由此即可判断．
解：圆柱与圆锥等底等高，所以圆柱是圆锥的体积的3倍，
则削去部分的体积是圆锥的体积就是的2倍，所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】抓住圆柱内最大的圆锥的特点，利用等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系即可解决此类问题．
20.×
【解析】20.
试题分析：根据圆柱体的特征，侧面沿高展开得到一个长方形（包括正方形），这个长方形的长等于圆柱体的底面周长，宽等于圆柱体的高．再根据圆的周长计算公式进行解答．
解：圆柱体的底面周长：3.14×3=9.42（厘米）；在这里圆周率π取它的近似值是3.14，
所以圆柱体的底面周长约等于它的高，所以，它的侧面沿高展开后是近似一个正方形．
故答案为：×．
【点评】此题主要考查圆柱体的特征，及圆柱体的侧面展开图的形状．
21.√
【解析】21.
试题分析：把两枚五角的硬币同时抛掷空中，结果有以下四种情况：①两枚都向上，②两枚都向下，③第一枚向上，第二枚向下，④第一枚向下，第二枚向上；第三种情况和第四种情况是一样的，即占2种，根据可能性的求法，用除法解答即可．
解：共出现4种情况：：①两枚都向上，②两枚都向下，③第一枚向上，第二枚向下，④第一枚向下，第二枚向上；
其中一枚数字朝上、一枚数字朝下有两种可能，则：2÷4=50%；
故答案为：正确．
【点评】解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答，进而得出结论．
22.376.8立方米
【解析】22.本题是考察圆锥的体积的计算的相关问题。运用相关公式直接计算即可。
d=12m，r=6m，h=10m
V锥=
V=sh÷3
=π×r×r×h
÷3
=3.14×6×6×10
÷3
=376.8（立方米）
23.（1）x=10；（2）x=25
【解析】23.
试题分析：（1）根据比例基本性质，两内向之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以2即可，
（2）依据题意可列方程：x﹣20%x=20，依据等式的性质即可解答．
解答：解：（1）x：=8：2，
2x=8，
2x=20，
2x÷2=20÷2，
x=10；
（2）x﹣20%x=20，
80%x=20，
80%x÷80%=20÷80%，
x=25．
点评：本题主要考查学生依据等式的性质，以及比例基本性质解方程的能力，解答时注意对齐等号．
24.29.4375立方厘米．
【解析】24.
试题分析：根据圆锥的体积公式：v=sh，把数据代入公式解答．
解：×3.14×（5÷2）2×4.5
=3.14×6.25×1.5
=29.4375（立方厘米）
答：圆锥的体积是29.4375立方厘米．
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用．
25.64；；24．
【解析】25.
试题分析：（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把原式改写成7X=56×8，然后等式的两边同时除以7即可；
（2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把原式改写成X=×，然后等式的两边同时除以即可；
（3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把原式改写成0.6X=3.2×4.5，然后等式的两边同时除以0.6即可．
解：根据题意可得：
（1）56：X=7：8，
7X=56×8，
7X=448，
7X÷7=448÷7，
X=64；
（2）：X=：，
X=×，
X=，
X÷=÷，
X=；
（3）3.2：0.6=X：4.5，
0.6X=3.2×4.5，
0.6X=14.4，
0.6X÷0.6=14.4÷0.6，
X=24．
【点评】本题主要考查解比例，根据比例的基本性质和等式的性质进行解答即可．
26.圆柱的体积是113.04立方厘米，圆锥的体积是56.52立方米．
【解析】26.
试题分析：可直接运用圆柱的体积公式V=sh和圆锥的体积公式V=sh列式解答即可．
解：（1）3.14×32×4，
=3.14×36，
=113.04（立方厘米）；
（2）3.14×（6÷2）2×6×，
=3.14×9×2，
=3.14×18，
=56.52（立方米）；
答：圆柱的体积是113.04立方厘米，圆锥的体积是56.52立方米．
【点评】此题是求圆柱、圆锥的体积，在求圆锥体积时不要漏乘．
27.35.168平方米
【解析】27.由问题的平方分米单位知道要求表面积，但是只粉刷底面和侧面，所以底面圆只算一个，并不是要求全面积。
d=4m，r=2m，h=1.8m
S表=
S底+
C侧
=
π×r×r+
π×d×h
=3.14
×2×2+3.14×4×1.8
=12.56+22.608
=35.168（平方米）
答：粉刷面积至少是35.168平方米。
28.2.4小时
【解析】28.此题应先求出甲、乙两地的实际距离，根据实际距离=图上距离÷比例尺即可求出；再用距离除以速度即可。
解：9÷=180000000（厘米）
180000000厘米=1800千米
1800÷750=2.4（小时）
答：需要飞行2.4小时。
29.能铺117.75米长
【解析】29.
试题分析：由题意知，“沙”由原来的圆锥形变成后来的长方体只是形状变了，体积没变；所以先利用圆锥的体积公式V=sh求出沙的体积，再利用长方体的体积公式求出“长”来即可．
解答：解：2厘米=0.02米；
28.26×2.5×÷（10×0.02），
=23.55÷0.2，
=117.75（米）；
答：能铺117.75米长．
点评：此题是考查利用圆锥、长方体的知识解决实际问题，可利用它们的体积公式解答，同时不要漏了．
30.涂10个这样的烟囱需要油漆31.4千克
【解析】30.
试题分析：首先要明确的是：烟囱是无底的管道，需要涂漆的面积，实际上就是烟囱的侧面积，用底面周长乘高即可求得，用需要涂漆的面积除以2.4，就是涂一个烟囱需要的油漆量，再乘10，就是涂10个这样的烟囱需要的油漆量．
解答：解：（3.14×1.2×2÷2.4）×10，
=（3.768×2÷2.4）×10，
=（7.536÷2.4）×10，
=3.14×10，
=31.4（千克）；
答：涂10个这样的烟囱需要油漆31.4千克．
点评：此题主要考查圆柱的表面积的计算方法的灵活应用，关键是明白：需要涂漆的面积，实际上就是烟囱的侧面积，用底面周长乘高即可求得．
31.1.884吨．
【解析】31.
试题分析：本题知道了圆锥形沙子的底面周长是6.28米，可先求出底面半径是多少，再利用圆锥的体积公式V=sh求出体积，最后求出重量．
解：6.28÷3.14÷2=1（米）；
3.14×12×1.2××1.5，
=3.14×0.4×1.5，
=3.14×0.6，
=1.884（吨）；
一、研读教材，挖掘内涵
发展学生思维的主阵地在课堂，主要依据是教材。同样的教材，由于对教材的挖掘程度不同，学生的思维发展就不一样。我们在研读教材，不仅要重视读例题，还要重视读每一道习题，放大每一道习题的效能。
苏教版十二册数学第31页有这样一道习题：
有两个空的玻璃容器（如下图）。先在圆锥形容器里注满水，再把这些水倒入圆柱形容器，圆柱形容器里的水深多少厘米？
学生从图中获悉：圆锥形容器和圆柱形容器，它们是等底等高，因此，根据探究圆锥体积发现的规律，即“圆锥体积是与它等底等高的圆柱体积的”，很快得出结论：圆锥形容积也是它等底等高的圆柱容积的，圆锥形容器里注满水倒入圆柱形容器里时，水面高度也只有圆柱形容器高度的。但我并未就此收笔，而是轻轻抹掉黑板上圆柱示意图的，引导学生进一步思考，如下图：
师：从现在图中提供的信息，你们又能发现什么？
生：圆锥与圆柱是等积等底，圆锥的高是圆柱的3倍。
师：是否任意一组等积等底的圆锥与圆柱，都有这样的规律呢？你能想办法证明吗？
（学生或动笔或思索）
生1：我是举例证明的，假设它们的体积都是3立方厘米，底面积都是1立方厘米，计算出圆柱的高3÷1=3厘米，圆锥的高3×3÷1=9厘米，9÷3=3，说明刚才的发现是成立的。
生2：我没有举例，我是通过想一想说明的，圆锥形容积是与它等底等高的圆柱容积的，圆锥形容器里注满水倒入圆柱形容器里时，水面高度也只有圆柱形容器高度的，也就是圆锥形的。
师：能找到反例吗？
（得出结论）
师：这一题中蕴藏着几条规律，现在你能明白他们的关系吗？
至此，学生对“圆锥与圆柱是等积等底，圆锥的高是圆柱的3倍”的关系的理解已不是空中楼阁，我趁热打铁，引导学生进一步探究：圆锥和圆柱除了有上面两种关系，还可能有怎样的关系，你能想办法证明吗？把学生的思维引向深入。
对于圆锥和圆柱的第一种关系，由于学生在探究圆锥体积时，经历探究的过程，在头脑中形成了清晰认识，但后两种关系只是习题中偶尔出现，学生理解有一定的难度，如何让抽象的结论真正为学生所理解，并整体把握，建立结构化的思维方式，我对教材习题进行了二度开发，借助“轻轻一抹”，由一开始的“等底等高”发展成后来的“等积等底”，给学生建立表象提供了支撑，在师生、生生互动中，使后两种关系的理解水到渠成。
教材中的一些习题，看似平常，但却具有丰富的内涵，我们要寻找、发现这类习题，引导学生多向剖析、拓展引申，通过挖掘其潜在的功能，激发学生的学习兴趣，促使学生知识的深化、视野的开阔，提高学生解决问题的能力。
二、有机整合，提升价值
随着课改的实施，教师的“资源意识”在不断增强，越来越多的数学老师在教学设计过程中，已经明显地意识到：必须努力打破教材的界限，引进与之相关的资源并加以开发和利用，从而让学生获得持续的发展。我们教师应该努力整合教材资源，在“活”用学习材料、拓展课程资源、补充开放内容、探究生成问题等方面进行思考，从而提高课堂数学教学效果。如果教师在教学中仅限于让学生一题一练，这只是让学生演练了教材编排的每一道习题，学生在练习中的体验则是肤浅的。所以在教学中，教师还要认真解读教材中的习题，努力将习题读“活”，不断推陈出新，充分挖掘习题的发展功能，使练习的过程不再是机械演练的过程，而是智慧发展的过程。
苏教版十二册数学“放大与缩小”新授完后，在学生明确如何对长方形、直角三角形按一定的比放大和缩小后我设计了这样一道题：“我是设计师”
先完成填空，再按填空画放大或缩小之后的图形。
我想把下面的三角形按（ ∶ ）的比（ ）。
学生尝试绘制，教师寻找错误资源。
追问：刚才底和高都放大了相同的倍数，就能画出放大后的图形，这里为什么就不能？
生：刚才是把直角三角形放大或缩小，这里不是直角三角形。
强调：要做到形状不变，除了把底和高都放大了相同的倍数，更要考虑高的位置。
指导画法：先让正确学生说说是怎样想的。
追问：为什么要从左边起半格处画高？
感受到高其实把三角形分成了两个直角三角形，而直角三角形我们是能够把它放大的。
高效的习题教学让新知不断深化，让学生的思维不断向更高层面衍化，让课堂丰富了起来。在上述案例中，学生在探究了直角三角形的放大与缩小后会有一种方法的负迁移。于是，我设计了让学生尝试把一般三角形进行放大或缩小，学生通过比较发现：要做到形状不变，除了把底和高都放大了相同的倍数，更要考虑高的位置。因此，在交流中感悟：借助一条高可以把一般三角形分成两个直角三角形，只要分别把两个直角三角形放大就可以了。形成了“任意一个图形的放大与缩小都可以借助高分成几部分分别放大与缩小”的思维方式。在我们的教学中，整合习题往往能提示某一类问题的本质，或沟通某些知识的内在联系，从而加强学生知识的纵横联系，丰富学生的知识应用领域，提高其分析问题、解决问题的能力。
三、捕捉生成，高位引领
在教学中经常会遇到这种情况，学生对教师所教学的新内容很快表示理解，但是，在做习题时，很多学生就会有不同程度地“节外生枝”，面对这类“节外生枝”，教师要在关键处进行适当的点拨、引导、启发。
有这样一道习题：建材商店卖出水泥65%后，又运进水泥10.8吨，这时水泥吨数比原来多10%。建材商店原来有水泥多少吨？
这是一道难题，按常规做法，我们会画线段图帮助学生理解，确定数量关系，然而有一学生的巧妙回答化解了大部分学生的困惑。
生1：卖出水泥65%后就少了65%，又运来水泥10.8吨，这时水泥吨数比原来多10%，不仅抵消了65%，还多了10%，所以，数量关系是总吨数的65%+总吨数的10%=10.8吨。
生2：我的想法和他差不多，这时水泥吨数比原来多10%，不仅填补了65%，还多了10%，所以，数量关系是总吨数的65%+总吨数的10%=10.8吨。
师：你们能明白他们的想法吗？他们用了哪两个词语形象地反映了数量之间的关系？
生：抵消、填补！
学生的回答出乎我的意料。“抵消、填补”，这是多么好的方法！在我感怀学生的创新的同时，我意识到这是很好的资源，必须捕捉、共享、放大。于是我对习题进行了变换：
（1）建材商店卖出水泥65%后，又运进水泥10.8 吨，这时水泥吨数和原来相等。建材商店原来有水泥多少吨？
（2）建材商店卖出水泥65%后，又运进水泥10.8 吨，这时水泥吨数比原来少10%。建材商店原来有水泥多少吨？
由于学生的思维在解决问题的过程中被打开了，这两题很快就得到了解决。
苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着千丝万缕的联系，手使脑得到发展，使它更明智，脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子。”这充分说明了引导学生动手操作，在学习、探究、获得知识的过程中发挥着极其重要的作用。在小学数学教学过程中，引导学生利用身边常见的、具体的、有趣的事物和适宜的学具揭示数学概念的形成，探究知识的形成过程，以及运用学具解决数学问题，已成为培养学生探究能力，提高学生综合素质的有效手段。
让学生动手，亲历获取知识的过程，是新课程的要求，并已成为数学教学的一大趋势。这是因为：学生动手操作，手眼协同活动，运用视觉、触觉、运动觉协同感知事物时，会以活跃的内部言语体验情境，展开思维。动手操作时他们会获得丰富的表象，遇到一系列的问题，在丰富表象的基础上深入思考，尝试解决问题，会推动他们进行分析、综合、比较、概括、类比、猜想、在深刻理解抽象的数学知识的同时，思维能力得到培养。另外，由于动手操作活动是犹的，顺应了学生的心理特点，能有效地激发学生学习兴趣，发展学生的自主意识。下面就结合“圆的认识、圆柱侧面积和圆锥体积”的教学实践，谈谈培养学生思维能力的点滴体会。
一、运用认知规律，引导学生动手操作，感知数学概念的形成，培养思维能力
准确理解数学概念是进行逻辑推理、数学论证以及数学计算的基础。数学概念一般都是较抽象的，因此，在教学时，应尽可能从学生已有的知识出发，引导学生动手操作，增强感性认识与理性认识的联系，使学生由具体到抽象，由特殊到一般地认知规律，让学生在动手操作中感知数学概念的形成，理解并掌握概念，从而获得新知。这不仅符合小学生的年龄和认知特点，而且巧妙地利用了小学生好奇好动的特征。我在教学《圆的认识》一课时，先给每一位学生准备好一个圆形纸片的学具，然后引导学生将圆纸片的边缘对齐后对折，然后再打开，再换个角度对折。如此多次重复操作后再将圆形纸片打开，让学生观察多次对折后的圆纸片上有很多条折痕，仔细观察会发现圆纸片上所有折痕相交于一点，折痕两旁的图形完全重合。这时，引导学生自学教材对应的内容，学生很容易知道圆形纸片上所有折痕相交的一点叫圆心，每条折痕叫圆的直径，圆心到边缘的折痕叫圆的半径，而且很容易发现同一圆中的直径和半径的关系等。学生对这样动手操作获取的数学知识记忆深刻，在这个基础上引导学生自己操作圆规，去探究画圆的方法和步骤就容易多了。
二、运用迁移规律，引导学生动手操作，在操作过程中探求新知，培养思维能力
心理学家研究表明：小学生的思维主要是以具体形象思维为主，因此，在数学课堂教学中，我们要尽量运用看得见、摸得着的实物增加学生的直观感觉，进而将抽象化的数学知识变为具体的事物。教师要尽可能地让学生动手摆或拼实物等，亲身体验和感受数学与生活的联系，从而发展学生的形象思维。圆柱侧面积的计算方法是由长方形面积计算公式推导出来的，而教学圆柱侧面积计算方法的关键是帮助学生想象出侧面展开以后是什么图形。因此，我在教学这一内容时，给每一位学生都准备好一张同样大小的长方形纸片，在课堂上先指导学生把它卷成圆柱，然后问学生，卷成的这个圆柱的侧面积与长方形的面积有什么关系？怎样求圆柱的侧面积？并引导学生带着这两个问题去重复操作（圆柱――长方形）。学生经过自己亲自动手反复操作，已清楚的观察到，这个圆柱是由长方形卷成的，也就是圆柱的侧面展开后是一个长方形，而这个圆柱的底面周长就是长方形的长，圆柱的高就是长方形的宽。这样，学生便在操作过程中，由旧知识――长方形面积的计算方法迁移到圆柱侧面积的计算方法上。
三、运用分析比较方法，引导学生动手操作，把操作程序内化为智力活动，培养思维能力
在引导学生动手操作时，切忌肤浅、无效的操作。要把动手操作与学生的思维和深层次思考紧密结合在一起，引导学生在头脑中建构起相应的数学对象或数学概念的心理表征，强调“操作活动的内化”，用操作活化、深化学生的数学思考，培养探究习惯，真正发挥动手操作的内在数学价值。
在教学圆锥的体积时，我将班上的学生分成五个小组，每组给定实验器具（圆柱、圆锥各一个，一组的两个实验器具是等滴不等高，二组的器具是等高不等底，三组的器具既不等高也不等底，四、五组的器具是等底等高），在学生明确了每步实验的具体要求后，让学生带着“圆柱与圆锥体积之间有什么联系？”这个问题进行探索实践，反复操作，发现规律。结果，第四、五组的实验特别顺利，均得出：用圆锥体容器装满水，往圆柱体容器里倒，三次正好装满，说明：“圆锥体积是圆柱体积的，或者说圆柱体积是圆锥体积的3倍”。而一、二、三组的同学却不同意四、五组同学的这种说法，因为他们的实验结果并不是这样的。这时我再问：“那么圆锥体积与圆柱体积之间究竟有没有联系，而为什么四、五组的同学又能得出这样的结论呢？”下面请每组同学将该组的圆柱与圆锥容器的大面积和高分别比较一下，看是否能从中发现什么？学生经过对圆柱与圆锥两个容器的底面积和高的大小比较，便恍然大悟，原来四、五组的两个实验器具是底面积和高都相等（即等底等高），所以能得出“圆锥体积是圆柱体积的，或者说圆柱体积是圆锥体积的3倍”这个结论，而一、二、三组的实验器具呢，要么是等底不等高，要么是等高不等底，要么是既不等高也不等底，所以得出第实验结果就不同。学生经过比较与分析后，便能从中小结出：只有在“等底等高”的这个前提下，圆锥的体积才等于圆柱体积的。