时间：2023-04-27 08:27:08
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇中学数学教育概论，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：几何；中学几何；大学几何；课程改革
随着中学课程改革进程的不断深入，培养准教师的高师教育改革被推到了非改不可的境地。高师数学课程改革中，几何课程内容与教学的改革又是历来数学教育改革的热点及争议较大的问题。我们顺应这个潮流，结合我院教育部特色专业项目——数学与应用数学的课程建设，进行了高师数学教育专业几何课程改革的尝试。
1 几何课程变革
1.1中学几何课程变革
欧氏几何在数学教学中的作用与地位究竟是什么？长期以来这是一个有争议的问题。特别是本世纪五十年代以后，国内外对中学几何课程改革曾经出现过大起大落的阶段。因此，现在来回顾总结以往的历史经验，总结对中学几何教育的研究成果是很有必要的。这样不仅可以避免在今后的教学上不再重复那些已经证明为不成功的经验，同时也可以确定哪些是经受过实践考验的成功经验，我们可以从中获得教益；并且对那些尚未明确的有关问题，也希望能对今后的研究提供一些有用的信息，以便确定可能采取的措施。这将会对今后二十一世纪的几何课程改革打下一个坚实的基础。
数学课程中的几何内容，历来是数学教育改革运动争议的焦点。尤其是初中阶段的平面几何更是备受关注。然而，我国几何课程的教学，虽然曾经受到“新数学”运动的影响，但是无论在质还是在量的方面却仍然保持了它的重要地位（见下表所示）：
1.2大学几何课程变革
高等师范院校数学教育专业开设的重要基础课程之中，几何课程主要有“解析几何”、“微分几何”、“高等几何”等。大多数学校“高等几何”课本是以“射影几何”为主要内容，并由
仿射几何作为过渡，也有少数简单介绍了“几何基础”的内容。但也有学校只有“解析几何”是必修课程，“微分几何”、“高等几何”均作为选修。这主要是由于新课程的增加（如：信息类、思想教育类、新的实用类等）与总课程的压缩，使传统几何课程的教学学时不得不大大缩减，但另一方面，中学数学对几何内容的要求并没有降低。由此可以看出高师数学教
育的课程设置已经滞后于中学数学教育。有许多学校的“解析几何”课程曾经单独开设，后来又与高等代数合并成为高等代数与解析几何课程，由两个教师穿行教学，或是由一个教师单独承担教学，但是由于各个教师的专业偏向不一，偏向于代数的教师教学过程中难免偏重于代数抽象性而忽视几何的直观性，而对于专业偏向于几何的教师则往往偏重几何的直观性而忽略代数的抽象性，这样就没有达到当时两门课程合并成为一门课程的真正目的。所以经过一段时间以后大多数学校又把它们单独分开成为“高等代数”和“解析几何”两门课程。而“微分几何”课在高等师范院校数学教育专业有作为必修课程开设的，也有作为选修课程开设的，甚至还有不开设的。为了适应中学课程对几何内容的需求和大学几何课程教学学时的减少的实际情况，我校在2006年就尝试将几何课程进行改革，开设了“几何学概论”课程，并在教学过程中不断地改革和优化教学内容，由于一直没有合适的配套教材，本学院特为此编写了“几何学概论”一书。
2.《几何学概论》的编写思路
2.1 从几何学的发展历史了解几何
结合历史以及相关历史人物简介，介绍几何学的发展。首先考虑介绍最早的几何，即约公元前300年的古希腊数学家的欧几里得的几何《原本》。欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了几何《原本》之外，欧几里得还有不少著作，比如《已知数》、《图形的分割》和《光学》，只是可惜大都失传。其中《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的希腊文纯粹几何著作，体例和几何《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定；《图形的分割》现存拉丁文本和阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分；《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。古希腊数学家欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成，编成十三卷的《原本》，这就是直到今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学（简称欧氏几何）。对于几何《原本》，不但应该介绍它的优点，还需讲解它的缺点，同时还必须介绍几何《原本》对我国数学的影响，让大家对几何《原本》有一个比较全面客观的认识。
法国数学家笛卡儿和费马在创立的《解析几何》，是几何学的研究方法的一个重大突破，近代数学本质上可以说是变量数学。文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求。到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。这就迫切需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。笛卡儿在1637年发表了著名的哲学著作《方法论》，该书有三个附录：《几何学》、《屈光学》和《气象学》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。笛卡儿的出发点是一个著名的希腊数学问题——帕波斯问题。与笛卡儿不同，费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》，他为此而写了一本题为《论平面和立体的轨迹引论》（1629）的书。除此之外解析几何产生的重要性也是应该着重介绍的。
在几何的发展历史过程中，古希腊数学家的工作，已略见射影几何的端倪。阿波罗尼奥斯已经知道完全四边形的调和性。巴布什的著作中已有了对合概念，著名的巴布什定理就是他的研究成果。梅因劳斯定理无论在初等几何、解析几何还是射影几何中都是著名的定理。16世纪欧洲数学家中很多人关心阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》第8卷的恢复与整理，圆锥曲线在天文学上的应用，促使人们需要重新审视希腊人的圆锥曲线，以及其它高等曲线。《光学本》是希腊人的兴趣之一，也是由于天文观测的需要，它又日益成为文艺复兴时期的一个重要课题。不过文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自于艺术。
从古希腊时代到公元1800年间，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但是欧氏几何的所有公设中，唯独平行公设显得比较特殊。它的叙述不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像一个公设而更像是一个定理，于是许多数学家都尝试根据欧几里得的其它公理去证明欧几里得平行公理，结果都归失败。就连欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的使用，在《原本》中一直到第1卷命题29才不得不利用它。历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫做出的，后来普洛克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线，这个与第五公设等价的命题。阿拉伯数学家在评注《原本》的过程中，对第五公设产生了兴趣。对于非欧几何的形成，着重介绍了德国数学家高斯、匈牙利数学家波尔约和俄国数学家罗巴切夫斯基，以及他们对非欧几何形成的贡献。总之非欧几何的起源可以追溯到人们对欧几里得平行公设的怀疑。非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新的几何学，除了上述几种非欧几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何，微分几何以及较晚出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标。这个统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。1872年，克莱因被聘为埃尔朗根大学的数学教授，按惯例，他要向大学评议会和哲学院作就职演讲，克莱因的演讲以《埃尔朗根纲领》著称，正是在这个演讲中，克莱因基于自己早些时候的工作以及挪威数学家李在群论方面的工作，阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。论述了变换群在几何中的主导作用，把到当时为止所发现的所有几何统一在变换群论观点之下，明确地给出了几何的一个新定义，把几何定义为一个变换群之下的不变性质。埃尔朗根纲领的提出，正意味着对几何认识的深化。它把所有几何化为统一的形式，使人们明确了古典几何所研究的对象；同时显示出如何建立抽象空间所对应几何的方法，对以后几何的发展起了指导性的作用，故有深远的意义。这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且几何学的一种分类也可以对应一种变换群的分类。
最后以微分几何和拓扑学为例，简单介绍几何学近现代的发展历史。
2.2 从几何学的研究方法认识几何
对于同一个几何对象，人们在认识时，会有不同的视角，在研究时，会有不同的方法。例如通过公理化方法的研究有欧氏几何、非欧几何等，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何、仿射几何、微分几何以及较晚出现的拓扑学等；对于代数的方法研究几何就产生了解析几何、代数几何等；而数学分析的微分方法对几何进行研究产生了微分几何；数学分析的积分方法对几何进行研究产生的积分几何。在几何学概论这本教材中，对于几何的研究方法来说，我们着重讲述了仿射几何和射影几何的伦理体系和框架。
2.3 从大学几何与中学几何的关系指导几何课程的教学
该教材除了讲解几何学的理论知识、结构体系外，还有一个很大的作用是它必须为我们高等师范院校数学教育专业的培养教师这一历史使命和重任服务，所以我们从大学几何与中学几何的关系入手，结合大学几何的思想方法在中学几何的应用来编写其中的一部分内容。
3. 几何学概论教材的结构
几何学概论一书共分为三个部分，其中第一部分主要使学生了解几何学发展简史和非欧几何的几种经典模型；第二部分着重讲解欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类，使学生理解和掌握仿射几何和射影几何的基本内容以及二次曲线的性质与分类；第三部分则简单介绍“大学几何” 对“中学几何”的指导意义以及“大学几何”方法在“中学几何”中的应用，让读者通过本部份的学习为中学几何教学更好的服务。几何学概论教材的具体内容见表3。
“数学来源于生活，同时数学又服务于生活”，作为数学中的重要课程——几何课，对我们的学习和生活都十分重要，我们希望该教材能达到我们的预期目的，能对高师学生的培养有一个较为有价值的指导意义和作用，对中学数学教师也有一定的参考价值。
在此，我们特别感谢贵州师范大学数学与计算机科学学院的全国高校教学名师项昭教授对我们指导和提出的宝贵意见和建议，感谢贵州师范大学数学与计算机科学学院院长游泰杰教授的关心、支持、帮助和指导。此书已于2011年4月在清华大学出版社出版，且在贵州省高师院校中使用。
参考文献：
[1] 张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004年10月
[2] 马忠林.数学教育史[M].广西教育出版社，2001年4月
基金项目：凸体的内蕴体积与混合体积及其几何不等式的研究（黔科合J字LKS[2011]16号）；
关键词 高等数学 教学衔接 有效方法
中图分类号：G424 文献标识码：A
Cohesion of Advanced Mathematics Teaching and
Middle School Mathematics Teaching
LIN Weiwei
（School of Mathematics and Information Science， Shaanxi Normal University， Xi'an， Shaanxi 710062）
Abstract Advanced mathematics is the compulsory basic course in college mathematics and science and engineering students， but freshmen who are generally considered higher mathematics learning is difficult to learn in all college subjects. The reason， the cohesion of middle school mathematics and advanced mathematics teaching not in place is an important factor. Thus， higher mathematics teachers need to brainstorm ways to solve the problem of convergence between the two， which is the key to improving the quality of higher mathematics teaching.
Key words high mathematics; teaching cohesion; effective methods
0 引言
高等数学是一门基础课，是许多专业的必修课。但在教学中老师发现，大学一年级新生普遍反映数学难学，其原因是多方面的。但不容置疑的是，高等数学和中学数学教学衔接中出现的“脱节”是一个重要因素。为此，针对教学内容的差异，采取不同的教学方法和教学思路，比如将教学知识进行延伸、对教学内容进行贯通等等，则有可能保证知识结构的完整性，实现知识层次由低到高的过渡。 希望通过这样的自然过渡使其在新课程改革的背景下，更好地进行衔接教学，从而使高等数学的教学质量得到进一步的提高，促进学生数学思维的纵深发展。
1 高等数学教学与中等数学教学的脱节
1.1 教学管理模式的脱节
目前中等数学的教学方法是以课堂讲授法为主，而高等数学相对初等数学有较大的不同，对学生的各项能力有较高要求，高等数学的教学中，学生只有在理解概念，掌握定理，理清思路的基础上才能较好地运用所学知识解决问题，因此，要解决好高等数学与中学数学教学的衔接，必须改进传统的教学模式，数学教学不仅教给学生数学知识，更重要的在于培养学生的数学应用能力和数学应用意识，只有这样，才能在衔接中增强学生的适应能力和自学能力，让他们学会用数学的理论、思想方法分析、解决专业和生活中的实际问题。
1.2 教学内容的脱节
高等数学与初等数学在概念的理解上是有很大的不同的，其中高等数学的概念基本上都是以抽象的形式出现的，而初等数学则是用具体的形象的观点研究问题。在初等数学中，研究对象基本上都是常量，而高等数学研究的对象基本都是变量，而这两者的区别，是抽象与具体之间的体现。
1.3 学习方法的脱节
进入大学后，高等数学的学习方法是与中学数学不同的，主要表现在：中学是以教师为主导，进行模仿学习，而大学则要求学生在教师的指导下进行创造性的学习。大学阶段的学习重点的是每门课程的内涵，即思想方法。而新生常常不理解学习数学思想方法的重要性，导致对基本概念的理解出现偏差，从而没有学好高等数学。
2 高等数学与中等数学教学衔接的必要性
2.1 两者教学内容衔接的必要性
教材是承载教学内容的载体，是教师教学的依据。对教学质量起着不可忽视的关键的作用，它不仅需要适应时展的特征，也需要适应学生身心发展的特征，而高中教材虽然在必修部分加入了大学的课程，但是学习的内容却不多，而这也是导致高等数学在大学的教学中出现困难的其中一个方面的因素，而初高中的教材在内容上忽略新的教育思想和改革成果的影响，则是导致高等数学与高中数学课程改革不同步的主要原因，而其直接后果则是使高等数学的教学质量下滑。
2.2 两者学习方法衔接的必要性
随着时代的发展，终身教育作为“本世纪最富冲击力的教育理念”所引发的传统教育的革命性变革，被认为是教育领域里的“哥白尼革命”。中学数学课堂通常是由教师引出概念，讲解例题，布置作业为基础的这一套基本的教学模式。中学生基本处于被动学习的状态，并且在应试教育的前提下需要完成大量重复的习题以达到巩固新知的效果，这样一来，学生的实践能力得不到提升，学习中的情感态度和价值观得不到认可。而对高等数学学习则是通过引导学生在理解基本思想概念的基础上，启发性地进行学习，从而加强了学生学习过程中创新思维和创新能力的培养。
3 高等数学与中等数学教学衔接的有效方法
3.1 高等数学与中学数学教学方法的衔接
（1）了解学生的心理特点，找准情感育人的教学方向。高等数学是大学学习中学习其他课程的基础。在教学过程中，其学习过程中的情感态度将直接影响学习的效果和质量。而这就要求教师必须调整教学理念，将教育的内容与学生的身心发展水平、个性、智力特点相结合，使得知识、技能、情感态度和价值观和谐统一起来，做到以学生为主体的课堂教学，真正做到“以人为本”，以学生为本。
（2）高等数学与中学数学教学方法的差异对于学生能力的影响。中学数学教师通常是利用生动、形象的语言吸引学生的注意力。而大学数学教师在课堂上基本上是教授、讲师在课上讲，学生在上面听，缺少互动。大学教师强调数学语言的准确性和数学学习中思想方法的应用和理解，并将许多问题和习题的解答都留给学生自己思考。这也是与中学数学的教学有所不同的。
3.2 高等数学与中学数学教学内容的衔接
（1）放慢教学速度以实现新旧知识的接轨。在大一年级的教学中。教师要注意放慢课程进度以帮助学生熟悉大学数学教与学的学习规律。有一部分学生期望大学教师能像中学教师一样把知识讲深讲透，并且在课堂讲解习题，这种心理则并不适合大学的教学特点。在开始学习初期，教师则要注意引导学生调整学习方法和学习心态以适应大学数学的课堂教学，并且培养自学的能力。
（2）把握两者之间的教学关系以实现教学模块的过渡。新知识是建立在旧知识之上的，因此教师在备课时，就要了解中学的有关知识及中学知识和高等数学知识之间内在的联系，这样才能在课上正确把握授课的难易程度。其次，教师在教学中应遵循“由浅入深，深入浅出”的原则。数学概念的引入要适应学生的思维发展规律。在教学中要研究高等数学概念的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学形式，这样才能使学生较快地理解所学的知识，并产生极大的兴趣与求知欲。
3.3 高等数学与中学数学学习方法的衔接
（1）引导学生掌握学习方法，形成良好的学习习惯。高等数学不仅仅是学生掌握数学工具学习其他相关专业课程的基础，更是培养学生逻辑思维严谨性的重要载体，其重要性是不言而喻的。而高等数学的学习也讲究一定的方法，学生应在掌握其学习规律的基础上进行有效率的学习，而这些学习方式方法和中学数学也是有所不同的，在大学期间，学生有充足的时间可以自由安排学习活动，调节自己的作息时间，在保证劳逸结合的前提下，使自己的学习效率达到最大化，而在大学中的教师也应指导学生做好课前预习和课后复习的工作，并且引导学生养成良好的学习习惯，良好的学习习惯的形成也是取得优异成绩的前提条件。
（2）指导学生正确使用数学语言。数学语言体现了数学学科的准确性、精简性。数学教师在课堂教学时，则要引导学生正确使用数学语言，体会其准确性、精简性的内涵。经过练习，学生会发现数学语言是多么的严谨精辟，再者，通过这方面的训练，学生会感到数学也有其自身的特点，是其他学科所无法比拟的，数学不再是枯燥乏味的，而是解决问题的有效工具。
（3）营造良好的学习氛围，摆脱枯燥乏味的传统定势。在不少学生的头脑中一直存在着“数学难”、“数学枯燥”的想法，如果带着这样的情绪去学习数学，那么效果是可想而知。但是如果数学教师能让学生觉得高等数学并非他们想象中的那么难，那么枯燥，并且在教学过程中加入多种教育方法和手段，让他们觉得学习高等数学是一项充满挑战、充满乐趣的活动，那么学生就能逐渐适应高等数学的学习节奏，最终取得良好的教学效果。
参考文献
[1] 张彦春.大学与中学数学的衔接教育研究[J].乐山师范学院学报，2006（12）.
[2] 季素月，钱林.大学与中学数学学习衔接问题的研究[J].数学教育学报，2000（4）.
[3] 吕世虎等著.从高等数学看中学数学[M].北京：科学出版社，1995.
[4] 季素月.数学教学概论[M].南京：东南大学出版社，2000.
[5] 裴娣娜.教育研究方法导论[M].合肥：安徽教育出版社，1995.8.
[6] 庞维国.当前课改强调的三种学习方式及其关系[J].当代教育科学，2003（6）.
[7] 赵振武.中学数学教材教发[M].上海：华东师范大学出版社，1994.
[8] 冯国平，杨明，郑素琴.结合中学数学教学实际教法课的教学改革[J].数学教育学报，2000（2）.
[论文摘要]随着新课程改革的实施，传统应试教育中存在的弊端不断显露，而数学作为高中最为重要的学科之一，其教育中也存在不少问题。本文从当前高中数学教育遇到现存的问题入手，并分析其原因，引出素质教育的相关问题。
随着现代科技的飞快发展，大量的数学方法应用于科学研究和各个生产领域，数学作为基础学科本身也发生了巨大的变化，相应的，数学教育的培养目标也在发生变化。针对当前高中数学教育的现状，以及素质教育的相关问题，期望得到大家的关注。
一、高中数学教育的现状及其成因
目前，我国的高中数学教学正在由应试教育的模式向素质教育模式过渡，而这时也正是教育教学观念更新的关键阶段。在当今的高中数学教学领域，“应试教育”仍占据主要的地位，各种升学考试、入学考试成为老师和学生追求的目标，而培养学生的学习能力、数学思维则被大大忽视了。数学教育中应有的陶冶人的情操、思维能力的培养被题海战、各种培训、单纯追求分数的提高取而代之了，严重地忽略了思维能力的提高，忽视了学生综合素质的全面培养。当前高中数学教育存在的问题主要有以下两个方面的因素：
（一）滞后的数学教育观念。高中数学教育的发展具有稳定性、封闭性、节奏缓慢等特点，相对来看社会、经济、科技的发展具有较强的开放性和动态性，以及对公民整体数学素质的提高都有着越来越高的要求。但是当前的高中数学教育观念滞后，教育素质培养的目标还存在一定的差异。
（二）应试教育依占据主导地位。虽然一直倡导提高素质教育，但如何将素质教育与数学教学很好地结合，仍是一个亟待解决的问题，也是教师教学中遇到的一个难以解决的问题。因此，当我们将中学数学知识用某种新的数学理念去透视的时候，就有一个由于观念的历史演变带来的认识视角差。
二、当前高中数学教育中的素质教育
数学素质教育是面向新世纪的、高要求的素质教育，其主要目标是普遍提高学生的数学基础能力，包括计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学抽象能力、数学符号变换能力、数学应用能力以及充分发展学生的各种需要。数学教育对于素质的培养主要表现在数学知识、数学观念、道德品质、美学修养、思维方法和创造能力的培养及各种能力的拓展。素质教育与传统应试教育相比在教学理念、教学方式等诸多方面有明显的改变，给教师自主创新教学提供了一个很好的平台，同时也对数学教师的素质提出了更高要求：
（一）高中数学素质教育中教师的职责与任务。教师的职责应当是突出教学而不是教书，突出高中数学素质教育的功能。（1）教师通过对自己的严格要求，如不迟到、早退、拖堂，对待学生要耐心认真，这些对自身严格要求的原则将会对学生进行潜移默化的指导，使学生达到启迪心智的目的，使受教育者的道德境界变得更为崇高。(2)教学生如何学数学，如何进行数学思维。实施数学素质教育教学，关键是培养学生的数学意识、数学思维。(3)教学生学会“问”，并具有独创精神。实践证明，疑问、矛盾、问题是思维的“启发剂”，是学生积极学习的动力，它能使学生的求知欲由潜在状态转到活跃状态，能有力地调动学生思维的积极性和主动性。
（二）数学素质教育中思想观念的转换与方法的更新。高中数学素质教育是素质教育的主要组成部分，有效实施数学素质教育的关键是数学教育思想观念的转换和更新。所谓更新，并非是对传统的全盘否定，它既是对传统的扬弃也是对未来的展望。从某种意义上讲，数学教育教学观念的更新比数学知识的更新更为重要，也更为困难。因为观念的更换并非一朝一夕所能实现的，它需要一个过程，且取决于人们的态度。那么，如何调整和确定更新的方法呢？目标是用辩证的数学观、素质型的目的观以及科学的方法观，树立数学素质教育的思想观念，转变教学理念和方式。（1）教学理念的转变。教师要充分调动学生积极性，让学生主动参与并积极思考，亲自实践，培养学生的创新意识，发展学生创造能力和社会适应能力。（2）改进教学方式。素质教育更多的是以问题作为课堂的中心，围绕问题，组织学生以讨论的方式提出解决方案，在教学中增加与学生的互动、交流。以鼓励学生积极提问并发表自己的见解为主，培养学生问题解决式的思维方式。
三、结束语
就目前的高中数学教育而言，数学素质教育在很多地方还没有得到足够的重视，大多数教师并未充分意识到其重要性。然而，随着数学课程改革的发展和新课程的进一步实施，素质教育已成为数学教育工作者的共识，也是以后数学教学的一个重要方向。我们相信当数学素质教育的魅力真正渗入教材、到达课堂、融入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过素质教育层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。
【参考文献】
在初中数学教学中,教师应重视和加强数学概念的教学,引导学生经历概念的探索、发现和创新的过程,获得相应的数学概念,体验成功的喜悦,从而真正达到理解并融会贯通的目的,以切实提高教与学的效率。
一、生动恰当的引入概念
每当学生用一个新的概念时,教师都应让其感到有必要学习这个概念,从而使他全身心地投入到下面的学习中去。要做到这一点有时并非轻而易举,而是要费一番周折的。因此,合理地“引入”就显得尤为重要。
1.以史为引。
在讲授新概念时,教师结合课题内容,适当引入数学史、数学典故或数学家的故事,往往能激起学生的学习兴趣、热情。如讲“无理数”时,教师可由无理数的发现者希伯索斯捍卫真理的英勇故事引入等。
2.以旧带新。
在数学中有很多概念和以往学习的旧概念有密切的联系。因此,在学习这些概念时,教师可在复习旧概念的基础上类比引入新概念。如在讲“一元二次方程”概念时,教师可先复习一元一次方程的概念,让学生理解什么是“元”和“次”,接着写出一个一元二次方程如x2+2x-1=0,让学生将其与一元一次方程进行比较,找出异同,从而得出一元二次方程的概念。这样既自然,又利于学生理解、记忆。再如不等式可类比方程引入,分式可类比分数引入,等等。
3.猜想导入。
“数学的发展并非是无可怀疑的真理在数学上的单纯积累,而是一个充满了猜想与反驳的过程”。因此,在概念引入时,教师应让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想像,让学生经历数学家发现新概念的最初阶段,以培养学生敢于猜想的习惯,形成数学直觉,发展数学思维。
4.从“需要”入手。
有的概念可以从解决数学内部的需要来引入,如“负数”概念的教学,教师可以从温度计上的零下温度入手,引导学生感知现实生活中存在比零更小的数,但用以前学过的数无法表示出来,产生了思维冲突,从而有必要引入“负数”这一比零更小的数来表示这一部分数,导入自然,恰到好处。
5.直观操作导入。
实践出真知。手是脑的老师,学生通过动手操作、实践,往往可以理解一些难以理解的概念。因此在教学中,教师可密切联系数学概念在现实世界中的实际模型,通过对事物、模型的观察、操作、比较、分析,进而自然地引入概念。
二、自主合理地形成概念
从学生学习数学概念的心理过程来看,概念的形成大致有概念同化和概念形成两类。其中概念同化是指学生以原有知识为基础,教师以定义的方式直接向学生揭示概念的方式;概念形成是指从大量的具体例子出发,从学生肯定经验的例证中,以归纳的方式概括出事物的本质属性。
但是,初中生已有的认知结构还不够充分,知识经验还很贫乏。显然,概念同化的方式对其是不适的。所以,初中生掌握概念的典型方式还是概念形成。因此,在具体的教学中,教师应重视概念的形成过程。此环节教师绝不能包办代替,应让学生积极、主动地参与概念的形成过程。
三、准确、无误地理解概念
1.语言表述要准确。
概念形成之后,教师应及时让学生用语言表述出来,以加深对概念的印象。语言作为思维的物质外壳,教师可从学生的表述中得到反馈信息,了解、评价学生的思维结果。如概括圆的定义时,有的学生会漏掉“在同一平面内”这个条件;讲分式的基本性质时,有的学生会了“零除外”这一条件等。教师让学生自己把这些概念表述出来,及时发现问题,并加以纠正,给学生一个准确的表象,这样既能培养学生的语言表达能力,又能发展他们的思维能力。
2.揭示概念的外延与内涵。
数学概念的内涵是指概念所反映的数学对象的本质属性,反映的是“质”的方面,如“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形”、“两边之和大于第三边”、“内角和为180?”等都是“三角形”这一概念的内涵。数学概念的外延是指数学概念所反映的对象的数量或范围,反映的是“量”的方面。如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是“三角形”这个概念的外延。充分揭示概念的内涵和外延有助于学生加深对概念的理解。
3.加深对表示数学概念的符号理解。
数学概念本身就较为抽象,加上符号表示,从而更加抽象化,因此教师必须使学生真正理解符号的含义。如有学生会将sin(-θ)中的记号sin与(-θ)认为是相乘而错误地理解为sin(-θ)=-sinθ中左边的符号是提出来的,所以教师要一开始就帮助学生正确地理解这些符号的意义,尽量克服学生发生类似的错误。
四、在灵活运用中巩固概念
巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们:概念一旦获得,如不及时巩固,便会被遗忘。除了正确复述之外,教师还要引导学生在灵活运用中发展巩固相应的概念。
1.尝试错误,巩固概念。
每一个数学概念都有这样或那样的限制条件,如果忽略了这些条件就可能导致解题的失误。因此,学生巩固概念时可以允许适当“示错”,以加深印象,从而真正认识概念的本质。
2.利用变式,巩固概念。
所谓变式,就是教师使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式,使非本质属性时有时无,而本质属性保持恒在。在几何教学中教师常常采用“标准图形”,学生就有可能把非本质的属性如图形的位置、大小等当作本质属性,而造成错误。恰当运用变式,能使学生的思维不受消极定势的束缚,实现思维方向的灵活转换。
五、在概念系统中深化概念
数学是一门系统性很强的科学。布鲁纳说:“获得的知识,如果没有圆满的结构把它联在一起,那是一种多半会被遗忘的知识。一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命。”因此,在每一教学单元结束后,教师要及时进行概念总结,在总结时要特别重视同类概念的区别和联系,从不同角度出发,制作较合理的概念系统归类表。这样不但可使学生的知识、概念网络化,而且可培养学生的综合能力。
总之,概念教学是初中数学教学的重要环节,教师在平时的教学中要加以足够的重视,并遵循一定的教与学的规律,不断探索、不断创新,这样一定能收到意想不到的教学效果。
参考文献:
[1]全日制九年义务教育中学数学新课程标准(试验稿).
【摘 要】随着新课程改革的深入，数学课堂教学模式也是越来越丰富，但无论什么样的数学课其一根本目标没有变：培养学生数学思维能力。教师在数学教学中应该让学生体验思维过程,重视学生数学思维能力的培养。而变式教学对提高学生思维能力、应变能力是大有益处的。
关键词 变式教学；数学课堂；应用
一、变式在新知探究中的应用
为了能使学生牢固地掌握新知，教师应该关注学生现有的知识，并以此为基础进行变式，从而产生新知的生长点。
例1：“求证:顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。”一般学生解决这个问题是不困难的。顺题深入还可以提出以下问题:
变式1 顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么四边形？
变式2 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么四边形？
变式3 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么四边形？
变式4 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么四边形？
二、变式在例题讲解中的应用
1．例题问题的“深加工”
教师在例题讲解习惯采用的是“教师讲例题，学生仿例题”的公式化的教学，这种单纯性地讲授和简单地套用阻止了学生思维的发展。而教材中的例题富有典型性和深刻性，那么如何引导学生充分利用例题揭示其深刻性，领悟其奥妙性，这就要求我们教师对课本例题进行“深加工”。
例2： 某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，该种衬衫每涨价1元，售量减少10件。如果商场计划每月赚得利润8000元，请问售价应定为多少元？每月应进货多少？若老板想仓库租金尽量少？售价应定为多少元？
[变式 1]该种衬衫每涨价2元，售量减少20件。又怎么样呢？
[变式 2]该种衬衫每涨价3元，售量减少20件。想赚得利润12000元，请问售价应定为多少元？每月应进货多少？
[变式 3]某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，该种衬衫每涨价1元，售量减少10件。商场能否每月赚得利润10000元，请说明理由？ [变式4]某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，该种衬衫每涨价1元，售量减少10件。商场每月能赚得最大利润为多少元？售价应定为多少元？每月应进货多少？
本题是列一元二次方程解应用题。列一元二次方程可以解决生活中的行程、工程、浓度、利润等一些问题，在设未知数解决这些问题时，要审清题意，直接或间接设好未知数，找对等量关系。在教学中，本人抓住问题的本质，对题目进行精心变式，达到举一反三的效果。
2．解题方法的再思考
在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。通过一题多解和多题一解让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性以及的思维能力。
例3：如图A是CD上一点，ABC、ADE都是正三角形，求证CE=BD。
变1：如图，ABD、ACE都是正三角形，求证CD=BE
变2：如图，分别以ABC的边AB、AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG，连接CE、BG，求证BG=CE
变3：如图，有公共顶点的两个正方形ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证AG=EC
变4：如图，P是正方形ABCD内一点，ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP’重合，若PB=3，求PP’。
三、变式教学应注意的问题
根据实践经验，在中学数学教学中，变式训练不是简单的重复运用，应注意如下几个问题：
1.源于课本，高于课本
在教学中我们要精心设计和挖掘课本的习题，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力。
2.循序渐进，有的放矢
在教学中，对问题的变式要循序渐进，有的放矢，要与“主旋律”和谐一致，既要围绕教材重点、难点展开，又要防止脱离中心，主次不分。
3.纵向联系,温故知新
变式要注意纵向联系，要紧密联系以前所学知识，让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高，从而提高学习效率，让学生明白“任何事物都是相互联系的”这一哲学道理。
4.紧扣《新课程标准》，万变不离其宗
在中学数学习题变式教学中，习题的变式要紧扣《新课程标准》，要以标准为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离标准的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。
总之，数学的魅力就在于“变”，有“变”才有“活”，适当的变式，可以给学生提供一座桥，让学生在已知的水平和未知的水平之间自然过渡，“变式” 能使你的数学课堂更加有活力，更加精彩。
参考文献
[1]数学课程标准.北京师范大学出版社.2001
[2]孙亚峰.课本例题的开放和探究.中学数学教学参考.2004(5)
[3]中小学数学.（2004第4期）
关健词：职业中学 数学课堂 有效教学
随着教育发展水平的提高，职业教育从过去的短缺教育变为普及化教育，为社会提供了大量基础性的技术人才。但是近年来随着普高的扩招，职业学校生源整体文化基础水平不断下降，学生差异程度扩大，数学作为一门逻辑性、抽象性很强的学科，在教学上面临着严峻的考验。通过对在校不同年级、不同专业的学生进行的数学学习心理调查表现，只有46%的学生比较重视数学学习，其中63%的学生是因为升学压力，37%的学生认为数学能够锻炼思维能力、有实用价值或者对数学比较感兴趣。
有效教学((effective teaching)的理念源于20世纪上半叶西方的教学科学化运动，所谓“有效”，主要是指教师在一段时间的教学之后，学生获得的进步或者发展，也就是说，学生有无进步或发展是教学有没有效益的唯一指标。教学效益并不是看老师有没有教完内容或者教得是否认真，而是指学生有没有学到什么或者学生学得好不好，如果学生不想学或者学得没有收获，即使老师教得很辛苦也是无效的教学，同样学生学得很辛苦，但是没有得到应有的发展，也是无效或者低效的教学。
基于有效教学的理念，现从以下几方面探讨职业中学的数学教学工作中实现课堂教学有效性的基本策略:
1、结合职业中学学生的专业特点，明确教学目标，做好有效的教学准备
职业中学与普通中学数学教学的区别在于教师要面对的是不同专业不同基础的学生，他们所学的专业对数学学习的要求和深度都有所不同，职业中学的数学教师往往要跨专业进行授课，而不同专业的数学教材都是相同的。所以对不同专业的学生不能够只是按图索骥，照本宣科的教教材，而是要用教材教。所以有效的教学准备就显得十分必要，应对教材进行有机的整合，合理的配置和适当的调整。教师在准备教学时，应该深人进行调查研究，掌握不同专业学生的学习思想和学习实际，明确不同专业的教学目标、准备和处理教学材料、选择主要教学行为、教学组织形式以及教学方案，做好数学教学准备工作。例如电脑专业、电工专业、通讯专业的学生一般要求有扎实的数学基础知识、较强的数学逻辑思维能力以及数学的应用能力，而旅游专业、经济专业的学生则侧重于数学基础知识的理解、掌握和应用。需要强调的是，教学准备后的实施不是一层不变的，要根据课堂的情况特别是班级上学生的具体反映进行调整。
2、优化数学课堂教学模式，转变学生的学习方式，实现最优的教与学
有效的数学课堂教学要求老师要有“对象”意识，数学教学不是唱独角戏，离开了学生的“学”，就无所谓教。波里亚说得好:“教师在课堂上讲什么当然重要。然而学生想什么更是千百倍的重要，思想应该在学生脑海中产生出来，而教师仅仅应起一个助产婆的作用。”教师必须明确课堂的行为主体是学生，而每个学生之间存在着很大的差异，在可能的范围内，教师的教应该根据不同学生的特点来进行，结合数学教学内容的不同和教育对象的不同创设各种合适的、能够促进学生全面发展的教学手段、方法和策略，改变学生单一被动的学习方式，向自主探索、合作交流和操作实践的参与性学习方式转变。
3、关注教学效益，重视学生的进步和发展
学生学业成就的评价，是判断学生是否达到数学教学目标及其达到目标的程度，是数学教学评价的主要内容及衡量教学是否有效的重要指标，可以从以下几个方面进行评价：首先通过学生自控进行评价；其次是以测验为主的教师评价；再次可以结合定期的学生数学学习心理调查，通过不同时期的调查数据比较，了解学生整体对数学的学习兴趣的提高、数学学习习惯的养成、学习能力的形成是否有所提高以及提高的程度。
4、有效教学需要教师具备一种反思的意识
有效的数学课堂教学目的是在于帮助每个学生进行有效的学习，使学生能够尽可能得到进步和充分的发展，教师应不断反思自己的日常教学行为，认真思考“在何等的情形下学生学的更好”这个问题，持续的追问自己:“我的教学有效吗?”“我是否帮助学生确立了能够达成的学习目标”，“我是否限制了学生的思考方式?”，“有没有更加有效有教学呢”，“什么样的教学才能更好呢?”……当学生有兴趣的时候，当教学内容能够用多种形式来呈现的时候，当学生能够自由的参与探索和创新的时候，当学生能够学以致用时，当学生对教师充满信任和热爱时，他们会学的最好。
总之，中等职业教育中的数学课和其他基础课一样，是旨在提高学生文化基础素质，培养学生的学习能力。它不仅意味着解数学题的能力，或者将实际问题转化为数学问题来处理的能力，而且还应当包括善于用数学思维方式去考虑问题、处理问题的能力，对学生今后的生活和工作来说，具备后者往往比前者更为重要、更能发挥作用。有效教学是一种教学的策略，为教师实现教学目标或教学意图提供了一系列具体的问题解决的行为方式。
参考文献：
1、曹才翰 .中学数学教学概论[M].北京师范大学出版社1990
2、山本芳彦(日).高等学校数学 B[M].改版.新兴出版社启林馆1998
关键词：数学史 中学数学教育
引言
伴随着信息时代的到来，数学知识更加广泛和自觉地渗透到科学技术的各个领域中，数学开始更加紧密地和其他学科联系起来，成了一种指导人们的“现实文化”。英国数学家、哲学家怀特海德（Whitehead）曾经说：“数学是对于客观世界的量化模式的建构与研究。”这是对当今数学的特征的总结。可见，当今世界要有所作为数学知识必不可少，中学数学又由其基础性，更是非学好不可，专业知识与历史知识总是互为补充的。就是说，不仅研究、学习历史需要具备一定的专业知识，数学史是学习数学、认识数学的工具；而且学习专业知识也同样需要用历史知识帮助分析和思考。《数学课程标准》指出：“数学课程应当反映数学的历史应用和发展趋势。”因此，让学生了解数学课程的发展历史是促进数学学习的必要途径。利用数学史不但可以加深学生对数学本质的了解，同时还可以在很大程度上拓展学生的视野。
一、数学史能激发学生学习数学的兴趣
新课标提出教师除了传授知识以外，还应该把情感、态度的培养作为教学中一项重要工作，只有这样，学生才会对数学学习产生浓厚兴趣，而兴趣在学习中所起的作用是众所周知的。“知之者不如好之者”，教师要努力培养学生对数学的兴趣，至少不要使学生厌恶数学。美国心理学家布鲁纳认为，使学生处于被动接受状态会压抑学生学习的主动性，主张在教师精心引导下，教学方法应该多种多样，以使学生逐渐产生对数学的学习兴趣。可以说一个教师教学成功的关键就在于是否能培养学生对该学科的兴趣并使其能长久地保持下去。在实际教学中一般应注意下列事项：
(1)注意每堂课的开始，每节、每章及整个课程的开始，使学生有兴趣，能吸引其注意力，好的开始是成功的一半。
(2)针对青少年心理，可以采用故事方式，语言要生动，富于启发性，使学生常有新鲜感。了解数学史，能增长见识，开拓视野，产生对数学的好奇心，增强对数学的兴趣。华罗庚、陈景润都是非常出色的数学家，华罗庚促进了奥林匹克数学的发展，陈景润与歌德巴赫猜想的故事为中国人赢得了骄傲。牛顿由苹果自然落地而发现、提出了万有引力，在力学研究史上是一次很了不起的发展；爱迪生不畏困难，对科学执着追求，才博得了“发明大王”的称号。又如，高斯7岁那年上学了。头两年没有什么特殊的事情。1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳（Buttner），他对高斯的成长起了很大的作用。在全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案。不过，这很可能是一个不真实故事。据对高斯素有研究的著名数学史家E.T.贝尔（E.T.Bell）考证，高斯10岁时，布特纳刚叙述完题目：81297+81495+81693+…+100899，高斯就算出了正确答案。贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，应该是比较可信的。而且，这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。听了这些故事学生的学习热情高涨，都会准备着为科学的发展而努力读书。
二、数学史能使学生对引入数学问题、概念、理论和方法的动机与产生的后果有所了解
提到这一点我们不妨来看一下非欧几何的发现过程。非欧几何的开山祖师有三人：高斯、Lobatchevsky（罗巴切乌斯基，1793～1856）、Bolyai（波埃伊，1802～1860）。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其它的公理和公设都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，像是一条定理。
欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。即：过两点有且只有一条直线与已知直线平行。
在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条里唆的公设是否可由其它的公理和公设推出，也就是说，平行公理可能是多余的。
之后的两千多年，许许多多的人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其它的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。
到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。
从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。
当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。
对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型，德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位元圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到高维空间上。
因此，从十九世纪六十年代末到八十年代初，大部分数学家接受了非欧几何学。尽管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性，但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派，如数理逻辑的缔造者弗雷格，至死不肯承认非欧几何学，不过这已无关大局了。
应当指出，Bolyai的父亲是高斯大学的同学，Bolyai沉溺于平行公理，最后与罗巴切夫斯基同时发展出了非欧几何，并且在1832～1833年发表了研究结果，老Bolyai把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：“to praise it would mean to praise myself.（我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。）”早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。
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非欧几何学的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题，从十九世纪八十年代起，几何学的公理化成为大家关注的目标，并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。
三、数学史对数学知识给出了一个整体框架，能使学生对数学有一个整体的认识
数学是一个庞大的领域，在数学王国中旅游，数学史是一个最好的导游。就拿我们现在常用的数字符号系统――阿拉伯数系来说，它的全称是印度-阿拉伯数系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因为它可能是印度人发明的，又由阿拉伯人传到西欧的。数系扩充顺序为：
（自然数整数有理数无理数）实数复数
数学史是学习数学、认识数学的工具。人们要弄清数学概念、数学思想和方法的发展过程，增长对数学的通识，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为补充和指导。特别是，现代数学的体系犹如一棵枝叶繁多的大树，站在树下，人无法分清楚其中一片树叶到底属于哪一个枝丫，而数学史就像是这棵大树的脉络，它的作用就是指引方向的“路标”，给人以启迪和明鉴。
四、通过学习数学史还可以端正学生的学习态度，使学生对数学灵感的产生有所了解
柴可夫斯基说：“灵感是这样一位客人，他不爱拜访懒惰者。”灵感作为创造过程中思维活动的，产生于长期艰苦的脑力劳动之后，是辛勤劳动的结晶，是长期艰苦努力和创造性思维的结果。如四元数的创始人，三维数与高维数耗费了他十年的时光。1843年10月16日，当他同妻子沿着皇宫边的护城河散步时，突然有了灵感：把二维复数扩展到四维而不是三维，并放弃了乘法交换律，四维数表示成z=a+ib+jc+kd，其中i =j =k =ijk=-1。再有笛卡尔发现坐标系；阿基米德是在大量计算和实验而不得其解之后，才受到“浴缸溢水”启示；牛顿也是在冥思苦想和大量观察的基础上才被“苹果落地”的现象启发。所以灵感是在大量的创造性劳动之后的一种思维能力的飞跃现象，也是人对某一问题的思考由量变到质变转化的结果。没有大量的积累，就不可能有质的转变。我们平时所从事的各种各样的思考活动都是为灵感的出现积累能量。仅凭侥幸，是永远也得不到灵感光顾的。
以上是我对数学史在中学数学教育中的作用的一些看法。要充分发挥数学史的作用，还应该在数学教学的过程过程中自觉渗透历史发展的观点，使学生了解知识的发生、发展过程，看清知识成果中的思想和方法。另外，还应该向学生推荐一些适合的数学史书籍供其阅读，这样不仅可以增强其对数学的兴趣和理解，同时也可以通过数学家们的榜样示范作用对学生进行教育。
参考文献：
［1］郭华光，常春艳，王小燕.试论数学的文化特征.数学教育学报，2005年8月，第14卷，第3期，第21-23页.
［2］朱水根，王延文.中学数学教学导论.第二版.北京教育科学出版社，2001年6月，第4页.
［3］叶上雄.中学教育学.北京高等教育出版社，1993年11月，第46-48页.
［4］［美］理查德・曼凯维奇.数学的故事.第二版.海南出版社，2002年8月第165-184页.
［5］［美］H.伊夫斯.数学史概论.第六版.山西经济出版社，1990年，第359-363页.
【关键词】数学教学 创新 思维 意识
素质教育的核心是创新教育。近几年来，主席曾就创新问题在各种场合多次发表过重要讲话。1995年5月26日，他在全国科学技术大会上指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。”1998年4月29日，在视察北京大学时再次指出：“创新，很根本的一条就是要靠教育，靠人才。”1999年6月15日，他在全国教育工作会议上的讲话中又强调说：“面对世界科技飞速发展的挑战，我们必须把民族创新能力提到关系民族兴衰存在的高度来认识。”在中学数学课堂中，培养学生的创新意识、创新精神是每一个教师的职责。如何在数学教学中有意识地激发学生的创新意识，培养学生大胆创新的精神，形成问题解决过程中的创新能力，就实习期间听课及自己在教学过程中进行的大胆尝试，谈谈以下几点体会：
一、注重课堂设计，活化课堂教学，大力培养学生的创新意识
1. 深入挖掘课本知识内涵和外延，鼓励学生大胆质疑，培养学生的创新意识
学贵质疑，质疑是创新的基础。教学中注重引导学生，不能满足于课本知识；不要认为凡是书本上说的、老师讲的都是对的；不要把自己的思维框住，扼杀个性发展。教师应尽力创设充满求知欲望的教学情境，提出富于启发性的问题，善于捕捉智慧的火花，挖掘创造的源泉。
2. 营造民主的、活跃的课堂气氛，激发和培养创新精神
在教学过程中，很多情况下，教师为了赶时间，抢进度，完成预先制定的教学计划，自觉不自觉的扼杀了学生的创新，埋没了学生的闪光点，即使学生有一点新思路、方法和观点，也没有机会和时间来表露。因此在课堂上要抽出一部分时间让学生表达自己的意见，引导学生讨论，营造民主、活跃的课堂气氛，激发和培养学生创新精神。
二、 创新思维能力的培养
在数学课堂教学中，通过直觉、联想和归纳的思维能力，形成必要知识的准备，学生就会在解决问题中形成质的飞跃，形成自己独特的见解、精巧的解题思路，使问题得到完善的解决，日积月累，持之以恒，将会形成良好的创新思维能力，提高自己的数学素养。
1. 首先要遵循民主性原则，改变教师的意识
创新是现代教育与传统教育的本质区别，作为课堂教学的主要角色，教师在课堂教学中首先要打破传统的权威观念，在课堂上和学生处于平等、民主的地位，形成融洽、和谐的气氛。心理学研究成果表明，民主是创造思维的阳光雨露，是培养形成创新思维的基本保证。
2. 课堂教学从扶到放，引导创新思维
当学生对某种感兴趣的问题产生疑问时，往往急于了解其中的答案，这时教师采用的最便捷的、最简单的方法，莫过于将自己了解的知识直接传授给学生，令学生佩服并得到暂时的满足。如教师注意的是先“扶”着学生去探索知识的方法，然后在掌握原有知识的基础上，“放”手让学生去摸索，教师只在必要时做适当的引导，则不但会使学生的学习方式更灵活，还会让学生在探索中实现质疑的飞跃，以及创新思维的培养。
3. 注重特殊解题方法，调动学生的积极性，诱发学生的创新动机
数学教学中的通法、通则是解决实际问题的普遍规律，固然值得重视，然而洞察具体问题的特殊性，运用特有的方法解题，则可以拓宽学生的视野，培养其敏锐的观察力，进而培养学生的创新动机。
三、根据思维能力的特点，加强课堂教学过程，培养创新思维能力
只有创新意识是不够的，更重要的是要将创新意识加以转化，形成良好的创新思维能力。创新思维能力是能力的核心，是能力发展的最高阶段，它一般经历的过程是：直觉思维――联想思维――归纳思维――创新思维四个阶段，下面浅谈一点体会。
1. 直觉思维能力的培养
直觉思维是借助几何直观或经验积累，利用类比或不完全归纳，把感知的对象作为一个有机结构，从整体观察它，作为试探性的结论，然后利用分析思维，对结论进行证明。培养学生的直觉思维能力，老师应该在教学过程中让学生发挥主动性，通过示范及鼓励学生提出猜想来形成问题解决中的创新能力。
2. 联想思维能力的培养
联想思维凭借扎实的基础知识和丰富的想象能力，利用事物之间的相互联系性，使多个知识点在具体问题中互相沟通与交融，由此及彼，拓宽思维通道，由平常始料不及的思路，到达成功的彼岸。根据问题的具体情况，一般可以从三个方面去联想：
（1）联想有关的概念、定义、定理、公式和法则；
（2）联想已知的或过去求解的类似问题或有关问题；
（3）联想基本的解题方法。
3. 归纳思维能力的培养
归纳既是数学的推理方法，又是数学的发现方法。数学中的许多结论都是由归纳、猜想发现的。在教学中教师有意识地培养这种思维方法是必要的。
通过这方面的教学，可以培养学生主动学习、探索学习的学习观，学生可以通过观察、收集、比较、分析、综合、归纳、转化、解答等一系列认识活动，使学生成为学习的主体；可以培养学生用数学的意识和观念，遇到问题能从数学的角度去审视问题、观察事物、阐释现象、分析问题和解决问题；可以培养学生运用数学的能力，特别是从实际问题中提炼并抽象出数学问题的能力；可以使学生认识到“问题”是理论发展的起点，用数学方法、数学思路解决问题的过程，同时就是发展数学理论的过程；认识事物的全过程是认识从实践中来又回到实践中去，这样可以培养学生的唯物史观，可以加强德育教育的能力。总之，在教学中，若教师经常引导学生从多方面训练、多角度去思考，可以使学生的思维不局限在某一点或某一侧面上，不满足于已解决的问题，积极开阔视野，争取获得更多的信息，使其在结构、形式、材料、功能等方面扩展、引申，从而不断提高创新能力，使学生的创新意识、创新精神得到充分的培养，把数学教育素质落到实处来。
【参考文献】
［1］何寅基等. 数学教育技能学概论 . 中国矿业大学出版社， 1994.
［2］徐友标等. 数学教学智能发展. 光明日报出版社出版，1989.
【关键词】数学教学；思维品质；培养；策略
正如苏霍姆林斯基所说：“真正的学校应当是一个积极思考的王国。”怎样促进学生思维，发展学生智慧，开发学生智力，这是目前数学教学中最尖锐、最现实而又尚未很好解决的问题之一。因此，培养学生的思维品质始终是数学教学的目标之一，也是实施素质教育的重要途径。
在课堂教学中，课堂练习不仅仅是一种练习形式，而是作为一种教学思想。它能激发学生发散性思维，且解决问题的方向（思路）不唯一，更能体现学生的学习过程，充分发挥学生在教学过程的主体作用。
因此，在课堂教学中，要有计划，有目的地设计一些一题多解，一题多变，一法多用等习题，来培养学生全方位，多层次探索问题的能力，发展多向思想，为培养学生多向思维能力打下基础。
一、从不同角度一题多解，促进思维的灵活性
一题多解训练，就是教师引导学生从不同角度去观察一个数学问题，使学生产生不同的体验，形成不同的解法，进而极大丰富学生的想象空间，培养思维的广阔性一题多解可引导学生从不同的角度去思考，去解题，是培养学生多向思维，提高分析问题、逻辑推理能力的一种好方法，有效的培养思维的灵活性，现以证明三角形内角和定理为例，介绍如下几种证法：
已知：ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法一：从平角定义思考，引导学生在ABC的外部画∠ACE=∠A，再证∠ECD=∠B，即可.
证法二：从平行线思考，引导学生过C点作CE∥AB，再证∠ACE=∠A，∠ECD=∠B即可.
证法三：从顶角作底边平行线，引导学生过点A作DE∥BC，证∠BAD=∠B，∠EAC=∠C即可.
证法一 证法二 证法三
证法四：D是BC上任一点，过点D作DE∥AC， DF∥AB，分别交AB、AC于E、F，再证∠BDE=∠C.∠CDF=∠B，∠EDF=∠A即可.
证法五：从同旁内角和为180°思考，引导学生过点C作CD∥AB，证∠A=∠ACD.再证∠B+∠BCD=180°即可.
证法六：过点A在ABC内任作一射线AE，过B、C两点作BD、CF分别平行于AE，则 BD∥CF.证∠DBA=∠BAE，∠EAC=∠ACF，再证：∠DBC+∠BCF=180°.
证法四 证法五 证法六
能够进行上述分析，这表明思路宽广，思维没有停留在一种思维角度上，还考虑着与此题相关的知识，思路就开阔了。实践证明，一题多解可以使学生思维透过不同的知识领域看同一问题，形成不同的解题方法，能很好地培养数学思维的广阔性。一题多解并不是多种解法的罗列，而是从多种思考角度，不但激活了与问题有关的各知识点，而且通过活跃的观察、尝试、猜想、归纳、比较、推理和判断，从多角度考虑问题，开阔了学生的思路，促进了多向思维的发展。通过多解开阔学生的多向思路，因而在多解之后，要归纳出思路和规律，如添设辅助线的规律等，通过比较各种证法的繁简、难易，并分析、研究证明过程中可能发生的错误，从而进一步调动学生的学习积极性，使学生的多向思维再次出现，以利于增强学生分析和解决问题能力，这样，多解才能取得最佳效果。
二、从不同角度一题多变，举一反三
一题多变是指对已讲已做的例题、习题的题设条件或结论进行适当变化从而构成一系列新题目，然后再对新题进行研究、分析从而大幅度提高学生的解题水平在教学时，我常常采用一题多问、一题多变的练习形式来发散学生的思维，逐步培养学生思维的灵活性和多向性。
在初中数学总复习中，我们总想利用较短的时间，取得较好的效果，我认为将课本习题作多种变化，不但能给老师提供更多的素材，而且还能更好地培养学生的思维品质。
三、从不同角度一法多用，发掘本质
变式教学就是把问题的题设或结论略加变化，而不做本质的改变，使学生认识到问题仍可以使用同样或类似的方法解决，从而把握方法的本质。这是培养学生思维深刻性的一个好办法。从一个问题联想到与它形式不同但实质完全一样的多种叙述或表达方式，这样，就能培养我们抓住问题实质的本领，培养思维的连动性、流畅性和变通性。所以更需教师及时总结规律、整合教材、创新教学来培养学生的思维方式。把解题过程中零散杂乱的，肤浅的经验、规律及时进行提炼、总结、升华，再予以应用，用以指导解题实践，就能触类旁通，提高解题能力。
四、弄巧成拙，培养思维的批判性
教师在教学中，过多地或片面地强调程式化和模式化，容易造成学生只能套模式解题，注入式的教学导致学生缺少应变能力。思维的灵活性寓于思维的敏捷之中，主要表现在善于迅速地引起联想，建立起自己的思路，同时又能根据情况的变化，善于进行自我调节，及时地和有效地调整原有的思维过程。
教师在讲课时可以故意示错，或有意留下漏洞让学生去发现，或适当布置一些改错题。这样学生在学习过程中就会有意识地注意是不是教师有错误存在，会主动去探索，去发现，去解决，从而达到训练学生批判性思维技能的目的。教师在布置作业时也要注意不同学生的不同差异，对于不同能力的学生进行不同的对待，可以采取不同的作业形式和作业难度，让每一个学生都能在各自的基础上和各自的优势上发挥最大的作用，以激励他们去不断的思考和进取，在各自的水平上逐步练习思维技能。
例：已知关于x的方程（m-2）x2+2mx+m-3=0有实数根，试求m的取值范围。
教师故意板书为（错误解法）：原方程有实数根，=（2m）2-4（m-2）（m-3）≥0，且m-2≠0， m≥ 且m≠2。
显然，犯了认定原方程是一元二次方程的错误，因而题中陷阱较隐蔽，思考难度稍大。这就要让学生学会批判性的接受知识。
总之，在教学中，经常引导、鼓励学生进行一题多变、一题多形、一题多解、一题多编、一题多答的练习，有利于学生对知识的掌握和智能的发展，这是培养和发展学生良好思维品质的有效途径。
在数学教学实践中，我体会学生思维能力的发展，除了教材本身提供的条件以外，和教师的教学指导思想和方法有直接的关系。因此在教学过程中，我始终坚持以发展学生思维能力为核心，精心设计思考题，加强多向思维的训练，不断地提高学生分析问题和解决问题的能力，从而，全面提高了数学教学质量。
参考文献：
[1]郑隆炘. 《数学思维与数学方法概论》.华中理工大学出版社，1997 第一版
[2]国家教委杂志社编.《能力素质教育》.时事出版社
关键词 数学学术 解题思想 数学分类 思维创新
数学解题的过程是一种探究答案的过程，也是一个研究的过程。它是从问题当中提取出信息，然后用相关的定义、概念和知识对问题做出明确的表述，从而寻求从己知到目标的合理途径。
进行数学教育的目的不能只局限于对这一结果的表述，而要在一定意义上去重复数学历史的主要进程。重演一遍已知求证的过程，对学生教授数学知识，帮助学生灵活地掌握解题思想。
一、教学中常用的数学解题思想类型
（一）转化思想
解题过程就是将要解决的问题转化成为已经学过的知识。数学中的转化思想无处不在，无时不用。它的基本出发点就是使陌生问题熟悉化、隐性问题明朗化、抽象问题具体化、复杂问题简单化、无序问题和谐化。
例如中学数学里，“已知线段a，求作线段使它等于 5a。”解题时可以先假设一个直角边分别为a、2a的直角三角形，使其斜边为5a；又或者是假设一个斜边为3a、一直角边为2a的直角三角形，然后使其另一直角边为5a。再比如，探讨多边形内角和时，启发学生运用三角形内角和。这些都是是转化思想的一种体现。
类似的问题不胜枚举，中学数学里所训练的几何问题，在由结论想条件进行逆向推理分析的时候，每一步几乎都渗透着转化思想。
（二）数形结合思想
所谓的数形结合思想就是抓住数与形之间，在本质上的联系，然后以“形”直观表达“数”，或者以“数”精确地研究“形”。它可以把抽象的数转化为直观的形，或把复杂的形转化具体的数，从而达到简捷解题的目的，数形结合思想在解题中的起着非常重要的作用。
例如在解决不等式组等这类问题的时候，教师可以用数轴来表示每个不等式的解集，然后用阴影部分体现三个解集的公共部分，使问题变得简单而明了，便于学生理解和掌握。在课堂教学时，很多问题一旦教师出示了图形或教具，就会使得困难的问题简单化，学生很容易就从直观上理解了问题和数学概念。
（三）方程思想
许多数学问题的解决都离不开方程，而把问题归结为方程来解决的思想就是方程思想。
以几何题来举例，“已知一直角三角形两直角边之和为12，斜边长5，求面积。”这道题我们可用方程来解决。假设一直角边为x，那么另一直角边就为（12-x），得出方程：x+（12-x）=25，最后求出面积。
方程思想还可以用于解决许多现实生活、生产中的问题，例如“打折销售”、“购房贷款”、“家居装修”等等，这些问题往往在数学教育中以应用题的方式来对学生进行训练。
（四）分类讨论思想
分类思想，即根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分成为不同种类的思想方法。在解题过程中，当条件或结论不是唯一时，就会产生几种可能性，需要进行分类讨论。分类要不重不漏，做到科学合理。
例如对有理数进行分类，一是有理数分为整数和分数；二是有理数包括正有理数、0以及负有理数。那么教师在进行教学时，就必须要让学生清楚这种分类的标准。再比如对三角形进行按边分类或者按角分类，如果不强调分类的标准，学生就很容易混为一谈。
二、原理性的数学解题思想类型
（一）系统思想
从系统论来看，一道数学题可构成一个系统。所以在系统论中的整体意识和“黑箱方法”在数学解题中有着广泛的应用。
1、整体意识在数学解题上的应用，是指对于一个数学问题，应该重点着眼于问题的整体结构，而不只是它的局部特征。然后应通过全面而深刻的考察，从宏观上去理解和认识问题的实质，挖掘和发现出已有元素在整体结构中的地位和作用，以求找到求解问题的思路。
2、从解题角度而言，题目就是一个“黑箱”，解题就是通过对“黑箱”进行信息输入和输出来探究出“黑箱”的内部性态。比如待定系数法，反例法，归纳法等解题策略，以及用于解答开放性或探索性问题的探索结论过程，这些都是黑箱方法的典型运用。
（二）辩证思想
辨证思想的运用，往往会体现在以下几个方面：1、非线性结构与线性结构的转换；2、已知与未知的转换；3、常量与变量的转换；4、正面与反面的转换；5、静与动的转换；6、数与形的转换；7、有限与无限的转换。
（三）运动变化思想
在数学解题过程当中，运动变化思想分为以下三种类型：1、化静为动，从运动变化中理解数学对象的变化发展过程；2、动中寓静，从不变中把握数学对象变化的本质特征；3、动静转化，充分揭示运动形态间的互相联系。
例如，将常数看成变数的取值，将离散看成连续的特例，或者将方程或不等式看成函数的取值，将静止状态看成运动过程的瞬间等等，常常会使问题的求解创出一种新的形式或局面，从而得到突破。
（四）建模思想
这是指把实际问题进行“数学化”处理，将实际问题抽象为模型化的数学问题，以揭示实际问题的本质。如此不仅能解决具体的实际问题，还能锻炼应用数学知识的能力。因此数学建摸的思想与方法日益受到人们重视。具体的建模分成以下几种类型：1、建立代数函数模型；2、建立解析几何模型；3、建立平面几何模型；4、建立物理模型；5、建立三角形函数模型。
（五）审美思想
数学美具备着简洁性、对称性、统一性、和谐性以及奇异性。从数学发展史来看，数学家往往因为追求数学美而获取了许多新发现，不断推动数学向前发展。而在数学解题中，则可通过数学审美而获得数学美的直觉，促使题感经验与审美直觉相配合，激活思维中的关联因素，从而找到解决问题的突破口。
总之，思想是行动的指南。数学解题思想，就是利用数学知识和方法使其得到求证的逻辑手段，它对解题具有决定性的作用。在数学学习或数学教学过程中，对数学思想给予足够的重视，将大有裨益。
参考文献
【1】马忠林，数学方法论[M]，广西教育出版社，1996，12
【2】张顺燕，数学的思想方法和作用[M]，北京大学出版社2004，6
关键词：数学建模能力 培养兴趣 学习的能动性
一、引言
2003年教育部颁布的中学数学课程标准里，数学建模成了十分重要的组成部分，标志着数学建模正式进入我国中学数学教学中。中学生接触的大多数是传统的文字应用题，带有很强的人工化，形式化，对数学建模相对生疏。课本上传统的文字应用题往往条件清楚准确、不多不少、结果唯一确定，解出的结果很少要求学生思考是否符合实际。因此，就更加不会去考虑是否需要调整和修改已有的模型。而这些正是数学建模过程的难点和重点。数学建模强调用所学的数学知识解决问题，提倡的是“想用、能用、会用”的“用”数学的意识。这正是新课标指出的：“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境， 引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。”
二、如何培养和提高中学生建模能力
数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，进一步培养学生的用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。要教会学生建模，培养学生如下几方面的能力是关键。
（一）培养“翻译”能力
1.审题。包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。就是弄清题目所述的事件和研究对象；抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；抓住题目中的主要问题，正确识别其类型。
2.问题转化。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。一般有关系分析法，列表分析法和图像分析法。
（二）培养用数学分析意识和创造能力
第一，教师在教学中应注意在从具体到抽象的学习过程中， 让学生对数学知识的来龙去脉有着清晰的认识，而非横空出世。即要结合学生熟悉的事物善于深入浅出地提出数学问题、讲解数学问题，把数学与生活紧密地结合起来；第二，教师要合理引导学生发挥主观能动性，体验数学的再创造过程，从而自我建构数学知识，形成数学思想方法的活动。即要营造一个激励探索和理解的气氛，让学生在观察体验、动手实践的基础上学会把眼前的问题与自己已有的知识体验之间发生关联，从中有效地学习方程思想、数形结合思想、分类思想，学习建模思想、转化思想、整体思想和概率统计思想等方法。
（三）培养想象力
想象力是人类特有的一种思维能力，是人们在原有知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工处理，创造出新形象的能力。爱因斯坦曾说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”
实例一：某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？
这是一个测试想象能力的简单题目，似乎条件不够，无法回答。但只要换一种想法，问题就迎刃而解了。假设他的妻子遇到他后载着他仍旧开往会合地点，那么他就不会提前回家了。提前的十分钟从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。
（四）培养发散性思维及创新能力
所谓发散性思维，是指针对同一问题，沿着不同的方向去思考，从不同角度、不同侧面对所给信息或条件加以重新组合，横向拓展思路、纵向深入探索研究、逆向反复比较，从而找出多种合乎条件的可能答案、结论或假说的思维过程和方法，即常说的“条条道路通罗马”。
实例二：华盛顿大学教授卡兰得卡给学生出了一道题：“试证明怎么能够用一个气压计测定一栋高楼的高度”。
一个学生给出了如下答案：“把气压计拿到高楼顶部，用一根长绳子系住气压计，然后把气压计从楼顶向楼下坠，直到坠到街面为止；然后把气压计拉上楼顶，测量绳子放下的长度。这长度即为楼的高度。”“把气压计拿到楼顶，让它斜靠在屋顶的边缘处。让气压计从屋顶落下，用秒表记下它落下的时间，然后用落下的距离等于重力加速度乘以下落时间的平方的一半算出建筑物的高度。”“可以在有太阳的日子在楼顶记下气压表的高度和它影子的长度，又测出建筑物影子的长度，就可以利用简单的比例关系，算出建筑物的高度。”“还有一个最基本的测量方法。拿着气压表，从一楼登梯而上，登楼时，用符号标出气压表上的水银高度，这样可以用气压表的单位得到这栋楼的高度。这个方法最直截了当。”“当然，如果还想得到更精确的答案，可以用一根弦的一端系住气压表，把它像一个摆那样摆动，然后测出街面和楼顶的g值 （重力加速度）。从两个g值之差，在原则上就可以算出楼顶高度。”“如果不限制用物理学方法回答这个问题，还有许多其他方法。例如，拿上气压表走到楼房底层，敲管理人员的门。当管理人员应声时，你对他说下面一句话，‘亲爱的管理员先生，我有一个很漂亮的气压表。如果你告诉我这栋楼的高度，我将把这个气压表送给您。’”当然最后这个只不过是一个笑话。这种近乎抬杠的方法我们并不提倡，但他这种不被传统固有知识所限制，举一反三，努力提出新方案的思维方式，正是我们提倡的发散性思维。
（五）培养表达的能力
中学建模的结果常常需要以解题报告或论文的形式写出来，这就要求教师引导学生逐步达到能够将自己所做的工作用准确严密的语言表述出来，加强对学生的写作和表达能力的锻炼。教师可以通过一些具体的例子来分组锻炼学生合作建模并表述建模过程，之后分组指导并改进论文，选取较为优秀的论文作为建模课程的范例进行讲解，引导学生展开讨论，从而改进建模方法和解题过程，提高学生的解题能力和写作能力。
三、实例分析
（一）问题及分析
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油的要求。两炼油厂的具置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
■
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用为21.4（万元/千米），油田设计院希望通过数学方法设计一种建设费用最省方案。
（二）建立模型及求解
由于A厂、B厂与铁路的位置一定，但由于A厂、B厂分别在郊区与城区，而铺设在城区管线还需要增加拆迁和工程补偿等附加费用。故可按如下情形进行讨论：车站可能建在Ⅰ区，可能建在Ⅱ区。为此，分如下情形讨论：
■
■
方案（1） 设AT=x，TM=y，则x■=25+CT■，CT=■，TD=20-■由RtFMT∽RtBDT可得：■=■=■
则MD=20-■-y=5，BD=8，MF=■
可得 BF=BT-FT
=■■，
总费用 W=7.2（AT+TB）+21.4BF
=7.2（x+■+21.4■■，
由于W为关于x的一元函数，为使总费用最小，只需求导并令导数等于零即可。即解方程■=0，则可得x即转接点的位置，从而得到最佳设计方案及最省费用。
由计算得：x=6.69，Wmin=294.43。
方案（2） 设MT=y，则DT=5-y，管线长度L=AQ+QT+BT，
由RtTQM∽RtTAC可得： ■=■=■，
所以 TQ=■■，QM=■，
则AQ=AT-QT=■■，BT=■=■，
因此，总费用 W=7.2（AT+TB）+21.4（QT+TB）=7.2（■+■）+21.4（■■+■）
由于W是关于y的一元函数，对y求导并令倒数等于零即可。
从而可以得到最佳设计方案及最省费用：y■=0，W■=383.654。
四、结语
在中学数学教学过程中融入数学建模思想， 一方面能使学生逐步熟悉和掌握利用数学方法来解决实际问题。这将使学生对数学方法的运用产生兴趣，并逐步提高解决实际问题的能力。另一方面对于从事多年传统数学教学的教师来说，也是一项转变教学观念，更新教学方法的实践，能使教师的数学教学从与实际脱节的理论传授方式向实际的应用数学模式转化。
参考文献：
[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京： 高等教育出版社，2004.
【关键词】农村中学生 填鸭式教学 分层教学 数学素养 课堂实效性
数学，再熟悉不过的一个名词。看似如此简单的两个字，但却在我们的日常生活中起着举足轻重的作用。伟大的数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”也曾经有过关于数学的谚语“学会数理化，走遍天下都不怕。”这些都足以证明数学的重要性。正是由于数学无处不在，过于普遍，人们往往容易忽视它，尤其是在农村，人们的文化素养还没有达到较高的水平，对数学的内在功能不了解，导致不重视数学的培养，为此我提出这一课题，目的是让大家明白数学的重要性，学好与我们生活密切相关联的数学。
经过农村高中数学教学三年的实战经验，我发现农村中学生的数学成绩和城市相比，还存在着很大的差距。而想要缩小这种差距，我认为可以从以下几个方面着手：
1. 备课方面
教师上课，教案是非常必要的，它可以指引你的上课思路，是对课堂的规划。在农村，教师相对比较紧缺，竞争压力不是很大，所以有很多老师写教案仅仅是为了应付学校的检查，教案中没有任何实质性的知识。这种做法会导致在上课的过程中缺少逻辑，漏洞百出。教师备课不仅仅是要备教案，还应该备学生，备重难点，备教法学法，备板书，备时间，备作业。俗话说“凡事预则立，不预则废”，只有在上课前做好充分的准备工作，才能在课堂上做到设身处地，游刃有余。例如，我在设计《函数的概念》这节课时，首先我找学生进行谈话，了解他们对于初中所学函数定义的理解深度，然后根据调查结果，我选择好差生搭配式探究法来自主探究概念，初高中对比式的板书来引导学生逐步递进，紧扣概念的基本题来促使学生掌握要点，然后根据时间进行变式训练，保证全体学生对基本概念掌握的同时，也对部分学生完成了数学思维能力的适当提升。这样的数学课堂让学生感受到数学的“美”，对数学产生强烈的好感，从而乐于在数学中去发现、探索问题，使自己成为课堂的主人。
2. 授课方面
教学是一门艺术，它不单单是把教师的知识单向地灌输给学生，而且应该是一个双方互动的、有趣的、充满活力的活动。现在的教育形势已经从之前的“填鸭式教学”转变为“开放式、自主式学习”，所以在课堂上教师一定要树立“教为主导，学为主体”的教育理念，给学生引导好学习的方向，还给孩子们学习的自由空间。在农村中学，教师对新课改的理念还没有太多的转变，从而忽略了“学生为中心”的理念，不断地进行填鸭式教学，使得学生特别讨厌数学课堂，觉得数学课枯燥无味，从而失去了学习的兴趣。要想改变这种状况，我觉得又要从以下几个小方面入手：
（1）课题的导入
良好的开端是成功的一半。精心的引导是教师主导核心，是正确摆正学生主体学习的关键，好的导言能先声夺人，能有效激发学生学习的好兴趣，这样的课堂一定可以达到事半功倍的效果。那到底要如何导入呢？第一，课题导入要遵循一定的原则，要有目的性、科学性，要短小精悍、形式灵活。第二，要选择恰当的导入方式，如故事引入法、悬念引入法、实验引入法、讨论引入法、致误引入法、单刀直入法都不失为一些好的导入方法。当然课堂导入法并不是一成不变的，教师可以根据学生的爱好和课堂的内容来自行选择。一些不恰当的导入会让学生误入歧途。例如：一老师想引入函数的奇偶性，他在黑板上画了三个函数的图像，然后就问这些图像有什么特征？学生回答“都在黑板上画着了”，你看，就因为他的导入目的不明确，学生根本就不知道从哪个方向去回答。如果该问题改为“从这些图像的对称性去看有什么特征”是不是方向就明确了呢？再如，在讲等差数列的前n项和公式式，就可以用高斯的故事来引入，学生一定有兴趣。总之，好的导入方式可以提高中学数学的课堂教学效果。
（2）教学方法
众多教师一贯的教学方法就是传统的“讲解法”，即单重一味地讲，不管学生的学。而在新课改的教育形势下，好的教学方法必须立足于 “教为主导，学为主体”“开放式合作式学习课堂”“学生才是课堂的主人”的这种理念。教学方法是完成教学任务的一种手段，它在课堂成败中起着关键的作用。教无定法，贵在得法。只要有助于学生的学习，就是好方法。我个人觉得讲练结合法，讨论分析法，探究式学习法，五让教学法都不失为好的方法。如在《诱导公式》这节课中，我就选择了探究式学习法，让学生自己根据正余弦函数的定义，借助于单位圆画图去分析探究，从而得出结论，课堂达到了预期效果。好的教学方法能吸引学生的注意力，让学生对数学充满热情，从而自主学习、探究，不断地提升发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）分层教学
在一个班级中，各位学生的数学基础参差不齐，在数学的学习兴趣与爱好上、对数学知识的接受和理解能力上，都会存在有很大的差异，这就要求教师教学不能“一刀切”，要针对不同层次的学生进行分层。要根据学生的数学基础，学习能力，学习态度，自学能力，智力水平，再结合学生的性格特征，家庭环境，最大限度地利用学生间的差异，做到对每位学生都一视同仁。在我任教第一年，因缺少经验，对分层教学没有做到位（忽略了差生），导致学期末成绩很不理想。后两年汲取教训，针对不同层次的学生进行不同的教学，成绩有了很大的提升。对于学困生，一定要做到不歧视、多鼓励、多表扬，给他们布置基本题，让他们充满能学好数学的自信心；对于优等生，要注意表扬的尺度，不能让他们自傲，给他们布置提高题，让他们的数学思维能力得到进一步的提升；对于中等生，要鼓励、也要鞭策，给他们布置基础题，在他们掌握基本知识的前提下，再适当进行提高题的训练。
3. 学生的数学素养方面
教学，就是“教师教”与“学生学”的有效结合活动。要想上好一堂数学课，只有教师的“教”是绝对不行的，学生必须也要参与到课堂中来。即使教师的备课、授课工作做得再到位，没有学生的互动，这就是一节失败的课堂。俗话说“名师出高徒”“只有不会教的老师，没有不会学的学生”，在我个人看来，这种观点还带有片面性，否则为什么又会有“对牛弹琴”这种说法呢？要想达到高效课堂，教师要负起自己教的责任，学生也要担起自己学的义务。首先，学生应该做到端正学习态度；其次，学生应该做到在课堂上开口，动手；最后，学生应该做到勤于思考，探究。学生的数学素养会影响教师的教学效果，教师的教学效果反过来又会影响学生的数学素养，这样一直恶性循环下去，数学成绩自然没法提升。
4. 家庭的监督方面
要想学好数学，提高成绩，家庭的监督也起着不容忽视的作用。人们常说“要注重孩子的家教”，“某人的家教不好”，这些话语都体现出了家教的重要地位。为什么农村的孩子没有城市的孩子聪明、懂礼貌，这就是家教不同的结果。在农村，大多数家长文化水平很低，对教育的认识不深刻，认为上学没多大用，导致了对孩子教育不重视的结果。在我任教的地方，有很多学生的家长外出打工，对孩子放任自流，不管不问，久而久之这些孩子就变成了“问题学生”，打架、上网、赌博、喝酒，无所不做。那么要想达到数学高效课堂，提高学生的学习成绩，家长也应该参与到其中来。首先要转变陈旧观念，认识到教育对学生的重要性；其次，要正确引导学生的学习，注重培养孩子良好的学习习惯；第三，不能急于求成，成绩不好时要耐心辅导，不能打骂，要培养孩子的自信心；最后，要时刻关注孩子的学习情况，与教师多交流沟通，共同来谱写孩子的教育篇章。
总之，数学是一门很重要的学科，它贯穿在了其他所有的学科中，与我们的日常生活密不可分，起着至关重要的作用。要想学好数学，在今后的数学教育活动中，教师、学生、家长都应该演绎好自己的角色，为学生提高数学成绩，进一步提升数学能力提供最有效的资源。
【参考文献】
[1]云.高效教学方法的探讨[J].教育教学论坛，2013（06）：59-60.
[2]刘辉.论初中数学高效课堂的构建[J].教育教学论坛，2013（06）：142-143.
