时间：2023-05-29 17:22:31
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇一次函数知识点，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
第六章知识点
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数)，分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
(1)关系式(解析)法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
(3)图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量)。
特别地，当一次函数中的b=0时(即)(k为常数，k0)，称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数 的图像是经过点(0，b)的直线;正比例函数 的图像是经过原点(0，0)的直线。
第七章知识点
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法
第八章知识点
1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量：平均数、众数、中位数
2、平均数
(2)加权平均数：
3、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
初中数学中的函数学习主要包括了一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、三角函数等. 而在函数的学习之中，概念的学习以及各种函数的特征及性质是非常关键的一个知识点. 只有掌握了这些基本的知识点，才能够更好地推动学生的进步和发展.
多媒体设备是信息化社会下教育发展的重要助手. 所以教师在新的时代背景下，一定要善用多媒体设备，借助多媒体设备这个先进的教学工具更好地推进教学的发展和进步.
我们都知道初中数学中函数部分的学习，学生学习起来比较困难，在函数的学习中，学生掌握的难点主要有以下几个：1. 函数的概念；2. 函数的基本性质；3. 函数的图像；4. 函数的动态变化.
这些知识点让学生对函数产生的基本认识是抽象而枯燥的，很多学生无法吸收消化掉这些知识点，也无法将这些知识点运用起来，甚至很多学生对一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、三角函数之间的区分依然模糊.
所以，在这样的情况下教师就可以借助多媒体设备来将抽象化的函数教学具体化、生动化，将函数的知识点与我们的实际生活联系起来，并且以一个动态的方式展现出来，进而帮助学生更好地理解好、区分好函数的基本知识点和概念.
此外，为了让学生的认识和学习更加深刻，教师还可以在课件制作的过程中，有选择地将一些知识点进行加粗、标红等处理，以使得学生可以更加清楚地看到这些内容，从而引起学生的注意.
除此以外，笔者认为在函数教学中，教师一定要注意对函数知识点进行梳理，例如：
在完成了全部函数的有关知识的学习之后，教师可以在多媒体设备上运用比较法将函数之间的区别进行展示：
1. 一次函数
表达式：形如y = kx + b（k，b为常数，且k ≠ 0）的函数叫做一次函数. 当b = 0时，y = kx + b即为y = kx，所以正比例函数是一次函数的特例；
正比例函数的性质：当k > 0时，直线y = kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k < 0时，直线y = kx经过二、四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小.
2. 二次函数
A. 解析式：
一般式：y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）
顶点式：y = a（x + m）2 + k（a ≠ 0），此时二次函数的顶点坐标为（-m，k）
两点式：y = a（x - x1）（x - x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标
B. 性质：
开口方向：当a > 0时，函数开口方向向上；当a < 0时，函数开口方向向下；
对称轴：直线x = -■.
当然为了让对比更加明显、容易区分，笔者认为教师还可以将这些内容制作成表格，这样取得的对比效果也能够有效地提升学生的区分记忆和理解.
二、强化数形结合的意识
函数部分的学习一定离不开图形，而且函数这个部分的数学语言是由两个部分组成的：图形和数字. 为了更好地理解题目所给出的条件以及相关的要求，笔者认为教师应该在教学之中注意引导、强化学生的数形结合意识.
我们在对函数的相关内容进行学习的过程中，就会发现任何一个函数的学习都离不开函数图像，图像的存在使得我们对函数的性质有了一目了然的理解，使得很多抽象的语言变为了形象的图形进而更好地推进函数教学发展. 例如：
在二次函数的学习中，其中一个非常重要的性质就是函数的对称轴是直线x = -■，为此很多学生都会问为什么是直线，而不是线段，为什么函数的对称轴可以直接用一个函数中的常数项来表示. 这些问题初看起来很难解决，但是将二次函数的基本图形一画，再画上几个确定了二次项、一次项、常数项的图形我们就能够很好地理解这些疑难.
因此，培养学生的数形结合意识可以让学生借助图形来认识函数的基本性质，也可以让学生在图形的帮助下更好地解答有关的题目.
三、精讲精练多训练
函数教学还需要做到的一点就是精讲精练. 笔者认为在函数教学中，教师一定要注意找出一些很经典的题目来作为例题进行讲解，并且要注意用一些好的题目进行配套练习. 在这些过程中，教师还应该及时地给学生讲解. 在讲练的过程中使得学生消化相关的知识并且学会应用函数的知识完成相关的解答.
四、小 结
如果初中数学教学中的函数教学获得了成功，那么初中数学的学习就基本上获得了一半的成功. 所以，教师要注意加强对函数教法的有益探究以提升函数教学的效率，并最终实现初中数学教学效率的提升.
【参考文献】
[1]郑克秀.对初中数学锐角三角函数教学的点滴思考[J].试题与研究·教学论坛，2012（26）.
初二下册数学知识点有哪些你知道吗?初二是学习数学的一个关键时期，想要学好数学需要有一个好的学习方法，其实最简单又有效的学习方法就是对知识点进行归纳总结了。共同阅读初二下册数学知识点，请您阅读!
初二下册数学总结第一章分式
1分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变
2分式的运算
(1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减
3整数指数幂的加减乘除法
4分式方程及其解法
第二章反比例函数
1反比例函数的表达式、图像、性质
图像：双曲线
表达式：y=k/x(k不为0)
性质：两支的增减性相同;
2反比例函数在实际问题中的应用
第三章勾股定理
1勾股定理：直角三角形的`两个直角边的平方和等于斜边的平方
2勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
第四章四边形
1平行四边形
性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
对角线互相平分的四边形是平行四边形;
一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。
2特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形
(1)矩形
性质：矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等;
矩形具有平行四边形的所有性质
判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;
推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质
判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。
(3)正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。
3梯形：直角梯形和等腰梯形
等腰梯形：等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等;同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
第五章数据的分析
加权平均数、中位数、众数、极差、方差
初二必备数学知识位置与坐标
1、确定位置
在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
2、平面直角坐标系及有关概念
①平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
②坐标轴和象限
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点(坐标轴上的点)，不属于任何一个象限。
③点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫做点P的坐标。
点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
④不同位置的点的坐标的特征
a、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限 x>0,y>0
点P(x,y)在第二象限 x0
点P(x,y)在第三象限 x
点P(x,y)在第四象限 x>0,y
b、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上 y=0，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上 x=0，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)即原点
c、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上 x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数
d、和坐标轴平行的.直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
e、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P’(x，-y)
点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P’(-x，y)
点P与点p’关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数，即点P(x，y)关于原点的对称点为P’(-x，-y)
f、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
点P(x,y)到x轴的距离等于 ?y?
点P(x,y)到y轴的距离等于 ?x?
点P(x,y)到原点的距离等于 √x2+y2
初二数学常考知识一次函数
1、函数
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数)，分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
3、函数的三种表示法及其优缺点
关系式(解析)法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式(解析)法。
列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
4、由函数关系式画其图像的一般步骤
列表：列表给出自变量与函数的一些对应值。
描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。
连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
5、正比例函数和一次函数
①正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b (k，b为常数，k不等于 0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量)。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时(k为常数，k 不等于0)，称y是x的正比例函数。②一次函数的图像:
所有一次函数的图像都是一条直线。
③一次函数、正比例函数图像的主要特征
发散性思维和复合性思维是创造性思维的重要成分.所谓发散性思维，它是指在解决问题的过程中，思维不受任何限制，从各种不同的角度、方向寻找各种不同或者完全相反的解题办法，探求多种方案，最终使问题获得圆满解决的思维方法.复合思维是利用已知信息，根据熟悉的规则，得到正确结论的思维，它强调记忆的作用.发散性思维是建立在复合性思维基础上的，当发散性思维与复合思维在多种水平相结合时，才能闪耀出创造性思维的火花.那么在数学教学中，我们该怎样重视发散性思维的教学呢？
一、依据教学内容
例如，①代数计算.是运算律和运算技巧的综合，发散性思维要贯穿于一题多解中.如已知x=3+12，求2x2+2x-1的值.先问有几种方法，学生思考后可总结出直接代入计算，也可适当变化后用整体代入计算，异曲同工.②一题多证.可运用各种不同的知识，从不同的角度来考虑.如已知RtABC中，∠ACB=90°，CD是高，M是AB中点，∠A=2∠B.求证：DM=12AC.可以考虑用三角形的中位线等于斜边的一半，先找出长为12AC的线段，再证明它等于DM；也可以考虑用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作出长为12AC的线段；甚至也可以用代数方法证明.③在讲客观题的解法时，除用常规解法外，也可用检验法、特殊值法、图画法等等.例如ABC中，∠C=60°，∠BAC=75°，AE是BC上的中线，CH是AB上的高，比较AE、CH的大小.按常规需作辅助线，通过勾股定理、面积公式等繁杂的计算，再比较两个复杂的实数的大小，花时甚多.其实只要正确作图，用刻度尺量一下，很快就可以解决问题.通过比较，使学生灵活地掌握知识点，有目的地进行有限范围内的发散性思维训练.
二、重视教学过程
教学的程序直接影响着学生的思维活动.求解时要注意把知识点放到该知识的面上去考虑、理解、应用，要注意知识点间的联系和障碍，要有纵向和横向的考虑.例如学一次函数y=kx+b(k≠0)时,纵向考虑的话，让学生用描点法画出它的图像，知道一次函数的图像是一条直线，从而启发学生用画一次函数y=kx+b的图像的方法，只要取两点即可画出.接着让学生讨论直线y=kx+b的性质，从横向去考虑，一次函数及图像与二元一次方程的关系，引导学生思考前者有两个变量后者有两个未知数；前者直线上有无穷个点，它们的坐标都满足函数关系式，后者二元一次方程有无数个解.如果把二元一次方程的每个解，作为有序实数时，恰好与一次函数直线上点的坐标一一对应，从而进一步认识到一个一次函数（或一条直线）对应着一个二元一次方程，一次函数图像上的每个点的坐标即为二元一次方程的解，直线上无数个点的坐标就是对应着二元一次方程的无数个解.经过比较分析，最后综合得出确定的结论，使学生得到了额外的寻找解的途径，整个过程既有以过程为要求的发散性思维，又有以结论为要求的复合思维.
三、注重横向联系
复习不是简单地重复，而是在原有基础上进行新的认识和提高.复习小结从结论上看是一个复合思维的过程，根据要求，哪些内容要掌握，哪些是重点、难点等，但从过程看，也是发散性思维的体现.例如学习等腰三角形后，通过复习，得出添辅助线的常见方法有：连对角线得到等腰或全等三角形；将梯形的腰、对角线平移，可以将分散的条件集中，又可用等腰三角形的知识来解；作梯形的高得到直角三角形，可用勾股定理等知识来解；延长梯形两腰，得到相似三角形，可用相似三角形的有关知识来解；取梯形两腰中点，，即可用梯形中位线定理来解.对这些知识，要靠理解记忆，更要靠发散思维，才能达到“温故而知新”的目的.
在数学教学过程中，只要我们注意强调知识内容的再现性和目的性，理解发散性思维既以复合思维为基础，又在此基础上进一步求得发展，这样的发散性思维教学才有生命力，才能发挥其应有价值.
关键词：初中数学； 一题多变
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）01-041-001
波利亚说：“教学生解题是意志的教育，但学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待灵感的到来，学会了当灵感到来后全力以赴。如果在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。” 如果我们教的学生具有主动探索的欲望与能力，我们的教育才是有意义的，而现行初中数学课本中，不少习题内涵丰富，对学生思维能力有不同寻常的作用和丰富的教学价值。而如何才能让解题发挥它的效应，笔者在教学实践中发现，有效地进行一题多变，让学生在无限的空间里实现思维的飞跃，有助于开启学生的应变力、想象力、创造力之门；一题多变以问题探究为中心，通过研究一个问题的多种解法或同一类型问题的相似解法，有助于拓展学生思维的广度和深度。一题多变重在培养学生探究性学习的意识，有助于学生举一反三，同时也有助于学生知识点的融会贯通，使学生的思维更加活跃。下面攫取一二，与各位老师共同探讨。
如：已知，在ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，求证：BD=CD。
1.将结论变得较简单些
已知，在ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：BD=CD。
2.条件变而结论不变
已知，在ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，求证：BD=CD。
3.条件不变而结论变
已知，在ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，求证：ADBC。
4.条件与结论都变
I已知，在ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线，求证：AD平分∠BAC。
II已知，在ABC中，AD是底边上的中线，并且AD是∠BAC的角平分线，求证：AB=AC。
III已知，在ABC中，AD是底边上的中线，并且ADBC，求证：AB=AC。
在教学中，我提倡学生做一道题收获一道题：不仅要会将给定的题目分析得解，还要学会总结反思解题规律、方法思路、技巧、数学思想方法等，最重要的是要充分发挥成题的作用，学会对一道成题从不同角度进行变式，在变化中分析、思考，从而达到将知识学活、学会学习的目的。就像本题，考察的是等腰三角形中三线合一的知识点――等腰三角形两腰相等，角平分线垂直平分底边。本题中对于等腰ABC而言有AB=AC，∠BAD=∠CAD，BD=CD，ADBC四个条件，知道了其中两个可以求证另外两个，这样就有六种变形。
由上述六种题型的变换，不仅使学生对这一知识点了如指掌，更是增加了学生们学习数学的乐趣，将知识学得透彻，学得活泛。把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，看似浪费了时间，实质触及到思维的灵魂，收到了事半功倍的效果。
再如：已知函数y=（3-k）x-2k+18是一次函数，求k的取值范围。
设计意图：考查一次函数的定义：y=kx+b中k≠0。此处要求3-k≠0即k≠3
一变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18的图象经过原点；
设计意图：考查点与图象和点的坐标与函数解析式之间的对应关系：
图象过原点等于要求x=0，y=0满足y=（3-k）x-2k+18。解得k=9
二变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18的图象与y轴的交点在x轴的上方。
设计意图：考查一次函数的图象与x轴、y轴的交点问题，并能将文字语言翻译成数学语言：与y轴的交点在x轴的上方表示交点的纵坐标，即-2k+18大于0。解得k
三变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18随x的增大而减小，此处要求3-k3设计意图：考查一次函数的性质。
四变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18图象经过一、二、四象限？
设计意图：学习一次函数的最重要方法是数形结合.结合图象，将问题转化为解关于k的不等式组。3-k>0且-2k+18>0，解得k
五变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18图象平行于直线y=-x；设计意图：考查决定两条直线位置关系的因素，这里只涉及简单的情形：两条直线平行等价于3-k=-1，解得k=4。
六变：直线y1=（3-k）x-2k+18与直线y2=2x+12交于点P（-1，a）。
（1）求k的值；
（2）x为何值时， y1>y2；
（3）求直线y=（3-k）x-2k+18、直线y=2x+12与x轴围成的三角形的面积。
设计意图：（1）交点的意义：点P（-1，a）满足y=（3-k）x-2k+18与直线=2x+12，从而求得a，k；（2）解决第二问时有多种方法：解不等式，数形结合；（3）第三问需要借助图象明确所求的图形，弄清点的坐标与线段长的关系（这是学生的易错点，补充强化练习：如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，求k的值）。
在本节课中，通过对一次函数y=（3-k）x-2k+18的多角度变式，让学生将一次函数的基本知识吃透，并且将转化的思想、数形结合的思想含儿不露地加以应用，学生的思维、能力均得以发展。
关键词： 初中数学教学 自主反思能力 培养策略
学生对现实问题或社会现象充满能动探索、思考、解答的欲望，这是学生反思实践性的重要表现。反思能力作为学生思维能力的重要组成部分，在学生良好学习能力素养的形成过程中具有积极的推进作用。荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔曾经指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”“通过反思才能实现现实数学思维化。”教育学家波利亚也指出：“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和检查这个结果，回忆得出这个结果的思路，学生可以巩固他们的知识，发展他们的能力。”同时，新实施的初中数学课程标准也指出：“切实增强学生的问题意识、探究意识、反思意识，促进学生全面健康发展。”现对初中数学教学中培养学生自主反思能力的策略进行简要论述。
一、设置问题特性教学情境，引发学生自主反思的内在潜能
情境是教学内容外在化、具体化及生活化的重要表现形式，是激发学生内在潜能的重要因素之一。初中生的反思缺乏稳定性和持久性，需要外在良好氛围和内在积极情感的双重“刺激”。初中数学教师可以利用数学学科知识的典型特征，设置生活中的数学问题，凸显数学案例的“问题特性”，引导学生思考生活中的数学问题，调动学生自主反思的积极性和能动性。
如在教学“三角形的三边关系性质”后，教师设置了这样一个问题：小明在家做“拼接一个三角形”的手工作业，现在他准备了5厘米、7厘米、10厘米和15厘米的四根小木棒，小明可以拼出多少种不同的三角形。学生纷纷动手在练习簿上画图。有的学生认为可以拼出三种不同三角形，有的学生认为可以拼出四种不同三角形。此时，教师让一位学生按照“1∶2”的比例，在黑板上进行模拟试验。这时，学生认识到上述问题实际上是关于三角形三边性质的问题，利用两边之和及两边之差与第三边的关系就能求得。这样，学生在问题性教学情境中，通过思考、分析和反思，对三角形三边关系有了深刻准确的掌握，激发了反思能动潜能。
二、教授学习探知方法要领，提高学生自主反思的能力素养
教学实践证明，学生自主反思活动的有效有序开展，需要学生学习探知方法要领作为支撑和保障。因此，在教学活动中，初中数学教师要引导学生对数学概念、解题过程、单元教学、教学内容等进行思考和探索，通过层层引导、逐步推进，帮助和指导学生理解知识点要义内涵，掌握解题方法策略步骤，为学生开展良好反思活动提供方法指导和能力支持。
如在“一次函数”的概念教学中，教师向学生提出如下问题：（1）一次函数研究的对象是什么？（2）一次函数的研究对象之间具有什么关系？（3）一次函数中y与x之间具有什么样的关系？（4）这个和我们学习的一元一次方程概念之间存在什么关系？区别又是什么？此时，学生结合所提问题，经过反思，能够对一次函数的定义理解进一步深化，有利于学生对一次函数图像及一次函数与其他知识点之间联系的深刻理解和掌握。又如在“平行四边形性质”问题课教学中，教师设置了“如图所示，已知ΔABC中，E、F分别为AB、AC的中点，CD平分∠BCA交EF于D，求证：ADDC.”问题案例，在学生解答结束后，教师从三个方面引导学生对问题解题过程进行反思。（1）在解题过程中，是否理解了问题的题意，是否弄清楚了问题条件与结果之间的关系，是否找到了问题解答的关键点和突破口；（2）对“平行四边形性质”问题案例的解题方法，以及策略是否掌握，该问题案例解题的规律是什么，是否还有其他解答问题的方法或途径；（3）解决该类型问题对解决其他问题是否具有什么意义，解题中还存在哪些需要改进的地方。这样，学生在教师针对性、具体性的引导下，反思能力水平获得了有效提升和进步，思维的过程更加具有针对性、全面性和实效性。
三、实施阶段学习活动总结，促进学生自主反思的习性养成
反思能力培养是一项系统复杂的工程，学生自主反思习惯的养成，需要长期、持久的锻炼和实践，并通过不断地总结和提升。因此，初中数学教师在培养学生反思能力过程中，要做好阶段性学习活动的总结评价工作，根据数学学科知识章节脉络，教学目标及教学重难点，学生阶段学习活动表现及效率，进行针对性、实时性的评价总结活动。引导学生结合学习活动表现进行客观剖析活动，通过沟通新旧知识的联系，挖掘知识点之间的深刻联系，促进知识的沟通和迁移，提升学生学习活动的成效，使学生在教师总结评价和自身反思中养成良好学习习惯和反思品质。
【关键词】 数学教学；引导反思
在数学课堂教学中，教学任务的完成和知识点的落实不可能面面俱到，学生知识的获得在课堂上是有限的，这就要求我们的教师应注重培养学生的学习反思能力。因此，数学教学中一定要积极引导学生学会反思，积极反思。要充分调动学生求思的积极性和主动性。那么，在教学中如何引导学生去进行反思呢？笔者认为：
一、引导学生课前预习反思
预习是深入学习的基础，在教学中，可以要求学生课前预习，而且引导学生在预习后，再回顾一下预习的内容和过程，多问几个为什么，如：本节主要研究了哪些知识点？重点、难点是什么？有哪些概念、公式、定理？自己理解了多少？书中又是怎样解释的？这节内容与以前学过的知识点有联系吗？本节课有哪些解题方法和技巧？等等。
引导学生课前反思，就是要求学生通过具体措施了解自己的学习状况，把看书、做部分习题提前到知识点讲解前，带着问题进课堂。这样一来，学生能自行掌握的知识无需教师重复，教师可以把更多的时间用于解决学生存在的问题上。而学生自行掌握的知识并不亚于教师给予的，在课堂上可以把主要精力投入到自己关心的问题上来。
二、在课堂教学中引导学生反思
教师在教学过程中，教学设计就应充分考虑学生的实际情况，要充分引导学生在学习过程中要不断加强反思、质疑，以求培养他们的创新能力。首先在教学新课之前，应引导培养学生对上一节内容知识的反思，也即复习，在简单的复习旧知的同时，应引导学生充分挖掘教材知识的深层意义及知识的扩展。
1.在概念教学中应引导学生反思。初中数学中有很多概念具有相似的属性。对这些概念的教学，教师可先引导学生反思已学过的有关数学概念的性质，通过类比、体验，帮助其构建新知识的生成空间，让其在反思中形成新的概念知识。
例如，在一次函数性质的教学中，我首先让学生画一个一次函数图像和一个正比例函数图像。接下来引导学生反思学过的正比例函数性质。经过类比，对照正比例函数性质，学生很快就能给出一次函数的一些性质。这样，通过引导学生反思正比例函数性质得到一次函数的有关性质，使学生觉得正比例函数是一次函数一种特殊情况。
2.引导学生反思典型例题。数学教学中的典型例题学习过程是学生掌握新知、建构数学知识体系的主要途径。不能讲解完例题就此罢手，应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题。例如，解方程： （x-2）2-4=0一些同学只记得要用求根公式法来解一元二次方程，先去括号、合并，再化为一般形式，然后代入求根公式把x的根给求出来，这样的过程计算量大又经常解错。引导学生反思一元二次方程的各种解法，找出各自的特点、规律，选择最佳的解题方法。
3.引导学生在探究性学习中反思。在探究教学中，教师可先引导学生反思探究问题的整个思维过程，然后用已学的方法研究新问题，帮助其在反思中形成探索新知的方法。例如，探索二次函数y=ax2+c的图象的性质，先引导学生通过观察y=
ax2+c的图象与y=ax2的图象的关系，获得两个图象的形状是一样的，然后我引导学生反思从y=ax2到y=ax2+c的图象变换的探索过程及方法，让学生体会由特
殊到一般的化归思想，也为接下来探索y=ax2+c图象的性质提供研究方法。
三、引导学生在解题后反思
解题后的反思是对解题活动的反思，要求学生从做完一道题后进行反思开始，主要包括对题意理解的反思、试题涉及知识点的反思、解题思路形成的反思、解题规律的反思及解题失误的反思。这样不仅能巩固知识，减少解题的错误，更重要的是发展了思维，同时让学生意识到“反思”的好处，强化了反思意识。那么，如何进行解题后的反思呢？
1.反思所涉及的知识点。数学题目是灵活多变的。同一个知识点，命题者可以从不同的角度和侧面或以不同的层次和题型来考查。为什么我们做了许多题目，面对新题型时，往往觉得很难，其症结主要是找不到命题者的意图及考查的知识点。由于知识点不清晰，在解题时就无从下手。因此，每解答完一个题目，应反思题目所涉及到的基础知识，命题者的意图，题目的陷阱。
2.反思所用的解题方法。即要反思：我这样解题依据是什么？这种解题方法适合哪类题目？本题还有其他解法吗？哪一种方法更好？改变条件后，此题又变成什么样？又如何解？尤其解题后引导学生反思变式，不仅加深学生对某类问题结构和特征的理解，而且有利于培养学生思维的广阔性，使学生做一道题，会一套题，提高了解题能力，达到了命题专家提出的“用学过的知识与方法，解决没有见过的题目”的高度。
【关键词】数学 研究性学习 数学课堂
根据新课标要求，我们更为明确地认识到当今社会所培养的对象是学习型人才，注重的是学生的学习能力。新一轮的课标，提倡以学生为主体的学习模式，这也就意味着我们更应侧重教师对学生的引导，学生对问题的探究以及应用能力。而面对初中的学生，培养他们的研究性学习能力，对高中的自主学习以及大学的深入研究，有着举足轻重的作用。
（一）对研究性学习的认识
研究性学习是主要是与传统的接受性学习相对。应该说，凡是学生通过亲身参与的实践活动（如观察、调查、访谈等）获取知识，得出结论，都属于研究性学习。研究性学习的本质在于，注重知识产生与形成过程，是实践性较强的学习模式。
我们所谓的研究性学习，泛指学生探索性的学习。在此，我要谈的是，初中阶段应该更注重学生的研究性学习方式，由教师的引导，到学生的质疑、探索，最后发现问题与总结问题的过程。
（二）如何在数学课堂中渗透研究性学习
在学习《一次函数的性质》时，我就渗透了研究性学习的方式。探索一次函数的性质为今后学习反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质奠定了基础。初二数学中的函数又是中学函数知识的开端，是学生正式从常量世界走入变量世界。所以，要让学生学好《一次函数的性质》，就要让学生亲身感受所画图像的变化过程。让学生在画图像的过程中，从宏观和微观两方面，体会图像中点的变化特征。所以我进行了以下的操作。
教学过程设计：
（一）复习巩固，埋设问题
1、对"一次函数的概念"，"一次函数关系式"，"一次函数的图象画法"的复习；
2、考虑到知识的引入必须"由浅入深"，而在学习新知识前，为了避免打击学生的积极性，消除学生烦躁的心理，激发学生学习的兴趣。给出一个一次函数关系式：y=x，利用列表法，画出y=x的函数图象。为了帮助分析图像，这边要求学生多取几个点。
（二）探索新知
1、在这个过程中，为了让学生能够由感性的认识提升到理性认识，先让学生对刚所取的点的坐标，进行观察：
我们知道，函数图像是有无数的点组成，要研究《一次函数的性质》我分了两方面，一是微观，即点的特征；二是宏观，即图像的整体特征。
问题1：观察表格，函数值y随着自变量x的取值的增大，发生了什么样的变化？
这时，表格的直观性可以很清楚地让学生感受到"y随着自变量x的增大而增大"。
问题2：函数图像有什么特征？
学生根据自己的所画图像，从整体感知图像的变化。这时有的学生会用手比较图像变化的趋势，会说像"上坡"等等，可能想表达的意思是一样的，但答案不一。教师再稍微引导，帮助总结语言。
而对于这简单的、特殊的一次函数，学生很容易找到性质，那是不是所有的类似这类型的函数都具备这种性质呢？所以进行一下操作。
2、给出一组函数：（函数关系式由简单到复杂，接下去的分析过程相类似，这样可以让学生感受画好一次函数图象的重要性，并且在画图的过程中感受一次函数图象的变化规律。）
第一、二组同学画y=3x-2的函数图象；第三、四组同学画的函数图象。各派两名同学把这两个图象画在黑板上，其他学生按组完成画图，并根据分析一次函数的两个变量之间的关系及图像特征记录自己的结论。
问题3：观察y=x；这三个函数关系式有什么共同的特征？
（为了解决问题，可以让学生回归y=kx+b，k≠0的函数关系式，观察这个函数关系式中最关键的两个字母k，b）
学生根据自己的结论，最后发现解析式不同，但是结论相同，这时就要引导他们思考：对不同的解析式为什么结论会相同？让学生自由讨论，正确认识解析式中的要素所起的作用，为总结问题做准备。学生通过讨论会发现b可以是0，大于0，小于0。可是k都是大于0。
问题4：观察这三个函数图象都有什么共同的变化规律？
发现共同之处：对于一次函数y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升。
3、基于前面对一次函数y=kx+b，（k>0）的情况有了一定的认识和分析能力。现在仍然进行下列操作：
给出另一组函数解析式：
第一、 二组同学画的函数的图象；第三、四组同学画y=-x+2的函数的图象。同样，各派两名学生把各自画的两个函数图象画在黑板上，让学生根据之前的分析过程先进行讨论：
（1） 列表法观察函数值随自变量的增大发生什么样的变化？
（2） 结合图像观察函数值y随自变量x的增大发生了什么变化？
（三）对研究性学习在初中数学课堂中渗透的感悟
初中的数学学习让学生思维的严谨性、缜密性得到了提高，因为这种思维特征，也就促使我们需要多问几个：为什么？而这种研究性学习的特征，就能让学生在学习过程中，深刻地去理解每个知识点，不只是停留在表面的记忆或者是短暂的记忆。只有学生亲身感受过的，亲自探索过的，才是他们的劳动所得，才是他们的收获，不管收获多少，哪怕一点点，都可能对他们今后的学习起到促进作用。
或许对《一次函数的性质》这节课，作为教师，我想我可以再把尺度放得宽些，可以让学生不拘泥于我的教学设计，可以让他们写自己喜欢的函数解析式，每个同学都画出自己的图像，展示每个学生的成果，让每个学生都来总结，记录他们的结论，再让他们归类，或许我们可能还会发现学生更多的思想，在引导学生学习《一次函数的性质》的同时，我们可能还会看到很多学生的值得尊重的"闪光点"。
参考文献
[1]谢雅礼.提高数学教学质量[J].福建中学教学
关键词 高中数学；难点教学；案例分析
一、高中数学难点的界定
高中数学的难点从字面上理解就是学生学习过程中理解不透彻、教师教学过程中有难度的内容。如果教师没有有效的教学方法来教导这部分内容，不但难点部分的内容理解不透彻，学生在学习其他内容的时候也会有些衔接的障碍。结合自身多年的教学经验，以及学生对知识点的理解情况和教学目标的完成情况对难点内容作出了一个大致的确定，在整个高中范畴内，难点内容为函数的概念、图像以及基本变换；平面向量的确定和应用；椭圆、双曲线概念、图像和规律；立体几何中的二面角和平面角；数学推导公式等部分的内容。造成难点的原因有很多，从一方面来说，数学教学过程中会有教学重点，重点部分内容重点学习，不过在教学过程中，对于教学重点的内容教学目标就会要求特别高，有些学生自己的学习能力和发展状况和教学目标并不相符，这样就出现了教学难点。从另一方面来说，同一个知识点对于不同的学生来说理解情况并不相同，有的学生觉得简单，有的学生觉得难，那么在难点的界定上就会出现矛盾。针对这些情况来说，我们难点的界定就应该的面向大多数学生的现实状况，符合学生的总体水平。
二、高中数学难点教学案例及分析
1.高中数学必修四第一章三角函数中函数y=Asin（ωx+ψ）的图像课程
这节的内容主要是对函数y=sinx图像的变换和画法。本节课程之所以为难点课程的原因是出现了A、ω、ψ三个变量，只要其中一个变量变化，那么函数整体的图像就会发生变化，而且和初中学习的y=kx+b的图像不同的是，这并不是一个直线的变化，本来y=sinx的图像就很难理解，和之前学习过的直线图像不同，所以两者加一起对于该节课的内容理解更加困难。学习本文A、ω、ψ变量的变化和图像的关系时，需要通过图像振幅、周期和位置的变化与A、ω、ψ的变化联系起来，通过五点作图法画图不仅画起来困难，而且对于准确度的要求还特别高，所以本节课程是具有代表性的难点内容。
教学过程设计函数y=Asin（ωx+ψ）可以看成一个复合函数，由f（x）=sinx，g（x）=ωx+ψ组成，g（x）和一次函数y=kx+b一样，因此教学过程可以设计成首先对一次函数的变化从k、b上理解ω、ψ的含义，ω是伸缩变换，ψ是平移变换，然后在用y=sinx变换为函数y=Asin（ωx+ψ），最后得出结论。经过本节课程的学习，函数y=Asin（ωx+ψ），x∈R（A＞0，ω＞0）的图像变换方式为：将y=sinx的图像上的所有点向左（ψ＞0）或向右（ψ＜0）移动|ψ|个单位，然后再把所得图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短（ω＞0）或伸长（0＜ω＜1）到原来的1/ω倍，再把所得的图像横坐标不变，纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍。
原本本节课的内容，让学生单纯的理解函数y=Asin（ωx+ψ）的图像变换很困难，学生没有关于伸缩和平移的基本概念，在学习的时候不能充分理解，因此需要运用以前学习过的一次函数的知识，更好的学习本节课的知识。如果有条件的话，也可以采用flash模型进行函数的变换，也更加直观形象。
2.课程分析和难点原因
对于教学难点内容来说，学生学习起来并不轻松，针对这一情况，就需要分析处理难点难在哪里，为什么会成为难点，怎样突破难点，然后结合学生的实际学习情况加以分析，找出攻破难点的教学方法。造成数学难点的原因很多，教学方法也需要随之改变：其一是知识点内容本身就抽象，例如平面角的二面角和函数y=Asin（ωx+ψ）的图像变换等难点内容，知识本身不易理解，这就需要教师在教学的时候用形象化的语言和方法来教授抽象化的知识，找出其内在联系，化抽象为形象。其二是课程知识本身内容内涵不明，有的知识点之间看似没有联系，其实就是某些知识点的深入，如果教师能挑明这些关系，就能让学生的学习事半功倍，例如函数y=Asin（ωx+ψ）图像的变换中，原本复杂的知识可以转换为正弦函数和一次函数这些已经学习过的知识点，学习起来更加容易透彻。其三是学生的基础知识并不牢固，例如在学习平面向量的计算的时候，之前的内容都有些忘记，在学习新的知识的时候十分吃力，这时候教师需要通过回忆之前的知识，然后找出其内在的联系，把之前的知识点进行整合，为之后的学习打好基础。其四是课程知识本身相似性特别大，例如平面角的二面角和其他的角相比既有联系又有区别，排列组合的时候分类还是分组都是容易混淆的内容，因此在学习这部分难点内容的时候需要指出其内在的区别，真正区分出相似的知识点。
结语：
综上所述，高中数学教学过程中，因为有着重点内容的存在和学生自身的理解程度不同，因此就会出现教学难点，难点内容尽管本身极难理解，不过对于后面的学习又很重要，处于这种尴尬程度的难点内容更需要在教学过程中采取恰当的教学方法来教学，通过本文的案例分析保证完成教学目标，提高学生的学习能力，提高教学质量。
参考文献
[1]韩赛红.浅谈数学课堂教学中的难点问题[J].数学学习与研究（教研版）.2007（10）.
[2]徐永香，宋厚俊.中学数学难点的成因及其教学策略[J].中学数学杂志.2005（03）.
关键词： 中学数学教学 认知引导原则 小结和复习 数学思维
教学实践中，学生的认知特点是影响教师教学的一个重要因素。教师的教学既要依据学生的认知结构，又要完善这一结构。这就要求教师从学生如何学习特定内容的认知科学的角度进行引导教学。有关学者将这种教学策略称为认知引导教学。认知引导教学的主要原则有以下几点：一是教学必须建立在学生已有知识的基础上，二是教学必须考虑学生思维的自然发展，三是教学必须充分调动学生学习的主动性和积极性。投射到数学教育领域，数学知识的高度抽象性、内涵的丰富性等特点决定在其数学教学中的个性特征。本文就认知引导原则在中学数学教学中的体现及其特点作思考。
一、教学必须建立在学生已有的知识基础上
首先，利用先行组织者策略进行课堂引入。如，在学习一元一次方程的解法时，教师应先举例复习等式的性质，再讲解一元一次方程。3x+20=4x-25，为了使方程的右边没有含x的项，等号两边同减4x；为了使左边没有常数项，等号两边同减20，利用等式的性质得：3x-4x=-25-20，再介绍移项，学生就易于理解了。通过类比等式中的相关知识，使学生易于理解新知识，解决新问题，真正为学习一元一次方程的解法起到架桥铺路的作用。其次，课堂教学中注意知识点间的衔接，学生头脑中的数学知识是按照自己理解的深度、广度，结合自身的感觉、知觉、记忆、思维、联系等认知特点，组成的一个具有内部规律的整体结构。由于数学学科本身具有较强的逻辑性，教师在教学中遵循学生数学知识的“内部规律”，注意不同知识点间的“自然联系”显得尤为重要。这就要求教师能从这种“内部结构”和“自然联系”出发对教材进行加工处理，科学地组织教学。如，一次函数的图像的教学，由于一次函数的图像是一条直线，且两点确定一条直线，因此画一次函数的图像只要先描出两点，再经过这两点画直线就可以了。因此在教学中涉及一次函数、一次函数的图像、直线、两点确定一条直线这样的知识，一会代数，一会几何，这种跳跃式的讲课形式，容易使学生对本已抽象的内容感到更加难以把握。这便是知识点间衔接不当的体现。因此，教师在课堂教学中要注意知识点间的衔接，对教材进行精加工，使得知识点间的衔接、过渡自然、清楚。
二、教学要注重课堂小结及复习的逻辑性
课堂小结是一堂课内容的浓缩，教师在小结时应注意内容间的逻辑性。引导学生搭建本节课的知识框架，从而进一步帮助学生构建其知识网络中的图式单元。复习更是完善学生数学知识结构的有力工具。新习得的知识点最初在学生头脑中的组建是松散不稳定的，甚至还存在着错误的联系。教师小结和复习的作用不仅是对单个知识点的巩固，对知识点间的一般联系的重申，更需强调突出其内容的逻辑性，将学生学过的知识归纳、概括、分类，化繁为简、理出思路，使学生构建易于动员、组织、提取的数学知识结构。这样不仅能使学生举一反三、灵活运用，达到巩固和提高的目的，而且有助于将这些知识逐渐内化，实现量变到质变的转换。
三、教学必须促进学生数学思维的发展
研究表明，学生头脑中的数学知识结构直接影响着学生心理结构的发展，但另一方面，学生感知、理解等心理活动的过程和方式也反过来对学生的数学知识结构有着重要的影响，尤其是学生已具备的数学思维能力对构建数学知识结构的影响更为直接。在学生从低年级到高年级的发展过程中，其思维能力是随着年级的升高而逐渐发展的。了解不同年级学生思维发展的年龄特征及其关键期和成熟期，知道学生思维发展的一定顺序和规律，有助于教师根据所教学生思维发展的特点，采取不同的教学策略，安排合适的教学思路和适当的教学进度，更好地开展教育教学工作，帮助学生构建完整的知识网络。如，根据学生的思维是从生动的直观形象思维发展到抽象思维的特点，教师须善于利用学生的感性经验，在讲解某一内容时，要充分而正确地提供和变换那些用来作为直观教材的具体事物，以帮助学生正确理解。比如，在教学平面几何中，经过两点有一条直线的知识时，教师可以要求学生课前准备好硬纸板、小剪刀、小铁锤和图钉。教师先演示，用小铁钉把一根木条钉在木板上，然后转动木条，木条可以停在不同位置，说明经过一点有无数条直线。再在木条的另一端钉上一个小铁钉，木条就转不动了，说明过两点有且只有一条直线。学生边看教师演示，边自己动手操作。这样直观教学，使学生很容易就掌握了难学的几何知识。
四、教学必须充分调动学生积极性和主动性
培养学生对数学的兴趣，教师要掌握一定的教学方法和技巧。比如说，在学生开始做题之前，先让他们猜猜结果或者猜猜部分的结果。于是，发表过意见的学生就约束住了自己，因为这或多或少也影响到他们的自尊。因此他们就急于知道他们的猜想是对是错，自然就会积极关注自己的学习了。类似的激发学生学习兴趣的有效策略很多，需要教师不断地学习、探索和归纳总结。认知引导教学中蕴涵着丰富的内容，其在数学教学中的体现也不仅限于以上几点，但任何有效的原则和教学法必然以某种方式与学习过程的性质互相关联着，这有待于教育者进一步地探索、发现和实践。
总之，在数学教学中，由于学生元认知水平的差异，导致其对数学教学活动的目标、任务的意识和领悟程度存在着差异。因此，加强对学生元认知能力的培养与训练，能促进其思维品质的形成和发展，提高其认知能力。
参考文献：
在数学教学中，没有一节课能离开练习，新授课前的组织基本练习和准备性练习，授课过程中的反馈性练习，新授课结束时的巩固练习、变式练习，新课后的课堂检测练习、提高性练习、思考性练习，都体现了练习在数学教学中的重要性，下面谈谈在教学中如何合理地选用练习题。
一、在课前准备中，选择新颖、有趣、贴近生活实际的问题练习
作为新课标下的教师，就要遵照《全日制义务教育数学课程标准》，合理选用教学内容、合理选题、科学设计教学的体系。数学课上，习题的选择直接影响到教师的教法，影响到训练的效率和效果。那么，如何选择习题呢？选题要围绕主题知识点展开，所选题目主要有两部分，即教师要讲解的例题和检测学生的练习题。
例如，在学习角平分线的性质时，可选用问题练习：某城市有三条街道，围成一个三角形，现要在三角形内修建一座圆形喷泉，且要求它到三条街道的距离相等，那么这座喷泉的圆心该取在何处呢？为什么？
问题练习都是作为教学过程的出发点，以问题练习为情境激发学生的积极性。心理学研究表明：不好的思维情境会抑制学生的思维热情。所以，课堂上题目的选择、情境的创设等都要考虑到是否有利于激发学生的思维，这也是课堂设计所要达到的目的。
二、教学过程中，研究课标和教材，控制教学难度，合理选择例题和变式习题
纵观新教材，不难发现各单元引入知识到形成结论都有一个共同点，即从生活实例或生活实际出发，经过简单的抽象、概括，再得到一般性结论，这样更能促使学生感受到数学的应用价值，也告诉我们数学教师应该重视在讲授知识中体现出数学知识的应用价值。
课本的例题是编者经过精选出来的思维训练的典范，其设计的目的是通过例题的讲解、习题的训练，达到激发学生新思维与培养学生的创新能力，但是在当前的新课程教科书中，我们发现习题配备的很少，这就要求教师通过对例题的分析，自己研发训练习题，而这一过程也是教师自我提高的过程。
在苏科版教材一次函数这一内容中有这样的问题：学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费。现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费，两复印社每月收费情况如图1所示，根据图像回答：
1.乙复印社的每月承包费是多少？
2.当每月复印多少页时，两复印社的实际收费相同？
3.那么你应该根据什么，选择哪个复印社？
变式习题：如图，l1、l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x（小时）的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样。
1.根据图像分别求出l1、l2 的函数关系式。
2.当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
3.小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）。
通过例题与变式习题的训练，不仅掌握了新知识，而且可以发展学生的新思维，培养创新能力。
三、精心设计数学新授课课堂练习，合理选题，培养学习的应用能力
1.新学知识教师要及时组织练习。教师在教完一个新概念或新法则之后，应及时针对概念的本质进行变式训练。
例：已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式。
变式训练一：已知一次函数y=kx+b，当x=3时，y=5；当x=-4时，y=-9， 求这个一次函数的解析式。
变式训练二：已知一次函数y=kx+b的图像如图所示，求这个一次函数的解析式。
2.易混知识教师要引导学生对比练习。对于易混的概念，教师要善于引导学生用对比的练习方法来认识知识间的联系与区别。
例：一条弦把圆分成2 ∶ 1两部分，则劣弧所对的圆心角为_____度，圆周角为_______度。
训练1：一条弦分圆为1 ∶ 5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为_____。
训练2：A、B、C为O上三点，若AB、BC、CA这三段弧度数之比为1 ∶ 2 ∶ 3，则∠AOB=_____，∠BOC=_____，∠AOC=_____。
3.本节课重点知识教师加强练习。对教材中的一些重点、难点、关键的知识，教师应在题目的数量和质量的选择上下功夫。在讲了一个新的知识点之后，应选配一些比较简单的基础问题用以增强学生对新概念的理解。如进行一元二次方程教学时，所选习题由易到难：
1. x2+3x-4=0 2.（2y-1）2=9 3.x2-5x=
4.（x+4）2=5（x+4） 5.（x+3）2=（1-2x）2
6. （2m+1）2-5（2m+1）=-6
四、精心设计复习课的课堂练习，合理选题
单元复习课或期中、期末复习课，在巩固“双基”的前提下，应选些综合性较强的题目。如在复习一次函数的应用时，可选下例：
童装厂有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套。已知做一套L型号童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元。设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y元。
1.写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
高学习效率并非一朝一夕之事,需要长期的探索和积累。前人的经验是可以借鉴的,但必须充分结合自己的特点。影响学习效率的因素,有学习之内的,但更多的因素在学习之外。那么你们知道关于人教版初三数学知识点复习资料备战中考内容还有哪些呢?下面是小编为大家准备2021年人教版初三数学知识点复习资料备战中考，欢迎参阅。
人教版初三数学知识点复习资料备战中考章一因式分解的方法
1.十字相乘法
(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;
(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;
(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;
(4)检验。
2.提公因式法
(1)找出公因式;
(2)提公因式并确定另一个因式;
①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;
②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式;
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
3.待定系数法
(1)确定所求问题含待定系数的一般解析式;
(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程;
(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
人教版初三数学知识点复习资料备战中考章二有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。
(1)有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。
【考察内容】复数以及混合运算(期中、期末必考计算)数轴、相反数、绝对值和倒数(选择、填空)。
(2)整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。
【考察内容】
①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值
②完全平方公式，平方差公式的几何意义
③利用提公因式法和公式法分解因式。
(3)一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有(归纳、总结、延伸)应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。
【考察内容】
①方程及方程解的概念
②根据题意列一元一次方程
③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。
(4)几何：角和线段，为下册学三角形打基础
相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。
(1)相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。
【考察内容】
①平行线的性质(公理)
②平行线的判别方法
③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。
(2)平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。
【考察内容】
①考察平面直角坐标系内点的坐标特征
②函数自变量的取值范围和球函数的值
③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。
(3)二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。
【考察内容】
①方程组的解法，解方程组
②根据题意列二元一次方程组解经济问题。
(4)不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。
【考察内容：】
①一元一次不等式(组)的解法，不等式(组)解集的数轴表示，不等式(组)的整数解等，题型以选择，填空为主。
②列不等式(组)解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。
③留意不等式(组)和函数图像的结合问题。
(5)数据库的收集整理与描述
分值一般在6-10分，题型近几年主要以解答题出现，偶尔以选择填空出现。难易度为中。
【考察内容】
①常见统计图和平均数，众数，中位数的计算分析。
②方差，极差的应用分析
③与现实生活有关的实际问题的考察热点。题目注重考查统计学的知识分析和数据处理。
三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与因式分解、分式。
(1)三角形：是初中数学的基础，中考命题中的重点。中考试题分值约为18-24分，以填空，选择，解答题，也会出现一些证明题目。
【考查内容】
①三角形的性质和概念，三角形内角和定理，三边关系，以及三角形全等的性质与判定。
②三角形全等融入平行四边形的证明
③三角形运动，折叠，旋转，拼接形成的新数学问题
④等腰三角形的性质与判定，面积，周长等
⑤直角三角形的性质，勾股定理是重点
⑥三角形与圆的相关位置关系
⑦三角形中位线的性质应用
(2)全等三角形
(3)轴对称：图形的轴对称是中考题的新题型，热点题型。分值一般为3-4分，题型以填空，选择，作图为主，偶尔也会出现解答题。
【考察内容】
①轴对称和轴对称图形的性质判别。
②注意镜面对称与实际问题的解决。
(4)整式的乘除与因式分解：中考试题中分值约为4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。
【考察内容】
①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值
②完全平方公式，平方差公司的几何意义
③利用提公因式法和公式法分解因式。
(5)分式：中考试题中分值约为6-8分，主要以填空，简答计算题型出现，难易度属于中。
【考察内容】
①分式的概念，性质，意义
②分式的运算，化简求值。
③列分式方程解决实际问题。
二次根式、勾股定理、四边形、一次函数和数据的分析。
(1)二次根式
(2)勾股定理：解直角三角形，解直角三角形的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考察题型为选择题，填空题，应用题为主，分值一般8-12分，难易度为难。
【考察内容】
①常见锐角的三角函数值的计算
②根据图形计算距离，高度，角度的应用题
③根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题。
(3)四边形：初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。
【考察内容】
①多边形的内角和，外角和等问题
②图形的镶嵌问题
③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。
(4)一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。
【考察内容】
①会画一次函数的图像，并掌握其性质。
②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。
(5)数据的分析
二次函数、一元二次方程、旋转、圆和概率初步。
(1)二次函数：二次函数的图像和性质是中考数学命题的热点，难点。试题难度一般为难。常见选择，填空题分值为3-5分，综合题分值为10-12分。
【考察内容】
①能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
②能用数形结合，归纳等熟悉思想，根据二次函数的表达式(图像)确定二次的开口方向，对称轴和顶点的坐标，并获得更多信息。
③综合运用方程，几何图形，函数等知识点解决问题。
(2)一元二次方程：中考分值约为3-5分，题型主要以选择，填空为主，极少出现简答，难易度为易。
【考察内容】
①方程及方程解的概念
②根据题意列一元一次方程
③解一元一次方程。
(3)旋转：图形的平移，旋转是中考题的新题型，热点题型，在试题比重，逐年上升。分值一般为5-8分，题型以填空，选择，作图为主，偶尔也会出现解答题。
【考察内容】
①中心对称和中心对称图形的性质
②旋转和平移的性质。
(4)圆：圆和圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中。
【考察内容】
①圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。
②直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。
③弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算
④圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。
(5)概率初步：分值一般3-6分，题型以选择，填空常见，更多以解答题目为主，难易度为中。
【考察内容】
①简答事件的概率求解，图表法和数形图法
②利用概率解决实际，公平性问题等
③注意概率知识与方程相结合的综合性试题，选材贴近生活，越来越新。
初三下册
反比例函数、相似、锐角三角函数和投影与视图。
(1)反比例函数：反比例函数的图像和性质是中考数学命题的重要内容，试题新颖，题型灵活多样，所占分值约为3-8分，难易度属于难。
【考察内容】
①会画反比例函数的图像，掌握基本性质。
②能根据条件确定反比例函数的表达式。
③能用反比例函数解决实际问题。
(2)相似：图形的形似是平面几何中极为重要的内容，是中考数学中的重点考察内容。一般分值约为6-12分，题型以选择，填空，解答综合题目为主，难易度属于难。
【考察内容】
①相似三角形的性质和判别方法，是重点。
②相似多边形的认识，黄金分割的应用。
③相似形与三角形，平行四边形的综合性题目是难点。
(3)锐角三角函数
(4)投影与视图：分值一般为3-6分，试题以填空，选择，解答的形式出现。
【考察内容】
①常见几何体的三视图
②常见几何体的展开和折叠，展开和折叠是考试的热点，值得注意。
③利用相似结合平行投影和中心投影解决实际问题。
(不同地区分值不同，可供参考)
选择题：3分一个，共14个，总分42分。
填空题：3分一个，共5个，总分15分。
解答题：共7题，总分63分。
(一)线段、角的计算与证明问题
中考中的简答题一般是分为两到三部分的。第一部分基本上都是简单题和中档题，目的在于考查基础。第二部分第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
(二)列方程(组)解决应用问题
在中考中，方程是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考必考内容。从近年来中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些实际生活经验。
(三)阅读理解问题
阅读理解问题是中考中的一个亮点。阅读理解往往是先给一个材料或介绍一个超纲的知识或给出一个针对某一种题目的解法，然后再给出条件出题。
(四)多种函数交叉综合问题
初中接触的函数主要有一次函数、二次函数和反比例函数。这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题目出现，一般都是作为一道中档次题目出现来考查学生对函数的掌握。
(五)动态几何
从历年的中考来看，动态几何往往作为压轴的题目出现，得分率也是最低的。动态几何一般分为两类，一类是代数综合方面，在坐标系中，动直线一般是用多种函数交叉求解。另一类是几何综合题，在梯形、矩形和三角形中设立动点，考查学生的综合分析能力。
(六)图形位置关系
中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形和正方形及它们之间的关系。在中考中会包括在函数、坐标系及几何题中，其中最重要的是三角形的各种问题。
人教版初三数学知识点复习资料备战中考章三轴对称知识点
1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;
这条直线叫做对称轴。
2.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.角平分线上的点到角两边距离相等。
4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
8.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)
点(x,y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x,-y)
9.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为三线合一。
10.等腰三角形的判定：等角对等边。
11.等边三角形的三个内角相等，等于60，
12.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60的等腰三角形是等边三角形
有两个角是60的三角形是等边三角形。
13.直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。
不等式
1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用：
(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c。
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a>b,并且c>0,那么ac>bc。
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b,并且c
2.比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)
一般地：
如果a>b，那么a-b是正数;反过来，如果a-b是正数，那么a>b;
如果a=b，那么a-b等于0;反过来，如果a-b等于0，那么a=b;
如果a
即：a>ba-b>0;a=ba-b=0;aa-b
3.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解;
一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
4.不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：①边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈;
②方向：大向右，小向左。
一元一次方程的解法
1.一般方法：
①去分母：去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。
②去括号：括号前是“+”,把括号和它前面的“+”去掉后,原括号里各项的符号都不改变。括号前是“-”,把括号和它前面的"-"去掉后,原括号里各项的符号都要改变。(改成与原来相反的符号。
③移项：把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
④合并同类项：通过合并同类项把一元一次方程式化为最简单的形式：ax=b(a≠0)。
⑤系数化为1。
2.图像法：一元一次方程ax+b=0(a≠0)的根就是它所对应的一次函数f(x)=ax+b函数值为0时，自变量x的值，即一次函数图象与x轴交点的横坐标。
3.求根公式法：对于关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)，其求根公式为：x=-b/a。
整式
1.整式：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
2.乘法
(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(3)积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
3.整式的除法
(1)同底数幂相除，底数不变，指数相减。
(2)任何不等于零的数的零次幂为1。
分数的性质
1.分数中间的一条横线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫做分母。
读作几分之几。
2.分数可以表述成一个除法算式：如二分之一等于1除以2。
其中，1分子等于被除数，-分数线等于除号，2分母等于除数，而0.5分数值则等于商。
3.分数还可以表述为一个比，例如;
二分之一等于1：2，其中1分子等于前项，—分数线等于比号，2分母等于后项，而0.5分数值则等于比值。
4.当分子与分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数值不会变化。
因此，每一个分数都有无限个与其相等的分数。利用此性质，可进行约分与通分。
5.一个分数不是有限小数，就是无限循环小数，像π等这样的无限不循环小数，是不可能用分数代替的。
正负数加减法则顺口溜
正正相加，和为正。
负负相加，和为负。
正减负来，得为正。
负减正来，得为负。
其余没说，看大小。
